Cantor集与Cantor函数

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有界不一定可积的例子(一)

有界不一定可积的例子(一)有界不一定可积的例子1. Dirichlet 函数•Dirichlet 函数是一个经典的例子，它在实数轴上定义得很简单：对于任意实数 x，如果 x 可以表示为一个有理数的分数形式(p/q)，其中 p 和 q 是互质的整数，则 Dirichlet 函数的值为1；否则，它的值为 0。

2. Thomae 函数•Thomae 函数也称为 Riemann 函数，是一个定义在实数轴上的函数。

对于任意实数 x，如果 x 可以表示为一个有理数的分数形式 (p/q)，其中 p 和 q 是互质的整数，并且 q 不包含因子 2和 5，则 Thomae 函数的值为 1/q；如果 x 是一个无理数，则Thomae 函数的值为 0。

3. Cantor 函数•Cantor 函数是一个在闭区间 [0, 1] 上定义的函数。

它的定义方式如下：首先将 [0, 1] 这个闭区间分成三等分，去掉中间的开区间，然后将剩余的两个区间再次分成三等分，重复这个过程无限次。

最终，Cantor 函数的值在 [0, 1] 上的任意点 x 处的值为 x 在 Cantor 集合上的情况，如果 x 在 Cantor 集合上，Cantor 函数的值为 1；否则，它的值为 0。

4. Heaviside 阶跃函数•Heaviside 阶跃函数是一个常用的数学函数，表示了在一个点突然出现或消失的跃迁现象。

Heaviside 阶跃函数的定义如下：对于任意实数 x，如果 x 大于等于 0，则 Heaviside 阶跃函数的值为 1；否则，它的值为 0。

该函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有广泛的应用。

5. Fejér 冲激函数•Fejér 冲激函数是用来逼近单位冲激函数的一类函数。

它在实数轴上定义如下：对于任意实数 x，Fejér 冲激函数的值是一个基于三角函数的无穷级数。

由于它是无穷级数，因此在实际计算时，只能使用其部分和来逼近。

Lusin定理的反例

Lusin定理的反例Lusin定理是分析数学中的一个重要定理，它刻画了可测函数的连续性性质。

然而，正如许多定理一样，Lusin定理也存在反例。

本文将介绍Lusin定理的反例，并论述其背后的思想和意义。

一、Lusin定理简介Lusin定理是由苏联数学家利普曼（Nikolai Nikolayevich Luzin）于1912年提出的。

它探讨了可测函数在测度意义下的连续性，对于理解函数的性质具有重要意义。

具体来说，Lusin定理指出：如果$f$是定义在可测集$E$上的可测函数，且对于任意的$\varepsilon>0$，存在一个闭集$F\subset E$，使得测度$\mu(E\setminus F)<\varepsilon$，同时限制在$F$上的函数$f$是连续的。

简而言之，给定任意小的容忍度，总存在一个闭集，使得函数在该闭集上连续，并且剩余部分的测度足够小。

二、Lusin定理的反例——Cantor函数然而，Lusin定理在具体应用时可能存在反例。

一个著名的反例就是Cantor函数，它将单位区间$[0,1]$映射到自身，并且具有如下性质：它在任意闭区间上都是连续的，但在整个单位区间上是不连续的。

Cantor函数的构造过程是通过无限次迭代，每次去除区间中间的1/3，最后得到无穷个区间的交集，即Cantor集。

显然，Cantor集是闭集，因此Cantor函数在每个闭区间上都是连续的。

然而，Cantor集的测度为零，因此Cantor函数在整个单位区间上是不连续的。

三、反例的思想和意义Lusin定理的反例揭示了一种特殊情况下的现象：存在一个测度为零的集合，在剩余部分上无法保证函数的连续性。

这一现象在测度论和可测函数理论中被广泛研究，并且对于函数的性质和收敛性有重要影响。

反例的思想可以进一步拓展到其他数学领域。

在实际问题中，我们也经常会遇到类似的情况：存在一些特殊的参数或条件，使得原本成立的定理变得不适用。

十二个不可积分函数

十二个不可积分函数1. Dirichlet函数：定义在实数集上的函数，对于有理数为1，对于无理数为0。

2. Thomae函数：定义在实数集上的函数，对于有理数1/n（n为正整数），为1/n，对于无理数为0。

3. Riemann函数：定义在实数集上的函数，对于有理数1/n（n为正整数），为1/n，对于无理数为14. Thomae反例函数：定义在实数集上的函数，对于有理数，如果该有理数可以表示为a/b（a、b互质且b>0），则f(x)=1/b；对于无理数，f(x)=0。

5.欧拉函数：定义在正整数集上的函数，表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。

6.莫比乌斯函数：定义在正整数集上的函数，根据n的素因子分解形式确定。

如果n有平方因子，则f(n)=0；如果n是不同素数的乘积且素数个数为奇数，则f(n)=-1；如果n是不同素数的乘积且素数个数为偶数，则f(n)=17. Sierpinski函数：定义在实数集上的函数，对于有理数，如果该有理数可以表示为a/b（a、b互质且b>0），则f(x)=1/b^2；对于无理数，f(x)=0。

8. Weierstrass函数：定义在实数集上的函数，为以2^(-n)cos(3^n x)的无穷和。

9. Cantor函数：定义在实数集上的函数，是一个实数x在Cantor集合中的特征函数。

10.不连续开关函数：定义在实数集上的函数，当x为有理数时为1，当x为无理数时为0。

11.阶梯函数：定义在实数集上的函数，在n为整数的区间[n,n+1)上取常数值n。

12. Riemann定积分不可积函数：定义在实数集上的函数，只在一列分割区间中有限个点的函数。

(5分)cator集和cator函数

由上面我们可以看到，自然界的分形，其自相似性并不是严格的，而是，在统计意义下的自相似性，海岸线也是其中一个例子。凡是满足统计自相似性的分形称之为无规分形。另外，还有所谓有规分形,这类分形, 由于它是按一定的数学法则呈现，因此具有严格的自相似性。所谓koch曲线，就是属于有规分形, 如下图所示。
它的生成方法是把一条直线等分成三段，将中间一段用夹角为600的二条等长（1/3）的折线来代替，形成一个生成单元，如图(b).然后再把每一条直线段用生成单元进行代替，经过无穷多次迭代后就呈现一条无穷多弯曲的koch曲线。用它来模拟自然界中的海岸线是相当理想的。
4.2.1自相似性
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。人们在观察和研究自然界的过程中，认识到自相似性可以存在于物理、化学、天文学、生物学、材料科学、经济学，以及社会科学等众多的科学之中，可以存在于物质系统的多个层次上，它是物质运动、发展的一种普遍的表现形式，即是自然界普遍的规律之一。下面举几个例子来说明自相似性。
二．Cantor集与Cantor函数的基本性质
三．借助于Cantor集，给出一孤立点集，其导集是完备集
四．分形的介绍
五．纬度——性质测量工具
六．关于Cantor和纬度相关的考虑
一．Cantor集与Cantor函数的定义
1、Cantor集的定义
将基本区间[0，1]用分点1/3，2/3三等分，并除去中间的开区间 ,把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间 , ,然后再将余下的四个闭区间用同样的方法处理。这样，当进行到n次时，一共去掉个开区间如此下去，就从中去掉了可数个不相交的开区间

一类Cantor函数不可微点集合的Hausdorff维数

一类Cantor函数不可微点集合的Hausdorff维数自相似集是分形几何中最简单,最经典的分形集.对经典Cantor三分集以及它的一些推广的研究是分形几何研究的热点问题,我们对经典三分Cantor集的测度已经进行了大量而深入的研究.利用数的三进制展式,我们可以计算出经典三分Cantor集的Hausdorff维数为ln2/ln3.关于经典三分Cantor集,我们对它的研究不仅仅限于最初的测度计算和维数的证明.而很多学者对于Cantor函数不可微点的研究产生了很大的兴趣.其中对相应的Cantor函数的不可微点的研究具有重要意义.1995年, Darst证明了经典三分Cantor集的Cantor函数的不可微点集合的Haus-dorff维数是(ln2/ln3)2,并提到这一结论可以推广到一般的Cantor函数.2005年,李文侠老师对Cantor函数不可微点的集合作出了全面而完善的研究.本文主要是根据Darst的方法,利用五进制,研究Cantor五分集的Cantor函数的不可微点集合的Hausdorff维数.本文首先介绍了Cantor函数不可微点的研究背景.第二部分,我们引述了Hausdorff测度与维数基本性质.第三部分,利用数的五进制展式,给出Cantor五分集的Cantor函数的不可微点的刻画,即S=N+∪N∪{C的端点值},其中其中N+:对于C的非端点值,当函数f(x)右上导数无穷的点时,其右下导数有限, N:对于C的非端点值,当函数f(x)左上导数无穷的点时,其左下导数有限.并计算Cantor五分集的Cantor函数的不可微集合的Hausdorff维数.第四部分,对全文进行总结和展望.。

