弧 弦 圆心角
弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解(基础)
弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。
弧、弦、圆心角
E O· F C B D
︵= ︵ 例1.如图,在⊙O中, AB AC
∠ACB=600, 求证: ∠AOB= ∠BOC= ∠AOC
A
O B
C
例1 如图在⊙O中, AB = AC ，∠ACB=60°, 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC
证明： ∵ AB
A
=
AC
∴ AB=AC．
O·
B
又∵∠ACB=60°，
AO E 180 3 35
75
七、思考 ⌒ ⌒ 如图已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC, 求证AB=CD
C B O D A
类型练习: 如图：A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120° C是AB的中点，求证：四边形OACB是菱形
如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点
B′
A′ B
O
·
A
O
·
A
∵∠AOB＝∠A′OB′
∴射线 OA与OA′重合，OB与OB′重合．
∴OA=OA′，OB=OB′， ∴点 A与 A′重合，B与B′重合．
∴ AB
︵
A ' B '. ∴A B A ' B ' .
︵
三、定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的弧相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆 相等 相等 心角_____， 所对的弦________；
C
∴ AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
1 例2：如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的 ， 3
1 0 0 AB的度数 360 120 3 ∴∠AOB=120 °
第三节 弧,弦,圆心角,弦心距之间的关系
教师姓名学生姓名学管师学科数学年级上课时间月日：00--- ：00 课题弧，弦，圆心角，弦心距之间的关系教学目标定理的内容及其证明教学重难点定理的内容在证明中都是应用教学过程【学习准备】动手画一圆1）把⊙O沿着某一直径折叠，两旁部分互相重合观察得出：圆是对称图形；2）若把⊙O沿着圆心O旋转180°时，两旁部分互相重合，这时可以发现圆又是一个对称图形。
3）若一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与原来图形互相重合，这是圆的不变性。
【解读教材】1、认识圆心角、弦心距、弧的度数1）圆心角的定义：。
2）弦心距的定义：。
3）弧的度数：①把顶点在圆心的周角等分成份时，每一份的圆心角是1°的角。
②因为在同圆中相等的圆心角所对的相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的叫做1°的弧。
③圆心角的度数和它们对的弧的相等。
2、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理自制两个圆形纸片(要求半径相等)，并且在两个圆中，画出两个相等的圆心角，探究：在⊙O中，当圆心角∠AOB=∠A′OB′时，它们所对的弧AB和A'B'，弦AB和''BA，弦心距OM和''MO是否也相等呢？定理总结：在中，相等的圆心角所对的相等，所对的相等，所对弦的也相等。
ABM OA 'M 'B '3、命题的证明: 如图，已知：∠AOB=∠A ′OB ′，求证：弧AB 和A ′B ′，弦AB 和A ′B ′，弦心距OM 和OM ′相等。
问题：定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提,是否还有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论。
举出反例： 。
归纳推论：在 中，如果两个 、两条 、两条 或两条弦的 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
（简记：“知一推三”）【例题精析】 例题一：判断：1）圆心角相等，则圆心角所对的弧也相等； ( ) 2）在同圆或等圆中，弦的弦心距相等； ( ) 3）弦的弦心距相等，则弦相等； ( ) 4）相等的圆心角所对的弧相等。
弧、弦、圆心角教学设计
课题24.1.3弧、弦、圆心角课时1课时上课时间教学目标1.知识与技能了解圆心角的概念:掌握在同圆或等圆中,圆心角、弦、弧中有一组量相等就可以推出其余两组量也相等,及它们在解题中的应用.2.过程与方法学生在探索弧、弦、圆心角的关系的过程中,学会运用分类讨论的数学思想,转化的数学思想解决问题.3.情感、态度与价值观培养学生积极探索数学问题的态度及方法.教学重难点重点:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对弦也相等及其两个推论和它们的应用.难点:探索定理和推论及其应用.教学活动设计二次设计课堂导入1.我们熟悉的既是轴对称图形又是中心对称图形的有哪些?2.见教材83页“探究”探究:剪一个圆形纸片,把它绕圆心旋转180°,所得的图形与原图形重合吗?由此你能得到什么结论?把圆绕圆心旋转任意一个角度呢?实际上,圆是中心对称图形,圆心就是它的对称中心.不仅如此,把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形都与原图形重合.利用这个性质,我们还可以得到圆的其他性质.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.现在利用上面的性质来研究在同一个圆中,圆心角及其所对的弧、弦之间的关系.探索新知请同学们按下列要求作图并回答问题:如图所示的☉O中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A'OB',将圆心角∠AOB 绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置,你能发现哪些等量关系?为什么?在等圆中,相等的圆心角是否也有所对的弧相等,所对的弦相等呢?请同学合作探究们现在动手做一做.(学生活动)老师点评:如图(1),在☉O 和☉O'中,分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A'O'B'得到如图(2),滚动一个圆,使O 与O'重合,固定圆心,将其中的一个圆旋转一个角度,使得OA 与O'A'重合.续表探索新知合作探究你能发现哪些等量关系?说一说你的理由?我能发现:=,AB=A'B'.因此,我们可以得到下面的定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.同样,还可以得到:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等.(学生活动)请同学们现在给予说明一下.请三位同学到黑板板书,老师点评.当堂训练如图,在☉O 中,AB,CD 是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F.(1)如果∠AOB=∠COD,那么OE 与OF 的大小有什么关系?为什么?(2)如果OE=OF,那么与的大小有什么关系?AB 与CD 的大小有什么关系?为什么?∠AOB 与∠COD 呢?归纳小结 1.圆心角概念.2.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等,及其它们的应用.板书设计24.1.3弧、弦、圆心角1.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.2.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.教学反思。
