高中数学必修一 函数与方程的思想方法

函数与方程的思想方法

函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。

函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。

方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个

领域，在解题中有着广泛的运用。对于函数

)

(x

f

y=，当0

=

y时，就转化为方程0

)

(=

x

f，

也可以把函数式

)

(x

f

y=看做二元方程0

)

(=

-x

f

y，函数与方程这种相互转化的关系十

分重要。

函数与表达式也可以相互转化，对于函数

)

(x

f

y=，当0

>

y时，就转化为不等式

)

(>

x

f，借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。

数列的通项或前n项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要。

函数

)

(

)

(

)

(*

N

n

bx

a

x

f n∈

+

=与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比

较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。

解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。

立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切。

函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题，达到化难为易、化繁为简的目的。

高考中的方程和不等式问题包括方程、不等式的求解及方程、不等式观点的应用，可以分成逐渐提高的四个层次。

第一层次：解方程或不等式，主要是指解代数（一次、二次等）方程或不等式，指数、对数方程或不等式，三角方程或不等式，复数方程等；

第二层次：对带参数的方程或不等式的讨论，常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题；

第三层次：转化为方程的讨论，如曲线的位置关系（包括点与曲线及直线与曲线的位置关系）、函数的性质、集合的关系等；

第四层次：构造方程或不等式求解问题。

其中第三、四层次（特别是第四层次）已经进入到方程、不等式观点应用的境界，即把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。

纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”

就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究，也完全是以函数为对象、为

中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解题的基础。善于根

据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。

经典例题：

一． 函数思想

所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分

析问题、、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想。

1. 构造函数，运用函数的性质

例1.（1）已知关于x 的方程0cos 222=+-a x x 有唯一解，求a 的值；

（2）解不等式0)2)1(1)(1()21(22>+++++++x x x x 。

分析：（1）构造函数22cos 2)(a x x x f +-=，则问题转化为求)(x f 的零点唯一时的a 。

（2）由观察可构造函数)21()(2++=x x x f 再利用函数的性质，解决问题。

解析：（1）令22cos 2)(a x x x f +-=，R x ∈是偶函数。)(),()(x f x f x f ∴=-

)(x f ∴的图像关于y 轴对称，而题设方程0)(=x f 由唯一解，从而此解必为0=x （否则

必有另一解），2,020)0(2±==+-=∴a a f 解得。

（2）设R x x x x f ∈++=),21()(2，易证)(x f 在区间[)+∞,0内为增函数。

）上为增函数，，在区间（是奇函数，从而∞+∞-∴-=++-=-)()().()21()(2x f x f x f x x x f 2

1,1),()()1(,0)1()(f -

>∴->+-=->+>++∴x x x x f x f x f x f x 即即原不等式可化为点评：有关不等式、方程及最值之类的问题，通过构造函数关系式，借助函数的图像与性质，

常可使问题简单得解。 2.选定主元，揭示函数关系

例2．对于]1,1[-∈a 的一切值，使不等式a x ax x +++<21)3

2()32

(2恒成立的x 的取值范围是 分析：从一个含有多变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系。

解析; a x ax x +++<21)32()32(2且13

20<<，a x ax x +>++∴212，即0)1()1(2>-+-x x a 。①

当1=x 时，不定式①不成立。

当1≠x 时，设=)(a f 2)1()1(-+-x x a 。

当0)1(0)(]1,1[)(1

>->->f a f a f x 恒成立，则只需上的增函数，欲使时时，，