Cantor集、连续延拓定理

Cantor集、连续延拓定理Cantor集对[0,1]区间三等分, 去掉中间⼀个开区间, 然后对留下的两个闭区间继续三等分,去掉中间的开区间, 不断做下去, 最后留下来的点集称为Cantor 三分集, 记为C.它的性质(1) 分割点⼀定在Cantor集中,(2) C的"长度"为0，去掉的区间长度和$$\sum{\infty}_{n=1}\frac{1}{3n}\cdot 2^{n-1}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{3}}=1.$$(3) C没有内点证明：对任意x∈C, x必被含于在第n次时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间I(n)i中,∀ε>0,1/3n<ε,I(n)i⊂B(x,ε),但由Cantor集的做法，要继续三等分去掉中间的⼀个开区间, 从⽽B(x,ε)内⾄少有⼀点不属于C, 所以x不可能是C的内点.(4) C中的点都是聚点, 从⽽没有孤⽴点.数的进制⼗进制⼩数：相应于对[0,1]⼗等分⼆进制⼩数：相应于对[0,1]⼆等分说明：对应于[0,1]⼗等分的端点有两种表⽰，如0.2000000..., 0.1999999...(⼗进制⼩数)(5) C的基数为ℵ,(利⽤三进制证明)证明思路：把[0,1]区间中的点都写成三进制⼩数, 则Cantor集的做法中去掉的点为⼩数位出现1的数的全体, 从⽽Cantor集为⼩数位只是0，2的点的全体，做对应X∈P→x=∞∑k=1a k3k(ak=0,2).说明：三等分的端点有必要特殊考虑, 因为它有两种表⽰,0.100000...=0.022222..., 0.200000...=0.122222...对x∈C, 令A={k|a k=0},则A⊂N+.对应关系x→A构成了C到P(N+)的⼀⼀映射.第⼀章集合与点集第六节点集间的距离定义1.16 设E⊂R n, f是定义在E上的实值函数, x0∈E, 若∀ε>0,∃δ>0,使得x∈E∩B(x0,δ)时候，|f(x)−f(x0)|<ε.称为f在x0点处连续.注：若f在E上连续, ⽽E0⊂E, 则f在E0连续.定理1.22 若E1,E2是闭集, f定义于E1∪E2上, 且分别在E1,E2上连续, 则f相对于E1∪E2也⼀定连续.证明：若x∈E1∪E2. 不妨设它为聚点, 因为E1,E2为闭集, 则E1∪E2内任⼀以x0为极限的点列{y k}只能有两种情况:其⼀, 从某⼀项起, 全部y k属于E1或E2(相应x0∈E1或x0∈E2.)容易证明.其⼆, {y k}由两个分别属于E1,E2的⽆穷⼦列组成, 此时, x0∈E1∪E2, 因为lim因此\lim\limits_{k\to\infty} f(y_k)=f(x_0).定理1.23 设f是\mathbb{R}^n中有界闭集E上的连续函数, 则(1) f在E上有界(2) f在E上取得最⼤值和最⼩值(3) f在E上⼀致连续定理1.24 设E\subset\mathbb{R}^n, f_1,f_2,\cdots是E上的连续函数列, 且k\to\infty时, \{f_k\}在E上⼀致收敛到函数f, 则f在E上连续.例20 对于任意的x_0\in\mathbb{R}^n, E\subset\mathbb{R}^n, 定义x_0到E的距离为d(x_0,E)=\inf\{d(x_0,y)|y\in E\}.证明：(1)若E是闭集, 则存在y_0\in E, 使得d(x_0,y_0)=d(x_0,E).对于任意点集A, B, 定义A, B之间的距离为d(A,B)=\inf\{d(x,y)|x\in A,y\in B\}.证明：(2)若A和B都是闭集, 其中⾄少有⼀个有界, 则存在x_0\in A, y_0\in B, 使得d(x_0,y_0)=d(A,B).集合的简单写法：{x\in E|f(x)>a}:=E(f>a).定理1.25 若函数f在E上连续, 则对任意的实数a, 存在开集G_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f>a)=G_a\cap E.也存在开集H_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f<a)=H_a\cap E.证明：对任意x\in E(f>a), 由于f在E上的点x连续, 必存在\delta=\delta(x,a)>0,使得y\in E\cap B(x,\delta)时, f(y)>a.因此若令G_a=\bigcup_{x\in E(f>a)} B(x,\delta), 则G_a是开集, 并且E(f>a)=G_a\cap E.同理可证, H_a.推论1 若函数f在E上连续, 则对任意的实数a, 存在闭集F_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f\geq a)=F_a\cap E.也存在开集K_a\subset\mathbb{R}^n, 使得E(f\leq a)=K_a\cap E.推论2 若f在开集E连续, 则对于任意实数a, E(f>a)和E(f<a)是开集, 若函数f在闭集E上连续, 则对于任意实数a, E(f\geq a), E(f\leq a)是闭集.定理1.26 若f是\mathbb{R}^n的函数, 则对于任意实数a, E(f>a), E(f<a)总是开集, 则f在\mathbb{R}^n上连续. (开集与开集的交是开集，闭集与闭集的交为闭集）连续延拓定理引理：若F_1,F_2是\mathbb{R}^n中的两个不交的⾮空闭集, 则有连续函数f(x), 使得(1) 0\leq f(x)\leq 1(x\in\mathbb{R}^n);(2) F_1=\{x: f(x)=1\}, F_2=\{x: f(x)=0\}.证明：构造函数f(x)=\frac{d(x,F_2)}{d(x,F_1)+d(x,F_2)}, x\in\mathbb{R}^n.定理1.27 连续延拓定理：若F是\mathbb{R}^n中的闭集, f(x)是F上的连续函数, 且|f(x)|\leq M(x\in F),则存在\mathbb{R}^n上的连续函数g(x)满⾜|g(x)|\leq M, g(x)=f(x), x\in F.证明：把F分成三个点集：A=\{x\in F:M/3\leq f(x)\leq M\},B=\{x\in F:-M\leq f(x)\leq -M/3\},C=\{x\in F:其他\}.并作函数g_1(x)=\frac{M}{3}\cdot\frac{d(x,B)-d(x,A)}{d(x,B)+d(x,A)},x\in\mathbb{R}^n.Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js。

Cantor集的结构及应用

或７的小数全部去掉ｆ＝０．５９１．然后把余下的
八个区间的每一个再进行十等分，去掉各自的第
七个左开右闭区间以及第八个左闭右开区间，即又去掉一个大的开区间。于是表示式中ａ＝６或
Ｅ＝｛ ∈［０，１］：＝∑ａｎ／１０，
要特例的基础．
１／ｐ的同心开区间；第三步，在留存的四个闭区间
中再移去长度为１／ｐ的同心开区间； …・一．继续
此过程，可得一列移去的开区间，记其并集为Ｇ（开集），则Ｇ的总长度为．我们称Ｃ。＝［０，１］＼Ｇ为类Ｃａｎｔｏｒ集（当Ｐ＝３时，Ｃ。就是Ｃａｎｔｏｒ
两个闭区间各三等分，去掉中间的两个开区间，即
更一般的，已有文献对［０，１］做相关的构
造，所得到的点集也具有Ｃａｎｔｏｒ三分集完全相同
（吉，吾），（吾，詈）．一般地，当进行到第ｎ次时，一３Ｃａｎｔｏｒ集构造拓展后的应用
共去掉２个开区间，剩下２个长度是３的互
的奇特实数都可以唯一地表示为ｐ进位正规表示Ｊ，其中ｐ是任意的大于１的正整数．Ｃａｎｔｏｒ三分集与三进位中用不着数字１的小数集之间有对应关系．将［０，１］中的实数按三进位小数展开，则Ｃａｎｔｏｒ集中点与下述三进位小

康托尔集的性质及应用

康托尔集的性质及应用1 Cantor集的概念及性质1.1 Cantor集的概念我们先来回忆一下康托尔集的作法。

12将闭区间三等分，去掉中间的开区间，剩下两个闭区间[0,1](,)3312。

又把这两个闭区间各三等分，去掉中间的两个开区间，即[0,],[,1]33 1278n,1n。

一般地，当进行到第n次时，一共去掉个开区间，剩下个22(,),(,)9999n,n长度是的相互隔离的闭区间，而在第n+1次时，再将这2个闭区间各三等分，3并去掉中间的一个开区间，如此继续下去，就从去掉了可数个互不相交(而[0,1]且没有公共端点)的开区间。

剩下的集合称为康托尔集，记为P。

Cantor集是一个完全集,为具有连续基数的点集和不可数的零测度集,其性质在对许多问题的讨论中都起着很大的作用,也常是构造反例的基础,其特殊的构造过程和算术结构使它有许多奇特的性质.1.2 集合的性质Cantor集具有如下性质:非空有界闭集;具有连续基数,其基数为c;完备集,亦即为无孤立点的闭集,被挖去的开集G没有相邻接的构成区间;疏朗集;可测集且异常的公式结尾函数Lebesgue可积且积分值为零;P上的任何函数均是可测函数,零测度集上的任何函数均是可测函数。

下面我们从康托尔集合的做法中讨论一下它的性质，仅供读者学习实变函数论之参考。

2 Cantor集性质的应用2. 1 研究集合的有关性质为了推广区间长度的概念,对一般点集建立一种能反映集合的“容量”与长度概念相当的度量,这种度量既要发展长度的概念,又必须保留长度概念的某些最基本的性质,也就是集合的“测度”,测度理论是建立新型积分理论的基础.,定理1 对任何非负数,,,可作[,]ab的一个完备疏朗集E,0,,,llba,,使。

mE,,证明按下面的步骤完成E的构造:,,lG[,]ab第1步:在的中心处挖去的长度为的开区间,该开区间记为; 13l,,1第2步:在余下的两个闭区间中分别挖去其中心处的长度为,的开区33 G间,这些开区间的并记为; 2………l,,1n,1n,12第n步:在余下的个闭区间中,分别挖去其中心处的长度为的开,()33n,1G2区间,记这个互不相交的开区间之并为。

cantor函数开题报告

cantor函数开题报告Cantor函数开题报告一、引言在数学领域中，有一类特殊的函数引起了学者们的广泛关注，它们被称为分形函数。

分形函数以其独特的性质和形式引发了无数的研究和探索。

其中，Cantor函数是一种经典的分形函数，具有许多有趣的性质和应用。

本报告旨在介绍Cantor函数的定义、性质和应用，以及相关的研究进展。

二、Cantor函数的定义Cantor函数最早由德国数学家Georg Cantor在19世纪末提出。

它是一个定义在闭区间[0,1]上的函数，其定义如下：1. 在[0,1]的中间点1/3处，函数值为1/2；2. 在[0,1]的中间点2/3处，函数值为1/2；3. 在[0,1]的其他点上，函数值按照以下规则递归定义：a) 如果该点在[0,1]的左1/3处，则函数值为前一点的函数值的1/2；b) 如果该点在[0,1]的右1/3处，则函数值为前一点的函数值的1/2加上1/2。

