高中数学必修一 函数与方程的思想方法
高中数学必修一第五讲 函数的表示方法
第五讲 函数的表示方法1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；2、 了解简单的分段函数，并能简单应用；一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。
例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2)y x =≥等等都是用解析式表示函数关系的。
特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。
中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。
解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。
2、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。
例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。
我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.特别提醒：列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
这种表格常常应用到实际生产和生活中。
列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。
3、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。
例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。
特别提醒：图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。
图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。
二、函数图像：1、判断一个图像是不是函数图像的方法：要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与x 轴垂直的直线，当该直线保持与x 轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数图像。
高中数学必修一 第1讲函数及其表示
第4讲 函数及其表示基础梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f (x )，x ∈A .(2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫值域．值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．3．映射的概念一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．两个防范(1)解决函数问题，必须树立优先考虑函数的定义域的良好习惯．(2)用换元法解题时，应注意换元后变量的范围．考向一 相等函数的判断【例1】下列函数中哪个与函数)0(≥=x x y 是同一个函数（ ）A y =( x )2B y=x x 2C 33x y =D y=2x 【例2】x x y 2=与⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈=).0,(,);,0(,)(t t t t x f 是相同的函数吗? 考向二 求函数的定义域高中阶段所有基本初等函数求定义域应注意：（1）分式函数中分母不为0；（2）开偶次方时，被开方数大于等于0；（3）对数函数的真数大于0（如果底数含自变量，则底数大于0且不为1）；（4）0次幂的底数不为0。
（5）正切函数2ππ+≠k x【例1】►求函数x x x x f -+--=4lg 32)(的定义域。
高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法
高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。
数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。
而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
常用数学思想方法有：1、数形结合的思想方法2、分类讨论的思想方法3、函数与方程的思想方法4、转化（化归）的思想方法5、分类讨论的思想方法6、整体的思想方法。
更多数学思维方法，请参阅《高中数学_快速解题的六种数学思维方法》。
一、数形结合的数学思想方法数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。
如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
1、导读：2、相关内容：3、再现性题组：1.如果θ是第二象限的角，且满足cos θ2－sinθ2＝1-sinθ,那么θ2是_____。
A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角D.第二象限角2.如果实数x、y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么yx的最大值是_____。
A. 12B.33C.32D. 34、巩固性题组：1.已知5x＋12y＝60，则x y22+的最小值是_____。
A. 6013 B. 135C. 1312D. 12.方程2x＝x2＋2x＋1的实数解的个数是_____。
A. 1B. 2C. 3D.以上都不对3.方程x＝10sinx的实根的个数是_______。
二、分类讨论的数学思想方法①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。
高中四大数学思想方法
高中四大数学思想方法高中四大数学思想方法数学（mathematics或maths，来自希腊语，“máthēma”；经常被缩写为“math”），是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。
数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。
下面是店铺整理的高中四大数学思想方法，希望对你有所帮助！一、数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。
应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。
运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。
应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线。
以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法。
以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。
二、分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决。
分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”。
应用分类讨论思想方法解决数学问题的关键是如何正确分类，即正确选择一个分类标准，确保分类的科学，既不重复，又不遗漏。
