苏教版八年级数学反比例函数专题讲练

苏教版八年级数学反比例函数专题讲练

第一课时·反比例函数的基本知识

【学习目标】

1、理解反比例函数的定义；

2、用待定系数法确定反比例函数的表达式；

3、反比例函数的图象画法，反比例函数的性质；

【重点难点】

1、用待定系数法确定反比例函数的表达式；

2、反比例函数的图象画法，反比例函数的性质；

【生活链接】学校课外生物小组的同学准备自己动手，用围栏

建一个面积为24m2的矩形饲养场（如右图所示），设它的一边

长为x(m)，求另一边长y(m)与x(m)之间的函数关系式.

【问题探究】这个函数有什么特点?自变量的取值有什么限制?

知识点1 反比例函数的定义

一般地,形如k

=(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x

y

x

是自变量,y是函数,自变量x的取值范围是不等于0的一切实数,y的取值范围也是不等于0的一切实数,k叫做比例系数,另外,反比例函数的关系式也可写成y=kx-1的形式.

y是x的反比例函数⇔k

=(k≠0) ⇔xy=k(k≠0) ⇔变量y与x

y

x

成反比例,比例系数为k.

拓展 (1)在反比例函数k y x

=(k≠0)的左边是函数y ,右边是分母为自变量x 的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x 的一次单项式,如1y x

=,3

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y x =等都是反比例函数,但21y x =+就不是关于x 的反比例函数.

(2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成y =kx -1或xy =k 的形式. (3)反比例函数中,两个变量成反比例关系. 知识点2 用待定系数法确定反比例函数的表达式

由于反比例函数k y x

=中只有一个待定系数,因此只要有一对对应的x ,y 值,或已知其图象上一点坐标,即可求出k ,从而确定反比例函数的表达式.

其一般步骤:

(1) 设反比例函数关系式k y x

=(k≠0).

(2) 把已知条件(自变量和函数的对应值)代入关系式,得出关于k 的方程.

(3) 解方程,求出待定系数k 的值.

(4) 将待定系数k 的值代回所设的关系式,即得所求的反比例函数关系式.

知识点3 反比例函数图象的画法

反比例函数图象的画法是描点法,其步骤如下:

(1)列表:自变量的限值应以0为中心点,沿0的两边取三对(或三

对以上)相反数,分别计算y的值.

(2)描点:先描出一侧,另一侧可根据中心对称的性质去找.

(3)连线:按从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点,双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不能与坐标轴相交.

说明:在图象上注明函数的关系式.

拓展(1)反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,它的两个分支是断开的.

(2)当k＞0时,两个分支位于第一、三象限；当k﹤0时，两个分

支位于第二、四象限.

(3)反比例函数k

y

=(k≠0)的图象的两个分支关于原点对称.

x

(4)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为x≠0，y≠0.

(1)如图所示，反比例函数的图象是双曲线，反比例函数k

=的

y

x

图象是由两支曲线组成的.当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。它们关于原点对称，限图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.

(2)由反比例函数k

=的图象可知，当k＞0时，在每一象限内，

y

x

y值随x的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y值随x的增大而增大.

(3)因为x≠0，所以图象与y轴不可能有交点，国此，不论x取值何值时，y的值永不为0，同理，图象与x轴也不可能有交点.

拓展(1)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在的位置或函数的增减性，也可以判断出k的符号.

(2)反比例函数的增减性，只能在每个象限内讨论，当k＞0时，在每一象限(第一、三象限)y随着x的增大而减小，但不能笼统地说：当k＞0，y随着x的增大而减小.同样当k＜0时，也不能笼统地说：y 随x的增大而增大.

（3）正比例函数与反比例函数的区别与联系.

函数正比例函数反比例函数

关系式y=kx(k≠0)

k

y

x

(k≠0)

图象过原点的直线与坐标轴没有交点的双曲线自变量

的取值

范围

全体实数x≠0的全体实数

图象位当k＞0时，图象经过第一、当k＞0时，图象在第一、三

置三象限

当k＜0时，图象经过第二、

四象限

象限

当k＜0时，图象在第二、四

象限

性质当k＞0时，y随x的增大而

增大

当k＜0时，y随x的增大而

减小

当k＞0时，在每一象限内，

y随x的增大而减小

当k＜0时，在每一象限内，

y随x的增大而增大

知识点5 反比例函数表达式中k的几何意义

如图所示，过双曲线k

y

x

=上的任意一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N，所得矩形PMON的面积

S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.

因为k

y

x

=，所以xy=k，所以S=|xy|=|k|.

即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|.

已知反比例函数可求矩形面积，反之，已知矩形面积可求反比例函数.

【解题方法小结】

1）求反比例函数解析式的一般方法是待定系数法.由于解析式中只有一个系数k，故只需给出一对x，y的对应值或一个点的坐标即可.

（2）从函数k

y

x

=(k≠0)的图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，与与两坐标轴构成的矩形的面积均为|k|，一条垂线段与坐标轴及该点