2018年茂名市一模文科数学试题与答案

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高考最新-2018广东茂名一模数学精品

茂名市2018年第一次高考模拟考试数学试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第工卷1至2页，第Ⅱ卷3至页，共4分。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：l 、答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能作在试题卷上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的。

1、已知集合{}||1|1M x x =-<，{}|00N x x p p =-><且，则M ∩N ＝A 、{}|22x x -<<B 、{}|02x x <<C 、{}|x x p >D 、{}|2x p x <<2、设函数2(01)()(1)53(1)xx f x ax x x ≤<⎧⎪==⎨⎪->⎩在区间[0,)+∞上连续，则实数a 的值为A 、lB 、2C 、3D 、0 3、已知θ是锐角，那么sinθ+c os θ到下列各值中的A 、43B 、34C 、53D 、124、数列{an}是等差数列，S10>0，S11<0，则使an<0的最小值n 是A 、5B 、6C 、7D 、85、已知直线m 、n 和平面α，则m ∥n 的一个必要条件是A 、m ∥α，n ∥αB 、m ⊥α,n ⊥αC 、m ∥α,n ⊂αD 、m 、n 与α成等角6、若直线ax+by=2与圆x 2+y 2=1有有上不同的公共点，那么点P （b,a ）与x 2+y 2=4的位置关系是A 、点P 在圆外B 、点P 在圆上C 、点P 在圆内D 、不能确定7、设F1、F2是椭圆22221x y a b+=的左、右两个焦点，若椭圆上满足PF1⊥PF2的点P 有且只有两个，则离心率e 的值为A 、13 B 、12C D 8、函数f(x)=Asin(ωx+ψ)(A>O ，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)+f (2)+…+f(2018) 的值等于A B 2 C 、0 D 、不能确定 9、在边长为l 的正三角形ABC 中，设,,BC a AB b b b c c a ==⋅+⋅+⋅=则aA 、1．5B 、一1．5C 、0．5D 、一0．510、已知22lim2x x px q x →∞++=+，则p —q= A 、2 B 、4 C 、-2 D 、-4第Ⅱ卷非选择题(共100分) 二、填空题(每小题5分，共20分)11、若双曲线22214x y b-=的一条准线与抛物线y 2=4x 的准线重合，则： (1)b 2= (3分)，(2)双曲线的渐近线方程是。

2018年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科及答案)

2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1} 2．（5分）已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A．B．C．2 D．3．（5分）在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z=3x+y的最小值为（）A．11 B．12 C．8 D．35．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=（）A．20 B．35 C．45 D．906．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点D，与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．C． D．7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜），f（x1）=1，f（x2）=0，若|x1﹣x2|min=，且f（）=，则f（x）的单调递增区间为（）A． B．．C．D．8．（5分）函数的部分图象大致为（）A． B．C．D．9．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯．A．24 B．48 C．12 D．6010．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（）A．2 018 B．﹣1 C．D．211．（5分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）定义在R上函数y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，且函数f（x+1）是偶函数．若当x∈[0，1]时，，则函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为（）A．2017 B．2018 C．4034 D．4036二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．（5分）已知=（2，1），﹣2=（1，1），则=．14．（5分）曲线y=ln（x+1）在点（1，ln2）处的切线方程为．15．（5分）从原点O向圆C：x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．16．（5分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB﹣b=2a．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A﹣EBC的体积．19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522．（i ）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为，=﹣；相关指数R2=．20．（12分）已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．21．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x＞0，且x≠1时，．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1}【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}．故选：C．2．（5分）已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A．B．C．2 D．【解答】解：由zi=2+i，得，∴|z|=，故选：D．3．（5分）在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数有4个，分别为：（1，2，3），（1，2，6），（1，3，6），（2，3，6）数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有（1，2，3），共1个．∴数字2是这三个不同数字的平均数的概率是．故选：A．4．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z=3x+y的最小值为（）A．11 B．12 C．8 D．3【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为z=3×2+2=8．故选：C．5．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=（）A．20 B．35 C．45 D．90【解答】解：由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=10，S9=．故选：C．6．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点D，与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．C． D．【解答】解：抛物线y2=8x的准线方程为x=﹣2，准线与x轴的交点为D（﹣2，0），由△ADF为等腰直角三角形，得|AD|=|DF|=4，故点A的坐标为（﹣2，4），由点A在双曲线上，可得，解得，即，∴，∴双曲线的离心率．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜），f（x1）=1，f（x2）=0，若|x1﹣x2|min=，且f（）=，则f（x）的单调递增区间为（）A． B．．C．D．【解答】解：设f（x）的周期为T，由f（x1）=1，f（x2）=0，|x1﹣x2|min=，得，由f（）=，得sin（π+ϕ）=，即cosϕ=，又0＜ϕ＜，∴ϕ=，f（x）=sin（πx）．由，得．∴f（x）的单调递增区间为．故选：B．8．（5分）函数的部分图象大致为（）A． B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，排除B，∵＜1，排除A．当x＞0时，，，∴在区间（1，+∞）上f（x）单调递增，排除D，故选：C．9．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯．A．24 B．48 C．12 D．60【解答】解：由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列，设首项为a，则，解之得a=3，则该塔中间一层灯盏数有3×23=24．故选：A．10．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（）A．2 018 B．﹣1 C．D．2【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：初始S=2，当k=0时，S0=﹣1，k=1时，S1=，同理S2=2，S3=﹣1，S4=，…，可见S n的值周期为3．∴当k=2017时，S2017=S1=，k=2018，退出循环．输出S=．故选：C．11．（5分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，在①中，如图知AF与GC异面垂直，故①正确；在②中，BD与GC成异面直线，连接EB，ED．则BM∥GC，在等边△BDM中，BD与BM所成的60°角就是异面直线BD与GC所成的角，故②正确；在③中，BD与MN异面垂直，故③错误；在④中，GD⊥平面ABCD，所以在Rt△BDG中，∠GBD是BG与平面ABCD所成的角，Rt△BDG不是等腰直角三角形．所以BG与平面ABCD所成的角不是为45°，故④错误．故选：B．12．（5分）定义在R上函数y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，且函数f（x+1）是偶函数．若当x∈[0，1]时，，则函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为（）A．2017 B．2018 C．4034 D．4036【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数⇔函数的图象与y=e﹣|x|的图象交点个数．由y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，得f（x）是偶函数，即f（﹣x）=f（x）．又∵函数f（x+1）是偶函数，∴f（x+1）=f（﹣x+1），故f（x+2）=f（﹣x）=f（x），因此，f（x）是周期为2的偶函数．∵当x∈[0，1]时，，作出y=f（x）与图象如下图，可知每个周期内有两个交点，所以函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为2018×2=4036．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．（5分）已知=（2，1），﹣2=（1，1），则=1．【解答】解：根据题意，设=（x，y），则﹣2=（2﹣2x，1﹣2y）=（1，1），则有2﹣2x=1，1﹣2y=1，解可得x=，y=0，则=（，0），则=2×+1×0=1；故答案为：114．（5分）曲线y=ln（x+1）在点（1，ln2）处的切线方程为x﹣2y﹣1+2ln2=0．【解答】解：根据题意，曲线y=ln（x+1），则有y′=，则由所求切线斜率，又由f（1）=ln（1+1）=ln2，则曲线在点（1，ln2）处的切线方程为，即x﹣2y﹣1+2ln2=0．故答案为：x﹣2y﹣1+2ln2=015．（5分）从原点O向圆C：x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．【解答】解：把圆的方程化为标准方程为x2+（y﹣6）2=9，得到圆心C（0，6），圆的半径r=3，由圆切线的性质可知，∠CBO=∠CAO=90°，且AC=BC=3，OC=6，则有∠ACB=∠ACO+∠BCO=60°+60°=120°，∴该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．故答案为：．16．（5分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为．【解答】解：以△ABC所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为，依题意得CD⊥平面ABC，故球心到截面的距离为，则球的半径为．所以球的体积为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB﹣b=2a．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若2c•cosB﹣b=2a，则有，整理得a2+b2﹣c2=﹣ab，，又在△ABC中，0＜C＜π，∴，即角C的大小为；（Ⅱ）由（Ⅰ），在△ADC中，AC=b=，AD=，由正弦定理得，∵在△ADC中，0＜∠CDA＜π，C为钝角，∴，故．∵在△ABC中，AD是角A的平分线，∴，∴△ABC是等腰三角形，，故△ABC的面积．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A﹣EBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）依题意得四边形ABCD是底角为60°的等腰梯形，…（1分）∴∠BAD=∠ADC=120°..…（2分）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=30°．…（3分）∴∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=120°﹣30°=90°，即AB⊥AC．…（4分）∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥平面PAC，…（5分）又平面AB⊂平面EAB，∴平面EAB⊥平面PAC．…（6分）解：（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，∴AC=AB∙tan60°=，BC=2AB=2，且AB⊥平面PAC，…（7分）∴AB是三棱锥B﹣EAC的高，正△PAC的边长为…（8分）=S△PAC=．…∵E是PC的中点，∴S△EAC（10分）∴三棱锥A﹣EBC的体积为…（12分）（Ⅱ）解法二：过P作PO⊥AC于点O，∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴PO⊥平面ABC，过E作EF⊥AC于点F，同理得EF⊥平面ABC，∴EF是三棱锥E﹣ABC的高，且PO∥EF，…（7分）又E是PC中点，∴EF是△POC的中位线，故．由（Ⅰ）及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC=AB∙tan60°=，即正△PAC的边长为，…（8分）∴PO=，故EF=…（9分）=．…（10分）在Rt△ABC中，S△ABC∴三棱锥A﹣EBC的体积为…（12分）19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522．（i ）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为，=﹣；相关指数R2=．【解答】解：（Ⅰ）依题意，n=6，，…．…（2分）≈33﹣6.6×26=﹣138.6，…（3分）∴y关于x的线性回归方程为=6.6x﹣138.6…（4分）（Ⅱ）（i ）利用所给数据，，得，线性回归方程=6.6x﹣138.6的相关指数R2=．…（6分）∵0.9398＜0.9522，…（7分）因此，回归方程=0.06e0.2303x比线性回归方程=6.6x﹣138.6拟合效果更好…..…（8分）（ii）由（i ）得温度x=35°C时，=0.06e0.2303×35=0.06×e8.0605…..…..…（9分）又∵e8.0605≈3167，…（10分）∴≈0.06×3167≈190（个）…（11分）所以当温度x=35°C时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个…（12分）20．（12分）已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）所给直线方程变形为，可知直线所过定点为．∴椭圆焦点在y轴，且c=，依题意可知b=2，∴a2=c2+b2=9．则椭圆C1的方程标准为；（Ⅱ）依题意，设椭圆C2的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），∵λ＞1，∴点C（﹣1，0）在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点．当直线l垂直于x轴时，（不是零向量），不合条件；故设直线l为y=k（x+1）（A，B，O三点不共线，故k≠0），由，得．由韦达定理得．∵，而点C（﹣1，0），∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），则y1=﹣2y2，即y1+y2=﹣y2，故．=S△AOC+S△BOC∴△OAB的面积为S△OAB====．上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB的面积取得最大值．∴直线的方程为或．21．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x＞0，且x≠1时，．【解答】（Ⅰ）解：由已知得g（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）方程2x2+x﹣a=0的判别式△=1+8a．…（2分）①当时，△≤0，g'（x）≥0，此时，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（3分）②当时，设方程2x2+x﹣a=0的两根为，若，则x1＜x2≤0，此时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（4分）若a＞0，则x1＜0＜x2，此时，g（x）在（0，x2]上为减函数，在（x2，+∞）上为增函数，…..…（5分）综上所述：当a≤0时，g（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；当a＞0时，g（x）的减区间为（0，x2]，增区间为（x2，+∞）．…（6分）（Ⅱ）证明：由题意知，…（7分）∴，…（8分）考虑函数，则…（9分）所以x≠1时，h'（x）＜0，而h（1）=0…（10分）故x∈（0，1）时，，可得，x∈（1，+∞）时，，可得，…（11分）从而当x＞0，且x≠1时，．…（12分）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4c osθ=0．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程得ρ2﹣4ρcosθ=0，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4…（1分）∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为2的圆．∵直线l过点P（﹣2，0），当l的斜率不存在时，l的方程为x=﹣2与曲线C没有公共点，∴直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0．直线l与圆有公共点，则圆心C到直线l的距离，得，α∈[0，π），∴α的取值范围是．（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，故其参数方程为（θ为参数）．∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴，，∴，因此，的取值范围是[﹣2，6]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≥2无解；…（1分）当﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≥2解得﹣5＜x≤﹣2；…（3分）当x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≥2恒成立．…（4分）综上，不等式f（x）≥2的解集是{x|x≤﹣2}．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知…（6分）易知函数f（x）的最大值M=8，…（7分）若x2+2x+m≤8有解，得m≤﹣x2﹣2x+8有解．…（8分）即m≤[﹣（x+1）2+9]max=9．…（9分）因此，m的取值范围是m≤9．…（10分）。

广东省茂名市高三上学期第一次综合测试(一模)数学(文)

