二次函数-定值问题典型例题

二次函数-定值问题

【例1】如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．

（1）求b的值；

（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上；

（3）求证：x1•OB+y2•OA=0．

，再根据

x=代入y=

与抛物线

的图象上；

++

，根据两角对应相等的两三角

=，即可证明

﹣

（﹣）﹣

（﹣

，x=y=x y=）

与抛物线

）在反比例函数

++

y=

kx+8=x

+++++，

++，

OFB=90 =，

=

【例2】如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．

【猜想与证明】

填表：

由上表猜想：对任意m（m＞0）均有= ．请证明你的猜想．

【探究与应用】

（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为；

（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；

【联想与拓展】

如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任

取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为．

出均有=

x1=

x4=

x9=

=．

x

x

，

）均有=

=，

AB=

=CD

=，

m

=

=

m

=

=

（﹣（

m y=

m m

﹣m2=m m m =m2m=

=m

=．

故答案为：；；．

【例3】已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．[来

（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；

（2）当m=2时，求h的值；

（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．

）代入求出

）

，

a=

y=

y=x+；

（

y=（﹣

（

y=

（﹣

ECP=﹣﹣=﹣，

ECP=

【例4】如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求证：AO=AM；

（3）探究：

①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；

②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．

的长，然后代入+

x x，然后表示出+

，

，

x

，

AO=m

AM=

+=+

x x +==

，

+=

取何值，+

+是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细．

【例5】. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限内，且AB

sin ∠

（1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式；

（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ∆，△QNR 的面积

QNR S ∆，求QMN S ∆∶QNR S ∆的值

.

解：（1）如图，过点B 作BD OA ⊥于点D ． 在Rt ABD △中，

AB =

sin OAB ∠=

sin 3BD AB OAB ∴=∠==． 又由勾股定理，

得6AD =

==．

1064OD OA AD ∴=-=-=．

点B 在第一象限内，

∴点B 的坐标为(43)，．

∴点B 关于x 轴对称的点C 的坐标为(43)-，． ················ 2分

设经过(00)(43)(100)O C A -，，，，，三点的抛物线的函数表达式为

2(0)y ax bx a =+≠．

由11643810010054

a a

b a b b ⎧

=⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨

+=⎩⎪=-⎪⎩，．

∴经过O C A ，，三点的抛物线的函数表达式为215

84

y x x =

-． ········· 2分 （2）假设在（1）中的抛物线上存在点P ，使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ①

点(43)C -，不是抛物线215

84

y x =

-的顶点， ∴过点C 作直线OA 的平行线与抛物线交于点1P ．

则直线1CP 的函数表达式为3y =-． 对于215

84

y x x =

-，令34y x =-⇒=或6x =． 1143x y =⎧∴⎨=-⎩，；22

63x y =⎧⎨

=-⎩，

． 而点(43)C -，，1(63)P ∴-，

． 在四边形1P AOC 中，1CP OA ∥，显然1CP OA ≠．

∴点1(63)P -，

是符合要求的点． ······················· 1分 ②若2AP CO ∥．设直线CO 的函数表达式为1y k x =．

将点(43)C -，

代入，得143k =-．13

4

k ∴=-． ∴直线CO 的函数表达式为3

4

y x =-．

于是可设直线2AP 的函数表达式为13

4

y x b =-

+． 将点(100)A ，

代入，得131004b -⨯+=．115

2

b ∴=． ∴直线2AP 的函数表达式为315

42

y x =-+．