弧、弦、圆心角的关系
M
N
今天作业 课本第94页 3，10
·
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， 由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
O
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合( 圆的旋转不变性） 。
Ａ 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
证明: ∵ A⌒B=A⌒C
∴ AB=AC, △ABC是等腰
Ｏ
三角形.
又 ∠ACB=60° ,
Ｂ
Ｃ
∴ △ABC是等边三角形,
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
例如图，AC与BD为⊙O的两条
互相垂直的直径
求证：A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒A;
反馈练习
1、在⊙O中，AB⌒=AC⌒，∠AOB=70°，E
则∠AOC =
70°
D C
2、如图，AB是⊙O 的直径，
A
·
O
B
，∠COD=35°，
则∠AOE 的度数是 75°
3、在⊙O中，弦AB所对的劣弧
为圆的1/3，圆的半径为2㎝，那么
AB =
㎝
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解(基础)
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【典型例题】类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数.【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等．举一反三：【变式】如图所示，中弦AB=CD，求证：AD=BC.【答案】证法1：∵AB=CD，∴(在同圆中，相等的弦所对的弧(同为优弧或同为劣弧)也相等) ∴∴AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等)证法2：如图，连接OA，OD，OB，OC，∵AB=CD，∴(在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等)∴∴AD=BC(在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等)类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】判断圆周角必须同时满足两条：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角；(b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角．(d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角；(e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角.【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．3.如图所示，AB为⊙O的直径，动点P在⊙O的下半圆，定点Q在⊙O的上半圆，设∠POA=x°，∠PQB=y°，当P点在下半圆移动时，试求y与x之间的函数关系式.【答案与解析】解法1：如图所示，∵AB为⊙O的直径，∠AOP=x°∴∠POB=180°-x°=(180-x)°又解法2：如图所示，连结AQ，则又∵AB是⊙O的直径，∴∠AQB=90°【总结升华】考查圆周角定理的应用.4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？【思路点拨】连结AD，易证∠ADB=90°，即AD是等腰三角形△ABC的高．再由三线合一的性质得出BD与CD的大小关系.【答案与解析】BD=CD.理由是：如图，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB，∴BD=CD.【总结升华】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．举一反三：【变式】如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于（）A. 60°B. 100°C. 80°D. 130°【答案】C.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
弧、弦、圆心角、圆周角
1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2
B
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? • 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A
老师提示:能否也转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD =
弦心距所对应的圆心角相等
在同圆或等圆中 如果弦心距相等
那么
弦心距所对应的弧相等
弦心距所对应的弦相等
条件
在同圆或等圆中 那么 如果圆心角相等
结论
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等 圆心角所对的弦的 弦心距相等
推论：(圆心角定理的逆定理)
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应的其余的 各组量都分别相等。
●
A
O
D C
ADC ABE 900 , C E. ADC ~ ABE. AC AD . AE AB AB AC AE AD.
B E
例2。如图，AB与CD相交于圆内一点P， 求证 AD弧的度数与BC弧的度数和的一半 等于 APD 的度数。
证明:过点C作CE//AB 交圆于E.
