超静定结构计算位移法(1)
结构力学 位移法计算超静定结构
情景一 位移法的基本原理和典型方程 知识链接
（2）等截面直杆的转角位移方程 常见的单跨超静定梁根据支座情况的不同，可分为如图 3 – 45 所示三种。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
知识链接
下面介绍常见的单跨超静定梁在杆端的位移和荷载作用下杆端弯矩的计 算公式，即等截面直杆的转角位移方程。为方便计算，可参照表 3 – 2 和表 3 – 3 查出杆端位移所引起的杆端弯矩及荷载作用下引起的杆端弯 矩进行叠加计算。 ① 两端固定。超静定结构中，凡两端与刚结点或固定支座（固定端） 连接的杆件，均可看作是两端固定梁。
2．位移法的基本未知量和基本结构的确定 位移法的基本未知量为结点角位移和独立结点线位移。结点角位移未知量
的数目等于刚结点的数目。确定独立结点线位移未知量的数目时，假定受弯 直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变，具体方法是“铰化结点，增设链 杆”，即将结构各刚性结点改为铰结点，并将固定支座改为固定铰支座，使 原结构变成铰结体系，使该铰结体系成为几何不变体系，所需增加的最少链 杆数就等于原结构独立结点线位移数目。位移法的基本未知量确定后，在每 个结点角位移处加入附加刚臂，沿每个独立结点线位移方向加入附加链杆， 所形成的单跨超静定梁的组合体即为位移法的基本结构。
计算：
① 单位位移 Δ1=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k11 和 k21， 其相应弯矩图为M1 图（图 3 – 43a）。
② 单位位移 Δ2=1 单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 k12 和 k22， 其相应弯矩图为M2 图（图 3 – 43b）。 ③ 荷载单独作用于基本结构引起相应的约束反力为 F1P 和 F2P，其相应弯 矩图为 MP 图（图3 – 43c）。
情景一 位移法的基本原理和典型方程
位移法求超静定结构支座反力
位移法求超静定结构支座反力首先，让我们先来了解一下超静定结构和位移法的基本概念。
超静定结构是指具有多余支撑或节点的结构，这些结构在外力作用下可以保持稳定，但是支座反力并不唯一确定。
在超静定结构中，我们需要通过一定的方法来求解支座反力以及结构的内力分布。
位移法是一种结构分析方法，其基本思想是假设结构在受力作用下产生微小位移，通过计算位移的变化来求解结构的受力状态。
位移法的优点是简单易用，适用于各种结构形式，并且可以较为准确地求解结构的支座反力和内力分布。
接下来，我们将以一个简单的超静定结构为例，通过位移法来求解支座反力。
假设我们有一个悬臂梁结构，如下图所示：（图）该悬臂梁结构为超静定结构，假设其长度为L，横截面积为A，杨氏模量为E。
现在我们需要求解支座A处的水平和竖直支座反力。
首先，我们需要对结构进行简化，假设结构在受力作用下产生微小位移ε，如下图所示：（图）根据悬臂梁结构的几何关系和位移法的基本原理，我们可以列出以下方程：$\frac{d}{dx}(EA\frac{d^2u}{dx^2}) = 0$其中，u为结构在x方向的位移。
根据以上方程可以得到结构的位移方程为：$EA\frac{d^2u}{dx^2} = C_1$其中，C1为积分常数。
根据结构的边界条件，我们可以得到u(0) = 0，u'(0) = 0。
即支座A处的位移为0，支座处的应变为0。
根据以上条件，我们可以得到结构的位移方程为：$EA\frac{d^2u}{dx^2} = -\frac{F}{L^2}x$解上述方程可以得到结构的位移表达式为：$u(x) = \frac{F}{2EA}(x^2 - Lx)$根据结构的边界条件，我们可以得到支座A处的水平反力为0，即$R_A = 0$。
而支座A 处的竖直支座反力为支持力，即$R_V = F$。
通过以上分析，我们成功求解了超静定悬臂梁结构的支座反力。
通过位移法这一经典的结构分析方法，我们可以对各种结构进行分析，并且可以比较准确地求解结构的支座反力和内力分布。
船舶结构力学-第四章位移法
隔离出来的节点2处于平衡状态，必须满足弯
矩和剪力平衡方程：
M21 M23 0
N21
N23
0
(b)
将（a）式代入到（b）中得到：
M21M2 1M23M2 30
N21N2 1N2 3N2 30
(4-1)
§4-1 位移法
应该指出，若在节点2上作用有集中外力或外 力矩，则式（4-1）中还应把他们包括进去。
(4-4)
6lE 1221I26E l2232I3v24E l121I24E l232I32q112l22P82l30