绝密★启用前试卷类型：A2018年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（文科）2018.1本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，23小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5．考试结束后，请将答题卡上交.第一部分选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|−1＜x＜3}，B={−1, 0, 1, 2}，则A∩B=()A. {−1, 0, 1, 2}B. {x|−1＜x＜3}C. {0,1, 2}D. {−1, 0, 1}2．已知复数z满足z i=2+i，i是虚数单位，则|z|=()A.B.C. 2D.3．在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是()A. 14C.124．已知变量,x y满足约束条件2,4,1,yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则3z x y=+的最小值为()A. 11B. 12C. 8D. 35．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2+a 8=10，则S 9= ( ) A. 20 B.35 C. 45 D. 906．已知抛物线28y x =的准线与x 轴交于点D ,与双曲线221x y m-=交于A , B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△ADF 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是( )A.B.C.D.7．已知函数f (x )=sin(ωx +ϕ) (ω＞0, 0＜ϕ＜2π)，f (x 1)=1，f (x 2)=0，若|x 1–x 2|min =12，且f (12) =12，则f (x )的单调递增区间为( )A. 51[+2,+2],66k k k Z -∈B. 51[+2,+2],.66k k k Z -∈C. 51[+2,+2],66k k k Z ππ-∈D. 71[+2,+2],66k k k Z ∈8．函数||e ()3x f x x =的部分图象大致为( )9．《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯.A.24B.48C.12D.60 10．执行如图所示的程序框图，那么输出S 的值是( )A.2 018B. −1C.12D.211．右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF ⊥GC ；②BD 与GC 成异面直线且夹角为60︒；-1 1- 1 O-第10题图A B DE NCG F M第11题图③BD ∥MN ；④BG 与平面ABCD 所成的角为45︒. 其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.412．定义在R 上函数(2)y f x =+的图象关于直线x =−2对称，且函数(1)f x +是偶函数. 若当x ∈[0,1]时，()sin 2f x x π=，则函数||()()x g x f x e -=-在区间[−2018,2018]上零点的个数为( )A. 2017B. 2018C. 4034D. 4036第二部分非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．已知(2,1),2(1,1),a a b =-=则•a b = ． 14．曲线ln(1)y x =+在点(1, ln2)处的切线方程为．15．从原点O 向圆C : 2212270x y y +-+=作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．16．如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC 中，AB=， ∠ACB =60︒，∠BCD =90︒，AB ⊥CD ，CD=，则该球的体积为．三、解答题：本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题. 解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,且2cos 2c B b a ⋅-=. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）设角A 的平分线交BC 于D ，且ADbABC 的面积.DCB A第16题图18. （本小题满分12分）在四棱锥P −ABCD 中，AD ∥BC ，平面P AC ⊥平面ABCD ，AB =AD =DC=1， ∠ABC =∠DCB =60︒，E 是PC 上一点. （Ⅰ）证明：平面EAB ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若△P AC 是正三角形，且E 是PC 中点，求三棱锥A −EBC 的体积.19．（本小题满分 12 分）一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：经计算得：11266i i x x ===∑，11336i i y y ===∑，1()()557i i i x x y y =--=∑，621()84i i x x =-=∑，621()3930ii y y =-=∑，线性回归模型的残差平方和621ˆ()236.64=-=∑i i i y y ，e 8.0605≈3167，其中x i , y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i =1, 2, 3, 4, 5, 6.(Ⅰ)若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆy=ˆb x +ˆa （精确到0.1）； (Ⅱ)若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程为ˆy=0.06e 0.2303x ，且相关指数BAPE DC第18题图R 2=0.9522.( i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用R 2说明哪种模型的拟合效果更好.( ii )用拟合效果好的模型预测温度为35︒C 时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.附：一组数据(x 1,y 1), (x 2,y 2), ...,(x n ,y n ), 其回归直线ˆy=ˆb x +ˆa 的斜率和截距的最小二乘估计为121()()ˆ,()nii i nii xx y y bxx ==--=-∑∑ˆa=y −ˆbx ；相关指数R 2=2121ˆ()1()nii i n ii yyyy ==---∑∑．20．（本小题满分 12 分）已知椭圆C 1以直线0mx y +=所过的定点为一个焦点，且短轴长为4. （Ⅰ）求椭圆C 1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C 2的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C 1的长轴和短轴的长的λ倍(λ＞1)，过点C (−1,0)的直线l 与椭圆C 2交于A ，B 两个不同的点，若2AC CB =，求△OAB 的面积取得最大值时直线l 的方程.21.（本小题满分 12 分）已知函数()ln 2a g x x x x =++(a ∈R ).（Ⅰ）讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）若11()[()2]1a f x g x x x x x =--++. 证明：当0x ＞，且1x ≠时，ln ()1x f x x >-．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P (−2,0)，其倾斜角为α，在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=．（Ⅰ）若直线l 与曲线C 有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M (x,y )为曲线C 上任意一点，求x 的取值范围．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|3||5|f x x x =--+．（Ⅰ）求不等式()2f x ≥的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最大值为M ，若不等式22x x m M ++≤有解，求m 的取值范围．绝密★启用前试卷类型：A2018年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）提示： 2．【解析】2i12i iz +==-，|z ，故选D. 3．【解析】在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数(1, 2, 3), (1, 2, 6), (1, 3, 6),(2, 3, 6)共4个，则数字2因此，数字2是这三个不同数字的平均数的概率是14p =. 4．【解析】由约束条件2,4,1,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，联立{2,4,y x y =+=，解得A (2, 2)，化目标函数z =3x +y 为y = −3x +z ，由图可知，当直线y = −3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为z =3×2+2=8．故选C.5．【解析】由等差数列的性质得，a 1+a 9=a 2+a 8=10，S 9=199()9104522a a +⨯==.故选C. 6．【解析】抛物线的准线方程为2x =-，准线与x 轴的交点为(2,0)D -，ADF ∆为等腰直角三角形，得||||4AD DF ==，故点A 的坐标为(2,4)-，由点A 在双曲线221x y m-=上，可得22(2)41m --=，解得417m =，即2417a =，所以221117c m =+=，故双曲线的离心率c e a ===.故选D. 1 O-7．【解析】：设f (x )的周期为T ，由f (x 1)=1，f (x 2)=0，|x 1 –x 2|min =12,得212422T T πωπ=⇒=⇒==, 由f (12) =12，得sin(12π +ϕ)=12，即cos ϕ=12，又0＜ϕ＜2π，∴ϕ =3π，f (x )=sin(πx 3π+).由+22k ππ-3x ππ≤++22k ππ≤，得51+2+2,66k x k k Z -≤≤∈.∴ f (x )的单调递增区间为51[+2,+2],.66k k k Z -∈故选B.8．【解析】由f (x )为奇函数，排除B ，(1)3e f =＜1，排除A. 当x ＞0时，e ()3xf x x=，2(1)e ()3xx f x x -'=，∴在区间(1,+∞)上f (x )单调递增，排除D ，故选C. 9．【解析】由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列,设首项为a ,则7(21)38121a -=-,解之得a =3，则该塔中间一层灯盏数有3⨯23=24. 故选A. 10．【解析】依题意，执行如图所示的程序框图可知初始S ＝2，当k =0时，S 0＝−1，k =1时，S 1＝12，同理S 2＝2，S 3＝−1，S 4＝12，…，可见S n 的值周期为3.∴当k ＝2017时，S 2017＝S 1＝12，此时k ＝2018，退出循环. 输出S ＝12. 故选C.11．【解析】：将正方体纸盒展开图还原成正方体，①如图知AF 与GC异面垂直，故①正确；②显然BD 与GC 成异面直线,连接EB ，ED . 则BM ∥GC ，在等边△BDM 中，BD 与BM 所成的60︒角就是异面直线BD 与GC 所成的角，故②正确；③显然BD 与MN 异面垂直，故③错误；④显然GD ⊥平面ABCD ，所以在Rt △BDG 中，∠GBD 是 BG 与平面ABCD 所成的角，Rt △BDG 不是等腰直角三角形. 所以BG 与平面ABCD 所成的角不是为45 ︒，故④错误. 故选B. 12．【解析】函数||()()x g x f x e-=-在区间[−2018,2018]上零点的个数，就是函数()sin 2f x x π= 的图象与||x y e -=的图象交点个数. 由(2)y f x =+的图象关于直线x = −2对称，得()f x 是偶函数，即()()f x f x -=.又∵函数(1)f x +是偶函数，∴(1)(1)f x f x +=-+，故(2)()()f x f x f x +=-=，因此，()f x 是周期为2的偶函数.∵当x ∈[0,1]时，()sin 2f x x π=，ABD M (E )NCGF作出()y f x =与||1()x y e=图象如下图，可知每个周期内有两个交点，所以函数||()()x g x f x e -=-在区间[−2018,2018]上零点的个数为2018⨯2=4036. 故选D.第二部分非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．1 14. 212ln 20x y --+= 15. 1216.提示：13．【解析】∵(2,1),2(1,1),a a b =-=∴2(1,1)(2,1)(1,1)(1,0)b a =-=-=， ∴1(,0)2b =，∴•101a b =+=.14．【解析】由所求切线斜率1111||12x x k y x =='===+，得曲线在点处的切线方程为1ln 2(1)2y x -=-，即212ln 20x y --+=.15．【解析】把圆的方程化为标准方程为22(6)9x y +-=，得到圆心C 的坐标为(0, 6),圆的半径3r =,由圆切线的性质可知,∠CBO =∠CAO =90︒，且AC =BC =3，OC =6，则有∠ACB =∠ACO +∠BCO =60︒+60︒=120︒ 所以该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为12(写成1:2也对).16．【解析】以△ABC 所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为112=，依题意得CD ⊥平面ABC ，故球心到截面的距离为12CD.所以球的体积为343π=.三、解答题：本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解: (Ⅰ)法一：由已知及余弦定理得222222a c b c a b ac+-⨯=+，整理得222a b c ab +-=-. (2)分2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-， ………………3分又在△ABC 中，0＜C ＜π， ………………4分 ∴23C π=，即角C 的大小为23π. .………………5分法二：由已知及正弦定理得2sin cos sin 2sin C B B A ⋅-=，又在△ABC 中，sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C , . ......……2分 ∴2sin C cos B – sin B =2sin B cos C +2cos B sin C ，即2sin B cos C = – sin B ，又sin B ≠0， ………………3分 ∴1cos 2C =-，又0＜C ＜π， ………………4分∴23C π=，即角C 的大小为23π. .………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)23C π=，依题意得如图，在△ADC 中，AC =bAD由正弦定理得sin sin AC C CDA AD ⋅∠===， .………………7分∵在△ADC 中，0＜CDA ∠＜π，C 为钝角， ........………....………8分 ∴4CDA π∠=，故23412CAD ππππ∠=--=. .………………9分 ∵在△ABC 中，AD 是角A 的平分线，∴6CAB π∠=, .……….……10分∴△ABC是等腰三角形，BC AC == .………………11分故△ABC的面积211sin 232S BC AC π=⋅==. .…………….…12分18.解：(Ⅰ)证明：依题意得四边形ABCD 是底角为60︒的等腰梯形，………1分 ∴∠BAD =∠ADC =120︒. .…………........……2分 ∵ AD =DC ，∴∠DAC =∠DCA =30︒， .……………….........3分 ∴∠BAC =∠BAD −∠DAC =120︒−30︒=90︒，即AB ⊥AC .…...........…4分 ∵平面PAC ⊥平面ABCD , 平面PAC ∩平面ABCD =AC ，∴AB ⊥平面PAC ， ..........................………………...5分又平面AB ⊂平面EAB ，∴平面EAB ⊥平面PAC ； ..........................……………...6分 (Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)及已知得，在Rt △ABC 中，∠ABC =60︒，AB =1， ∴AC = AB∙tan60︒BC =2AB =2，且AB ⊥平面PAC ，.........……………7分BAPED BADC∴AB 是三棱锥B −EAC 的高，正△PAC...……………8分∵E 是PC 的中点，∴S △EAC ＝12S △PAC＝211sin6044AC AP ⋅︒=⨯. (10)分∴三棱锥A −EBC 的体积为1113388A EBC B EAC EAC V V S AB --∆==⋅== (12)分(Ⅱ)解法二：过P 作PO ⊥AC 于点O ，∵平面PAC ⊥平面ABCD , 平面PAC ∩平面ABCD =AC ， ∴PO ⊥平面ABC ，过E 作EF ⊥AC 于点F ，同理得EF ⊥平面ABC ， ∴EF 是三棱锥E −ABC 的高，且PO ∥EF ， ………7分又E 是PC 中点，∴ EF 是△POC 的中位线，故12EF PO =.由(Ⅰ)及已知得，在Rt △ABC 中，∠ABC =60︒，AB =1，∴BC =2AB =2, AC = AB∙tan60︒即正△PAC ........................8分 ∴PO =32, 故EF =34. .. (9)分在Rt △ABC 中，S △ABC ＝11122AB AC ⋅=⨯= ….........………….........…10分∴三棱锥A −EBC 的体积为311334A EBC E ABC ABC V V S EF --∆==⋅==. ...................12分19.解：(Ⅰ)依题意，n =6，61621()()557ˆ 6.6,84()iii i i x x y y bx x ==--==≈-∑∑ ....……….……2分ˆa≈33−6.6⨯26=−138.6， ....…...................…………3分 ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆy=6.6x −138.6． ....……………4分 (Ⅱ) ( i )利用所给数据,621ˆ()236.64=-=∑iii y y,621()3930ii y y =-=∑得, 线性回归方程ˆy=6.6x −138.6 的相关指数OF BAPE DCR 2=621621ˆ()236.641110.06020.9398.3930()ii i ii yy yy ==--=--=-∑∑≈ .................….......6分∵0.9398＜0.9522， (7)分因此，回归方程ˆy=0.06e 0.2303x 比线性回归方程ˆy =6.6x −138.6拟合效果更好. ....……..……8分( ii )由( i )得温度x =35︒C 时，ˆy=0.06e 0.2303⨯35=0.06⨯e 8.0605. ....……..……..…9分又∵e 8.0605≈3167， ......................................……….....……10分∴ˆy≈0.06⨯3167≈190（个）. .....................................………...……11分所以当温度x =35︒C 时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. ....……….......……12分20.解：(Ⅰ)所给直线方程变形为y mx =- …......……………1分可知直线所过定点为. ...............………2分∴椭圆焦点在y 轴, 且c，依题意可知b =2，∴a 2=c 2+b 2=9. ……………3分椭圆C 1的方程标准为22194y x +=. ………………4分 (Ⅱ)依题意，设椭圆C 2的方程为2222194y x λλ+=，A (x 1,y 1), B (x 2,y 2)，………………6分 ∵λ＞1，∴点C (-1, 0)在椭圆内部，直线l 与椭圆必有两个不同的交点. 当直线l 垂直于x 轴时，AC CB =(不是零向量)，不合条件；故设直线l 为y =k (x +1) (A ，B ，O 三点不共线，故k ≠0), ……………..…7分由{222(1)4936y k x y x λ=++=，，得222918(4)9360y y k kλ+-+-=. 由韦达定理得1221894ky y k +=+. ………………8分∵2AC CB =，而点C (−1, 0)，∴(-1-x 1, -y 1)=2(x 2+1, y 2)，∴y 1= -2y 2， ………………..…9分即y 1+y 2= -y 2 故221894ky k-=+. ………………10分∴△OAB 的面积为OAB AOC BOC S S S ∆∆∆=+12121111||1||||222y y y y =⨯⨯+⨯⨯=-23||2y ==218||3294||k k ⨯+2794||||k k =+94≤=. .......................……11分上式取等号的条件是29||=4k ，即k =±32时，△OAB 的面积取得最大值94.所以直线的方程为3(1)2y x =+或3(1)2y x =-+. ………………12分21. (Ⅰ)解：由已知得()g x 的定义域为(0, +∞)，22221()2a x x a g x x x x +-'=+-=. (1)分方程220x x a +-=的判别式18a ∆=+. …………....…......…2分①当18a ≤-时，△≤0，()0g x '≥，此时,()g x 在(0, +∞)上为增函数； (3)分②当18a -＞时，设方程220x x a +-=的两根为12x x ==，若108a -<≤, 则120x x <≤, 此时, ()0g x '＞, ()g x 在(0, +∞)上为增函数； (4)分若a ＞0，则x 1＜0＜x 2，此时, g (x )在(0, x 2]上为减函数，在(x 2, +∞)上为增函数，…..……5分综上所述：当0a ≤时，()g x 的增区间为(0, +∞)，无减区间；当0a ＞时，()g x 的减区间为2(0,]x ，增区间为2(,)x +∞. ………....…...……6分 (Ⅱ)证明：由题意知ln 1(),1x f x x x=++ ………………..........................................7分∴()22ln 11()2ln 11x x f x x x x x --=---， …………….............................................…8分考虑函数21()2ln (0)x h x x x x-=->，则222222(1)(1)2()x x x h x x x x ---'=-=-………………...............................................9分所以x ≠1时，()0h x '＜，而(1)0h = ………………................................................10分故(0,1)x ∈时，21()0,01h x x -＞＞，可得ln ()1x f x x -＞，(1)x ∈+∞，时，21()0,01h x x -＜＜，可得ln ()1x f x x -＞，…………….................…...11分从而当0x ＞，且1x ≠时，ln ()1x f x x >-． ……………..................…12分请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.解：(Ⅰ)法一：由曲线C 的极坐标方程得24cos 0ρρθ-=，又cos ,sin ,x y ρθρθ== ∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，即22(2)4x y -+= ………....…1分 ∴曲线C 是圆心为C (2, 0)，半径为2的圆.∵直线l 过点P (−2,0)，当l 的斜率不存在时，l 的方程为x = -2与曲线C 没有公共点，…2分∴直线l 的斜率存在，设直线l ：(2)y k x =+，即20kx y k -+=. 直线l 与圆有公共点，则圆心C 到直线l 的距离2d =≤ ...........………3分解得k ≤≤ (4)分∵[0,)απ∈，∴α的取值范围是5[0,][,)66πππ (5)分法二：由曲线C 的极坐标方程得24cos 0ρρθ-=，又cos ,sin ,x y ρθρθ==∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=， …....................................................………1分∵直线l 经过点P (−2,0)，其倾斜角为α， ∴直线l 的参数方程为{2cos sin x t y t αα=-+=，，（t 为参数）， (2)分将{2cos sin x t y t αα=-+=，，代入2240x y x +-=整理得：28cos 120t t α-+=. (3)分∵直线l 与曲线C 有公共点，∴264cos 480α∆=-≥即cos α≥或cos α≤…....4分∵[0,)απ∈，∴α的取值范围是5[0,][,)66πππ. ....…….......................5分(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，故其参数方程为{22cos 2sin x y θθ=+=，，（θ为参数） . (7)分∵M (x,y )为曲线C 上任意一点，∴22cos 24sin()6x πθθθ=++=++ …........8分∵1sin()16πθ-≤+≤，∴224sin()66πθ-≤++≤，因此，x +的取值范围是[2,6]-. ………….........................10分法二：设x m =. …………..........................6分由(Ⅰ)知曲线C 即圆C :22(2)4x y -+=, 依题意, 圆C与直线0x m +-=有交点，…7分∴圆心C到直线0x m +-=的距离2d =≤， (9)分解得26m -≤≤,即x +的取值范围是[2,6]-. ……............................... .................……10分23. 解：(Ⅰ)当3x ≥时，()8f x =-，此时()2f x ≥无解； ….......................……………1分当53x -＜＜时，()22f x x =--，由()2f x ≥解得52x --＜≤；………….................……3分当5x -≤时，()8f x =，此时()2f x ≥恒成立. …………......................................……4分综上，不等式()2f x ≥的解集是{|2}x x ≤-. …………….....................................…5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知8,3,()22,53,8,5,x f x x x x -≥⎧⎪=---<<⎨≤-⎪⎩ (6)分易知函数()f x 的最大值M =8， ………………............................................7分若228x x m ++≤有解，得228m x x ≤--+有解. ………………............................................8分即2max (1)9]9m x ≤-++=[. …………….............................................…9分因此，m 的取值范围是9m ≤. ……………...........................................…10分。