弧、弦、圆心角之间的关系： 在同圆或等圆中，相等的圆心角
所对的弧相等，所对的弦相等。
可通过△AOB≌△ A∕OB∕ 然后利用全等的性质得到
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理 （圆心角定理）
• 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
D
A
●
九年级数学 圆 第二讲 弧、弦、圆心角的对应关系
AB 3
3
3
∴ AM MN NB
A
M
NБайду номын сангаасO
B
E
F
C
A
MN O
B
E
F
解析二：
连结 OE，易知 OE 与半径的比．
AC ，也可求得 AM ，进而可求得 AM MO
证法二：
如图，连结 OE，设 AC＝2a，则 AC＝AB＝2OE＝2a
∵ CAM AOC 60 ，∴ AC OE ， C
∴ OM OE a 1 AM AC 2a 2
60
，
AO
EO
a
，
C
∴ AOE 为等边三角形，∴ AE AO a
又∵ EAO CBA 60 ，∴ AE BC
∴ AME BMC ，∴ AM AE a 1 ，∴ AM 1
BM BC 2a 2
AB 3
同理： BN 1 ，∴ MN AB 2 AB 1 AB ，
第二讲 弧、弦、圆心角的对应关系
课标引路
必备解题知识
圆心角
弧
弦
弦心距
必备解题 知识
圆心角 定理
垂径定 理
圆心角 定理
圆心角概念
抓两点
圆心角定理推 论使用前提条 件
注意 必须在同 圆或者等圆中
必备解题知识
圆心角
弧
弦
弦心距
必备解题 知识
圆心角 定理
垂径定 理
圆心角 定理
注意：这里说的相等是指角 的度数与弧的度数相等．而 不是角与弧相等，在书写时
证明三：连结 AE，并延长交 CO 的延长线于 G
设 AC＝2a，则有 AE＝OA＝a（证法一中已证明△AOE 为等边三角形）
3.弧弦圆心角课件
顶点在圆心的圆心角等分成360份时，每 一份的圆心角是1°的角，整个圆周被等分成 360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。
（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）
C
1度弧
D
结论：圆心角的度数和
它所对的弧的度
判断
在两个圆中，分别有 AB和CD , 若 AB 的度 数和 CD 相等，则有
是圆周长的 1/6 。 4、一条弦长恰好等于半径，则此弦所对的圆
心角是 60 度。
课堂检测
5.已知：如图，⊙O中， AB、CD
︵︵
交于E， ACB与DBC的度数相等。线
段DE与线段BE相等吗？证明你的结
论.
•
A
C
E
D
O B
2.如图，在⊙O中，∠B=37°， 劣弧AB的度数是多少？
对应练习
1.在半径相等的⊙O和⊙´ O⌒中,A´⌒B和´ A B 所对的圆 心
角都⌒是6⌒´0°´ . (1)⌒AB和´⌒A´B各是多少度?
(2)AB和A B 相等吗?
(3)在同圆或等圆中,度数相度的弧相等.为什么?
2.若把圆5等分,那么每一份弧是多少度?若把圆8 等分,那么
（1）AB 和 CD 相等
（2）AB 所对的圆心角和 CD 所对的圆 心角相等
例题分析
例1:已知：如图，在△ABC中, ∠C=90°， ∠A=34°,以点C为圆心,CB为半径的圆交 AB于D点，求BD弧的度数.