三、Cantor函数的性质Cantor函数具有多个引人注目的性质，其中一些是：1. 介值性：Cantor函数的值域是[0,1]，它能够覆盖整个区间；2. 不连续性：Cantor函数在[0,1]的无理数点上处处不连续，只在有理数点上连续；3. 严格递增性：Cantor函数在[0,1]上是严格递增的，即对于任意x1<x2，有f(x1)<f(x2)；4. 可微性：Cantor函数在[0,1]的大部分点上都不可微，只在少数点上可微。

四、Cantor函数的应用Cantor函数作为一种特殊的分形函数，在实际应用中有着广泛的用途。

以下是一些Cantor函数的应用案例：1. 数据压缩：Cantor函数可以用于数据的压缩和编码，通过将数据映射到Cantor函数的值域上，实现数据的高效存储和传输；2. 图像处理：Cantor函数可以用于图像的压缩和分形编码，通过对图像的每个像素点应用Cantor函数，实现图像的分形压缩和重构；3. 金融建模：Cantor函数可以用于金融市场的建模和预测，通过分析金融时间序列数据的Cantor函数特征，提供对市场波动和趋势的预测；4. 模拟算法：Cantor函数可以用于模拟算法的设计和优化，通过利用Cantor函数的性质，提高模拟算法的收敛速度和精度。

广义Cantor集

广义Cantor 集张北一中郭彦军摘要：本文考察了包括直线上的各种广义Cantor 集，由相似变换导出它们的级数表达式，给出它们维数的定义及计算方法，并考察了它们的性质。

关键词：广义Cantor 集；迭代函数系；Hausdorff 维数 1．定义：选取[]1,0区间作为初始元，然后进行m 等分，从中选取l 个小闭区间作为生成元，如此生成的分形集我们称之为广义Cantor 集，记作C 。

2．迭代函数系：广义Cantor 集C 的构造过程可描述为迭代函数系ma x m x f ma x m x f ma x m x f l l +=+=+=1)(1)(1)(2211[]1,0=∈I x其中i a 取}{1,2,1,0-m 中的某些值，l i ,2,1=。

即广义Cantor 集满足l 个相似变换： ma mf x ii +==ξξ)( l i ,2,1= ， 10≤≤x ，10≤≤ξ。

3．将[]1,0区间推广到任意区间[]b a ,：首先我们给出这样一个一一对应：x a b a y )(-+= []1,0=∈I x则mb a a a m m a a b a m b i i i i +-=-+=)()( 下面给出任意区间[]b a ,上的相似变换：mb mag y ii +-==ηη)( b a ≤≤η b y a ≤≤ i b 取}{b m a b a m ma )1(,)1(,-++- 中的某些值。

4．广义Cantor 集的级数表示：首先回顾一下广义Cantor 集的定义过程：第一次生成l 个闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=m m a ma F i i i 1,0)1()1(,1 {}l i a a a a ,,21)1(∈区间长度为mL 11=。

第二次对每个小闭区间i F ,1进行m 等分，从中选取l 个闭区间，得2l 个闭区间2)2()1()2()1()1()1(*)1(ma m a m a m a m m a m a i i i i i i +=-++ 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=22)2()1(2)2()1(,21,m m a m a m a m a F i i i i i }{l i i a a a a a ,,,21)2()1(∈区间长度为=2L 21m 。

实变函数2.3

注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间
c. P没有内点 P没有内点
证明：对任意x ∈ P, x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间中 I i( n )
∀ ε > 0, 当
1 3n
< ε 时，有 I i( n ) ⊂ O x, ε ）（
但由Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉中间一个开区间，从而 O ε）内至少有一点不属于P，（x, 所以x不可能是P的内点。
第三节第三节点集间的距离点集间的距离第二章维空间中的维空间中的点集cantorcantor集集对01区间三等分去掉中间一个开区间然后对留下的两个闭区间三等分各自去掉中间一个开区间此过程一直进行下去最后留下的点即为cantorcantor集集1cantor1cantor集集去掉的开区间留下的闭区间定义
（传统上认为维数即为确定整个图形中点的位置所需的坐标个数）
2=21 4=22 各方向扩大2倍
维数n = log2n / log2 8=23
Cantor集的维数 Cantor集的维数是log2 / log3
Sierpinski垫的 Sierpinski垫的维数是log3 维数是log3 / log2
⑴定义：令 G = ∪ I n ,i
i (n)
称P=[0,1]- G=[0,1]∩Gc 为Cantor集
第n次 1 2 去掉的开区间
I (i1)
I (i2 )
留下的闭区间
I i(1) I i( 2 ) i = 1,2 i = 1,2,L 2 2
i =1
i = 1,2
M
n
I (in )
M
i = 1, 2,L 2n −1 I i( n )

浅谈Cantor集

【标题】<B style='color:black;background-color:#ffff66'>浅谈</B>Cantor集【作者】刘勇【关键词】Cantor集??函数??测度【指导老师】林昌盛【专业】数学与应用数学【正文】1引言集合论自19世纪80年代由Cantor创立以来，现在已经发展成为一个独立的数学分支，它的基本思想与基本方法已渗透到各个数学分支，成为近代数学的基础.Cantor集，又称为三分集，是一个构思非常巧妙的特殊的点集.Cantor集是Cantor在解三角级数的时候构造出来的.学习和掌握Cantor集具有的重要特征，对于学习和掌握集合论的基本知识是很有帮助的.2基本理论2.1定义Cantor集的两种定义1.?区间定义cantor集合将闭区间?三等分，去掉中间的开区间；再将余下的两个闭区间?和?分别三等分，去掉中间的两个开区间?和?；再将余下的四个闭区间分别三等分，去掉中间的开区间，这种过程无限次地做下去，?中余下的点所组成的集合，称为康托集，记为??(见图2.1)? ?????????? 0???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1 ?????????????????????????????????????图 2.1显然?.?因为每次去掉的开区间的端点都属于?，去掉的所有开区间所组成的集合记为?，则?为开集.?通常称为康托余集.?[[]1]2.映射定义cantor集先定义映射?，?：?使得对于任何?有?和?.容易验证映射?和?都是同胚，因此任何开集?的?象?和?的象?都是开集.现在按归纳原则定义一系列开集，?如下：令?；对于任何?，定义?.事实上，?是两个开区间?和?之并，?是四个开区间?，?，?，?之并，…令?，它是可数个开集之并，当然是一个开集，容易验证，?.集合?称为cantor集，或称为标准cantor三分集.它是一个闭集.由康托集的定义可知下列事实成立.???从??中第?次去掉??个长度为??的开区间后，余下的每个闭区间的长度仍是??.???无论去掉开区间的过程进行多少次，?的点必属于每次留下来的某个闭区间.???从??中每次去掉开区间后，开区间的端点都属于?.?2.2性质Cantor集的主要性质[[]2]性质1??非空.在?的构造过程中,被挖去的开区间的端点及0、1都不会被除去而留在?内.性质2??的基数为?.已知(0,1)和?进位无限小数全体是一一对应的，考虑三进位小数表示法，由?的作法，每次都是把区间三等分，然后去掉中间的开区间.所以去掉的点，即?中的点在用三进位小数表示时，必出现1这个数字，令?为三进位无限小数中不出现数字1的全体，即?则?且?.故?，但?显然与二进位无限小数全体可建立一一对应，只要令?即可.故?.而?，由伯恩斯坦定理，?.性质3??是闭集.因??为可数个互不相交的开区间的并集，故?为开集，而?为闭集. 性质4??是完备集.被挖去的开集?没有相邻接的构成区间，故?没有孤立点.性质5??是疏朗集.在?的构造过程中，“挖去”手续进行到第?次后，剩下的是?个长度为?的小闭区间，对于以?中某点?为中心的无论怎样小的开区间??，当?充分大时总有? ?，因此这个小区间不可能包含在?中.性质6??是可测集且测度为零.第?次挖去的开区间记为?，共有?个，每个小区间的测度?，这?个互不相交的开区间的并集的测度?是?的构成区间，从?.因此?.性质7??上的任何函数均是可测函数.零测度集上的任何函数都是可测函数.性质8??上的任何函数Lebesgue可积.零测度集上的任何函数Lebesgue可积，且积分值为零.3具体举例为了推广区间长度的概念，对一般点集建立一种能反映集合的“容量”、与长度概念相当的度量,这种度量既要发展长度的概念，又必须保留长度概念的一些最基本的性质，也就是集合的“测度”，测度理论是建立新型积分理论的基础.例1 设在[[]0,1]中作点集：??={?|在?的十进位小数表示中只出现9个数码}，试问??的测度与基数是多少？[[]3]解?不妨设?在的十进位制小数中不出现数字“2”(约定采用0.2=0.1999…,0.62=0.61999…等表示)，于是按照Cantor集的方法作一开集?，?.其中，?是将[[]0,1]分成十等分所得的第三个开区间，显然?中任一小数点后第一位数字是“2”；将[[]0,1]十等分并去掉?后所余下的9个区间分别再十等分，各自的第三个开区间之并记为?，?中任一数，其小数点后第二位数字是“2”…，将余下的?个区间每个进行十等分，取各自的第三开区间，它们的并记为?，则?中任一数，其小数点后第?位数字是“2”；…令?，由?的作法知，?中任一数，其小数点后任一数字都不是“2”，且?与Cantor集的构造完全类似，由性质2及性质6有(1)??的基数是?；(2)??可测，且?，事实上?.例2 试作一闭集?，使Ｆ中不含任何开区间，且?.解?仿照Cantor集的作法步骤完成?的构作，第一步：在[[]0,1]的中央挖去长为?的开区间?；第二步：在余下的两个闭区间?和?中分别挖去中央处的长为?的开区间，它们的并是?.……第?步：在余下的?个闭区间中，分别挖去其中央处长为?的开区间，记这?个互不相交的开区间之并为?.……令?，则?为开集，且??=?与Cantor集具有类似的性质；从而?为可测集，且?.故?再看看Cantor集的结构公式.????第一步：在实直线Ｒ上将单位闭区间?分成三等分，去掉中间的开区间?剩下两个分离的区间?，??，记??第?步：设已得到?上的点集?为?个闭区间的分离并，其长均为?，记? 第?步：对?，把闭区间?分成三等分，去掉中间的开区间，将剩下的两个闭区间记作?与?得到?个长度为?的不交闭区间，有?在形成Cantor集的过程中，对?，?其中，???????????????????????????????????（*）这里?取值0或1，使?；可以这样理解，将?化为2进位制数，??，则取?即可?及（*）式就是Cantor集合的结构式.[[]4]4 Cantor集性质的应用实变函数论的中心问题是建立一种新型的积分理论，从而扩大函数的可积性范围，诸如Dirichlet函数?之类的点点不连续的函数也能求出其积分值，而我们建立新积分的思路就是从研究集合的测度,到定义在可测集上函数的可测性，最终讨论可测函数的可积性问题，Cantor函数起着积极的作用.下面给出几个应用实例：实例1 存在连续函数，将疏朗集映成区间.[[]5]Cantor函数?即为一例，它将疏朗集?映成区间[[]0,1].下面说明?=[[]0,1]?.只需说明?在?所取的值，?在?上也均能取到即可.而由?的定义这是明显的，因为每个余区间的右端点都属于?，而?在此点的取值等于?在该余区间上的值.所以??.实例2 存在连续函数，它把零测集映成正测度集，把正测集映成零测度集.[[]6]当?是区间?上的绝对连续函数时（?定义在?上,若?，使得对于任意两两不交的开区间族?，只要满足?，就有?，则称?是绝对连续的)，它将零测度集仍然映射成零测度集.但是，如果?连续而非绝对连续，则它可将零测度集映成正测度集.例如Cantor函数?是[[]0,1]上的连续增函数，由它的构造知，它将零测度集?映成测度为1的区间[[]0,1]；将?映成零测集，即将测度为1的集映成零测度集.实例3??(1)?可测集在连续映射下的像未必可测.[[]7]绝对连续函数将可测集映成可测集，然而，即使是严格单调的函数也不能保证可测集的像仍为可测集,当然可测函数更不能保证可测集的像仍为可测集.反例?设?为[[]0,1]上的Cantor函数，令?，则?：[[]0,1]→[[]0,1]为严格递增的连续函数，使?，其中?为Cantor集，取?为不可测集，则?可测，使?不可测.[[]8](2)?可测集在连续映射下的原象未必可测.连续映射能保证Borel集的原像仍为Borel集，但不能保证可测集的原像仍为可测集，当然可测函数更不能保证可测集的原像为可测集.[[]9]反例?上例中的?为[[]0,1]上的同胚映射，易知其反函数?于[[]0,1]上连续且递增.但此连续映射?使可测集?的原像?不可测.(3)?连续函数与可测函数的复合函数未必可测.若?为?上的可测函数，??为?上的连续函数，则复合函数?仍为可测函数，但??未必是可测函数，从而两个可测函数的复合函数也未必是可测函数.记?，则?连续且严格递增，并使?不可测，?可测；令?为?的特征函数，则?可测；记?，则由?不可测知，?为不可测函数.实例4?（1）存在导数几乎处处为零的递增的连续函数.[[]10]例如[[]0,1]上的Cantor函数?，它连续且单调不减，?，?，它在?的每个余区间上为常数,所以在[[]0,1]上几乎处处有?.(更强有,存在导数几乎处处为0的严格递增的连续函数)?.（2）存在递增函数?，使得?.由实变函数中的知识，如果?为?上的递增函数，则?在?上可积且?，不等号可能成立，例如Cantor函数?，?几乎处处为0，?.5结束语Cantor29岁（1874）时在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇论文，提出了“无穷集合”这个数学概念，引起了数学界的极大关注，他引进了无穷点集的一些概念，如：基数，势，序数等，试图把不同的无穷离散点集和无穷连续点集按某种方式加以区分，他还构造了实变函数论中著名的“Cantor集”，“Cantor序列”.本文通过对cantor集性质，定义，定理及其基本概念的阐述，结合诸多具体实例，说明了cantor集在数学领域，在实际生活中的广泛应用.Cantor函数是一类性质很好的函数，它的特有性质在上述实例中得以体现，决定了Cantor函数巧妙应用的广泛性. Cantor集合作为一个构思非常巧妙的特殊的点集，对于学习和掌握集合论的基本知识是很有帮助的.<div id="loadingAD"><div class="ad_box"><div class="waiting"><strong>文档加载中...</strong>广告还剩<emid="adtime"></em>秒。