这就是以基本未知量（v2，θ 2）和外载荷表示得节
点2的静力平衡方程，即位移法方程。解之，即得出
基本未知量。
§4-1 位移法
1、基本概念
所谓位移法就是以杆系结构节点处的位移作为基
本未知量的方法。求出这些位移后，再求结构的内力。
q
P
x
1
I12
2
I23
3
l12
l23
y
图4.1
对于图示阶梯变截面梁。采用力法求解时，将其拆
开为两根单跨梁处理，这是力法和位移法研究的出发
点。
1
22
3
§4-1 位移法
力法的简化：
图4.2(a) 力法是去掉多余联系，并以未知
Mji jx
Nij
Nji
y
图4.4
§4-1 位移法
必须指出，若y轴向上，x轴仍然自左向右，则转 角和弯矩逆时针方向为正，即在右手坐标系oxyz中， 转角矢量和弯矩矢量与z轴方向一致时为正。
图4.3中的杆端弯矩和剪力就是依据上述符号规定 按正向做出的。
结构力学I第7章 位移法
2015-12-21
Page 25
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
2015-12-21
Page 26
LOGO
§7-3 位移法解无侧移刚架
如果刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架 称为无侧移刚架。
位移法计算：
为什么不选结点C？
取结点角位移 ������������ 作为基本位置量。 C为支座结点！
6i 6i
/ /
l l
2015-12-21
A
=
1 3i
M
AB
1 6i
M
BA
l
M BA =0
B
=
1 6i
M
AB
+
1 3i
M
BA
l
M AB 3iA 3i / l
B 0
FQAB FQBA 0
M AB M BA
第七章 位移法
结构力学 I
浙江大学海洋学院 Tel : Email：
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§7-1 位移法基本概念
位移法是计算超静定结构的基本方法之一。
P
力法计算太困难了！
用力法计算，9个未知量 如果用位移法计算, 1个基本未知量
1个什么样的基本未知量?
Page 2
LOGO
§7-1位移法基本概念
一、位移法的提出（Displacement Method）
Page 20
LOGO §7-2单跨超静定梁的形常数与载常数
用位移法进行结构分析的基础是杆件分析。位移法的基 本结构为以下三种单跨超静定梁:
位移法的基本体系.
3I0
4m
5m
q=20kN/m
4m Δ2
C 3I0 F 4I0 4m
2m
Δ3
D
A
i AB
4I0 B Δ 5I0 1 3I0 E
EI AB E 4 I 0 1 l AB 4
3 1 , iCF 4 2
8
iBC 1 , iCD 1 , iBE
4m
2019/2/28
5m
4m
2m
3
i=1 3B i=3/4
k22=4+3+2=9
k13=k31=?
2 D
i=1
k23=k32=?
A 4 Δ 2=1
i=1 B i=3/4
A
Δ 1=1
i=1
D
C
i=1/2
4m
E
2m
1.5 F 5m
E
F
i=1/2
4
2
i=1 2 C
3
i=1
1
9
4m
2019/2/28
4m
A
9/8
i=1 B i=3/4 i=1
(1/12) × 20×52=41.7 D i=1 C
i=1/2
F1P=40–41.7= –1.7 F2P=41.7
4m
F3P=0
E
F
4m
2019/2/28
5m
4m
10
2m
（6）建立位移法基本方程：
9 101 2 2 3 1.7 0 8 1 21 9 2 3 41.7 0 2 9 1 35 1 2 3 0 8 2 48
13.62
A
5.69 M(kN· m)
超静定结构两类解法
第六章位移法超静定结构两类解法：力法：思路及步骤，适用于所有静定结构计算。
结合位移法例题中需要用到的例子。
有时太繁，例。
别的角度：内力和位移之间的关系随外因的确定而确定。
→位移法，E，超静定梁和刚架。
于是，开始有人讨论：有没有别的方法来求解或换一个角度来分析…，what？我们知道，当结构所受外因（外荷载、支座位移、温度变化等）一定⇒内力一定⇒变形一定⇒位移一定，也就是结构的内力和位移之间有确定的关系（这也可以从位移的公式反映出来）。
力法：内力⇒位移，以多余力为基本未知量…，能否反过来，也就是先求位移⇒内力，即以结构的某些位移为基本未知量，先想办法求出这些位移，再求出内力。
这就出现了位移法。
目前通用的位移法有两种：英国的、俄罗斯的，两者的实质是相同的。
以结构的某些结点位移作为基本未知量，由静力平衡条件先求出他们，再据以求出结构的内力和其它位移。
