2020届安徽省淮南市高三第一次模拟考试数学理科试题(解析版)

淮南市2020届高三第一次模拟考试数学试题(理科)注意事项：1．答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的信息.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰，作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．卷上答题无效．．．．．．.．第Ⅰ卷(满分60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的)1.若集合{}|21A x x =-≤，|B x y ⎧==⎨⎩，则A B =I ( ) A. []1,2- B. (]2,3 C. [)1,2D. [)1,3【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A ，集合B 中元素的范围，然后求交集即可. 详解】解：由已知{}{}|21|13A x x x x =-≤=≤≤，{}||2B x y x x ⎧===<⎨⎩，[)1,2A B ∴⋂=，故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题. 2.已知R a ∈，i 为虚数单位，若复数1a iz i+=+是纯虚数，则a 的值为( )A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出. 【详解】()()()()()()111=1112a i i a a ia i z i i i +-++-+==++-为纯虚数. 则110,022a a +-=≠ 所以1a =- 故选：A【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题． 3.已知a ，b 都是实数，那么“lg lg a b >”是“a b >”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论．【详解】,a b 都是实数，由“lg lg a b >”有a b >成立，反之不成立，例如2,0a b ==. 所以“lg lg a b >”是“a b >”的充分不必要条件. 故选：B【点睛】本题考查了对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知ABC ∆的顶点()4,0A ，()0,2B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为( ) A. 230x y -+= B. 230x y +-=C. 230x y --=D. 230x y --=【答案】D 【解析】由于AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，求出线段AB 的垂直平分线，即可得出ABC ∆的欧拉线的方程．【详解】因为AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上()4,0A ，()0,2B ，则,A B 的中点为(2,1)201042AB k -==--, 所以AB 的垂直平分线的方程为：12(2)y x -=-，即23y x =-. 故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了对新知识的理解应用，属于中档题．5.淮南市正在创建全国文明城市，某校数学组办公室为了美化环境，购买了5盆月季花和4盆菊花，各盆大小均不一样，将其中4盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为( ) A. 960 B. 1080 C. 1560 D. 3024【答案】B 【解析】 【分析】分两类：第一类一盆菊花都没有，第二类只有一盆菊花，将两类种数分别算出相加即可.【详解】解：一盆菊花都没有的摆法种数为45120A =，只有一盆菊花的摆法种数为134454960C C A =，则至多有一盆菊花的摆法种数为1209601080+=， 故选：B.【点睛】本题考查分类加法原理，考查排列组合数的计算，是基础题. 6.函数()21ln 12f x x x =--的大致图象为( ) A.B.C. D.【解析】 【分析】由()()f x f x -=得到()f x 为偶函数，所以当0x >时，()21ln 12f x x x =--，求导讨论其单调性，分析其极值就可以得到答案.【详解】因为()()()21ln 12f x x x f x -=----=， 所以()f x 为偶函数, 则当0x >时，()21ln 12f x x x =--.此时211()x f x x x x='-=-，当1x >时，()0f x '> 当01x <<时，()0f x '<. 所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 在0x >上，当1x =时函数()f x 有最小值11(1)1122f =-=->-.. 由()f x 为偶函数，根据选项的图像C 符合. 故选：C【点睛】本题考查根据函数表达式选择其图像的问题，这类问题主要是分析其定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性和一些特殊点即可,属于中档题.7.在ABC ∆中，3AB =，5AC = ，点N 满足2BN NC =u u u r u u u r ，点O 为ABC ∆的外心，则AN AO ⋅u u u r u u u r的值为( ) A. 17 B. 10C.172D.596【答案】D 【解析】 【分析】将AN u u u r 用向量AB u u u r和AC u u u r 表示出来，再代入AN AO ⋅u u u r u u u r 得，1233AN AO AB AO AC AO ⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，求出AB AO ⋅u u u r u u u r ,AC AO ⋅u u ur u u u r 代入即可得出答案.【详解】取AB 的中点E ，连接OE ，因为O 为ABC ∆的外心，,0OE AB AB OE ∴⊥∴⋅=u u u r u u u r，22,3BN NC BN BC =∴=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，2212()3333AN AB BN AB BC AB AC AB AB AC ∴=+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，2119||222AO AB AB EO AB AB ⎛⎫∴⋅=+⋅== ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，同理可得21||2522AO AC AC ⋅==u u u r u u u r u u u r ，12121925933333232526AN AO AB AC AO AB AO AC AO ⎛⎫∴⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯+⨯= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：D.