cantor函数的导数

cantor函数的导数Cantor函数是一种非常特殊的函数，它在数学上被称为分段常值函数。

这个函数的定义域是[0,1]，而值域是[0,1]之间的无理数。

Cantor函数的导数是一个非常有趣的问题，因为它在某些点上是不存在的，而在其他点上又是存在的。

首先，我们需要了解Cantor函数的定义。

Cantor函数是通过不断地删除[0,1]中的中间三分之一来构造的。

具体来说，我们首先将[0,1]分成三个等长的区间，然后删除中间的那个区间。

接着，我们将剩下的两个区间再分成三个等长的区间，然后删除中间的那个区间。

我们不断重复这个过程，直到最后只剩下一些点。

这些点就是Cantor函数的定义域。

Cantor函数的图像看起来非常奇特，它是由一系列的线段组成的。

这些线段的长度不断缩小，直到最后变成了无限小的点。

Cantor函数在[0,1]上是连续的，但它在大部分点上都不可导。

这是因为Cantor函数在大部分点上的左导数和右导数不相等。

具体来说，Cantor函数在[0,1]中的有理数点上是不可导的。

这是因为在这些点上，Cantor函数的左导数和右导数都不存在。

这是因为在这些点上，Cantor函数的图像是由两个不同的线段组成的。

这两个线段的斜率不同，因此左导数和右导数不存在。

然而，在Cantor函数的无理数点上，它是可导的。

这是因为在这些点上，Cantor函数的左导数和右导数都等于0。

这是因为在这些点上，Cantor函数的图像是由一条水平线段组成的。

因此，Cantor函数在无理数点上的导数等于0。

总之，Cantor函数是一种非常特殊的函数，它在数学上被称为分段常值函数。

它的导数在大部分点上都不存在，但在无理数点上是存在的，并且等于0。

这个函数的性质非常有趣，它在数学上有着广泛的应用。

经典的分形算法 (1)

经典的分形算法小宇宙2012-08-11 17:46:33小宇宙被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。

它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。

它承认世界的局部可能在一定条件下，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。

分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。

1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。

1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。

1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。

这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。

1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。

1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。

1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。

1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。

以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。

真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始，而一开始，分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面，但这也足以使人们心驰神往。

Cantor集与Cantor函数性质探究

Keywords
Cantor Set, Cantor Function, Cantor Set Properties, Cantor Function Properties
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). /licenses/by/4.0/
∪ b −
3k
,b −
3k
∪ b −
3k
,b.
这样就得到了集列{F k ([0,1])} 。
显然，该集列是递降的，并由单调有界定理知其是收敛集列。
{ } 记集列 F k ([0,1]) 的极限是 Cantor 集 C，即
C = lim F k ([a,b]). k →∞
为 Cantor(三分)集，或者 Cantor 完全集，简称为 Cantor 集。
32
a)
∪
b
−
3
(
b− 32
a
)
,
b
−
2
(
b− 32
a
)
∪
b
−
b− 32
a
,
b
.Leabharlann ( ) F k = F F k−1 ([a,b])
= a, a +
b− 3k
a
∪
a
+
2
(b −
3k
a
)
,
a
+
3(b −
3k