这种方法可以用于求解一些超静定梁和刚架，十分方便。
例：上面的例子，用位移法求解，只有结点转角一个未知量。
下面，我们通过一个简单的例子来说明位移法的解题思路和步骤：一个两跨连续梁，一次超静定，等截面EI=常数，右跨作用有均布荷载q，（当然可以用力法求解），在荷载q作用下，结构会发生变形，无N，无轴向变形，B点无竖向位移，只有转角ϕB。
且B点是一个刚结点传递M；变形时各杆端不能发生相对转动和移动，刚结点所连接的杆件之间角度受力以后不变。
也就是AB、BC杆在结点B处的转角是相同的。
原结构的受力和变形情况和b是等价的。
B当作固定端又产生转角ϕB。
a（原结构）AB：BC：b如果把转角ϕB 当作支座位移这一外因看，则原结构的计算就可以变成两个单跨超静定梁来计算。
显然，只要知道ϕB ，两个单跨静定梁的计算可以用力法求解出全部反力和内力，现在的未知量是ϕB （位移法的基本未知量）。
关键：如何求ϕB ？求出ϕB 后又如何求梁的内力？又如何把a ⇒b 来计算？ 我们采用了这样的方法：假定在刚结点B 附加一刚臂（▼），限制B 点转角，B ⇒固定端（无线位移，无转动）（略轴向变形）原结构就变成了AB 、BC 两个单跨超静定梁的组合体：AB ： ，BC ：但现在和原结构的变形不符，ϕB ，所以为保持和原结构等效，人为使B 结点发生与实际情况相同的转角ϕB （以Z 1表示，统一）。
位移法求解超静定结构
位移法求解超静定结构一、引言超静定结构是指在静力学条件下，其内力和位移无法通过平衡方程和变形方程求解的结构。
由于超静定结构的内力和位移无法直接求解，因此需要采用特殊的方法进行计算。
其中，位移法是一种经典的求解超静定结构的方法。
二、位移法基本原理位移法是一种基于能量原理的方法，其基本思想是将结构中各个部分的变形看作独立自由度，然后通过能量平衡原理得到各个自由度之间的关系，最终求解出整个结构的内力和位移。
具体来说，位移法包括以下几个步骤：1. 将超静定结构中每一个部分看作一个独立自由度，并为每个自由度引入一个未知位移；2. 根据平衡条件列出各部分之间相互制约的方程组；3. 根据能量平衡原理列出总势能和总应变能之间的关系式，并将其转化为未知位移之间的关系式；4. 将各个方程组联立起来，得到未知位移之间的关系式；5. 利用已知边界条件解出未知位移，并进而求解出整个结构的内力和位移。
三、位移法的应用范围位移法适用于各种类型的超静定结构，包括梁、柱、框架等。
此外，位移法还可以用于求解复杂的结构体系，如悬索桥、拱桥等。
四、位移法的优点和缺点1. 优点：（1）能够求解各种类型的超静定结构；（2）计算精度高，适用于复杂结构；（3）计算过程简单明了，易于理解和掌握。
2. 缺点：（1）只能求解超静定结构，不能求解不静定和半静定结构；（2）需要将每个部分看作独立自由度，因此对于复杂结构需要引入大量自由度，计算量较大；（3）需要具备一定的数学基础和结构力学知识。
五、位移法的实例以一根简支梁为例进行说明。
假设梁长为L，截面为矩形截面，宽度为b，高度为h。
在中间加一集中荷载F，则该梁为超静定结构。
采用位移法进行求解：1. 将梁分成两段，并引入两个未知位移u1和u2；2. 根据平衡条件，得到以下方程组：（1）在x=0处：F = R1 + R2（2）在x=L处：R1u1 + R2u2 = FL/43. 根据能量平衡原理，得到以下关系式：（1）总势能：V = (R1u1 + R2u2)hL/2（2）总应变能：T = F^2L^3/48EI4. 将以上方程组和关系式联立起来，得到：（1）F = (3EI/h^3L^3)(u1 - u2)（2）R1 = F/2 - EI/h^3L^3(u1 + u2)（3）R2 = F/2 + EI/h^3L^3(u1 + u2)5. 利用已知边界条件，即梁两端的位移为0，解出未知位移：（1）u1 = FL^3/(48EIh)；（2）u2 = -FL^3/(48EIh)；6. 最终求解出内力和位移：（1）R1 = F/4；（2）R2 = F/4；（3）Mmax = FL/8；（4）umax = FL^3/(48EIh)。
超静定结构-位移法(平衡方程法)
例１：用位移法求解图示刚架
15kN/m 1 8kN
基本体系
原结构位移 =Δ1引起的位移 +荷载引起的位移 原结构内力 =Δ1引起的内力 +荷载引起的内力
基本方程:（外因和未知位移共同作用时,附加约束没有反力 ——实质为平衡方程。）
F1 F11 F1P 0
例１：用位移法求解图示刚架 基本方程:
FP
D
2FPL
A
B
E
L
L
L C
L
作业： 1、当考虑一个未知数时，分别用两种方法分析计算； 2、当考虑两个未知数时，如何计算？
MDB iB 4
