金典教案-辅助角公式(精编文档).doc

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辅助角公式sin cos )a b θθθϕ+=+教学应注

意的的几个问题

在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+

)θϕ+或sin cos a b θθ+

cos()θϕ-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式.

一.教学中常见的的推导方法

教学中常见的推导过程与方法如下

1.引例

例1

α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3

π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:

可见

, α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.

一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢?

2.辅助角公式的推导

例2 化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式.

解: asin θ+bcos θ

sin θ

cos θ),

①

=cos ϕ

ϕ,

则asin θ+bcos θ

θcos ϕ+cos θsin ϕ)

θ+ϕ),(其中tan ϕ=b a ) ②

=sin ϕ

ϕ,则asin θ+bcos θ

θsin ϕ+cos θcos ϕ

s(θ-ϕ),(其中tan ϕ=a b ) 其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由

tan ϕ的值求出.或由tan ϕ=b a 和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和大量的练习.

但是这种推导方法有两个问题:

一是为什么要令

=cos ϕ

=sin ϕ?让学生费解.二是这种 “规定”式的推导,学生难记易忘、易错!

二.让辅助角公式sin cos a b θθ+

)θϕ+来得更自然

能否让让辅助角公式来得更自然些?这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.

首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.

故有ab ≠0. 1.在平面直角坐标系中,以a 为

横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角ϕ,它的终

边经过点P.设

由

三角函数的定义知

sin ϕ=b r

cos ϕ

=a r =. 所以asin θ+bcos θ

ϕ sin θ

ϕcos θ

)θϕ+.(其中tan ϕ=b a ) 2.若在平面直角坐标系中,以b 为横坐标,以a 为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一

个角ϕ的终边经过点P(b,a),设

OP=r,则

r=.由三角函数

的定义知

sin ϕ=a r

, cos ϕ=b r

asin θ+bcos θ

sin cos ϕθϕθ+

s()θϕ-. (其中tan ϕ=a b

) 例3

cos θθ+为一个角的一个三角函数的形式. 解:在坐标系中描点

P(设角ϕ的终边过点P,则OP

ϕ=12

,cos ϕ=2.

∴cos θθ+=2cos ϕsin θ+2sin ϕcos θ=2sin(θϕ+

).tan ϕ=3

. 26k πϕπ

=+,cos θθ+=2sin(6πθ+).

经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式

asinθ+bcosθ

=

(sinθ

+cosθ

)=

)

θϕ

+,(其中tanϕ=

b

a

).或者

asinθ+bcosθ

=

(sinθ

+cosθ

)=

)

θϕ

-,(其中tanϕ=

a

b

)

我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理

解asinθ+bcosθ

凑成

sinθ

cosθ)的

道理,以及为什么只有两种形式的结果.

例4

化sinαα

-为一个角的一个三角函数的形式.

解法一:点

(1,-)在第四象限.OP=2.设角ϕ过P点.

则

sin

2

ϕ=-,

1

cos

2

ϕ=.满足条件的最小正角为

5

3

π,

5

2,.

3

k k Z

ϕππ

=+∈

1

sin2(sin cos)2(sin cos cos sin)

22

55

2sin()2sin(2)2sin().

33

k

αααααϕαϕ

αϕαππαπ

∴-=-=+

=+=++=+

解法二:点

P(-,1)在第二象限,OP=2,设角ϕ过P点.则

1

sin

2

ϕ=

,cos

2

ϕ=-.满足条件的最小正角为

5

6

π,

5

2,.

6

k k Z

ϕππ

=+∈

1

sin2(sin cos)2(sin sin cos cos)

22

55

2cos()2cos(2)2cos().

66

k

αααααϕαϕ

αϕαππαπ

∴-=-=+

=-=--=-

三.关于辅助角的范围问题

由sin cos)

a b

θθθϕ

+=+中,点P(a,b)的位置可知,