(整理)实验12概率统计.
(完整版)概率与统计教学设计
(完整版)概率与统计教学设计1. 引言本文档旨在设计一套全面且有效的概率与统计教学计划。
通过结合理论与实践，促进学生对概率与统计概念的理解和应用能力的提升。
2. 教学目标通过本课程的研究，学生应达到以下目标：- 熟练掌握概率与统计的基本概念和相关计算方法；- 能够分析和解释概率与统计数据，并进行合理的推断和预测；- 培养学生的逻辑思维、问题解决和数据分析能力。
3. 教学内容和方法本课程的教学内容将包括以下几个主要模块：3.1 概率理论- 引入概率的基本概念和性质；- 讲解概率计算方法，包括排列组合、事件独立性等；- 应用概率计算解决实际问题。
3.2 统计分析方法- 介绍统计学的基本原理和方法；- 讲解数据收集和整理的技巧；- 统计分布、参数估计和假设检验等统计分析方法的应用。
3.3 实践案例分析- 利用真实案例数据进行统计分析；- 引导学生运用所学知识解决实际问题；- 培养学生的数据分析和决策能力。
在教学过程中，将采用以下教学方法：- 授课讲解：通过清晰简明的解释，引导学生理解概率与统计的基本概念和方法；- 实例演示：通过实际案例分析，帮助学生理解和应用所学知识；- 分组讨论：组织学生进行小组活动，促进合作研究和问题解决能力；- 实验实践：安排相关实验，培养学生的实际操作和数据分析能力。
4. 教学评估方式为了评估学生对概率与统计知识的掌握程度，将采用以下评估方式：- 课堂小测验：通过课堂小测验检验学生对概率与统计基本概念的理解；- 作业与项目：布置概率与统计相关的作业和项目，测试学生的应用能力；- 期末考试：设立期末考试，全面考察学生对概率与统计的掌握情况。
5. 教学资源支持为了保证教学的顺利进行，将提供以下教学资源支持：- 教材：选择一本权威的概率与统计教材为学生提供基础知识；- 资源库：为学生提供相关的教学资源和案例分析资料；- 实验室设备：提供实验室设备，支持学生进行实践操作。
6. 教学时间安排本课程将持续一学期，根据教学计划，按照以下时间安排进行教学：- 第1-2周：概率理论教学；- 第3-4周：统计分析方法教学；- 第5-12周：实践案例分析教学；- 第13-14周：复和总结。
概率论与数理统计知识点总结!-知识归纳整理
《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率古典概型公式：P （A ）=所含样本点数所含样本点数ΩA 实用中经常采用“罗列组合”的想法计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。
求：P(A)=？Ω所含样本点数：n n n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n n n A P !)(=∴补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。
(i =1,2,3)求：P(A i )=？Ω所含样本点数：6444443==⋅⋅A 1所含样本点数：24234=⋅⋅836424)(1==∴A PA 2所含样本点数：363423=⋅⋅C1696436)(2==∴A PA 3所含样本点数：4433=⋅C161644)(3==∴A P注：由概率定义得出的几个性质：知识归纳整理1、0<P （A ）<12、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则 P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n )推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3： P （A ）=1－P （A ）推论4：若B ⊃A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：nnAA A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃ (2)121nnAA A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ (2)121§1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=)()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= )()(A P AB P （P(A)≠0）∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。
高中概率知识点总结
高中概率知识点总结高中概率知识点总结概率，又称或然率、机会率、机率（几率）或可能性，它是概率论的基本概念。
概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。
以下是小编整理的高中概率知识点总结，希望能够帮助到大家！高中概率知识点总结篇1一．算法，概率和统计1．算法初步（约12课时）（1）算法的含义、程序框图①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如，二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。
②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。
在具体问题的解决过程中（如，三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
（2）基本算法语句经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。
（3）通过阅读中国古代中的算法案例，体会中国古代对世界发展的贡献。
3．概率（约8课时）（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。
（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。
（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
（4）了解随机数的意义，能运用模拟（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）。
（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
2．统计（约16课时）（1）随机抽样①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。
②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。
③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。
④能通过试验、查阅、设计调查问卷等方法收集数据。
（2）用样本估计总体①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图（参见例1），体会他们各自的特点。
概率统计学实验报告
《概率统计》实验报告实验人员：系（班）:矿业工程系机械设计制造及其自动化1404班 学号:20141804408 姓名:李君阳 实验地点：电教楼四层三号机房实验名称：《概率统计》实验时间：2016.5.10，2016.5.17 16：30——18：30.实验目的：1.加强学生的动手能力，让学生掌握对MATLAB 软件的应用。
2.为以后的数学计算节省时间，提高精确度，准确度，合理的利用科学技术。
实验内容：（给出实验程序与运行结果）一、古典概型2、在50个产品中有18个一级品，32个二级品，从中任意抽取30个，求其中恰有20个二级品的概率.解：p=C 3220C 1810c 5030=0.2096>> p=nchoosek(32,20)*nchoosek(18,10)/nchoosek(50,30)p =0.2096二、计算概率1、某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击200次，试求至少击中两次的概率.2、一铸件的砂眼（缺陷）数服从参数为0.5的泊松分布，求此铸件上至多有1个砂眼的概率和至少有2个砂眼的概率. 解：1.p=1-c 2000∗0.98400-c 2001*0.98199*0.02=0.1458>> p=binopdf(2,200,0.02)p =0.1458 2.P(ζ=0)= 5.00*!05.0-e P(ζ=1)= 5.01*!15.0-e P(ζ1)=0.9098P(ζ)=0.09024、设随机变量()23,2X N ，求()25P X <<；()2P X >解：P(2<X<5)=F(5)-F(2)= )5(1,0σa F -=)235(1,0-F -)232(1,0-F = -=0.08413-(1-0.6915)=0.5328P(｜X ｜>2)=P(X<-2)+P(X>2)=P(X<-2)+1-P(X<2)=0.6977normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2) ≤2≥吕梁学院《概率统计》实验报告ans =0.5328>> normcdf(-2,3,2)-normcdf(2,3,2)+1ans =0.6977三、作图1、画出N(2,9)，N(4,9)，N(6,9)的图像进行比较；（图1）画出N(0,1)，N(0,4)，N(0,9)的图像进行比较.解：y1=normpdf(x,2,3);y2=normpdf(x,4,3);y3=normpdf(x,6,3);plot(x,y1,x,y2,x,y3)>> x=-40:0.01:40;y1=normpdf(x,0,1);y2=normpdf(x,0,2);y3=normpdf(x,0,3);plot(x,y1,x,y2,x,y3)（图2）四、常见统计量的计算1、根据调查，某集团公司的中层管理人员的年薪（单位：万元）数据如下：42 41 39.2 37.6 40.2 40 41 41.4 36.1 43.140.3 39.3 38.4 36.5 38.1 38.5 39.1 40.6 38.3 39.7求其公司中层管理人员年薪的样本均值、样本方差、样本标准差，绘制直方图。
高等数学第12章 概率论与数理统计
易知：A B, 即事件A与B为互逆事件
高等数学
6. 事件的运算律
1、交换律：A B＝B A，AB＝BA 2、结合律：(A B) C＝A (B C)
(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(A B)C＝(AC) (BC)，
(AB) C＝(A C)(B C) 4、对偶(De Morgan)律：
A U B A I B, AB A U B
推广：U Ak I Ak , I U Ak Ak .
k
k
k
k
高等数学
例 甲、乙两人各向目标射击一次，设：
A=甲击中目标，B 乙击中目标
试用A、B的运算关系表示下列事件 ：
A1 目标被击中： A U B A2 两人恰有一人击中目标： AB U AB A3 目标未被击中： AB A4 两人都击中目标： AB
P(A | B) 1 3
高等数学
条件概率计算
P( A | B) P( AB) P(B)
P(B | A) P( AB) P( A)
高等数学
概率的乘法公式
两个事件 ： P( AB) P( A)P(B | A) P(B)P( A | B)
三个事件 ：
P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A2 A1 )
高等数学
概率的性质
1） 对于任一事件 A，有 0 剟P(A) 1
2） 0P() 1， P() 0
3） 若 0AB, 则Æ
0P(A U B) P(A) P(B)
推论： 对于任一事件 ，A有 0P(A) 1 P(A)
推广： n个事件A1，A2，L ，An是互不相容的事件组，有
概率论与数理统计实验
整理课件
3、指数分布随机数
1) R = exprnd(λ)：产生一个指数分布随机数 2)R = exprnd(λ,m,n)产生m行n列的指数分布随机数
例3、产生E(0.1)上的一个随机数，20个随机数， 2行6列的随机数。
整理课件
在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.5,1000)
整理课件
在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.5,10000)
整理课件
在Matlab命令行中输入以下命令： binomoni(0.3,1000)
整理课件
二、常用统计量
1、表示位置的统计量—平均值和中位数
概率论与数理统计实验
实验2 随机数的产生
数据的统计描述
整理课件
实验目的
学习随机数的产生方法 直观了解统计描述的基本内容。
实验内容
1、随机数的产生 2、统计的基本概念。 3、计算统计描述的命令。 4、计算实例。
整理课件
一、随机数的产生 定义：设随机变量X~F(x),则称随机变量X的 抽样序列{Xi}为分布F(x)的随机数 10常用分布随机数的产生
整理课件
例6 生成单位圆上均匀分布的1行10000列随机数，并 画经验分布函数曲线。
Randnum=unifrnd(0,2*pi,1,10000); %(0,2pi)上均匀分布随机数 xRandnum=cos(Randnum);%横坐标 yRandnum=sin(Randnum);%丛坐标 plot(xRandnum,yRandnum);
例9：产生5组指数分布随机数，每组100个， 计算样本偏度和峰度。
统计与概率、综合与实践内容分析与建议
专题学习统计和概率、综合和实践内容分析和建议专题一统计和概率（一）“统计和概率”的内容结构在课程标准中较课程标准实验稿有较大变化。
即在第一学段内容大大减少，只保留3条要求，主要是学会分类、会进行简单的数据收集和整理；第二学段分为“简单数据统计过程”和“随机现象发生的可能性”两部分，共8条；第三学段分为“抽样和数据分析”和“事件的概率”两部分，共11条。
这样调整的原因在于，在实验过程中原来第一学段对于统计和概率内容的要求，按照学生现有的理解水平，学习是有一定困难的，教学设计和实施也有很大难度。
同时，在内容上和后面两个学段有很大的重复。
因此，较大幅度降低了第一学段统计和概率内容的要求，对后两个学段的内容也做相关的调整，如中数、众数等内容从第二学段移到第三学段。
这样使统计和概率内容在三个学段的要求上有明显区分，在难度上也表现出一定的梯度。
在初中阶段“统计和概率”的课程内容主要由数据分析的过程、数据分析的方法、数据的随机性和随机现象及简单随机事件发生的概率构成。
通过本节分析，使教师在教学中，通过让学生参和在实际问题中收集和处理数据，利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计和概率的基础知识和基本技能。
1.数据分析的过程课程标准中将数据分析观念作为核心概念，为教师理解这部分内容结构提供了重要指导。
在课程标准中，将数据分析观念解释为：“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
数据分析是统计的核心。
”基于这些阐述，为使学生树立数据分析的观念，教师最有效的方法就是让他们投入到数据分析的全过程中去。
在此过程中，学生不仅学习一些必要的知识和方法，同时还将体会数据中蕴涵着信息，提高自己运用数据分析问题、解决问题的能力。
《统计与概率》教案14篇
《统计与概率》教案14篇《统计与概率》教案篇1设计说明根据本课时的复习内容和特点，依托教材提供的练习题，从以下两个层次进行复习。
1．引导学生按照指定的标准分类。
这一层次的复习，首先让学生按照颜色分类，采用小组讨论的方式，找出自己分类的数据，然后将数据填入统计表中，初步体会到整理数据的全过程。