(5)作内力图 :
53 67.5
29
21 12
8
4
M图(kN.m)
用平衡方程法求解超静定结构的步骤：
1. 确定基本未知量； 2. 建立各杆转角位移方程
用基本未知量和荷载表示杆端力； 3. 利用弯矩平衡或剪力平衡建立位移法方程； 4. 解方程求位移；
5. 回代求杆端弯矩； 6. 做内力图。
利用“载常数”可作 图示荷载弯矩图
利用“形常数”可作 图示单位弯矩图
第 七 章 位移法
§7-5 位移法求解无侧移刚架
详见教学视频“7.7 荷载作用下的无侧移刚架计算”
例１：用位移法求解图示刚架
设：
i
6EI 6
A
则 iBA iBC i iBD 0.5i 6m
方法一：平衡方程法
基本未知量为 B
优点:很规范。 但:对于杆件很多的结构,容易出错或发生遗漏。
例１：用位移法求解图示刚架
方法二：典型方程法
15kN/m 1 8kN
A 6m
超静定结构的解法1位移法
P
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
4.3 位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
1.等截面梁的形常数 杆端位移引起的杆端内力称为形常数.
i=EI/l----线刚度
2.等截面梁的载常数 荷载引起的杆端内力称为载常数.
4.3 位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
4.3 位移法
一.单跨超静定梁的形常数与载常数 二.位移法基本概念 三.位移法基本结构与基本未知量
基本未知量:独立的 结点位移.包括角位移和线位移 基本结构:增加附加约束后,使得原结构的结点不能
发生位移的结构.
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形) 基本未知量为所有刚结点的转角 基本结构为在所有刚结点上加刚臂后的结构
MP
EA Z1=1
r11
M1
Z1
3i/l
5P/16
3i / l 2
R1P
r11
3i / l 2
Z1---位移法
基本未知量
r11 6i / l 2 R1P 5P / 16
Z1 5Pl 2 / 96i
M M1Z1 MP
Z1
q
EI
EI
Z1 q
Z1
=
Z1
=
Z1=1
Z1
q
+
Z1
q
EI
EI
Z1
位移法的基本结构 ----单跨梁系.
=
=
Z1
q
EI
EI
Z1
R1
q
EI
EI
ql 2 / 8
R1P
q
位移法的基本方程 ----平衡方程.
结构力学位移法题与答案解析
超静定结构计算——位移法一、判断题：1、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。
（1）（2）（3）（4）（5）（6）EI EIEI EI2EI EIEI EIEAEAabEI=EI=EI=24442 2、位移法求解结构力时如果PM图为零，则自由项1PR一定为零。
3、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。
4、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。
5、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。
二、计算题：12、用位移法计算图示结构并作M 图，横梁刚度EA →∞，两柱线刚度 i 相同。
213、用位移法计算图示结构并作M 图。
E I =常数。
lll /2l /214、求对应的荷载集度q 。
图示结构横梁刚度无限大。
已知柱顶的水平位移为()5123/()EI →。
12m12m8mq15、用位移法计算图示结构并作M 图。
EI =常数。
ll l l16、用位移法计算图示结构，求出未知量，各杆EI 相同。
4m19、用位移法计算图示结构并作M 图。
qll20、用位移法计算图示结构并作M图。
各杆EI =常数，q = 20kN/m 。
6m6m23、用位移法计算图示结构并作M 图。
EI =常数。
ll 224、用位移法计算图示结构并作M 图。
EI =常数。
lql29、用位移法计算图示结构并作M 图。
设各杆的EI 相同。
qql l /2/232、用位移法作图示结构M 图。
E I =常数。
qql l/2l /2l36、用位移法计算图示对称刚架并作M 图。
各杆EI =常数。
l l38、用位移法计算图示结构并作M 图。
EI =常数。
ql l l l42、用位移法计算图示结构并作M 图。
2m 2m43、用位移法计算图示结构并作M 图。
EI =常数。
lllql48、已知B 点的位移 ，求P 。