2018届广东省茂名市高三上学期第一次综合测试数学文卷

绝密★启用前试卷类型：A2018年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（文科）2018.1本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，23小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5．考试结束后，请将答题卡上交.第一部分选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|−1＜x＜3}，B={−1, 0, 1, 2}，则A∩B=()A. {−1, 0, 1, 2}B. {x|−1＜x＜3}C. {0,1, 2}D. {−1, 0, 1}2．已知复数z满足z i=2+i，i是虚数单位，则|z|=()A.B.C. 2D.3．在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是()A. 14B. C.124．已知变量,x y满足约束条件2,4,1,yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则3z x y=+的最小值为()A. 11B. 12C. 8D. 35．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2+a 8=10，则S 9= ( ) A. 20 B.35 C. 45 D. 906．已知抛物线28y x =的准线与x 轴交于点D ,与双曲线221x y m-=交于A , B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△ADF 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是( )A.B.C.D.7．已知函数f (x )=sin(ωx +ϕ) (ω＞0, 0＜ϕ＜2π)，f (x 1)=1，f (x 2)=0，若|x 1–x 2|min =12，且f (12) =12，则f (x )的单调递增区间为( )A. 51[+2,+2],66k k k Z -∈B. 51[+2,+2],.66k k k Z -∈C. 51[+2,+2],66k k k Z ππ-∈D. 71[+2,+2],66k k k Z ∈8．函数||e ()3x f x x =的部分图象大致为( )9．《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯.A.24B.48C.12D.60 10．执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是( )A.2 018B. −1C.12D.211．右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF ⊥GC ；②BD 与GC 成异面直线且夹角为60︒；-1 1- 1 O-第10题图A B DE NCG F M第11题图③BD ∥MN ；④BG 与平面ABCD 所成的角为45︒. 其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.412．定义在R 上函数(2)y f x =+的图象关于直线x =−2对称，且函数(1)f x +是偶函数. 若当x∈[0,1]时，()sin 2f x x π=，则函数||()()x g x f x e -=-在区间[−2018,2018]上零点的个数为( )A. 2017B. 2018C. 4034D. 4036第二部分非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．已知(2,1),2(1,1),a a b =-=则•a b = ． 14．曲线ln(1)y x =+在点(1, ln2)处的切线方程为．15．从原点O 向圆C : 2212270x y y +-+=作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．16．如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC 中，AB， ∠ACB =60︒，∠BCD =90︒，AB ⊥CD ，CD=，则该球的体积为．三、解答题：本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题. 解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,且2cos 2c B b a ⋅-=. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）设角A 的平分线交BC 于D ，且ADbABC 的面积.DCBA第16题图18. （本小题满分12分）在四棱锥P −ABCD 中，AD ∥BC ，平面P AC ⊥平面ABCD ，AB =AD =DC=1， ∠ABC =∠DCB =60︒，E 是PC 上一点. （Ⅰ）证明：平面EAB ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若△P AC 是正三角形，且E 是PC 中点，求三棱锥A −EBC 的体积.19．（本小题满分 12 分）一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：经计算得：11266i i x x ===∑，11336i i y y ===∑，1()()557i i i x x y y =--=∑，621()84i i x x =-=∑，621()3930ii y y =-=∑，线性回归模型的残差平方和621ˆ()236.64=-=∑i i i y y，e 8.0605≈3167，其中x i , y i 分别为观测数据中的温度和产卵数，i =1, 2, 3, 4, 5, 6.(Ⅰ)若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆy=ˆb x +ˆa （精确到0.1）； (Ⅱ)若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程为ˆy=0.06e 0.2303x ，且相关指数BAPE DC第18题图R 2=0.9522.( i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用R 2说明哪种模型的拟合效果更好.( ii )用拟合效果好的模型预测温度为35︒C 时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.附：一组数据(x 1,y 1), (x 2,y 2), ...,(x n ,y n ), 其回归直线ˆy=ˆb x +ˆa 的斜率和截距的最小二乘估计为121()()ˆ,()nii i nii xx y y bxx ==--=-∑∑ˆa=y −ˆbx ；相关指数R 2=2121ˆ()1()nii i n ii yyyy ==---∑∑．20．（本小题满分 12 分）已知椭圆C 1以直线0mx y +=所过的定点为一个焦点，且短轴长为4. （Ⅰ）求椭圆C 1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C 2的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C 1的长轴和短轴的长的λ倍(λ＞1)，过点C (−1,0)的直线l 与椭圆C 2交于A ，B 两个不同的点，若2AC CB =，求△OAB 的面积取得最大值时直线l 的方程.21.（本小题满分 12 分）已知函数()ln 2a g x x x x =++(a ∈R ).（Ⅰ）讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）若11()[()2]1a f x g x x x x x =--++. 证明：当0x ＞，且1x ≠时，ln ()1x f x x >-．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P (−2,0)，其倾斜角为α，在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=．（Ⅰ）若直线l 与曲线C 有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M (x,y )为曲线C 上任意一点，求x +的取值范围．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|3||5|f x x x =--+．（Ⅰ）求不等式()2f x ≥的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最大值为M ，若不等式22x x m M ++≤有解，求m 的取值范围．绝密★启用前试卷类型：A2018年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）提示：2．【解析】2i12i iz +==-，|z ，故选D.3．【解析】在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数(1, 2, 3), (1, 2, 6), (1, 3, 6),(2, 3, 6)共4个，则数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1, 2, 3) 1个.因此，数字2是这三个不同数字的平均数的概率是14p =. 故选A. 4．【解析】由约束条件2,4,1,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，联立{2,4,y x y =+=，解得A (2, 2)，化目标函数z =3x +y 为y = −3x +z ，由图可知，当直线y = −3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为z =3×2+2=8．故选C.5．【解析】由等差数列的性质得，a 1+a 9=a 2+a 8=10，S 9=199()9104522a a +⨯==.故选C. 6．【解析】抛物线的准线方程为2x =-，准线与x 轴的交点为(2,0)D -，ADF ∆为等腰直角三角形，得||||4AD DF ==，故点A 的坐标为(2,4)-，由点A 在双曲线221x y m-=上，可得22(2)41m --=，解得417m =，即2417a =，所以221117c m =+=，故双曲线的离心率21214c e a ===.故选D. 7．【解析】：设f (x )的周期为T ，由f (x 1)=1，f (x 2)=0，|x 1 –x 2|min =12,得212422T T πωπ=⇒=⇒==, 由f (12) =12，得sin(12π +ϕ)=12，即cos ϕ=12，又0＜ϕ＜2π，∴ϕ =3π，f (x )=sin(πx 3π+).由+22k ππ-3x ππ≤++22k ππ≤，得51+2+2,66k x k k Z -≤≤∈.∴ f (x )的单调递增区间为51[+2,+2],.66k k k Z -∈故选B.8．【解析】由f (x )为奇函数，排除B ，(1)3e f =＜1，排除A. 当x ＞0时，e ()3xf x x=，2(1)e ()3xx f x x -'=，∴在区间(1,+∞)上f (x )单调递增，排除D ，故选C.9．【解析】由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列,设首项为a ,则41 OAx y -x +y =4y =2 x −y =14 2 z =3x +y7(21)38121a -=-,解之得a =3，则该塔中间一层灯盏数有3⨯23=24. 故选A. 10．【解析】依题意，执行如图所示的程序框图可知初始S ＝2，当k =0时，S 0＝−1，k =1时，S 1＝12，同理S 2＝2，S 3＝−1，S 4＝12，…，可见S n 的值周期为3.∴当k ＝2017时，S 2017＝S 1＝12，此时k ＝2018，退出循环. 输出S ＝12. 故选C.11．【解析】：将正方体纸盒展开图还原成正方体，①如图知AF 与GC异面垂直，故①正确；②显然BD 与GC 成异面直线,连接EB ，ED . 则BM ∥GC ，在等边△BDM 中，BD 与BM 所成的60︒角就是异面直线BD 与GC 所成的角，故②正确；③显然BD 与MN 异面垂直，故③错误；④显然GD ⊥平面ABCD ，所以在Rt △BDG 中，∠GBD 是 BG 与平面ABCD 所成的角，Rt △BDG 不是等腰直角三角形. 所以BG 与平面ABCD 所成的角不是为45 ︒，故④错误. 故选B. 12．【解析】函数||()()x g x f x e-=-在区间[−2018,2018]上零点的个数，就是函数()sin 2f x x π= 的图象与||x y e -=的图象交点个数. 由(2)y f x =+的图象关于直线x = −2对称，得()f x 是偶函数，即()()f x f x -=.又∵函数(1)f x +是偶函数，∴(1)(1)f x f x +=-+，故(2)()()f x f x f x +=-=，因此，()f x 是周期为2的偶函数.∵当x ∈[0,1]时，()sin 2f x x π=，作出()y f x =与y =上零点的个数为2018⨯2=4036. 故选D.第二部分非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．1 14. 212ln 20x y --+= 15. 12 16.提示：13．【解析】∵(2,1),2(1,1),a a b =-=∴2(1,1)(2,1)(1,1)(1,0)b a =-=-=，ABD M (E )NCGF∴1(,0)2b =，∴•101a b =+=.14．【解析】由所求切线斜率1111||12x x k y x =='===+，得曲线在点(1, ln2)处的切线方程为1ln 2(1)2y x -=-，即212ln 20x y --+=.15．【解析】把圆的方程化为标准方程为22(6)9x y +-=，得到圆心C 的坐标为(0, 6),圆的半径3r =,由圆切线的性质可知,∠CBO =∠CAO =90︒，且AC =BC =3，OC =6，则有∠ACB =∠ACO +∠BCO =60︒+60︒=120︒ 所以该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为12(写成1:2也对).16．【解析】以△ABC 所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为112=，依题意得CD ⊥平面ABC ，故球心到截面的距离为12CD.所以球的体积为343π=.三、解答题：本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解: (Ⅰ)法一：由已知及余弦定理得222222a c b c a b ac+-⨯=+，整理得222a b c ab +-=-. (2)分2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-， ………………3分又在△ABC 中，0＜C ＜π， ………………4分 ∴23C π=，即角C 的大小为23π. .………………5分法二：由已知及正弦定理得2sin cos sin 2sin C B B A ⋅-=，又在△ABC 中，sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C , . ......……2分 ∴2sin C cos B – sin B =2sin B cos C +2cos B sin C ，即2sin B cos C = – sin B ，又sin B ≠0， ………………3分 ∴1cos 2C =-，又0＜C ＜π， ………………4分∴23C π=，即角C 的大小为23π. .………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)23C π=，依题意得如图，在△ADC 中，AC =b，ADBADC由正弦定理得sinsin AC CCDAAD⋅∠===，.………………7分∵在△ADC中，0＜CDA∠＜π，C为钝角，........………....………8分∴4CDAπ∠=，故23412CADππππ∠=--=. .………………9分∵在△ABC中，AD是角A的平分线，∴6CABπ∠=, .……….……10分∴△ABC是等腰三角形，BC AC==.………………11分故△ABC的面积211sin232S BC ACπ=⋅=. .…………….…12分18.解：(Ⅰ)证明：依题意得四边形ABCD是底角为60︒的等腰梯形，………1分∴∠BAD=∠ADC=120︒. .…………........……2分∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=30︒，.……………….........3分∴∠BAC=∠BAD−∠DAC=120︒−30︒=90︒，即AB⊥AC.…...........…4分∵平面PAC⊥平面ABCD, 平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥平面PAC，..........................………………...5分又平面AB⊂平面EAB，∴平面EAB⊥平面PAC；..........................……………...6分(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60︒，AB=1，∴AC=AB∙tan60︒BC=2AB=2，且AB⊥平面PAC，.........……………7分∴AB是三棱锥B−EAC的高，正△PAC...……………8分∵E是PC的中点，∴S△EAC＝12S△PAC＝211sin6044AC AP⋅︒=⨯=. (10)分∴三棱锥A−EBC的体积为1113388A EBCB EAC EACV V S AB--∆==⋅== (12)分(Ⅱ)解法二：过P作PO⊥AC于点O，∵平面PAC⊥平面ABCD, 平面PAC∩平面ABCD=AC，∴PO⊥平面ABC，过E作EF⊥AC于点F，同理得EF⊥平面ABC，∴EF是三棱锥E−ABC的高，且PO∥EF，………7分又E是PC中点，∴EF是△POC的中位线，故12EF PO=.由(Ⅰ)及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60︒，AB=1，∴BC=2AB=2, AC=AB∙tan60︒即正△PAC………….........…8分OFBAPEDCBAPEDC∴PO =32, 故EF =34. ................................................................….........9分在Rt △ABC 中，S △ABC＝11122AB AC ⋅=⨯ ….........………….........…10分∴三棱锥A −EBC的体积为311334A EBC E ABC ABC V V S EF --∆==⋅=. ...................12分19.解：(Ⅰ)依题意，n =6，61621()()557ˆ 6.6,84()iii i i x x y y bx x ==--==≈-∑∑ ....……….……2分ˆa≈33−6.6⨯26=−138.6， ....…...................…………3分 ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆy=6.6x −138.6． ....……………4分 (Ⅱ) ( i )利用所给数据,621ˆ()236.64=-=∑iii y y,621()3930ii y y =-=∑得, 线性回归方程ˆy=6.6x −138.6 的相关指数R 2=621621ˆ()236.641110.06020.9398.3930()ii i ii yy yy ==--=--=-∑∑≈ .................….......6分∵0.9398＜0.9522， ...................................….......…………7分因此，回归方程ˆy=0.06e 0.2303x 比线性回归方程ˆy =6.6x −138.6拟合效果更好. ....……..……8分( ii )由( i )得温度x =35︒C 时，ˆy=0.06e 0.2303⨯35=0.06⨯e 8.0605. ....……..……..…9分又∵e 8.0605≈3167， .............................……….....……10分∴ˆy≈0.06⨯3167≈190（个）. ..............................………...……11分所以当温度x =35︒C 时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. ....……….......……12分 20.解：(Ⅰ)所给直线方程变形为y mx =-+ …......……………1分可知直线所过定点为. ...............………2分∴椭圆焦点在y 轴, 且c，依题意可知b =2，∴a 2=c 2+b 2=9. ……………3分椭圆C 1的方程标准为22194y x +=. ………………4分 (Ⅱ)依题意，设椭圆C 2的方程为2222194y x λλ+=，A (x 1,y 1), B (x 2,y 2)，………………6分 ∵λ＞1，∴点C (-1, 0)在椭圆内部，直线l 与椭圆必有两个不同的交点. 当直线l 垂直于x 轴时，AC CB =(不是零向量)，不合条件；故设直线l 为y =k (x +1) (A ，B ，O 三点不共线，故k ≠0), ……………..…7分由{222(1)4936y k x y x λ=++=，，得222918(4)9360y y k kλ+-+-=. 由韦达定理得1221894ky y k +=+. ………………8分∵2AC CB =，而点C (−1, 0)，∴(-1-x 1, -y 1)=2(x 2+1, y 2)，∴y 1= -2y 2， ………………..…9分即y 1+y 2= -y 2 故221894ky k-=+. ………………10分∴△OAB 的面积为OAB AOC BOC S S S ∆∆∆=+12121111||1||||222y y y y =⨯⨯+⨯⨯=-23||2y ==218||3294||k k ⨯+2794||||k k =+94≤=. .......................……11分上式取等号的条件是29||=4k ，即k =±32时，△OAB 的面积取得最大值94.所以直线的方程为3(1)2y x =+或3(1)2y x =-+. ………………12分21. (Ⅰ)解：由已知得()g x 的定义域为(0, +∞)，22221()2a x x a g x x x x +-'=+-=. (1)分方程220x x a +-=的判别式18a ∆=+. …………....…......…2分①当18a ≤-时，△≤0，()0g x '≥，此时,()g x 在(0, +∞)上为增函数； (3)分②当18a -＞时，设方程220x x a +-=的两根为12x x ==，若108a -<≤, 则120x x <≤, 此时, ()0g x '＞, ()g x 在(0, +∞)上为增函数； (4)分若a ＞0，则x 1＜0＜x 2，此时, g (x )在(0, x 2]上为减函数，在(x 2, +∞)上为增函数，…..……5分综上所述：当0a ≤时，()g x 的增区间为(0, +∞)，无减区间；当0a ＞时，()g x 的减区间为2(0,]x ，增区间为2(,)x +∞. ………....…...……6分 (Ⅱ)证明：由题意知ln 1(),1x f x x x=++ ………………..........................................7分∴()22ln 11()2ln 11x x f x x x x x --=---， …………….............................................…8分考虑函数21()2ln (0)x h x x x x-=->，则222222(1)(1)2()x x x h x x x x ---'=-=-………………...............................................9分所以x ≠1时，()0h x '＜，而(1)0h = ………………................................................10分故(0,1)x ∈时，21()0,01h x x -＞＞，可得ln ()1x f x x -＞，(1)x ∈+∞，时，21()0,01h x x -＜＜，可得ln ()1x f x x -＞，…………….................…...11分从而当0x ＞，且1x ≠时，ln ()1x f x x >-． ……………..................…12分请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.解：(Ⅰ)法一：由曲线C 的极坐标方程得24cos 0ρρθ-=，又cos ,sin ,x y ρθρθ== ∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，即22(2)4x y -+= ………....…1分 ∴曲线C 是圆心为C (2, 0)，半径为2的圆.∵直线l 过点P (−2,0)，当l 的斜率不存在时，l 的方程为x = -2与曲线C 没有公共点，…2分∴直线l 的斜率存在，设直线l ：(2)y k x =+，即20kx y k -+=. 直线l 与圆有公共点，则圆心C 到直线l 的距离2d =≤ ......………3分解得k ≤≤….....………4分∵[0,)απ∈，∴α的取值范围是5[0,][,)66πππ ..............…………5分法二：由曲线C 的极坐标方程得24cos 0ρρθ-=，又cos ,sin ,x y ρθρθ== ∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=， …............................................………1分 ∵直线l 经过点P (−2,0)，其倾斜角为α， ∴直线l 的参数方程为{2cos sin x t y t αα=-+=，，（t 为参数）， …….............................……2分将{2cos sin x t y t αα=-+=，，代入2240x y x +-=整理得：28cos 120t t α-+=. .......….………3分∵直线l 与曲线C 有公共点，∴264cos 480α∆=-≥即cos α≥或cos α≤…....4分∵[0,)απ∈，∴α的取值范围是5[0,][,)66πππ. ....…….......................5分 (Ⅱ)法一：由(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，故其参数方程为{22cos 2sin x y θθ=+=，，（θ为参数） . ….............…7分∵M (x,y )为曲线C 上任意一点，∴22cos 24sin()6x πθθθ=++=++ …........8分∵1sin()16πθ-≤+≤，∴224sin()66πθ-≤++≤，因此，x +的取值范围是[2,6]-.………….........................10分法二：设x m =. ………….................6分由(Ⅰ)知曲线C 即圆C :22(2)4x y -+=, 依题意, 圆C 与直线0x m -=有交点，…7分∴圆心C 到直线0x m -=的距离2d =≤， ......................……9分解得26m -≤≤, 即x 的取值范围是[2,6]-. ……............................... .................……10分23. 解：(Ⅰ)当3x ≥时，()8f x =-，此时()2f x ≥无解； ….....................………1分当53x -＜＜时，()22f x x =--，由()2f x ≥解得52x --＜≤；………….......……3分当5x -≤时，()8f x =，此时()2f x ≥恒成立. …………........................……4分综上，不等式()2f x ≥的解集是{|2}x x ≤-. …………….........................…5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知8,3,()22,53,8,5,x f x x x x -≥⎧⎪=---<<⎨≤-⎪⎩ ………………..............................6分易知函数()f x 的最大值M =8， ………………........................................7分若228x x m ++≤有解，得228m x x ≤--+有解. ………………...................................8分即2max (1)9]9m x ≤-++=[. …………….....................................…9分因此，m 的取值范围是9m ≤. ……………...........................................…10分。