如何实施正确分类，解题时需要我们首先明确讨论对象和需要分类的全体，然后确定分类标准与分类方法，再逐项进行讨论，最后进行归纳小结。
高中数学必修1知识难点总结
高中数学必修1知识难点总结高中数学必修一作为高中学生必须掌握的重要学科之一，其内容广泛，难度较大。
其中涉及到了很多重要的知识点，以下是笔者针对这些知识点的难点进行的总结。
1.方程与不等式：方程和不等式是高中数学必修1中难度较大的部分，它们是数学分析和解决实际问题的重要工具。
而其中又以一次方程和一次不等式最为基础，理解和掌握其解法是学习这一部分知识的关键。
此外，二次方程和二次不等式也是难点，其解的方法不仅多样，且常涉及高中数学中其他知识点的关联，因此也需要学生投入大量时间和精力去掌握。
2.函数：函数是高中数学必修1中最主要的部分之一，是整个数学课程的重中之重。
函数可以用来总结和反应实际问题中的某些规律，是数学与实际生活相结合的一个重要工具。
而其中又以幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等更为常见且重要的知识点最为难以掌握，这些函数不仅是高中数学的重要内容，同时也是高考中经常涉及的复杂题型，因此学生需要针对这些知识点进行重点练习和深入理解。
3.几何：高中数学必修1涉及到的几何部分有很多内容，如直线与角、三角形、四边形和圆等，其中以圆和三角形为难点。
对于圆来说，其性质杂且记忆量大，而对于三角形来说，如线段中线定理、角平分线定理、余弦定理、正弦定理等都是比较抽象的概念，需要学生多加练习，才能掌握。
4.向量：向量是高中数学必修1的新知识，也是比较难理解的一部分。
其涉及到了向量的定义，向量的数量运算、向量的线性运算及向量的应用等多个方面。
需要学生具备很强的空间概念和抽象思维能力，才能够掌握和应用这部分知识。
5.三角函数的图象与性质：三角函数作为高中数学必修1中的重要部分之一，其图象和性质是学习这个领域必不可少的知识点。
但是这部分内容既抽象又复杂，需要学生针对性进行练习和理解，才能够掌握其相关的概念和规律。
6.数列与数学归纳法：数列是高中数学必修1中的一个非常重要的概念，在高考数学中经常涉及。
而数学归纳法则是证明数学命题的常见方法，需要学生掌握其基本思想和应用方法，才能够在数列相关的题型中取得好的成绩。
高中数学必修一(人教版)4.5.1函数的零点与方程的解
方法归纳
1．确定函数零点个数的方法： ①结合零点存在定理和函数单调性； ②转化为两个函数图象的交点个数． 2．已知函数零点个数求参数范围的常用方法
跟踪训练 1 (1)函数 f(x)＝12x－x3－2 在区间(－1,0)内的零点个数 是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
4．函数 f(x)＝log2x－1 的零点为________．
解析：令 f(x)＝log2x－1＝0，得 x＝2，所以函数 f(x)的零点为 2. 答案：2
方法归纳
函数零点的求法 求函数 y＝f(x)的零点通常有两种方法：其一是令 f(x)＝0，根据解 方程 f(x)＝0 的根求得函数的零点；其二是画出函数 y＝f(x)的图象，图 象与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．
第1课时 函数的零点与方程的解
[教材要点]
要点一 函数的零点 1．零点的定义 对于函数 y＝f(x)，把_f_(x_)_＝__0_的__实__数___x__，叫做函数 y＝f(x)的零点． 2．方程的根与函数零点的关系
交点的横坐标
零点
状元随笔 函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取 该值时，其函数值等于零．
又函数 f(x)＝log3x－8＋2x 的图象是连续的． ∴函数 f(x)的零点所在区间是(3,4)．
答案：C
方法归纳
判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断． (3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间 内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．
状元随笔 利用数形结合讨论方程的解或图象的交点．讨论方程
高中数学重要数学思想
一、高中数学重要数学思想一、函数方程思想函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。
1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想；3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。
二、数形结合思想数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形），这种解决问题的方法称之为数形结合。
1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。
2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。
这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。
因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质。
4.华罗庚先生曾指出：“数缺性时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）。
高中数学常用思想方法
高中数学常用的思想方法在高中数学里，思想方法是数学学科的灵魂，应用在教学内容里，体现在解决问题中，是知识和能力连接的桥梁。
学生若能掌握一些常用的思想方法，在问题处理上将变被动为主动，积极探索，引领着步入数学的王国。
下面总结一些常见的数学方法，以例题来进一步领会探究。
一、函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点分析和研究数学的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系和构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题，转化问题，从而使问题获得解决，经常利用的函数性质有单调性、奇偶性、周期性、对称性、最大值和最小值以及图像的变换等。
例1：已知函数f（x）=kx，g（x）= ，若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围。
分析：由f（x）≥g（x）可知k≥恒成立，转化为求k大于等于函数f（x）= 的最大值。
解：由题意可得 k≥在区间（0，+∞）上恒成立，令f（x）= 又f’（x）= 令f’（x）=0得x=∴函数f（x）在区间（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，当x= 时，函数f（x）有最大值，且最大值为。
∴k的取值范围为k≥二、方程的思想方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析转化问题，使问题得以解决，方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。
例2：已知成等差数列的四个数之和为26，而第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列。
分析：常规方法利用已知求出a1与 d ，再求这四个数，此方法计算复杂，由于四个数的和已知，不如设这四个数依次为a-3d，a-d，a+d，a+3d.这样列方程求a和d会更简单，但应注意公差为2d。
