高考数列专题复习(精典版知识点+大题分类+选择题+答案详解)

文科数列专题复习

一、等差数列与等比数列

1.基本量的思想：

常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系

1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a

a 是等比数列，公比为d

a ，其中a 是常数，d

是{}n a 的公差。（a>0且a ≠1）；

2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。

3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较

4、典型例题分析

【题型1】等差数列与等比数列的联系

例1 （文16）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和S n.

解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，

由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得12

1

d

+

＝

18

12

d

d

+

+

，

解得d＝1，d＝0（舍去），故{a n}的通项a n＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得

S m=2+22+23+…+2n=2(12)

12

n

-

-

=2n+1-2.

小结与拓展：数列{}n a是等差数列，则数列}

{n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}n a的公差。（a>0且a≠1）.

【题型2】与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合

例2 已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋ (2)

－1a

n＝8n对任意的n∈N *都成立，数列{b

n＋1－b n}是等差数列．求数列{a n}与{b n}的通项

公式。

解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n(n∈N*) ①

当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2a n－1＝8(n－1)(n∈N*) ②

①－②得2n－1a n＝8，求得a n＝24－n，

在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，

∴a n＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，∴数列{b n＋1－b n}的公差为－2－(－4)＝2，∴b n＋1－b n＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，法一（迭代法）

b n＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(b n－b n－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)

＝n2－7n＋14(n∈N*)．

法二（累加法）

即b n －b n －1＝2n －8， b n －1－b n －2＝2n －10， …

b 3－b 2＝－2， b 2－b 1＝－4， b 1＝8，

相加得b n ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)

＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2

＝n 2－7n ＋14(n∈N *

)．

小结与拓展：1）在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：

⎩⎨

⎧∈≥-===-)

N n ,2( )1(

111n S S n S a a n n n .是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。

【题型3】 中项公式与最值（数列具有函数的性质）

例3 （文）在等比数列｛a n ｝中，a n ＞0 (n ∈N ＊

），公比q ∈(0,1)，且a 1a 5 + 2a 3a 5 +a

2a 8

＝25，a 3与a s 的等比中项为2。（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）设b n ＝log 2 a n ，

数列｛b n ｝的前n 项和为S n 当

12

12n S S S n

++•••+最大时，求n 的值。 解：（1）因为a 1a 5 + 2a 3a 5 +a 2a 8＝25，所以，23a + 2a 3a 5 +2

5a ＝25

又a n ＞o ，…a 3＋a 5＝5 又a 3与a 5的等比中项为2，所以，a 3a 5＝4 而q ∈（0,1），所以，a 3＞a 5，所以，a 3＝4，a 5＝1，1

2

q =

，a 1＝16，所以， 1

511622n n n a --⎛⎫

=⨯= ⎪

⎝⎭

（2）b n ＝log 2 a n ＝5－n ，所以，b n ＋1－b n ＝－1，

所以，{b n }是以4为首项，－1为公差的等差数列。所以，(9),2

n n n S -=92n S n

n -= 所以，当n ≤8时，

n S n ＞0，当n ＝9时，n S n ＝0，n ＞9时，n S

n

＜0，

当n ＝8或9时，

12

12n S S S n

++•••+最大。 小结与拓展：1）利用配方法、单调性法求数列的最值；2）等差中项与等比中项。

二、数列的前n 项和

1.前n 项和公式Sn 的定义： S n =a 1+a 2+…a n 。

2.数列求和的方法（1）

（1）公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等

比数列的数列；4）常用公式:

1n

k k ==∑1

2

123(1)n n n +++

+=+；

2

1n

k k

==∑22221

6

123(1)(21)n n n n ++++=++；

31

n k k ==∑33332(1)2

123[

]n n n ++++

+=；

1

(21)n k k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++。

（2）分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。

（3）倒序相加法：如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的。

（4）裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。 适用于⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧

+1n n a a c 其中{n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含

阶乘的数列等。如：1）11n n a

a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭和⎧⎫（其中{}n a 等差）可裂项为：111111()n n n n a a d a

a ++=-

⋅；2

1

d

=。

（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消 求和） 常见裂项公式：

（1）

111(1)

1

n n n

n ++=

-

；