1994年全国初中数学竞赛试题及答案(修正版)
全国初中数学竞赛试题及解答
ABCD全国初中数学竞赛试卷及解析一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。
请将正确答案的代号填在题后的括号里）1、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a ，则M 与P 的大小关系是（ ）A 、P MB 、P MC 、P MD 、不确定 答案：B 解析：∵3c b a M ，2b a N ，222c b a c N P ，122cb a P M ∵c b a ∴0122122c c c c b a P M ，即0 P M ，即P M 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（a b ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ）答案：C解析：因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ） A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案：A解析：由题意知3×（甲－乙）151025 ∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线49545x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个 答案：B解析：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ，N y 525 ，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足041 N ，且0525 N ，∴541N ，即1 N ，2，3，4，55、设a ，b ，c 分别是ABC 的三边的长，且cb a ba b a，则它的内角A 、B 的关系是（ ）A 、AB 2 B 、A B 2C 、A B 2D 、不确定 答案：B解析：由c b a b a b a得c a bb a ，延长CB 至D ，使AB BD ，于是c a CD 在ABC 与DAC 中，C C ，且DC ACAC BC∴ABC ∽DAC ，D BAC ∵D BAD∴BAC D BAD D ABC 226、已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，111C B A 的三边长分别为1a ，1b ，1c ，面积为1S ，且1a a ，1b b ，1c c ，则S 与1S 的大小关系一定是（ ）A 、1S SB 、1S SC 、1S SD 、不确定 答案：D解析：分别构造ABC 与111C B A 如下：①作ABC ∽111C B A ，显然1211a a S S ，即1S S ；②设101b a ，20c ，则1 c h ，10 S ，10111 c b a ，则10100431S ，即1S S ；③设101 b a ，20 c ，则1 c h ，10 S ，2911 b a ，101 c ，则2 c h ，101 S ，即1S S ；因此，S 与1S 的大小关系不确定。
全国初中数学竞赛试题和答案解析
中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）1（甲）．如果实数a ，b ，c 22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为（ ）．（A ）2c a - （B ）22a b - （C ）a - （D ）a 1（乙）．如果22a =-11123a+++的值为（ ）．（A ）2- （B 2 （C ）2 （D ）222（甲）．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =xb（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2）2（乙）． 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）． （A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）53（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D ）143（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5， 则CD 的长为（ ）．（A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正OAB CED整数，则n 的可能值的个数是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）．（A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p5（乙）．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 .6（乙）.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b cb c c a a b+++++的值为 ．7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为215，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 7（乙）.如图所示，点A 在半径为20的圆O 上，以OA 为一条对角线作矩形OBAC ，设直线BC 交圆O 于D 、E 两点，若12OC =，则线段CE 、BD 的长度差是 。
初中数学竞赛试题及答案解析
初中数学竞赛试题二、填空题1、 41-的负倒数与4-的倒数之和等于 . 2、 甲、乙、丙、丁四个数之和等于90-.甲数减4-,乙数加4-,丙数乘4-,丁数除以4-彼此相等.则四个数中的最大的一个数比最小的一个数大 .3、 已知a 1999=,则=-+---+-200133314232323a a a a a a .4、 填数计算:〇中填入的最小的自然数.△中填入最小的非负数.□中填入不小于5-且小于3的整数的个数.将下式的计算结果写在等号右边的横线上.(〇+□)⨯△= .5、 从集合}5,4,1,2,3{---中取出三个不同的数,可能得到的最大乘积填在□中,可能得到的最小乘积填在〇中,并将下式计算的结果写在等号右边的横线上.-(-□)÷〇= .6、 计算:=------------)4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1 . 7、 x 是有理数,则22195221100++-x x 的最小值是 . 8、 如图,C 是线段AB 的中点,D 是线段AC 的中点.已知图中所有线段的长度之和为23,则线段AC 的长度为.9、 在1000到5000之间同时被24,36,30整除的最小整数是_________,最大整数是__________.10、 一个有理数的倒数的相反数的3倍是31,那么这个有理数是 . 11、 一个有理数的二次幂大于这个有理数,那么这样的有理数的取值范围是 .12、 若8919+=+=+c b a ,则=-+-+-222)()()(a c c b b a .13、 a 1的倒数是51-,那么=a _____. 14、 小丽写出三个有理数,其中每两个有理数的平均值分别是326,217,7,那么这三个有理数的平均值是 .15、 计算:=--+-)36173)(72.0()722(125.11.16、 m ，y 互为相反数,n 和y 互为倒数,则5)(y my n -的值是_____.17、 已知1171=x ,则3)114(3)711)(1(2++--x x x 的值是 . 18、 已知52,32<-<-b a a b .则化简98272-+++-----b a a b a b 所得的结果是 .19、 m ,n 是正整数,mn =120,则m +n 可能取到的最小值是_____.20、 若a=1997,则7122----+a a a a 的值是 .21、 若x = -0.239,则199********-------++-+-x x x x x x 的值等于_____.参考答案二、填空题1、 417- 解：41-的负倒数为411--,4-的倒数为41-, 二者之和为:411--+41-417414-=--=.2、 204解：设等数为a ,则 90)4()4()]4([)]4([-=-⨯+-+--+-+a a a a 即90412-=-a ,∴ a =40, 因此,甲数为36,乙数为44,丙数为-10,丁数为-160,其中,最大数-最小数=44-(-160)=204.3、 4000000 解：当a 1999=时,142314232323-+-=-+-a a a a a a=-+-200133323a a a 200133323-+-a a a ,所以,原式=142323-+-a a a )2001333(23-+--a a a2000200019992000)1(20002+⨯=++=++=a a a a400000020002000=⨯=.4、 0解：〇中填1,△中0,□填8. []⎣⎦⎡⎤00)81(=⨯+.5、 ⎣⎦⎡⎤2160)30(-=÷-- 解：由-3,-2,-1,4,5中任取三个相乘可得10种不同的乘积,它们是:124)1)(3(,205)2)(3(,244)2)(3(,6)1)(2)(3(=⋅--=⋅--=⋅--=---,105)1)(2(,84)1)(2(,6054)3(,155)1)(3(=⋅--=⋅---=⋅⋅-=⋅--,2054)1(,4054)2(-=⋅⋅--=⋅⋅-,最大乘积是30,最小的乘积是-60.∴ ⎣⎦⎡⎤2160)30(-=÷--.6、 137 解：)4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1------------ )4151()3141()2131(1)]4151([)]3141([)]2131([1---------------= )4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1-------+-+-+= 41513141213114151314121311+-+-+--+-+-+= 13710131075121151211==-++-=.7、 1715 解：一般解法是分三种情况讨论:（1）当22195-<x 时 ,,（2）当22110022195≤≤-x 时 ,,（3）当221100>x 时 ,.