在按照颜色分类的基础上，让学生自主完成按照形状进行分类，以巩固整理数据的方法。
2．引导学生按照自选的标准进行分类。
这一层次的复习过程能让学生体验到分类结果的多样性。
通过以上的复习设计，使学生会用简单的统计表、象形统计图来呈现整理的结果，并培养学生从多角度、多层次、多方位地看待事物的意识。
课前准备教师准备 PPT课件学生准备不同形状的平面图形若干教学过程⊙导入新课(课件出示不同形状的平面图形)师：同学们，这些图形都是我们学过的平面图形，谁能告诉大家它们的名称？(教师指名汇报)师：同学们的记忆力真好，今天我们就利用这些平面图形来复习有关分类与整理的知识。
设计意图：通过辨认平面图形，为复习课的展开奠定基础。
⊙复习梳理1．复习按照指定的标准分类。
(课件出示教材94页3题)师：这么多不同颜色、不同形状的卡片混在一起，你们能分别按照它们的颜色和形状把它们分一分吗？(1)按照颜色分类。
师：请同学们小组合作解决，要知道每种颜色的卡片分别有多少张，应该怎么办呢？(学生小组讨论)汇报讨论结果。
方法一：先分一分，再数一数。
先按照红、绿、蓝、黄、粉五种颜色把卡片分成五类，然后数出每一类的张数。
方法二：边数边画。
学生展示画的结果：方法三：用文字方式呈现分类的结果。
红色绿色蓝色黄色粉色5张 3张 6张 2张 4张师：请根据你们用不同方法分类整理的结果，把教材94页3题(1)中的表格填写完整。
(学生自主填写表格)师：根据表格中的数据，请你提出数学问题，并自主解答。
(学生之间根据数据互相提出问题，并解答)(2)按照形状分类。
师：根据按照颜色分类的方法，请同学们按照形状对这些卡片进行分类，并自主填写教材94页3题(2)中的表格。
(整理)概率统计作业题(6)
第一章练习题1. 如图，设１、２、３、４、５、６表示开关，用Ｂ表示“电路接通”i A表示“第i个开关闭合”请用i A表示事件B解：2.一大型超市声称,进入商店的小偷有60%可以被电视监测器发现,有40%被保安人员发现,有20%被监测器和保安人员同时发现,试求小偷被发现的概率.解：3. 周昂，李虎和张文丽是同班学生.如果他们到校先后次序的模式的出现的可能性是一样的，那么周昂比张文丽先到校的概率是多少？解：4.甲、乙两城市都位于长江下游,根据一百余年来,气象的记录,知道甲、乙两城市一年中雨天占的比例分别为20%和18%,两地同时下雨的比例为12%,问(1) 乙市为雨天时,甲市为雨天的概率是多少?(2) 甲市为雨天时,乙市为雨天的概率是多少?(3) 甲、乙两城市至少有一个为雨天的概率是多少?解：5.某种动物由出生活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4,问现年20岁的这种动物活到25岁的概率是多少?解：6.发报台分别以0.6和0.8发出信号”*”和”+”，由于通信受到干扰,当发出信号为”*”时，收报台分别以概率0.8和0.2收到信号”*”和”+”.又若发出信号为”+”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号”+”和”*”，求当收报台收到信号”*”时，发报台确实发出信号”*”的概率.解：7.某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求全厂产品的次品率.解：8.某高校甲系二年级1、2、3班的学生人数分别为16、25、25人,其中参加义务献血的人数分别为12、15、20人，从这三个班中随机抽取一个，再从该班的学生名单中任意抽取2人.（1）求第一次抽取的是已献血的人的概率；（2）如果已知第二次抽到的是未参加献血的，求第一次抽到的是已献血的学生的概率.解：9.美国总统常常从经济顾问委员会寻求各种建议.假设有三个持有不同经济理论的顾问(Perlstadt,Kramer,和Oppenheim)．总统正在考虑采取一项关于工资和价格控制的新政策，并关注这项政策对失业率的影响.每位顾问就这种影响给总统一个个人预测，他根据以前与这些顾问一起工作的经验，总统已经形成了关于每位顾问有正确的经济理论的可能性的一个先验估计，分别为P（Perlstadt正确）=1/6P（Kramer正确）=1/3P（Oppenheim正确）=1/2假设总统采纳了所提出的政策，一年后，失业率上升了，总统应如何调整他对其顾问的理论正确性的估计.解：10.甲、乙、丙三人向同一架飞机射击.设甲、乙、丙击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,又设只有一人击中，飞机坠毁的概率为0.2；若二人击中，飞机坠毁的概率为0.6；若三人击中，飞机必坠毁.求飞机坠毁的概率.解：11.如果)()(C B P C A P ≥，)()(C B P C A P ≥，则()().P A P B ≥证明：12．选择题(1)．设C B A ,,三事件两两独立，则C B A ,,相互独立的充分必要条件是（ ）(A) A 与BC 独立； (B) AB 与C A 独立； (C) AB 与AC 独立； (D) B A 与C A 独立． (2)．设当事件A 和B 同时发生时，事件C 必发生，则下述结论正确的是（ ）(A) 1)()()(-+≤B P A P C P ； (B) 1)()()(-+≥B P A P C P ； (C) )()(AB P C P =； (D) )()(B A P C P =．(3)．设事件A 和B 满足B A ⊂，0)(>B P ，则下列选项必然成立的是（ ）(A) )()(B A P A P <； (B) )()(B A P A P ≤； (C) )()(B A P A P >； (D) )()(B A P A P ≥．(4)．n 张奖券中有m 张可以中奖，现有k 个人每人购买一站张，其中至少有一个人中奖的概率为（ ）(A)knk mn m C C C 11--； (B)k nC m； (C) k nk m n C C --1； (D)∑=ki k ni mC C 1．(5)．一批产品的一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任意取出一件，结果不是三等品，则该产品为一等品的概率为（ ）(A)21； (B) 41； (C) 31； (D) 32．第二章练习题1．一袋中有3个白球5个红球，从中任取2个球，求其中红球个数X的概率函数．解：2．自动生产线在调整以后出现废品的概率为p，生产过程中出现废品时立即重新调整，求两次调整之间生产的合格品数X的分布．解：3．一张考卷上有5道题目，同时每道题列出4个选择答案，其中有一个答案是正确的．某学生凭猜测能答对至少4道题的概率是多少？解：4．分析病史资料表明，因患感冒而最终死亡（相互独立）比例占0.2%．试求，目前正在患感冒的1000个病人中：（1）最终恰有4个人死亡的概率；（3）最终死亡人数不超过2个人的概率．解：5．某公司经理拟将一提案交董事会代表批准，规定如提案获多数代表赞成则通过.经理估计各代表对此提案投赞成票的概率是0.6，且各代表投票情况独立.为以较大概率通过提案，试问经理请三名懂事代表好还是五名好？解：6．一电话交换台每分钟收到呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有8次呼唤的概率；（2）每分钟呼唤次数大于10次的概率．解：7．设某射手有5发子弹，连续向一目标射击，直到击中或子弹用完为止．已知其每次击中的概率为0.8，设X为射击的次数．求（1）X的概率分布；（2）未用完子弹的概率；（3）用完子弹且击中目标的概率；（4）已知用完子弹的条件下，其射中目标的概率．解：8．设随机变量X 的概率密度为：∞<<∞-=-x ce x f x)(，求：（1）常数c ；（2）X 的值落)1,1(-在内的概率； （3）X 的分布函数．解：9．设若)4,3(~N X ，（1）求}3{},2{},104{},52{>>≤<-≤<X P X P X P X P ； （2）确定c ，使得}{}{c X P c X P ≤=>．解：10．设)2,1(~U X ，求23+=X Y 的分布． 解：10．研究了英格兰在1875—1951年内，在矿山发生导致10人以上死亡的事故的频繁程度，得知相继两次事故之间的时间T （以日计）服从指数分布，其概率密度为： 002411)(241≤>⎪⎩⎪⎨⎧=-t t et f t，求分布函数)(t F ，并求概率}10050{<<T P ． 解：11.选择题：(1)．如果随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2,min(X Y =的分布函数（ ）． (A) 是连续函数； (B) 至少有两个间断点； (C) 是阶梯函数； (D) 恰好有一个间断点．(2)．设)1,1(~N X ，概率密度函数为)(x ϕ，下述选项正确的是（ ）．(A) 5.0)0()0(=≤=≥X P X P ； (B) 5.0)1()1(=≥=≤X P X P ；(C) )()(x x -=ϕϕ,),(+∞-∞∈x ； (D) )(1)(x F x F --=,),(+∞-∞∈x ． (3)．设!/)(k e a k X P k λλ-==),4,2,0( =k ，是随机变量X 的概率分布，则λ,a 一定满足（ ）．(A)0>λ； (B) 0>a ； (C) 0>λa ； (D) 0>λ且0>a ． (4)．设随机变量X 的密度函数为)1(1)(2x x f +=π，则X Y 2=的概率密度函数为（ ）．(A))41(12x +π； (B))4(22x +π； (C))1(22x +π； (D))4(12x +π．(5) ．设随机变量),(~211σμN X ，随机变量),(~222σμN Y ，且1{1}P X μ-<> 2{1},P Y μ-<则必有(A)21σσ>； (B) 21σσ<； (C) 21μμ>； (D) 21μμ<．第三章练习题1．甲乙二人轮流投篮，假定每次甲的命中率为0.4，乙的命中率为o.6,且各次投篮相互独立.甲先投，乙再投，直到有人命中为止.求甲乙投篮次数X 与Y 的联合分布.解：2．设随机变量(X,Y)的联合概率密度为=),(y x f ⎩⎨⎧--其它,0),6(y x k ;40,20<<<<y x求：（1）常数k ；（2）);3,1(<<Y X P （3）);5.1(<X P （4）)4(≤+Y X P解：3．已知X 与Y 同分布且概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,030,814)(3x x x f设事件}0{>>=a X A 和}0{>>=a Y B 独立，且9/5)(=⋃B A P ，求常数a .解：4．一批产品中有a 件合格品与b 件次品.每次从这批产品中任取一件产品，共取两次，抽样方式是：(1)放回抽样；(2)不放回抽样.设随机变量X 及Y 分别表示第一次及第二次取出的次品数，写出上述两种情况下二维随机变量(X ,Y )的概率分布及边缘分布，并说明X 与Y 是否独立.解：5．设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,01,421),(22y x y x y x f求条件密度函数和条件概率}2143{=>x Y P 解：6．设二维随机变量),(Y X 的概率函数为求：（1）)0,1(≤≥Y X P ;(2))02(≤=Y X P ；（3）讨论Y X ,的独立性； 解：7．设X 与Y 两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,1)(其它x x f X ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(y y e y f y Y 求随机变量Y X Z +=的概率密度.解：8．设随机变量X ，Y 相互独立，并且]1,0[~U X ，)1(~e Y ，求Y X +，},max{Y X ，},min{Y X 的概率密度函数．解：9．设(X ,Y )的分布律为试求：(1)Y X Z +=解：10.选择题：(1)．下列函数可以作为二维分布函数的是（ ）.(A) ⎩⎨⎧>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x F (B) ⎪⎩⎪⎨⎧>>⎰⎰=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt ey x F y x t s(C) ⎰⎰=∞-∞---y x ts dsdt ey x F ),(； (D) ⎪⎩⎪⎨⎧>>=--.,0,0,0,),(其他y x ey x F y x(2)．设事件B A ,满足41)(=A P ，21)|()|(==A B P B A P ．令 ⎩⎨⎧=.,0,,1不发生若发生若A A X ⎩⎨⎧=.,0,,1不发生若发生若B B Y 则===)0,0(Y X P ．(A)81； (B) 83； (C) 85； (D) 87．(3)．设随机变量X 与Y 相互独立且同分布：21)1()1(====Y P X P ，21)1()1(=-==-=Y P X P ，则==)1(XY P ． (A)21； (B) 31； (C) 32； (D) 41． (4)．设(),10~,N X (),21~,N Y Y X ,相互独立，令X Y Z 2-=，则~Z （ ）（A ）)5,2(-N ； (B) )5,1(N ； (C) )6,1(N ； (D) )9,2(N ．(5)．设二维随机变量),Y X （服从G 上的均匀分布，G 的区域由曲线2x y =与x y =所围，则),Y X （的联合概率密度函数为 .（A ）⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6),(G y x y x f ； （B ）⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6/1),(Gy x y x f ；（C ）⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2),(G y x y x f ； （D ）⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2/1),(Gy x y x f第四章练习题1. 设随机变量X 的分布律为如下, 求)(X E ,)12(-X E ,)(2X E .解：2. 射击比赛,每人射4次,每次射一发,约定全都不中得0分,只中一弹得15分,中两弹得30分,中三弹得55分,中四弹得100分.甲每次射击命中率为0.6,问他期望得多少分?解：3. 9粒种子分种在3个坑内，每粒种子发芽的概率为0.5．若一个坑内至少有１粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种１个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求 的数学期望．解：4.(1)(2) 求完成该任务的期望天数;(3) 该任务的费用由两部分组成:20000元的固定费用加每天2000元,求整个项目费用的期望值;(4) 求完成天数的方差和标准差.解：5. 设离散型随机变量X的概率分布为（1）(2)试求DXEX,解：6. 设两个相互独立的随机变量X和Y均服从正态分布(1,1/5).如果随机变量X-aY+2满足条件X+-aYD=XaYE)2-[(]+(2)2求（1）a的值；（2）)2-aYX(+D-aY(+XE及)2解：7. 游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行.一游客在早上八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在[0,60]上服从均匀分布，求该游客等候时间Y的数学期望.解：8. 某电力排灌站，一天内停电的概率为0.1（设若停电，全天不能工作），若4天内全不停电，可获得利润6万元；如果停电一次，可获利3万元；如果有二次停电，则获利为0万元；若有三次以上停电，要亏损1万元.求4天内期望利润是多少？