ll/2/2A∆51、用位移法计算图示结构并作M 图。
q超静定结构计算——位移法（参考答案）1、（1）、4； （2）、4； （3）、9； （4）、5； （5）、7；（6）、7。
超静定结构-力法位移计算
M
3. 支座位移：
MMC EI
ds
FRCR
综合:
MM EI
ds
t0 SFN
t h
S M
FRCR
其中M为超静定结构在各种因素作用下产生的弯矩
详见教学视频“6.16荷载作用下超静定结构位移计算”
例1：求梁中点竖向位移ΔCV，EI为常数
q
ql2 12
第 六 章 力法
§6-8* 超静定结构位移计算
可取任意静定结构做为基本结构来计算超静定结构位移
施加单位荷载，计算单位荷载作用下的内力图 (M , FQ , FN )
1. 荷载作用：
MM EI
F
ds
2. 温度改变：
MMt EI
ds
t0SFN
t h
S
A
C
B
A
l/2
l/2
原结构
ql2 12
B
ql2 24
M图
CV
ql 4 384EI
()
例2：求图示刚架D结点水平位移ΔDH，各杆EI如图示。
C
D
/m
2EI
2EI 6m
31.5
A
B
6m
57.6
30.6
M图(kN m)
基本结构1
基本结构2
基本结构3
基本结构4
单位荷载施加在哪个基本结构更加简单？
EI l
线刚度
A
i
qA
B
2.等截面梁的载常数 荷载引起的杆端内力称为载常数（表7-1）
A
B
A
BA
建筑工程力学教程：12 位移法计算超静定结构
力法计算,9个基本未知量
位移法计算, 1个基本未知量
一.单跨超静定梁的形常数与载常数
1.等截面梁的形常数
杆端位移引起的杆端内力称为形常数.
线刚 i EI
度
l
2.等截面梁的载常数 荷载引起的杆端内力称为载常数.
二.位移法基本概念
Z1
q
EI
EI
Z1
=
Z1 q
Z1
=
Z1=1
Z1
q
+
Z1
q
EI
r22
---位移法典型方程
r11
r12
rij (i=j) 主系数>0
Z1
Z2
rij (i=j) 副系数
q
F2P
ql
ql
F1P 刚度系数,
体系常数
rij = rji 反力互等 FiP 荷载系数
ql
q
ql
q
F2 Z1
F1=0
l/2 l/2
EI=常数
ql
65 184
9
23
l
139
r21
184
Z1=1
同作用下
x
符号规定:
杆端弯矩---绕杆端顺时针为正
杆端剪力---顺时针为正
杆端转角---顺时针为正
杆端相对线位移---使杆轴顺时针
转为正
y
转角位移方程
x
y 由线性小变形，由叠加原理可得
M
AB
4i A
2i B
6i l
AB
MF AB
M
BA
4i B
2i A
6i l
AB
MF BA
A
4i A
1超静定结构的解法
1超静定结构的解法超静定结构是指结构的支座反力数目多于静力平衡方程的数目，即结构的自由度多余零，不能通过直接求解静力平衡方程得到结构的内力、位移等参数。
因此，需要使用超静定结构的解法来求解结构的响应。
超静定结构的解法主要有两种：力法和位移法。
在这里，我将分别介绍这两种方法的基本原理。
1.力法力法是指通过引入虚功原理，利用未知内力的线性平衡方程组与已知荷载、位移或位移力系数之间的关系，构建方程并求解未知内力的方法。
使用力法解决超静定结构的基本步骤如下：（1）确定支座反力。
根据结构的约束条件，计算支座反力数目；（2）选择剪力或弯矩作为未知内力。
在超静定结构中，选择剪力或弯矩作为未知内力比较常见；（3）建立线性平衡方程组。
将剪力或弯矩作为未知量，根据结构的几何条件和约束条件，建立线性平衡方程组；（4）引入荷载、位移或位移力系数。
根据结构的受力情况，将已知荷载、位移或位移力系数引入线性平衡方程组；（5）求解未知内力。
通过求解线性平衡方程组，得到未知内力。
2.位移法位移法是指通过引入位移的概念，利用位移与剪力/弯矩之间的关系，将超静定结构的内力求解问题转化为线性代数方程组的求解问题。
使用位移法解决超静定结构的基本步骤如下：（1）确定支座反力。
根据结构的约束条件，计算支座反力数目；（2）选择支座位移为未知量。
在超静定结构中，支座位移比较容易确定；（3）建立位移-力关系方程。
根据结构的几何条件和材料性质，建立位移-力关系方程，将剪力或弯矩表示为位移的函数；（4）引入荷载或位移。
根据结构的受力条件，将已知荷载或位移引入位移-力关系方程；（5）求解未知位移。
通过求解位移-力关系方程，得到未知位移；（6）求解未知内力。
将未知位移代入位移-力关系方程，求解出未知内力。
需要注意的是，在力法和位移法中，由于超静定结构的自由度数目大于零，未知内力或未知位移存在无穷多个解。
因此，需要加入合理的边界条件，如位移边界条件、力边界条件等，来确定唯一的解。
结构力学 位移法