毕业论文《几类常见的不可数集合证明》

几类常见的不可数集合证明摘要：文中首先介绍实变函数论的背景、由来和在数学领域中的作用,并由实变函数引出其最为基础的可数集合和不可数集合.最后给出本文的主要容---几种常见的不可数集合及其证明方法.本文多次利用反证法证明一个集合是否为不可数集合,并对几种常见的不可数集合证明方法作一个总结归纳.关键词：可数集不可数集合无理数集实数集合康托尔集在大学,我有幸接触到了《实变函数论》.对于这门课程,初次接触就被它的高深和精细所吸引."实变函数"是以实数作为自变量的函数,它和古典的数学分析是不同的,它不仅是一种比较高深和精细的理论,还是数学的一个重要分支,而且它的应用非常广泛.在《实变函数论》中,可数集与不可数集合是最为基本的知识.之所以选择它们来进行研究,主要考虑到以下几个方面：首先,不可数集合虽然是实变函数课程中最为基本的容,但也是最繁琐的容.本文旨在对几种常见的不可数集合证明方法作出总结和归纳,以达到化繁为简的目的.其次,不可数集合已经成为某些数学领域的重要工具,而且它在各个数学领域之中的应用,对于形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响.其中康托尔集在现代物理学科研究领域上也被广泛应用.基于以上几点,本文专门对常见的不可数集合证明方法作出总结.下面就让我们先来认识一下可数集和不可数集：1 可数集和不可数集的定义和性质1.1可数集和不可数集的定义定义1.1 凡和全体正整数所成之集合N对等的集合都称为可数集合或者可列集合.由于N可按大小顺序排列成一无穷序列：1,2,3,…,n…,因此,一个集合A是可数集合的充要条件为: A可以排成一个无穷序列：1a ,2a ,3a ,…,n a ,….例如,全体正偶数的集合是一个可数集,全体正奇数的集合也是可数集,它们与自然数集可以建立如下的一一对应.自然数1,2,3,4,5,6,…,n ,…, 正偶数2,4,6,8,10,12,…,2n ,…, 正奇数1,3,5,7,9,11,…,2n －1,….这说明一个可数集可以含有可数的真子集,反过来,两个可数集也可以并成一个可数集.整数集与有理数集都是可数集.定义1.2 不是可数集合的无限集合我们称为不可数集合.不可数集是无穷集合中的一种.一个无穷集合和整数集合之间要是不存在一个双射〔不存在一一对应关系和法则,那么它就是一个不可数集.譬如无理数集就是不可数集.1.2 可数集和不可数集的性质可数集的性质：<1> 任何无限集合都至少包含一个可数子集.<2> 可数集合的任何无限子集必为可数集合,从而可数集合的任何子集或者是有限集或者是可数集.<3> 设A 为可数集,B 为有限或可数集,则A B 为可数集. <4> 设(),...3,2,1=i A i 都是可数集,则 ∞=1i i A 也是可数集.<5> 设()n i A i ,...,2,1=是有限集或可数集,则 ni i A 1=也是有限集或可数集,但如果至少有一个i A 是可数集,则 ni i A 1=必为可数集.<6> 有理数全体成一可数集合.<7> 若A 中每个元素可由n 个互相独立的记号一对一地加以决定,各记号跑遍一个可数集A ={}n x x x a ,...,,21(),,...,2,1,...;,)2()1(n k x x x k kk ==则A 为可数集. <8> 代数数的全体成一可数集. 不可数集的性质：<1> 全体实数所成之集合R 是一个不可数集合.<2> 任意区间()[)(]()[)∞∞,0,,0,,,,,,b a b a b a 均具有连续基数c .〔这里b a <. <3> 设,...,...,,21n A A A 是一列互不相交的集合,它们的基数均为c ,则它们的和集的基数也为c .<4>实数列全体E ∞的基数为c . <5>n 维欧几里得空间n R 的基数为c .<6> 设M 是任意的一个集合,它的所有子集作成新的集合μ则μ>M . <7> 若用c 表示全体实数所成集合R 的基数,用a 表示全体正整数所成集合N 的基数,则c >a .<8> 设有c 个〔c 表示连续基数集的并集,若每个集的基数都是c ,则其和集的基数也是c .2全体实数所成之集合R 是一个不可数集合实数包括有理数和无理数.其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数.通俗地认为,包含所有有理数和无理数的集合就是实数集.18世纪,微积分学在实数的基础上发展起来.但当时的实数集并没有精确的定义.直到1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义.定义是由四组公理为基础的：加法公理；乘法公理；序公理；完备公理；符合以上四组公理的任何一个集合都叫做实数集,实数集的元素就是实数.定理2.1 全体实数所成之集合R 是一个不可数集合.证法一用反证法证明.因为实数集合与()1,0是有一一对应的,故只需说明()1,0不可数就可以了.因为f ：()1,0→R 是双射函数,令S ={x |x ∈R <0<x <1>},若能证S 是不可数集,则R 也必为不可数集.假设S 是可数的,则S 必可表示为：S ＝{1S ,2S ,…},其中i S 是()1,0区间的任意实数.设i S ＝.....0321y y y ,其中i y ∈{}9,...,2,1,0,设.......011312111n a a a a S =,.......022322212n a a a a S =, .......033332313n a a a a S =,……………………其次,我们构造一个实数r =....0321b b b 使．，，，1121=≠⎩⎨⎧jj jj j a a b ,....2,1=j .这样,r 与所有实数,...,...,,21n S S S 不同,这证明了r ∉S ,与假设产生矛盾,因此S 是不可数的,即R 是不可数集.在第二种证明方法之前先来回顾一下闭区间套定义以及定理. 定义2.1 设有一闭区间列[]{},,n n b a 具有如下性质:<1>[][]；，，，...21,,11=⊃++n b a b a n n n n<2>()0lim =-∞→n n n a b则称这闭区间列[]{},,n n b a 为一个闭区间套,或简称区间套.定理2.2 若[]{}n n b a ,是一区间套,则存在唯一的，R ∈ξ使得∈ξ[n a ,]n b , ）（,...2,1=n ,即）（,...2,1=≤≤n b a n n ξ. 下面我们利用闭区间套定义和定理来证明实数集合是不可数集合. 证法二用闭区间套定理证明. 假设[]1,0是可数集,则可设[]1,0={},...,...,,21n a a a记0I =[]1,0,在0I 作一闭区间1I ,使其长度|1I |<21且∈1a 1I ；然后又在1I 作一闭区间2I ,使得|2I |<221且2a ∈2I .一般说来,设已经作好了一个包含一个闭区间：0I ⊃1I ⊃…⊃n I ,|i I |<i21,i a ∈i I <n i ，，，...21=>, 取1+n I ⊂n I ,且满足|1+n I |<121+n ,1+n a ∈1+n I .根据归纳法,我们就得到了一个区间套：0I ⊃1I ⊃…⊃n I ⊃…,|n I |<n21,n a ∈n I <，，21=n …> 因为n 21→0 <∞→n >,所以由区间套定理,存在点∈ξn I <，，21=n …>.由于n a ∈n I ,故≠ξn a <，，21=n …>.但∈ξ0I ,因而ξ是[]1,0中的点,因此,[]1,0≠{},...,...,,21n a a a .这与假设矛盾,因此[]1,0是不可数集合.证法三利用Lebesgue 测度证明. 假设[]1,0可以排成一个序列：[]1,0={},...,...,,21n a a a .利用Lebesgue 测度知识,知[]()11,0=m .而实际上{}()0,...,...,,21=n a a a m .两者是矛盾的,所以[]1,0是不可数集. 证法四利用Baire 纲定理证明.把闭区间[]1,0看作完备度量空间1R <一维Euclid 空间的闭子集.由于完备空间的闭集本身构成完备的子空间,所以[]1,0是一完备子空间.一方面,由Baire 纲定理,我们知道任一完备空间是第二纲的,所以[]1,0是第二纲集；另一方面,由于单点集是[]1,0中的疏朗集.假若[]1,0是可数集,则它可表示为可数个疏朗集的并,从而为第一纲集.这便推出了矛盾.这样就证明了[]1,0是不可数集.证法五利用单调有界法则证明. 假设[]1,0是可数集,令[]1,0={},...,...,,21n a a a .现构造递归数列如下：令01=X ,⎪⎩⎪⎨⎧+≥+<+=+，若，，若，n n n n n n n nn n X a X X a X X 323232121，=n ,…, 则｛Xn ｝显然是递增数列,且1X =0,Xn ≤1-n X +132-n ≤1223232---++n n n X ≤…≤++321X …+123232--+n n ≤1 ()...32，，=n 根据单调有界法则,[]10lim ，且∈=∞→X X X n n ,但X 不等于任一n a .