2018年广东省高考数学一模试卷(文科)

2018年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z满足(1+i)z=1，则复数z的虚部为（）A.1 2iB.12C.−12i D.−122. 已知集合A={x|x>0}，B={x|x2<1}，则A∪B=()A.(0, +∞)B.(0, 1)C.(−1, +∞)D.(−1, 0)3. “常数m是2与8的等比中项”是“m=4”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A.3 20B.3π25C.325D.π205. 已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为( )A.2√2B.√3C.√5D.26. 等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x+2)，…的第四项等于（）A.3B.4C.log318D.log3247. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）)，则下列结论正确的是（）8. 已知曲线C:y=sin(2x−π3A.把C向左平移5π个单位长度，得到的曲线关于原点对称12B.把C向右平移π个单位长度，得到的曲线关于y轴对称12C.把C向左平移π个单位长度，得到的曲线关于原点对称3D.把C向右平移π个单位长度，得到的曲线关于y轴对称69. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A.n是偶数，n≥100B.n是奇数，n≥100C.n是偶数，n>100D.n是奇数，n>10010. 已知函数f(x)在其定义域上单调递减，则函数f(x)的图象可能是（）eA.C.D.11. 已知抛物线C:y 2＝x ，M 为x 轴负半轴上的动点，MA ，MB 为抛物线的切线，A ，B 分别为切点，则MA →⋅MB →的最小值为（）A.−14B.−18C.−116D.−1212. 设函数f(x)={|2x −1|,x ≤2−x +5,x >2，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a +2b +2c 的取值范围是（）A.(16, 32)B.(18, 34)C.(17, 35)D.(6, 7)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）已知单位向量e 1→，e 2→的夹角为30∘，则|e 1→−√3e 2→|=________．设x ，y 满足约束条件{x −y ≤64x +5y ≤65x +4y ≥3，则z =x +y 的最大值为________．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =32n 2+12n ，则a 5=________．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE ，△BCF ，△CDG ，△ADH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2+c2=a(√33bc+a)．（1）证明：a=2√3cosA；（2）若A=π3,B=π6，求△ABC的面积．“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在3001∼6000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率．如图，在直角梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；（2）若BD⊥EC，求点F到平面ABCD的距离．已知椭圆C:x2a +y2b=1(a>b>0)的离心率为√32，且C过点(1,√32)．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值．已知函数f(x)=e x−x2−ax．(1)证明：当a≤2−2ln2时，函数f(x)在R上是单调函数；(2)当x>0时，f(x)≥1−x恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C1：(x−2)2+(y−4)2=20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2:θ=π3(ρ∈R)．(1)求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=3|x−a|+|3x+1|，g(x)=|4x−1|−|x+2|．（1）求不等式g(x)<6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f(x1)和g(x2)互为相反数，求a的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由(1+i)z=1，得z=11+i=1−i(1+i)(1−i)=12−12i，则复数z的虚部为−12．2.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】先求出集合A，B，由此能求出A∪B．【解答】∵集合A={x|x>0}，B={x|x2<1}={x|−1<x<1}，∴A∪B={x|x>−1}=(−1, +∞)．3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用等比中项公式求解．【解答】∵m是两个正数2和8的等比中项，∴m=±√2×8=±4．故m=±4是m=4的必要不充分条件，4.【答案】A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可．【解答】解：根据题意可得，黑色部分的面积为S1=π(42−1)=15π，圆靶的面积为S=102π=100π，由题意此点取自黑色部分的概率是：P=15π100π=320.故选A.5.【答案】C【考点】双曲线的离心率双曲线的特性【解析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a，进而可得c=√a2+b2=√5a，由双曲线的离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b=2a，则c=√a2+b2=√5a，则双曲线C的离心率e=ca=√5.故选C.6.【答案】A【考点】等差数列的通项公式【解析】由等差数列的性质得log3(2x)+log3(4x+2)=2log3(3x)，求出x=4，等差数列的前三项分别是log38，log312，log318，由此能求出第四项．【解答】∵等差数列log3(2x)，log3(3x)，log3(4x+2)，…，∴log3(2x)+log3(4x+2)=2log3(3x)，∴x(x−4)=0，又2x>0，∴x=4，∴等差数列的前三项分别是log38，log312，log318，d=log312−log38=log332，∴第四项为log318+log332=log327=3．7.B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积．【解答】由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，∴ 表面积为：4×6×2+2(4×6−4π)+2×2π×4=96+8π，8.【答案】B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案．【解答】把C 向左平移5π12个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x +5π12)−π3]=sin(2x +π2)=cos2x ，得到的曲线关于y 轴对称，故A 错误；把C 向右平移π12个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x −π12)−π3]=sin(2x −π2)=−cos2x ，得到的曲线关于y 轴对称，故B 正确；把C 向左平移π3个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x +π3)−π3]=sin(2x +π3)，取x =0，得y =√32，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故C 错误；把C 向右平移π6个单位长度，可得函数解析式为y =sin[2(x −π6)−π3]=sin(2x −23π)，取x =0，得y =−√32，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y 轴对称，故D 错误． ∴ 正确的结论是B ．9.【答案】D【考点】程序框图【解析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可．【解答】n =1，s =0，n=3，s=4，…，n=99，s=992−12，n=100，s=10022，n=101>100，结束循环，10.【答案】A【考点】函数的图象变化【解析】由题意可得[f(x)e ]′=f′(x)−f(x)e≤0，但不恒等于0，结合选项即可得到所求图象．【解答】函数f(x)e x在其定义域R上单调递减，可得[f(x)e ]′=f′(x)−f(x)e≤0，但不恒等于0，即f(x)≥f′(x)恒成立，对于A，f(x)>0恒成立，且f′(x)≤0，则f(x)≥f′(x)恒成立；对于B，由f(x)与x轴的交点设为(m, 0)，(m>0)，可得f(m)=0，f′(m)>0，f(x)≥f′(x)不成立；对于C，可令f(x)=t(t<0)，f′(x)=0，f(x)≥f′(x)不成立；对于D，f(x)在x>0时的极小值点设为n，则f(n)<0，f′(n)=0，f(x)≥f′(x)不成立．则A可能成立，11.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设切线MA的方程为x＝ty+m，代入抛物线方程得y2−ty−m＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t2+4m＝0，分别求出A，B，M的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】设切线MA的方程为x＝ty+m，代入抛物线方程得y2−ty−m＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t2+4m＝0，则A(t24, t2)，B(t24, −t2)，∴ M(−t 24, 0)， ∴ MA →⋅MB →=(t 22, t 2)⋅(t 22, −t 2)=t 44−t 24=14(t 2−12)2−116，则当t 2=12，即t ＝±√22时，MA →⋅MB →的最小值为−116 12.【答案】B【考点】分段函数的应用【解析】不妨设a <b <c ，利用f(a)＝f(b)＝f(c)，结合图象可得a ，b ，c 的范围，即可1求出【解答】互不相等的实数a ，b ，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，可得a ∈(−∞, 0)，b ∈(0, 1)，c ∈(4, 5)，则0<2a <1，0<2b <1，16<2c <32，2a +2b +2c ∈(18, 34)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】1【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】根据单位向量e 1→,e 2→的夹角为30∘即可求出e 1→∗e 2→的值，从而可求出(e 1→−√3e 2→)2的值，进而得出|e 1→−√3e 2→|的值．【解答】单位向量e 1→,e 2→的夹角为30∘；∴ e 1→∗e 2→=cos30∘=√32，e 1→2=e 2→2=1； ∴ (e 1→−√3e 2→)2=e 1→2−2√3e 1→∗e 2→+3e 2→2=1−2√3×√32+3=1； ∴ |e 1→−√3e 2→|=1．【答案】2【考点】简单线性规划【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．【解答】x ，y 满足约束条件{x −y ≤64x +5y ≤65x +4y ≥3的可行域如图，则z =x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最大值，由{x −y =64x +5y =6解得A(4, −2)，【答案】14【考点】等差数列的前n项和【解析】利用a5=S5−S4即可得出．【解答】a5=S5−S4=32×52+12×5−(32×42+12×4)=14，【答案】500√3π27【考点】球的体积和表面积【解析】根据题意，设正方形ABCD的边长为x，E，F，G，H重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，即可求解x，从而求解四棱锥的外接球的体积．【解答】连接OE交AB与I，E，F，G，H重合为P，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD的边长为x．则OI=x2，IE=6−x2．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得4∗x2(6−x2)=2x2，解得：x=4．设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=2√2，OP=√42−22=2√3，R2= (2√3−R)2+(2√2)2．∴R=√3该四棱锥的外接球的体积V=43πR3=500√3π27．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b2+c2=a(√33bc+a)，则：b2+c2=√33abc+a2，整理得：b2+c2−a2=√33abc，由于：b2+c2−a2=2bccosA，则：2bccosA=√33abc，即：a=2√3cosA．由于：A=π3，所以：a=2√3cosA=√3．由正弦定理得：asinA =bsinB，解得：b=1．C=π−A−B=π2，所以：S△ABC=12absinC=√32．【考点】三角形求面积【解析】（1）直接利用已知条件和余弦定理求出结论．（2）利用（1）的结论，进一步利用正弦定理求出结果．【解答】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b2+c2=a(√33bc+a)，则：b2+c2=√33abc+a2，整理得：b2+c2−a2=√33abc，由于：b2+c2−a2=2bccosA，则：2bccosA=√33abc，即：a=2√3cosA．由于：A=π3，所以：a=2√3cosA=√3．由正弦定理得：asinA =bsinB，解得：b=1．C=π−A−B=π2，所以：S△ABC=12absinC=√32．【答案】根据题意，由频率分布表分析可得：则K2=50×(20×10−10×10)230×20×30×20≈1.389<2.706，则没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；根据题意，设步行数在3001∼6000的男性为1、2，女性为a、b、c，从中任选3人的选法有(1, 2, a)，(1, 2, b)，(1, 2, c)，(1, a, b)，(1, a, c)，(1, b, c)，(2, a, b)，(2, a, c)，(2, b, c)，(a, b, c)；共10种情况，其中男性人数超过女性人数的情况有：(1, 2, a)，(1, 2, b)，(1, 2, c)，共3种，则选中的人中男性人数超过女性人数的概率P=310．【考点】独立性检验【解析】（1）根据题意，由频率分布表分析可得2×2列联表，由独立性检验计算公式计算K2的值，结合独立性检验的意义可得答案；（2）根据题意，设步行数在3001∼6000的男性为1、2，女性为a、b、c，由列举法分析可得从中任选3人和男性人数超过女性人数的情况数目，由古典概型计算公式计算可得答案．【解答】根据题意，由频率分布表分析可得：则K2=50×(20×10−10×10)230×20×30×20≈1.389<2.706，则没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；根据题意，设步行数在3001∼6000的男性为1、2，女性为a、b、c，从中任选3人的选法有(1, 2, a)，(1, 2, b)，(1, 2, c)，(1, a, b)，(1, a, c)，(1, b, c)，(2, a, b)，(2, a, c)，(2, b, c)，(a, b, c)；共10种情况，其中男性人数超过女性人数的情况有：(1, 2, a)，(1, 2, b)，(1, 2, c)，共3种，则选中的人中男性人数超过女性人数的概率P=310．【答案】∵在直角梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，∴EF // AD，∴AE⊥EF，又AE⊥CF，且EF∩CF=F，∴AE⊥平面EBCF，∵AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面EBCF．如图，过点D作DG // AE，交EF于点G，连结BG，则DG⊥平面EBCF，DG⊥EC，又BD⊥EC，BD∩DG=D，∴EC⊥平面BDG，EC⊥BG，由题意△EGB∽△BEC，∴EGEB =EBBC，∴EB=√BC∗EG=√4×2=2√2，设点F到平面ABCD的距离为ℎ，∵V F−ABC=V A−BCF，∴S△ABC⋅ℎ=S△BCF⋅AE，AB=4，S△ABC=12×4×4=8，又BC⊥AE，BC⊥EB，AE∩EB=E，∴BC⊥平面AEB，故AB⊥BC，∵S△BCF=12×4×2√2=4√2，AE=EB=2√2，∴ℎ=4√2×2√28=2，∴点F到平面ABCD的距离为2．【考点】平面与平面垂直点、线、面间的距离计算【解析】（1）推导出EF // AD，AE⊥EF，AE⊥CF，从而AE⊥平面EBCF，由此能证明平面AEFD⊥平面EBCF．（2）过点D作DG // AE，交EF于点G，连结BG，则DG⊥平面EBCF，DG⊥EC，设点F到平面ABCD的距离为ℎ，由V F−ABC=V A−BCF，能求出点F到平面ABCD的距离．【解答】∵在直角梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，∴EF // AD，∴AE⊥EF，又AE⊥CF，且EF∩CF=F，∴AE⊥平面EBCF，∵AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面EBCF．如图，过点D作DG // AE，交EF于点G，连结BG，则DG⊥平面EBCF，DG⊥EC，又BD⊥EC，BD∩DG=D，∴EC⊥平面BDG，EC⊥BG，由题意△EGB∽△BEC，∴EGEB =EBBC，∴EB=√BC∗EG=√4×2=2√2，设点F到平面ABCD的距离为ℎ，∵V F−ABC=V A−BCF，∴S△ABC⋅ℎ=S△BCF⋅AE，AB=4，S△ABC=12×4×4=8，又BC⊥AE，BC⊥EB，AE∩EB=E，∴BC⊥平面AEB，故AB⊥BC，∵S△BCF=12×4×2√2=4√2，AE=EB=2√2，∴ℎ=4√2×2√28=2，∴点F到平面ABCD的距离为2．【答案】由题意可得{ca =√321 a2+34b2=1a2=b2+c2，解得a =2，b =1，c =√3，故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1，证明：：设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)．由题意可设直线l 的方程为：y =kx +t(t ≠0)．联立{y =kx +tx 2+4y 2=4，化为(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−4=0．△=64k 2t 2−4(4t 2−4)(1+4k 2)>0，化为1+4k 2>t 2． ∴ x 1+x 2=−8kt 1+4k 2，x 1x 2=4t 2−41+4k 2，∴ y 1y 2=(kx 1+t)(kx 2+t)=k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2， ∵ 直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，∴ y 1x 1⋅y2x 2=k 2，即k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2=kx 1x 2， ∴−8k 2t 21+4k 2+t 2=0，∵ t ≠0， ∴ 4k 2=1，结合图形可知k =−12， ∴ 直线l 的斜率为定值为−12．【考点】椭圆的离心率【解析】（1）由题意可得{ c a =√321a +34b =1a 2=b 2+c 2，解得即可；（2）设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)．由题意可设直线l 的方程为：y =kx +t(t ≠0)．与椭圆的方程联立可得(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−4=0．由△>0，可得1+4k 2>t 2．得到根与系数的关系．可得y 1x 1⋅y2x 2=k 2，直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，化为4k 2=1，即可证明【解答】由题意可得{ ca =√321a 2+34b 2=1a 2=b 2+c 2 ，解得a =2，b =1，c =√3，故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1，证明：：设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)．由题意可设直线l 的方程为：y =kx +t(t ≠0)．联立{y =kx +tx 2+4y 2=4，化为(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−4=0．△=64k 2t 2−4(4t 2−4)(1+4k 2)>0，化为1+4k 2>t 2． ∴ x 1+x 2=−8kt 1+4k 2，x 1x 2=4t 2−41+4k 2，∴ y 1y 2=(kx 1+t)(kx 2+t)=k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2， ∵ 直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，∴ y 1x 1⋅y2x 2=k 2，即k 2x 1x 2+kt(x 1+x 2)+t 2=kx 1x 2， ∴−8k 2t 21+4k 2+t 2=0，∵ t ≠0， ∴ 4k 2=1，结合图形可知k =−12， ∴ 直线l 的斜率为定值为−12．【答案】(1)证明：f′(x)=e x −2x −a ，令g(x)=e x −2x −a ，则g′(x)=e x −2，则当x ∈(−∞, ln2)时，g′(x)<0， x ∈(ln2, +∞)时，g′(x)>0，故函数g(x)在x =ln2时取最小值g(ln2)=2−2ln2−a ，当a ≤2−2ln2时，g(x)≥0.故f′(x)≥0，即函数f(x)在R 上单调递增； (2)解：当x >0时，e x −x 2−ax ≥1−x ，即a ≤e x x−x −1x +1，令ℎ(x)=e x x−x −1x +1(x >0)，则ℎ′(x)=(x−1)(e x −x−1)x 2，令φ(x)=e x −x −1，(x >0)，则φ′(x)=e x −1>0，x ∈(0, +∞)时，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)=0， x ∈(0, 1)时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)单调递减， x ∈(1, +∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)单调递增，故ℎ(x)min =ℎ(1)=e −1，故a ∈(−∞, e −1]．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，从而证明结论；（2）问题转化为a≤e xx −x−1x+1，令ℎ(x)=e xx−x−1x+1(x>0)，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最小值，从而求出a的范围．【解答】(1)证明：f′(x)=e x−2x−a，令g(x)=e x−2x−a，则g′(x)=e x−2，则当x∈(−∞, ln2)时，g′(x)<0，x∈(ln2, +∞)时，g′(x)>0，故函数g(x)在x=ln2时取最小值g(ln2)=2−2ln2−a，当a≤2−2ln2时，g(x)≥0.故f′(x)≥0，即函数f(x)在R上单调递增；(2)解：当x>0时，e x−x2−ax≥1−x，即a≤e xx −x−1x+1，令ℎ(x)=e xx −x−1x+1(x>0)，则ℎ′(x)=(x−1)(e x−x−1)x2，令φ(x)=e x−x−1，(x>0)，则φ′(x)=e x−1>0，x∈(0, +∞)时，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)=0，x∈(0, 1)时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)单调递减，x∈(1, +∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)单调递增，故ℎ(x)min=ℎ(1)=e−1，故a∈(−∞, e−1]．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】解：(1)∵圆C1的普通方程为x2+y2−4x−8y=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0，故C1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ，C2的平面直角坐标系方程是y=√3x；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ，得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S△OMN=12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3．【考点】直线的极坐标方程圆的极坐标方程极坐标刻画点的位置【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ 圆C 1的普通方程为x 2+y 2−4x −8y =0，把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入方程得ρ2−4ρcosθ−8ρsinθ=0，故C 1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ， C 2的平面直角坐标系方程是y =√3x ；(2)分别将θ=π3，θ=π6代入ρ=4cosθ+8sinθ，得ρ1=2+4√3，ρ2=4+2√3，S △OMN =12×(2+4√3)×(4+2√3)×sin(π3−π6)=8+5√3．[选修4-5：不等式选讲] 【答案】g(x)=|4x −1|−|x +2|．g(x)={−3x +3,x ≤2−5x −1,2<x <14−3x −3,x ≥14，不等式g(x)<6，x ≤−2时，4x −1−x −2<6，解得：x >−1，不等式无解； −2<x <14时，1−4x −x −2<6，解得：−75<x <14，x ≥14时，4x −1−x −2<6，解得：3>x ≥14，综上，不等式的解集是(−75, 3)；因为存在x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f(x 1)=−g(x 2)成立，所以{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，又f(x)=3|x −a|+|3x +1|≥|(3x −3a)−(3x +1)|=|3a +1|，故g(x)的最小值是−94，可知−g(x)max =94，所以|3a +1|≤94，解得−1312≤a ≤512，所以实数a 的取值范围为[−1312, 512]．【考点】函数与方程的综合运用绝对值不等式的解法与证明绝对值三角不等式【解析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为{y|y =f(x), x ∈R}∩{y|y =−g(x), x ∈R}≠⌀，求出f(x)的最小值和g(x)的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】g(x)=|4x −1|−|x +2|．g(x)={−3x +3,x ≤2−5x −1,2<x <14−3x −3,x ≥14 ，不等式g(x)<6，x≤−2时，4x−1−x−2<6，解得：x>−1，不等式无解；−2<x<14时，1−4x−x−2<6，解得：−75<x<14，x≥14时，4x−1−x−2<6，解得：3>x≥14，综上，不等式的解集是(−75, 3)；因为存在x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)=−g(x2)成立，所以{y|y=f(x), x∈R}∩{y|y=−g(x), x∈R}≠⌀，又f(x)=3|x−a|+|3x+1|≥|(3x−3a)−(3x+1)|=|3a+1|，故g(x)的最小值是−94，可知−g(x)max=94，所以|3a+1|≤94，解得−1312≤a≤512，所以实数a的取值范围为[−1312, 512]．。