【点睛】本题考查数量积的运算，关键是要找到一对合适的基底表示未知向量，是中档题.8.已知12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和等于1256，则展开式中项的系数的最大值是( )A.72B.358C. 7D. 70【答案】C 【解析】 【分析】令1x =，可得8n =，将812x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的奇数项求出来，观察大小即可得答案. 【详解】解：令1x =得，1112256n⎛⎫-= ⎪⎝⎭，8n ∴=，812x ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭的展开式通项公式为182rr r x T C +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要求展开式中项的系数的最大值则r 必为偶数，02402244183858351,7,2228x x x T C T C x T C x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-==-==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，686688789871,,2162256x x T C x T C x ⎛⎫⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：C.【点睛】本题考查二次项定理的应用，其中赋值法求出n 很关键，是基础题.9.已知双曲线22214x y b -=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为( )A.8 B. )41C.8+ D. )22【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的定义以及三角形结合正弦定理，转化求解三角形的周长即可. 【详解】双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF V 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF所以8)m =+，解得：m =所以1ABF ∆的周长为：11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 10.已知4x π=是函数()()sin f x x ωϕ=+(03ω<<，0ϕπ<<)的一个零点，将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则函数()f x 的单调递增区间是( )A. 32,2412k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈B. 544,12343k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ C. 52,2124k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈D. 344,43123k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【答案】D 【解析】 【分析】 通过条件可得4k πωϕπ+=，122k ππωϕπ-+=+，结合03ω<<，0ϕπ<<可求出,ωϕ，即可得35()sin 28f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令35222282k x k πππππ-+≤+≤+，求出x 的范围即为函数()f x 的单调递增区间.【详解】解：由已知sin 044f πωϕπ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得4k πωϕπ+=，k Z ∈，又03ω<<，0ϕπ<<，7044πωϕπ∴<+<，即704k ππ<<，k Z ∈， 1k ∴=，4πωϕπ∴+=①；又sin sin 121212f x x x ϕπππωωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所得图象关于y 轴对称，sin 112πωϕ⎛⎫∴-+=± ⎪⎝⎭， 122k ππωϕπ∴-+=+，k Z ∈，将①代入消去ϕ得1242k ππωπωππ-+-=+，k Z ∈，33,032k ωω∴=-<<Q ， 0k ∴=时，32ω=，58ϕπ∴=，35()sin 28f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，令35222282k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，34443123k x k ππππ∴-+≤≤-+，k Z ∈，故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，考查计算能力和分析能力，是中档题. 11.已知1x =是函数()32*12()1n n n f x a x a x a x n N++=--+∈的极值点，数列{}na 满足11a=，22a =，22log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦L ( )A. 1008B. 1009C. 2018D. 2019【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的导数通过函数的极值，得到数列的递推关系式，求出数列的通项公式，化简数列求和，推出结果即可.【详解】解：212()32n n n f x a x a a x '++=--，1x =是函数()32*12()1n n n f x a x a x a x n N++=--+∈的极值点，可得：12203n n n a a a ++--=，即()2221121324312,1,2,2,,2n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -+++--=--=-=-=⋯-=，累加可得1121222,log log 2121112n n n n n n b a n a +--+===-=+=+-，1223201820192018201820181112018233420192020b b b b b b ⎛⎫++⋯+=++⋯+ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭ 111111112018201820181009233420192020220202020⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1223201820192018201820182018100910082020b b b b b b ⎡⎤⎡⎤+++=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L . 