A
问题：求BD弧的度数，可转化
为求什么？需添辅助线吗？
D
如何添？
C
B
对应练习
1.下列说法，正确的是（ ） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
圆心角弧弦之间的关系公式
圆心角弧弦之间的关系公式文章一朋友们，咱们今天来聊聊圆心角弧弦之间的关系公式。
比如说，你想象一下有个圆形的大蛋糕，从圆心切出一个角来，这就是圆心角。
那连接圆心角两端的曲线就是弧啦。
而从圆心角的两个端点连接到圆上的线段，就是弦。
咱就拿个实际的例子说，一个半径为 5 厘米的圆，有个圆心角是60 度，那对应的弧长怎么算呢？这时候关系公式就派上用场啦！通过公式，咱们就能算出这段弧的长度。
其实啊，圆心角、弧和弦，它们就像是圆这个大家庭里的好伙伴，相互之间有着密切的联系，只要掌握了它们的关系公式，就能轻松解决好多和圆有关的问题。
文章二嗨，大家好！今天咱们要弄明白圆心角弧弦之间的关系公式。
比如说，你去公园玩，看到了一个圆形的喷泉，这时候你就可以想想圆心角弧弦啦。
想象一下从喷泉的中心引出一个角度，这就是圆心角。
沿着这个角度的边，那弯曲的部分就是弧。
而连接角度两边端点到圆边的线段，就是弦。
就像一个半径是 3 厘米的圆，有个圆心角是 90 度，那根据关系公式，就能很快算出弧长和弦长。
所以说，只要理解了这个公式，以后再看到圆的东西，心里就有数啦，是不是挺有趣的？文章三亲爱的小伙伴们，咱们一起来讲讲圆心角弧弦之间的关系公式。
打个比方，你正在画一个圆，然后在圆里随便画一个角，从圆的中心出发的这个角就是圆心角。
这个角所对应的圆上那一段弯曲的线，就是弧。
而把这个角的两个端点和圆连接起来的线段，就是弦。
比如说有个圆，半径是 4 厘米，圆心角是 120 度。
这时候用关系公式，就能算出弧长和弦长到底是多少。
学会了这个公式，不管是做数学题，还是在生活中看到圆形的东西，都能更明白其中的道理啦。
文章四朋友们，今天咱们来探讨一下圆心角弧弦之间的关系公式。
你可以想象一下，一个圆形的摩天轮，当你坐在上面，从摩天轮的中心看出去的角度就是圆心角。
你所经过的那一段圆形轨道就是弧。
而连接你所在位置和摩天轮边缘的线段就是弦。
比如有个半径为 6 厘米的圆，圆心角是 45 度，通过关系公式就能算出弧和弦的长度。
圆心角、弧、弦以及圆心角与圆周角关系
重点考点训练：圆心角、弧、弦以及圆心角与圆周角关系 知识梳理一、圆心角、弧、弦之间的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．2．推论同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．二、圆心角与圆周角1．定义顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．2．性质(1)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．(2)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．(3)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________．三、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补．重点考题1.如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( )A.51°B.56C.68°D.78°2．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOC ＝60°，则∠ABC 的度数是__________°.3．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D ，E 是⊙O 上的点，则∠1＋∠2＝__________.4. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD 的度数为( )A.100°B.110°C.120°D.135°5.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是CD ︵上一点，且DF ︵＝BC ︵，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC.若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )A.45°B.50°C.55°D.60°6.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC ＝( )A.45°B.50°C.60°D.75°7.如图，在⊙O 中，点A 、B 、C 在⊙O 上，且∠ACB ＝110°，则∠α＝ .8.如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE 的大小是( )A.115°B.105°C.100°D.95°9.如图，点O 为优弧ACB ︵所在圆的圆心，∠AOC ＝108°，点D 在AB 的延长线上，BD ＝BC ，则∠D ＝ .10.如图，把直角三角板的直角顶点O 放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M 、N ，量得OM ＝8 cm ，ON ＝6 cm ，则该圆玻璃镜的半径是( )A.10B.5 cmC.6 cmD.10 cm11.如图，∠BOD的度数是( )A.55°B.110°C.125°D.150°12.如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D. (1)求BC的长；(2)求BD的长.13．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．（1）求证：CF﹦BF；（2）若CD﹦6，AC﹦8，则⊙O的半径为，CE的长是．14．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．。
圆心角、弧、弦关系定理