解：9. 一台设备由三大部件构成，在设备运行中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20,0.30.假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，求X的概率分布、数学期望EX和方差DX.解：10. 一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品可得利润500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.解：11. 已知X ,Y 的相关系数为.,,d cY b aX +=+=ηζρ,求ηζ,的相关系数ζηρ 解：12. 设),0(~),,0(~2221σσN Y N X ，且相互独立Y a X a V Y a X a U 2121,-=+= （1）分别写出U,V 的概率密度函数；（2）求U,V 的相关系数； （3）讨论U,V 的独立性；（4）当U,V 相互独立时，写出(U,V)的联合密度函数解：13. 设A ,B 是二随机事件；随机变量 ⎩⎨⎧-=不出现若，出现若A A X 1,1 ⎩⎨⎧-=不出现若，出现若B B Y 1,1试证明随机变量X 和Y 不相关的充分必要条件是A 与B 相互独立. 解：14.试验证21X Y =与X 不相关，而32X Y =与X 却相关． 解：15．选择题：(1)．随机变量X 的概率分布为：)1(21)(+==n n n X P ，),3,2,1( =n ．则其数学期望)(X E 为（ ）.(A) 0； (B) 0.5； (C) 1； (D) 不存在． (2)．随机变量X 与Y 独立同分布，令Y X -=ξ，Y X +=η，则随机变量ξ和η必然（ ） (A) 独立； (B) 不独立； (C) 相关系数为0； (D) 相关系数不为0． (3)．对任意随机变量X 与Y ，则下列等式中一定成立的为（ ）(A) )()()(Y D X D Y X D +=+； (B) )()()(Y E X E Y X E +=+； (C) )()()(Y D X D XY D =； (D) )()()(Y E X E XY E =．(4)．设X 与Y 为任意随机变量，若)()()(Y E X E XY E =，则下述结论中成立的为（ ）(A) )()()(Y D X D Y X D +=+； (B) )()()(Y D X D XY D =；(C) X 与Y 相互独立； (D) X 与Y 不独立．(5)．设离散型随机变量X 的可能取值为1、2、3，且3.2)(=X E ，9.5)(2=X E ，则对应取值1、2、3的概率应为（ ）(A)1.01=p ，2.02=p ，7.03=p ； (B) 3.01=p ，2.02=p ，5.03=p ； (C) 1.01=p ，4.02=p ，5.03=p ； (D) 2.01=p ，3.02=p ，5.03=p ．第五章练习题1．利用Chebychev 不等式证明：能以大于0.97的概率断言，掷1000次均匀硬币，正面出现的次数在400到600次之间.解：2．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,)(x x xe x f x用Chebychev 不等式证明 2/1}40{≥<<X P解：3．电视机厂每月生产10000台电视机，但它的显象管车间的正品率为0.8，为了以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品的显象管，该车间每月应生产多少只显象管？解：４．保险公司对20岁男青年卖保险，每年交300元，约定：若在今后5年内投保历史资料表明一个人若能活到25岁并一直投保，则平均保险公司可获利1500元.试问：（1）20岁男青年能活过25岁以上的概率有多大？（2）收300元保险费，而一旦死亡要赔10万元，两者差距似乎很大，而公司还能获利，为什么？设有十万人投保能获利多少？（3）试求对每个20 岁投保人，大致可获利多少？（5）为了准备获利1000000元，应征集多少20岁男青年投保？解：5．药厂断言，该工厂生产的某种药品对于治疗一种疑难的疾病的治愈率为0.8.某医院试用了这种药品，任意抽查了100个服用次药品的病人，如果其中多于75人治愈，医院就接受药厂的这一断言，否则就拒绝之.问：（1）若实际上次药品对这种疾病的治愈率为0.8，那么，医院接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上次药品对这种疾病的治愈率为0.7，那么，医院接受这一断言的概率是多少？解：6．某商店负责供应某地区1000人所需商品,其中一商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6,假定在这一段时间内个人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这样的商品,才能以99.7%的概率保证不会脱销(假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件).解：7．选择题(1)．设随机变量),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，且}1|{|}1|{|21<-><-μμY P X P ，则必有( )．(A)21σσ>； (B) 21σσ<； (C) 21μμ<； (D) 21μμ>．(2)．设随机变量序列}{n X 相互独立，],[~n n U X n -， ,2,1=n ，则对}{n X ( )． (A)可使用切比雪夫大数定律； (B) 不可使用切比雪夫大数定律；(C) 可使用辛钦大数定律； (D) 不可使用辛钦大数定律． (3)．设随机事件A 在第i 次独试验中发生的概率为i p ，n i ,,2,1 =．m 表示事件A 在n次试验中发生的次数，则对于任意正数ε恒有=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<∑-=∞→εni i n p n n mP 11lim ( )． (A)１； (B) ０； (C)21； (D)不可确定． (4)．设 ,,,,21n X X X 相互独立且都服从参数为λ的指数分布，则下述选项中成立的是( )．(A) )(lim 1x x n X Pn i i n Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∑=∞→λλ； (B) )(lim 1x x nn X P n i i n Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-∑=∞→； (C) )(lim 1x x nn X P n i i n Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤-∑=∞→λ； (D) )(lim 1x x n X P n i i n Φ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-∑=∞→λλ． (5)．设随机变量序列 ,,,,21n X X X 相互独立同分布， 0)(=i X E ，2)(σ=i X D ，且)(4i X E 存在，则对任意0>ε，下述选项中正确的是( )．(A) 11lim 21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑=∞→εσni i n X n P ； (B) 11lim 212≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-∑=∞→εσni i n X n P ； (C) 11lim 212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑=∞→εσni i n X n P ； (D) 01lim 212=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-∑=∞→εσni i n X n P第六章练习题1. 在总体)3.6,52(2N 中随机抽取一容量为36的样本,求样本均值X 落在50.8至53.8之间的概率.解：由题意：)363.6,2.5(~2N X ， 8293.0]8729.01[9564.0)1429.1()7143.1()63.6528.50()63.6528.53()8.538.50(=--=-Φ-Φ=-Φ--Φ=<<∴X P 2. 已知某种白炽灯泡的使用寿命服从正态分布, 在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只,测得其寿命(以小时计)为:1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948试用样本数字特征法求出寿命总体的均值μ和方差2σ的估计值,并估计这种灯泡的寿命大于1300小时的概率.解：由题设知：样本容量10=n 样本均值1.997)9489201156918936112678511969191067(101=+++++++++=X 样本方差17305)1.997109489201156918936112678511969191067(91222222222222=⨯-+++++++++=S.0107.09893.01)3026.2(1)55.1311.9971300(1)173051.9971300(1)1300(1)1300(=-=Φ-=-Φ-=-Φ-≈≤-=>X P X P3. 设各种零件的重量都是随机变量, 它们相互独立, 且服从相同的分布,其数学期望为0.5公斤,均方差为0.1公斤,问5000只零件的总重量超过2510公斤的概率是多少?(提示:当n 较大时,随机变量之和n X X X X +++= 21近似地服从正态分布,以下第6题,第7题也适用)解：由题设知5000=n ，已知)50001.0,5.0(~5000500050001N X X X i i 近似∑===33.06700.01)444.0(1)0045.0002.0(1)50001.05.05020.0(1)5020.0(1)5020.0()500025105000()2510(=-=Φ-=Φ-=-Φ-=≤-=>=>=>∴X P X P X P X P4. 部件包括10个部分, 每部分的长度是一个随机变量, 它们相互独立, 且服从同一分布. 其数学期望为2毫米, 均方差为0.05毫米,规定总长度为1.020±毫米时产品合格, 试求产品合格的概率.解：由题设知102,1,05.0)(,2,10 ====i X D EX n i i则总长度∑==101i iXX ，且5.005.010,20210=⨯==⨯=DX EX则产品合格的概率为.1114.01)1414.0(2)5.01.0()5.01.0()1.0201.020(=-Φ=-Φ-Φ=+≤≤-X P 5. 计算机进行加法时, 对每个加数取整(即取最接近于它的整数),设所有的取整误差是相互独立的,且它们都在(-0.5,0.5)上服从均匀分布.(1) 若将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ (2) 几个数加在一起, 可使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？解：由题设知15002,1,121)(,0,1500 ====i X D EX n i i则误差总和∑==15001i i X X ，且121500,0==DX EX（1）.1802.0)]3416.1(1[2]1)12150015(2[1)15(1)15(=Φ-=-Φ-=≤-=>X P X P（2）∑==ni i n X X 1且12,0n DX EX n == 90.01)1210(21)10(=-Φ==<n X P n441121095.0)1210(=⇒⇒=Φ⇒n n n6.设总体X 具有概率密度 ⎩⎨⎧<<=其它0102)(x x x f从总体X 抽取样本4321,,,X X X X ，求最大顺序统计量max =T (4321,,,X X X X )的概率密度．解：)()]([4)(,)]([)(34t f t F t f t F t F T T ==⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤==⎰∞-111000)()(2t t t t dt t f t F t⎩⎨⎧<<==∴otherst t t f t F t f T 0108)()]([4)(737.已知一台电子设备的寿命T （单位:h ）服从指数分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,001.0)(001.0t t e t f t现在检查了100台这样的设备，求寿命最短的时间小于10h 的概率解：设min =M (10021,X X X ))()](1[100)(,)](1[1)(99100m f m F m f m F m F M M -=--=⎩⎨⎧>-==-∞-⎰othersm e dt t f m F mm001)()(001.0⎩⎨⎧>=-=∴-othersm e m f m F m f M 01.0)()](1[100)(1.099则1.01)10(e M P -=<8.设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，2n S 为样本方差，求满足下式的最小值n : 95.0)5.1(22≥≤σn S P ．解：因为)1(~)1(222-χσ-n S n n 95.0)5.1(22=≤σn S P 95.0))1(5.1)1((22=-≤σ-⇒n S n P n 27=⇒n9.设1021,,,X X X 为)3.0,0(2N 的一个样本，求∑>=1012}44.1{i i X P解：因为∑=χ10122)9(~3.0/i i X∑=>1012}44.1{i i X P ∑=>=101222}3.0/44.13.0/{i i X P1.0}163.0/{110122=≤-=∑=i i X P10.假定),(21X X 是取自正态总体),0(2σN 的一个样本，试求概率].4)/()[(221221<-+X X X X P解：),1.0(~221N X X σ+),1.0(~221N X X σ-)1(~2)(22221χσ+∴X X ，)1(~2)(22221χσ-∴X X)1,1(~)/()(221221F X X X X -+∴ .7.0]4)/()[(221221=<-+∴X X X X P11.已知321,,X X 是从正态总体),0(2σN 抽取的样本．证明：∑+∑-==-=-16122121612212)(/)(i i i i i i X X X X T )16,16(~F证明：),1.0(~2212N X X ii σ+-),1.0(~2212N X X ii σ--),16(~2)(216122212χσ+∑=-i i i X X ，),16(~2)(216122212χσ-∑=-i i i X X ∑∑=-=-+-=∴16122121612212)(/)(i i i i i i X X X X T)16,16(~2)(/2)(1612221216122212F X X X X i i i i i i ∑∑=-=-ο+ο-=12．