高中数学易错题知识讲解

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高一数学错题和知识点

高一数学错题和知识点

高一数学错题和知识点对于许多高一学生来说,数学常常是一门令人头疼的科目。

尤其是在课堂上,老师提出的问题似乎总是与自己所学知识背离。

在高一时期,学生面临着许多新的数学概念和技巧,因此错题也时常发生。

本文将讨论一些常见的高一数学错题,并介绍相应的知识点以帮助学生改进。

1. 说出函数f(x) = |x|的定义域和值域。

错题分析:许多学生在这个问题上犯了错误,因为它涉及到绝对值函数。

他们可能会误以为绝对值只能保持为正数,因此定义域只包含正数。

解决方法:绝对值函数的定义域是整个实数集(即负无穷到正无穷),而值域是非负实数。

2. 解方程:2x - 5 = x + 3。

错题分析:这是一道简单的一次方程题,但是一些学生会犯以下错误:他们在解方程过程中将变量移到等式的另一侧时,忘记同时改变符号。

解决方法:正确的解题步骤是将x的系数移到等号的另一侧,并进行运算。

在这个例子中,可以通过将x的系数减去5和3,得到x = 8。

3. 求解三角形的面积:已知a = 5,b = 6,c = 8。

错题分析:这道题目需要学生运用海伦公式或正弦定理求解三角形的面积。

有些学生可能忘记其中一个公式,或者在应用公式时计算错误。

解决方法:学生需要记住海伦公式(s = (a + b + c) / 2)和正弦定理((a / sinA) = (b / sinB) = (c / sinC))。

应用这些公式,可以计算出三角形的面积。

4. 计算函数f(x) = (x + 1)²的导数。

错题分析:这个错误涉及到函数的导数概念。

许多学生会误以为在计算函数的导数时只需要直接计算平方。

解决方法:函数f(x) = (x + 1)²的导数可以通过应用链式法则计算。

首先求导数公式为d(u²) / dx = 2u,其中u = (x + 1)。

因此,函数f(x)的导数为f'(x) = 2(x + 1)。

5. 确定下列集合的并集:A = {1, 2, 3},B = {3, 4, 5},C = {5, 6}。

高考数学易错点及重要知识点归纳

高考数学易错点及重要知识点归纳

高考数学易错点及重要知识点归纳高考数学是高中阶段各科中相对较难的一门科目,考试难度也相对较高,很容易让考生犯错,导致分数损失。

本文将总结高考数学易错点及重要知识点,并提供相应的解题技巧,希望考生能够避免犯错,取得好成绩。

一、易错点1.符号混淆这是数学中比较普遍的一个易错点,包括加减号、乘号、除号、左右括号等符号的混淆。

一旦出现符号混淆,就会直接导致答案错误或提高解题难度。

因此,考生在做题时要非常注意符号的正确使用。

2.大意误解有些考生在做题时,阅读理解出现失误,对题目的意思产生误解,从而造成答案错误。

所以一定要认真读题理解,分析问题。

尤其是碰到长篇阅读理解时,要先明确大意。

3.计算错误在数学中,很多题目难度相对较低,但往往因为一些简单的计算错误而导致错误答案。

这种错误需要我们在平时做题中多加注意和练习,对于那些需要计算的题目尤其重要。

4.公式错误在解决复杂问题时,我们往往会用到一些公式,不过使用公式时也有可能写错或理解不正确,导致答案错误。

因此,我们必须学会正确地运用公式。

5.转化错误在一些题目中,需要把题目中的信息转化为数学式子,但转化时有可能出现问题。

转化错误的解题方法很难想,因此,要认真仔细看题,并多加练习。

二、重要知识点1.根式根式是数学中常见的一类表达式,在高考数学中也经常出现。

根式的运算和化简需要考生细心认真对待。

2.平面几何平面几何中涉及到的知识点非常多,包括图形的基本性质、相邻角、对顶角、内角和、外角和、周长与面积等等。

考生需要熟记这些知识点,并掌握相应的解题技巧。

3.立体几何立体几何是高考数学中比较难的部分,需要考生掌握图形的三维空间形态,涉及到的知识点包括图形的表面积、体积、棱长、斜高等。

4.导数导数是高中数学中非常重要的一个概念,在高考数学中占有很大的分值和比重。

考生需要明确掌握导数的定义、运算法则等知识点,能够熟练地运用这些知识解决问题。

5.函数函数在高考数学中出现得非常频繁,考生需要掌握函数的概念、性质和运算法则,将它们应用到相应的问题中,解题思路要清晰、技巧到位。

高中数学易错题分类及解析

高中数学易错题分类及解析

高中数学中的易错题分类及解析高中数学中的易错题分类及解析成都玉林中学成都玉林中学 周先华周先华周先华关键词:高考关键词:高考 数学数学 易错题易错题全文摘要:“会而不对,对而不全”严重影响考生成绩“会而不对,对而不全”严重影响考生成绩..易错题的特征:心理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性理因素、易错点的隐蔽性、形式多样性、可控性..易错题的分类解析易错题的分类解析::分为五大类即审题不严、运算失误、概念模糊、公式记忆不准确、思维不严,每类再分为若干小类,列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析为若干小类,列举高中数学中的典型易错题进行误解与正解和错因分析..本文既是对高考中的易错题目的分类解析,同时又是第一轮复习中的一本易错题集是对高考中的易错题目的分类解析,同时又是第一轮复习中的一本易错题集..下表是易错题分类表:表是易错题分类表:正 文数学学习的过程,从本质上说是一种认识过程,其间包含了一系列复杂的心理活动数学学习的过程,从本质上说是一种认识过程,其间包含了一系列复杂的心理活动..从数学学习的认知结构上讲,数学学习的过程就是学生头脑里的数学知识按照他自己理解的深度与广度,结合自己的感觉、知觉、记忆、思维与联想,组合成的一个整体结构知觉、记忆、思维与联想,组合成的一个整体结构..所以,数学中有许多题目,求解的思路并不繁杂,但解题时,由于读题不仔细,或者对某些知识点的理解不透彻,或者运算过程中没有注意转化的等价性,或者忽略了对某些特殊情形的讨论……等等原因,都会导致错误的出现.“会而不对,对而不全”,一直以来都是严重影响考生数学成绩的重要因素都是严重影响考生数学成绩的重要因素. .一.易错题的典型特征解题出错是数学答题过程中的正常现象,它既与数学学习环境有关它既与数学学习环境有关,,又与试题的难易程度有关又与试题的难易程度有关..同时也与考生的数学水平、身体与心理状况有关与考生的数学水平、身体与心理状况有关. .1.考生自我心理素质:数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的产物:数学认知结构是数学知识的逻辑结构与学生的心理结构相互作用的产物..而数学解题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程题是考生主体感受并处理数学信息的创造性的心理过程..部分考生题意尚未明确,加之考试求胜心切,仅凭经验盲目做题,以至于出现主观认识错误或陷入主观思维定势,造成主观盲动性错误和解题思维障碍凭经验盲目做题,以至于出现主观认识错误或陷入主观思维定势,造成主观盲动性错误和解题思维障碍. . 2.易错点的隐蔽性:数学知识的逻辑结构是由数学知识之间的内在的联系联结而成的整体,而其心理结构是指智力因素及其结构,即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五个因素组成构是指智力因素及其结构,即观察力、记忆力、想象力、注意力和思维力等五个因素组成..数学解题是考生借助特定“数学语言”进行数学思维的过程,在这个过程中考生的数学知识结构和数学思维习惯起着决定性的作用个体思维的跳跃性是产生思维漏洞的根本原因,这种思维漏洞一旦产生,考生自己是很难发现的,因此易错点的隐蔽性很强现的,因此易错点的隐蔽性很强. .3.易错点形式多样性:根据数学学习的一般过程及数学认知结构的特点,数学易错点一般有知识性错误和心理性错误两种等形式:而知识性错误主要包括数学概念的理解不透彻、数学公式记忆不准确两方面;心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等心理性错误包括审题不严、运算失误、数学思维不严谨等. .4.易错题的可控性:学生的认识结构有其个性特点:学生的认识结构有其个性特点..在知识总量大体相当的情况下,有的学生对知识不仅理解深刻,而且组织得很有条理,便于储存与撮;相反,有的学生不仅对知识理解肤浅,而且支离破碎,杂乱无章,这就不利于储存,也不容易提取杂乱无章,这就不利于储存,也不容易提取..在学生形成了一定的数学认知结构后,一旦遇到新的信息,就会利用相应的认知结构对新信息进行处理和加工,随着认识活动的进行,学生的认知结构不断分化和重组,并逐渐变得更加精确和完善,所谓“吃一堑长一智”组,并逐渐变得更加精确和完善,所谓“吃一堑长一智”..只要我们在容易出错的地方提高警戒意识,建立建全解题的“警戒点”立建全解题的“警戒点”,,养成严谨的数学思维好习惯,易错点就会逐渐减少养成严谨的数学思维好习惯,易错点就会逐渐减少. .二、易错题的分类解析1.数学概念的理解不透数学概念所能反映的数学对象的属性,不仅是不分精粗的笼统的属性,它已经是抓住了数学对象的根本的、最重要的本质属性本的、最重要的本质属性..每一个概念都有一定的外延与内涵每一个概念都有一定的外延与内涵..而平时学习中对概念本质的不透彻,对其外延与内涵的掌握不准确,都会在解题中反映出来,导致解题出错延与内涵的掌握不准确,都会在解题中反映出来,导致解题出错. . 例1.若不等式ax 2+x+a +x+a<<0的解集为的解集为 Φ,则实数a 的取值范围(的取值范围( )) A.a A.a≤≤-21或a ≥21 B.a B.a<<21 C.-21≤a ≤21 D.a D.a≥≥21【错解】选A.A.由题意,方程由题意,方程ax 2+x+a=0的根的判别式20140a D <Û-<Û a a≤≤-21或a ≥21,所以选A.【错因分析】对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握,忽视了开口方向对题目的影响忽视了开口方向对题目的影响. .【正确解析】【正确解析】D D .不等式ax 2+x+a +x+a<<0的解集为的解集为 Φ,若a=0,a=0,则不等式为则不等式为x<0解集不合已知条件,则a 0¹;要不等式ax 2+x+a +x+a<<0的解集为的解集为 Φ,则需二次函数y=ax 2+x+a 的开口向上且与x 轴无交点,所以a>0且20140120a a a ìD £Û-£Û³í>î.例 2. 命题“若△ABC 有一内角为3p,则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题是(的三内角成等差数列”的逆命题是( ) A .与原命题真值相异.与原命题真值相异 B .与原命题的否命题真值相异.与原命题的否命题真值相异 C .与原命题的逆否命题的真值不同.与原命题的逆否命题的真值不同 D .与原命题真值相同.与原命题真值相同 【错解】选A.A.因为原命题正确,其逆命题不正确因为原命题正确,其逆命题不正确因为原命题正确,其逆命题不正确. .【错因分析】本题容易出现的错误是对几个概念的理解失误:逆命题——将原命题的题设和结论交换、否命题——将原命题的题设和结论同时否定,逆否命题——将原命题的题设和结论交换后再同时否定,原命题与逆命题、否命题与逆命题是两对互为逆否的命题,互为逆否的命题是等价的题与逆命题、否命题与逆命题是两对互为逆否的命题,互为逆否的命题是等价的..【正确解析】选D.D.显然,原命题正确;其逆命题为:显然,原命题正确;其逆命题为:“若△ABC 的三内角成等差数列,则△ABC 有一内角为3p”.