解：设成等差数列的这四个数依次是：a-3d，a-d，a+d，a+3d。
由题设可知（a-3d）+（a-d）+（a+d）+（a+3d）=26（a-d）（a+d）=40解得a= d= 或a= d=-∴这个数列为2，5，8，11或11，8，5，2函数思想和方程思想是密切相关的。
高中数学的思想方法
高中数学的思想方法数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们的数学知识，经验以及数学思想掌握状况密切相关.从有利于中学数学教学出发，本着数量不宜过多原则，我们认为目前应予以重视的数学方法有：数学模型法、数形结合法、变幻法、函数法和类分法等.一般讲，中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下，运用数学方法，通过一系列数学技能操作来完成的.2方法一：函数与方程的思想函数是高中代数内容的主干，函数思想贯穿于高中代数的全部内容，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来合计问题，研究问题和解决问题。
所谓方程的思想就是特别研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
函数和方程、不等式是通过函数值等于零、大于零或小于零而互相关联的，它们之间既有区别又有联系。
函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。
3方法二：分类与整合思想解题时，我们经常碰到这样一种状况，解到某一步之后，不能再以统一方法，统一的式子持续进行了，因为这时被研究的问题包涵了多种状况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分假设干个子区域，然后分别在各个子区域内进行解题，当分类解决完这个问题后，还必须把它们总合在一起，因为我们研究的毕竟是这个问题的全体，这就是分类与整合的思想。
有分有合，先分后合，不仅是分类与整合的思想解决问题的主要过程，也是这种思想方法的本质属性。
高考将分类与整合的思想放在比较重要的位置，并以解答题为主进行考查，考查时要求考生理解什么样的问题必须要分类研究，为什么要分类，如何分类以及分类后如何研究与最后如何整合。
特别注意引起分类的原因，我们必须相当熟悉，有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念、整数分为奇数偶数等，有些运算法则和公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为q=1和q1两种状况，对数函数的单调性就分为a1，04方法三：转化与化归思想转化与化归是中学数学最基本的数学思想之一，是一切数学思想方法的核心。
高中数学专题函数方程教案
高中数学专题函数方程教案
一、教学目标
1. 了解函数方程的定义和基本概念；
2. 掌握函数方程的解法和计算方法；
3. 提高学生对函数方程的理解和运用能力。
二、教学重点和难点
重点：函数方程的定义和基本概念；
难点：解决函数方程的方法及计算过程。
三、教学准备
1. 教材：高中数学教材；
2. 工具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。
四、教学过程
1. 引入：通过几个实际问题引导学生认识函数方程的概念，引出本节课的主题；
2. 学习：结合具体例题，介绍函数方程的定义和基本性质，讲解解决函数方程的常见方法；
3. 练习：组织学生进行练习，巩固所学知识，培养学生的解题能力；
4. 拓展：引导学生应用函数方程解决更复杂的问题；
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点，梳理知识结构，加深学生印象。
五、课后作业
1. 完成课后习题，巩固所学知识；
2. 总结本节课的重点内容，准备下节课的学习。
六、教学反思
教师根据学生学习情况和反馈，及时调整教学方法和内容，确保教学效果。
3.2 高中必修一数学教案《函数与方程、不等式之间的关系》
高中必修一数学教案《函数与方程、不等式之间的关系》教材分析函数是中学数学的核心概念，函数的零点是函数的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机地联系在一起。
本节课是在学生学习了函数的性质，数形结合的知识，了解方程的根与函数零点之间的关系的基础上，结合函数图象和性质，判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，以及函数与方程的综合应用，如知道零点求参数范围等问题。
学情分析学生在初中已经分别学习了一元二次函数的相关知识及其图象，同时也熟练地掌握了求解一元二次方程的方法，但是学生对它们以及不等式之间的关系还没有深刻的理解，在学生的头脑中，函数、方程、不等式都是模糊的。
通过这节课的学习，能让学生真正地体会数学内容之间的关联性和互化性，知道可以用函数解决相关的数学问题，重点提升学生数学抽象、直观想象和数学运算素养。
教学目标1、明确本节课的研究对象，从特殊函数入手，引导学生学会探究数学问题的方法，帮助学生理清函数与方程、不等式之间的关系。
2、掌握函数零点的概念和性质，熟练掌握应用函数解一元二次不等式和求零点的一元高次不等式的方法。
3、渗透数形结合、分类讨论、从特殊到一般、函数与方程等数学思想方法。
教学重点1、理解零点的概念与性质。
2、应用函数解不等式的步骤与方法。
教学难点函数与方程、不等式之间的关系。
教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、导入已知函数f（x）= x - 1，我们知道，这个函数的定义域为x∈R，而且可以求出，方程f（x）= 0的解集为 {1}，不等式f（x）＞0的解集为{1，+∞}，不等式f（x）＜0的解集为{-∞，1）。
在图3-2-1中作出函数f（x）= x-1的图象，总结上述方程，不等式的解集与函数定义域、函数图象之间的关系。
二、新知由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符号能够把函数的定义域分为几个不相交的集合。
具体来说，假设函数f（x）的定义域为D，若A = {x∈D | f（x）＜0}B = {x∈D | f（x）= 0}C = {x∈D | f（x）＜0}显然，A，B，C两两的交集都为空集，且D = A∪B∪C。
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
「精品」北师大版高中数学必修一课件4-1-1~2-精品课件
∴ ff01＞ ＜00， ， f2＞0，
(6 分)
即 1a＞ －02， ＋1＜0， 4a－4＋1＞0，
解得34＜a＜1.(8 分)
(3)当 a＜0 时，设方程的两根为 x1，x2， 则 x1·x2＝1a＜0，(10 分) x1，x2 一正一负不符合题意． 综上，a 的取值范围为34，1(12 分)
1.25
f(1.25)＜0
(1.25,1.5)
1.375
f(1.375)＞0
(1.25,1.375)
1.312 5
f(1.312 5)＜0
(1.312 5,1.375)
∵|1.375－1.312 5|＝0.062 5＜0.1， 故函数 f(x)＝x3－x－1 在(1,1.5)内的一个近似零点为 1.375， 即方程 x3－x－1＝0 在(1,1.5)内的一个近似解为 1.375.
规律方法 这是一类非常基础且常见的问题，考查的是函数零 点的判定方法，一般而言只需将区间端点代入函数求出函数值， 进行符号判断即可得出结论，这类问题的难点往往是函数值符 号的判断，可运用函数的有关性质进行判断，同时也要注意该 函数的单调性．
【训练 1】 求下列函数的零点： (1)f(x)＝－x2－2x＋3； (2)f(x)＝x4－1； (3)f(x)＝x3－4x.