分析方法：
该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移 的分析方法：假设B结点向左有一个水平位移△，BC杆平 移至B’C’，然后它绕B’转至D点。
D
B
E
C
A
注意：
(1)铰处的转角不作基本未知量。
Δ
(2)剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。
(3)结构带无限刚性梁时，即EI∞时，若柱子平行，
q4l02kN2.m0•42 84q1l 2.7kN82.m0•5
12 12
2
MBA
m 41.7kN.m CB
44mm
EE
300I..7755M图(kN.M300)I..55
1.7
55mm 4.9FF
MCB MCD
MCF 44mm
MBC M 4•0.75 3 =3.4
BE
B
B
M 3 40 =43.5 MBE
FP
B FQBA FQBC
MBC
M B 0M B A M B C 0
11iB
9i qL2 L 12
0
……①
Y 0
FQBA FQBC FP 0 ……②
求FQBA MAB A
q
FQAB
求FQBC
MBC B FQBC
MA 0
B
MBA
FQBA
M AB
M BC L
qL 2
FQBA
12i L
3 2 1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
刚架结构，有两个刚结点D、E，
故有两个角位移，结点线位移由铰
结体系来判断，W=3×4－2×6=0，
A
B
位移法
位移法位移法也是计算超静定结构的基本方法。
位移法是以结构的结点位移（结点角位移和结点线位移）作为基本未知量，通过平衡条件建立位移法方程，求出位移后，即可利用位移和内力之间的关系，求出杆件和结构的内力。
在位移法求解超静定问题中，有七大步骤：第一步：分析结构体系（是否为几何不变体系，是否有结点位移），结构体系中的结点位移（结点角位移和结点线位移）就是结构的所求的基本未知量。
第二步：选取基本结构，即在原结构中的基本未知量（结点角位移和结点线位移）处加上约束（刚臂和链杆），均假设顺时针转动。
第三步：列位移法方程：01111=+P R Z r （一个结点位移未知量）当为n 次超静定时，0022112222212111212111=++++=++++=++++nP n nm n n P n n P n n R Z r Z r Z r R Z r Z r Z r R Z r Z r Z r第四步：画P M M 、1图，求nP nm R r 、（画P M M 、1图，通过查表得出，注意形常数及载常数的查法，记住是以顺时针转动为正。
）第五步：求解未知位移n Z 。
第六步：求杆端弯矩：P R Z M M +=11（一结点位移未知量）P n n i i R Z M Z M Z M Z M M ++++++= 2211（n 个结点位移未知量）此步骤的正负号规定容易与力法正负号规定混淆。
在位移法中，杆端弯矩以顺时针转动为正，逆时针转动为负。
第七步：求跨中弯矩（针对于集中力作用在跨中处以及均布荷载作用情况），作M图，Q图（注意：求跨中弯矩时的正负号规定，同力法一样）讨论：针对位移法中正负号规定判断需要注意的问题。
1、什么是杆端弯矩？例如：如图所示超静定梁假如截AB杆研究，就会暴露出三个内力（弯矩，剪力，轴力），现只研究弯矩，如图所示（夸张放大画出来）：图中所标的即为杆端弯矩，它的作用是相对于杆端而言的。
2、如何判断正负号及运用正负号画弯矩图？M为正的上图中杆端弯矩的方向是假设出来的，由图可知，杆ABM为负的（逆时针）。
05-3结构力学 第五章 超静定结构的内力和位移计算(5.2节 位移法)ok
如： 1 2
3
1 2
1
3
这样即可使12、13杆 成为单跨超静定梁
2、附加链杆支座约束：为使杆件两端相对线位移被约束而在结点上附加的约 束阻止结点移动的装置。
如：1
3
用“
” 表示
2 1 3
结构变形时，显然13杆可沿水平方向移动， 同时刚结点1也可能发生转角，要使各杆独立成为 单跨超静定梁。 需在1结点上附加刚臂约束 同时还需加附加链杆支座以阻止13杆的水平线 位移。
r11Z 1+ r12Z 2+ · · · · + r1nZ n+R1P=0
位移法 – 刚度法
ri j=rj i
反力互等定理
位移法典型方程，简称为位移法方程 – 结构的刚度方程
主系数，rii>0 r12 ...... r1n Z1 R1P r11 r Z R r ...... r 2P 22 2n 2 21 ri j=rj i 反力互等定理 0 ...... ...... ...... ...... rn 2 ...... rnn Z n RnP rij=rji，Rip，>0，=0，<0 rn1