也正确,所以选D. 例3.判断函数f(x)=(x -1)xx-+11的奇偶性为____________________ 【错解】偶函数.f(x)=221(1)(1)(1)(1)(1)111x x x x x x x xx++--==+-=---,所以22()1()1()f x x x f x -=--=-=,所以f (x )为偶函数. 【错因分析】上述解法有两个错误:【错因分析】上述解法有两个错误:11未考虑函数的定义域;未考虑函数的定义域;2.x-1<02.x-1<02.x-1<0,放入根号内后根号前应添负号,放入根号内后根号前应添负号,放入根号内后根号前应添负号. .【正确解析】非奇非偶函数【正确解析】非奇非偶函数.y=f(x).y=f(x).y=f(x)的定义域为:的定义域为:(1)(1)01011101x x xx x x +-³ì+³ÛÛ-£<í-¹-î,定义域不关于原点对称,所以此函数为非奇非偶函数关于原点对称,所以此函数为非奇非偶函数. .例4.(2011四川四川))1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是(是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ))(A)12l l ^,23l l ^13//l l Þ (B )12l l ^,3//l l Þ13l l ^ (C)123////l l l Þ 1l ,2l ,3l 共面共面 (D )1l ,2l ,3l 共点Þ1l ,2l ,3l 共面共面【错解】错解一:选A.A.根据垂直的传递性命题根据垂直的传递性命题A 正确;正确;错解二:选C.C.平行就共面;平行就共面;平行就共面;【错因分析】错解一、二都是因为对空间的线线平行、线线垂直、共面等概念的理解不透彻所致【错因分析】错解一、二都是因为对空间的线线平行、线线垂直、共面等概念的理解不透彻所致. .【正确解答】选B.命题A 中两直线还有异面或者相交的位置关系;命题C 中这三条直线可以是三棱柱的三条棱,因此它们不一定共面;命题D 中的三条线可以构成三个两两相交的平面,所以它们不一定共面. 例5.x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( ) A.充分非必要条件充分非必要条件 B.必要非充分条件必要非充分条件 C.充要条件充要条件 D.既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件【错解】【错解】C.C.C.当当.x=ab 时,a 、x 、b 成等比数列成立;当a 、x 、b 成等比数列时,x=ab 成立成立 . 【错因分析】对等比数列的定义理解不透【错因分析】对等比数列的定义理解不透. .【正确解析】选D.D.若若x=a=0x=a=0,,x=ab 成立,但a 、x 、b 不成等比数列,不成等比数列, 所以充分性不成立;反之,若a 、x 、b 成等比数列,则2x ab x ab =Û=±,所以x=ab 不一定成立,必要性不成立所以选D. 例6.(1)(1)把三枚硬币一起掷出,求出现两枚正面向上,一枚反面向上的概率把三枚硬币一起掷出,求出现两枚正面向上,一枚反面向上的概率. (2)(2)某种产品某种产品100件,其中有次品5件,现从中任抽取6件,求恰有一件次品的概率. 分析: (1)【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种,而出现两正一反是一种结果,故所求概率P=.81【正解】在所有的8种结果中,两正一反并不是一种结果,而是有三种结果:正、正、反,正、反、正,反、正、正,因此所求概率,83=P 上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清,所有8种结果的出现是等可能性的,如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了,应用求概率的基本公式n mP =自然就是错误的. (2) 【错解】由题意知,这种产品的次品率为5%,且每次抽取相互独立,由独立重复实验概率公式,得:6件产品中恰有1件次品的概率为:23210)10051(1005)1(5166=-=C P . 【正解】在上题的解法中有两个错误:第一,100件产品,件产品,其中有其中有5件次品与次品率为5%是两个不同的概念;第二,该实验不是独立重复实验,从100件产品中任抽6件,可当作抽了6次,每次抽1个,但每次抽到次品还是正品,显然直接影响到下一次抽到次品还是正品,显然直接影响到下一次抽到次品或正品的概率,具体地说,如果第一次抽出的是次品,那么次品就少了一个,第二次再抽到次品的概率就小了…这就是说各次实验之间并非独立的,错用了独立重复实验概率公式,正确解法应为:2430.0610059515==CC C P . 2.公式理解与记忆不准数学公式众多,学生在应用公式解决数学问题时,由于理解不准确(例如公式成立的条件未考虑)或记忆不准确,极易导致运算失误.例如公式2(0,0,a b ab a b +³>>当且仅当a=b 时“=”成立)中极易忽略数a,b 均为正和取等号的条件,还有学生把我们常用的一些公式记成下面的一系列错误公式:x x =2,111>Þ<x x,2)(v vu v u v u¢+¢=¢,y x y x a a a log log )(log ×=+等等. 例7.若1,0,0=+>>y x y x ,则yx41+的最小值为___________. 【错解】 yx41+8)2(14422=+³³y x xy,错解原因是忽略等号成立条件. 【正解】 yx41+=945)(4³++=+++yxx y y y x x y x 例8.8. 函数y=sin 4x+cos 4x -43的相位____________,初相为__________ .周期为周期为_________,单调递增区间为____________. 【错解】y=sin 4x+cos 4x -43=1cos 44x ,所以相位为4x ,初相为0,周期为2p,增区间为…. 【错因分析】应先把函数转化为正弦型函数【错因分析】应先把函数转化为正弦型函数..教材中关于相位、初相……的定义是在正弦型函数的基础上.【正确解析】y=sin 4x+cos 4x -43=11cos 4sin(4)442x x p =+.相位为42x p+,初相为2p ,周期为2p,单调递增区间为21[,]()42k k k Z p p -Î.3.审题不严审题,是解题的第一步,考生在审题过程中可能发生读题不清楚、未发现隐含条件及字母的意义含混审题,是解题的第一步,考生在审题过程中可能发生读题不清楚、未发现隐含条件及字母的意义含混不清等错误不清等错误. . (1)读题不清例9.(2011四川四川))已知()f x 是R 上的奇函数,且当0x >时,1()()12xf x =+,则()f x 的反函数的图像大致是大致是【错解】选B.B.因为因为1()2xy =在0x >内递减,且1()()12x f x =+过点(过点(00,2),所以选B. 【错因分析】考生未看清楚题目是求()f x 的反函数的图像的反函数的图像. .【正确解答】A .根据函数与其反函数的性质,原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当10,0()1,122x x y ><<Þ<<,所以选A.或者首先由原函数过点(0,2),则其反函数过点(2,0),排除B 、C ;又根据原函数在0x >时递减,所以选A.例10.编号为1,2,3,4,5的五个人,分别坐在编号为1,2,3,4,5的座位上,则至多有两个号码一致的坐法种数为(致的坐法种数为( )A .120 B.119 C.110 D.109 【错解】“至多有两个号码一致”的对立事件是“三个或四个(即五个)号码一致”, 三个号码一致有3252C A 种,四个号码一致仅一种,所以所求的坐法种数为553322552199A C A --=,无选项.多有一盒次品的概率是 . 多有一盒次品的概率是(2)忽视隐含条件1)))y =1, =1, 求828x=-- -∞, , ].+ y =1 y 的取值范围是[1, [1, ].(3)字母意义含混不清x y5 4.运算错误(1)数字与代数式运算出错2211k k ++2211k k ++(2)运算方法(如公式、运算程序或运算方向等)选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错OQ OP 为 . 2265,2x x OP OP 的值为的值为 22331()3-36【正确解析】666(3)忽视数学运算的精确性,凭经验猜想得结果而出错 AB (4)计量单位缺乏量纲意识x 53300003-x 300003]x -].31006000),3000053-x ]310030000-x )].3100200003=Þt .时y 最大,此时对甲商品资金投入量为9999999775.29999)200003(300002=-=x 元,对乙商品资金投入量为0.0000000225元.,此时甲商品获得利润60000000.000045元.(不管怎样分配,甲商品都赚了投入资金的1999倍的钞票!)【错解三】设对甲种商品投入金额x 元,则乙种商品投资为30000-x 元,获得利润总额为y 元. 由于利润总额单位为万元,故)300005351(100001x x y -+=,令]3100,0[,300000,300002Î-==-t t x t x 则t t y 500003)30000(5000012+--=].3100,0[],2096000)23[(5000012Î+--=t t (元)元)25.230000,(75.2999723=-=Þ=Þx x t . 【错因分析】量纲不统一,对经验公式x Q x P 53,51==的单位理解不清.从量纲角度看,长度立方为体积、长度平方为面积(正如体积的立方根为长度、面积的算术平方根长度一样),x Q 53=的单位由经验公式给出的前提是变量x 的单位万元确定,因此,的单位万元确定,因此,【正解一】设对甲种商品投入金额x 万元,是乙种商品投资为(3-x )万元,获得的利润总额为y 万元. 由题意,得]3,0[,35351Î-+=x x x y ,设]3,0[,3,32Î-==-t t x t x 则,则,则t t y 53)3(512+-=].3,0[,2021)23(512Î+--=t t2021,]3,0[23m ax =Î=\y t 时当,即43493=-=x ,494333=-=-x . 因此,为获取最大利润,对甲、乙两种商品的的资金投入应分别为0.75万元和2.25万 元,获得的最大利润为1.05万元. 【正解二】设对甲种商品投入金额x 元,则目标函数应该为元,则目标函数应该为 100003531000051xxy -+×==x x -+300005003500001 令]3100,0[,300000,300002Î-==-t t x t x 则则2021)150(5000015003)30000(50000122+--=+-=t t t y 7500300002=-=Þt x (余与解一同)(余与解一同) 5.数学思维不严谨(1)数学公式或结论的条件不充分例23.已知:已知:a>0 , b>0 , a+b=1,a>0 , b>0 , a+b=1,a>0 , b>0 , a+b=1,求求(a+ 1a )2+(b+ 1b)2的最小值的最小值. .【错解】【错解】 (a+ (a+a 1)2+(b+b 1)2=a 2+b 2+21a +21b +4+4≥≥2ab+ab 2+4+4≥≥4abab 1·+4=8.∴(a+a 1)2+(b+b1)2的最小值是8. 【错因分析】上面的解答中,两次用到了基本不等式a 2+b 2≥2ab 2ab,第一次等号成立的条件是,第一次等号成立的条件是a=b=21,第二次等号成立的条件是ab=ab1,显然,这两个条件是不能同时成立的,显然,这两个条件是不能同时成立的..