《线性代数》作业

《线性代数》作业

第一章

1、求排列(2n)(2n-1)…(n+1)1 2…(n -1)n 的逆序数。 解：后面是正常顺序，逆序出现在前n 个数与后n 个数之间，2n 的逆序数是2n-1，2n-1的逆序数是2n-2，……，n+1的逆序数是n ，所以整个排列的逆序数是(2n-1)＋(2n-2)＋……＋n ＝n(3n-1)/2

2、求排列246......(2n)135……(2n-1)的逆序数。

解析：后一项比前一项的算逆序一次，246......(2n)无逆序，所以从1开始，有246......(2n)共N 个，3开始有46......(2n)有N-1个，.......，.2n-1有一个，所以，加一起得，逆序数为1+2+......+N=N （N+1）/2

N=n+(n-1)+......+2+1=n(n+1)/2

3、试判断655642312314a a a a a a ，662551144332a a a a a a -，662552144332a a a a a a -是否都是六阶行列式中的项。

解a 14a 23a 31a 42a 56a 65 下标的逆序数为 t （431265）=0+1+2+2+0+1=6

所以655642312314a a a a a a 是六阶行列式中的项。

662551144332a a a a a a -下标的逆序数为 t （452316）=8所以662551144332a a a a a a -不是六阶行列式中的项。

662552144332a a a a a a -下标的逆序数为t(452316)=8所以662552144332a a a a a a -不是六阶行列式中的项。

4、已知4阶行列式D 中的第3列上的元素分别是3，-4，4，2，第1列上元素的余子式依次为8，2，-10，X ，求X 。 解：X=20

5、设15234312a a a a a j i 是5阶行列式的一项，若该项的符号为负，则 i= 5 ,j= 4 。

6、要使3972i15j4成为偶排列，则 i= 6 ,j= 8 。

7、设D 为一个三阶行列式，并且D=4，现对D 进行下列变换：先交换第1和第2行，然后用2乘以行列式的每个元素，再用-3乘以第2列加到第3列，则行列式最后结果为 32 。

8、设对五阶行列式（其值为m ）依次进行下面变换，求其结果：交换一行与第五行，再转置，用2乘所有元素，现用-3乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。 解析：交换一行与第五行 行列式的值变号

转置 行列式的值不变

用2乘所有元素 行列式的值乘以2^5

现用-3乘以第二列加到第四列 行列式的值不变

最后用4除以第二行各元素（应该是用4“除”第二行各元素吧？） 行列式的值乘以1/4

最终行列式的值是：m×(-1)×2^5×1/4＝－8m

9、计算下列行列式

6

7

4

1

2120603

11512-----

10、设方程。04

31

70225

=--x

x x

x 求x 3的系数。

11、 设,3

142

3

1

3

150111253

------=

D D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A ,求14

131211A A A A +++及41312111M M M M +++.

12、n 阶行列式D n =0

1

10000

00000

10

000

10

----= 。 13、当k= 时，行列式。02121

01

=-k

k

k

14、已知行列式6014

6528

2

53010184

214==

D ，则2（A 21+A 23）= 。其中A 21和A 23分别为元素a 21

和a 23的代数余子式。

15、计算下面n+1阶行列式的值。其中b i ≠0

n

n b b b a a a .......

00

1............0......010......01......12121---

16、计算n 阶行列式：0

2 (222)

20......222......

.....22 (0222)

2 (202)

22......220=D

第二章

3001

1993

010100001184731135100001010.2⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛求

)(0112131131)(. .12A f ，，A x x x f 求已知⎪

⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛-=--=

3、已知A=⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛400030002，矩阵X 满足X A X A +-=-*1，其中*A 为A 的伴随矩阵，则X= 。

X 。A ，r x A 求,2)(23114123221.4=⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛----=

5、 如果A 为n 阶方阵，求*

*)(A

6、设矩阵B A ,满足,82*E BA BA A -=其中=A ,121⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-*A 为A 的的伴随矩阵，E 为单位矩阵，求矩阵

B .

7、 A 为n 阶可逆矩阵，则下列（ ）恒正确

(a).(2A)T =2A T , (b). (2A)-1=2A -1, (c). [(A -1)-1]T =[(A T )-1]-1, (d). [(A T )T ]-1=[(A -1)-1]T

8、如果A ，B 满足关系式（A -1

-I ）B=6I ，其中I 为三阶单位矩阵，⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=300020002A ，则B= 。

9、设矩阵方程,411021⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛X 则矩阵X= 。