上，且⊙O与角的两边交于A、B、C、D，
求证：AB=CD
B
A P
C
O
M
D B
（1）
变式1：如图（2），∠P的两边与⊙O交与
A
A、B、C、D，AB=CD
P
O
求证：点O在∠BPD的平分线上
C
D
（2）
变式2：如图（3），P为⊙O上一点，PO平分∠APB， 求证：PA=PB
A
P
O
(3) B
变式3：如图（4），当P在⊙O内时，PO平分∠BPD，在⊙中 还存在相等的弦吗？
（2）如果 AB CD，那么____________，_____________
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，__
_____________ _______．
（4）如果OE=OF，那么_____________ ，_____________ ，
_____________
推论：
在同圆或等圆中，如果两个圆
心角、两条弧、两条弦或两条弦的 弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余的各组量都分别相等。
练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦． OE⊥AB于E，OF⊥CD于F
（1）如果AB=CD，那么___________， _____________ ， _________________。
B
C PO
A
D （４）
1、在同圆或等圆中, 圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系。
2、定理和推论
课堂检测：
课本39页练习1、2
E
D
C
A
o
B
例题选讲
例1 如图, 在⊙O中， AB AC ，∠ACB=60°，
圆心角弧弦之间的关系
圆心角弧弦之间的关系
《圆心角弧弦之间的关系》
在数学中，圆心角弧弦之间的关系可被简单地描述为，一个弧（圆线）的所在
的扇形的圆心几个与该弧（圆线）的弦所夹的角的大小相等。
也就是说，在数学上，圆心角弦的关系能够有效地帮助我们确定不同圆线及扇形之间的关系。
圆心角弦之间的关系思想源自半径角关系，具体来讲，该关系给出了一个三点
在一个圆上的关系：半径上垂直与弦（圆线）夹角相等，从而形成了一个三角形。
与半径角关系类似，圆心角弦之间的关系也给出了两个三角形：一个角落点位于圆心，相邻的两条边为该弧（圆线）的两个切点，而另一个三角形的第三个顶点位于圆心外的另一条弧（圆线）上。
同样，圆心角弦之间的关系也能用来说明圆的特点，比如圆的周长、圆的面积
或者半径的变化等现象。
例如，两个具有不同半径的圆，同样的圆心角所夹的弦（圆线）距离也不相同，且距离变化越大，其弦越长。
同时，圆心角弦之间关系还可以用于几何形状的构建。
比如，根据两个圆形构
成的扇形，如果让圆心角相等，同时弦（圆线）之间的距离也相等，则就可以构建一个几何形状，即“几何-半径-弦角”关系构建的图形。
总之，圆心角弦之间的关系是一种综合性的数学关系，可以用来确定不同圆线
及扇形之间的关系，也可以用来说明圆的特点，也可以一定程度上构建相关几何形状，所以该关系十分重要，有着丰富的应用价值。
弧、弦、圆心角PPT教学课件
H O H
H O HH O
C2H5
比较下表含相同碳原子数、不同羟基数的醇的沸点
名称
分子中羟基数目
沸点/℃
乙醇
1
78
乙二醇
2
197.3
1-丙醇
1
97.2
1，2-丙二醇
2
188
1，2，3-丙三醇
3
259
〔结论〕含相同碳原子数、不同羟基数的多元醇的沸点
比一元醇二元醇都高，多元醇具有易溶于水的性质。
〔原因〕是因为多元醇分子中羟基多，一方面增加了分子间 形成氢键的几率；另一方面增加了醇与水分子间形成氢键的几率。
小结
• 饱和一元醇 1、通式 CnH2n+1OH
2、随着C数的增多，熔沸点逐渐增，相对密度呈增大 趋势。 对于同碳数的，支链越多，熔沸点越低，密度越小。
3、随着碳数增多，水溶性降低。 4、比Mr接近的烷烃或烯烃的沸点要高（氢键的影响）.
二、醇的化学性质
〔阅读〕P57交流研讨，以1-丙醇为例分析结构
第 3 课时 弧、弦、圆心角
弧、弦、圆心角之间的相等关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_相__等__，所对的弦 _相__等___． 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心 角__相__等____，所对的弦也__相__等____． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心 角__相__等____，所对的弧也__相__等____．
2、能够利用系统命名法对简单的饱和一元 醇进行命名。
3、了解饱和一元醇的沸点和水溶性特点。 4、根据饱和一元醇的结构特征，说明醇的
化学性质及应用。
1、CH3CH2OH 2、
3、 4、 5、
24.1.3 弧、弦、圆心角
⌒ ⌒ = AOB COD ． （1）如果AB=CD，那么___________ AB CD ，_________________ AOB COD ． AB=CD （2）如果 ⌒ = ⌒ ，那么____________ ，______________ AB CD ⌒ =⌒ AB=CD
┏ A′ D′ ⌒ ⌒ ②AB=A′B′ ③AB=A′B′ ④ OD=O′D′
B′
弧所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 如果弧相等 那么 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等
弦所对的圆心角相等
在同圆或等圆中 如果弦相等那么弦所对的弧（指劣弧）相等
弦的弦心距相等
在同圆或等圆中 如果弦心距相等
弦心距所对应的圆心角相等 那么 弦心距所对应的弧相等 弦心距所对应的弦相等
⌒ = ⌒ , ∠COD=35°， = 2.如图，AB是⊙O的直径， ⌒ BC CD DE
求∠AOE的度数．
E D C A
⌒=⌒ ⌒ 解：∵BC CD = DE
BOC=COD=DOE=35
O
·
AOE 180 3 35
B
75
∵把圆心角等分成360份,则每一份的圆心 角是1º .同时整个圆也被分成了360份.