因此,因此,88不是最小值不是最小值. . 【正确解析】原式【正确解析】原式= a = a 2+b 2+21a +21b +4=( a 2+b 2)+(21a +21b )+4=[(a+b)2-2ab]+[(a 1+b 1)-ab2]+4= (1]+4= (1--2ab)(1+221b a )+4)+4,由,由ab ab≤≤(2ba +)2=41 得:得:11-2ab 2ab≥≥1-21=21, , 且且221b a ≥1616,,1+221b a ≥1717,∴原式,∴原式≥21×17+4=225 ( (当且仅当当且仅当a=b=21时,等号成立时,等号成立)), ∴(a + a 1)2 + (b + b1)2的最小值是252 .例24.已知两正数x,y x,y 满足满足x+y=1,x+y=1,则则z=11()()x y x y++的最小值为的最小值为 . .【错解一】因为对a>0,a>0,恒有恒有12a a+³,从而z=11()()x y x y++³4,4,所以所以z 的最小值是 4. 【错解二】222222()22x y xy z xy xy xy xy xy +-==+-³22(21)-=-,所以z 的最小值是2(21)-. 【错因分析】解法一中,等号成立的条件是11,11,1x y x y x y xy====+=且即且与相矛盾;解法二中,等号成立的条件是2,2xy xy xy ==即,与104xy <£相矛盾相矛盾.. 【正解】z=11()()x y x y ++=1y x xy xy x y +++=21()222x y xy xy xy xy xy xy+-++=+-,令t=xy, 则210()24x yt xy +<=£=,由2()f t t t =+在10,4æùçúèû上单调递减上单调递减,,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值334.(2)以偏概全,重视一般性而忽视特殊情况以偏概全是指思考不全面,遗漏特殊情况,致使解答不完全,不能给出问题的全部答案,从而表现出思维的不严密性思维的不严密性. .例25.(1)(1)不等式不等式不等式|x+1|(2x |x+1|(2x |x+1|(2x--1)1)≥≥0的解集为的解集为____________ ____________ (2)(2)函数函数11xy x+=-的定义域为的定义域为 . . 解析:解析:(1)【错解】1[,)2+¥.因为因为|x+1||x+1|³0恒成立,所以原不等式转化为2x-1³0,所以1[,)2x Î+¥ 【错因分析】忽略了当x=x=--1时|x+1|=0原不等式也成立,即x=-1为不等式的解为不等式的解. .【正确解析】}1{),21[-È+¥.原不等式等价于原不等式等价于|x+1|=0|x+1|=0或2x-1³0,所以解集为1[,){1}2x Î+¥È-. (2) (2) 【错解】【错解】10(1)(1)011xx x x x+³Þ+-³Þ³-或1x £-.【错因分析】两个错误:一是解分式不等式(方程)时未考虑分母不能为0;二是解二次不等式时没有把二次项系数变为正再考虑两根之外或两根之间,从而导致解集出错二次项系数变为正再考虑两根之外或两根之间,从而导致解集出错. .【正解】(1)(1)0(1)(1)010111011x x x x xx x x x +-³+-£ìì+³ÞÞÞ-£<íí-¹¹-îî例26.过点过点(0,1)(0,1)(0,1)作直线,使它与抛物线作直线,使它与抛物线x y 42=仅有一个公共点,这样的直线有(仅有一个公共点,这样的直线有( )A.1条B.2条C. 3条D. 0条【错解】设直线的方程为1+=kx y ,联立îíì+==142kx y xy ,得()x kx 412=+,即:01)42(22=+-+x k x k ,再由Δ=0,0,得得k=1,k=1,得答案得答案A.【错因分析】本题的解法有两个问题,一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了,另外又将斜率k=0的情形丢掉了,故本题应有三解,即直线有三条掉了,故本题应有三解,即直线有三条. .【正确解析】C.C.由上述分析,由上述分析,y 轴本身即为一切线,满足题意;解方程01)42(22=+-+x k x k 时,若k=0k=0,,即直线y=1也与抛物线x y 42=仅有一个公共点,又k=1时也合题意,所以有三条直线合题意,选C. (3)解题时忽视等价性变形导致出错 例27.27. (1)已知f(x) = a x +bx,若,6)2(3,0)1(3££££-f f 求)3(f 的范围的范围. . (2)已知集合}1|||{£-=a x x A ,}0330|{2³---=x xx x B ,且F =B A ,求实数a 的取值范围的取值范围.. 解析:(1)【错解】由条件得ïîïíì£+££+£-622303b a b a ②①由②×由②×22-①-① 156££a ③ ①×①×22-②得-②得 32338-££-b ④ ③+④得 .343)3(310,34333310£££+£f b a 即【错因分析】采用这种解法,忽视了这样一个事实:作为满足条件的函数f(x) f(x) = = a x +bx,其值是同时受b a 和制约的制约的..当a 取最大(小)值时,b 不一定取最大(小)值,因而整个解题思路是错误的不一定取最大(小)值,因而整个解题思路是错误的. .【正确解析】由题意有ïîïíì+=+=22)2()1(b a f b a f , , 解得:解得:解得:)],2()1(2[32)],1()2(2[31f f b f f a -=-=).1(95)2(91633)3(f f ba f -=+=\ 把把)1(f 和)2(f 的范围代入得的范围代入得 .337)3(316££f(2)【错解】由题意,【错解】由题意,A A :11a x a -££+B :2300(6)(5)(3)0{|63x x x x x x x x --³Û-+-³Û³-或53}x -££……(后面略后面略)) 【错因分析】求集合B 时,未考虑分式不等式中分母为零这一条件(若B 中不等式为()0f x >或()0f x <形式而不是()0f x ³或()0f x £则不需要考虑此问题)则不需要考虑此问题). . 【正确解析】由题意,【正确解析】由题意,A=A={|11}x a x a -££+B :2(6)(5)(3)0300{|6303x x x x x x x x x -+-³ì--³ÛÛ³í-¹-î或53}x -£<由F =B A 则(,6)[4,5)a Î-¥- . 例28.已知数列{}n a 的前n 项和12+=n nS,求.n a【错解】【错解】 .222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n nnS S a【错因分析】【错因分析】 显然,当1=n 时,1231111=¹==-S a ,不满足上述公式,不满足上述公式. .没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是n 2³.【正确解析】当1=n 时,113a S ==,n 2³时,时,1111(21)(21)222n n n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=.所以13(1)2(2)n n n a n -ì=ï=í³ïî.例29.实数a 为何值时,圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点有两个公共点. . 【错解】【错解】 将圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线与抛物线 x y 212=联立,消去y , 得 ).0(01)212(22³=-+--x a x a x ①①因为有两个公共点,所以方程①有两个相等正根,得ïïîïïíì>->-=D .01021202a a ,, 解之得.817=a 【错因分析】如下图(【错因分析】如下图(11)(2).显然,当0=a 时,圆与抛物线有两个公共点时,圆与抛物线有两个公共点. .11143q q q qq q 43x y O 图1x y O 图2(4)空间识图不准数学运算能力包括空间想象能力数学运算能力包括空间想象能力数学运算能力包括空间想象能力..空间想象能力是指能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象;能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合与变换;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.表等手段形象地揭示问题的本质.对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志.而空间识图不准导致的立何几何题目出错情况很多. 例31.直二面角α-l -β的棱l 上有一点A ,在平面α、β内各有一条射线AB ,AC 与l 成450,AB b a ÌÌAC ,,则∠BAC= . 【错解】如右图由最小角定理,12221cos cos cos 2223BAC BAC pq q Ð=×=´=ÞÐ=【错因分析】错解中忽视了AC 的另一位置OD OD,此时,此时23BAD p Ð=.【正确解析】3p或23p .如下图.当6CAF pÐ=时,由最小角定理,12221cos cos cos 2223BAC BAC p q q Ð=×=´=ÞÐ=;当AC 在另一边DA 位置时,23BAC pÐ=.(5)推理方向的盲目性根据题的已知条件及所求的特征,有时直接从已知出发,运用公式、定理等得结论,这是综合法;有时需要从结论出发,分析它的必要条件,直到得到一个明显成立的命题,时需要从结论出发,分析它的必要条件,直到得到一个明显成立的命题,这是分析法这是分析法.这是两种不同的推理方向,如果解题时失主理方向不正确,可能导致解题思路受阻或出错. 例32.32. 设f f ( ( ( x x x ) ) ) = = = x x 3-21x 2-2x +5,当]2,1[-Îx 时,f f ( ( ( x x x ) ) ) < < < m m 恒成立,则实数m 的取值范围为 . 【错解】m>72.令2'()320f x x x =-->,得f(x)的增区间为2(,),(1),(1,,)3-¥-+¥,f(-1)=112(区间左端点),7(1)2f =(极小值点),所以]2,1[-Îx 时min 7()2f x =所以m>72.【错因分析】推理方向的不正确,f ( x ) < m 恒成立应理解为max ()m f x >而不是min ()m f x >. 【正确解析】m>7.由题意,f f ( ( ( x x x ) ) ) < < < m m 恒成立即max ()m f x >.令2'()320f x x x =-->,得f(x)的增区间为2(,),(1),(1,,)3-¥-+¥,且f(2)=7,2()73f -<,结合f(x)的草图知,max()7f x =,所以m>7.(6)限域求值端点取值不正确例33.若31<<-x ,则_____________;__________112ÎÎ-x x()])的取值范围是的取值范围是 . .1,3,sin,sin 426636232£Þ£Þ£+£==)36p +£.【错因分析】当2663£+£时,根据正弦函数的图象,)6+[,1]23[,]222,42663p p p p p £Þ£Þ£+£)6p+1[,1]2n (6+(7)说一套做一套,粗枝大叶,心里想的和手上写的不一致tan tan 1=-+=BA 4=. 。