故选：A.【点睛】本题考查数列递推式求通项公式，以及数列求和的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题.12.己知()()()ln 1ln 1f x ax x x x =++++与()2g x x =的图象有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围是( )A. 1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B. 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎫-⎪⎝⎭D. (【答案】C 【解析】 【分析】 依题意，方程ln 1ln 111x x a x x ++⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭有三个不相等的实根，令ln 1()x t x x+=，利用导数研究函数()t x 的单调性及最值情况，再分类讨论得解.【详解】解：方程()()f x g x =即为()()2ln 1ln 1ax x x x x ++++=，则方程ln 1ln 111x x a x x ++⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭有三个不相等的实根，令ln 1()x t x x +=得2(1)10t a t a +++-=①，且2ln ()x t x x-'=， ∴函数()t x 在(0,1)上单增，在(1,)+∞上单减，故max ()(1)1t x t ==，且t →+∞时，()0t x →，0t →时，()t x →-∞ ∴方程①的两个根12,t t 的情况是：(i )若1212,(0,1),t t t t ∈≠，则()f x 与()g x 的图象有四个不同的公共点，不合题意； (ii )若1(0,1)t ∈且21t =或20t =，则()f x 与()g x 的图象有三个不同的公共点，令1t =，则1(1)10a a +++-=，12a ∴=-，此时另一根为(320,1)-∉，舍去； 令0t =，则10a -=，1a \=，此时另一根为12(0,)-∉，舍去；(iii )若1(0,1)t ∈且20t <，则()f x 与()g x 的图象有三个不同的公共点， 令2()(1)1h x t a t a =+++-，则(0)0(1)0h h <⎧⎨>⎩，解得112a -<<.故选：C.【点睛】本题考查函数图像的交点与方程根的关系，考查分类讨论思想，旨在锻炼学生的推理论证能力，属于中档题.第Ⅱ卷(满分90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α的值为______．【解析】 【分析】根据角的范围，先求出cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值，然后用角变换66ππαα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭可求解. 【详解】由5,36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，+,26ππαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以cos 653πα⎛⎫+==-⎪⎝⎭cos cos =cos cos +sin sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3414525210-=-⨯+⨯=【点睛】本题考查同角三角函数的关系和利用角变换求解三角函数值，属于中档题.14.若实数x ，y 满足2000x y x y x y b -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，且2z x y =+的最小值为1，则实数b 的值为__________【答案】34【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域，根据目标函数得出取最优解时点的坐标，再根据分析列出含有参数b的方程组，由最小值求出b的值.【详解】解：不等式组20x yx yx y b-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的可行域如图所示：必有0b>20y x bx y=-+⎧⎨-=⎩Q，323bxby⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，2,33b bB⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；由图可得，当目标函数过点B时，2z x y=+有最小值；22133b b∴⨯+=，解得34b=，故答案为：34.【点睛】本题考查了约束条件中含有参数线性规划问题，解题时应先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程(组)，解出代入目标式，即可求出参数的值. 15.已知函数()lnexf x e x =-，满足()2201810092019201920192e e e f f f a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L (a ，b 均为正实数)，则14a b+的最小值为_____________ 【答案】94【解析】 【分析】通过题目发现()()2f x f e x +-=，然后利用倒序相加法求出4a b +=，将14a b+转化为()1144a b a b ⎛⎫+ ⎪⎝+⎭，展开，利用基本不等式即可求得最值. 【详解】解：2()()()()lnln ln ln 2()ex e e x ex e e x f x f e x e e x e e x e xx --⎡⎤+-=+=⋅==⎢⎥----⎣⎦， ()1009220182201920192019e e e a b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭QL ， ()1009201820172201920192019e e e a b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， 两式相加得：()100922018a b +=⨯，4a b ∴+=，()141141419554444b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝+=， 故答案为：94. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，关键是要发现()()2f x f e x +-=以及倒序相加求和，难度不大.16.设抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且4AF BF =，点O 是坐标原点，则AOB ∆的面积为____________ 【答案】58【解析】 【分析】由题意不妨设直线AB 的方程为12x ty =+，联立直线与抛物线方程，然后结合4AF BF =可得4AF FB =u u u r u u u r ，结合方程的根与系数关系及向量的坐标表示可求t ，然后根据121122AOBS y y =⋅-V 求面积即可.