2018年广东省高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2018年广东省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝1，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．2．（5分）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x2＜1}，则A∪B＝（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，0）3．（5分）“常数m是2与8的等比中项”是“m＝4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F 到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．26．（5分）等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x+2），…的第四项等于（）A．3B．4C．log318D．log3247．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π8．（5分）已知曲线，则下列结论正确的是（）A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称9．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A．n是偶数，n≥100B．n是奇数，n≥100C．n是偶数，n＞100D．n是奇数，n＞10010．（5分）已知函数在其定义域上单调递减，则函数f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2＝x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（18，34）C．（17，35）D．（6，7）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|＝．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a5＝．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH 分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）证明：；（2）若，求△ABC的面积．18．（12分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在3001～6000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，且BC ＝2AD ＝4，E ，F 分别为线段AB ，DC 的中点，沿EF 把AEFD 折起，使AE ⊥CF ，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD ⊥平面EBCF ；（2）若BD ⊥EC ，求点F 到平面ABCD 的距离．20．（12分）已知椭圆的离心率为，且C过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax．（1）证明：当a≤2﹣2ln2时，函数f（x）在R上是单调函数；（2）当x＞0时，f（x）≥1﹣x恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ＝．（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）＝|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．2018年广东省高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝1，则复数z的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：由（1+i）z＝1，得，则复数z的虚部为．故选：D．2．（5分）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x2＜1}，则A∪B＝（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣1，0）【解答】解：∵集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|x＞﹣1}＝（﹣1，+∞）．故选：C．3．（5分）“常数m是2与8的等比中项”是“m＝4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵m是两个正数2和8的等比中项，∴m＝±＝±4．故m＝±4是m＝4的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意此点取自黑色部分的概率是：P＝＝，故选：A．5．（5分）已知F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F 到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（）A．2B．C．D．2【解答】解：根据题意，F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b＝2a，则c＝＝a，则双曲线C的离心率e＝＝，故选：C．6．（5分）等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x+2），…的第四项等于（）A．3B．4C．log318D．log324【解答】解：∵等差数列log3（2x），log3（3x），log3（4x+2），…，∴log3（2x）+log3（4x+2）＝2log3（3x），∴x（x﹣4）＝0，又2x＞0，∴x＝4，∴等差数列的前三项分别是log38，log312，log318，d＝log312﹣log38＝，∴第四项为＝log327＝3．故选：A．7．（5分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．48+8πB．96+8πC．96+16πD．48+16π【解答】解：由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱，∴表面积为：4×6×2+2（4×6﹣4π）+2×2π×4＝96+8π，故选：B．8．（5分）已知曲线，则下列结论正确的是（）A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称【解答】解：把C向左平移个单位长度，可得函数解析式为y＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x+）＝cos2x，得到的曲线关于y轴对称，故A错误；把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y＝sin[2（x﹣）﹣]＝sin（2x﹣）＝﹣cos2x，得到的曲线关于y轴对称，故B正确；把C向左平移个单位长度，可得函数解析式为y＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x+），取x＝0，得y＝，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故C错误；把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y＝sin[2（x﹣）﹣]＝sin （2x﹣），取x＝0，得y＝﹣，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故D 错误．∴正确的结论是B．故选：B．9．（5分）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（）A．n是偶数，n≥100B．n是奇数，n≥100C．n是偶数，n＞100D．n是奇数，n＞100【解答】解：n＝1，s＝0，n＝2，s＝2，n＝3，s＝4，…，n＝99，s＝，n＝100，s＝，n＝101＞100，结束循环，故选：D．10．（5分）已知函数在其定义域上单调递减，则函数f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：函数在其定义域R上单调递减，可得[]′＝≤0，但不恒等于0，即f（x）≥f′（x）恒成立，对于A，f（x）＞0恒成立，且f′（x）≤0，则f（x）≥f′（x）恒成立；对于B，由f（x）与x轴的交点设为（m，0），（m＞0），可得f（m）＝0，f′（m）＞0，f（x）≥f′（x）不成立；对于C，可令f（x）＝t（t＜0），f′（x）＝0，f（x）≥f′（x）不成立；对于D，f（x）在x＞0时的极小值点设为n，则f（n）＜0，f′（n）＝0，f（x）≥f′（x）不成立．则A可能成立，故选：A．11．（5分）已知抛物线C：y2＝x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：设切线MA的方程为x＝ty+m，代入抛物线方程得y2﹣ty﹣m＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t2+4m＝0，则A（，），B（，﹣），将点A的坐标代入x＝ty+m，得m＝﹣，∴M（﹣，0），∴＝（，）•（，﹣）＝﹣＝（t2﹣）2﹣，则当t2＝，即t＝±时，的最小值为﹣故选：C．12．（5分）设函数，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（18，34）C．（17，35）D．（6，7）【解答】解：互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），可得a∈（﹣∞，﹣1），b∈（﹣1，0），c∈（4，5），对应的函数值接近1时，函数趋向最小值：1+1+24＝18，当函数值趋向0时，表达式趋向最大值：1+1+25＝34．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知单位向量，的夹角为30°，则|﹣|＝1．【解答】解：单位向量的夹角为30°；∴，；∴＝；∴．故答案为：1．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为2．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图，则z＝x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由解得A（4，﹣2），所以z＝x+y的最大值为：2．故答案为：2．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则a5＝14．【解答】解：a5＝S5﹣S4＝﹣＝14，故答案为：14．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH 分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为．【解答】解：连接OE交AB与I，E，F，G，H重合为P，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD的边长为x．则OI＝，IE＝6﹣．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得，解得：x＝4．设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC＝，OP＝，．∴．该四棱锥的外接球的体积V＝．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）证明：；（2）若，求△ABC的面积．【解答】证明：（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则：，整理得：，由于：b2+c2﹣a2＝2bc cos A，则：2bc cos A＝，即：a＝2cos A．解：（2）由于：A ＝，所以：．由正弦定理得：，解得：b＝1．C ＝，所以：．18．（12分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”．（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；附：（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数在3001～6000的人群中再随机抽取3人，求选中的人中男性人数超过女性人数的概率．【解答】解：（1）根据题意，由频率分布表分析可得：则K2＝≈1.389＜2.706，则没有90%的把握认为“评定类型与性别有关”；（2）根据题意，设步行数在3001～6000的男性为1、2，女性为a、b、c，从中任选3人的选法有（1，2，a），（1，2，b），（1，2，c），（1，a，b），（1，a，c），（1，b，c），（2，a，b），（2，a，c），（2，b，c），（a，b，c）；共10种情况，其中男性人数超过女性人数的情况有：（1，2，a），（1，2，b），（1，2，c），共3种，则选中的人中男性人数超过女性人数的概率P＝．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC＝2AD＝4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形．（1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF；（2）若BD⊥EC，求点F到平面ABCD的距离．【解答】证明：（1）∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC＝2AD ＝4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，∴EF∥AD，∴AE⊥EF，又AE⊥CF，且EF∩CF＝F，∴AE⊥平面EBCF，∵AE⊂平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面EBCF．解：（2）如图，过点D作DG∥AE，交EF于点G，连结BG，则DG⊥平面EBCF，DG⊥EC，又BD⊥EC，BD∩DG＝D，∴EC⊥平面BDG，EC⊥BG，由题意△EGB∽△BEC，∴，∴EB＝＝＝2，设点F到平面ABCD的距离为h，∵V F﹣ABC ＝V A﹣BCF，∴S△ABC•h＝S△BCF•AE，AB＝4，＝8，又BC⊥AE，BC⊥EB，AE∩EB＝E，∴BC⊥平面AEB，故AB⊥BC，∵＝4，AE＝EB＝2，∴h＝＝2，∴点F到平面ABCD的距离为2．20．（12分）已知椭圆的离心率为，且C过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值．【解答】解：（1）由题意可得，解得a＝2，b＝1，c＝，故椭圆C的方程为+y2＝1，证明：（2）：设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y＝kx+t（t≠0）．联立，化为（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0．△＝64k2t2﹣4（4t2﹣4）（1+4k2）＞0，化为1+4k2＞t2．∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴y1y2＝（kx1+t）（kx2+t）＝k2x1x2+kt（x1+x2）+t2，∵直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，∴•＝k2，即k2x1x2+kt（x1+x2）+t2＝kx1x2，∴+t2＝0，∵t≠0，∴4k2＝1，结合图形可知k＝﹣，∴直线l的斜率为定值为﹣．21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax．（1）证明：当a≤2﹣2ln2时，函数f（x）在R上是单调函数；（2）当x＞0时，f（x）≥1﹣x恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）＝e x﹣2x﹣a，令g（x）＝e x﹣2x﹣a，则g′（x）＝e x﹣2，则x∈（﹣∞，ln2]时，g′（x）＜0，x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0，故函数g（x）在x＝ln2时取最小值g（ln2）＝2﹣2ln2﹣a≥0，故f′（x）≥0，即函数f（x）在R递增；（2）当x＞0时，e x﹣x2﹣ax≥1﹣x，即a≤﹣x﹣+1，令h（x）＝﹣x﹣+1（x＞0），则h′（x）＝，令φ（x）＝e x﹣x﹣1，（x＞0），则φ′（x）＝e x﹣1＞0，x∈（0，+∞）时，φ（x）递增，φ（x）＞φ（0）＝0，x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）递减，x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，故h（x）min＝h（1）＝e﹣1，故a∈（﹣∞，e﹣1]．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ＝．（1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程；（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积．【解答】解：（1）∵圆C1的普通方程为x2+y2﹣4x﹣8y＝0，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入方程得ρ2﹣4ρcosθ﹣8ρsinθ＝0，故C1的极坐标方程是ρ＝4cosθ+8sinθ，C2的平面直角坐标系方程是y ＝x；（2）分别将θ＝，θ＝代入ρ＝4cosθ+8sinθ，得ρ1＝2+4，ρ2＝4+2，则△OMN 的面积为×（2+4）×（4+2）×sin （﹣）＝8+5．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）＝|4x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．【解答】解：（1）g（x）＝|4x﹣1|﹣|x+2|．g（x ）＝，不等式g（x）＜6，x≤﹣2时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：x＞﹣1，不等式无解；﹣2＜x ＜时，1﹣4x﹣x﹣2＜6，解得：﹣＜x ＜，x ≥时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：3＞x，综上，不等式的解集是（﹣，3）；（2）因为存在x1∈R，存在x2∈R，使得f（x1）＝﹣g（x2）成立，所以{y|y＝f（x），x∈R}∩{y|y＝﹣g（x），x∈R}≠∅，又f（x）＝3|x﹣a|+|3x+1|≥|（3x﹣3a）﹣（3x+1）|＝|3a+1|，故g（x ）的最小值是﹣，可知﹣g（x）max ＝，所以|3a+1|≤，解得﹣≤a ≤，所以实数a的取值范围为[﹣，]．第21页（共21页）。