高一数学常见易错点整理

高一数学常见易错点整理

高一数学常见易错点整理一、基础知识错误在高一数学学习的初期,学生常常会犯一些基础知识错误。

比如,对于数的性质、大小关系、运算规则等方面的理解可能不够准确。

这种错误容易导致后续计算和解题过程中出现问题。

为了提高学生的基础知识水平,以下是一些常见易错点的整理:1.1 负数的运算规则高一学生常常容易混淆负数的运算规则,例如,两个负数相乘是否为正数、两个负数相加是否为负数等。

正确理解负数的运算规则对于高一学生来说非常重要。

1.2 百分数和小数之间的转化百分数和小数之间的转化是高一数学中的重要知识点。

学生需要掌握百分数和小数之间的转换方法,以及在实际问题中的应用。

1.3 幂和指数的运算规则幂和指数的运算规则是高一数学中的基础内容,但也是学生容易出错的地方。

学生需要熟练掌握幂和指数的运算规则,尤其是在复合运算中的应用。

二、代数运算错误代数运算是高一数学中的关键内容,学生在进行代数运算时常常会犯一些易错点。

以下是一些常见的代数运算错误及解决方法:2.1 符号取反错误在运算过程中,学生常常容易忽略符号的取反操作,导致最终结果错误。

在进行代数运算时,学生需要注意各项前面的符号取反操作。

2.2 未合并同类项学生在进行多项式的运算时,常常忘记合并同类项,导致结果不正确。

学生需要注意同类项的特点,合并同类项后再进行运算。

2.3 未注意运算顺序学生在进行多项式的运算时,常常忽略运算顺序,直接进行加减乘除运算,导致结果错误。

学生需要根据运算法则正确确定运算顺序,并注意运算的优先级。

三、方程解题错误方程解题是高一数学中的重要内容,学生在方程解题中常常会犯一些易错点。

以下是一些常见的方程解题错误及解决方法:3.1 忘记检查解的合法性学生在解方程时,常常忘记检查解的合法性,直接将解代入方程,导致出现错误。

学生需要在解方程后,将解代入原方程检验是否满足,以确保解的正确性。

3.2 漏解或多解学生在解方程时,常常漏解或多解的情况。

学生需要仔细分析方程的特点,注意解的个数,并在解题过程中进行验证。

高中数学教材易错易混知识点总结

高中数学教材易错易混知识点总结

高中数学教材易错易混知识点总结
高中数学教材中,有些知识点容易出现混淆或易错的情况,下面是一些具体的例子:
1. 函数中的自变量和函数值——在函数中,自变量是输入值,而函数值是输出的结果。

因此,在题目中应当清楚地区分清楚自变量和函数值,避免将两者混淆。

2. 向量的模和方向角——向量的模是向量的长度,而方向角是向量与某个标准方向的夹角。

在计算向量时,要注意区分开二者,避免混淆。

3. 三角函数中的“正弦角”和“余弦角”——正弦角指的是该角的正弦值,余弦角指的是该角的余弦值。

在题目中应当清楚地说明所要求的是哪一个,以避免混淆。

4. 平面向量和空间向量——平面向量与空间向量的概念不同,因此在计算过程中需要注意是否为平面向量或空间向量。

5. 图像对称和函数对称——在二次函数等函数的图像中,有关对称的问题,有的是关于 x 轴对称,有的是关于 y 轴对称。

在解题时需要认真分析,以免混淆。

总之,为了避免容易混淆的情况,在解题时需要认真分析、区分各种概念,尤其是需要注意相似、相同但概念不同的词语,以避免在解题时容易混淆。

高三数学易错知识点归纳

高三数学易错知识点归纳

高三数学易错知识点归纳随着高三学业的紧张和复习的深入,数学作为一门基础且重要的学科,常常成为学生们头疼的问题。

在数学中,总有一些知识点让人迷惑,易出错。

为了帮助高三学生们更好地理解和掌握这些易错知识点,下面将对一些常见的易错知识点进行归纳总结。

1. 不定方程式求解方法的错误应用在解不定方程时,常常会出现错误应用求解方法的情况。

例如,将形如a(x+b)=c的方程错误地视为一元一次方程,从而根据方程两边相等的原则直接得出解答。

实际上,在这种情况下应该将方程分解为gcd(a,b) | c, 然后根据此式来进行求解。

2. 数列求和公式的误用求和公式是数列求和时常用的工具,但也是出错的主要来源之一。

常见的误用有两类:一是错误使用等差数列和等比数列的求和公式;二是错误地对非等差或非等比数列直接使用求和公式。

为了避免这些错误,我们需要在运用求和公式之前,先判断数列的性质,再选择合适的求和公式。

3. 平面几何图形的判定错误在解答平面几何题目时,经常会遇到图形的判定问题。

例如判断两个三角形是否全等、相似,或者判断四边形是否为平行四边形等。

这些判定问题往往需要根据定理和性质来进行分类讨论,但是许多学生容易因为不清楚定理的条件或者忽略了一些重要的性质而出错。

4. 排列组合问题的混淆排列组合是高中数学中的重要内容,但也是容易混淆的一部分。

例如,在计算排列数或组合数时,经常容易出现搞不清楚选择与不选择等情况的错误。

为了避免混淆,我们需要对排列与组合的概念有清晰的理解,并注意问题中所问的具体情况。

5. 二次函数的图像与性质的错误理解二次函数是高三数学中的重要内容,其中最容易出错的是对二次函数图像和性质的理解错误。

例如,对于二次函数的开口方向、顶点坐标以及对称轴位置的理解不准确,都可能导致解题错误。

因此,在学习二次函数时,我们需要多做例题,反复练习,加深对其图像和性质的理解。

6. 不等式运算规则的错误应用不等式是高三数学中的重要内容,但是不等式运算规则的错误应用常常导致解题错误。

高三数学常见易错题解析

高三数学常见易错题解析

高三数学常见易错题解析在高三数学学习中,有些题目看似简单,却是学生们常犯错误的地方。

本文将对一些高三数学中常见的易错题进行解析,帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。

一、函数与方程1. 高次多项式的根求解错误常见错误:对于高次多项式,同学们解方程时容易漏掉一些根,或者将非实数根误认为实数根。

解析:对于高次多项式的解题,应采取以下步骤:a. 利用因式定理进行因式分解,将多项式表示为一些一次因式的乘积;b. 将每个一次因式等于零,求解出每个一次因式的根;c. 判断每个根的重复次数,以确定多项式的所有根。