规律方法 使用二分法求方程的近似解应转化为求其相应函数 的近似零点，当区间两个端点在满足精确度条件下的近似值相 等时，所得区间两个端点的近似值便为所求方程的根(或函数零 点)．
【训练 2】 在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥 部的电话线路发生了故障，这是一条 10 km 长的线路，每隔 50 m 有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，你能帮他找到 一个简便易行的方法吗？
高中数学必修一之知识讲解-函数及其表示方法
函数及其表示方法【学习目标】(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：<<= {x|a≤x≤b}=[a，b]；x a x b a b{|}(,);(]x a x b a b{|},≤<=；x a x b a b<≤=；[){|},(][)≤=∞≤=+∞.x x b b x a x a{|}-,; {|},要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数与映射的区别与联系：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.3.函数定义域的求法(1)确定函数定义域的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。
函数与方程思想之“换元法”在高中数学解题中的应用.doc
函数与方程思想之“换元法”在高中数学解题中的应用一、换元法在问题解决中，引入一个或几个新“元”代换问题中的旧“元”，使关于新元的问题能够解决；解决以后再将结果反演回去，得出旧元问题的结果，这种方法叫做换元法，也叫代换法。
“元”可以是任何意义下的基本元素，如未知数、变量、常量、几何元素等，也可以是一个整体，如代数式、图形等。
本节来介绍下在解题过程中常用到的三种换元法。
第一换元法（旧式换为新元）模式：f [ ψ(x) ] = f ( u ) ，其代换为ψ(x) = u .例题1、已知例题1图（1）解：将已知等式改写为例题1图（2）注：解题的关键是能把t + 1/t 凑成t - 1/t 的表达式，所以这是凑法换元。
例题2、求函数例题2图（1）解：例题2图（2）注：由函数y = f ( x ）换元为y = ψ（u），不但转换解析式也要注意转换定义域。
第二换元法（旧元换为新式）模式：f（x）= f [ ψ（u）] ，其代换为x = ψ(u) .在方程的观点上，第二换元法是把方程y = f ( x ) 化为参数方程：x = ψ(u) ，u = f（u）, （u为参数）。
例题3、解不等式例题3图（1）解：例题3图（2）注：这是正切代换，遇见√（1+t ），可作代换t = tanθ , θ∈（-π/2 ，π/2），其中θ 的范围必须设出，保证代换是等价的。
例题4、求函数例题4图（1）解：函数的定义域是[-1/2 ，0 ）∪（0 ，1/2 ] ，例题4图（2）注：这是正弦代换，遇见√（1-x ），可作代换x = sinθ , 或x = cosθ，要根据x 的范围确定θ 的范围。
第三换元法（旧式换为新式，及广义换元）例题5、求函数例题5图（1）解：例题5图（2）例题6、已知复数z 满足∣2z + i∣= 2 , 求∣3z - 4i ∣的取值范围。
解：（轨迹代换法）设W = 3z - 4i （W 是所求轨迹的动点），则z =1/3（W + 4i）（z 是已知轨迹的动点）代入已知轨迹方程∣2z + i∣= 2 ，即∣2/3（W + 4i）+ i∣= 2 , 即∣W +11/2i∣= 3 .∴点W 的轨迹是圆：圆心为C （0，-11/2），半径为r = 3 ，如下图所示例题6图∴∣OA∣≤ ∣W∣≤ ∣OB∣其中∣OA∣= 11/2 - 3 = 5/2 ，∣OB∣= 11/2 + 3 = 17/2 .∴5/2 ≤ ∣3z - 4i∣≤ 17/2 .。
高中的数学思想方法
高中的数学思想方法高中的数学思想方法高中的数学是一门重要的学科，那么，高中的数学思想方法有哪些呢？下面给大家整理了高中的数学思想方法，一起来看看吧！第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等内容时，起着重要作用（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想：（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法（2）从具体出发，选取适当的分类标准（3）划分只是手段，分类研究才是目的（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去有利于问题解决的变换途径与方法（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想：（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路（2）积累的'解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想：（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点下载全文。
高中数学必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
经典高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：1对映射定义的理解;2判断一个对应是映射的方法;一对多不是映射,多对一是映射集合A,B 是平面直角坐标系上的两个点集,给定从A →B 的映射f:x,y →x 2+y 2,xy,求象5,2的原象.3.已知集合A 到集合B ＝｛0,1,2,3｝的映射f:x →11-x ,则集合A 中的元素最多有几个写出元素最多时的集合A.2、函数;构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法; 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法;但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域;例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式;与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化; 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法; 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式;例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f例6 设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式六、赋值法：当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式;例7 已知：1)0(=f ,对于任意实数x 、y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式;例8 设)(x f 是+N 上的函数,满足1)1(=f ,对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(,求)(x f1、求函数定义域的主要依据：1分式的分母不为零；2偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义；32 2 (21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发,推出y=fx 的取值范围,适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想,依据二次方程有根,求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式x 有范围限制时要画图； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数四．