茂名市2018届高三数学上学期第一次综合测试试题文(含解析)

2018年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（文科）第一部分选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 若集合A={x｜−1＜x＜3｝，B={−1, 0，1, 2｝，则A∩B=()A. ｛−1，0, 1, 2｝B。

{x｜−1＜x＜3} C. ｛0,1, 2} D. {−1, 0, 1}【答案】C【解析】由题意得．选C．2. 已知复数z满足z i=2+i，i是虚数单位,则|z|=（）A。

B。

C。

2 D。

【答案】D【解析】由题意得，所以．选D．3. 在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数,则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是()A. B。

C. D.【答案】A【解析】在1，2, 3，6中随机取出三个数，所有的可能结果为(1，2,3), (1,2，6）, （1，3,6），(2,3，6),共4种，其中数字2是这三个不同数字的平均数的结果有(1，2，3），共1种．有古典概型概率公式可得所求概率为．即数字2是这三个不同数字的平均数的概率是．选A．4. 已知变量满足约束条件则的最小值为(）A. 11 B。

12 C。

8 D。

3【答案】C【解析】画出不等式组表示的可行域如图所示,由得,平移直线,由图形可得，当直线经过可行域内的点A时,直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值．由，解得，故点A的坐标为A（2，2）．∴．选C．5。

设等差数列{a n｝的前n项和为S n,若a2+a8=10，则S9= (）A。

20 B. 35 C. 45 D。

90【答案】C【解析】由等差数列的性质得，所以．选C．6. 已知抛物线的准线与x轴交于点D,与双曲线交于A，B 两点,点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是()A。

B。

C. D.【答案】D【解析】由题意得抛物线的准线方程为，准线与轴的交点为．因为为等腰直角三角形,所以,故点A的坐标为，由点在双曲线上,可得，解得，即，所以,所以双曲线的离心率．选D．7。

2018年1月广东省茂名市高2018届高2015级高三级第一次综合测试文科数学试题参考答案茂名一模

绝密★启用前试卷类型:A2018年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)2.【解析】2i12i iz +==-,|z ,故选D. 3.【解析】在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数,基本事件总数(1,2,3),(1,2,6),(1,3,6),(2,3,6) 共4个,则数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1,2,3) 1个. 因此,数字2是这三个不同数字的平均数的概率是14p =.故选A.4.【解析】由约束条件2,4,1,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图,联立{2,4,y x y =+=,解得A (2,2),化目标函数z =3x +y 为y = −3x +z , 由图可知,当直线y = −3x +z 过A 时,直线在y 轴上的截距最小,z 有最小值为z =3×2+2=8.故选C.5.【解析】由等差数列的性质得,a 1+a 9=a 2+a 8=10,S 9=199()9104522a a +⨯==.故选C. 6.【解析】抛物线的准线方程为2x =-,准线与x 轴的交点为(2,0)D -,ADF ∆为等腰直角三角形,得||||4AD DF ==,故点A 的坐标为(2,4)-,由点A 在双曲线221x y m -=上,可得22(2)41m --=,解得417m =,即2417a =,所以221117c m =+=,故双曲线的离心率c e a ===.故选D.7.【解析】:设f (x )的周期为T ,由f (x 1)=1,f (x 2)=0,|x 1 –x 2|min =12,得212422T T πωπ=⇒=⇒==,由f (12) =12,得sin(12π +ϕ)=12,即cos ϕ=12,又0＜ϕ＜2π,∴ϕ =3π,f (x )=sin(πx 3π+).由+22k ππ-3x ππ≤++22k ππ≤,得51+2+2,66k x k k Z -≤≤∈.∴ f (x )的单调递增区间为51[+2,+2],.66k k k Z -∈故选B.8.【解析】由f (x )为奇函数,排除B,(1)3e f =＜1,排除A.当x ＞0时,e ()3x f x x=,2(1)e ()3x x f x x -'=,∴在区间(1,+∞)上f (x )单调递增,排除D,故选C. 9.【解析】由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列,设首项为a ,则7(21)38121a -=-,解之得a =3,则该塔中间一层灯盏数有3⨯23=24.故选A.10.【解析】依题意,执行如图所示的程序框图可知初始S ＝2,当k =0时,S 0＝−1,k =1时,S 1＝12,同理S 2＝2,S 3＝−1,S 4＝12,…,可见S n 的值周期为3.∴当k ＝2017时,S 2017＝S 1＝12,1 O -此时k ＝2018,退出循环.输出S ＝12.故选C.11.【解析】:将正方体纸盒展开图还原成正方体,①如图知AF 与GC异面垂直,故①正确；②显然BD 与GC 成异面直线,连接EB ,ED . 则BM ∥GC ,在等边△BDM 中,BD 与BM 所成的60︒角就是异面直线BD 与GC 所成的角,故②正确；③显然BD 与MN 异面垂直, 故③错误；④显然GD ⊥平面ABCD ,所以在Rt △BDG 中,∠GBD 是 BG 与平面ABCD 所成的角,Rt △BDG 不是等腰直角三角形. 所以BG 与平面ABCD 所成的角不是为45 ︒,故④错误.故选B. 12.【解析】函数||()()x g x f x e-=-在区间[−2018,2018]上零点的个数,就是函数()sin 2f x x π= 的图象与||x y e -=的图象交点个数.由(2)y f x =+的图象关于直线x = −2对称,得()f x 是偶函数,即()()f x f x -=.又∵函数(1)f x +是偶函数,∴(1)(1)f x f x +=-+,故(2)()()f x f x f x +=-=,因此,()f x 是周期为2的偶函数.∵当x ∈[0,1]时,()sin 2f x x π=,作出()y f x =与||1()x y=图象如下图,可知每个周期内有两个交点,所以函数||()()x g x f x e -=-在区间[−2018,2018]上零点的个数为2018⨯2=4036.故选D.第二部分非选择题(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.1 14.212ln 20x y --+= 15.1216.提示:13.【解析】∵(2,1),2(1,1),a a b =-=∴2(1,1)(2,1)(1,1)(1,0)b a =-=-=, ∴1(,0)2b =,∴•101a b =+=.14.【解析】由所求切线斜率1111||12x x k y x =='===+,得曲线在点(1,ln2)处的切线方程为1ln 2(1)2y x -=-,即212ln 20x y --+=.15.【解析】把圆的方程化为标准方程为22(6)9x y +-=,得到圆心C的坐标为(0,6),圆的半径3r =,由圆切线的性质可知,∠CBO =∠CAO 且AC =BC =3,OC =6,则有∠ACB =∠ACO +∠BCO =60︒+60︒=120︒ 所以该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为12(写成1:2也对).16.【解析】以△ABC 所在平面为球的截面,则由正弦定理得截面圆的半径为112=,依题意得CD ⊥平面ABC ,故球心到截面的距离为12CD 则球的半径为.所以球的体积为343π=.三、解答题:本大题共7小题,共70分.其中17至21题为必做题,22、23题为选做题.解答过ABD M (E )NCGF程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解: (Ⅰ)法一:由已知及余弦定理得222222a c b c a b ac+-⨯=+,整理得222a b c ab +-=-.…2分2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-, ………………3分又在△ABC 中,0＜C ＜π, ………………4分 ∴23C π=,即角C 的大小为23π. .………………5分法二:由已知及正弦定理得2sin cos sin 2sin C B B A ⋅-=, 又在△ABC 中,sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C ,.......……2分 ∴2sin C cos B – sin B =2sin B cos C +2cos B sin C ,即2sin B cos C = – sin B ,又sin B ≠0, ………………3分 ∴1cos 2C =-,又0＜C ＜π, ………………4分∴23C π=,即角C 的大小为23π. .………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)23C π=,依题意得如图,在△ADC 中,AC =b,AD由正弦定理得sin sin AC C CDA AD ⋅∠===, .………………7分∵在△ADC 中,0＜CDA ∠＜π,C 为钝角, ........………....………8分 ∴4CDA π∠=,故23412CAD ππππ∠=--=. .………………9分∵在△ABC 中,AD 是角A 的平分线,∴6CAB π∠=, .……….……10分∴△ABC 是等腰三角形,BC AC = .………………11分故△ABC的面积211sin 232S BC AC π=⋅=. .…………….…12分18.解:(Ⅰ)证明:依题意得四边形ABCD 是底角为60︒的等腰梯形,………1分 ∴∠BAD =∠ADC =120︒. .…………........……2分 ∵ AD =DC ,∴∠DAC =∠DCA =30︒, .……………….........3分∴∠BAC =∠BAD −∠DAC =120︒−30︒=90︒,即AB ⊥AC .…...........…4分 ∵平面PAC ⊥平面ABCD ,平面PAC ∩平面ABCD =AC ,∴AB ⊥平面PAC , ..........................………………...5分又平面AB ⊂平面EAB ,∴平面EAB ⊥平面PAC ； ..........................……………...6分(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)及已知得,在Rt △ABC 中,∠ABC =60︒,AB =1, ∴AC = AB∙tan60︒BC =2AB =2,且AB ⊥平面PAC ,.........……………7分 ∴AB 是三棱锥B −EAC 的高,正△PAC...……………8分∵E 是PC 的中点,∴S △EAC ＝12S △PAC＝211sin6044AC AP ⋅︒=⨯. ………10分∴三棱锥A −EBC的体积为1113388A EBC B EAC EAC V V S AB --∆==⋅=分(Ⅱ)解法二:过P 作PO ⊥AC 于点O ,∵平面PAC ⊥平面ABCD ,平面PAC ∩平面ABCD =AC , ∴PO ⊥平面ABC ,过E 作EF ⊥AC 于点F ,同理得EF ⊥平面ABC ,∴EF 是三棱锥E −ABC 的高,且PO ∥EF , ………7分又E 是PC 中点,∴ EF 是△POC 的中位线,故12EF PO =.由(Ⅰ)及已知得,在Rt △ABC 中,∠ABC =60︒,AB =1,∴BC =2AB =2,AC = AB∙tan60︒=即正△PAC ………….........…8分OF BAPE DCBA PE DBA D C∴PO =32,故EF =34. .............................................................................….........9分在Rt △ABC 中,S △ABC＝11122AB AC ⋅=⨯= ….........………….........…10分∴三棱锥A −EBC的体积为311334A EBC E ABC ABC V V S EF --∆==⋅==....................12分19.解:(Ⅰ)依题意,n =6,61621()()557ˆ 6.6,84()iii i i x x y y bx x ==--==≈-∑∑ ....……….……2分ˆa≈33−6.6⨯26=−138.6, ....…...................…………3分 ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆy=6.6x −138.6. ....……………4分 (Ⅱ) ( i )利用所给数据,621ˆ()236.64=-=∑i i i y y,621()3930i i y y =-=∑得,线性回归方程ˆy =6.6x −138.6 的相关指数R 2=621621ˆ()236.641110.06020.9398.3930()ii i ii yy yy ==--=--=-∑∑≈ .................….......6分∵0.9398＜0.9522, .............................................….......…………7分因此,回归方程ˆy=0.06e 0.2303x 比线性回归方程ˆy =6.6x −138.6拟合效果更好.....……..……8分 ( ii )由( i )得温度x =35︒C 时,ˆy=0.06e 0.2303⨯35=0.06⨯e 8.0605. ....……..……..…9分又∵e 8.0605≈3167, ......................................……….....……10分∴ˆy≈0.06⨯3167≈190(个). .....................................………...……11分所以当温度x =35︒C 时,该种药用昆虫的产卵数估计为190个. ....……….......……12分 20.解:(Ⅰ)所给直线方程变形为y mx =-+, …......……………1分可知直线所过定点为. ...............………2分∴椭圆焦点在y 轴,且c,依题意可知b =2,∴a 2=c 2+b 2=9. ……………3分椭圆C 1的方程标准为22194y x +=. ………………4分 (Ⅱ)依题意,设椭圆C 2的方程为2222194y x λλ+=,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),………………6分∵λ＞1,∴点C (-1,0)在椭圆内部,直线l 与椭圆必有两个不同的交点. 当直线l 垂直于x 轴时,AC CB =(不是零向量),不合条件；故设直线l 为y =k (x +1) (A ,B ,O 三点不共线,故k ≠0), ……………..…7分由{222(1)4936y k x y x λ=++=，，得222918(4)9360y y k kλ+-+-=. 由韦达定理得1221894ky y k +=+. ………………8分∵2AC CB =,而点C (−1,0),∴(-1-x 1,-y 1)=2(x 2+1,y 2),∴y 1= -2y 2, ………………..…9分即y 1+y 2= -y 2 故221894ky k-=+. ………………10分∴△OAB 的面积为OAB AOC BOC S S S ∆∆∆=+12121111||1||||222y y y y =⨯⨯+⨯⨯=-23||2y ==218||3294||k k ⨯+2794||||k k =+94≤=. .......................……11分上式取等号的条件是29||=4k ,即k =±32时,△OAB 的面积取得最大值94.所以直线的方程为3(1)2y x =+或3(1)2y x =-+. ………………12分21.(Ⅰ)解:由已知得()g x 的定义域为(0,+∞),22221()2a x x a g x x x x +-'=+-=............……1分方程220x x a +-=的判别式18a ∆=+. …………....…......…2分①当18a ≤-时,△≤0,()0g x '≥,此时,()g x 在(0,+∞)上为增函数；…………..............…3分②当18a -＞时,设方程220x x a +-=的两根为12x x == 若108a -<≤,则120x x <≤,此时,()0g x '＞,()g x 在(0,+∞)上为增函数； ……......…4分若a ＞0,则x 1＜0＜x 2,此时,g (x )在(0,x 2]上为减函数,在(x 2,+∞)上为增函数,…..……5分综上所述:当0a ≤时,()g x 的增区间为(0,+∞),无减区间；当0a ＞时,()g x 的减区间为2(0,]x ,增区间为2(,)x +∞. ………....…...……6分 (Ⅱ)证明:由题意知ln 1(),1x f x x x=++ ………………..........................................7分∴()22ln 11()2ln 11x x f x x x x x--=---, …………….............................................…8分考虑函数21()2ln (0)x h x x x x-=->,则222222(1)(1)2()x x x h x x x x ---'=-=-………………...............................................9分所以x ≠1时,()0h x '＜,而(1)0h = ………………................................................10分故(0,1)x ∈时,21()0,01h x x -＞＞,可得ln ()1x f x x -＞, (1)x ∈+∞，时,21()0,01h x x -＜＜,可得ln ()1x f x x -＞,…………….................…...11分从而当0x ＞,且1x ≠时,ln ()1x f x x >-. ……………..................…12分请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时,请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.解:(Ⅰ)法一: 由曲线C 的极坐标方程得24cos 0ρρθ-=,又cos ,sin ,x y ρθρθ==∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=,即22(2)4x y -+= ………....…1分 ∴曲线C 是圆心为C (2,0),半径为2的圆.∵直线l 过点P (−2,0),当l 的斜率不存在时,l 的方程为x = -2与曲线C 没有公共点,…2分 ∴直线l 的斜率存在,设直线l :(2)y k x =+,即20kx y k -+=. 直线l 与圆有公共点,则圆心C 到直线l 的距离2d =≤ ...........………3分解得k ≤≤…...............………4分∵[0,)απ∈,∴α的取值范围是5[0,][,)66πππ ....................…………5分法二:由曲线C 的极坐标方程得24cos 0ρρθ-=,又cos ,sin ,x y ρθρθ==∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=, …....................................................………1分 ∵直线l 经过点P (−2,0),其倾斜角为α,∴直线l 的参数方程为{2cos sin x t y t αα=-+=，，(t 为参数), ……......................................……2分将{2cos sin x t y t αα=-+=，，代入2240x y x +-=整理得:28cos 120t t α-+=..............….………3分∵直线l 与曲线C 有公共点,∴264cos 480α∆=-≥即cos α≥或cos α≤…....4分∵[0,)απ∈,∴α的取值范围是5[0,][,)66πππ. ....…….......................5分(Ⅱ)法一:由(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=, 故其参数方程为{22cos 2sin x y θθ=+=，，(θ为参数) . ……….............…7分∵M(x,y )为曲线C上任意一点,∴22cos 24sin()6x πθθθ=++=++ …........8分∵1sin()16πθ-≤+≤,∴224sin()66πθ-≤++≤,因此,x +的取值范围是[2,6]-.………….........................10分法二:设x m +=. …………..........................6分由(Ⅰ)知曲线C 即圆C :22(2)4x y -+=,依题意,圆C 与直线0x m +-=有交点,…7分 ∴圆心C 到直线0x m -=的距离2d =≤, .................................……9分解得26m -≤≤,即x +的取值范围是[2,6]-.……................................................……10分23.解:(Ⅰ)当3x ≥时,()8f x =-,此时()2f x ≥无解； ….......................……………1分当53x -＜＜时,()22f x x =--,由()2f x ≥解得52x --＜≤；………….................……3分当5x -≤时,()8f x =,此时()2f x ≥恒成立. …………......................................……4分综上,不等式()2f x ≥的解集是{|2}x x ≤-. …………….....................................…5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知8,3,()22,53,8,5,x f x x x x -≥⎧⎪=---<<⎨≤-⎪⎩ ……………….......................................6分易知函数()f x 的最大值M =8, ………………............................................7分若228x x m ++≤有解,得228m x x ≤--+有解.………………............................................8分即2max (1)9]9m x ≤-++=[. …………….............................................…9分因此,m 的取值范围是9m ≤. ……………...........................................…10分。