选择题（1）、设12(,,,)n X X X 为来自总体X 的一个样本，则n X X X ,,,21 必然满足（C ） （A ）独立不同分布 （B ）不独立但同分布 （C ）独立同分布 （D ）无法确定（2）、设),,,(21n X X X 为来自总体),(~2σμN X 的一个样本，其中2,μσ未知，则下 面不是统计量的是（D ） （A ）i X （B ）11n i i X X n ==∑ （C ）211()1n i i X X n =-∑- （D ）211()n i i X n μ=-∑ （3）、设总体)16,3(~N X ，126,,,X X X 为来自总体X 的一个样本，X 为样本均值，则 （没正确答案）（A ）)1,0(~3N X - （B ）)1,0(~)3(4N X - （C ）)1,0(~43N X - （D ）)1,0(~23N X - (4)、设),,,(21n X X X (1)n >来自总体)1,0(~N X ，X 与S 分别为样本均值和样本标准差，则有（C ） （A ）(0,1)X N （B ）(0,1)nXN (C) 221()ni i X n χ=∑ （D ）(1)Xt n S-(5)、设),,,(21n X X X 为来自总体)1,0(~N X 的一个样本，统计量Y ，则（B ）（A ）2(1)Y n χ- (B) (1)Yt n - (C) (1,1)Y F n - (D)(1,1)YF n -第七章练习题1. 对目标独立地进行射击，直到命中为止，假设n 轮(n >1)这样射击，各轮射击的次数相应地为n k k k ,,,21 ，试求命中率p 的极大似然估计和矩估计.解：2．设某计算机用来产生某彩票摇奖时所需的10个随机数0，1，2, …, 9.设某人用该机做了100天试验，每天都是第一次摇到数字1为止.此100天中各天的试验次数分布如下：假设每次试验相互独立且产生数字1的概率p 保持不变.(1)求p 的最大然估计值p ˆ；(2)如果所得1.0ˆ≠p，请做出所有可能的解释；(3)求p 的矩估计值p ˆ. 解：3.已知总体的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它010)1()(x x x f ββ现抽取n =6的样本,样本观察值分别为0.2，0.3，0.9，0.7，0.8，0.7试用矩估计法和极大似然估计法求出β的估计量.解：4．设总体服从瑞利分布00,0,)(22>⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-θθθx x ex x f xh 为参数n X X X ,,,21 为简单随机样本求θ的极大似然估计量；（2）该估计量是否为无偏估计量？说明理由.解：5．设随机变量X 在区间],0(θ上服从均匀分布，由此总体抽出的一随机样本n X X X ,,,21 ．试证明θ的有偏估计)()1(1ˆn n X n n +=θ及一个无偏估计)()2(1ˆn n X nn +=θ都是θ的一致估计．证明：8．设总体X 在区间],0[θ上服从均匀分布，其中0>θ是未知参数，求θ的最大似然估计量，并判断它是否为θ的无偏估计.解：9．某车间生产的螺杆直径服从正态分布,今随机抽取5只,测得直径(单位:mm )为: 22.5 21.5 22.0 21.8 21.4(1) 已知0.3σ=,求μ的0.95置信区间; (2) σ未知,求μ的0.95置信区间. 解：10．从总体X 中抽取样本321,X X X ，，证明下列三个统计量,632ˆ3211X X X ++=μ,442ˆ3212X X X ++=μ,333ˆ3213X XX ++=μ 都是总体均值μ=)(X E 的无偏估计量；并确定哪个估计量更有效.解：11．从正态总体中抽取容量为5的样本,其观测值为: 1.86 , 3.22 , 1.46 , 4.01 , 2.64 ,σ及标准差σ的0.95置信区间.试求正态总体方差2解：12．为了研究施肥和不施肥对某钟农作物产量的影响，选了十三个小区在其他条件相同的情况下进行对比实验，收获量如下表：均产量之差的置信水平为0.95的置信区间.解：13．从甲乙两个生产蓄电池的工厂的产品中，分别抽取一些样品，测得蓄电池的电容量(A.h)如下：甲厂：144 141 138 142 141 143 138 137;乙厂：142 143 139 140 138 141 140 138 142 136.设两个工厂生产的蓄电池的容量分别服从正态分布),(2xx N σμ及),(2y y N σμ，求： （1）电容量的方差比22yx σσ的置信水平为95%的置信区间;（2）电容量的均值差y x μμ-的置信水平为95%的置信区间(假定22y x σσ=).解：14．从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取个10样品进行磨损试验，直至轮胎行驶到磨坏为止，测得它们的行驶路程(km)如下：41250 41010 42650 38970 40200 42500 43500 40400 41870 39800 设汽车行驶路程服从正态分布),(~2σμN X ，求：（1）μ的置信水平为95%的单侧置信下限；（2）σ的置信水平为95%的单侧置信上限.解：16.选择题 (1)、θ为总体X 的未知参数，θ的估计量为θ，则有 （A ）θ是一个数，近似等于θ； （B ）θ是一个随机变量；（C ）θ是一个统计量，且()E θθ=； （D ）当n 越大，θ的值可任意靠近θ. (2)、设12(,)X X 为来自任意总体X 的一个容量为2的样本，则在下列EX 的无偏线性估 计量中，最有效的估计量是（A ）122133X X + （B ）121344X X + （C ）122355X X + （D ）121()2X X +(3)、设θ是参数θ的无偏估计，且有()0D θ≠，则2θ必为2()θ的（A ）无偏估计 （B ）一致估计 （C ）有效估计 （D ）有偏估计(4)、设总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，若已知样本容量和置信度1α-均不变，则对于不同的样本观察值，总体均值μ的置信区间的长度（A ）变长 （B ）变短 (C) 不变 （D ）不能确定(5)、已知一批零件的长度X （单位：cm ）服从正态总体(,1)N μ，从中随机抽取16个零件，测得其长度的平均值为40cm ，则μ的置信度为0.95的置信区间是 （注：标准正态分布函数值(1.96)0.975,(1.645)0.95Φ=Φ=）（A ）(31.95, 40.49) (B) (39.59, 40.41) (C) (-∞, 31.95) (D) (40.49, +∞)第八章练习题1．一个停车场，有12个位置排成一行，某人发现有8个位置停了车，而有4个相连的位置空着。
概率论与数理统计整理(一二章)
一、随机事件和概率考试内容：随机事件(可能发生可能不发生的事情)与样本空间(包括所有的样本点) 事件的关系(包含相等和积差互斥对立)与运算(交换分配结合德摸根对差事件文氏图) 完全事件组(所有基本事件的集合) 概率的概念概率的基本性质(非负性规范性可列可加性) 古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求：1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率(弄清几何意义)，掌握概率的加法公式(PAUB=PA+PB--PAB)、减法公式(P(A--B)=PA--PAB)、乘法公式(PAB=PA*PB|A)、全概率公式(关键是对S进行正确的划分)，以及贝叶斯公式．3．理解事件的独立性(PAB=PA*PB)的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．整理重点：1. 随机事件：可能发生也可能给不发生的事件。
0<概率<1。
2. 样本空间：实验中的结果的每一个可能发生的事件叫做实验的样本点，实验的所有样本点构成的集合叫做样本空间，大写字母S表示。
3. 事件的关系：（1）包含：事件A发生必然导致事件B发生，称事件B包含事件A。
（2）相等：事件A包含事件B且事件B包含事件A。
（3）和：事件的并，记为A∪B。
（4）差：A-B称为A与B的差，A发生而B不发生，A-B=A-AB。
（5）积：事件的交，事件A与B都发生，记为AB或A∩B。
（6）互斥：事件A与事件B不能同时发生，AB=空集。
（7）对立：A∪B=S。
4. 集合的运算：（1）交换律：A∪B=B∪A AB=BA (2结合律：（A∪B）∪C=A∪(B∪C) (AB)C=A（B C） (3)分配率：A (B∪C)=AB∪AC A∪(BC)=(A∪B)(A∪C) (4)德*摩根定律5. 完全事件组：如果n个事件中至少有一个事件一定发生，则称这n个事件构成完全事件组（特别地：互不相容的完全事件组）。
11-12概率统计A(答案).doc
东莞理工学院(本科)试卷(A卷)2011 -2012学年第二学期一'填空题(共70分每空2分)1、A、B是两个随机事件，已知P(A) = 0.3 , P(B) = 0.5。
若A与B互不相容,则P(A + J B)= 08；若A与B相互独立，则P(A + B)= 0.65 ；若P(A-B) = 0.1,则P( A | B ) = 0.42、一个袋子中有大小相同的红球3只，白球2只，若从中不放回地任取2只，设X为取到的白球的个数，则P(X = 1) = 0.6 , EX =0,83、三个人独立破译一个密码，他们单独破译的概率分别为丄，丄，丄，则此密码3 4 5能被破译的概率为0. 6 。
4、在区间[0,1]±等可能任取两个数，则这两个数之和小于彳的概率为彳。
5、已知某对夫妇有三个小孩，在已知至少有一个女孩的条件下，至少还有一个男孩的概率为°。
2_6、有甲乙两台设备生产相同的产品，甲生产的产品占60%,次品率为10%；乙生产的产品占40%,次品率为20%。
(1)若随机地从这批产品中抽出一件，抽到次品的概率为0.14 ； (2)若随机地从这批产品中抽出一件，检验出为次品，则该次品属于甲厂生产的概率是°。
2_7、、某公司业务员平均每见两个客户可以谈成一笔生意，他一天见了六个客户，设他谈成的生意为X笔，则X服从的分布为B(6, 0.5),他正好谈成两笔生意的概率为d, DX = 1. 5 o648、设顾客在某银行的窗口等待的服务时间X (以分钟计)服从指数分布E(5), X的密度函数为y = 2x + i的概率密度函数为:f y(y)=<V-12 1< v<30,其它。
囂『则，X的密度Q-x~3 ,则参数&的矩估其它-、0.2e~a2t, /〉0 j(t) = <0, ?<0若等待超过10分钟他就离开，他去一次银行没办成事就离开的概率为£2；他一个月要去银行5次，则他至少有一次没办成事就离开的概率为1-(1-eV9、假设某公路上每分钟通过的汽车数可以用泊松(Poisson)分布P(10)来描述。
数学实验报告概率统计
一、实验目的1. 理解概率统计的基本概念和原理；2. 掌握运用概率统计方法解决实际问题的能力；3. 提高数据分析和处理能力。
二、实验内容1. 随机数生成实验2. 抽样实验3. 假设检验实验4. 估计与预测实验三、实验方法1. 随机数生成实验：使用计算机生成随机数，并分析其分布情况；2. 抽样实验：通过随机抽样，分析样本数据与总体数据的关系；3. 假设检验实验：根据样本数据，对总体参数进行假设检验；4. 估计与预测实验：根据历史数据，建立预测模型，对未来的数据进行预测。
四、实验步骤1. 随机数生成实验（1）设置随机数生成器的参数，如范围、种子等；（2）生成一定数量的随机数；（3）分析随机数的分布情况，如频率分布、直方图等。
2. 抽样实验（1）确定抽样方法，如简单随机抽样、分层抽样等；（2）抽取一定数量的样本数据；（3）分析样本数据与总体数据的关系，如样本均值、标准差等。
3. 假设检验实验（1）根据实际需求，设定原假设和备择假设；（2）计算检验统计量，如t统计量、卡方统计量等；（3）根据临界值表，判断是否拒绝原假设。
4. 估计与预测实验（1）收集历史数据，进行数据预处理；（2）选择合适的预测模型，如线性回归、时间序列分析等；（3）利用历史数据训练模型，并对未来数据进行预测。
五、实验结果与分析1. 随机数生成实验（1）随机数分布呈现均匀分布，符合概率统计的基本原理；（2）随机数的频率分布与理论分布相符。
2. 抽样实验（1）样本均值与总体均值接近，说明抽样效果较好；（2）样本标准差略大于总体标准差，可能受到抽样误差的影响。
3. 假设检验实验（1）根据检验统计量，拒绝原假设，说明总体参数存在显著差异；（2）根据临界值表，确定显著性水平，进一步分析差异的显著性。
4. 估计与预测实验（1）预测模型具有较高的准确率，说明模型能够较好地拟合历史数据；（2）对未来数据进行预测，结果符合实际情况。
六、实验结论1. 概率统计方法在解决实际问题中具有重要作用，能够提高数据分析和处理能力；2. 随机数生成实验、抽样实验、假设检验实验和估计与预测实验均取得了较好的效果；3. 通过本次实验，加深了对概率统计基本概念和原理的理解，提高了运用概率统计方法解决实际问题的能力。
备战2023年杭州中考数学真题分类汇编(5年中考1年模拟)12概率统计综合题含详解
专题12概率统计综合题1．（2022•杭州）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分100分）如下表所示：候选人文化水平艺术水平组织能力甲80分87分82分乙80分96分76分（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？（2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照20%，20%，60%的比例计入综合成绩，应该录取谁？2．（2021•杭州）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表组别（次)频数100~13048130~16096160~190a190~22072（1）求a的值；（2）把频数分布直方图补充完整；（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．3．（2020•杭州）某工厂生产某种产品，3月份的产量为5000件，4月份的产量为10000件．用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数分布直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品．（1）求4月份生产的该产品抽样检测的合格率；（2）在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数多？为什么？4．（2019•杭州）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．实际称量读数和记录数据统计表序号数据12345甲组4852474954乙组2-23-1-4（1）补充完成乙组数据的折线统计图．（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，写出x 甲与x 乙之间的等量关系．②甲，乙两组数据的方差分别为2S 甲，2S 乙，比较2S 甲与2S 乙的大小，并说明理由．5．（2018•杭州）某校积极参与垃圾分类活动，以班级为单位收集可回收垃圾，下面是七年级各班一周收集的可回收垃圾的质量的频数表和频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．某校七年级各班一周收集的可回收垃圾的质量的频数表组别()kg频数4.0~4.524.5~5.0a5.0~5.535.5~6.01（1）求a的值；（2）已知收集的可回收垃圾以0.8元/kg被回收，该年级这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额能否达到50元？6．（2022•上城区一模）《最强大脑第9季》推出LevelK（最高阶思维策略）冲击挑战，其中包含A，B，C，D 四个挑战项目，每位选手随机选择其中一个项目参加．（1）若选手甲任意选择一个项目，请列出甲选择项目的所有可能情况．（2）求选手乙和选手丙选择同一项目的概率．7．（2022•拱墅区一模）为了解某校七年级学生100m跑成绩（精确到0.1秒），对该年级全部学生进行100m跑测试，把测得的数据分成五组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．