2. 对数函数的定义域错误常见错误:对于对数函数,同学们容易忘记对定义域的限制条件,将定义域限制错误,导致计算结果错误。

解析:对于对数函数,应注意以下几点:a. 底数必须大于0且不等于1;b. 对数函数中的真数必须大于0。

二、几何与三角学1. 三角函数值的计算错误常见错误:在计算三角函数值时,同学们容易忘记将角度转换为弧度制,或者将角度输入错误,导致计算结果错误。

解析:在计算三角函数值时,应注意以下几点:a. 角度制和弧度制之间的转换关系:1弧度= 180°/π;b. 确保输入的角度是正确的,特别是在使用计算器时,应仔细检查输入的角度是否与题目要求一致。

2. 直角三角形的边长比例错误常见错误:在直角三角形中,同学们容易将边长比例记错,或者将长边与短边混淆,导致计算结果错误。

解析:在解决直角三角形问题时,应注意以下几点:a. 确定直角三角形中的直角边、斜边和对边的位置关系;b. 判断使用何种三角函数计算边长比例,常用的有正弦、余弦和正切。

三、概率与统计1. 事件概率计算错误常见错误:在计算事件概率时,同学们容易将事件的排列组合数计算错误,或者将事件的可能性估计错误,导致计算结果错误。

解析:在计算事件概率时,应注意以下几点:a. 根据实际情况判断事件的可能性,合理估计事件发生的次数;b. 根据排列组合原理计算事件的总数和有利结果的总数;c. 根据概率公式计算事件的概率。

高中数学易错题大汇总及其解析

高中数学易错题大汇总及其解析

【目录】一、导言二、易错题汇总及解析1. 二次函数的基本性质及应用2. 数列与数学归纳法3. 平面向量的运算及应用4. 不定积分与定积分5. 空间几何与三视图6. 概率统计及应用三、总结与展望【正文】一、导言数学作为一门基础学科,对培养学生的逻辑思维能力、数学建模能力和问题解决能力有着举足轻重的作用。

而在高中阶段,数学的难度也相应提升,很多学生容易在一些常见的易错题上犯错。

本文将对高中数学易错题进行大汇总,并给出详细的解析,希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。

二、易错题汇总及解析1. 二次函数的基本性质及应用(1)易错题案例:已知二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象经过点(1,2),且在点(2,1)处的切线斜率为3,求a、b、c的值。

解析:首先利用已知条件列方程,得到三元一次方程组。

然后利用切线的斜率性质,得到关于a和b的关系式。

最后代入已知条件解方程组即可求得a、b、c的值。

(2)易错题案例:已知函数f(x)=ax²+bx+c的图象经过点a、b、c,求a、b、c的值。

解析:利用函数过定点的性质列方程,再利用函数在定点处的斜率为求得a、b、c的值。

2. 数列与数学归纳法(1)易错题案例:已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n²,求an。

解析:利用等差数列的前n项和公式列方程,然后利用数学归纳法求得an的表达式。

(2)易错题案例:已知{an}是等比数列,且a₁=2,a₃=18,求通项公式。

解析:利用等比数列的通项公式列方程,再利用已知条件求出通项公式的值。

3. 平面向量的运算及应用(1)易错题案例:已知向量a=3i+4j,b=5i-2j,求a与b的夹角。

解析:利用向量的夹角公式求出a与b的夹角。

(2)易错题案例:已知平面向量a=2i+j,b=i-2j,求2a-3b的模。

解析:利用向量的运算规则,先求出2a和3b,然后再求它们的差向量,最后求出差向量的模。

高考数学出错知识点

高考数学出错知识点

高考数学出错知识点近年来,随着高考数学难度的增加,考生对于数学出错知识点的关注也越来越高。

本文将详细介绍高考数学中常见的出错知识点,帮助广大考生避免犯错,取得好成绩。

一、函数知识点容易出错1.函数概念混淆:有些考生经常将函数的自变量和因变量搞混,这是一个常见的错误。

函数的自变量是指函数中的变量,而因变量则是由自变量决定的变量。

2.函数运算错误:在进行函数的加、减、乘、除等运算时,考生容易出错。

在进行函数运算时,需要正确对函数进行合并、分解等操作。

3.反函数的理解不准确:有关反函数的相关概念,考生容易混淆。

反函数是指一个函数f的逆函数,记为f的倒数。

考生在使用反函数时,需要注意区分正函数和反函数之间的关系。

二、概率与统计中容易出错的知识点1.概率的计算错误:在计算概率时,考生容易犯错。

计算概率时,需要根据事件的样本空间和样本点进行确定,而不是随意计算。

2.核心概念混淆:在统计学中,考生容易混淆样本均值和总体均值、样本方差和总体方差等概念。

考生需要明确这些概念的含义和计算方法。

3.抽样调查错误:在进行抽样调查时,考生经常犯错。

抽样调查需要满足一定的条件,而不是随意进行,否则会导致结果的不准确。

三、函数与方程中容易出错的知识点1.解方程错误:在解方程时,考生容易漏项、错项或者运算错误。

在解方程的过程中,要仔细检查每一步是否正确,保证解答的准确性。

2.函数的性质混淆:在讨论函数的增减性、单调性和最值等性质时,考生容易混淆。

对于函数的性质要有清晰的理解,并运用正确的方法来推导和分析。

3.函数图像认知错误:在绘制函数图像时,考生容易出错。

对于不同函数类型,考生应该熟悉其图像特点,并正确绘制。

四、几何中常见的出错知识点1.平行线与垂直线的判断错误:在判断平行线和垂直线时,考生容易混淆。

考生需要掌握判断平行线和垂直线的准确方法。

2.图形对称性分析错误:在分析图形的对称性时,考生容易出错。

对于不同类型的对称图形,考生需要准确判断其对称轴和对称点。

高三数学最容易出错的知识点

高三数学最容易出错的知识点

高三数学最容易出错的知识点高三数学是所有高中生必须面对的一门课程,无论对于理科还是文科生来说,都具有重要的意义。

然而,由于难度较大,很多学生在学习过程中经常容易出现错误。

下面就来探讨高三数学最容易出错的知识点。

一、函数方程求解在高三数学中,函数方程求解是一个难点,也是容易出错的地方。

在这个部分中,学生经常会遇到的问题是没有正确地理解什么是函数和方程。

函数是一种映射关系,而方程是函数等式的表达形式。

因此,学生要明确整个解题过程的目标是找到使方程成立的变量的值。

例如,对于一个一次函数方程y=ax+b,有的学生会错误地理解成求解y的取值范围,而不是求解x的值。

这样的错误会导致学生在解题过程中迷失方向,最终得出错误的答案。

二、导数与极值导数是高三数学中的重要概念,与函数的变化趋势密切相关。

在求导过程中,学生容易疏忽导数的定义和求解规则,从而产生错误的结果。

常见的错误包括对函数求导时未进行连续求导、未正确运用导数的运算性质和规则等。

另外,极值也是一个容易出错的知识点。

在求极值的过程中,学生往往存在以下问题:未注意判断驻点的一阶和二阶导数变化的关系、未对极大值和极小值的定义和判断准则有清晰的认识等。

这些小细节的疏忽会导致最终答案的错误。

三、概率统计概率统计是高三数学中的另一个易错知识点。

学生在计算概率时容易忽略事件间的关系、未理解概率的加法和乘法定理、使用错排列组合等。

此外,在解答概率问题时,学生还容易将条件概率与联合概率混淆,导致最终结果的不准确。

在统计部分,学生常常未能正确理解总体和样本的概念,以及如何通过样本推断总体。

此外,学生在进行数据分析时,也容易将平均值、方差和标准差等相关概念混淆,导致数据处理结果的错误。

四、向量与坐标系向量和坐标系是高三数学中的基础知识,学生在这方面容易出错。

在解题过程中,学生经常会将向量的顺序弄错,导致向量的计算结果错误。

此外,学生在进行向量的分解和合成时,容易忽略向量共线的判断条件,从而导致错误的计算结果。

高考数学最易混淆知识点及大题解题方法

高考数学最易混淆知识点及大题解题方法

高考数学最易混淆知识点及大题解题方法随着高考的临近,很多学生对数学成绩总体表现不错,但是对某些难点容易混淆,往往导致失分。

这篇文章将会介绍一些高考数学最易混淆的知识点,并提供解题方法,帮助学生在考试中避免犯错误,提高得分。

1. “导数”与“导函数”的关系在高考中,很多学生容易混淆“导数”和“导函数”的概念。

导数是一个函数在某一点处的斜率,而导函数是原函数的导数。

在解题的过程中,首先要明确这两个概念的区别,并熟悉它们之间的关系。

解题方法:1) 在理解“导数”和“导函数”概念的基础上,学生应该熟悉导数的计算方法,掌握导数的基本性质;2) 对于涉及导数和导函数混淆的题目,可以通过绘制函数图像、使用函数的符号表示来确定函数的导数和导函数,并进一步化简问题。