综合（1）,（2）,（3）可得,最小值是1715.最简单的解法是:根据绝对值的几何意义,22195221100++-x x 表示数轴上x 对应的点P 到22195-对应的点A 和221100对应的点B 的距离之和,易知当P 在线段AB 上时,P A +PB 最小值为2211001715)22195(=--.8、 1373 解：设线段AC 的长度为x ,则AD =2x ,则AB =2x ,DC =2x ,DB =x 23,CB =x ,所以 232321221=+++++x x x x x x ,即23213=x .∴13731346==x .即AB 长度为1373.9、 4680解：24,30,36三个数的最小公倍数是360,10803360=⨯,∴大于10000且能被24,30,36整除的最小整数是1080,又36010805000⋅+>n ,其中n 为自然数,解得9810<n .∴取10=n ,得4680360101080=⋅+.∴具有这种性质的最大整数是4680.10、 -9解：利用还原算法:某数a 的3倍是31,显然91=a ,而91应是一个有理数倒数的相反数,所以这个有理数的倒数为91-,故这个有理数是-9.11、 大于1的有理数和负有理数解：画出数轴如图.大于1的有理数的二次幂大于它自身；1的二次幂等于1;大于0且小于1的有理数的二次幂小于它本身;0的二次幂是0；负有理数的二次幂是正数,大于它自身.综上可知,二次幂大于其自身的有理数的范围,是大于1的有理数和负有理数.12、 222解：由8919+=+=+c b a 得:11,1,10=--=--=-a c c b b a .∴+-+-22)()(c b b a =-2)(a c 222121110011)1()10(222=++=+-+-.13、 51- 解：a 1的倒数是51-,那么a 1=-5,51-=a .14、 1817 解：设小丽写出的三个有理数为x ,y ,z ,则3262,2172,72=+=+=+z y z x y x , 所以15,340,14=+=+=+x z z y y x ,三式相加,3127)(2=++z y x , 则1817181273==++z y x .15、 -14 解：因为2179167212518511.125(2)(0.72)(3)73687100367214-+--=-+=-+=-. 所以原分式的值为-14.16、 0解：由m 和y 互为相反数,知m = -y ,由n 和y 互为倒数,知道0,0≠≠y n 且yn 1= ∴0=-=-y y y y y m y n ,故5)(ym y n -=0. ∴17、 38 解：由1171=x ，可知2114,1171=+=-x x ，所以原式= 37772(1117)322113838111111-+=+=.18、 -6解：由32<-a b ,得03272<--<--a b a b .由52<-b a ,得052>+-a b ,得 05282>+->+-a b a b .而853)2()2(=+<-+-=+b a a b a b . 089<-+<-+∴a b b a98272-+++-----b a a b a b9)()82()72(-+-+----=b a a b a b987+--=6-=.19、 22解：由222)(1204)(4)(n m n m mn n m -+⋅=-+=+当2)(n m -愈小时,2)(n m +越小,从而m +n 也愈小,m 、n 为120的约数,且n m -要最小,由53222120⋅⋅⋅⋅==mn所以,当m =12,n =10时,m +n =22为最小值.20、 4000解：当a =1997时,0719971997,011997199722>-->-+7122----+a a a a)7()1(22----+=a a a a7122++--+=a a a a62+=a4000619972=+⋅=.21、 999解：由b a x <≤,可得a b a x b x -=---,则原式)19961997()23()1(---++---+--=x x x x x x)19961997()23()01(-++-+-=个99921998111=÷+++= 999=.。
全国初中数学竞赛历年竞赛试题及参考答案
一、选择题（只有一个结论正确）1、设的平均数为M，的平均数为N，N，的平均数为P，若，则M与P的大小关系是（）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
答：（B）。
∵M＝，N＝，P＝，M－P＝，∵，∴＞，即M－P＞0，即M＞P。
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千米（），再前进千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（）。
答：（C）。
因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）。
（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。
答：（A）。
由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线平行，与轴、轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（）。
（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。
答：（B）。
在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是＝－1＋4N，＝－25＋5N，（N是整数）．在线段AB上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，∴≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。
5、设分别是△ABC的三边的长，且，则它的内角∠A、∠B的关系是（）。
（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。
答：（B）。
由得，延长CB至D，使BD＝AB，于是CD＝，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC:AC＝AC:DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。
6、已知△ABC的三边长分别为，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为，面积为S1，且，则S与S1的大小关系一定是（）。
1994年全国初中数学竞赛试题及答案
1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z A．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( ) 7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
若BC=a,AC=b,AB=c,则AH·AD+BH·BE+CH·CF的值是〔答〕( )A．1001B．1001,3989C．1001,1996D．1001,1996,3989 〔答〕( )二、填空题（本题满分32分，每小题8分）各小题只要求在所给横线上直接填写结果.3．在△ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6，CA=7，AB=8，则DE=______.4．把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于______.第二试(4月3日上午10：00—11：30)考生注意：本试共三道大题，满分60分.一、（本题满分20分）如图所示，在△ABC中，AB=AC.任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ.求证：△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。
初三数学竞赛试题及参考答案
全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填得零分）1、方程组⎩⎨⎧=+=+6||12||y x y x 的解的个数为（ ）A 、1B 、 2C 、3D 、4答案：A解析：若0≥x ，则⎩⎨⎧=+=+6||12y x y x ，于是6||-=-y y ，显然不可能若0 x ，则⎩⎨⎧=+=+-6||12y x y x于是18||=+y y ，解得9=y ，进而求得3-=x 所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=93y x ，只有1个解． 故选（A ）．2、口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）A 、 14B 、 16C 、18D 、20答案：B解析：用枚举法：红球个数 白球个数 黑球个数 种 数5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4 所以，共16种． 故选（B ）．3、已知ABC ∆为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过ABC ∆的（ ）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心 答案：B解析： 如图，连接BE∵ABC ∆为锐角三角形 ∴BAC ∠，ABE ∠均为锐角又∵⊙O 的半径与ADE ∆的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦 ∴ABE BAC ∠=∠∴BAC ABE BAC BEC ∠=∠+∠=∠2 若ABC ∆的外心为1O 则BAC C BO ∠=∠21∴⊙O 一定过ABC ∆的外心 故选（B ）． 4、已知三个关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则abc ca b bc a 222++的值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 答案：D解析：设0x 是它们的一个公共实数根，则02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx把上面三个式子相加，并整理得()()01020=++++x x c b a因为0432112002+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x所以0=++c b a于是()()33333333222=+-=+-+=++=++abcb a ab abc b a b a abc c b a ab c ca b bc a 故选（D ）．5、方程256323+-=++y y x x x 的整数解（x ，y ）的个数是（ ）A 、0B 、1C 、3D 、无穷多 答案：A解析：原方程可化为()()()()()2113212++-=++++y y y x x x x x因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的。