2018年广东省茂名市高考数学一模试卷(文科)及答案

2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1} 2．（5分）已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A．B．C．2 D．3．（5分）在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z=3x+y的最小值为（）A．11 B．12 C．8 D．35．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=（）A．20 B．35 C．45 D．906．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点D，与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．C． D．7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜），f（x1）=1，f （x2）=0，若|x1﹣x2|min=，且f（）=，则f（x）的单调递增区间为（）A． B．．C．D．8．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯．A．24 B．48 C．12 D．6010．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（）A．2 018 B．﹣1 C．D．211．（5分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）定义在R上函数y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，且函数f（x+1）是偶函数．若当x∈[0，1]时，，则函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为（）A．2017 B．2018 C．4034 D．4036二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．（5分）已知=（2，1），﹣2=（1，1），则=．14．（5分）曲线y=ln（x+1）在点（1，ln2）处的切线方程为．15．（5分）从原点O向圆C：x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．16．（5分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB﹣b=2a．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A﹣EBC的体积．19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522．（i ）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为，=﹣；相关指数R2=．20．（12分）已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．21．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x＞0，且x≠1时，．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．2018年广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1}【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}．故选：C．2．（5分）已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（）A．B．C．2 D．【解答】解：由zi=2+i，得，∴|z|=，故选：D．3．（5分）在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数有4个，分别为：（1，2，3），（1，2，6），（1，3，6），（2，3，6）数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有（1，2，3），共1个．∴数字2是这三个不同数字的平均数的概率是．故选：A．4．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z=3x+y的最小值为（）A．11 B．12 C．8 D．3【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为z=3×2+2=8．故选：C．5．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9=（）A．20 B．35 C．45 D．90【解答】解：由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=10，S9=．故选：C．6．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点D，与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）A．B．C． D．【解答】解：抛物线y2=8x的准线方程为x=﹣2，准线与x轴的交点为D（﹣2，0），由△ADF为等腰直角三角形，得|AD|=|DF|=4，故点A的坐标为（﹣2，4），由点A在双曲线上，可得，解得，即，∴，∴双曲线的离心率．故选：D．7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜），f（x1）=1，f （x2）=0，若|x1﹣x2|min=，且f（）=，则f（x）的单调递增区间为（）A． B．．C．D．【解答】解：设f（x）的周期为T，由f（x1）=1，f（x2）=0，|x1﹣x2|min= ，得，由f（）=，得sin（π+ϕ）=，即cosϕ=，又0＜ϕ＜，∴ϕ=，f（x）=sin（πx）．由，得．∴f（x）的单调递增区间为．故选：B．8．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，排除B，∵＜1，排除A．当x＞0时，，，∴在区间（1，+∞）上f（x）单调递增，排除D，故选C．9．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯．A．24 B．48 C．12 D．60【解答】解：由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列，设首项为a，则，解之得a=3，则该塔中间一层灯盏数有3×23=24．故选：A．10．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（）A．2 018 B．﹣1 C．D．2【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：初始S=2，当k=0时，S0=﹣1，k=1时，S1=，同理S2=2，S3=﹣1，S4=，…，可见S n的值周期为3．∴当k=2017时，S2017=S1=，k=2018，退出循环．输出S=．故选：C．11．（5分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，在①中，如图知AF与GC异面垂直，故①正确；在②中，BD与GC成异面直线，连接EB，ED．则BM∥GC，在等边△BDM中，BD与BM所成的60°角就是异面直线BD与GC所成的角，故②正确；在③中，BD与MN异面垂直，故③错误；在④中，GD⊥平面ABCD，所以在Rt△BDG中，∠GBD是BG与平面ABCD所成的角，Rt△BDG不是等腰直角三角形．所以BG与平面ABCD所成的角不是为45°，故④错误．故选：B．12．（5分）定义在R上函数y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，且函数f（x+1）是偶函数．若当x∈[0，1]时，，则函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为（）A．2017 B．2018 C．4034 D．4036【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数⇔函数的图象与y=e﹣|x|的图象交点个数．由y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，得f（x）是偶函数，即f（﹣x）=f（x）．又∵函数f（x+1）是偶函数，∴f（x+1）=f（﹣x+1），故f（x+2）=f（﹣x）=f（x），因此，f（x）是周期为2的偶函数．∵当x∈[0，1]时，，作出y=f（x）与图象如下图，可知每个周期内有两个交点，所以函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为2018×2=4036．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．（5分）已知=（2，1），﹣2=（1，1），则=1．【解答】解：根据题意，设=（x，y），则﹣2=（2﹣2x，1﹣2y）=（1，1），则有2﹣2x=1，1﹣2y=1，解可得x=，y=0，则=（，0），则=2×+1×0=1；故答案为：114．（5分）曲线y=ln（x+1）在点（1，ln2）处的切线方程为x﹣2y﹣1+2ln2=0．【解答】解：根据题意，曲线y=ln（x+1），则有y′=，则由所求切线斜率，又由f（1）=ln（1+1）=ln2，则曲线在点（1，ln2）处的切线方程为，即x﹣2y﹣1+2ln2=0．故答案为：x﹣2y﹣1+2ln2=015．（5分）从原点O向圆C：x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．【解答】解：把圆的方程化为标准方程为x2+（y﹣6）2=9，得到圆心C（0，6），圆的半径r=3，由圆切线的性质可知，∠CBO=∠CAO=90°，且AC=BC=3，OC=6，则有∠ACB=∠ACO+∠BCO=60°+60°=120°，∴该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．故答案为：．16．（5分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为．【解答】解：以△ABC所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为，依题意得CD⊥平面ABC，故球心到截面的距离为，则球的半径为．所以球的体积为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB﹣b=2a．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若2c•cosB﹣b=2a，则有，整理得a2+b2﹣c2=﹣ab，，又在△ABC中，0＜C＜π，∴，即角C的大小为；（Ⅱ）由（Ⅰ），在△ADC中，AC=b=，AD=，由正弦定理得，∵在△ADC中，0＜∠CDA＜π，C为钝角，∴，故．∵在△ABC中，AD是角A的平分线，∴，∴△ABC是等腰三角形，，故△ABC的面积．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A﹣EBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）依题意得四边形ABCD是底角为60°的等腰梯形，…（1分）∴∠BAD=∠ADC=120°..…（2分）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=30°．…（3分）∴∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=120°﹣30°=90°，即AB⊥AC．…（4分）∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥平面PAC，…（5分）又平面AB⊂平面EAB，∴平面EAB⊥平面PAC．…（6分）解：（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，∴AC=AB∙tan60°=，BC=2AB=2，且AB⊥平面PAC，…（7分）∴AB是三棱锥B﹣EAC的高，正△PAC的边长为…（8分）∵E是PC的中点，∴S=S△PAC=．…△EAC（10分）∴三棱锥A﹣EBC的体积为…（12分）（Ⅱ）解法二：过P作PO⊥AC于点O，∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴PO⊥平面ABC，过E作EF⊥AC于点F，同理得EF⊥平面ABC，∴EF是三棱锥E﹣ABC的高，且PO∥EF，…（7分）又E是PC中点，∴EF是△POC的中位线，故．由（Ⅰ）及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC=AB∙tan60°=，即正△PAC的边长为，…（8分）∴PO=，故EF=…（9分）=．…（10分）在Rt△ABC中，S△ABC∴三棱锥A﹣EBC的体积为…（12分）19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中x i，y i分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522．（i ）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为，=﹣；相关指数R2=．【解答】解：（Ⅰ）依题意，n=6，，…．…（2分）≈33﹣6.6×26=﹣138.6，…（3分）∴y关于x的线性回归方程为=6.6x﹣138.6…（4分）（Ⅱ）（i ）利用所给数据，，得，线性回归方程=6.6x﹣138.6的相关指数R2=．…（6分）∵0.9398＜0.9522，…（7分）因此，回归方程=0.06e0.2303x比线性回归方程=6.6x﹣138.6拟合效果更好…..…（8分）（ii）由（i ）得温度x=35°C时，=0.06e0.2303×35=0.06×e8.0605…..…..…（9分）又∵e8.0605≈3167，…（10分）∴≈0.06×3167≈190（个）…（11分）所以当温度x=35°C时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个…（12分）20．（12分）已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）所给直线方程变形为，可知直线所过定点为．∴椭圆焦点在y轴，且c=，依题意可知b=2，∴a2=c2+b2=9．则椭圆C1的方程标准为；（Ⅱ）依题意，设椭圆C2的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），∵λ＞1，∴点C（﹣1，0）在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点．当直线l垂直于x轴时，（不是零向量），不合条件；故设直线l为y=k（x+1）（A，B，O三点不共线，故k≠0），由，得．由韦达定理得．∵，而点C（﹣1，0），∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），则y1=﹣2y2，即y1+y2=﹣y2，故．=S△AOC+S△BOC∴△OAB的面积为S△OAB====．上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB的面积取得最大值．∴直线的方程为或．21．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x＞0，且x≠1时，．【解答】（Ⅰ）解：由已知得g（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）方程2x2+x﹣a=0的判别式△=1+8a．…（2分）①当时，△≤0，g'（x）≥0，此时，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（3分）②当时，设方程2x2+x﹣a=0的两根为，若，则x1＜x2≤0，此时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（4分）若a＞0，则x1＜0＜x2，此时，g（x）在（0，x2]上为减函数，在（x2，+∞）上为增函数，…..…（5分）综上所述：当a≤0时，g（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；当a＞0时，g（x）的减区间为（0，x2]，增区间为（x2，+∞）．…（6分）（Ⅱ）证明：由题意知，…（7分）∴，…（8分）考虑函数，则…（9分）所以x≠1时，h'（x）＜0，而h（1）=0…（10分）故x∈（0，1）时，，可得，x∈（1，+∞）时，，可得，…（11分）从而当x＞0，且x≠1时，．…（12分）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程得ρ2﹣4ρcosθ=0，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4…（1分）∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为2的圆．∵直线l过点P（﹣2，0），当l的斜率不存在时，l的方程为x=﹣2与曲线C没有公共点，∴直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0．直线l与圆有公共点，则圆心C到直线l的距离，得，α∈[0，π），∴α的取值范围是．（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，故其参数方程为（θ为参数）．∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴，，∴，因此，的取值范围是[﹣2，6]．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≥2无解；…（1分）当﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≥2解得﹣5＜x≤﹣2；…（3分）当x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≥2恒成立．…（4分）综上，不等式f（x）≥2的解集是{x|x≤﹣2}．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知…（6分）易知函数f（x）的最大值M=8，…（7分）若x2+2x+m≤8有解，得m≤﹣x2﹣2x+8有解．…（8分）即m≤[﹣（x+1）2+9]max=9．…（9分）因此，m的取值范围是m≤9．…（10分）。