【详解】解：解：由题意不妨设直线AB 的方程为12x ty =+， 联立方程2122x ty y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩可得，2210y ty --=，设()()1122,,,A x y B x y ， ∵4AF BF =，4AF FB ∴=u u u r u u u r，124y y ∴=-，则212241y y y =-=-，2214y ∴=，即212y =， 1221151552244128AOB S y y y ∴=⋅-=⨯=⨯=V ，故答案为：58.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，解题的关键是坐标关系的应用，属于中档试题.三、解答题(共70分，答题应在答题卡上写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每位考生都必须作答，第22题和23题为选考题，考生根据要求作答)17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos sin C c A =． (Ⅰ)求角C 的大小；(Ⅱ)已知点P 在边BC 上，60PAC ∠=︒，3PB =，AB =ABC ∆的面积．【答案】(Ⅰ)60C =︒；(Ⅱ)2S = 【解析】 【分析】(Ⅰ)cos sin sin A C C A =，可得答案.|(Ⅱ)由条件APC ∆为等边三角形，则120APB ∠=︒，由余弦定理得，2222cos120AB AP BP PA PB =+-⋅︒，可得AP ，从而得到三角形的面积.【详解】(Ⅰ)cos sin C c A =cos sin sin A C C A =， 又A 是ABC ∆内角，∴sin 0A ≠，∴tan C =∵0180C <<︒，∴60C =︒．(Ⅱ)根据题意，APC ∆为等边三角形，又120APB ∠=︒．在APB ∆中，由于余弦定理得，2222cos120AB AP BP PA PB =+-⋅︒， 解得，2AP =，∴5BC =，2AC =． ∴ABC ∆的面积1sin 6022S CA CB =⋅︒=． 【点睛】本题考查正弦和余弦定理以及求三角形的面积，属于中档题.18.已知等差数列{}3log n a 的首项为1，公差为1，等差数列{}n b 满足()212n n b n n k +=++．(1)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； (2)若nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】(1)3nn a =．1n b n =+(2)525443n n n S +=-⋅ 【解析】 【分析】(1)由等差数列的通项公式及对数的运算可得数列{}n a 的通项公式，根据条件中的递推式求出123,,b b b ，利用它们成等差数列列方程求出k ，进而可得数列{}n b 的通项公式； (2)利用错位相减法求数列{}n c 的前n 项和n S .【详解】解：(1)由条件可知，3log 11n a n n =+-=，3nn a ∴=.()212n n b n n k +=++Q ，132k b +∴=，283k b += ，3154kb +=.由题意{}n b 为等差数列，2132b b b ∴=+，解得1k =，()211n b n n ∴=+-=+；(2)由(1)知，13n n n n b n c a +==， 2231333n n n S +∴=++⋅⋅⋅+① 则23112313333n n n S ++=++⋅⋅⋅+② ①-②可得23311221111525333333623n n n n n S ++++=+++⋅⋅⋅+-=-⋅， 525443n n n S +∴=-⋅. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，考查错位相减法求和，是基础题.19.2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x (百万元)和销量y (万盒)的统计数据如下：(1)求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？(规定：0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合)；(2)该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，12，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．附：(1)相关系数ni ix y nx yr -=∑(2)81347i ii x y==∑，8211308ii x ==∑，82193i i y ==∑【答案】(1)0.98;可用线性回归模型拟合．(2)65【解析】 【分析】(1)根据题目提供的数据求出,x y r u r，代入相关系数公式求出r ，根据r 的大小来确定结果；(2)求出药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，X 服从二项分布235X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:,，利用二项分布的期望公式求解即可.【详解】解：(1)由题意可知2361021131518118x +++++++==r ， 112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==u r ，由公式0.98r ==≈，0.980.75r ≈>Q ，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；(2)药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为1142255A P =⨯=，2412525A P =⨯=，3322535A P =⨯=，由题意，235X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:, ，()26355E X ∴=⨯=.【点睛】本题考查相关系数r 的求解，考查二项分布的期望，是中档题.20.已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的离心率为13，1F ，2F 分别是椭圆的左右焦点，过点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为12．(Ⅰ)求椭圆C 的方程(Ⅱ)过点()0,2P 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆是以AB 为底边的等腰三角形若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】(1)22198x y +=；(2)存在，012m -≤<或012m <≤【解析】 【分析】(Ⅰ)由椭圆的离心率为13和2MNF ∆的周长为12可得13412c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，可求椭圆方程.