全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及答案This manuscript was revised on November 28, 2020中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）1（甲）．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为（ ）．（A ）2c a - （B ）22a b - （C ）a - （D ）a 1（乙）．如果22a =-+11123a+++的值为（ ）．（A ）2- （B 2（C ）2 （D ）22（甲）．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =x b（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）．（A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2）2（乙）． 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）．（A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）53（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）214a - （C ）12（D ）143（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）． （A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）OAB CED4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）． （A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p5（乙）．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．（A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 . 6（乙）.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b cb c c a a b+++++的值为 ．7（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为215，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 . 7（乙）.如图所示，点A 在半径为20的圆O 上，以OA为一条对角线作矩形OBAC ，设直线BC 交圆O 于D 、E 两点，xyO ECABD若12OC =，则线段CE 、BD 的长度差是 。
全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题〔共5小题，每题6分，共30分.〕1〔甲〕．如果实数a ，b ，c 22||()||a a b c a b c ++-+可以化简为〔 〕．〔A 〕2c a - 〔B 〕22a b - 〔C 〕a - 〔D 〕a 1〔乙〕．如果22a =- 〕．〔A 〕2- 〔B 2 〔C 〕2 〔D 〕22〔甲〕．如果正比例函数y = ax 〔a ≠ 0〕及反比例函数y =xb 〔b ≠0 〕的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为〔－3，－2〕，那么另一个交点的坐标为〔 〕． 〔A 〕〔2，3〕 〔B 〕〔3，－2〕 〔C 〕〔－2，3〕 〔D 〕〔3，2〕2〔乙〕． 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标〔x ，y 〕的个数为〔 〕． 〔A 〕10 〔B 〕9 〔C 〕7 〔D 〕53〔甲〕．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数及中位数之差的绝对值是〔 〕． 〔A 〕1 〔B 〕 〔C 〕12 〔D 〕143〔乙〕．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5， 那么CD 的长为〔 〕． 〔A 〕23 〔B 〕4 〔C 〕52 〔D 〕4〔甲〕．小倩和小玲每人都有假设干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你假设给我2元，我的钱数将是你的n 倍〞；小玲对小倩说：“你假设给我n 元，我的钱数将是你的2倍〞，其中n 为正整数，那么n 的可能值的个数是〔 〕．OAB CED〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3 〔D 〕44〔乙〕．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数〕的正根小于3， 那么这样的方程的个数是〔 〕．〔A 〕 5 〔B 〕 6 〔C 〕 7 〔D 〕 85〔甲〕．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，那么0123p p p p ，，，中最大的是〔 〕．〔A 〕0p 〔B 〕1p 〔C 〕2p 〔D 〕3p5〔乙〕．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，那么经过99次操作后，黑板上剩下的数是〔 〕． 〔A 〕2021 〔B 〕101 〔C 〕100 〔D 〕99二、填空题〔共5小题，每题6分，共30分〕6〔甲〕．按如图的程序进展操作，规定：程序运行从“输入一个值x 〞到“结果是否>487？〞为一次操作. 如果操作进展四次才停顿，那么x 的取值范围是 .6〔乙〕.如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么的值为 ． 7〔甲〕．如图，正方形ABCD 的边长为215， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 及DE ，DB分别交于点M ，N ，那么△DMN 的面积是 . 7〔乙〕.如下图，点A 在半径为20的圆O 上，以OA 为一条对角线作矩形OBAC ，设直线BC 交圆O 于D 、E 两点，假设12OC =，那么线段CE 、BD 的长度差是 。
全国初中数学联赛试题-1994年
1994年全国初中数学联合竞赛试卷及解答第一试一、选择题１ 1 １1.若0〈a〈1，则a2＋─－2÷(1＋─)×──可化简为( )a2 a 1＋a1－a a－1Ａ.──Ｂ.──Ｃ.1－a2 Ｄ.a2－11＋a a＋12.设a、b、c是不全相等的任意实数，若x＝a2－bc，y＝b2－ca，z＝c2－ab，则x、y、z( )Ａ.都不小于０Ｂ.都不大于０Ｃ.至少有一个小于０Ｄ.至少有一个大于０3.如图所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC、CD、DA相切，若BC＝2，DA＝3，则AB的长( )Ａ.等于4 Ｂ.等于5 Ｃ.等于6 Ｄ.不能确定1＋19944.当x＝──────时，多项式(4x3－1997x－1994)2001的值为( )２Ａ.１Ｂ.－１Ｃ.２2001 Ｄ.－２20015.如图，若平行直线EF、MN与相交直线AB、CD相交，则共得同旁内角( )Ａ.４对Ｂ.８对Ｃ.12对Ｄ.16对6.若方程x－p＝x有两个不相等的实根，则实数p的取值范围是( )１１１Ａ.p≤0 Ｂ.p〈─Ｃ.0≤p〈─Ｄ.p≥─４４４7.设锐角△ABC的三条高AD、BE、CF相交于H，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH.AD＋BH.BE＋CH.CF的值是( )１１Ａ.─(ab＋bc＋ca) Ｂ.─(a2＋b2＋c2)２２２２Ｃ.─(ab＋bc＋ca) Ｄ.─(a2＋b2＋c2)３３１１１8.若ax＝by＝1994z(其中a、b是自然数)，且有─＋─＝─，则2a＋b的一x y z切可能的取值是( )Ａ.1001 Ｂ.1001、3989 Ｃ.1001、1996 Ｄ.1001、1996、3989二、填空题Mx＋N ２ c Mx＋N1.若在关于x的恒等式────＝──－──中，────为最简分式，x2＋x－2 x＋a x＋b x2＋x－2且有a〉b，a＋b＝c，则N＝。
2.当│x＋1│≤6时，函数y＝x│x│－2x＋1的最大值是。
1994年第6届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷(解析版)