假若不然,则有某个r a =X ,下面分两种情形讨论：<1>若r a <r X +r 32,则X =nn X 1sup ≥≥1+r X =r X +r32>r a ,这与X =r a 矛盾. <2>若r a ≥r X +r 32,则此时有1+r X =r X ,2+r X ≤1+r X +232+r =r X +132+r ,……………………………,≤…≤r X +++132r …+123232-+-++k r k r令∞→k ,两边取极限得：X =kr k X +∞→lim ≤r X +311321-+r =r X +r 31. 故 r a ≥r X +r32>r X +r 31≥X .这也与X =r a 矛盾.因此,不论哪种情形,总有X ≠n a <...21，，=n >.所以,[]1,0≠{},...,...,,21n a a a .这与假设矛盾,从而[]1,0是不可数集合. 3 其它几类常见的不可数集证明其它几类常见的不可数集合有：无理数集、康托尔集、可数集的幂集等等. 3.1 无理数集是一个不可数集合无理数集是由全体无理数所组成的集合.无理数,即非有理数之实数,不能写作两整数之比.若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环.常见的无理数有大多数平方根、π和e〔其中后两者同时为超越数等.无理数的另一特征是无限的连分数表达式.定理3.1 无理数集是一个不可数集合.按照箭头顺序可将 ∞=1i i A 排成:∞=1i i A ={},...,,,,,,14132231211211a a a a a a a因此, ∞=1i i A 是可数集.第三步,接着证明实数集是不可数集.关于这个证明本文在前面已经给出了很多种证明方法,在此就不赘述了,基本上都是用反证法,即先用一种排列来表示实数集,再由这种表示法推出一定有一个实数不能被这种排列所表示,由此推出矛盾.第四步,证明无理数集是不可数集.用反证法证明.假设无理数集是可数集,在第一步我们已经证出有理数集是可数集,那么实数集也应该是可数集<实数集等于有理数与无理数的并>.而第三步我们已经证出了实数集是不可数集,与假设矛盾.所以无理数集是不可数集.证毕.3.2 Cantor 集是一个不可数集合Cantor 集,又称三分集.是位于一条线段上的一些点的集合,具有许多显著和深刻的性质,常常是集合论中构造特例的基础.最常见的构造是康托尔三分点集,由不断地去掉一条线段的中间三分之一得出.著名的康托尔集是这样构成的：定义3.1 <1>设闭区间[]1,0R ⊂,将[]1,0三等分,并除去中间开区间1I =<31,32>.得两个闭区间1.1F =[0,31],2.1F =[32,1],区间长度为1L =31.<2>分别将闭区间1.1F ,2.1F 三等分,并出去中间两个开区间1.2I =<91,92>,2.2I =<97,98>.得到四个闭区间1.2F =[0,91]、2.2F =[92,31]、3.2F =[32,97]、4.2F =[98,1],区间长度为2L =231.<3>一般地,仿此继续下去,到第n 次,除去了12-n 个开区间,得到n 2个闭区间,n n n n F F F 2.2.1.,,, ,区间长度031n L =.我们得到集合列=n F 2.1.n n F F … n n F 2.< 21，=n >.作集合 ∞==1n n F C称集合C 为Cantor<三分>集. 定理3.2 Cantor 集合是不可数集.证明如果一个集合E 与D 1—1对应,则E 是不可数的.其中D 是由两个数字重复排列而得到的序列,如0.110001110…构成的集合D =｛.021b b …n b …|i b =0或1,i =1,2,…｝不可数.我们对于[]1,0上的点,用三进位表示法来表示.构建Cantor 集合时,每次都把区间[]1,0三等分,并且除去了中间的开区间,三进位表示方法为：[]1,0上的点,每一次三等分后,依据它在三个区间的位置,对应位数依次记为0,1,2,如下图所示：0 A B C 1第一次三等分0.0 0.1 0.2第二次三等分0.00 0.01 0.02 0.20 0.21 0.22 第三次三等分0.0000.0010.002 0.0200.0210.022 0.200 0.201 0.202 0.220 0.221 0.222……………………………………………………………………… 由上述图示可知,Cantor 集合中的点三进位表示法中仅出现数字0和2,不含数字1,即C x ∈∀<Cantor 集合>,则x 可以表示为：20.021或，==i n a a a a x ,< ，，21=i >得=C ｛20|.021或，=i n a a a a ,< ，，21=i >｝与D 1—1对应.所以,Cantor 集合是不可数集. 3.3 可数集的幂集是一个不可数集合证明令N 为全体正整数所成的集合.分别记N 的所有子集,所有有限子集,所有无限子集所成的集族为A ,0A 和∞A ,则A =0A ∞A ,0A ∞A 为空集.对于任意的B ∈∞A ,令()∑∈=B k kB 21ϕ,那么ϕ是一个从∞A 到(]1,0上的一对一的对应.故c A =∞.另一方面,可证a A =0.因此c A =,即c a =2.即可数集的幂集是不可数集. 4 总结与应用本文对几类常见的不可数集合证明做出了总结和归纳.其中在证明实数集是不可数集时用了很多种方法,并多次利用反证法证明,在用反证法证明的过程中,做了假设之后,经过推理出现了矛盾,应该的做法是：① 如果推理完全正确,推翻假设是应该的.② 如果推理本身有误,必先纠错而不是简单地推翻假设.不可数集合在数学领域上有着重要的地位,其中康托尔集合在现代的物理科学的研究领域上,也有着它特殊的贡献.参考文献：[1] 薛昌兴等.实变函数与泛函分析[M].高等教育,2004. [2] 熊金城.点集拓扑讲义〔第三版[M].高等教育,2003. [3] 左亚丽.民族师专学报[J].民族师专,2007.[4] 奠宙等.实变函数与泛函分析基础[M].高等教育,2003..[5] 夏道行等.实变函数论与泛函分析[M].高等教育,1985.[6] 江泽坚等. 实变函数论[M].人民教育,1961.[7] W·卢丁著.慈庚等译.教学分析原理[M].人民教育,1979.[8] 温邦彦.什么是康托的不可列集合[J].工学院学报,2009.[9] 熊国敏.谈谈Cantor集合[J].师专学报,2002.[10]胡世耕.实变函数[M].高等教育,1999.THE PROVE OF SEVERAL COMMON UNCOUNTABLECOLLECTIONLI Yu-huiAbstract:This paper firstly introduces the background of realvariable funktion theory ,origi n and the role in mathematic,and by realvariable funktion raises its most basic denumerable set an d uncountable collection.The main contents of this,several common uncountable collection metho ds of proof.Text first given the definitions and theorems for collection,several common uncountabl e collection,and the number of several common methods of proof shall set,one of the most commo n is not real number of four sets are proved.This makes us in understanding uncountable set meani ng,On the basis of the theorem,skilled use them to solve the relevant proof of several sets,And ho w to use various methods to demonstrate a set number for not set.Key words:Countable collection;uncountable collection;Irrational collection;Real collection;Cantor's collection11 / 11。