（1）求该年级学生的总人数．（2）把频数分布直方图补充完整．（3）求该年级100m跑成绩不超过15.5秒的学生数占该年级全部学生数的百分比．某校七年级全部学生100m跑成绩的频数表值班表（秒)频数12.5~13.532a13.5~14.51614.5~15.511215.5~16.5a16.5~17.5328．（2022•西湖区一模）杭州市体育中考跳跃类项目有立定跳远和1分钟跳绳两项，每位学生只能选择一项参加考试，满分为10分．某校九年级（1）班体育委员统计了该班40人的跳跃类项目测试成绩，并列出下面的频数分布表和频数分布直方图（每组均含前一个边界值，不含后一个边界值）．（1）求m的值．（2）根据项目评分表，跳绳180个及以上计9.5分（男、女生标准一样）．该校九年级共有400名学生，请你估计该年级跳跃类项目获得满分(9.5分按照10分计）的学生人数．1分钟跳绳的频数分布表组别（个)频数120~1401140~160m160~1805180~200139．（2022•钱塘区一模）某校为了解初中生对亚运会有关知识的掌握情况，对全校学生进行了一次迎亚运知识测试，并随机抽取了若干名学生的测试成绩作为样本进行整理分析，绘制成如图所示不完整的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）和扇形统计图．（1）求样本容量，并将频数分布直方图补充完整．（2）若成绩在60分以下（不包括60分）为不合格，请估计全校1200名学生中成绩合格的人数．10．（2022•淳安县一模）某中学举行了一次庆祝建党100周年知识竞赛．比赛结束后，老师随机抽取了部分参赛学生的成绩(x x取整数，满分100分）作为样本，整理并绘制成如图不完整的统计图表．分数段频数频率分数段频数频率300.156070x<m0.45x<708060nx<8090x<200.190100请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）表格中m=；n=．（2）把频数分布直方图补充完整．（3）全校共有600名学生参加比赛，请你估计成绩不低于80分的学生人数．11．（2022•富阳区一模）甲、乙两校各组织300名学生参加联赛，为了解两校联赛成绩情况，在两校随机抽取部分学生的联赛成绩，两校抽取的人数相等，结果如下（数据包括左端点不包括右端点）．甲校抽取的学生联赛成绩频数分布表分组频数13040x<2x<4050x<550609x<6070117080x<x<158090790100x<（1）若小明是乙校的学生，他的成绩是75分，请结合数据分析小明的成绩；（2）若甲校中一位同学的成绩不纳入计算后，甲校的平均成绩提高了，你认为这位同学的成绩一定不可能在哪个分数段？（3）请用适当的统计量从两个不同角度分析哪所学校的联赛成绩整体较好？12．（2022•临安区一模）某校春日郊游就“最想去的杭州市临安区旅游景点”，随机调查了本校1200名学生中的部分学生，提供四个景点选择：A．青山湖；B．大明山；C．太湖源；D．神农川，要求每位学生选择一个最想去的景点．下面是根据调查结果进行数据整理后绘制的两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）本次一共随机调查了多少名学生？（2）请补全条形统计图；（3）请估计全校“最想去景点D（神农川）”的学生人数．13．（2022•钱塘区二模）“节约用水、人人有责”，某班学生利用课余时间对金辉小区300户居民的用水情况进行了统计，发现5月份各户居民的用水量比4月份有所下降，并且将5月份各户居民的节水量统计整理成如图所示的统计图表节水量/立方米1 1.5 2.53户数/户5080a70（1）写出统计表中a的值和扇形统计图中2.5立方米对应扇形的圆心角度数．（2）根据题意，将5月份各居民的节水量的条形统计图补充完整．（3）求该小区300户居民5月份平均每户节约用水量，若用每立方米水需4元水费，请你估算每户居民1年可节约多少元钱的水费？14．（2022•西湖区校级一模）为坚持“五育并举”，落实立德树人根本任务，教育部出台了“五项管理”举措．我校对九年级部分家长就“五项管理”知晓情况作调查，A：完全知晓，B：知晓，C：基本知晓，D：不知晓．九年级组长将调查情况制成了条形统计图和扇形统计图．请根据图中信息，回答下列问题：（1）共调查了名家长；图2中D选项所对应的圆心角度数为；请补齐条形统计图；（2）已知D选项中男女家长数相同，若从D选项家长中随机抽取2名家长参加“家校共育”座谈会，请用列表或画树状图的方法，求抽取家长恰好是一男一女的概率．15．（2022•萧山区校级一模）农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：)cm进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次抽取的麦苗的株数为，图①中m的值为；（Ⅱ）求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数．16．（2022•萧山区一模）某初中为增强学生亚运精神，举行了“迎亚运”书画作品创作比赛，评选小组从全校24个班中随机抽取4个班（用A，B，C，D表示），并对征集到的作品数量进行了统计分析，得到下列两幅不完整的统计图．（1）评选小组采用的调查方式是普查还抽样调查？（2）根据上图表中的数据，补充完整作品数量条形图，并求出C班扇形的圆心角度数；（3）请你估计该校在此次活动中征集到的作品数量．17．（2022•滨江区一模）某超市为制定今年第三季度功能饮料订购计划，销售部门查阅了去年第三季度某一周的饮料销售情况，并将其销售量绘制成如下统计图：请根据统计图回答以下问题：（1）补全条形统计图．（2）求扇形统计图中“能量饮料”部分的圆心角．（3）请制定该超市今年第三季度的订购各类饮料数的计划（第三季度按13周计算）．18．（2022•上城区二模）旅客在网购高铁车票时，系统是随机分配座位的．小王和小李打算购买从杭州到北京的高铁车票（如图所示，同一排的座位编号为A，B，C，D，)F，假设系统已将两人分配到同一排后，在同一排分配各个座位的机会是均等的．窗A B C过道D F窗（1）求系统将王某安排到靠窗座位的概率；（2）求系统分配给王某和李某相邻座位（过道两侧座位C，D不算相邻）的概率．19．（2022•余杭区一模）在3-，2-，1，3四个数中随机选取一个数作为一元二次方程2420+-=中a的值，ax x则该一元二次方程有解的概率是多少？20．（2022•富阳区二模）体育老师统计了七年级甲、乙两个班女生的身高情况，并绘制了如下不完整的统计图．请根据图中信息，解决下列问题：（1）求甲、乙两个班共有女生多少人？（2）请将频数分布直方图补充完整；（3）求扇形统计图中E 部分所对应的扇形圆心角的度数．21．（2022•西湖区校级模拟）某数学兴趣小组在学习了统计相关知识以后，以“我最敬佩的职业”为主题的进行了一次调查活动，就“在医生，军人，科研工作者，教师，演员这五类职业中，你最敬佩哪一类？（必选且只选一类）”这个问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：（1）本次调查共抽取了多少学生；（2）补全条形统计图，并求出圆心角α的度数；（3）若该中学共有1440名学生，请你估计该中学最敬佩科研工作者这一职业的学生有多少人．22．（2022•富阳区一模）A 箱中装有3张扑克牌，牌面数字分别为2，4，6；B 箱中也装有3张扑克牌，牌面数字分别为4，6，8；现从A 箱、B 箱中各随机地取出1张扑克牌，请你用画树状图或列表的方法求：（1）抽取的两张扑克牌上的数字恰好相同的概率；（2）如果用抽取的两张扑克牌上的数字组成一个两位数，组成的两位数大于90的概率．23．（2022•西湖区校级二模）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据（单位：)kg ，进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x 表示，共分为四个等级：A ．1x <，.1 1.5B x < ，.1.52C x < ，D ．2)x ，下面给出了部分信息．七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3．八年级10个班的餐厨垃圾质量中B 等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2．七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表年级平均数中位数众数方差A等级所占百分比七年级 1.3 1.1a0.2640%m 八年级 1.3b 1.00.23%根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中a，b，m的值；（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数；（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．24．（2022•西湖区校级模拟）某学校对九年级共500名男生进行体能测试，从中任意选取40名的测试成绩进行分析，分为甲，乙两组，绘制出如下的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）．甲组成绩统计表：成绩78910人数1955请根据上面的信息，解答下列问题：（1）m ；（2）从平均分角度看，评价甲，乙两个小组的成绩；（3）估计该校男生在这次体能测试中拿满分的人数．25．（2022•下城区校级二模）某中学为了了解孩子们对篮球、足球、羽毛球、乒乓球、网球五种体育运动的喜爱程度，随机在七、八、九年级抽取了部分学生进行调查（每人必选且只能选择一种运动），并将获得的数据进行整理，绘制出如图两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）本次调查共抽取了名学生．（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“篮球”的扇形圆心角的度数．（3）若该校有1500名学生，请估计喜爱足球运动的学生有多少人？26．（2022•杭州模拟）学校为了切实抓好线上学习活动，借助平台随机抽取了该校部分学生的在线学习时间，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图：请你根据以上信息回答下列问题：（1）计算本次调查的人数以及学习时间为6小时的扇形的圆心角度数；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校共有学生1200人，请估计该校有多少名学生在线学习时间不低于8个小时？27．（2022•江干区校级模拟）针对新型冠状病毒事件，九（1）班全体学生参加学校举行的“珍惜生命，远离病毒”知识竞赛后，班长对本班成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布条形统计图（未完成）．除了60到70之间学生成绩尚未统计，还有6名学生成绩如下：90，96，98，99，99，99．班长根据情况画出的扇形统计图如下：类别分数段频数（人数）A 6070x < aB 7080x < 16C 8090x < 24D90100x < b（1）九（1）班有多少名学生？（2）求出a 、b 的值？并请补全条形统计图．（3）全校共有720名学生参加初赛，估计该校成绩90100x <范围内的学生有多少人？（4）九（1）班甲、乙、丙三位同学的成绩并列第一，现选两人参加决赛，求恰好选中甲，乙两位同学的概率．28．（2022•拱墅区模拟）为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：A ．党史宣讲；B ．歌曲演唱；C ．校刊编撰；D ．诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情况制成了统计图表（不完整）．各组参加人数情况统计表小组类别AB C D人数（人)10a155根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）求a 和m 的值；（2）求扇形统计图中D 所对应的圆心角度数；（3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示：小组类别ABCD平均用时（小时）2.5323求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间．29．（2022•拱墅区模拟）某校七年级举行一分钟投篮比赛，要求每班选出10名学生参赛，在规定时间内每人进球数不低于8个为优秀，冠、亚军在甲、乙两班中产生，图1、图2分别是甲、乙两个班的10名学生比赛的数据统计图（单位：个）根据以上信息，解答下列问题：（1）将下面的《1分钟投篮测试成绩统计表》补充完整：统计量平均数中位数方差优秀率班级甲班 6.5 3.4530%乙班6 4.65（2）你认为冠军奖应发给哪个班？简要说明理由．专题12概率统计综合题1．（2022•杭州）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分100分）如下表所示：候选人文化水平艺术水平组织能力甲80分87分82分乙80分96分76分（1）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？（2）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照20%，20%，60%的比例计入综合成绩，应该录取谁？【答案】见解析【详解】（1）甲的平均成绩为808782833++=（分)；乙的平均成绩为809676843++=（分)，因为乙的平均成绩高于甲的平均成绩，所以乙被录用；（2）根据题意，甲的平均成绩为8020%8720%8260%82.6⨯+⨯+⨯=（分)，乙的平均成绩为8020%9620%7660%80.8⨯+⨯+⨯=（分)，因为甲的平均成绩高于乙的平均成绩，所以甲被录用．2．（2021•杭州）为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况，对该年级全部360名学生进行一分钟跳绳次数的测试，并把测得数据分成四组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值）．某校某年级360名学生一分钟跳绳次数的频数表组别（次)频数100~13048130~16096160~190a190~22072（1）求a的值；（2）把频数分布直方图补充完整；（3）求该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比．【答案】见解析【详解】（1）360(489672)144a=-++=；（2）补全频数分布直方图如下：（3）该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比为72100%20% 360⨯=．3．（2020•杭州）某工厂生产某种产品，3月份的产量为5000件，4月份的产量为10000件．用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数分布直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品．（1）求4月份生产的该产品抽样检测的合格率；（2）在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数多？为什么？【答案】见解析【详解】（1）(132160200)(8132160200)100%98.4%++÷+++⨯=，答：4月份生产的该产品抽样检测的合格率为98.4%；（2）估计4月份生产的产品中，不合格的件数多，理由：3月份生产的产品中，不合格的件数为50002%100⨯=，4月份生产的产品中，不合格的件数为10000(198.4%)160⨯-=，100160< ，∴估计4月份生产的产品中，不合格的件数多．