2021届上海市闵行区七宝中学高三上学期期中考试数学试题(解析版)

2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷

一、填空题

1.已知全集U R =，集合{}

12A x x =->，则U C A =_________.

2.若函数2()(4)4,(5)f x x x =-+≥，则1

(5)f

-=_________.

3. ()

2

14732lim

n n n

→∞

+++

+-=_________.

4.已知数列{}n a 为等差数列，且191,25a a ==-，则5a =_________.

5.设函数2

()41f x x mx =-+在(],2-∞上是减函数，则实数的取值范围是_________.

6.已知222a b +=，则a b +的取值范围是_________.

7.若函数()2sin sin 2f x x x =-在区间[]0,a 上的零点个数为3个，则实数a 的取值范围是_________.

8.已知两变量x 、y 之间的关系为lg()lg lg y x y x -=-，则以x 为自变量的函数y 的最小值是_________.

9.已知函数()x

f x a b =-（0a >且1,a b R ≠∈），()1

g x x =+若对任意实数x 均有()()0f x g x ⋅≤，则

14

a b

+的最小值为_________. 10.设函数()sin()(0,0)6

f x A x A π

ωω=-

>>，[]0,2x π∈若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①

0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0ω>，使得()f x 在80,19π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上单调递增；③方

程1

()2

f x A =

一定有4个实数根，其中真命题的序号为_________.

11.函数11

()22

f x x =-

≤≤的图像绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为_________.

12.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得

[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.

二、选择题

13.下列各组不等式中，解集完全相同的是（ ）

A.2611x x x x +<++与26x x <+

B.2

(2)(1)

0x x x x

-+<与(2)(1)0x x -+< C.

(2)(1)01x x x +->-与20x +> D.22

321

11

x x x x x x -+>-+-+与321x x ->+ 14.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 为递增数列”的（ ）

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D. 既不充分也不必要条件

15.已知集合,M P 都是非空集合，若命题“M 中的元素都是P 中的元素”是假命题,则下列说法必定为真命题的是（ ）

A.M P =∅

B.M 中至多有一个元素不属于P

C.P 中有不属于M 的元素

D. M 中有不属于P 的元素

16.单调递增的数列{}n a 中共有N 项，且对任意,,(1),i j k i j k N ≤<<≤i j a a +，j k a a +和k i a a +中至少有一个是{}n a 中的项，则N 的最大值为（ ）

A.9

B.8

C.7

D.6 三、解答题

17.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，AB ，BC =1AA =.

（1）求异面直线1AB 与1BC 所成角的大小； （2）求点C 到平面1ABD 的距离.

18.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且(cos 2cos )(2)cos c B A a b C -=-.

（1）求

a

b

的值； （2）若3

cos ,24

C c ==，求ABC ∆的面积.

19. 某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率p 与日产量x （万

枚）间的关系为：1

,04,62,4,3x x

p x ⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩

，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利30元，每出现1件次品

亏损15元.

（1）将日盈利额y （万元）表示为日常量x （万枚）的函数；

（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率=

100%⨯次品数

产品总数

）.

20.已知双曲线22

22:1x y C a b

-=

过点M ，且右焦点为(2,0)F .

（1）求双曲线C 的方程；

（2）过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，交y 轴于点P ，若PA mAF =，PB nBF =，求证：m n +为定值.

（3）在（2）的条件下，若点Q 是点P 关于原点O 的对称点，求证：三角形QAB 的面积

2310

QAB S ∆>

；

21.若实数列{}n a 满足条件212,1,2,n n n a a a n +++≥=，则称{}n a 是一个“凸数列”.

（1）判断数列2

n a n n =-+和3()2

n n b =是否为“凸数列”?

（2）若{}n a 是一个“凸数列”，证明：对正整数,,k m n ，当1k m n ≤<<时， 有

n m m k

a a a a n m m k

--≥

--； （3）若{}n a 是一个“凸数列”证明：对1i n ≤≤，有111(1)i n i

i

a a a n

n

++≤-+.