F M AB ql 2 / 12 F M BA ql 2 / 12
F A l/2 l/2 B
Fl/8 A
Fl/8
F M AB Fl / 8
B
F M BA Fl / 8
q
ql2/8 B A B
F M AB ql 2 / 8
A
F A l/2 l/2 B
3Fl/16 A B
EI=
Z1 Z2
EI=
结构力学 位移法
B
3 2l
3i M AB l 3i FQAB FQBA 2 l
B 不独立，可不作为基本未知量
故，其杆端弯矩和杆端剪力为
3、远端滑动（ B FQAB FQBA 0 ） 如图（e）所示，由弯曲杆件的刚度方程，并令
B FQAB FQBA 0
基本线位移未知量2个 (a) (b)
三、基本方程举例
(a) (b)
3
2 1
基本未知量：3个刚结点D、E、F 增加3根支座链杆 对应于θ 三个刚结点，分别建立其力矩平衡条件
3个角位移
D , E , F
(c)
3个线位移 1 , 2 , 3
D、θ E、θ F3个角位移，应截取D、E、F
QAB= QBA
θ =1
B
4i
1
2i
6i
1 2i
l
6i
3i
l
6i
0
l
l2
A A
θ =1
B B
3i
3i
l
1 θ =1
B
3i
i
l
0
l2
A
－i
0
四、常用荷载情况下的固端弯矩和固端剪力
1、两端固定梁 ①
P A l/ 2 l/ 2
B
M
F AB
Pl / 8
F FQAB P / 2 F FQBA P / 2
平衡方程
M AG M AB M AD 0 M BA M BC 0
基本方程
所以，该刚架利用位移法计算时的基本未知量为 A和 B 。
根据铰结点C的力矩为零的条件，可以把 C 表示成 A B 的函数关系式， 与
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M A B 2 iZ 1 6 4 iZ 2 1 1 2 2 4 4 2 2 iZ 1 2 3 iZ 2 3 2
以 M B A 4 iZ 1 6 4 iZ 2 1 1 2 2 4 4 2 4 iZ 1 3 2 iZ 2 3 2
AB
6 1 2 1
33
例 梁 F Q A B 4 iZ 1 4 2 iZ 2 2 2 4 4 2 iZ 1 4 iZ 2 4 8
M FP
q
FP
A
B
A
B
编辑ppt
6
单跨超静定梁内力？ 力法
上图所示两端固定的等截面梁
，两端支座发生了位移，且受
荷载作用。我们这里先计算位
移情况下的内力，图a。
取基本结构如图b。
X3对梁的弯矩无影响，可不 考虑，只需求解X1、X2。
力法典型方程为
11X112X2Δ1ΔA
X 编辑ppt 21 1
第六章 超静定结构的解法—位移法
第六章
➢§6-1 基本概念 ➢§6-2 位移法举例 ➢§6-3 计算无侧移结构的弯矩分配法 ➢§6-4 计算有侧移结构的反弯点法
编辑ppt
2
问题：如何求解超静定结构？ li coasi
杆长为li，Ai=A ， Ei=E
BD
C
li
FNili EA
1 32
aa
FNi
EAcosai
l
MAB=X1，MBA=X2，可得
MA
B
4iA
2iB
6i l
ΔA
B
MB
A
4iB
2iA
6i l
ΔA
B
固端弯矩 MAFB、MBFA ：单跨梁在荷载作用及温度变化时 产生的杆端弯矩。
当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化时 ，其杆端弯矩为
MAB
4iA
2iB
6i l
ΔABMAFB
MBA4iB
2iA
6i l
MBC 3iZ1
MCBMCD0
3 MDC 4 iZ2
位移法（平衡方程法思想）步骤:
1.确定基本未知量
4.利用平衡方程，求解基本未知量
2.拆分杆件
5.计算杆编端辑p弯pt 矩，区段叠加画弯矩图 22
3.列转角位移方程，计算杆端内力;
将原结构分解为等截面单跨超静定梁
对AB、BC、CD分别使用转角位移方程得：
形=形常数
载=载常数
形
形
表示要熟记！！！ 编辑ppt
载
11
超静定单跨梁的力法结果(2) 载 载 载
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超静定单跨梁的力法结果(3) 载
编辑ppt
载 载
13
超静定单跨梁的力法结果(4) 载
1
形 形
载
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14
超静定单跨梁的力法结果(5) 载 载
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载
15
超静定单跨梁的力法结果(6) 载