1994年第6届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知，则=（）A．0 B．1 C．2或0 D．0或﹣22．（5分）在2﹣75，3﹣50，5﹣25，80﹣12.5四个数中最大者为（）A．2﹣75 B．3﹣50 C．5﹣25 D．80﹣12.53．（5分）如果使分式有意义的一切实数x，上述分式的值都不变，则=（）A．B．C．D．4．（5分）若三角形的周长是偶数，其两边长分别是2和7，则第三边长为（）A．6 B．7 C．8 D．95．（5分）已知一元二次方程px2﹣qx﹣p=0有两根a和b，则以和为根的一元二次方程是（）A．px2+qx﹣p=0 B．px2+qx+p=0 C．qx2+px﹣q=0 D．qx2+px+q=06．（5分）凸多边形的内角中，直角的个数最多可能是（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）在17位数A=12345678987654321中去掉和为60的若干个数，使剩下的数字按原来顺序组成自然数，而B是这些自然数中最小的一个，则B=（）A．885 B．786 C．678 D．4898．（5分）把八张同样大小的等腰梯形桌子拼成如图的环形会议桌，则梯形中较小的内角度数是（）A．75°B．67.5°C．60°D．45°9．（5分）“五羊”大厦如由甲，乙两支工程队合建需6个多月，由甲，丙两支工程队合建需5个多月，由乙，丙两支工程队合建需4个多月．则由甲，乙，丙三支工程队合建最多需几个月（）A．4 B．3 C．2 D．110．（5分）五羊航空公司在六座城市之间开辟直达航线，为了保证做大，任选三座城市，都至少有其中两座彼此之间有直达航线，则至少需要开辟的直达航线数是（）A．8 B．7 C．6 D．15二、填空题（每小题5分，共50分）11．（5分）如果1昼夜有20个小时，1小时有100分钟，那么当6时75分的时候，时针与分针的夹角是度．12．（5分）如图，五角星ABCDE的五个内角之和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=度．13．（5分）边长为整数，周长为12的三角形的面积的最大值是．14．（5分）设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，则xyz=．15．（5分）把全体自然数写成如图数阵的形式，则自然数486是第行的第个数．16．（5分）如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1=0的根，则k的值为．17．（5分）如图，ABCD为矩形，ABDE为等腰梯形，BD=20，EA=10，则AB=．18．（5分）分式方程2﹣=x的根是．19．（5分）边长为a，b，c的三角形有面积公式（海伦公式）：S=，其中s为半周，即s=（a+b+c）．若△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2=16，a4+b4+c4=96．则S△ABC=．1994年第6届“五羊杯”初中数学竞赛初三试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）已知，则=（）A．0 B．1 C．2或0 D．0或﹣2【解答】解：设=t，当a+b+c+d≠0时，a=bt，b=ct，c=dt，d=at，∴abcd=abcdt4，∴t=±1，∴a=b=c=d或a=﹣b，b=﹣c，c=﹣d，d=﹣a，∴==2，或=0，当a+b+c+d=0时，=0，故选：C．2．（5分）在2﹣75，3﹣50，5﹣25，80﹣12.5四个数中最大者为（）A．2﹣75 B．3﹣50 C．5﹣25 D．80﹣12.5【解答】解：2﹣75=（26）﹣12.5=64﹣12.5=，3﹣50=（34）﹣12.5=81﹣12.5=，5﹣25=（52）﹣12.5=25﹣12.5=80﹣12.5=∵25＜64＜80＜81，∴最大者为5﹣25．故选：C．3．（5分）如果使分式有意义的一切实数x，上述分式的值都不变，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵使分式有意义的一切实数x，上述分式的值都不变，∴当x=0时，=，当x=1时，=，∴=，∴b=，∴==．故选：C．4．（5分）若三角形的周长是偶数，其两边长分别是2和7，则第三边长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：设第三边长x，根据三角形的三边关系，得7﹣2＜x＜7+2，即：5＜x＜9，又∵三角形的周长为偶数，∴第三边长为：7．故选：B．5．（5分）已知一元二次方程px2﹣qx﹣p=0有两根a和b，则以和为根的一元二次方程是（）A．px2+qx﹣p=0 B．px2+qx+p=0 C．qx2+px﹣q=0 D．qx2+px+q=0【解答】解：∵一元二次方程px2﹣qx﹣p=0有两根a和b，∴a+b=、ab=﹣1，∴==﹣和=﹣1，∴以和为根的一元二次方程是px2+qx﹣p=0，故选：A．6．（5分）凸多边形的内角中，直角的个数最多可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵凸多边形的外角和等于360°，∴外角中最多有360°÷90°=4个直角，∴内角中最多有4个直角．故选：B．7．（5分）在17位数A=12345678987654321中去掉和为60的若干个数，使剩下的数字按原来顺序组成自然数，而B是这些自然数中最小的一个，则B=（）A．885 B．786 C．678 D．489【解答】解：由于1+2+3+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=60，故可知17位数A=12345678987654321中去掉和为60的若干个数（1、2、3、5、6、7、8、7、6、5、4、3、2、1）后剩余的三个数为4、8、9，B=489B是这些自然数中最小的一个．故选：D．8．（5分）把八张同样大小的等腰梯形桌子拼成如图的环形会议桌，则梯形中较小的内角度数是（）A．75°B．67.5°C．60°D．45°【解答】解：设梯形中较小角为α，则八张同样大小的等腰梯形桌子拼成的图形是正八边形，则正八边形的外角β=180°﹣2α，即知8（180°﹣2α）=360°，解得α=67.5°，故选：B．9．（5分）“五羊”大厦如由甲，乙两支工程队合建需6个多月，由甲，丙两支工程队合建需5个多月，由乙，丙两支工程队合建需4个多月．则由甲，乙，丙三支工程队合建最多需几个月（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：设甲，乙，丙三支工程队合建最多需个月，甲单独干要a个月，乙要b个月，丙要c个月，x==3．最多需要4个月．故选：A．10．（5分）五羊航空公司在六座城市之间开辟直达航线，为了保证做大，任选三座城市，都至少有其中两座彼此之间有直达航线，则至少需要开辟的直达航线数是（）A．8 B．7 C．6 D．15【解答】解：∵五羊航空公司在六座城市之间开辟直达航线，∴至少需要开辟的直达航线数=15条．故选：D．二、填空题（每小题5分，共50分）11．（5分）如果1昼夜有20个小时，1小时有100分钟，那么当6时75分的时候，时针与分针的夹角是27度．【解答】解：∵时针在钟面上每分钟转0.36°，分针每分钟转3.6°，∴钟表上6时75分钟时，时针与分针的夹角可以看成时针转过6×36°+0.36°×75=243°，分针转过3.6×75=270°．∴6时75分钟时分针与时针的夹角=270°﹣243°=27°．故在6点75分，时针和分针的夹角为27°．故答案为：27°．12．（5分）如图，五角星ABCDE的五个内角之和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180度．【解答】解：如图，∵∠1=∠A+∠C，∠2=∠B+∠D，∴∠1+∠2=∠A+∠C+∠B+∠D，∵∠1+∠2+∠E=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．故答案为：180．13．（5分）边长为整数，周长为12的三角形的面积的最大值是4．【解答】解：当此三角形是等边三角形时，这个三角形的面积最大，∵三角形的边长为整数，周长为12，∴边长为4，∴S=×2×4=4．最大故答案为：4．14．（5分）设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，则xyz=±1．【解答】解：由已知x+=y+=z+，得出x+=y+，∴x﹣y=﹣=，∴zy=①同理得出：zx=②，xy=③，①×②×③得x2y2z2=1，即可得出xyz=±1．故答案为：±1．15．（5分）把全体自然数写成如图数阵的形式，则自然数486是第31行的第21个数．【解答】解：根据题意，每一行的自然数个数依次为1、2、3、4、…n，∴当n=30时，=465，当n=31时，=496，又由486﹣465=21，∴自然数486是第31行的第21个数．故答案为：31；21．16．（5分）如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1=0的根，则k的值为±3或﹣5．【解答】解：当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，则k2﹣9=0，解得k=±3，当原方程是一元二次方程时，△=b2﹣4ac=0，即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）=0解得：k=﹣5．故答案为±3或﹣5．17．（5分）如图，ABCD为矩形，ABDE为等腰梯形，BD=20，EA=10，则AB=10．【解答】解：连接AC交BD于点O，∵ABCD是矩形，BD=20，∴BO=DO=10，∵ABDE是等腰梯形，∴AE‖BD，∵AE=10=OD，∴四边形AODE是平行四边形，又∵OD=OA，∴OD=DE=10，∴AB=10．故答案为：10．18．（5分）分式方程2﹣=x的根是x1=1，x2=．【解答】解：原方程化为=2﹣x，∴4﹣=，即=，6﹣=，即=，∴2﹣=，即=，∴4﹣=，即=，∴6﹣=，即=6﹣1+，整理，得﹣=0，解得x1=1，x2=．经检验：x1=1，x2=是原方程的根．故答案为：x1=1，x2=．19．（5分）边长为a，b，c的三角形有面积公式（海伦公式）：S=，其中s为半周，即s=（a+b+c）．若△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2=16，a4+b4+c4=96．则S△ABC=2．【解答】解：∵a2+b2+c2=16，a4+b4+c4=96，又∵（a2+b2+c2）2=a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2a2c2，即162=96+（2a2b2+2b2c2+2a2c2），∴2a2b2+2b2c2+2a2c2=160，∵s=（a+b+c），∴s（s﹣a）（s﹣b）（s﹣c）=（a+b+c）•（b+c﹣a）•（a+c﹣b）•（a+b﹣c）=[（2a2b2+2b2c2+2a2c2）﹣（a4+b4+c4）]=×（160﹣96）=4，∴S===2．△ABC故答案为：2．。