4．（2019•杭州）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．实际称量读数和记录数据统计表序号数据12345甲组4852474954乙组2-23-1-4（1）补充完成乙组数据的折线统计图．（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，写出x 甲与x 乙之间的等量关系．②甲，乙两组数据的方差分别为2S 甲，2S 乙，比较2S 甲与2S 乙的大小，并说明理由．【答案】见解析【详解】（1）乙组数据的折线统计图如图所示：（2）①50x x =+乙甲．②22S S =乙甲．理由：(2222221[(4850)(5250)(4750)(4950)5450) 6.85S ⎤=-+-+-+-+-=⎦ 甲．(2222221[(20)(20)(30)(10)40) 6.85S ⎤=--+-+--+--+-=⎦乙，22S S ∴=乙甲．5．（2018•杭州）某校积极参与垃圾分类活动，以班级为单位收集可回收垃圾，下面是七年级各班一周收集的可回收垃圾的质量的频数表和频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．某校七年级各班一周收集的可回收垃圾的质量的频数表组别()kg 频数4.0~4.524.5~5.0a5.0~5.535.5~6.01（1）求a 的值；（2）已知收集的可回收垃圾以0.8元/kg 被回收，该年级这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额能否达到50元？【答案】见解析【详解】（1）由频数分布直方图可知4.5~5.0的频数4a=；（2） 该年级这周收集的可回收垃圾的质量小于4.5254 5.53651.5()kg⨯+⨯+⨯+=，∴该年级这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额小于51.50.841.2⨯=元，∴该年级这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额不能达到50元．6．（2022•上城区一模）《最强大脑第9季》推出LevelK（最高阶思维策略）冲击挑战，其中包含A，B，C，D 四个挑战项目，每位选手随机选择其中一个项目参加．（1）若选手甲任意选择一个项目，请列出甲选择项目的所有可能情况．（2）求选手乙和选手丙选择同一项目的概率．【答案】见解析【详解】（1）甲选择项目的可能情况有A、B、C、D四种结果；（2）根据题意列表如下：A B C DA A，A B，A C，A D，AB A，B B，B C，B D，BC A，C B，C C，C D，CD A，D B，D C，D D，D共有16种等可能的结果，其中选手乙和选手丙选择同一项目的有4种结果，所以选手乙和选手丙选择同一项目的概率为41 164=．7．（2022•拱墅区一模）为了解某校七年级学生100m跑成绩（精确到0.1秒），对该年级全部学生进行100m跑测试，把测得的数据分成五组，绘制成如图所示的频数表和未完成的频数分布直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．（1）求该年级学生的总人数．（2）把频数分布直方图补充完整．（3）求该年级100m跑成绩不超过15.5秒的学生数占该年级全部学生数的百分比．某校七年级全部学生100m跑成绩的频数表值班表（秒)频数12.5~13.53213.5~14.516a+14.5~15.511215.5~16.5a16.5~17.532【答案】见解析【详解】（1）由图表知1680a+=，解得64a=，∴总人数为32801126432320++++=（人)；（2）补全直方图如下：（3）该年级100m跑成绩不超过15.5秒的学生数占该年级全部学生数的百分比为3280112100%70% 320++⨯=．8．（2022•西湖区一模）杭州市体育中考跳跃类项目有立定跳远和1分钟跳绳两项，每位学生只能选择一项参加考试，满分为10分．某校九年级（1）班体育委员统计了该班40人的跳跃类项目测试成绩，并列出下面的频数分布表和频数分布直方图（每组均含前一个边界值，不含后一个边界值）．（1）求m的值．（2）根据项目评分表，跳绳180个及以上计9.5分（男、女生标准一样）．该校九年级共有400名学生，请你估计该年级跳跃类项目获得满分(9.5分按照10分计）的学生人数．1分钟跳绳的频数分布表组别（个)频数120~1401140~160m160~1805180~20013【答案】见解析【详解】（1）40(151311237)7m=-+++++++=；（2）估计该年级跳跃类项目获得满分(9.5分按照10分计）的学生人数为13740020040+⨯=（名）．9．（2022•钱塘区一模）某校为了解初中生对亚运会有关知识的掌握情况，对全校学生进行了一次迎亚运知识测试，并随机抽取了若干名学生的测试成绩作为样本进行整理分析，绘制成如图所示不完整的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）和扇形统计图．（1）求样本容量，并将频数分布直方图补充完整．（2）若成绩在60分以下（不包括60分）为不合格，请估计全校1200名学生中成绩合格的人数．【答案】见解析【详解】（1）根据频数分布直方图和扇形统计图可知，样本容量为2525%100÷=，∴成绩为8090a <的人数为1001015252030----=（人），故补全的统计图如下：（2）全校1200名学生中成绩合格的人数为1525302012001080100+++⨯=（人），答：估计全校1200名学生中成绩合格的人数为1080人．10．（2022•淳安县一模）某中学举行了一次庆祝建党100周年知识竞赛．比赛结束后，老师随机抽取了部分参赛学生的成绩(x x 取整数，满分100分）作为样本，整理并绘制成如图不完整的统计图表．分数段频数频率分数段频数频率6070x < 300.157080x < m0.458090x < 60n90100x < 200.1请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）表格中m =；n =．（2）把频数分布直方图补充完整．（3）全校共有600名学生参加比赛，请你估计成绩不低于80分的学生人数．【答案】见解析【详解】（1）30015200÷=（人)，m=⨯=，2000.4590n=÷=，602000.30故答案为：90，0.30，（2）补全频数分布直方图如图所示：（3）600(0.300.10)240⨯+=（人)，答：估计成绩不低于80分的学生人数有240人．11．（2022•富阳区一模）甲、乙两校各组织300名学生参加联赛，为了解两校联赛成绩情况，在两校随机抽取部分学生的联赛成绩，两校抽取的人数相等，结果如下（数据包括左端点不包括右端点）．甲校抽取的学生联赛成绩频数分布表分组频数1x<30402x<4050x<550609x<6070x<11708015x<80907x<90100（1）若小明是乙校的学生，他的成绩是75分，请结合数据分析小明的成绩；（2）若甲校中一位同学的成绩不纳入计算后，甲校的平均成绩提高了，你认为这位同学的成绩一定不可能在哪个分数段？（3）请用适当的统计量从两个不同角度分析哪所学校的联赛成绩整体较好？。
(2021年整理)概率论与数理统计习题集及答案
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《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 。
1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形。
样本空间是：S= ；(2） 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数。
样本空间是：S= ; 2.（1） 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= 。
(2） 一枚硬币连丢2次, A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：（1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： 。
(3）A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .（4）A 、B 、C 中最多二个发生表示为: 。
（5）A 、B 、C 中至少二个发生表示为： 。
(6）A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ,（2）=AB ，(3）=B A ， （4)B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 。
3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则（1） =)(AB P ， （2)()(B A P ）= , （3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = 。
概率知识点总结(实用8篇)
概率知识点总结(实用8篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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专题12 概率与统计(文)-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(全国通用)(原卷版)
专题12概率与统计（文）考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：回归分析2022年高考全国乙卷数学（理）真题2023年天津高考数学真题2024年上海夏季高考数学真题2024年天津高考数学真题统计学是“大数据”技术的关键，在互联网时代具有强大的社会价值和经济价值，在高考中受重视程度越来越大，未来在考试中的出题角度会更加与实际生活紧密联系，背景新颢、形式多样．考点2：信息图表处理2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（理）真题考点3：频率分布直方图与茎叶图2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题2022年新高考天津数学高考真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题考点4：古典概型与几何概型2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考全国I卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题考点5：平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差2023年高考全国乙卷数学（理）真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题考点6：独立性检验2022年高考全国甲卷数学（文）真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2024年上海夏季高考数学真题考点1：回归分析1．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积i x 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10101022iii i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474x y x y ===∑∑∑．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数iii=122iii=1i=1( 1.896 1.377)()()nnnx x y y r x x y y --=≈--∑∑∑．2．（2023年天津高考数学真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”.鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm ），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为0.8642r =，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为 0.75010.6105y x =+，根据以上信息，如下判断正确的为（）A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系B．花瓣长度和花萼长度负相关C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cmD．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.86423．（2024年上海夏季高考数学真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A．气候温度高，海水表层温度就高B．气候温度高，海水表层温度就低C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势4．（2024年天津高考数学真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（）A．B．考点2：信息图表处理5．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）频数61218302410根据表中数据，下列结论中正确的是（）A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间6．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差考点3：频率分布直方图与茎叶图7．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率()0.5p c =％时，求临界值c 和误诊率()q c ；(2)设函数()()()f c p c q c =+，当[]95,105c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[]95,105的最小值．8．（2022年新高考天津数学高考真题）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A ．8B ．12C ．16D ．189．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h ），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A ．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B ．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C ．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D ．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6考点4：古典概型与几何概型10．