因此，弧AB与弧A1B1 重合，AB与A′B′重合．
⌒ AB
⌒ /B/ AB A ' B '. = A
四、定理
这样，我们就得到下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
同样，还可以得到：
同圆或等圆中， 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 相等 圆心角 _____ ， 所对的弦 ________ ； 相等 圆心角所对的弧相等 在同圆或等圆中 有一组量相等， 它们所对应的其 那么 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的 其余各组量也相 如果圆心角相等 相等 ，所对的弧_________ 相等 圆心角所对的弦相等 圆心角______ ． 等．
弧弦圆心角
B
OD=OE
∠D= ∠E
∠DMB= ∠ENC ∠DMB= ∠AMN ∠ENC = ∠ANM
∠AMN=∠ANM AM=AN
《弧、弦、圆心角》
6. 已知圆内接△ABC中， AB=AC，圆心O到BC的距离为 3cm,圆半径为7cm,求腰长AB.
A
A
B
D
C
O
O
B
D
C
AB=2√35 AB=2√14 《弧、弦、圆心角》
A⌒N7的.如中图点,A,P是是半直圆径上M一N个上一三个等动分点点,,B⊙是O 的半径为1,求PA+PB的最小值.
M
PA+PB 的最小值是√2
《弧、弦、圆心角》
A
B
O
PN
B′
课堂小结
1． 圆心角
顶点在圆心的角．
A O·
B
2． 弦心距
圆心到弦的距离（即圆
O·
心到弦的垂线段的距离）．
┓
AC
B
《弧、弦、圆心角》
∴AB=AC．
又∠ACB=60°，
O·
∴AB=BC=CA．
B
C
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．
《弧、弦、圆心角》
随堂练习83页
1． AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么__A_B____C__D__， __A __O __B __ __ __C _O __D __．
（2）如果 AB CD ，那么___A__B_=__C_D___， __A __O _B __ __ _C __O _．D
弧、弦、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
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根据勾股定理得 DF= OD2 OF 2 = 15 ,则 CD=2DF=2 15 .
7
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8
2.如图,在圆O中,直径MN⊥AB,垂足为C,则下列结论中错误的是( )
(A)AC=BC
D
(B)弧AN=弧BN
(C)弧AM=弧BM
(D)OC=CN
5
3.在☉O中,圆心角∠AOB=90°,点O到弦AB的距离为4,则☉O的直径的长为( B )
(A)4 2 (B)8 2
(C)24 (D)16
4.如图,OE,OF分别为☉O的弦AB,CD的弦心距,如果OE=OF,那么 写一个正确的结论).
24.1.3 弧、弦、圆心角
1.圆的旋转不变性
圆是 轴对称 图形,任何一条 过圆心 的直线都是它的对称轴.
2.圆心角、弧、弦之间的关系
圆心角:顶点在 圆心 的角叫做圆心角.
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧
,所对的弦
.
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧相、等两条弦中有一组量相等
对应的其他各组量都分别
AB=CD
(只需
6
5.如图,☉O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长.
解:过 O 作 OF⊥CD,交 CD 于点 F,连接 OD, ∴F 为 CD 的中点,即 CF=DF, ∵AE=2,EB=6,∴AB=AE+EB=2+6=8, ∴OA=4,∴OE=OA-AE=4-2=2, 在 Rt△OEF 中,∠DEB=30°, ∴OF= 1 OE=1,在 Rt△ODF 中,OF=1,OD=4,
【方法技巧】 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,反过来也成立,也就是说: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对 应的其余各组量都相等.
4
1.下列说法中,正确的是( B )
(A)等弦所对的弧相等
(B)等弧所对的弦相等
(C)圆心角相等,所对的弦相等
(D)弦相等所对的圆心角相等
.ห้องสมุดไป่ตู้
相等
,那么它们所
相等
1
类型一:圆的旋转不变性 例1 下列命题中,不正确的是( D ) (A)圆是轴对称图形 (B)圆是中心对称图形 (C)圆既是轴对称图形,又是中心对称图形 (D)以上都不对
【思路点拨】 利用圆的旋转不变性
2
类型二:圆心角、弧、弦之间的关系 例2 如图,AB,CD是☉O的两条弦.
(1)如果 AB=CD,那么 = , ∠AOB=∠COD .
(2)如果 = ,那么 AB=CD
, ∠AOB=∠COD .
(3)如果∠AOB=∠COD,那么 =
,AB=CD.
3
(4)如果AB=CD,OE⊥AB于点E,OF⊥CD于点F,OE与OF相等吗?为什么?
解:相等. ∵AB=CD,OA,OB,OC,OD都是圆半径, ∴△OAB≌△OCD. OE,OF为两全等三角形对应边的高, ∴OE=OF.