初中数学竞赛试题-希望杯第五届(1994年)初中二年级第二试试题
希望杯第五届(1994年)初中二年级第二试试题一、选择题:（每题4分，共40分）1.如果a<0,2．已知，y=ax7+bx5+cx3+dx+e，其中a,b,c,d,e为常数，当x=2时，y=23；当x=-2时，y=-35，那么e的值是[ ]A．6. B．-6. C.12. D．-123.如果-1<a<0, 那么a,a3,1a中,一定是[ ]A.a最小,a3最大,a最大; C. 1a最小,a最大; D.1a最小,a3最大.4．方程x2-7|x|+12=0的根的情况是[ ]A．有且仅有两个不同的实根.B．最多有两个不同的实根C．有且仅有四个不同的实根.D．不可能有四个实根5．若三角形的三边长度均为整数，其中两边长的差是7，且三角形的周长是奇数，则第三边长可能是[ ]A．9 . B．8. C．7. D．6.6．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是[ ]A．7.5. B．7. C．6.5. D．5.5.7.已知关于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的两个实数根的平方和是717,则a的值为[ ]A．11或3. B．11. C．3. D．58.在ΔABC的三边AB,BC,CA上分别取AD,BE,CF,使AD=14AB,BE=14BC,CF=14AC,则ΔDEF的面积是ΔABC的面积的[ ]A. 14; B.38; C.58; D.716.9．一个凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形的边数的最大值是[ ] A．5. B．6. C．7 .D．810．设n为大于1的自然数，则下列四个式子的代数值一定不是完全平方数的是[ ] A．3n2B．5n2．9n2 .D．11n2二、填空题：（每题4分，共40分）1.已知关于x的二次方程x2+px+2=0的两根为x1和x2,且x1-x2那么p的值为_____. 2．如果(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值为______．3．如图30,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ，AB=DC=10厘米，AC 与BD 相交于G ，且∠AGD=60°，设E 是CG 的中点，F 是AB 的中点，则EF 的长为________．4．如图31中，以A,B,C,D,E,F,G,H 这些点为端点的线段共有______条．5.若a,b,c 是实数,且2+b 2+c 2=4,则(a-2b+c)1994=______. 6．编写一本数学书的页数总共用6869个数字，（例如一本10页的书， 它的页数是一位数的9个，两位数的1个，总共用去数字9+2=11个）， 那么这本数学书的页数是________．7．一个口袋内装有红、蓝、白三种不同颜色的小球,其中蓝球数 至少是白球数的一半,但至多是红球数的13,白球与蓝球的总和 至少是55个,则红球至少有________.8．如图32，正方形ABCD 内有一个内接△AEF ，若∠EAF=45°， AB=8厘米，EF=7厘米，则△EFC 的面积是______．9. 若a,b,c 是实数,且,ab+2c 2+14=0,那么bc a 的值是_____.10．已知：a ≠0，14(a 2+b 2+c 2)=(a+2b+3c) 2，那么，a ∶b ∶c=______． 三、解答题（每题10分，共20分）1． 如图33，五边形ABCDE 中，AB=AE ，BC+DE=CD ，∠BAE=∠BCD=120°，∠ABC+∠AED=180°，连接AD ．求证：AD 平分∠CDE ．2．如图34，甲、乙、丙三人同时分别从A、B、C出发,甲向C,乙、丙向A前进,过了217小时,甲与乙于M点相遇;又过了514小时,丙于N点追及乙,已知B点恰为N,C的中点,M与N之间的距离为107公里；又知甲比丙提前1小时到达目的地，问A与B，B与C之间各多少公里？答案·提示一、选择题提示：2．由题设知，当x=2时，23=a·27+b·25+c·23+d·2+e ①当x=-2时，-35=a·(-2)7+b·(-2)5+c·(-2)3+d·(-2)+e，即35=-a·27-b·25-c·23-d·2+e ②①+②，则得2e=-12，所以e=-6．故选(B)．4．原方程可化为|x|2-7|x|+12=0．推出(|x|-4)(|x|-3)=0．从而|x|=4或|x|=3解得x=±3，x=±4，故选(C)．5．不妨设三角形三边长度为a,b,c．且，则a与b为一奇一偶，又题设知a+b+c 为奇数，所以c一定是偶数，又三角形两边之差小于第三边，即c＞，所以第三边长可能是8，故选(B)．6．如图35，自C作DH的垂线CE交DH于E．∵DH⊥AB，CB⊥AB．∴CB∥DH又CE⊥DH．∴四边形BCEH是矩形，则HE=BC=2，在Rt△AHD中，∠A=60°，∴∠ADH=30°，又∠ADC=90°∴∠CDE=60°，则在Rt△CED7．设方程的两个实根为x1，x2，则整理②式得，a2+8a-33=0，解得a=3或a=-11．将a=3代入①式得32+16×3-8＞0．将a=-11代入①式得(-11)2+16·(-11)-8＜0矛盾．故选(C)．8．如图36，连接AE．9．设∠A，∠B，∠C均为钝角，则90°＜A＜180°，90°＜B＜180°，90°＜C＜180°．270°＜A+B+C＜540°．n边形中其余n-3个角均小于等于90°．∵∠A+∠B+∠C+∠D+…+∠N＜540°·90°．n边形的n个角和为(n-2)×180°．∴(n-2)·180°＜540°+(n-3)·90°推出．n＜7，∴n的最大值为6．又极端情况为三钝角相邻，三个角的各边接近为一条角线，如图37可画出恰有三个钝角的六边形，故选(B)．10．解一：欲使9n2为某自然数的平方，有9n2-9n+9=9(n2-n+1)，必须使n2-n+1为某自然数的平方，而n＞1时有n2-2n+1＜n2-n+1＜n2，即n2-n+1不可能为某自然数的完全平方，故选(C)．解二：当n=2时，3n2-3n+3=9，当n=3时，5n2-5n-5=25，当n=4时，11n2-11n-11=121均为完全平方数，所以排除(A)，(B)，(D)．选(C)．二、填空题提示：1．由题设的方程的两根为x1，x2，得2．解法一：∵(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5．其中a0＞0，a2＞0，a4＞0，a1＜0，a3＜0，a5＜0．∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5．将x=-1代入原等式两端得[1-3×(-1)]5=a0+a1·(-1)+a2·(-1)2+a3·(-1)3+a4·(-1)4+a5·(-1)5即1024=a0-a1+a2-a3+a4-a5．∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=1024-a0=1023解法二：将(1-3x)5用乘法分式逐项展开，得(1-3x)5=1-15x+90x2-270x3+405x4-243x5∴|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=90+270+405+243=1023．3．如图38，连接BE．∵AB=CD，AD∥BC．∴四边形ABCD是等腰梯形，又∠BGC=∠AGD=60°．∴△BCG为等边三角形，BE是CG边的中垂线．∴BE⊥CG即△ABE是直角三角形．4．线段有AB,AG,AE,GE,DH,DE,HE,DF,DC,FC,Ad,BG,BH,BF,GF,HF,BC,BE,EC共20条．6．一位数9个，需9个数字，两位数90个，需2×90个数字，三位数900个，需3×900个数字，四位数9000个，需4×9000个数字．而9+2×90+3×900＜6869＜9+2×90+3×900+4×9000．即2889＜6869＜38889．设需用x个四位数码．则9+90×2+900×3+4x=6869．解得x=995．所以书的页数为1000+995-1=1994．7．设红、蓝、白三种小球的个数分别为x,y,z．则∴y+z≤y+2y=3y．x≥3y=57，∴红球至少有57个．8．延长EB到G，使BG=DF，连接AG（图39），∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF，∴∠2=∠3，又∠1+∠2=45°，∴∠1+∠3=45°，∠EAF=45°．在△AEF和△AEG中，AE=AE，AF=AG，∠EAF=∠EAG∴△AEF≌△AEG，EF=EG=7．S△EFC=S ABCD-S ABEFD=S ABCD-2S△AEG10．由题设得14a2+14b2+14c2=a2+4b2+9c2+4ab+6ac+12bc∴13a2+10b2+5c2-4ab-6ac-12bc=0．(4a2-4ab+b2)+(9a2-bac+c2)+(9b2-12bc+4c2)=0．即(2a-b)2+(3a-c)2+(3b-2c)2=0．∴2a-b=0，3a-c=0，3b-2c=0．即b=2a,c=3a，3b=2c，∴a∶b∶c=1∶2∶3．三、解答题1．证一：如图40，连接AC，将△ABC绕A点旋转120°到△AEF．∵AB=AE，∠BAE=120°，∴AB与AE重合．又∠ABC+∠AED=180°．∴D，E，F在一条直线上，AC=AF．在△ACD和△AFD中，DE+EF=DE+BC=CD．