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是．11．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y x y ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（）A ．18B ．16C ．14D ．1212．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A ．56B ．23C ．12D ．1313．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．2314．（2022年新高考全国I 卷数学真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．2315．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A ．15B ．13C ．25D ．23考点5：平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差16．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ．(1)求z ，2s ；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果2210s z ≥则不认为有显著提高）17．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A ．2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B ．2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C ．2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D ．2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差考点6：独立性检验18．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()2P K k0.1000.0500.010k 2.706 3.841 6.63519．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果(1)1.65p p p p n->+150件产品的数据，能否认为生15012.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820．（2024年上海夏季高考数学真题）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩[)0,0.5[)0.5,1[)1,1.5[)1.5,2[)2,2.5优秀5444231不优秀1341471374027(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：()()()()22(),n ad bc a b c d a c b d -=++++χ其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P χ≥≈．）。
概率统计原理
概率统计原理
概率统计原理是一种利用概率和统计方法来分析和解释现实世界中随机现象的科学原理。
在统计学中，概率统计原理主要涉及到随机变量、概率分布、参数估计和假设检验等内容。
随机变量是概率统计原理的基本概念之一。
它表示随机试验的结果，可以是离散的，也可以是连续的。
概率分布用于描述随机变量取各个值的可能性大小，常见的概率分布包括离散分布（如二项分布、泊松分布）和连续分布（如正态分布、指数分布）等。
参数估计是概率统计原理的关键内容之一。
它用于根据样本数据来估计总体的参数，即通过已知的样本数据推断总体的特征。
参数估计可以分为点估计和区间估计两种。
点估计旨在找到一个最好地表示真实参数值的估计值，而区间估计则给出了一个总体参数的范围。
假设检验是概率统计原理的另一个重要概念。
它用于对统计推断进行验证。
假设检验包括设立原假设和备择假设，通过计算样本数据的统计量与理论分布的重合程度来判断原假设是否成立。
常见的假设检验方法有Z检验、t检验、卡方检验等。
概率统计原理在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在医学研究中，可以使用概率统计原理来分析新药的疗效；在市场调研中，可以利用概率统计原理来估计产品的市场占有率；在金融风险管理中，可以运用概率统计原理来评估投资的风险等。
总之，概率统计原理是一种基于概率和统计方法的科学原理，可以帮助我们分析和解释现实世界中的随机现象。
通过随机变量、概率分布、参数估计和假设检验等内容，我们能够得出对总体的推断和决策。
高中数学概率统计
高中数学概率统计
概率统计是数学中的一个重要分支，它研究随机现象和事件发
生的可能性。
在高中阶段，学生需要通过研究概率统计来理解和应
用概率的基本概念和计算方法。
概率是指某个事件发生的可能性大小。
在数学中，概率可以通
过计算来得出。
常见的计算方法包括频率概率和几何概率。
学生需
要学会根据给定的条件计算概率，包括单个事件和多个事件的概率
计算。
在概率统计中，还有一些重要的概念需要学生掌握。
例如，样
本空间是指随机事件所有可能结果的集合；事件是样本空间的子集，表示满足特定条件的结果集合；试验是指对随机现象进行观察和记
录的过程。
高中数学概率统计还涉及到一些常见的概率分布，如二项分布、均匀分布和正态分布。
学生需要理解这些分布的特点和应用场景，
以及如何计算和图示化概率分布。
通过研究高中数学概率统计，学生可以提高他们的数据分析和问题解决能力。
他们能够在实际生活中应用概率统计的知识，例如在投资、保险和赌博等方面做出理性的决策。
总之，高中数学概率统计是一门重要的数学课程，它帮助学生理解和应用概率的基本概念和计算方法，提高他们的数学思维和问题解决能力。
12个趣味数学小实验
12个趣味数学小实验1.抛掷骰子：让参与者抛掷一些六面骰子来进行简单的概率统计实验。
让参与者试着计算出最大的骰子点数出现的概率是多少？2.多面体研究：有一个属性为100的正N面体，让参与者试着用它来制作不同形状的3D图形，并计算每个多面体的表面积和体积。
3.趣味数学竞赛：引入一些数学问题，让参与者竞争谁能先求出正确的答案，然后采用积分机制来区分获胜者和失败者。
4.循环数学：引入一个10位数字，让参与者找到一种方法使这些数字在循环运算中不变，可提供一个模式或等式来帮助参与者解答这个问题。
5.拼图游戏：用一些形状不同的拼图让参与者通过一定的数学规律进行拼装，有助于提高参与者的空间思维能力。
6.投点绘图：用一个三角形，让参与者在三角形三边上投点，五个点以上时拟合出一条直线，有助于参与者学习几何拟合法则。
7.随机数字匹配：给参与者一堆不等的随机数字，他们必须尝试使用不同的组合方式来使所有的数字能够完美配对，以此来练习算法解决问题的能力。
8.积分游戏：介绍一些基本的积分游戏，如井字棋，让参与者尝试用数学的方法来计算出游戏的最优解，以及暴力试探法等。
9.符号数学：介绍一些基本的符号数学概念，如变量、函数、方程等，让参与者尝试用符号来描述数学概念，以提高参与者对数学的理解能力。
10.寻对宝藏：在一个数学任务中，参与者需要根据地图的提示找出宝藏所在的位置，从而学习坐标系以及几何图形的关系。
11.数列游戏：让参与者在一些特定的数字序列中，找出其中的规律与模式，有助于增强参与者对数字特征的发现能力与认知能力。
12.图论游戏：使用一定规则构建网络图，让参与者尝试通过计算两个点之间的最短路径来完成任务，有助于提高参与者的图论运算能力。
2023年高三一模数学12区概率统计大题教师版_20230419105444
（2023年北京西城区高三一模17）根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm ）：从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到1cm ）：男生：180205213220235245250258261270275280女生：148160162169172184195196196197208220假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．（Ⅰ）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；（Ⅱ）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X 为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计X 的数学期望EX ；（Ⅲ）从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A ，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B ．判断A 与B 是否相互独立．（结论不要求证明）解：（Ⅰ）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6，所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为41123=；………2分估计高三女生立定跳远单项的优秀率为61122=．………4分（Ⅱ）由题设，X 的所有可能取值为0,1,2,3．(0)P X =估计为2212(329⨯=；………5分(1)P X =估计为122121214C (332329⨯⨯⨯+⨯=；………6分(2)P X =估计为122121115C (3323218⨯⨯⨯+⨯=；………7分(3)P X =估计为2111(3218⨯=．………8分估计X 的数学期望2451701239918186EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………10分立定跳远单项等级高三男生高三女生优秀260及以上194及以上良好245~259180~193及格205~244150~179不及格204及以下149及以下（Ⅲ）A 与B 相互独立．………13分（2023年北京石景山高三一模17）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察速效肥和缓释肥对农作物影响情况．其中速效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组．观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表．株高增量（单位：厘米）(4,7](7,10](10,13](13,16]第1组鸡冠花株数92092第2组鸡冠花株数416164第3组鸡冠花株数1312132假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立．（Ⅰ）从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为(7,10]厘米的概率；（Ⅱ）分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有X 株的株高增量为(7,10]厘米，求X 的分布列和数学期望EX ；（Ⅲ）用“1k ξ=”表示第k 组鸡冠花的株高增量为(4,10]厘米，“0k ξ=”表示第k 组鸡冠花的株高增量为(10,16]厘米，(1,2,3)k =，直接写出方差123,,D D D ξξξ的大小关系．（结论不要求证明）解：（Ⅰ）设事件A 为“从第1组所有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为(7,10]厘米”，根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为(7,10]厘米．所以()P A 估计为201402=（Ⅱ）设事件B 为“从第2组所有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为(7,10]厘米”，设事件C 为“从第3组所有鸡冠花中各随机选取1株，株高增量为(7,10]厘米”，根据题中数据，()P B 估计为162405=，()P C 估计为1234010=根据题意，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，且(0)()()()(P X P ABC P A P B P C ===，(1)()P X P ABC ABC ABC ==++()()()()()()()(()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++(3)()P X P ABC ==()()()P A P B P C =(2)1(0)(1)(3)P X P X P X P X ==-=-=-=．所以，(0)P X =估计为21100；(1)P X =估计为1125；(3)P X =估计为350；(2)P X =估计为29100．所以X 的分布列为X 0123P21100112529100350所以EX 估计为21112936012310025100505⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）132D D D ξξξ<<．（2023年北京平谷区高三一模18）“绿水青山就是金山银山”，某地区甲乙丙三个林场开展植树工程，2011-2020年的植树成活率（%）统计如下：（表中“/”表示该年末植树）：2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年甲95.59296.591.696.394.6////乙95.191.693.297.895.692.396.6///丙97.095.498.293.594.895.594.593.598.092.5规定：若当年植树成活率大于95%，则认定该年为优质工程．（1）从乙林场植树的年份中任抽取两年，求这两年都是优质工程的概率；（2）从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，以X表示这3年中优质工程的个数，求X的分布列；（3）若乙丙两个林场每年植树的棵数不变，能否根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小？【小问1详解】乙林场植树共7年，其中优质工程有4年，从乙林场植树的年份中任抽取两年，这两年都是优质工程为事件A，所以()242743C12221===76C42721P A⨯⨯=⨯⨯.【小问2详解】甲林场植树共6年，其中优质工程有3年，乙林场植树共7年，其中优质工程有4年，丙林场植树共10年，其中优质工程有5年，则X 的可能取值为0,1,2,3，()1113351116710C C C 30=C C C 28P X ⋅⋅==⋅⋅，()1111111113353453351116710C C C C C C C C C 51C C C 14P X ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==⋅⋅，()1111111113453453351116710C C C C C C C C C 112C C C 28P X ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅==⋅⋅，()1113451116710C C C 13=C C C 7P X ⋅⋅==⋅⋅.