2. 反比例函数和比例函数在高考数学中,反比例函数和比例函数是常出现的题型,它们之间的区别容易被忽略。

在比例函数中,一个变量的增加导致另一个变量的增加,而在反比例函数中,一个变量的增加导致另一个变量的减少。

解题方法:1)在解决反比例函数和比例函数的问题时,首先要明确概念,并熟悉函数图像的形状。

2)要掌握基本的计算公式和性质,如当x为0时,反比例函数的值为无穷大,y与x的乘积为一定的常数等。

3. 向量运算在高考数学中,向量的基本概念、共线、共面、垂直等概念是必须掌握的,但是在应用向量做题时,很容易犯一些常见的错误,如错误的计算向量的模长、错误的计算向量的点积和叉积,以及误用向量的坐标等。

解题方法:1)在解决向量的问题之前,首先要熟悉向量的基本概念,掌握向量的点积、叉积、模长的计算方法,了解向量所代表的几何意义;2)在解题过程中,应该仔细审题,注意题目中的限制条件,例如向量共线、垂直等,避免犯低级错误;3)在解题时,可以根据题目中的信息绘制向量图,并结合几何意义进行思考,有时候通过画图可以更直观地解决问题。

4. 三角函数三角函数是高考数学考试的重要考点,但是在解题时很容易犯错误,比如在计算角度时忘记换算为弧度制、误认为三角函数值具有唯一性等。

知识点 高考数学易错

知识点  高考数学易错

知识点高考数学易错高考数学易错知识点解析在高考数学中,有些知识点容易让考生疏忽或者理解不透彻,导致易错。

以下将对其中几个常见的易错知识点进行解析,希望对广大考生有所帮助。

一、比例与相似比例与相似是高中数学中的重要概念,在高考中经常涉及到。

其中,一些易错点主要集中在比例与相似的性质和计算上。

比例的性质要牢记:首先是比例的定义,即两个比例相等;其次是比例的运算规则,如比值的倒置是否合理等。

相似的性质要注意理解:相似三角形的性质有比例性质、对应边比例、对应角相等等。

在解题过程中,应根据题目提供的已知条件判断相似的三角形关系,并灵活运用这些性质。

二、函数函数是高中数学的核心内容,也是高考数学的难点之一。

易错知识点主要涉及函数的定义、性质和运算。

一是函数的定义:要理解函数的定义及其符号表示,明确自变量和因变量的概念。

二是函数的性质:如定义域、值域、奇偶性等。

在解题时,需灵活应用函数的性质,注意确定函数的取值范围,排除错误选项。

三是函数的运算:要熟悉函数的四则运算和复合函数的概念。

在运算过程中,尤其是复合函数的运算中,一定要注意正确写出函数的表达式、代入正确的值进行计算。

三、立体几何立体几何是数学中的重要分支,也是高考数学中的难点部分。

易错知识点主要涉及立体几何的空间概念、立体图形的计算等。

一是空间概念的理解:如几何体的名称、性质、包容关系等。

在解题时,需根据已知条件,灵活应用空间几何的性质。

二是立体图形的计算:如表面积、体积等。

对于不同的几何体,计算公式不尽相同,考生要熟悉各类几何体的计算方法,并能根据题目特点选用合适的公式进行计算。

四、概率概率是高中数学的重要内容,也是高考数学中易出错的部分。

主要涉及基本概念的理解和概率计算的方法。

一是基本概念的理解:如样本空间、事件等。

理解事件的概念及其关系,注意事件之间的互斥与独立性质。

二是概率计算的方法:要掌握计算概率的基本方法,如几何概率、频率概率、条件概率等。

高一数学错题集锦与讲解

高一数学错题集锦与讲解

高一数学错题集锦与讲解1. 周长与面积题目:一个正方形的周长为16cm,求它的面积。

解析:设正方形的边长为a,则周长可以表示为4a,根据题目可得4a=16cm,解方程得到a=4cm。

正方形的面积可以表示为a²,代入已知的边长得到面积为4²=16cm²。

所以,这个正方形的面积为16平方厘米。

2. 相似三角形题目:两个三角形的两个内角分别为45°和90°,它们的两边分别成比例,则这两个三角形相似吗?解析:根据三角形的内角和定理可知,三角形的内角和为180°。

已知其中一个三角形的两个内角分别为45°和90°,则第三个内角为180°-45°-90°=45°。

另一个三角形的两个内角分别为45°和90°,则第三个内角也为45°。

因此,这两个三角形的内角完全相同,所以它们是相似三角形。

3. 平行线与相交线题目:如图,AB//CD,AD是两平行线AB和CD的相交线段。

已知∠ABC=80°,求∠CDA的度数。

解析:根据平行线的性质,平行线AB和CD之间的对应角是相等的。

所以∠ABC=∠CDA。

已知∠ABC=80°,代入已知条件可得∠CDA=80°。

4. 三角函数的计算题目:已知cosθ=1/2,求sinθ的值。

解析:根据三角函数的定义可知,sinθ=√(1-cos²θ)。

已知cosθ=1/2,代入公式可得sinθ=√(1-(1/2)²)=√(1-1/4)=√(3/4)=√3/2。

所以,sinθ的值为√3/2。

5. 数列的求和题目:求等差数列1, 4, 7, 10, …, 100的前n项和Sn。

解析:已知第一项a₁=1,公差d=3(等差数列的公差是指相邻两项之间的差值)。

根据等差数列的求和公式,Sn=n(a₁+an)/2。

高中数学易错知识梳理

高中数学易错知识梳理

高中数学易错知识梳理高中数学知识体系庞大,概念繁多,很多同学在学习过程中容易出现错误。

为了帮助同学们更好地掌握数学知识,提高解题能力,下面对高中数学中一些易错的知识点进行梳理。

一、集合与函数1、集合中的元素特性易错点:忽略集合中元素的互异性。

例如,集合{1,2,a},若 a= 1 或 2 时,就不满足元素的互异性。

2、空集易错点:空集是任何集合的子集,但容易忽略空集是某些集合的真子集。

例如,若集合 A ={x | x² 2x + 1 = 0} ={1},则空集是集合 A 的真子集。

3、函数的定义域易错点:求函数定义域时,容易忽略分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数函数的真数大于零等条件。

例如,函数 f(x) = 1 /(x 1),定义域为x ≠ 1。

4、函数的单调性易错点:对函数单调性的定义理解不透彻,错误地认为函数在某个区间内的导数值大于零就是单调递增,小于零就是单调递减。

实际上,还需要考虑导数值为零的点。

5、函数的奇偶性易错点:判断函数奇偶性时,忽略函数定义域关于原点对称这个前提条件。

例如,函数 f(x) =√(x + 1) ,其定义域为x ≥ -1 ,不关于原点对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数。

二、三角函数1、三角函数的定义易错点:在利用三角函数定义求角的三角函数值时,忽略角所在的象限,导致符号错误。

2、诱导公式易错点:记错诱导公式,导致化简或计算错误。

例如,sin(π α) =sinα ,cos(π +α) =cosα 等。

3、三角函数的图象和性质易错点:对三角函数的周期性、对称性、最值等性质理解不深入。

例如,函数 y =sin(ωx +φ) 的周期为 T =2π /|ω| ,对称轴为 x =(kπ +π /2 φ) /ω (k∈Z)。

4、解三角形易错点:在解三角形时,使用正弦定理或余弦定理时忽略角的范围,导致多解或漏解。

三、数列1、等差数列和等比数列的通项公式易错点:记错公式或者在运用公式时,忽略首项和公差(公比)的取值。

高二数学中常见的错题整理与总结

高二数学中常见的错题整理与总结

高二数学中常见的错题整理与总结在高二数学学习的过程中,我们常常会遇到各种各样的题目,有些题目容易出错,而这些错题常常会给我们带来不少困扰。

为了帮助同学们更好地掌握数学知识,下面将对高二数学中常见的错题进行整理与总结。

一、函数与方程1. 错题:求函数的定义域时未考虑到分母为零的情况。

解析:在求函数的定义域时,我们需要注意到分母不能为零的情况。

例如对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$,我们需要考虑$x \neq 0$的限制条件。

2. 错题:未正确运用反函数的概念。

解析:在解题过程中,有时我们需要运用到函数的反函数。

反函数是指将函数的自变量和因变量对调得到的新函数。

我们应该熟练掌握反函数的相关性质和运算法则,灵活运用。

3. 错题:未正确运用函数复合的定义。

解析:函数复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

在运用函数复合的时候,我们需要仔细审题,注意变量的替换和运算的顺序。

二、几何1. 错题:未正确运用正弦定理和余弦定理。

解析:正弦定理和余弦定理是几何学中非常重要的定理,它们可以用来求解三角形的边长和角度。

在应用这两个定理时,我们需要注意各个边和角之间的对应关系,正确设置等式并解方程,避免混淆。

2. 错题:误将两条直线的交点记错。

解析:在求解几何问题时,有时我们需要找到两条直线的交点。

这时我们需要仔细观察题目中直线的方程,运用代数方法求解交点的坐标,注意计算过程的准确性。

三、概率与统计1. 错题:在计算概率时未正确列出样本空间。

解析:计算概率时,我们需要先确定样本空间,即所有可能的结果组成的集合。

未正确列出样本空间会导致后续计算的错误。

2. 错题:未正确理解独立事件和互斥事件的概念。

解析:独立事件是指一个事件发生与否不会影响另一个事件的发生与否,互斥事件是指两个事件不能同时发生。

在解题时,我们需要明确这两个概念,根据题目的要求判断事件之间的关系,正确计算概率。

四、导数与微分1. 错题:计算导数时未正确应用基本求导公式。

(完整版)高中数学易错重点知识点梳理

(完整版)高中数学易错重点知识点梳理

高中数学知识易错点梳理一、集合、简易逻辑、函数1. 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,|x |,y},且A=B,则x+y=2. 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。