AF=AC，∴△ACD≌△AFD，∴∠ADC=∠ADF即AD平分∠CDE．证二：如图41连接AC．∵BC+DE=CD,AB=AE,∠ABC+∠AED=180°．∴将△ABC，绕C点顺时针方向旋转至△FGC，同时将△AED绕D点逆时针方向旋转至△FGD．则AB与AE重合成FG，AC旋转后成CF，AC=CF，AD旋转后成DF，AD=DF，CD=CD．∴△ACD≌△FCD，∴∠ADC=∠FDC=∠ADE．即AD平分∠CDE．证三：如图42．∵BC+DE=CD．在CD上，取CF=DE，则FD=BC．连接BF，FE，AF，AC．在△BCF和△FDE中，BC=FD，CF=DE，∠BCF=120°，∠FDE=540°-120°-120°-180°=120°（五边形内角和=540°）∴△BCF≌△FDE．∴BF=FE，∠1=∠3，∠2=∠4．在△ABF和△AEF中，AB=AE，BF=FE，在△ACF和△ADE中，AF=AE，CF=DE，∠AFC=60°+∠2=60°+∠4=∠AED，∴△ACF≌△ADE，∠ADE=∠ACF，AC=AD，∠ACF=∠ADF，∴∠ADE=∠ADF，∴AD平分∠CDE．证四：如图43，延长BC，ED相交于F，自A向BC和DE的延长线引垂线AG，AH，垂足分别为G，H连接AF与CD相交于K．在Rt△ABG和Rt△AEH中，AB=AE，∠ABG=180°-∠AED=∠AEH，∴△ABG≌△AEH，∴AG=AH，∠BAG=∠EAH．在△CDF中，∠FCD=180°-∠BCD=60°，∠CDF=180°-∠CDE．∠CDE=540°-(180°+120°+120°)=120°∴∠CDF=60°，∴△CDF是等边三角形．∴CD=CF=FD．在Rt△AGF和Rt△AHF中AG=AH，AF=AF，∴△AGF≌△AHF，∴∠AFG=∠AFH=30°，∴FK平分∠CFD，FK垂直平分CD．又∵BC+DE=CD，BG=EH．在Rt△ADK和Rt△ADH中AD=AD，DK=DH，∴△ADK≌△ADH，∠ADK=∠ADH即AD平分∠CDH．2．如图44，N点在M点左侧．设甲、乙、又设AB的距离为x公里，则即答：A，B之间距离为30公里，B，C之间距离为10公里．。
详解——1994年全国初中数学竞赛试题
1994年全国初中数学联赛参考答案及详解第一试答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B D C B D【详解】12、D假设没有一个大于0,则全都小于0,于是有X+Y+Z<0即0>X+Y+Z=a2-bc+b2-ca+c2-ab=1/2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2].由于a,b,c是不全相等的任意实数,所以(a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2都是正数,这与假设矛盾.所以x,y,z中至少有一个大于零3、解：如图，连接OC，OD，设⊙O的半径为r，∵BC、CD、DA与半⊙O相切，∴AD和AO的高为r，∴AO=AD，同理BO=BC，∴AB=AO+BO=AD+BC=2+3=5．故选B．4、5、解：直线EF、MN被CD所截有2对同旁内角；直线EF、MN被AB所截有2对同旁内角；直线CD、AB被MN所截有2对同旁内角；直线CD、MN被AB所截有2对同旁内角；直线AB、MN被CD所截有2对同旁内角；直线AB、EF被CD所截有2对同旁内角；直线AB、CD被EF所截有2对同旁内角；直线EF、CD被AB所截有2对同旁内角．共有16对同旁内角．故选D．6、7、8、又∵1994=2×997，ab是自然数，∴a=2，b=997或a=997，b=2，∴2a+b=2×2+997=1001，或2a+b=2×997+2=1996．ab=1994，ab=1994×1，a=1994，b=1，2a+b=2×1994+1=3988+1=3989．故选D．二、填空题：1∴a=2，b=-1，则c=a+b=1，从而可得M=2-c=1，N=2b-ca=2×（-1）-1×2=-4．故答案为：-4．234 解：如图所示，⊙A、⊙B半径为5，⊙C半径为8，设⊙O半径为R．连接AB、BC、CA，则AB=10，BC=CA=13，过C作CP⊥AB，则P是AB中点．∴AP=5，第二试提示及答案.一、证明：作△ABC的外接圆⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OP、OQ、OB、OA，∵O是△ABC的外心，∴OE=OF，OB=OA，∴BE=AF，∵AP=BQ，∴PF=QE，∵OE⊥AB，OF⊥AC∴∠OFP=∠OEQ=90°，∴Rt△OPF≌Rt△OQE，∴∠P=∠Q，∴O、A、P、Q四点共圆．即：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆．二、解：设存在如上的直角三角形，设两直角边分别为a，b，斜边为c，三、解：设统计的总人数为x，答对11道题的人数为a．∵做对4个题和4个以上的人数为（x-7-8-10-21）=（x-46）人，∴所有学生做的总题数为：（x-46）×6+0×7+1×8+2×10+3×21=6x-185；又∵做对10个题和10个以下的人数为（x-a-15-6-3-1）=（x-a-25）人，∴所有学生做的总题数为：（x-a-25）×4+15×1+14×3+13×6+12×15+11a=4x+215+7a，∴6x-185=4x+215+7a，2x=400+7a，x=200+7a/2，∵a为自然数，∴当a=0时x取最小值200．所以至少统计了200人．。
历届全国初中数学联赛试题15套
一九九一年第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ） ２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18．答（ ）３． 方程012=--x x 的解是 （A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ） ４． 已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+ac b 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q pn m xx x x )1(1)1(+=-+恒成立，则=++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=， CD = 6，则AD = ．第二试3S =1x + y ， x － y ， x y ， yx 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且 BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为 2n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．一九九二年第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定 答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , F A=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________. 3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.一九九三年第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论:Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角,则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22- (B)22 (C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n , p ,那么m :n :p 等于 (A)cb a 1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( ) 8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1.当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D ,E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ;(3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A ，B 、C ，D ，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c 是不全相等的任意实数，若x=a 2-bc,y=b 2-ca,z=c 2-ab,则x,y,zA ．都不小于0B ．都不大于0C ．至少有一个小0于D ．至少有一个大于0 〔答〕( )3．如图1所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC=2，DA=3，则AB 的长A ．等于4B ．等于5C ．等于6D ．不能确定〔答〕( )A ．1B ．-1C ．22001D ．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF ，MN 与相交直线AB ，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A ．4对B ．8对C ．12对D ．16对〔答〕( )〔答〕( ) 7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
1994年全国初中数学竞赛试卷(含参考答案与试题解析)