1．定义:2.性质：①y=fx 是偶函数⇔y=fx 的图象关于y 轴对称, y=fx 是奇函数⇔y=fx 的图象关于原点对称,②若函数fx 的定义域关于原点对称,则f0=0③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇两函数的定义域D 1 ,D 2,D 1∩D 2要关于原点对称31、函数单调性的定义：2 设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若fx 与gx 的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是减函数；若fx 与gx 的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数;时,1)(>x f ,⑴求证：)(x f 在R 上是增函数； ⑵若4)3(=f ,解不等式2)5(2<-+a a f 3函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________4高考真题已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)7一：函数单调性的证明1.取值 2,作差 3,定号 4,结论 二：函数单调性的判定,求单调区间x a x y += 0>a xax y -= 0>a 三：函数单调性的应用1.比较大小 例：如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)2()2(-=+t f t f ,那么 A 、)4()1()2(f f f << B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f << C 、)1()2()4(f f f <<2.解不等式例：定义在－1,1上的函数()f x 是减函数,且满足：(1)()f a f a -<,求实数a 的取值范围; 例：设是定义在上的增函数,,且,求满足不等式的x 的取值范围.3.取值范围例: 函数 在上是减函数,则 的取值范围是_______．例：若(31)41()log 1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数,那么a 的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)74. 二次函数最值例：探究函数12)(2+-=ax x x f 在区间[]1,0的最大值和最小值;例：探究函数12)(2+-=x x x f 在区间[]1,+a a 的最大值和最小值;5.抽象函数单调性判断例：已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞,当1>x 时,0)(>x f ,且)()()(y f x f xy f +=⑴求)1(f ,⑵证明)(x f 在定义域上是增函数⑶如果1)31(-=f ,求满足不等式)21()(--x f x f ≥2的x 的取值范围例：已知函数fx 对于任意x ,y ∈R ,总有fx ＋fy ＝fx ＋y ,且当x >0时,fx <0,f 1＝－错误!.1求证：fx 在R 上是减函数； 2求fx 在－3,3上的最大值和最小值．例：已知定义在区间0,＋∞上的函数fx 满足f 错误!＝fx 1－fx 2,且当x >1时,fx <0. 1求f 1的值；2判断fx 的单调性；3若f 3＝－1,解不等式f |x |<－2.六．函数的周期性：1．定义若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数,T 是它的一个周期;说明：nT 也是)(x f 的周期推广若)()(b x f a x f +=+,则)(x f 是周期函数,a b -是它的一个周期对照记忆()()f x a f x a +=-说明：()()f a x f a x +=-说明：2．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a1 已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D22 定义在R 上的偶函数()f x ,满足(2)(2)f x f x +=-,在区间-2,0上单调递减,设( 1.5),(2),(5)a f b f c f =-==,则,,a b c 的大小顺序为_____________3 已知f x 是定义在实数集上的函数,且,32)1(,)(1)(1)2(+=-+=+f x f x f x f 若则f 2005= .4 已知)(x f 是-∞+∞，上的奇函数,)()2(x f x f -=+,当0≤≤x 1时,fx=x,则f=________ 例11 设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+,当]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时,求)(x f 的解析式；⑶计算：1、已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数,则)1(f 的范围是A 25)1(≥fB 25)1(=fC 25)1(≤fD 25)1(>f2、方程0122=++mx mx 有一根大于1,另一根小于1,则实根m 的取值范围是_______八．指数式与对数式 1．幂的有关概念1零指数幂)0(10≠=a a 2负整数指数幂()10,n na a n N a-*=≠∈ 3正分数指数幂()0,,,1m n m na a a m n N n *=>∈>； 5负分数指数幂()110,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>60的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质3．根式根式的性质:当n 是奇数,则a a n n =；当n 是偶数,则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a n n4．