(Ⅱ)AB 的中点为()00,E x y ,由条件有DE AB ⊥，即1DE AB k k =-⋅,设(),0D m ，用直线AB 的斜率把m 表示出来，可求解其范围.【详解】(1)由题意可得13412c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以3a =，1c =，所以椭圆C 的方程为22198x y +=.(2)直线l 的解析式为2y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ．假设存在点(),0D m ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥．由222,1,98y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()228936360k x kx ++-=，故1223698kx x k +=-+，所以021898k x k -=+，00216298y kx k =+=+ 因为DE AB ⊥，所以1DE k k =-，即221601981898k k k m k -+=---+，所以2228989k m k k k --==++当0k >时，89k k +≥=0m ≤<； 当k 0<时，89k k +≤-012m <≤ 综上：m取值范围是0m ≤<或0m <≤【点睛】本题考查由椭圆的几何性质求方程，满足条件的动点的坐标的范围的探索，属于难题. 21.已知函数()ln 1x x a f x x++=，在区间[]1,2有极值．(1)求a 的取值范围； (2)证明：()()sin 1a x f x x+>．【答案】(1)01a <<(2)见解析 【解析】 【分析】(1)()f x 在区间[]1,2有极值转化为()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，利用导数，分类讨论，研究()f x 在[1,2]上的单调性即可； (2)将证明()()sin 1a x f x x+>转化为证明ln sin 1x x a x >-.先证ln 1x x ax >-，然后再证1sin 1ax a x ->-，进而可得()()sin 1xf x a x >+.【详解】解：(1)由()1ln a f x x x +=+得()()()221110x a a f x x x x x -++'=-=>， 当11a +≤即0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在[1,2]上单调递增，无极值； 当12a +≥即1a ≥时，()0f x '≤，所以()f x 在[1,2]上单调递减，无极值；当112a <+<即01a <<，由()0f x '>得1x a >+；由()0f x '<得1x a <+，所以()f x 在[)1,1a +上单调递减，在(]1,2a +上单调递增，符合题意，01a ∴<<；(2)要证()()sin 1xf x a x >+成立，只需证ln 1sin x x a a x a ++>+成立，即证ln sin 1x x a x >-， 先证：ln 1x x ax >-.设()ln 1g x x x ax =-+，则()1ln ln 1g x x a x a '=+-=+-，所以()f x 在()10,a e -上单调递减，在()1,a e -+∞上单调递增，所以()()()1111111a a a a g x g ea eae e ----≥=--+=-，因为01a <<，所以110a e -->，则()0g x >，即ln 1x x ax >-①，再证：1sin 1ax a x ->-.设()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥.所以()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()00h x h >=，即sin x x >.因为01a <<，所以1sin 1ax a x ->-②， 由①②可ln sin 1x x a x >-，所以()()sin 1xf x a x >+.【点睛】本题考查函数极值的存在性问题，考查函数不等式的证明，关键是要将问题进行转化，考查计算能力，是一道难度较大的题目.四、选考题(10分)：请考生在第(22)、(23)题中任意选择—题作答并在答题卡相应位置涂黑．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求1C ，2C 的极坐标方程； (2)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的面积．【答案】(1)cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)12． 【解析】试题分析：(1)将cos ,sin x y ρθρθ==代入12,C C 的直角坐标方程，化简得cos 2ρθ=-，22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；(2)将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=得12ρρ==， 所以MN =12.试题解析：(1)因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=(2)将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=得240ρ-+=得12ρρ== 所以MN =因为2C 的半径为1，则2C MN ∆的面积为111sin 4522⨯=o 考点：坐标系与参数方程. 【此处有视频，请去附件查看】23.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【答案】(1) {x|x≥4或x≤1}；(2) [－3，0].【解析】试题分析：(1)解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．(2)原命题等价于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围试题解析：(1)当a＝－3时，f(x)＝25,2 {1,23 25,3x xxx x-+≤<<-≥当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2＜x＜3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4.所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．6分(2)f(x)≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|(4－x)－(2－x)≥|x＋a|－2－a≤x≤2－a，由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数【此处有视频，请去附件查看】。