1994年全国初中数学竞赛试卷（含参考答案与试题解析）一、选择题（共5小题，每小题8分，满分40分）1．（8分）已知实数a≠b，且满足（a+1）2=3﹣3（a+1），3（b+1）=3﹣（b+1）2，则的值为（）解答：解：∵a、b是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3=0的两个根，整理此方程，得x2+5x+1=0，∵△=25﹣4＞0，∴a+b=﹣5，ab=1．故a、b均为负数．因此．故选B．2．（8分）若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（）．C．D解答：解：∵ab=ch∴h=∴=∴===．故选C．3．（8分）抛物线y=ax+bx+c的顶点为（4，﹣11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中正数（）解答：解：由题意，得由（3）得，=11（5）由（1）（5）得，=11＞0，即4a＞0，∴a＞0 （6）由（2）（6）得，c＜0由（4）（6）得，b＜0∴a＞0，b＜0，c＜0故选A．4．（8分）（2013•宝山区一模）如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2．若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（）故选B．5．（8分）如果x、y是非零实数，使得，那么x+y等于（）．C．D．解答：解：将y=3﹣|x|代入|x|y+x3=0，得x3﹣x2+3|x|=0．（1）当x＞0时，x3﹣x2+3x=0，方程x2﹣x+3=0无实根；（2）当x＜0时，x3﹣x2﹣3x=0，得方程x2﹣x﹣3=0解得，正根舍去，从而．于是．故．故选D．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．（6分）如图，在△ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠ADE=∠AED，且∠BAD=60°，则∠EDC=30 度．故填30．7．（6分）（2006•太原）据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两城市间的距离d（单位：km）有T=的关系（k为常数）．已知A、B、C三个城市的人口数及它们之间的距离如图所示．如果A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话通话次数用含t的代数式表示为．解答：解：t=，则k=，则B、C两个城市间每天的电话通话次数为：=．9．（6分）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10，则CE的长为4或6 ．解答：解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG，易知四边形BCDM是正方形，所以BC=BM，∠C=∠BMG=90°，EC=GM，∴△BEC≌△BMG（SAS），∴∠MBG=∠CBE，∵∠ABE=45°，∴∠CBE+∠ABM=45°，∴∠GBM+∠ABM=45°，∴∠ABE=∠ABG=45°，∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10，设CE=x，则AM=10﹣x，AD=12﹣（10﹣x）=2+x，DE=12﹣x，在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，∴100=（x+2）2+（12﹣x）2，即x2﹣10x+24=0；解得：x1=4，x2=6．故CE的长为4或6．10．（6分）实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是．解答：解：∵x+y=5﹣z，xy=3﹣z（x+y）=3﹣z（5﹣z）=z2﹣5z+3，∴x、y是关于t的一元二次方程t2﹣（5﹣z）t+z2﹣5z+3=0的两实根．∵△=（5﹣z）2﹣4（z2﹣5z+3）≥0，即3z2﹣10z﹣13≤0，（3z﹣13）（z+1）≤0．∴﹣1≤，当时，．故z的最大值为．故答案为：．三、解答题（共8小题，满分60分）11．（15分）一列客车始终作匀速运动，它通过长为450米的桥时，从车头上桥到车尾下桥共用33秒：它穿过长为760米的隧道时，整个车身都在隧道里的时间为22秒，从客车的对面开来一列长度为a米，速度为每秒v米的货车，两车交错，从车头相遇到车尾相离共用t秒．（1）写了用a、v表示的函数解析式；（2）若货车的速度不低于每秒12米，且不到每秒15米，其长度为324米，求两车交错所用时间的取值范围．解答：解：（1）设客车的长度为a1米，客车的速度为v1，则可列出方程组，解得，22t+vt=276+a，t=；（2）从这个关系式可以看出速度越大时间越短，当代入v=12，a=324时取得最大值，当v=15，a=324时取得最小值，∴＜t≤．12．（15分）甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋？解答：解：设甲库原来存粮a袋，乙库原来存粮b袋，依题意可得2（a﹣90）=b+90（1）；再设乙库调c袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍，即a+c=6（b﹣c）（2）；由（1）式得b=2a﹣270 （3），将（3）代入（2），并整理得11a﹣7c=1620，由于又a、c是正整数，从而有≥1，即a≥148；并且7整除4（a+1），又∵4与7互质，∴7整除a+1．13．（15分）设点E、F、G、H分别在面积为1的四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，且====k（k是正数），求四边形EFGH的面积．解答：解：如图：∴可得：AE=BF=CG=DH，EB=FC=GD=HA，∴可得三角形AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）；四边形EFGH的面积=正方形面积减去四个小三角形面积，∵=k，设EB=1，则AE=k，AB=AE+EB=1+k，∴AE=，BE=，∴△AEH的面积=，∴四边形EFGH的面积1﹣．14．（15分）在9×9的方格表中，有29个小格被染上了黑色，如果m表示至少包含5个黑色小方格的行的数目，n表示至少包含5个黑色小方格的列的数目，试确定m+n的最大值．16．已知a、b是实数，关于x、y的方程组有整数解（x，y），求a，b满足的关系式．32于是y==x2﹣x+1﹣∵x，y都是整数∴x+1=±1即：x=﹣2或x=0∴y=8或y=0故或当时，代入y=ax+b得：﹣2a+b=8，变形的2a﹣b+8=0当时，代入y=ax+b得：b=0综上所述，a，b满足关系式是2a﹣b+8=0或b=0，a是任意实数17．如图，D是△ABC边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点（P在弧AC上），使得∠ADP=∠ACB，求的值．解答：解：连接AP，则∠APB=∠ACB=∠ADP，∴△APB∽△ADP，∴=，∴AP2=AB•AD=3AD2，∴AP=AD，∴==．18．已知a＜0，b≤0，c＞0，且=b﹣2ac，求b2﹣4ac的最小值．解答：解：由=b﹣2ac两边平方得，b2﹣4ac=（b﹣2ac）2，。
1994年四川省初中数学联赛决赛试题及参考解答
1994年四川省初中数学联赛决赛试题及参考解答
佚名
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】1995(000)005
【摘要】一、填空题 1.已知方程2x<sup>2</sup>+2kx-13k+1=0两实根的平方和为13,则k=1。
2.如果a-b=2+3<sup>1/2</sup>,b-c=2-
3<sup>1/2</sup>,那么
a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>+c<sup>2</sup>-ab-bc-ac的值是15。
3.
【总页数】1页(P47-47)
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.2013年四川省初中数学联赛决赛(初二) [J], 李昌勇
2.2010年四川省初中数学联赛决赛(初二) [J], 李昌勇
3.2012年四川省初中数学联赛决赛（初二） [J],
4.2011年全国初中数学联赛四川省决赛（初三） [J], 李昌勇
5.1987年武汉、广州、福州、重庆、合肥、洛阳六市初中数学联赛试题及参考解答 [J],
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全国初中数学竞赛试题及答案大全
全国初中数学竞赛试题及答案大全试题一：代数基础题目：若\( a \), \( b \), \( c \)为实数，且满足\( a + b + c = 3 \)，\( ab + ac + bc = 1 \)，求\( a^2 + b^2 + c^2 \)的值。
解答：根据已知条件，我们可以使用配方法来求解。
首先，我们知道\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \)。
将已知条件代入，得到\( 3^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times 1 \)。
简化后，我们得到\( a^2 + b^2 + c^2 = 9 - 2 = 7 \)。
试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，求斜边BC的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边BC的平方等于两直角边的平方和，即\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)。
代入已知数值，得到\( BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)。
因此，\( BC = \sqrt{100} = 10 \)。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项是2，公差是3，求第10项的值。
解答：等差数列的第n项可以通过公式\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)来计算，其中\( a_1 \)是首项，d是公差，n是项数。