对数1对数的概念:如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3对数的运算性质 logMN=logM+logN对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且 对数的降幂公式：)10,0(log log ≠>>=a a N N mnN a n a m 且 1 213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab 2 1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+x 名称 指数函数 对数函数 一般形式 Y=a x a>0且a ≠1 y=log a x a>0 , a ≠1 定义域 -∞,+ ∞ 0,+ ∞ 值域 0,+ ∞ -∞,+ ∞ 过定点 ０,1 1,０ 图象 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x a>0 , a ≠1图象关于y=x 对称数相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性；指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系对数式比较大小同理记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的（1）1、平移变换：左+ 右- ,上+ 下- 即①函数图象及变化规则掌握几类基本的初等函数图像是学好本内容的前题1、基本函数1一次函数、2二次函数、3反比例函数、4指数函数、5对数函数、6三角函数;2、图象的变换1平移变换左加右减①函数y=fx+2的图象是把函数y=fx的图像沿x轴向左平移2个单位得到的；反之向右移2个单位②函数y=fx-3的图象是把函数y=fx的图像沿y轴向下平移3个单位得到的；反之向上移3个单位2对称变换①函数y=fx 与函数y=f-x 的图象关于直线x=0对称； 函数y=fx 与函数y=-fx 的图象关于直线y=0对称；函数y=fx 与函数y=-f-x 的图象关于坐标原点对称；②如果函数y=fx 对于一切x ∈R 都有fx+a=fx-a,那么y=fx 的图象关于直线x=a对称;③y=f-1x 与y=fx 关于直线y=x 对称 ⑤y=fx →y=f|x|3、伸缩变换y=afxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的纵坐标伸长a>1或缩短0<a<1到原来的a 倍;y=faxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的横坐标缩短a>1或伸长0<a<1到原来的a 倍;十．函数的其他性质1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：1212()()0f x f x x x ->- 单调递增1212()()0f x f x x x -<- 单调递减2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：()()0f x f x +-= 奇函数 ()()0f x f x --= 偶函数3．函数的凸凹性：1212()()()22x x f x f x f ++<凹函数图象“下凹”,如：指数函数 1212()()()22x x f x f x f ++>凸函数图象“上凸”,如：对数函数。
高中数学必修一《方程的根与函数的零点》优秀教学设计
如果再上这节课，我会将第一个探究环节完全放手学生，因为通过前面两章知识的学习，学生已经掌握了大部分二次函数相关知识，对于“三个二次”关系有了较完整的认识，只需要老师给出零点的概念并加以推广就可以了。而第二个探究环节，问题设计上指向更明确些，要求学生连线成函数图象，再进行后续探究，这样整节课会更加精炼、流畅。
教学设计
基本信息
名称
3.1.1方程的根与函数的零点
所属教材目录
人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时
教材分析
本节课主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课．本节课不仅为二分法的学习做准备，也为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础．
难点
在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，准确理解零点存在性定理．
教学策略与设计说明
为使学生体验发现的快乐，本节采用：创设情境——自主探究——辨析研讨——反思评价的四环节教学法。由于学生数形结合与抽象思维能力还有欠缺，因此本节先从学生较为熟悉的二次函数入手，在充分体会了二次函数零点相关知识的发现后，再推向一般，形成零点概念，这样由特殊到一般、由具体到抽象的体验过程，符合高一学生的认知特点。而对于零点存在性定理的探究，由学生所画不同函数图象，既能激发学生的学习热情，也能帮助学生建立一种发现新知的思想。
创设情境，产生疑问，引起兴趣，引出课题。比赛模式引入，充分调动学生积极性和主动性。
部编版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式解题方法技巧
(名师选题)部编版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式解题方法技巧单选题1、关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m的值为（）A．−1B．−4C．−4或1D．−1或4答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案.∵关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根，∴Δ=[2(m−1)]2−4×1×(m2−m)=−4m+4⩾0，解得：m⩽1，∵关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，∴α+β=−2(m−1)，α⋅β=m2−m，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m−1)]2−2(m2−m)=12，即m2−3m−4=0，解得：m=−1或m=4(舍去).故选：A.2、若关于x的不等式|x−1|<a成立的充分条件是0<x<4，则实数a的取值范围是（）A．(－∞，1]B．(－∞，1)C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)答案：D分析：根据充分条件列不等式，由此求得a的取值范围.|x−1|<a成立的充分条件是0<x<4，则a>0，|x−1|<a⇒1−a<x<1+a，所以{1−a≤0⇒a≥3.1+a≥4故选：D3、不等式−x2+3x+18<0的解集为（）A．{x|x>6或x<−3}B．{x|−3<x<6}C ．{x |x >3或x <−6}D ．{x |−6<x <3} 答案：A分析：根据二次不等式的解法求解即可. −x 2+3x +18<0可化为x 2−3x −18>0， 即(x −6)(x +3)>0，即x >6或x <−3． 所以不等式的解集为{x |x >6或x <−3}. 故选：A4、已知0<x <2，则y =x√4−x 2的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．6 答案：A分析：由基本不等式求解即可 因为0<x <2， 所以可得4−x 2>0，则y =x√4−x 2=√x 2⋅(4−x 2)≤x 2+(4−x 2)2=2，当且仅当x 2=4−x 2，即x =√2时，上式取得等号， y =x√4−x 2的最大值为2． 故选：A ．5、a,b,c 是不同时为0的实数，则ab+bc a 2+2b 2+c 2的最大值为（ ）A ．12B ．14C ．√22D ．√32 答案：A分析：对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 若要使ab+bc a 2+2b 2+c 2最大，则ab,bc 均为正数，即a,b,c 符号相同，不妨设a,b,c 均为正实数， 则ab+bc a 2+2b 2+c 2=a+c a 2+c 2b+2b≤2√22b×2b=22=12√a2+2ac+c22(a2+c2)=12√12+aca2+c2≤12√12+2√a2×c2=12，当且仅当a2+c2b=2b，且a=c取等，即a=b=c取等号，即则ab+bca2+2b2+c2的最大值为12，故选：A．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.6、已知x>0，则下列说法正确的是（）A．x+1x −2有最大值0B．