已知集合M={y |y=x 2 ,x ∈R},N={y |y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ;与集合M={(x,y )|y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)|y=x 2+1,x∈R}求M ∩N 的区别。

3. 集合 A 、B ,∅=⋂B A 时,你是否注意到“极端”情况:∅=A 或∅=B ;求集合的子集B A ⊆时是否忘记∅. 例如:()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立,求a 的取植范围,你讨论了a =2的情况了吗?4. 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为,n 2,12-n ,12-n .22-n如满足条件}4,3,2,1{}1{⊂⊆M 的集合M 共有多少个5. 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人,表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法? 6. 两集合之间的关系。

},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+==7. (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B);B B A = A B ⊆⇒; 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表:9、否 原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.10、你对映射的概念了解了吗?映射f :A →B 中,A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性,哪几种对应能够成映射? 11、函数的几个重要性质:①如果函数()x f y =对于一切R x ∈,都有()()x a f x a f -=+或f (2a-x )=f (x ),那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称; 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称; 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称.③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数,则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数.④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数,则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数.⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的;函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的;函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数()x f y =+a )0(<a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的.12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时,你标注了该函数的定义域了吗? 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗?函数y=2)3lg()4(--x x x 的定义域是 ;复合函数的定义域弄清了吗?函数)(x f 的定义域是[0,1],求)(log 5.0x f 的定义域. 函数)(x f 的定义域是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域14、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。

2024年高考数学数列易错知识点总结

2024年高考数学数列易错知识点总结

2024年高考数学数列易错知识点总结在2024年高考中,数学数列是一个常见的考点,也是一道容易出错的题型。

为了帮助考生顺利应对数列相关的考试题目,下面总结了一些常见的易错知识点。

一、等差数列的通项公式:等差数列是指数列中任意两项之间的差相等的数列。

它的通项公式为:$a_n = a_1 + (n-1)d$。

对于等差数列来说,考生容易犯的错误有:1. 弄混公差和公比。

公差指的是等差数列中任意两项之间的差,公比指的是等比数列中任意两项之间的比值。

考生在计算等差数列的时候,应该注意区分这两个概念。

2. 弄混首项和通项。

首项指的是数列中的第一项,通项指的是数列中第n项的表达式。

在计算等差数列的时候,考生应该注意首项和通项的区别。

3. 对于计算等差数列的题目,考生有时会直接套用公式,而忽略对问题的分析和推理。

在解题过程中,不应只关注于公式的使用,还应注重思考问题的本质,并结合实际情况进行合理的推理和分析。

二、等差数列的前n项和公式:等差数列的前n项和公式为:$S_n = \\frac{n}{2}(a_1 +a_n)$。

在计算等差数列前n项和的过程中,考生容易犯的错误有:1. 弄混首项和末项。

求前n项和的公式中,首项$a_1$和末项$a_n$都是需要用到的。

考生容易弄混这两个项,在计算过程中应该注意清楚。

2. 计算公式时漏写除以2。

前n项和的公式是$\\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$,但考生在计算的时候经常漏写除以2的操作,导致结果错误。

3. 求前n项和时,考生有时对问题的理解不准确。

在一些应用题中,需要根据题目给出的条件和要求来求解前n项和。

考生如果对问题的理解不准确,很容易在计算过程中出错。

三、等比数列的通项公式:等比数列是指数列中任意两项之间的比值相等的数列。

它的通项公式为:$a_n = a_1 \\times q^{(n-1)}$。

对于等比数列来说,考生容易犯的错误有:1. 弄混公比和公差。

高中数学易错知识梳理

高中数学易错知识梳理

高中数学易错知识梳理高中数学的学习是一个不断积累和总结的过程。

在这个过程中,同学们常常会因为一些易错点而丢分。

下面,我将为大家梳理一下高中数学中常见的易错知识,希望能对大家的学习有所帮助。

一、集合1、忽视空集的存在在求解集合的关系或运算时,容易忽略空集的情况。

空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。

例如,集合 A={x | x² 2x + 1 = 0},集合 B={x | x < 1},若 A⊆B,不仅要考虑方程 x² 2x + 1= 0 的解,还要考虑空集的情况。

