平行四边形的对角线特征
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第2课时平行四边形的对角线特征
1.理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质.
2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题.
3.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力.
自学指导：阅读课本43页至44页，完成下列问题.
知识探究
1.有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作□ABCD，读作平行四边形ABCD.
2.平行四边形的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分.
3.平行四边形是中心对称图形.
活动1 小组讨论
例1证明平行四边形对角线互相平分.
已知：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∴△AOD≌△COB(ASA)
∴OA=OC，OB=OD.
例2如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC.求BC、CD、AC、OA的长以及□ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC=AD=8，CD=AB=10
又∵AC⊥BC
∴△ABC是直角三角形
∴
又∵OA=OC
∴OA=1
2
AC=3
∴S□ABCD=BC×AC=8×6=48
自学反馈
如图，在□ABCD中，BC=10 cm,AC=8 cm,BD=14 cm.
(1)△AOD的周长是多少？为什么?
(2)△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？
解：(1)21 cm
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AO=OC=1
2
AC BO=OD=
1
2
BD BC=AD
∴C△AOD=AO+OD+AD=1
2
AC+
1
2
BD+BC=4+10+7=21 cm
(2)△DBC长,长6 cm.
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB=CD
∵C△ABC=AB+BC+AC=AB+BC+8
C△DBC=BC+CD+BD=BC+AB+14
∴C△DBC-C△ABC=6 cm
∴C△DBC>C△ABC,长6 cm.
例3 探究题：
(1)□ABCD的对角线AC与BD相交于O,直线EF过点O与AB、CD分别相交于E、F(图1),试探究OE与OF的大小关系？并说明理由.
解：OE=OF
∵□ABCD
∴OB=OD AB∥CD
∴∠3=∠4,∠EOB=∠FOD
∴△BOE≌△DOF
∴OE=OF
(2)在上述问题中,若直线EF与边DA、BC的延长线交于点E、F,(如图2),上述结论是否仍然成立？试说明理由.
解：成立.
理由同上.证明△AOE和△COF全等.
小结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总是被交点平分.
活动2 跟踪训练
1.(1)平行四边形具有而一般四边形不具有的特征是( B )
A.不稳定性
B.对角线互相平分
C.内角和为360度
D.外角和为360度
(2)若平行四边形的一边长为５,则它的两条对角线长可以是( D )
A.12和2
B.3和4
C.4和6
D.4和8
(3)如图，在平面直角坐标系中，□OBCD的顶点O、B、D的坐标如图所示，则顶点C的坐标为( C )
A.(3,7)
B.(5,3)
C.(7,3)
D.(8,2)
(2)根据对角线互相平分和两边和大于第三边及两边差小于第三边来判断；(3)平行四边形的边长OB是B的横坐标，C的横坐标是点D的横坐标加OB=7，纵坐标是点D的纵坐标.所以点C的坐标为(7,3).
2.(1)如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝10，BD=8,则AD的取值范围是1 根据平行四边形对角线平分和三角形两边和两边差的关系来解决. (2)如图,在□ABCD中,对角线AC﹑BD相交于点O,且AC+BD=20,△AOB的周长等于15,则CD=5. (3)一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的： 当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？ 解：合理.如图二：因为平行四边形，AD=BC,OA=OC,OD=OB,所以△AOD≌△BOC,则老大、老三面积相等；同理老二和老四的面积也相等.作AM⊥BD，△AOB与△AOD等底同高，则S△AOB=S△AOD即老大和老二的面积也相等.所以四个孩子的地一样多. 3.在这些图形中面积相等的图形有哪些？ 过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分. 活动3 课堂小结 平行四边形的性质⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 边 角 对角线 教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.