将已知条件代入公式，得到\( a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 = 2 + 9 \times 3 = 29 \)。
试题四：概率问题题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。
解答：首先计算总的可能情况，即从8个球中取2个球的组合数，用组合公式C(8,2)计算。
然后计算取出两个红球或两个蓝球的情况。
两个红球的情况有C(5,2)种，两个蓝球的情况有C(3,2)种。
20099_1994年山东省初中.doc
1994年山东省初中数学竞赛试题一、选择题(每小题6分,共48分)1、a 为偶数,b 为奇数,方程组⎩⎨⎧=+=-b y x a y x 271119951944的整数解中, ( ).(A) x,y 都是奇数 (B) x,y 都是偶数(C) x 为奇数,y 为偶数 (D) x 为偶数,y 为奇数2、如图,P 是□ABCD 内的一点,52=∆ABCD APB S S ,则=∆ABCD CPD S S ( ) (A) 51 (B) 101 (C) 103 (D) 53 3、已知m,n 是自然数,且m<n.在数轴上表示和的点分别记为A 和B,那么A 到1的距离比B 到1的距离( )(A) 大 (B)小 (C)相等 (D)不能确定 4、CD 是△ABC 的高,已知CD=6,DA=3,DB=12,则( )(A) (B)∠CAB=∠DCB(C) ∠CAB<∠ACB (D)∠ACD=∠CBD5、如图,在△ABC 中,AB>AC,AD ⊥BC 于D,P 在AD上且为A 与D 之的任一点,则PB-PC 与AB-AC 的大小关系为( )6、如图，△ABC 中，AB=BC=AD ，D 在BC 的延长线上，则角和的关系是（ ）7.若实数x，y满足条件, 则的最大值是（）（A）4 （B）5 （C）6 （D）78.二次函数的图象经过点（-2，1）和（2，3），且与y轴交于点P，若点P的纵坐标是小于1的正数，则a取值范围是（）（A）1/4<a<1/2 (B)-1/2<a<-1/4 (C )2<a<4 (D)-4<a<-2二、填空题(每小题8分,共32分)各小题只要求写出结果1.给定各有150个数的两列数:2,4,6,8,10,12,…,2·(150-1)+2;3,6,9,12,15,18,…,3·(150-1)+3.同时属于这两列数的数的个数是_______.2.参加会议的人,每两人都握过一次手.有人统计共握了91次手,那么到会的人数是_____.3.如图,△ABC中,BC=20,D、E分别在AB、AC上,若△AED∽△ABC,且,则DE=__________.4.关于x的方程有三个解,则a的值为_____.三、(本题20分)11个学生到书店去买书,每人都买了若干本.其中买书最多的人买了100本书.证明这11个学生中必有2人,他们买的书相差不到10本.四、(本题20分)直角三角形ABC周长为p,面积为s,其中∠C=90°.试用p和s表示线段AB的长度,并写出以线段AC和BC的长度为两根的一个一元二次方程.五、(本题20分)已知四边形ABCD中,AD+DB+BC=16,求四边形ABCD的面积的最大值.。
20099_1994年山东省初中
1994年山东省初中数学竞赛试题一、选择题(每小题6分,共48分)1、a 为偶数,b 为奇数,方程组⎩⎨⎧=+=-b y x a y x 271119951944的整数解中, ( ).(A) x,y 都是奇数 (B) x,y 都是偶数(C) x 为奇数,y 为偶数 (D) x 为偶数,y 为奇数2、如图,P 是□ABCD 内的一点,52=∆ABCD APB S S ,则=∆ABCD CPD S S ( ) (A) 51 (B) 101 (C) 103 (D) 53 3、已知m,n 是自然数,且m<n.在数轴上表示和的点分别记为A 和B,那么A 到1的距离比B 到1的距离( )(A) 大 (B)小 (C)相等 (D)不能确定 4、CD 是△ABC 的高,已知CD=6,DA=3,DB=12,则( )(A) (B)∠CAB=∠DCB(C) ∠CAB<∠ACB (D)∠ACD=∠CBD5、如图,在△ABC 中,AB>AC,AD ⊥BC 于D,P 在AD上且为A 与D 之的任一点,则PB-PC 与AB-AC 的大小关系为( )6、如图，△ABC 中，AB=BC=AD ，D 在BC 的延长线上，则角和的关系是（ ）7.若实数x，y满足条件, 则的最大值是（）（A）4 （B）5 （C）6 （D）78.二次函数的图象经过点（-2，1）和（2，3），且与y轴交于点P，若点P的纵坐标是小于1的正数，则a取值范围是（）（A）1/4<a<1/2 (B)-1/2<a<-1/4 (C )2<a<4 (D)-4<a<-2二、填空题(每小题8分,共32分)各小题只要求写出结果1.给定各有150个数的两列数:2,4,6,8,10,12,…,2·(150-1)+2;3,6,9,12,15,18,…,3·(150-1)+3.同时属于这两列数的数的个数是_______.2.参加会议的人,每两人都握过一次手.有人统计共握了91次手,那么到会的人数是_____.3.如图,△ABC中,BC=20,D、E分别在AB、AC上,若△AED∽△ABC,且,则DE=__________.4.关于x的方程有三个解,则a的值为_____.三、(本题20分)11个学生到书店去买书,每人都买了若干本.其中买书最多的人买了100本书.证明这11个学生中必有2人,他们买的书相差不到10本.四、(本题20分)直角三角形ABC周长为p,面积为s,其中∠C=90°.试用p和s表示线段AB的长度,并写出以线段AC和BC的长度为两根的一个一元二次方程.五、(本题20分)已知四边形ABCD中,AD+DB+BC=16,求四边形ABCD的面积的最大值.。
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O A B C D 图1 1994年全国初中数学联赛试题
第一试
(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分. 一、选择题（本题满分48分，每小题6分） 1. 若0＜a ＜12
21112(1)1a a a a
+
-+⨯+可化简为（ ） A ．1－a 1＋a B ．a －1
a ＋1
C ．1－a 2
D ．a 2－1
2．设a ,b ,c 是不全相等的任意实数，若x ＝a 2－bc ,y ＝b 2－ca ,z ＝c 2－ab ,则x ,y ,z （ ） A ．都不小于0 B ．都不大于0 C ．至少有一个小于0 D ．至少有一个大于0
3．如图1所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ）
A ．等于4
B ．等于5
C ．等于6
D ．不能确定 4. 当11994
x +=
时，多项式(4x 3－1997x －1994)2001的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．22001 D ．-22001
5．若平行直线EF ，MN 与相交直线AB ，CD 相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角（ ）
A ．4对
B ．8对
C ．12对
D ．16对
6x p x -=有两个不相等的实数根，数p 的取值范围是（ ） A ．p ≤0 B ．p ＜14 C ．0≤p ＜1
4
D ．p ≥1
4
7．设锐角三角形ABC 的三条高AD ，BE ，CF 相交于H 。
若BC ＝a , AC ＝b , AB ＝c , 则AH ·AD ＋BH ·BE ＋CH ·CF 的值是( )
A ．12 ( ab ＋bc ＋ca )
B ．12 ( a 2＋b 2＋c 2)
C ．23 ( ab ＋bc ＋ca )
D ．2
3 (a 2＋b 2＋c 2)
8． 若a x ＝b y ＝1994z （其中a ，b 是自然数），且有
111
x y z
+=，则2a ＋b 的一切可能的取值是（ ）
A ．1001
B ．1001, 3989
C ．1001, 1996
D ．1001, 1996, 3989
二、填空题（本题满分32分，每小题8分）各小题只要求在所给横线上直接填写结果.
1．若在关于x 的恒等式
222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，2
2
Mx N
x x ++-为最简分式，且有a ＞b ，a ＋b ＝c ，则N ＝______.
2．当|x ＋1|≤6时，函数y ＝x |x |－2x ＋1的最大值是______.
3．在△ABC 中，设AD 是高，BE 是角平分线，若BC ＝6，CA ＝7，AB ＝8，则DE ＝______.
4．把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于______.
Q
A
B
C P
第二试
(4月3日上午10：00—11：30)考生注意：本试共三道大题，满分60分.
一、（本题满分20分）
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP＝BQ
求证：△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。
二、（本题满分20分）
周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？
三、（本题满分20分）
某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n(n＝0,1,2,……,15)个题的人数的一个统计.
如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了多少人？
1994年全国初中数学联赛参考答案
第一试答案
一、选择题；
小题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B B D C B C
二、填空题：
1. -4
2. 16
3.
4. 40
3
第二试提示及答案.
一、连结OA ，OC ，OP ，OQ . 证明△OCP ≌△OAQ ，于是∠CPO ＝∠AQO ， 所以O ，A ，P ，Q 四点共圆.
二、这样的直角三角形存在，恰有一个，两条直角边为
53 ，斜边为8
3
三、这个表至少统计了200人.。