Cantor集与Cantor函数

Cantor集与Cantor函数【摘要】：本文总结了Cantor集的、Cantor函数的定义和一些基本的性质及其证明。

文末还简单的介绍了有关分形的概念和一些常见分形。

【关键词】：Cantor集、Cantor函数、分形1、Cantor集与Cantor函数的定义1.1、Cantor集的定义将基本区间[0，1]三等分，并除去中间的开区间,把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开区间,,然后再将余下的四个闭区间用同样的方法处理。

这样，当进行到n次时，一共去掉个开区间如此下去，就从中去掉了可数个不相交的开区间G=(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪......集合C=[0，1]\ G称为Cantor集。

1.2、Cantor函数的定义定义C是Cantor集，在[0,1]上定义函数f(x) 如下：f=称为Cantor函数2、Cantor集与Cantor函数的基本性质2.1、Cantor集的性质2.1.1、完备性Cantor集是完备集：证明： C是闭集显然，下面证C中没有孤立点.假设C中有孤立点x，则存在δ>0，使（x-δ，x+δ）∩ C=｛x｝因此（x-δ，x），（x，x+δ）⊂ G故上述两区间包含于G的两个构成区间，而由C的构造过程知，G的构成区间的端点不重合，故矛盾.因此，C中没有孤立点.所以C是完备集.2.1.2、Cantor集是疏集，没有内点证明：假设是C的内点，则存在使得这样⊂ [0,1]，且这个开集的各个构成区间互不相交，这些区间的长度之和大于1，矛盾。

并且可得C中不含开区间，由定义，C显然为疏集。

2.1.3、G=[0,1]\C是[0,1]中的稠密集证明：题目可转化为证明，且显然有,证明即可：反证：任取x且x，则存在x的一个邻域，其中不含有G的点。

可得这个领域在C内。

又，故x C，所以x是C中的内点。

与C是疏集矛盾。

所以。

故，G是[0,1]中的稠密集，证毕。

2.1.4、C具有连续统势证明：由定理可得，(0,1)与无限n元数列全体等价。

[整理版]浅谈cantor集

【标题】<B style='color:black;background-color:#ffff66'>浅谈</B>Cantor集【作者】刘勇【关键词】Cantor集??函数??测度【指导老师】林昌盛【专业】数学与应用数学【正文】1引言集合论自19世纪80年代由Cantor创立以来，现在已经发展成为一个独立的数学分支，它的基本思想与基本方法已渗透到各个数学分支，成为近代数学的基础.Cantor集，又称为三分集，是一个构思非常巧妙的特殊的点集.Cantor集是Cantor在解三角级数的时候构造出来的.学习和掌握Cantor集具有的重要特征，对于学习和掌握集合论的基本知识是很有帮助的.2基本理论2.1定义Cantor集的两种定义1.?区间定义cantor集合将闭区间?三等分，去掉中间的开区间；再将余下的两个闭区间?和?分别三等分，去掉中间的两个开区间?和?；再将余下的四个闭区间分别三等分，去掉中间的开区间，这种过程无限次地做下去，?中余下的点所组成的集合，称为康托集，记为??(见图2.1)?0 1图 2.1显然?.?因为每次去掉的开区间的端点都属于?，去掉的所有开区间所组成的集合记为?，则?为开集.?通常称为康托余集.?[[]1]2.映射定义cantor集先定义映射?，?：?使得对于任何?有和?.容易验证映射?和?都是同胚，因此任何开集?的?象?和?的象?都是开集.现在按归纳原则定义一系列开集，?如下：令?；对于任何?，定义?.事实上，?是两个开区间?和?之并，?是四个开区间?，?，?，?之并，…令?，它是可数个开集之并，当然是一个开集，容易验证，?.集合?称为cantor集，或称为标准cantor三分集.它是一个闭集.由康托集的定义可知下列事实成立.???从??中第?次去掉??个长度为??的开区间后，余下的每个闭区间的长度仍是??.?无论去掉开区间的过程进行多少次，?的点必属于每次留下来的某个闭区间.?从??中每次去掉开区间后，开区间的端点都属于?.?2.2性质Cantor集的主要性质[[]2]性质1??非空.在?的构造过程中,被挖去的开区间的端点及0、1都不会被除去而留在?内.性质2??的基数为?.已知(0,1)和?进位无限小数全体是一一对应的，考虑三进位小数表示法，由?的作法，每次都是把区间三等分，然后去掉中间的开区间.所以去掉的点，即?中的点在用三进位小数表示时，必出现1这个数字，令?为三进位无限小数中不出现数字1的全体，即则?且?.故?，但?显然与二进位无限小数全体可建立一一对应，只要令?即可.故?.而?，由伯恩斯坦定理，?.性质3??是闭集.因??为可数个互不相交的开区间的并集，故?为开集，而?为闭集. 性质4??是完备集.被挖去的开集?没有相邻接的构成区间，故?没有孤立点.性质5??是疏朗集.在?的构造过程中，“挖去”手续进行到第?次后，剩下的是?个长度为?的小闭区间，对于以?中某点?为中心的无论怎样小的开区间??，当?充分大时总有? ?，因此这个小区间不可能包含在?中.性质6??是可测集且测度为零.第?次挖去的开区间记为?，共有?个，每个小区间的测度?，这?个互不相交的开区间的并集的测度?是?的构成区间，从.因此?.性质7??上的任何函数均是可测函数.零测度集上的任何函数都是可测函数.性质8??上的任何函数Lebesgue可积.零测度集上的任何函数Lebesgue可积，且积分值为零.3具体举例为了推广区间长度的概念，对一般点集建立一种能反映集合的“容量”、与长度概念相当的度量,这种度量既要发展长度的概念，又必须保留长度概念的一些最基本的性质，也就是集合的“测度”，测度理论是建立新型积分理论的基础.例1 设在[[]0,1]中作点集：??={?|在?的十进位小数表示中只出现9个数码}，试问??的测度与基数是多少？[[]3]解?不妨设?在的十进位制小数中不出现数字“2”(约定采用0.2=0.1999…,0.62=0.61999…等表示)，于是按照Cantor集的方法作一开集?，?.其中，?是将[[]0,1]分成十等分所得的第三个开区间，显然?中任一小数点后第一位数字是“2”；将[[]0,1]十等分并去掉?后所余下的9个区间分别再十等分，各自的第三个开区间之并记为?，?中任一数，其小数点后第二位数字是“2”…，将余下的?个区间每个进行十等分，取各自的第三开区间，它们的并记为?，则?中任一数，其小数点后第?位数字是“2”；…令?，由?的作法知，?中任一数，其小数点后任一数字都不是“2”，且?与Cantor集的构造完全类似，由性质2及性质6有(1)??的基数是?；(2)??可测，且?，事实上?.例2 试作一闭集?，使Ｆ中不含任何开区间，且?.解?仿照Cantor集的作法步骤完成?的构作，第一步：在[[]0,1]的中央挖去长为?的开区间?；第二步：在余下的两个闭区间?和?中分别挖去中央处的长为?的开区间，它们的并是?.……第?步：在余下的?个闭区间中，分别挖去其中央处长为?的开区间，记这?个互不相交的开区间之并为?.……令?，则?为开集，且??=?与Cantor集具有类似的性质；从而?为可测集，且.故?再看看Cantor集的结构公式.第一步：在实直线Ｒ上将单位闭区间?分成三等分，去掉中间的开区间?剩下两个分离的区间?，??，记第?步：设已得到?上的点集?为?个闭区间的分离并，其长均为?，记? 第?步：对?，把闭区间?分成三等分，去掉中间的开区间，将剩下的两个闭区间记作?与?得到?个长度为?的不交闭区间，有在形成Cantor集的过程中，对?，?其中，（*）这里?取值0或1，使?；可以这样理解，将?化为2进位制数，??，则取?即可及（*）式就是Cantor集合的结构式.[[]4]4 Cantor集性质的应用实变函数论的中心问题是建立一种新型的积分理论，从而扩大函数的可积性范围，诸如Dirichlet函数?之类的点点不连续的函数也能求出其积分值，而我们建立新积分的思路就是从研究集合的测度,到定义在可测集上函数的可测性，最终讨论可测函数的可积性问题，Cantor函数起着积极的作用.下面给出几个应用实例：实例1 存在连续函数，将疏朗集映成区间.[[]5]Cantor函数?即为一例，它将疏朗集?映成区间[[]0,1].下面说明?=[[]0,1]?.只需说明?在?所取的值，?在?上也均能取到即可.而由?的定义这是明显的，因为每个余区间的右端点都属于?，而?在此点的取值等于?在该余区间上的值.所以??.实例2 存在连续函数，它把零测集映成正测度集，把正测集映成零测度集.[[]6]当?是区间?上的绝对连续函数时（?定义在?上,若?，使得对于任意两两不交的开区间族?，只要满足?，就有?，则称?是绝对连续的)，它将零测度集仍然映射成零测度集.但是，如果?连续而非绝对连续，则它可将零测度集映成正测度集.例如Cantor函数?是[[]0,1]上的连续增函数，由它的构造知，它将零测度集?映成测度为1的区间[[]0,1]；将?映成零测集，即将测度为1的集映成零测度集.实例3??(1)?可测集在连续映射下的像未必可测.[[]7]绝对连续函数将可测集映成可测集，然而，即使是严格单调的函数也不能保证可测集的像仍为可测集,当然可测函数更不能保证可测集的像仍为可测集.反例?设?为[[]0,1]上的Cantor函数，令?，则?：[[]0,1]→[[]0,1]为严格递增的连续函数，使?，其中?为Cantor集，取?为不可测集，则?可测，使?不可测.[[]8](2)?可测集在连续映射下的原象未必可测.连续映射能保证Borel集的原像仍为Borel集，但不能保证可测集的原像仍为可测集，当然可测函数更不能保证可测集的原像为可测集.[[]9]反例?上例中的?为[[]0,1]上的同胚映射，易知其反函数?于[[]0,1]上连续且递增.但此连续映射?使可测集?的原像?不可测.(3)?连续函数与可测函数的复合函数未必可测.若?为?上的可测函数，??为?上的连续函数，则复合函数?仍为可测函数，但??未必是可测函数，从而两个可测函数的复合函数也未必是可测函数.记?，则?连续且严格递增，并使?不可测，?可测；令?为?的特征函数，则?可测；记?，则由?不可测知，?为不可测函数.实例4?（1）存在导数几乎处处为零的递增的连续函数.[[]10]例如[[]0,1]上的Cantor函数?，它连续且单调不减，?，?，它在?的每个余区间上为常数,所以在[[]0,1]上几乎处处有?.(更强有,存在导数几乎处处为0的严格递增的连续函数)?.（2）存在递增函数?，使得?.由实变函数中的知识，如果?为?上的递增函数，则?在?上可积且?，不等号可能成立，例如Cantor函数?，?几乎处处为0，?.5结束语Cantor29岁（1874）时在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇论文，提出了“无穷集合”这个数学概念，引起了数学界的极大关注，他引进了无穷点集的一些概念，如：基数，势，序数等，试图把不同的无穷离散点集和无穷连续点集按某种方式加以区分，他还构造了实变函数论中著名的“Cantor集”，“Cantor序列”.本文通过对cantor集性质，定义，定理及其基本概念的阐述，结合诸多具体实例，说明了cantor集在数学领域，在实际生活中的广泛应用.Cantor函数是一类性质很好的函数，它的特有性质在上述实例中得以体现，决定了Cantor函数巧妙应用的广泛性. Cantor集合作为一个构思非常巧妙的特殊的点集，对于学习和掌握集合论的基本知识是很有帮助的.。