x+1x−2有最小值为0C．x+1x −2有最大值为－4D．x+1x−2有最小值为－4答案：B分析：由均值不等式可得x+1x ≥2√x×1x=2，分析即得解由题意，x>0，由均值不等式x+1x ≥2√x×1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时等号成立故x+1x−2≥0，有最小值0 故选：B7、已知a,b为正实数，且a+b=6+1a +9b，则a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．12答案：B分析：根据题意，化简得到(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab，结合基本不等式，即可求解.由题意，可得(a +b )2=(6+1a +9b )(a +b )=6(a +b )+10+ba +9a b≥6(a +b )+16，则有(a +b )2−6(a +b )−16≥0，解得a +b ≥8， 当且仅当a =2，b =6取到最小值8. 故选：B.8、已知正数x ，y 满足2x+3y +13x+y =1，则x +y 的最小值（ ） A ．3+2√24B ．3+√24C ．3+2√28D ．3+√28答案：A分析：利用换元法和基本不等式即可求解. 令x +3y =m ，3x +y =n ，则2m+1n =1，即m +n =(x +3y )+(3x +y )=4(x +y )， ∴x +y =m+n 4=(m 4+n 4)(2m +1n )=12+m 4n +2n 4m +14≥2√m 4n ⋅2n 4m +34=2×2√2+34=2√2+34， 当且仅当m4n=2n 4m，即m =2+√2，n =√2+1时，等号成立，故选：A. 多选题9、已知方程x 2+mx +n =0及x 2+nx +m =0分别各有两个整数根x 1，x 2及x 3，x 4，且x 1x 2>0，x 3x 4>0.则下列结论一定正确的是（ ） A ．x 1<0，x 2<0，x 3<0，x 4<0 B ．x 1+x 2+x 3+x 4≥−8 C ．n ≤m +1 D ．n +m ≥8 答案：ACD分析：只需分别利用二次方程根与系数的关系，以及判别式判断出正确的结论．解：对于A ：由x 1x 2>0知，x 1与x 2同号． 若x 1>0，则x 2>0，这时−m =x 1+x 2>0， 所以m <0，此时与m =x 3x 4>0矛盾， 所以x 1<0，x 2<0．同理可证x 3<0，x 4<0.故A 正确；对于B ：根据题意可知，{m 2−4n ≥0n 2−4m ≥0 , ∴{n ≤m 24m ≤n 24∵m >0，n >0，∴n ≤n 464，解得n ≥4． 同理m ≥4， ∴m +n ≥8，即x 1+x 2+x 3+x 4=−(m +n )≤−8，故B 不正确，D 正确；对于C ：由A 知，x 3<0，x 4<0，x 3，x 4是整数，所以x 3≤−1，x 4≤−1． 由韦达定理有m −n +1=x 3x 4+x 3+x 4+1=(x 3+1)(x 4+1)≥0， 所以n ≤m +1，故C 正确； 故选：ACD ．10、若1≤x ≤3≤y ≤5，则（ ） A ．4≤x +y ≤8B ．x +y +1x +16y的最小值为10C ．−2≤x −y ≤0D ．(x +1y )(y +4x )的最小值为9 答案：AB分析：根据不等式的基本性质和基本不等式进行求解判断即可.因为1≤x ≤3≤y ≤5，所以4≤x +y ≤8，−4≤x −y ≤0，故A 正确，C 错误； 因为x +y +1x +16y=x +1x +y +16y≥ 2√x ⋅1x +2√y ⋅16y=10，当且仅当x =1，y =4时，等号成立，所以x +y +1x +16y的最小值为10，因此B 正确；因为(x+1y )(y+4x)=xy+4xy+5≥2√4+5=9，当且仅当xy=2时，等号成立，但1≤x≤3≤y≤5，xy取不到2，所以(x+1y )(y+4x)的最小值不是9，因此D不正确，故选：AB11、下列命题中，正确的是（）A．若a>b，则ac2>bc2B．若a>b，则a3>b3C．若a>b>0，m>0，则b+ma+m >baD．若−1<a<5，2<b<3，则−4<a−b<3答案：BCD解析：利用不等式的性质，对ABCD一一验证.取c=0，代入验证A,有0>0，错误，故A不正确；对于B：记f(x)=x3，则f(x)为增函数，所以a>b时有f(a)>f(b)，故B正确；对于C：记f(x)=b+xa+x (a>b>0,x≥0)，易证f(x)为增函数，所以m>0时有f(m)>f(0)，即b+ma+m>ba成立，故C正确；对于D：∵2<b<3,∴−3<−b<−2,又有−1<a<5，利用同向不等式相加，有：−4<a−b<3，故D 正确.故选：BCD小提示：利用不等式的性质，判断不等式是否成立的问题：对于不成立的情况，只用举一个反例就可以；对于成立的情况，需要利用不等式的性质进行证明.填空题12、若0<x<2，则y=√2x(2−x)的最大值为_______答案：√2分析：由基本不等式求最大值．∵0<x<2，∴2−x>0，∴y=√2⋅√x(2−x)≤√2⋅x+2−x2=√2，当且仅当x=2−x即x=1时取等号，∴当x=1时，有最大值√2.所以答案是：√2．。
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函数与方程的思想方法函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想的精髓就是构造函数。
方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的运用。
对于函数)(xfy=，当0=y时，就转化为方程0)(=xf，也可以把函数式)(xfy=看做二元方程0)(=-xfy，函数与方程这种相互转化的关系十分重要。
函数与表达式也可以相互转化，对于函数)(xfy=，当0>y时，就转化为不等式)(>xf，借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。
数列的通项或前n项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要。
函数)()()(*Nnbxaxf n∈+=与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。
解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。
立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切。
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题，达到化难为易、化繁为简的目的。
高考中的方程和不等式问题包括方程、不等式的求解及方程、不等式观点的应用，可以分成逐渐提高的四个层次。
第一层次：解方程或不等式，主要是指解代数（一次、二次等）方程或不等式，指数、对数方程或不等式，三角方程或不等式，复数方程等；第二层次：对带参数的方程或不等式的讨论，常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题；第三层次：转化为方程的讨论，如曲线的位置关系（包括点与曲线及直线与曲线的位置关系）、函数的性质、集合的关系等；第四层次：构造方程或不等式求解问题。
其中第三、四层次（特别是第四层次）已经进入到方程、不等式观点应用的境界，即把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。
纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”就带动起了中学数学的“目”。
即使对函数极限、导数的研究，也完全是以函数为对象、为中心的。
熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解题的基础。
善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。
经典例题：一． 函数思想所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分析问题、、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想。
1. 构造函数，运用函数的性质例1.（1）已知关于x 的方程0cos 222=+-a x x 有唯一解，求a 的值；（2）解不等式0)2)1(1)(1()21(22>+++++++x x x x 。
分析：（1）构造函数22cos 2)(a x x x f +-=，则问题转化为求)(x f 的零点唯一时的a 。
（2）由观察可构造函数)21()(2++=x x x f 再利用函数的性质，解决问题。
解析：（1）令22cos 2)(a x x x f +-=，R x ∈是偶函数。
)(),()(x f x f x f ∴=-)(x f ∴的图像关于y 轴对称，而题设方程0)(=x f 由唯一解，从而此解必为0=x （否则必有另一解），2,020)0(2±==+-=∴a a f 解得。
（2）设R x x x x f ∈++=),21()(2，易证)(x f 在区间[)+∞,0内为增函数。
）上为增函数，，在区间（是奇函数，从而∞+∞-∴-=++-=-)()().()21()(2x f x f x f x x x f 21,1),()()1(,0)1()(f ->∴->+-=->+>++∴x x x x f x f x f x f x 即即原不等式可化为点评：有关不等式、方程及最值之类的问题，通过构造函数关系式，借助函数的图像与性质，常可使问题简单得解。
2.选定主元，揭示函数关系例2．对于]1,1[-∈a 的一切值，使不等式a x ax x +++<21)32()32(2恒成立的x 的取值范围是 分析：从一个含有多变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系。
解析; a x ax x +++<21)32()32(2且1320<<，a x ax x +>++∴212，即0)1()1(2>-+-x x a 。
①当1=x 时，不定式①不成立。
当1≠x 时，设=)(a f 2)1()1(-+-x x a 。
当0)1(0)(]1,1[)(1>->->f a f a f x 恒成立，则只需上的增函数，欲使时时，，即.2,01,0)1()1(2>∴>->-+-x x x x 又当， 0)1(0)(]1,1[)(1>>-<f a f a f x 恒成立，则只需上的减函数，欲使时时，即.0,1,0)1()1(2<∴<>-+-x x x x 故x 的取值范围时),2()0,(+∞⋃-∞。
点评：本解的巧妙之处是“反客为主”，求x 反而以a 为主变元对x 进行讨论，这才是真正切中要害。
若以x 为主元对a 进行讨论，则问题的解决就繁就难多了。
3．选取变元，确定函数关系例3．函数x x y -+=1的值域是 。
分析：一般思路是：平方，移项，孤立根式，再平方，可以化无理式为有理式。
面对这样一个低于四次的含双变量的方程，其难度真不敢想象。
然而，可考虑转换选取新变元。
解析：由10010≤≤⇒⎩⎨⎧≥-≥x x x ，∴设θπθθ22cos 12,0,sin =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x ，则， 那么).4sin(2cos sin πθθθ+=+=y 4344,2,0ππθππθ≤+≤∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ ， 当[]2,1.24;1,20max min 于是函数的值域是时，当时或====y y πθπθ 点评：虽然经选取变元后的函数简洁明快，可以使人拍案叫绝，但须特别注意到：转化后的函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=20)4sin(ππ，在x y 上没有单调性，故最大值不能在其右端点取得。
4.利用二项式定理构造函数例4：求证：k n m n k m k n m k n m C C C C C C C +-=+++011 。
分析：构造函数n m n m x x x x f ++=++=)1()1()1()(，比较两个展开式中k x 的系数。
解析：令n m x x f ++=)1((，n m k n m x C +++）是（1展开式中k x 的系数，又 ),)(()1()1()(102210n n n n n m n m m m m n m x C x C C x C x C x C C x x x f +++++++=++= 其中kx 的系数为0110n k m k n m k n m C C C C C C +++- ，故0110n k m k n m k n m C C C C C C +++- =k n m C +。
点评：利用函数)()()(*N n b ax x f n ∈+=，用赋值法或“二项”展开来比较系数可以解决许多二项式定理有关的问题。
5.用函数的思想方法解数列题例5.已知不定式127)1(log 1212121112+->+++++a n n n 对一切大于1的自然数n 都成立，求实数a 的取值范围。
分析：nn n 21211++++ 无法求和，常规数列的方法就不起作用了，故必须用函数的思想，用研究函数单调性的方法研究这个数列，求出最小值。
解析：令时，有当且2),2(21211)(≥≥∈++++=n n N n n n n n f 0)12)(1(2111221121)()1(f >++=+-+++==-+n n n n n n f n ， 所以)(),()1(n f n f n f ∴>+为增函数，且,127)2()(min ==f n f 由题意得21,0)1(log ,127)1(log 12112722<<<-∴+->a a a 解得。
点评：利用数列的函数性质（本例为单调性）求出)(n f 的最小值。
用函数方法解决问题，正是函数思想的核心。
6.建立函数关系解应用题例6.用总长为14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架，要求底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
分析：这里有四个变量：底面的长、宽、长方体的体积和高。
设长、高可用x 表示，容积y 是x 的函数。
运用长方体的体积公式，建立目标函数表达式，再求函数的最大值。
解析：设容器底面宽为x(m),则长为x+0.5(m),高为).(22.34)5.0(448.14m x x x -=+-- 由6.100022.3<<>>-x x x 得和，设容器的容积为y(m 3),则有),6.10)(22.3)(5.0(<<-+=x x x x y 整理得x x x y 6.12.2223++-=，求导，得 6.14.462++-='x x y ，令,06.14.46,02=++-='x x y 有即,0411152=--x x 解得)(154,121不合题意，舍去-==x x 。
从而，在定义域），（6.10内只有在01='=y x 处使。
因此，当1=x 时，y 取得最大值，8.16.12.22max =++-=y 这时，高为)(2.1122.3m =⨯-。
答：当容器的高为1.2m 时，容积最大，最大容积是1.8(m 3)。
点评：此题容易忽视的时自变量x 的取值范围，缺少它，很难判断求出的最大值是否符合题意。
另外，适当设出自变量，建立函数关系是解此类题的关键。
本题在求函数最大值时，是用求导的方法求出极值点，再根据实际情况判断是最大值还是最小值。