【精选高中试题】广东省茂名市高三上学期第一次综合测试(一模)数学(文)试题Word版含答案

绝密★启用前试卷类型：A2018年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（文科） 2018.1本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，23小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑. 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 5．考试结束后，请将答题卡上交.第一部分选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．若集合A ={x |−1＜x ＜3}，B ={−1, 0, 1, 2}，则A ∩B =( )A. {−1, 0, 1, 2}B. {x |−1＜x ＜3}C. {0,1, 2}D. {−1, 0, 1} 2．已知复数z 满足z i=2+i ，i 是虚数单位，则|z |=( ) A.B.C. 2D.3．在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是( ) A.14B. C. 12D. 4．已知变量,x y 满足约束条件2,4,1,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩ 则3z x y =+的最小值为( )A. 11B. 12C. 8D. 35．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2+a 8=10，则S 9= ( ) A. 20 B.35 C. 45 D. 906．已知抛物线28y x =的准线与x 轴交于点D ,与双曲线221x y m-=交于A , B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△ADF 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是( )A.B.C.D.7．已知函数f (x )=sin(ωx +ϕ) (ω＞0, 0＜ϕ＜2π)，f (x 1)=1，f (x 2)=0，若|x 1–x 2|min =12，且f (12) =12，则f (x )的单调递增区间为( )A. 51[+2,+2],k k k Z -∈B. 51[+2,+2],.k k k Z -∈C. 51[+2,+2],66k k k Z ππ-∈D. 71[+2,+2],66k k k Z ∈8．函数||e ()x f x =的部分图象大致为( )9．《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（）盏灯.A.24B.48C.12D.60 10．执行如图所示的程序框图，那么输出S 的值是( )A.2 018B. −1C.12D.211．右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF ⊥GC ；②BD 与GC 成异面直线且夹角为60︒； ③BD ∥MN ；④BG 与平面ABCD 所成的角为45︒. 其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4-1 1- 1 O-第10题图A B DE NCG F M第11题图12．定义在R 上函数(2)y f x =+的图象关于直线x =−2对称，且函数(1)f x +是偶函数. 若当x ∈[0,1]时，()sin 2f x x π=，则函数||()()xg x f x e -=-在区间[−2018,2018]上零点的个数为( )A. 2017B. 2018C. 4034D. 4036第二部分非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．已知(2,1),2(1,1),a a b =-=则•a b = ． 14．曲线ln(1)y x =+在点(1, ln2)处的切线方程为．15．从原点O 向圆C : 2212270x y y +-+=作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．16．如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC 中，AB， ∠ACB =60︒，∠BCD =90︒，AB ⊥CD ，CD=，则该球的体积为．三、解答题：本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题. 解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,且2cos 2c B b a ⋅-=. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）设角A 的平分线交BC 于D ，且ADbABC 的面积.18. （本小题满分12分）DCB A第16题图BPE在四棱锥P −ABCD 中，AD ∥BC ，平面P AC ⊥平面ABCD ，AB =AD =DC =1， ∠ABC =∠DCB =60︒，E 是PC 上一点. （Ⅰ）证明：平面EAB ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若△P AC 是正三角形，且E 是PC 中点，求三棱锥A −EBC 的体积.19．（本小题满分 12 分）一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关, 现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：经计算得：1126i i x x ===∑，1133i i y y ===∑，1()()557i i i x x y y =--=∑，621()84i i x x =-=∑，621()3930ii yy =-=∑，线性回归模型的残差平方和621ˆ()236.64=-=∑i i i y y，e 8.0605≈3167，其中x i , y i 分别为观测数据中的温度和产卵数，i =1, 2, 3, 4, 5, 6.(Ⅰ)若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆy=ˆb x +ˆa （精确到0.1）； (Ⅱ)若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程为ˆy=0.06e 0.2303x ，且相关指数R 2=0.9522. ( i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用R 2说明哪种模型的拟合效果更好.( ii )用拟合效果好的模型预测温度为35︒C 时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.附：一组数据(x 1,y 1), (x 2,y 2), ...,(x n ,y n ), 其回归直线ˆy=ˆb x +ˆa 的斜率和截距的最小二乘估计为 121()()ˆ,()nii i nii xx y y bxx ==--=-∑∑ˆa=y −ˆbx ；相关指数R 2=2121ˆ()1()nii i n ii yyyy ==---∑∑．20．（本小题满分 12 分）已知椭圆C 1以直线0mx y +=所过的定点为一个焦点，且短轴长为4. （Ⅰ）求椭圆C 1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C 2的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C 1的长轴和短轴的长的λ倍(λ＞1)，过点C (−1,0)的直线l 与椭圆C 2交于A ，B 两个不同的点，若2AC CB =，求△OAB 的面积取得最大值时直线l 的方程.21.（本小题满分 12 分）已知函数()ln 2a g x x x x =++(a ∈R ).（Ⅰ）讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）若11()[()2]1a f x g x x x x x =--++. 证明：当0x ＞，且1x ≠时，ln ()1x f x x >-．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P (−2,0)，其倾斜角为α，在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=．（Ⅰ）若直线l 与曲线C 有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M (x,y )为曲线C 上任意一点，求x 的取值范围．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|3||5|f x x x =--+．（Ⅰ）求不等式()2f x ≥的解集；（Ⅱ）设函数()f x 的最大值为M ，若不等式22x x m M ++≤有解，求m 的取值范围．绝密★启用前试卷类型：A2018年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）提示： 2．【解析】2i12i iz +==-，|z 故选D. 3．【解析】在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数(1, 2, 3), (1, 2, 6), (1, 3, 6),(2, 3, 6) 共4个，则数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1, 2, 3) 1个. 因此，数字2是这三个不同数字的平均数的概率是14p =.4．【解析】由约束条件2,4,1,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，联立{2,4,y x y =+=，解得A (2, 2)，化目标函数z =3x +y 为y = −3x +z ，由图可知，当直线y = −3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为z =3×2+2=8．故选C.5．【解析】由等差数列的性质得，a 1+a 9=a 2+a 8=10，S 9=199()9104522a a +⨯==.故选C. 6．【解析】抛物线的准线方程为2x =-，准线与轴的交点为(2,0)D -，为等腰直角三角形，得||||4AD DF ==，故点A 的坐标为(2,4)-，由点在双曲线221x y m -=上，可得22(2)41m--=，解得4m =，即24a =，所以2211c m =+=，故双曲线的离心率c e a ==.故选D.7．【解析】：设f (x )的周期为T ，由f (x 1)=1，f (x 2)=0，|x 1 –x 2|min =12,得212422T T πωπ=⇒=⇒==,由f (12) =12，得sin(12π +ϕ)=12，即cos ϕ=12，又0＜ϕ＜2π，∴ϕ =3π，f (x )=sin(πx 3π+).由+2k ππ-3x ππ≤++2k ππ≤，得51+2+2,66k x k k Z -≤≤∈. ∴ f (x )的单调递增区间为51[+2,+2],.66k k k Z -∈故选B.1 O -8．【解析】由f (x )为奇函数，排除B ，(1)3e f =＜1，排除A. 当x ＞0时，e ()3x f x x =，2(1)e()3xx f x x -'=，∴在区间(1,+∞)上f (x )单调递增，排除D ，故选C.9．【解析】由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列,设首项为a ,则7(21)38121a -=-,解之得a =3，则该塔中间一层灯盏数有3⨯23=24. 故选A.10．【解析】依题意，执行如图所示的程序框图可知初始S ＝2，当k =0时，S 0＝−1，k =1时，S 1＝12，同理S 2＝2，S 3＝−1，S 4＝12，…，可见S n 的值周期为3.∴当k ＝2017时，S 2017＝S 1＝12，此时k ＝2018，退出循环. 输出S ＝12. 故选C.11．【解析】：将正方体纸盒展开图还原成正方体，①如图知AF 与GC异面垂直，故①正确；②显然BD 与GC 成异面直线,连接EB ，ED . 则BM ∥GC ，在等边△BDM 中，BD 与BM 所成的60︒角就是异面直线BD 与GC 所成的角，故②正确；③显然BD 与MN 异面垂直，故③错误；④显然GD ⊥平面ABCD ，所以在Rt △BDG 中，∠GBD 是 BG 与平面ABCD 所成的角，Rt △BDG 不是等腰直角三角形. 所以BG 与平面ABCD 所成的角不是为45 ︒，故④错误. 故选B.12．【解析】函数||()()x g x f x e -=-在区间[−2018,2018]上零点的个数，就是函数()sin 2f x x π= 的图象与||x y e-=的图象交点个数. 由(2)y f x =+的图象关于直线x = −2对称，得()f x 是偶函数，即()()f x f x -=.又∵函数(1)f x +是偶函数，∴(1)(1)f x f x +=-+，故(2)()()f x f x f x +=-=，因此，()f x 是周期为2的偶函数.∵当x ∈[0,1]时，()sin 2f x x π=，作出()y f x =与||1()x y e=图象如下图，可知每个周期内有两个交点，所以函数||()()x g x f x e -=-在区间[−2018,2018]上零点的个数为2018⨯2=4036. 故选D.第二部分非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．1 14. 212ln 20x y --+= 15. 1216. 提示：AD M (E )NCGF13．【解析】∵(2,1),2(1,1),a a b =-=∴2(1,1)(2,1)(1,1)(1,0)b a =-=-=， ∴1(,0)2b =，∴•101a b =+=.14．【解析】由所求切线斜率1111||12x x k y x =='===+，得曲线在点处的切线方程为1ln 2(1)2y x -=-，即212ln 20x y --+=.15．【解析】把圆的方程化为标准方程为22(6)9x y +-=，得到圆心C 的坐标为(0, 6),圆的半径3r =,由圆切线的性质可知,∠CBO =∠CAO =90︒，且AC =BC =3，OC =6，则有∠ACB =∠ACO +∠BCO =60︒+60︒=120︒ 所以该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为12(写成1:2也对).16．【解析】以△ABC 所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为11=，依题意得CD ⊥平面ABC ，故球心到截面的距离为12CD所以球的体积为343π=.三、解答题：本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解: (Ⅰ)法一：由已知及余弦定理得22222a c b c a b +-⨯=+，整理得222a b c ab +-=-. …2分2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-， ………………3分又在△ABC 中，0＜C ＜π， ………………4分 ∴2C π=，即角C 的大小为23π. .………………5分法二：由已知及正弦定理得2sin cos sin 2sin C B B A ⋅-=，又在△ABC 中，sin A =sin(B +C )=sin B cos C +cos B sin C , . ......……2分 ∴2sin C cos B – sin B =2sin B cos C +2cos B sin C ，即2sin B cos C = – sin B ，又sin B ≠0， ………………3分 ∴1cos 2C =-，又0＜C ＜π， ………………4分∴23C π=，即角C 的大小为23π. .………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)23C π=，依题意得如图，在△ADC 中，AC =b ，AD由正弦定理得sin sin AC C CDA AD ⋅∠==， .………………7分BADC∵在△ADC 中，0＜CDA ∠＜π，C 为钝角， ........………....………8分 ∴4CDA π∠=，故23412CAD ππππ∠=--=. .………………9分∵在△ABC 中，AD 是角A 的平分线，∴6CAB π∠=, .……….……10分∴△ABC是等腰三角形，BC AC == .………………11分故△ABC的面积211sin 232S BC AC π=⋅=. .…………….…12分18.解：(Ⅰ)证明：依题意得四边形ABCD 是底角为60︒的等腰梯形，………1分 ∴∠BAD =∠ADC =120︒. .…………........……2分 ∵ AD =DC ，∴∠DAC =∠DCA =30︒， .……………….........3分 ∴∠BAC =∠BAD −∠DAC =120︒−30︒=90︒，即AB ⊥AC .…...........…4分 ∵平面P AC ⊥平面ABCD , 平面P AC ∩平面ABCD =AC ，∴AB ⊥平面P AC ， ..........................………………...5分又平面AB ⊂平面EAB ，∴平面EAB ⊥平面PAC ； ..........................……………...6分 (Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)及已知得，在Rt △ABC 中，∠ABC =60︒，AB =1， ∴AC = AB∙tan60︒BC =2AB =2，且AB ⊥平面P AC ，.........……………7分 ∴AB 是三棱锥B −EAC 的高，正△P AC...……………8分∵E 是PC 的中点，∴S △EAC ＝12S △P AC＝211sin 6044AC AP ⋅︒=⨯. ………10分∴三棱锥A −EBC的体积为1113388A EBC B EAC EAC V V S AB --∆==⋅=...……………12分(Ⅱ)解法二：过P 作PO ⊥AC 于点O ，∵平面P AC ⊥平面ABCD , 平面P AC ∩平面ABCD =AC ， ∴PO ⊥平面ABC ，过E 作EF ⊥AC 于点F ，同理得EF ⊥平面ABC ， ∴EF 是三棱锥E −ABC 的高，且PO ∥EF ， ………7分又E 是PC 中点，∴ EF 是△POC 的中位线，故12EF PO =.由(Ⅰ)及已知得，在Rt △ABC 中，∠ABC =60︒，AB =1， ∴BC =2AB =2, AC = AB∙tan60︒=, 即正△P AC ………….........…8分∴PO =3, 故EF =3. .............................................................................….........9分在Rt △ABC 中，S △ABC ＝11122AB AC ⋅=⨯ ….........………….........…10分∴三棱锥A −EBC 的体积为311334A EBC E ABC ABC V V S EF --∆==⋅==. ...................12分OF BAPE DBAPED19.解：(Ⅰ)依题意，n =6，61621()()557ˆ 6.6,84()i ii ii x x y y b x x ==--==≈-∑∑ ....……….……2分 ˆa≈33−6.6⨯26=−138.6， ....…...................…………3分 ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆy=6.6x −138.6． ....……………4分 (Ⅱ) ( i )利用所给数据,621ˆ()236.64=-=∑i i i y y , 621()3930i i y y =-=∑得, 线性回归方程ˆy=6.6x −138.6 的相关指数R 2=621621ˆ()236.641110.06020.9398.3930()i i i ii y y y y ==--=--=-∑∑≈ .................….......6分 ∵0.9398＜0.9522， .............................................….......…………7分因此，回归方程ˆy=0.06e 0.2303x 比线性回归方程ˆy =6.6x −138.6拟合效果更好. ....……..……8分 ( ii )由( i )得温度x =35︒C 时，ˆy=0.06e 0.2303⨯35=0.06⨯e 8.0605. ....……..……..…9分又∵e 8.0605≈3167， ......................................……….....……10分 ∴ˆy≈0.06⨯3167≈190（个）. .....................................………...……11分所以当温度x =35︒C 时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. ....……….......……12分20.解：(Ⅰ)所给直线方程变形为y mx =- …......……………1分可知直线所过定点为. ...............………2分∴椭圆焦点在y 轴, 且c，依题意可知b =2，∴a 2=c 2+b 2=9. ……………3分椭圆C 1的方程标准为22194y x +=. ………………4分 (Ⅱ)依题意，设椭圆C 2的方程为2222194y x λλ+=，A (x 1,y 1), B (x 2,y 2)，………………6分 ∵λ＞1，∴点C (-1, 0)在椭圆内部，直线l 与椭圆必有两个不同的交点.当直线l 垂直于x 轴时，AC CB =(不是零向量)，不合条件；故设直线l 为y =k (x +1) (A ，B ，O 三点不共线，故k ≠0), ……………..…7分由{222(1)4936y k x y x λ=++=，，得222918(4)9360y y k kλ+-+-=. 由韦达定理得1221894k y y k +=+. ………………8分 ∵2AC CB =，而点C (−1, 0)，∴(-1-x 1, -y 1)=2(x 2+1, y 2)，∴y 1= -2y 2， ………………..…9分即y 1+y 2= -y 2 故221894k y k-=+. ………………10分 ∴△OAB 的面积为OAB AOC BOC S S S ∆∆∆=+12121111||1||||222y y y y =⨯⨯+⨯⨯=-23||2y ==218||3294||k k ⨯+2794||||k k =+94≤=. .......................……11分上式取等号的条件是29||=4k ，即k =±32时，△OAB 的面积取得最大值94. 所以直线的方程为3(1)2y x =+或3(1)2y x =-+. ………………12分 21. (Ⅰ)解：由已知得()g x 的定义域为(0, +∞)， 22221()2ax x a g x x x x +-'=+-=. ...........……1分方程220x x a +-=的判别式18a ∆=+. …………....…......…2分 ①当18a ≤-时，△≤0，()0g x '≥，此时,()g x 在(0, +∞)上为增函数；…………..............…3分 ②当18a -＞时，设方程220x x a +-=的两根为12x x ==，若108a -<≤, 则120x x <≤, 此时, ()0g x '＞, ()g x 在(0, +∞)上为增函数； ……......…4分若a ＞0，则x 1＜0＜x 2，此时, g (x )在(0, x 2]上为减函数，在(x 2, +∞)上为增函数，…..……5分综上所述：当0a ≤时，()g x 的增区间为(0, +∞)，无减区间；当0a ＞时，()g x 的减区间为2(0,]x ，增区间为2(,)x +∞. ………....…...……6分 (Ⅱ)证明：由题意知ln 1(),1x f x x x=++ ………………..........................................7分 ∴()22ln 11()2ln 11x x f x x x x x --=---， …………….............................................…8分考虑函数21()2ln (0)x h x x x x-=->，则222222(1)(1)2()x x x h x x x x ---'=-=-………………...............................................9分所以x ≠1时，()0h x '＜，而(1)0h = ………………................................................10分故(0,1)x ∈时，21()0,01h x x -＞＞，可得ln ()1x f x x -＞， (1)x ∈+∞，时，21()0,01h x x -＜＜，可得ln ()1x f x x -＞，…………….................…...11分从而当0x ＞，且1x ≠时，ln ()1x f x x >-． ……………..................…12分请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.解：(Ⅰ)法一：由曲线C 的极坐标方程得24cos 0ρρθ-=，又cos ,sin ,x y ρθρθ== ∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，即22(2)4x y -+= ………....…1分 ∴曲线C 是圆心为C (2, 0)，半径为2的圆.∵直线l 过点P (−2,0)，当l 的斜率不存在时，l 的方程为x = -2与曲线C 没有公共点，…2分 ∴直线l 的斜率存在，设直线l ：(2)y k x =+，即20kx y k -+=.直线l 与圆有公共点，则圆心C 到直线l 的距离2d =≤ ...........………3分解得k ≤…...............………4分 ∵[0,)απ∈，∴α的取值范围是5[0,][,)66πππ ....................…………5分法二：由曲线C 的极坐标方程得24cos 0ρρθ-=，又cos ,sin ,x y ρθρθ==∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=， …....................................................………1分 ∵直线l 经过点P (−2,0)，其倾斜角为α，∴直线l 的参数方程为{2cos sin xt y t αα=-+=，，（t 为参数）， ……......................................……2分将{2cos sin x t y t αα=-+=，，代入2240x y x +-=整理得：28cos 120t t α-+=. .............….………3分∵直线l 与曲线C 有公共点，∴264cos 480α∆=-≥即cos α≥或cos α≤…....4分 ∵[0,)απ∈，∴α的取值范围是5[0,][,)66πππ. ....…….......................5分 (Ⅱ)法一：由(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，故其参数方程为{22cos 2sin x y θθ=+=，，（θ为参数） . ……….............…7分∵M (x,y )为曲线C 上任意一点，∴22cos 24sin()6x πθθθ+=++=++ …........8分 ∵1sin()16πθ-≤+≤，∴224sin()66πθ-≤++≤，因此，x +的取值范围是[2,6]-. ………….........................10分法二：设x m =. …………..........................6分由(Ⅰ)知曲线C 即圆C :22(2)4x y -+=, 依题意, 圆C 与直线0x m +-=有交点，…7分∴圆心C 到直线0x m -=的距离2d =≤， .................................……9分解得26m -≤≤, 即x 的取值范围是[2,6]-. ……............................... .................……10分23. 解：(Ⅰ)当3x ≥时，()8f x =-，此时()2f x ≥无解； ….......................……………1分当53x -＜＜时，()22f x x =--，由()2f x ≥解得52x --＜≤；………….................……3分当5x -≤时，()8f x =，此时()2f x ≥恒成立. …………......................................……4分综上，不等式()2f x ≥的解集是{|2}x x ≤-. …………….....................................…5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知8,3,()22,53,8,5,x f x x x x -≥⎧⎪=---<<⎨≤-⎪⎩ ……………….......................................6分易知函数()f x 的最大值M =8， ………………............................................7分若228x x m ++≤有解，得228m x x ≤--+有解. ………………............................................8分即2max (1)9]9m x ≤-++=[. …………….............................................…9分因此，m 的取值范围是9m ≤. ……………...........................................…10分。