则X 的分布列为：X123P328514112817【小问3详解】不能根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小.因为乙、丙两个林场优质工程概率分别为4172，，且4172>.则设乙、丙林场植树成活率平均数分别为12,x x ，195.191.693.297.895.692.396.694.67x ++++++==,297.095.498.293.594.895.594.593.598.092.595.2910x +++++++++==所以乙、丙这两个林场植树成活率平均数分别为：94.6，95.29，且丙林场植树成活率大于乙林场植树成活率.所以不能根据两个林场优质工程概率的大小，推断出这两个林场植树成活率平均数的大小.（2023年北京丰台区高三一模18）交通拥堵指数（TPI ）是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI 表示，TPI 越大代表拥堵程度越高.某平台计算TPI 的公式为：TPI=实际行程时间畅通行程时间，并按TPI 的大小将城市道路拥堵程度划分为如下表所示的4个等级：TPI [1，1.5)[1.5，2)[2，4)不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI 的统计数据如下图：（Ⅰ）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；（Ⅱ）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数记为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )；（Ⅲ）把12月29日作为第1天，将2023年元旦前后共7天的交通高峰期城市道路TPI 依次记为127,,,a a a ,将2022年同期TPI 依次记为127,b b b ,,.记=i i i c a b -(1,2,,7)i = ，7117i i c c ==∑.请直接写出i c c -取得最大值时i 的值.【小问1详解】由图可知，2022年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的共2天，所以这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为27.【小问2详解】由图可知，2023年元旦及前后共7天中比2022年同日TPI 高的天数只有1月3日和1月4日这2天，所以()3537C 1020C 357P X ====，()215237C C 2041C 357P X ====，()125237C C 512C 357P X ====，所以X 的分布列为：X12P274717数学期望()24160127777E X =⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】由题意，111 1.908 2.0550.147c a b =--==-，222 2.081 2.3930.312c a b =--==-，333 1.331 1.5290.198c a b =--==-，444 1.202 1.3020.1c a b =--=-=，555 1.271 1.6420.371c a b =--==-，666 2.256 1.8370.419c a b =-==-，777 2.012 1.7550.257c a b =-==-，所以()1110.1470.3120.1980.10.3710.4190.2570.06577n i i c c ===⨯-----++≈-∑，所以i c c -取得最大值时，6i =.（2023年北京房山区高三一模18）某社区组织了一次公益讲座，向社区居民普及垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后分别回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民的讲座前和讲座后答卷的正确率如下表：编号正确率1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号讲座前65%60%70%100%65%75%90%85%80%60%讲座后90%85%80%95%85%85%95%100%85%90%（Ⅰ）从公益讲座前的10份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份，求这份答卷正确率低于80%的概率；（Ⅱ）从公益讲座前、后所有正确率不低于90%的垃圾分类知识答卷中随机抽取3份，记随机变量X 为抽中讲座前答卷的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）判断此次公益讲座的宣传效果，并说明你的理由.解：（Ⅰ）记事件A 为“从公益讲座前的10份垃圾分类知识答卷中随机抽取一份，这份答卷正确率低于80%”.在公益讲座之前，10份垃圾分类知识答卷正确率低于80%的有6人，则63().105P A ==（Ⅱ）正确率不低于90%的垃圾分类知识答卷有7份，其中讲座前的答卷有2份，X 的可能取值为012，，；3052372(0)7C C P X C ===；2152374(1)7C C P X C ===；1252371(2)7C C P X C ===；X 的分布列为X 012P2747172416()0127777E X =⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）角度一：讲座前答卷正确率的平均值11(65%60%70%60%65%75%90%85%80%100%)75%10x =+++++++++=讲座后答卷正确率的平均值为21(90%85%80%90%85%85%95%100%85%95%)89%10x =+++++++++=因为12x x <，公益讲座后答卷正答率的平均值高于公益讲座前答卷正答率的平均值，公益讲座后社区居民答题水平提高，所以公益讲座有明显的效果；角度二：平均值变大，且讲座前答卷的方差2222221222221[(65%75%)(60%75%)(70%75%)(60%75%)(65%75%)10(75%75%)(90%75%)(85%75%)(80%75%)(100%75%)] 1.65s =-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=同理计算讲座后答卷的方差220.34s =因为2212s s >，公益讲座之后社区居民答题正确率的方差小，整体水平高，并且比较集中，所以公益讲座有明显的效果；角度三：公益讲座前答题正确率最小值为60%，公益讲座之后答题的正确率最小值为80%，讲座前的极差为：100%-60%=40%，讲座后的极差为：100%-80%=20%，讲座后答卷正确率的变化范围比讲座前答卷正确率的变化范围小，公益讲座有效果。
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实验12 数据的基本统计分析一、实验目的随机变量的分布函数，密度曲线，能进行初步的统计分析，大样本数据的处理，直方图.二、实验内容及要求pdf(probability density function.概率密度函数)，cdf（cumulative distribution function.累积分布函数）,rnd(Random),inv(Inverse),stat(Mean and variance,statistic)1. 随机变量与分布表1.12 密度函数与分布函数如果后缀pdf 分别改为cdf ，inv ，rnd ，stat 就得到相应的随机变量的累积分布函数、分位数、随机数的生成以及均值与方差.计算正态分布的分布函数、概率密度函数值、做出密度函数曲线、求出分位数的功能.【例1.110】 已知2~(2,0.5)X N ，试求：（1）{}01P X <<，{}3P X ≤；（2）{}0.6827______P X x x ==≤, . （2）做出[－2.5，3.5]上的概率密度曲线； 解：normcdf (,,)p x μσ= 算{}P X x ≤.（1）{}01P X <<normcdf (1,2,0.5)normcdf (0,2,0.5)=-=0.0227 {}3P X ≤=normcdf (3,2,0.5)=0.9772 （2）计算正态分布的分位数利用：norminv(,,)x p μσ=norminv(0.6827,2,0.5)x == 2.23763116875765（3）函数normspec([,],,)p a b μσ=做出在[a ,b ]上的正态密度曲线：normspec([ 2.5,3.5],2,0.5)p =-Probability Between Limits is 0.99865Critical V alue0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -3-2-10 1 234图1.38 [－2.5，3.5]上的概率密度曲线2. 数据特征 设12,,,n X X X 是一个简单随机样本，样本的一组观测值12,,,n x x x ，函数分析数据特征，如表1.13所示.表1.13 函数【例1.111】已知数据：459 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 649 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 246 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 499 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851计算其数据特征.解：>>a=[ 459, 362,…,310, 851];>>b=a(:) ;mean(b),median(b), trimmean(b，10), geomean(b), harmmean(b), range(b),var(b),std(b),iqr(b),mad(b)注意：切尾平均有两个输入，后者为百分数.结果如表1.14所示.表1.14 结果【例1.112】已知数据：1，1，1，1，1，1，100；计算其数据特征，由此你有何发现？解：>>x=[1,1,1,1,1,1,100]；>>y=[mean(x),median(x),geomean(x),harmmean(x),trimmean(x，25)；range(x),var(x),std(x),iqr(x),mad(x)]计算结果为：y=15.143 1 1.9307 1.1647 1 99 1400.1 37.4180 24.245如果数据全部为1，则各种平均值都应等于1，所有的变异特征全部为零，由于有一个异常值100，于是导致上述的一些特征受影响（不稳健），但是中位数、切尾平均与四分位极差没有改变，它们对异常值是稳健的.3 统计量计算矩统计量、峰度、偏度和变异系数的函数表1.15所示.表1.15 函数其中，x为数据，n为阶数，若x为矩阵可得矩阵各列的矩、峰度、偏度和变异系数，但是计算变异系数的公式应为：Std(x)./abs(mean(x))（同维向量应该点除）.偏度系数s等于3阶中心矩与标准差的3次幂的比，用于刻画数据分布的对称性，当s>0时称正偏，当s<0时称负偏，当s接近于零时，可以认为分布是对称的.峰度系数k等于4阶中心矩与标准差的4次幂的比，它反映了分布曲线的陡缓程度，正态分布的峰度为3，若k>3则表明数据分布有较厚的尾部.变异系数用于刻画数据的变化大小，不同指标的变异系数常用来计算客观性权重.【例1.114】表1.16给出了15种资产的收益率r i(%)和风险损失率q i(%)，计算峰度与偏度.表1.16 例题解：>>x=[9.6,18.5,49.4,23.9,8.1,14,40.7,31.2,33.6,36.8,11.8,9,35,9.4,15];>>y=[42,54,60,42,1.2,39,68,33.4,53.3,40,31,5.5,46,5.3,23];>>sx=skewness(x)= 0.4624, kx=kurtosis(x)= 1.8547,>>sy=skewness(y)= -0.4215, ky=kurtosis(y)= 2.2506从计算结果可知：收益率是正偏，而风险损失率为负偏；二者峰度都小于3属于平阔峰.4 有丢失数据时的统计量在解决实际问题时经常遇到有丢失数据的情形，在MATLAB中提供了NAN函数，用于有丢失数据时的统计量.nanmax % 忽略丢失数据NAN的最大值.nanmean% 忽略丢失数据NAN的均值.nanmedian% 忽略丢失数据NAN的中位数.nanmin % 忽略丢失数据NAN的最小值.nanstd % 忽略丢失数据NAN的标准差.nansum % 忽略丢失数据NAN的和.5 大样本数据的处理通常大样本数据有以下的处理方法.（1）标准化将某矩阵的各列（行）元素减去该列（行）的均值，再比上该列的标准差. 【例1.115】将表1.17中的数据标准化.表1.17 各地区“三资”工业企业主要经济效益指标（2001年）解：将数据粘贴到MATLAB的编辑窗口（即建立M文件中）.a=[26.19,9.83,54.87,...,29.55,6.11,59.39,0.95,7.08, (94)25];此时，发现有一行数据不全（西藏），为了分析问题的方便，我们可以删除此行（用%），标准化编程如下：>>format long %此步是为了数据输出的数位比较多>>m1=mean(a(2:31,:)); %求各列均值（除去第一行元素）>>m=m1(ones(30,1),:); %30行矩阵各行都是m1>>s1=std(a(2:31,:)); %求各列标准差（除去第一行元素）>>s=s1(ones(30,1),:); %30行矩阵各行都是s1>>A=(a(2:31,:)-m)./s %标准化（2）都与某一个数据进行比较（比如都与全国的各项指标进行比较）>>b1=a(1,:);>>b=b1(ones(30,1),:);>>B=(a(2:31,:)-b)./b6 直方图与概率纸检验函数为了直观地了解随机变量的分布特征，直方图是广泛使用的方法.格式：hist(data,k).说明：data是原始数据，该命令将区间(min(data)，max(data))分成k等份，并描绘出频数直方图，k的缺省值为10. 如果需要事先给出小区间，则将区间的中点存放在向量nb然后用命令：[n,x] = hist(data)，或[n,x] = hist (data,k)，或[n,x] = hist (data,nb)，其中，n返回k个小区间的频数，x返回小区间的中点.在MATLAB中的概率纸检验函数.格式：normplot(data)%如果数据data服从正态分布，则做出的图形基本上都位于一条直线上.weibplot(data)%如果数据data 服从威布尔分布，则做出的图形基本上都位于一条直线上，【例1.116】 作出例1.111数据的直方图，该数据服从正态分布还是威布尔分布？ 解：输入命令hist( a (:),30)得到图1.39.0 200 400 600 800 1000 1200 10987654321图1.39 直方图从图1.39所示的直方图发现数据比较接近于正态分布，如何检验这一猜测，我们利用MATLAB 命令normplot(a(:))进行检验. Normal Probability PlotData 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 0.997 0.99 0.980.950.900.750.500.250.100.050.020.01 0.003图1.40 例1.111数据的图形从图1.40中可见数据点基本上都位于直线上，故可认为该数据服从正态分布，由于已经计算出该数据的均值为600，标准差为196.629，所以数据服从2N.(600,196.629)。