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载 载 载
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超静定单跨梁的力法结果(7) 载
形 载
载
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超静定单跨梁的力法结果(8) 载
载
载
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载
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超静定单跨梁的力法结果(9) 载
2
载
载
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超静定单跨梁的力法结果(10) 载 载
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载
20
例1: 求图示刚架的弯矩图 1.确定基本未知量
3 F Pl 56 1
为 F Q B A 6 4 iZ 1 1 4 2 2 iZ 2 1 2 2 4 4 2 3 编i 辑Z 1 pp t 4 3 iZ 2 4 8
返 回 23
33 FQAB2iZ14iZ248
FQBA32iZ134iZ248
3 FQBC 4 iZ1
FQCB
3 4
iZ1
FQCD
3 16 iZ2
3.列转角位移方程，计算杆端内力;
例2: 求图示刚架的弯矩图
解：基本未知量分别为刚结点B点
的角位移Z1和横梁BC的水平位移 Z2，如图所示。
用转角位移方程写出个杆端内力如 下：（其中 i E I ）
M A B 2 iZ 1 6 4 iZ 2 1 1 2 42 4 4 2 2 iZ 1 2 3 iZ 2 3 2 M B A 4 iZ 1 6 4 iZ 2 1 1 2 2 4 4 2 4 iZ 1 3 2 iZ 2 3 2
编辑ppt
4
位移法——以某些位移为基本未知量，先拆分成已知 ，再拼装建立位移法方程，求出位移后再计算内力。
Z11 Z1
FP 2
EI=常数
3
l
l
2
2
哪些位移为基本未知量？
1
Z1
Z1
Z1 FP
1
2
3 如何确定基本未知量？
假定：不考虑轴向变形
编辑ppt
5
位移法——以某些位移为基本未知量，先拆分成已知 ，再拼装建立位移法方程，求出位移后再计算内力。
33 FQDC42iZ2 16iZ2
从原结构中取出图c、d两个隔离体。
由图c的平衡条件： MB 0
MBAMBC0
由图d的平衡条件： FX 0
22X2Δ2Δ
B
7
作X1、X2分别等于1时的弯矩图如图c、d。
解典型方程得
11
EI
12
21
l 6EI
由图e可得
Δ1ΔΔ2ΔABΔlAB
X1
4El IA
2El IB
6EI l2 ΔAB
X2 编4辑ElppItB 2El IA 6lE2 IΔAB
8
令 i EI —杆件的线刚度
ΔABMBFA
编辑ppt
转角位移方程
9
MAB4iA
2iB
6i l
ΔABMAFB
MBA4iB
2iA
6i l
ΔABMBFA
MAB3iA3ilABMA FB
M BA 0
符号规定：杆端弯矩以对杆端顺时针方向为正；
A、B均以顺时针方向为正；
△AB 以使整个杆件编顺辑p时pt 针方向转动为正。
10
超静定单跨梁的力法结果(1)
Z1
FP
Z1
2
F Pl EI=常7数
9 FPl
2.拆分杆件
5 6 3.列转角位移方程，计算杆端内力
4.利用平衡方程，求解基本未知量
5.将求得基本未知量带回杆端弯
3
l
l
2
2
矩表达式，求出各杆端弯矩， 利用区段叠加画弯矩图
1
Z1
Z1
Z1 1
FP
2
M12
4iZ1
FPl 8
M13 3iZ1
M12M13 0 位12..移确拆法定分（基杆3平本件衡未方知程量法思想M）1 1步453..骤利计:M用算1平杆2编衡端辑p方弯pt 程矩，，Z 1求区解段5F基叠6P li 本加未画知弯量矩图 21
li
A
Δ FP
Fy 0
FNicoasi FP
几何条件 物理 平衡
编辑ppt
3
第一种基本思路
位移法思路(平衡方程法)
以某些位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知内力-位移(转角-位 移)关系的单根杆件集合 分析各单根杆件在外因和结点位移共同作用 下的受力 将杆件拼装成整体 用平衡条件建立和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨杆件内力和外因 及结点位移关系可得原结构受力