Cantor集的性质及其应用

Cantor集的拓展及其应用黄玉霞指导老师：郭金生（河西学院数学与应用数学专业2012届1班09号, 甘肃张掖734000）摘要本文对Cantor三分集进行了拓展,也就是以五分法构成了Cantor集,然后讨论在此分下Cantor集的相关性质及应用.关键词Cantor集; 测度; 稠密集; 完备集中图分类号O174The Expandability and Applications of Cantor SetHuang Yuxia Instructor Guo Jinsheng（No.09,Class1 of 2012.Specislty of Mathematics and Applied Mathematics,Hexi University,Zhangye,Gansu,734000）Abstract: This paper expands Cantor set ,as well as makes Cantor set by dividing it into five parts, then discusses it’s related properties and applications in this situation.Keywords: Cantor set; measure; dense set; exhaustive set1 引言Cantor三分集是由德国数学家康托尔在研究三角级数问题时构造出来的一个特殊点集,具有许多显著和深刻的性质.它是人类理性思维的产物,并非某个现实原型的摹写,尤其是用传统的几何术语很难对他进行描述.它既不是满足某些简单条件的点的轨迹,也不是一个简单方程的解集,可以说,它是一种新的集合对象.厦门大学数学科学学院的伍火熊通过分析康托三分集的构造过程,剖析了其构造思想的本质特征在于对所给闭区间进行奇数次对等划分,去掉中央开区间后对存留的每一个闭子区间作同样的处理的无限构作过程.董大校指出康托尔集的构造过程是一个无穷操作或迭代过程.本文主要说明康托尔五分集与三分集具有完全相同的奇特性质,康托尔三分集的构造方法的奇特性并非偶然,它适用于由任何正奇数分得的集合,康托尔集巧妙构思和它奇特性质在解决实变函数中一些典型例题中起了重要作用.2 预备知识=(E'表示E的导集),则称E为完备集或完全集.定义2.1[1]设nE R⊂,如果E E'定义2.2[2] 凡和全体正整数所成集合Z +对等的集合都称为可数集,不是可数集的无限集合,称为不可数集.定义2.3[3] 若两个集合A ,B 之间存在着一一的到上的映射,则A 与B 是对等的,记为A B .此时也称A 与B 等势或者有相同的基数,记为A ==B =.定义2.4[4] 设E 为n R 中的一个点集,0x 是n R 中的一个定点,若0x 附近全是E 的点,即0,δ∃>使0(,)U x E δ⊂,则称0x 为E 的内点.定义2.5[5] 设A ,B 是直线上的两个点集,如果B 中每一点的任一环境中必有A 的点,那么称A 在B 中稠密.如果直线上的点集S 在每一个不空的开集中都不稠密,就称S 是疏朗集或无处稠密集.定理1.1(闭集的构造定理) 直线上的闭集F 或是全直线,或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间（即F 的余区间）所得到的集.3 主要内容3.1 Cantor 集的构成(1)将闭区间[0,1]R ⊂三等分,去掉中间一个()02个个长度为13的开区间12,33⎛⎫⎪⎝⎭,记作1F ;剩下两个()12个长度均为13的闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦,分别记为11G 和21G ;(2)将剩下的两个闭区间10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦分别继续三等分,去掉其中间两个()12个长度为213的开区间12,99⎛⎫ ⎪⎝⎭和78,99⎛⎫⎪⎝⎭,分别记为12F 和22F ,剩下的四个()22个小闭区间,分别是10,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦,23,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦,67,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦和8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦,分别记为123222,,G G G 和42G ;(3)如此继续下去,第次n 去掉12n -个长度为13n 的开区间1221,,,-n n n n F F F ,剩下2n 个长度为13n 的闭区间,记为12,,n n G G nn G 2, ;上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系见表1:第1次分割第2次分割第3次分割第n 次分割开区间个数 02 12 22 12n -闭区间个数 12 22 32 2n小区间长度1321331313n表1(4)将上述过程无限进行. 最终得到一集合列12211n n n G G GG=()=1,2n ，.作点集P =1n n G ∞=,则称P 为Cantor 集.3.2 对Cantor 集构造方法的拓展基于Cantor 三分集巧妙的构造方法,尝试将闭区间[0,1]五等分、甚至任意正奇数等分.3.2.1 将闭区间[0,1]五等分,进行构造(1)将闭区间[0,1]R ⊂五等分,去掉中间两个()12个长度为15的开区间12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭和34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,记作11F 和21F ;剩下三个长度均为15的闭区间10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦,23,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦,分别记为11G ,21G 和31G ;(2)将剩下的三个闭区间1[0,]5,23[,]55和4[,1]5分别继续五等分,然后去掉其中间六个长度为215的开区间2212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,2234,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,221112,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,221314,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,222122,55⎛⎫ ⎪⎝⎭222324,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 分别记为12F ,22F ,345222,,F F F 和62F .剩九个小闭区间,分别为210,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦2223,,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,241,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2211,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,221213,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2143,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2421,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,222223,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦,224,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 分别记为123222,,G G G ,42G ,52G ,62,G 72,G 82G 和92G ;(3)如此继续下去,第n 次去掉()1221n -+个长度为15n 的开区间()122112,,,n n n nF F F-+,剩下3n 个长度为15n的闭区间,记为12,,n n G G nn G 3, ; 上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系见表2:第1次分割第2次分割第3次分割第n 次分割开区间个数 023⨯ 123⨯223⨯ 123n -⨯闭区间个数 1323 333n小区间长度15 21531515n表2(4)将上述过程无限进行.最终得到一集合列12311n n n G G GG=()=1,2n ，.作点集2P =1n n G ∞=.在下面3.3中可证得2P 具有与Cantor 三分集完全相同的性质.3.2.2 对于任意给定的正奇数21k +()k N +∈.(1) 将闭区间[0,1]进行21k +等分,并去掉中间的第2,4,k 2 个开区间1112(,)2121F k k =++,2134(,)2121F k k =++,,1212(,)2121k k kF k k -=++记留存部分为1G ,即111111k G G G G +=1232[0,][,][,1]21212121kk k k k =++++. (2) 将剩下的1k +个闭区间分别继续五等分,并去掉每一等分闭区间中的第2,4,,2k 个中间开区间;记1G 中留下来的部分为2G , (3) 如此继续下去,第n 次去掉()11n k k -+个长度为()121nk +的开区间,剩下()1nk +个长度为()121nk +的闭区间,记为()112,,,nk n n nG G G +; 上述构造过程中开、闭区间个数及区间长度与分割次数间的关系件表3:第1次分割第2次分割第3次分割第n 次分割开区间个数 ()01k k + ()11k k +()21k k +()11n k k -+闭区间个数 1k +()21k + ()31k +()1nk +小区间长度121k + ()2121k +()3121k +()121nk +表3(4) 将上述过程无限进行. 最终得到一集合列()11211nk n nG GGG +=()=1,2n ，.作点集k P =1n n G ∞=.3.3 五分法下Cantor 集2P 的性质性质3.3.1 2P 是闭集.证明由2P 的构造过程可知,第一次去掉的开区间为11F 和21F ,第二次去掉的开区间为1234522222,,,,F F F F F 和62F ,那么由表2知,第n 次去掉的是11223,,,n n n n F F F -⨯,依次下去,可以推想,共去掉的开区间可表示为12311n m n n m F -∞⨯==,则123211[0,1]\n m n n m P F -∞⨯===,由闭集构造定理知2P 为闭集.性质3.3.2 2P 是完备集.证明由于2P 的邻接区间的作法,它们中的任何两个之间根本不存在公共的端点故2P 没有孤立点,因而2P 自密,又2P 是闭集,因此2P 是完备集.性质3.3.3 2P 没有内点.证明在2P 的作法中,“去掉”过程进行到第n 次为止时,剩下3n 个长度是15n的互相隔离的闭区间,因此任何一点02x P ∈必含在3n 个闭区间的某一个里面.从而在0x 的任意邻域01(,)5n U x 内至少有一点不属于2P ,但105n →()n →∞,故0x 不是2P 的内点.性质3.3.4 2[0,1]\P 是可数个互不相交的开区间,其长度之和为1.证明在2P 的构造过程中,第n 次去掉的123n -⨯个长度为15n 的开区间,因2[0,1]\P中互不相交的开区间之和为11235n nn -∞=⨯∑1222323555n n-⨯⨯=+++ 11233(1)555n n --=⋅+++1=. 性质3.3.5 2P 是零测度集.证明用2c P 表示[0,1]上2P 的余集,则22[0,1]\c P P =.由性质3.3.4知()21cm P =.故()()()22[0,1]c m P m m P =-110=-=.性质3.3.6 2P 是不可数集.证明假设2P 是可数的,将2P 中点编号成点列1x ,2x ,,k x ,,也就是说,2P 中任一点必在上述点列中出现.显然,1[0,]5,23[,]55与4[,1]5中应至少有一个不含有1x ,用1G 表示这个闭区间.将1G 五等分后所得的三个闭区间中,应至少有一个不含2x ,用2G 表示它.然后用3G 表示五等分2G 时不含3x 的那个闭区间,如此下去.由归纳法,得到一个闭区间列{}k kN G ∈.由上述取法知,1G ⊃2G ⊃⊃k G ⊃,,k x ∉k G ,k ∈N ,同时,易见k G 的长为()105k k →→∞.于是根据数学分析中区间套定理,存在点∈ξk G ,k ∈N .可ξ是k G 的端点集的聚点,从而是闭集2P 的聚点,故∈ξ2P .由于上面已指出k x ∉k G ,k ∈N ,故≠ξk x ,k ∈N .这是一个矛盾.故2P 不可数.性质3.3.7 2P 非空.证明从2P 的构造过程来看,每个区间的端点,例如0,125,23,,12525这样的端点都是被保留下来的,故2P ≠∅.性质3.3.8[6] 2P 不含任何区间.证明由2P 的构造过程可知,第n 次分割后的第i ()1,2,,3n i =个小区间的长度为10()5n n L n =→→∞ 故2P 中不含任何区间. 性质3.3.9 2P 是疏朗集.证明由2P 的构造,02x P ∀∈和0ε>,0(,)U x ε内包含有无穷多个被去掉的小区间,因此02(,)U x P ε⊄,即2P 在0(,)U x ε中不稠密,根据定义2.5即得2P 是疏朗集. 性质3.3.10 2P 没有孤立点.证明由性质3.3.1知2P 是闭集,又由闭集构造定理知,闭集的孤立点一定是它的两个余区间的公共端点,由2P 的构造过程知,这样的公共端点是不存在的,即2P 没有孤立点.性质3.3.11 2P 与R 对等.证明由性质3.3.6知,2P c ==,又R c ==,从而2P R .由此说明2P 中的点与R 中的一样多.又因为2P ⊂[0,1]⊂R ,由此说明,“部分小于全体”的结论在无穷集合中是不成立的.4 Cantor 集的应用Cantor 集的巧妙构思和它奇特的性质为构造一些反例提供了启示,也为一些题目的证明与求解带来的方便,下面将分别举例来说明.4.1 Cantor 集在反例中的应用.例1 孤立点集必是疏朗集,而疏朗集未必是孤立点集. 例如 Cantor 集中的任一元都是疏朗集,但不是孤立点集. 例2 存在R 中零测度集E ,使得对每个x E ∈及任意0δ>,有E(0,x δ-)0x δ+为不可数集.此题中可取{},E P Q x y x P y Q =+=+∈∈.其中P 为Cantor 集,Q 为有理数集.例3 在[]0,1上做出的完备疏朗集的测度必为1. 反例 2P 是[]0,1上的完备疏朗集,但其测度为零.例 4 可数集的测度为零,但测度为零的集合未必都是可数集. 反例 2P 的测度为零,但它是不可数集. 4.2 Cantor 集及其性质在证明题中的应用.例1[8] 无理数在R 中是稠密的,但由无理数组成的疏朗的完全集是存在的.证明任取两个无理数α和β()αβ<,设闭区间[],αβ中有理数为{}12,,,,n r r r ,仿照Cantor 集的构造法,第一步,从[],αβ中挖掉开区间1F ,1F 满足以[],αβ的中点为中点,长度小于βα-且包含1r ;从余下的两个闭区间中挖掉与1F 性质类似的两个开区间12F 和22F ,且使122r F ∈,232r F ∈,如此这样做下去,[],αβ中余下的即是一个由无理数组成的疏朗的完备集.例2 设P 是Cantor 集,E 在[]0,1中为不可数集,在[]0,1上定义函数[]22,,()4,0,1.x x P E f x x x PE +∈⎧⎪=⎨+∈-⎪⎩判断()f x 在[]0,1上是否可测.解由性质3.3.5知,0mP =.又P E P ⊂,由测度的非负性及单调性,有()0m PE ≥,()m PE mP ≤故()0m PE =即2()4f x x →+.a e 于[0,1],从而()f x 在[0,1]上可测.例3 设()f x 在集合2P 上为1,而在2P 的补集G 中的长度为15n的构成区间上()f x 为n ,求积分10()f x dx ⎰.解记n G 为G 中长度为15n 的各个开区间之并,则nG 有123n -⨯个长度为15n的开区间且115n n G ∞==∑,1235n n nmG -⨯=. 由题意知21,,()(1,2,),.x P f x n n x G ∈⎧==⎨∈⎩1()f x dx ⎰=2()()P G f x dx f x dx +⎰⎰=21()nP G n f x dx ndx ∞=+∑⎰⎰1nG n ndx ∞==∑⎰=1n n n mG ∞=⋅∑=111235n n n n ∞-=⋅⨯⋅∑=12335nn n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ 令12335nN N n S n =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑,则11323535n N N n S n +=⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑. 21323333535555N N N N S S N +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即23211555NN S N ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭535252NN S N ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5355lim lim 2522N N N N S N →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故105()2f x dx =⎰.5 小结综合上述内容,根据Cantor 三分集的构造特征,对其构造进行了拓展,即以五分法构成了2P ,并对集合2P 所具有的性质做了探究证明,进而发现在五分法下构成的集合2P 具有与Cantor 三分集完全相同的奇特性质.从而揭示了Cantor 三分集这种奇特的构造方法并非偶然.之后通过实例将Cantor 三分集、五分集及其性质得以运用,特别是在范例中的运用破除了一些似是而非的错觉,体现了Cantor 集在数学问题的解决中的重要性. 致谢诚挚的感谢郭金生老师的悉心指导！参考文献[1]于兴太,杨明顺.Cantor 三分集构造方法探究[J].江西科学学报,2010,28(2):147-149. [2]程其襄等.实变函数与泛函分析基础[M].三版.高等教育出版社,2010,6. [3]刘培德.实变函数教程[M].科学出版社,2006.[4]徐森林,薛春华.实变函数论[M].清华大学出版社,2009,8.[5]夏道行,吴卓人等.实变函数论与泛函分析[M].二版.高等教育出版社,2010,1. [6]熊国敏.谈谈Cantor 集[J].安顺师专学报,2002,4(4):53-55.[7]王有一.Cantor 集合的应用[J].宝鸡文理学院学报(自然科学版),1994,1(1):122-125. [8]董大校.Cantor 集性质的应用[J].玉溪师范学报2009,25(8):18-22.。