2、元素与集合、集合与集合的关系混淆元素与集合的关系是“属于(∈)”或“不属于(∉)”,集合与集合的关系是“包含(⊆)”“真包含(⊂)”等。

例如,{1}∈{1, 2, 3}是错误的,应该是{1}⊆{1, 2, 3}。

二、函数1、函数定义域的忽视在求函数的表达式、值域、单调性等问题时,容易忽略函数的定义域。

例如,函数 f(x) = 1 /(x 1),其定义域为x ≠ 1,若在求单调性时不考虑定义域,就会得出错误的结论。

2、函数奇偶性的判断错误判断函数的奇偶性时,要先判断函数的定义域是否关于原点对称。

若定义域不对称,则函数既不是奇函数也不是偶函数。

例如,函数 f(x) =√(x + 1),其定义域为x ≥ -1,不关于原点对称,所以该函数非奇非偶。

3、求函数值域方法不当求函数值域时,方法选择不当会导致错误。

例如,对于形如 f(x) =(ax + b) /(cx + d)的函数,不能简单地用判别式法求值域,要先考虑分母是否为零。

三、导数1、导数的定义理解不清导数的定义是函数在某一点的瞬时变化率,不能简单地认为是函数在某一点的斜率。

例如,对于函数 f(x) =|x|,在 x = 0 处,导数不存在,因为左导数和右导数不相等。

2、求导公式和法则运用错误求导时,容易记错或用错基本函数的求导公式和求导法则。

例如,(sin x)′ = cos x,(cos x)′ = sin x 等。

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高中数学易错题数学概念的理解不透必修一(1)若不等式ax 2+x+a <0的解集为 Φ,则实数a 的取值范围( ) A.a ≤-21或a ≥21 B.a <21 C.-21≤a ≤21 D.a ≥ 21【错解】选A.由题意,方程ax 2+x+a=0的根的判别式20140a ∆<⇔-<⇔ a ≤-21或a ≥21,所以选A.【正确解析】D .不等式ax 2+x+a <0的解集为 Φ,若a=0,则不等式为x<0解集不合已知条件,则a 0≠;要不等式ax 2+x+a <0的解集为 Φ,则需二次函数y=ax 2+x+a 的开口向上且与x 轴无交点,所以a>0且20140120a a a ⎧∆≤⇔-≤⇔≥⎨>⎩.必修一(2)判断函数f(x)=(x -1)xx-+11的奇偶性为____________________【错解】偶函数.f(x)=(x -===,所以()()f x f x -===,所以f (x )为偶函数.【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为:(1)(1)01011101x x xx x x +-≥⎧+≥⇔⇔-≤<⎨-≠-⎩,定义域不关于原点对称,所以此函数为非奇非偶函数.1) 必修二(4)1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) (A)12l l ⊥,23l l ⊥13//l l ⇒ (B )12l l ⊥,3//l l ⇒13l l ⊥(C)123////l l l ⇒ 1l ,2l ,3l 共面 (D )1l ,2l ,3l 共点⇒1l ,2l ,3l 共面 【错解】错解一:选A.根据垂直的传递性命题A 正确;错解二:选C.平行就共面;【正确解答】选B.命题A 中两直线还有异面或者相交的位置关系;命题C 中这三条直线可以是三棱柱的三条棱,因此它们不一定共面;命题D 中的三条线可以构成三个两两相交的平面,所以它们不一定共面.必修五(5)x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 【错解】C.当.x=ab 时,a 、x 、b 成等比数列成立;当a 、x 、b 成等比数列时,x=ab 成立 .【正确解析】选D.若x=a=0,x=ab 成立,但a 、x 、b 不成等比数列, 所以充分性不成立;反之,若a 、x 、b 成等比数列,则2x ab x =⇔=x=ab 不一定成立,必要性不成立.所以选D.排列组合(6)(1)把三枚硬币一起掷出,求出现两枚正面向上,一枚反面向上的概率. 分析:(1)【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种,而出现两正一反是一种结果,故所求概率P=.81【正解】在所有的8种结果中,两正一反并不是一种结果,而是有三种结果:正、正、反,正、反、正,反、正、正,因此所求概率,83=P 上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清,所有8种结果的出现是等可能性的,如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了,应用求概率的基本公式n m P =自然就是错误的.公式理解与记忆不准(7)若1,0,0=+>>y x y x ,则yx41+的最小值为___________.【错解】 y x 41+8)2(14422=+≥≥y x xy ,错解原因是忽略等号成立条件. 【正解】 yx 41+=945)(4≥++=+++yx xy yy x xy x(8)函数y=sin 4x+cos 4x -43的相位____________,初相为__________ .周期为_________,单调递增区间为____________.【错解】化简y=sin 4x+cos 4x -43=1cos 44x ,所以相位为4x ,初相为0,周期为2π,增区间为….【正确解析】y=sin 4x+cos 4x -43=11cos 4sin(4)442x x π=+.相位为42x π+,初相为2π,周期为2π,单调递增区间为21[,]()42k k k Z ππ-∈. 审题不严 (1)读题不清必修五(9)已知()f x 是R 上的奇函数,且当0x >时,1()()12x f x =+,则()f x 的反函数的图像大致是【错解】选B.因为1()2x y =在0x >内递减,且1()()12x f x =+过点(0,2),所以选B. 【正确解答】A .根据函数与其反函数的性质,原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当10,0()1,122x x y ><<⇒<<,所以选A.或者首先由原函数过点(0,2),则其反函数过点(2,0),排除B 、C ;又根据原函数在0x >时递减,所以选A.排列组合(10)一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带,而生产过程产生次品磁带的概率是0.01.则一箱磁带最多有一盒次品的概率是 .【错解】一箱磁带有一盒次品的概率240.01(10.01)⨯-,一箱磁带中无次品的概率25(10.01)-,所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是240.01(10.01)⨯-+25(10.01)-.【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率124250.01(10.01)C ⋅⨯-,一箱磁带中无次品的概率02525(10.01)C ⋅-,所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是124250.01(10.01)C ⋅⨯-+02525(10.01)C ⋅-.(2)忽视隐含条件必修一(11)设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根,则22)1()1(-+-βα的最小值是( )不存在)D (18)C (8)B (449)A (-【错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得:,6,2+==+k k αββα2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++23494().44k =--选A.【正确解析】利用一元二次方程根与系数的关系易得:,6,2+==+k k αββα2222(1)(1)2121αβααββ∴-+-=-++-+2()22()2αβαβαβ=+--++23494().44k =--Θ 原方程有两个实根βα、,∴0)6k (4k 42≥+-=∆ ⇒.3k 2k ≥-≤或当3≥k 时,22)1()1(-+-βα的最小值是8;当2-≤k 时,22)1()1(-+-βα的最小值是18.选B. 必修一(12)已知(x+2)2+ y 24=1, 求x 2+y 2的取值范围.【错解】由已知得 y 2=-4x 2-16x -12,因此 x 2+y 2=-3x 2-16x -12=-3(x+38)2+328, ∴当x=-83 时,x 2+y 2有最大值283 ,即x 2+y 2的取值范围是(-∞, 283].【正确解析】由已知得 y 2=-4x 2-16x -12,因此 x 2+y 2=-3x 2-16x -12=-3(x+38)2+328由于(x+2)2+ y 24 =1 ⇒ (x+2)2=1- y 24≤1 ⇒ -3≤x ≤-1,从而当x=-1时x 2+y 2有最小值1.∴ x 2+y 2的取值范围是[1, 283].(此题也可以利用三角函数和的平方等于一进行求解)必修一(13) 方程1122log (95)log (32)20x x ------=的解集为___________________- 【错解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=11111122log (95)log 4(32)954(32)(31)(33)0x x x x x x -------=-⇔-=-⇔--=1310x --=或1330x --=所以x=1或x=2.所以解集为{1,2}.【正解】111122222log (95)log (32)20log (95)log (32)log 40x x x x --------=⇔----=111111221954(32)log (95)log 4(32)3203302950x x x x x x x x -------⎧-=-⎪-=-⇔->⇔-=⇔=⎨⎪->⎩所以解集为{2}.字母意义含混不清(14)若双曲线22221x y a b -=-的离心率为54,则两条渐近线的方程为( )A.0916x y ±= B.0169x y ±= C.034x y ±= D.043x y±= 【错解】选D.22222222252593310416164443c c a b b b b x y e y x a a a a a a +==⇒===+⇒=⇒=±⇒=±⇒±=,选D. 【正确解析】2222222211x y y x a b b a-=-⇒-=,与标准方程中字母a,b 互换了.选C.4.运算错误(1)数字与代数式运算出错若)2,1(),7,5(-=-=b a ρρ,且(b a ρρλ+)b ρ⊥,则实数λ的值为____________.【错解】(5,72)a b λλλ+=--+r r ,则(b a ρρλ+)()052(72)03b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r.【正确解析】(5,72)a b λλλ+=--+r r,(ba ρρλ+)19()052(72)05b a b b λλλλ⊥⇔+⋅=⇔-+-+=⇒=r r r r必修二18. 已知直线l 与点A (3,3)和B (5,2)的距离相等,且过二直线1l :3x -y -1=0和2l :x+y -3=0的交点,则直线l 的方程为_______________________【错解】先联立两直线求出它们交点为(1,2),设所求直线的点斜式,再利用A 、B 到12k =⇔=-,所以所求直线为x+2y-5=0.【正确解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.联立直线1l :3x -y -1=0和2l :x+y -3=0的方程得它们的交点坐标为(1,2),令过点(1,2)的直线l 为:y-2=k(x-1)(由图形可看出直线l 的斜率必然存在),11,62k k =⇔==-,所以直线l 的方程为:x-6y+11=0或x+2y-5=0.(2)运算方法(如公式、运算程序或运算方向等)选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错必修二19. 已知圆(x -3)2+y 2=4和直线y=mx 的交点分别为P ,Q 两点,O 为坐标原点,则OQ OP ⋅的值为 .【运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx 与圆的方程(x -3)2+y 2=4消y ,得关于x 的方程22(1)650m x x +-+=,令1122(,),(,)P x y Q x y ,则12122265,11x x x x m m +=⋅=++,则221212251m y y m x x m ==+,由于向量OP uuu r 与向量OQ uuu r共线且方向相同,即它们的夹角为0,所以212122255511m OP OQ OP OQ x x y y m m ⋅=⋅=+=+=++u u u r u u u r. 【正确解析】根据圆的切割线定理,设过点O 的圆的切线为OT (切点为T ),由勾股定理,则222325OP OQ OT ⋅==-=.(3)忽视数学运算的精确性,凭经验猜想得结果而出错 曲线x 2-122=y 的右焦点作直线交双曲线于A 、B 两点,且4=AB ,则这样的直线有___________条.【错解】4条.过右焦点的直线,与双曲线右支交于A 、B 时,满足条件的有上、下各一条(关于x 轴对称);与双曲线的左、右分别两交于A 、B 两点,满足条件的有上、下各一条(关于x 轴对称),所以共4条.【正解】过右焦点且与X 轴垂直的弦AB (即通径)为222241b a ⨯==,所以过右焦点的直线,与双曲线右支交于A 、B 时,满足条件的仅一条;与双曲线的左、右分别两交于A 、B 两点,满足条件的有上、下各一条(关于x 轴对称),所以共3条. 5.数学思维不严谨(1)数学公式或结论的条件不充分24.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=11()()x y x y++的最小值为 .【错解一】因为对a>0,恒有12a a +≥,从而z=11()()x y x y++≥4,所以z 的最小值是4.【错解二】22222()2x y xy z xy xy xy +-==+-≥21)-=,所以z 的最小值是1). 【正解】z=11()()x y x y ++=1y xxy xy x y+++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++=+-,令t=xy, 则210()24x y t xy +<=≤=,由2()f t t t =+在10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减,故当t=14时 2()f t t t =+有最小值334,所以当12x y ==时z 有最小值334.(2)以偏概全,重视一般性而忽视特殊情况必修一(1)不等式|x+1|(2x -1)≥0的解集为____________解析:(1)【错解】1[,)2+∞.因为|x+1|≥0恒成立,所以原不等式转化为2x-1≥0,所以1[,)2x ∈+∞【正确解析】}1{),21[-⋃+∞.原不等式等价于|x+1|=0或2x-1≥0,所以解集为1[,){1}2x ∈+∞⋃-.必修一(2)函数y =的定义域为 .(2) 【错解】10(1)(1)011x x x x x+≥⇒+-≥⇒≥-或1x ≤-.【正解】(1)(1)0(1)(1)010111011x x x x x x x x x+-≥+-≤⎧⎧+≥⇒⇒⇒-≤<⎨⎨-≠≠-⎩⎩(3)解题时忽视等价性变形导致出错 27.已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ,求.n a【错解】 .222)12()12(1111----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 【正确解析】当1=n 时,113a S ==,n 2≥时,1111(21)(21)222nn n n n n n n a S S ----=-=+-+=-=.所以13(1)2(2)n n n a n -⎧=⎪=⎨≥⎪⎩.选修实数a 为何值时,圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点. 【错解】 将圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线 x y 212=联立,消去y , 得 ).0(01)212(22≥=-+--x a x a x ①因为有两个公共点,所以方程①有两个相等正根,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-=∆.01021202a a , 解之得.817=a 【正确解析】要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根;或有两个相等正根.当方程①有一正根、一负根时,得⎩⎨⎧<->∆.0102a 解之,得.11<<-a因此,当817=a 或11<<-a 时,圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 212=有两个公共点.(1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+,求数列的公比q .【错解】 ,2963S S S =+Θq q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)1(21)1(1)1(916131, .012(363)=整理得--q q q1q 24q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 33336=-=∴=-+∴=--≠或得方程由.【正确解析】若1=q ,则有.9,6,3191613a S a S a S ===但01≠a ,即得,2963S S S ≠+与题设矛盾,故1≠q .又依题意 963S 2S S =+ ⇒ q q a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131 ⇒ 01q q 2(q 363)=--,即,0)1)(12(33=-+q q 因为1≠q ,所以,013≠-q 所以.0123=+q 解得 .243-=q空间识图不准必修二直二面角α-l -β的棱l 上有一点A ,在平面α、β内各有一条射线AB ,AC 与l 成450,AB βα⊂⊂AC ,,则∠BAC= .【错解】如右图.由最小角定理,12221cos cos cos 2223BAC BAC πθθ∠=⋅=⨯=⇒∠=. 【正确解析】3π或23π.如下图.当6CAF π∠=时,由最小角定理,时,12221cos cos cos 23BAC BAC πθθ∠=⋅=⨯=⇒∠=;当AC 在另一边DA 位置23BAC π∠=.。

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