[全]高等数学之单调有界的数列极限问题[下载全]

高等数学之单调有界的数列极限问题

在考研中，需要考生求解以递推形式给出的数列的极限，对于这一类型的题型，常用的方法就是单调有界定理，当然有时也可以使用夹逼准则。一般单调递增且有上界或单调递减有下界的数列必存在极限。解决这类问题可以分三步走：

第一步：证明数列极限的单调性，一般比较数列前后两项的差值与0的大小关系，或者比较数列前后两项的商值与1的大小关系。

第二步：证明数列有界。若数列单调递增，则需要证明数列存在上界；若数列单调递减，则需要证明数列存在下界。

第三步：求出数列的极限。通过前两步的证明，可以确定数列极限存在，这时不妨假设数列的极限为a,然后对递推公式的左右两边同时求极限，则可以得到一个关于a的方程，通过解方程可以解出a的值。

例1：

解题思路：利用单调递增有上界或单调递减有下界的准则来证明数列极限的存在。

解：

本例利用数列的前后两项的差值与0的大小关系来判断数列的单调性例2：

解：

本例利用数列前后两项的商值与1的大小关系来判断数列的单调性