2.2 力矩和力偶
《力矩和力偶》 讲义
《力矩和力偶》讲义一、引言在物理学和工程学中，力矩和力偶是两个非常重要的概念。
它们对于理解物体的旋转运动、机械系统的工作原理以及结构的稳定性都起着至关重要的作用。
接下来，让我们深入探讨一下力矩和力偶的相关知识。
二、力矩的定义和概念力矩，简单来说，就是使物体绕着某个固定点或轴转动的趋势。
它等于力与力臂的乘积。
力臂是指从转动轴到力的作用线的垂直距离。
如果用M 表示力矩，F 表示力，L 表示力臂，那么力矩的计算公式就是 M ＝ F × L 。
为了更好地理解力矩，我们可以想象一个门。
当我们在门的把手处施加一个力来推动或拉动门时，门就会绕着门轴转动。
施加的力越大，或者力臂越长，产生的力矩就越大，门就越容易转动。
在实际生活和工程应用中，力矩的概念无处不在。
例如，用扳手拧螺丝时，我们通过施加力在扳手上，利用扳手的长度（力臂）产生足够的力矩来拧紧或松开螺丝。
三、力矩的性质1、力矩的方向力矩是一个矢量，它的方向根据右手定则来确定。
伸出右手，让四指沿着力臂的方向弯曲，大拇指所指的方向就是力矩的方向。
2、合力矩定理当一个物体受到多个力的作用时，这些力对某一点的合力矩等于各个分力对同一点的力矩的代数和。
3、力矩的平衡如果一个物体处于静止状态或者绕某一轴匀速转动，那么作用在物体上的所有力矩之和为零。
这就是力矩平衡的条件。
四、力偶的定义和概念力偶是由大小相等、方向相反、但不共线的两个平行力所组成的力系。
这两个力的作用线之间的垂直距离称为力偶臂，力偶中的力与力偶臂的乘积称为力偶矩。
力偶的特点是它不能用一个单一的力来等效替代，只能产生转动效应。
例如，用两只手同时在方向盘的两侧施加方向相反、大小相等的力，方向盘就会转动，这就是力偶的作用。
五、力偶的性质1、力偶无合力由于力偶中的两个力大小相等、方向相反且不共线，所以它们的合力为零。
但这并不意味着力偶没有作用效果，它能够使物体产生纯转动。
2、力偶矩的大小和方向力偶矩的大小等于其中一个力的大小与力偶臂的乘积，其方向由力偶的转向决定。
力系的简化和平衡-2.2力矩和力偶
定理叙述：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等
于各分力对同一点力矩的代数和
n
M o FR
M o Fi
i 1
定理证明：
FR
F1
r
A
O
Fn
F2 Fi
若 n 个力汇交于A点，则其合力为：
n
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
r 用 同时矢积上式两端
r FR
r F1
zFx
xFz
j
xFy yFx k
由此可得：
M x
F
yFz zFy
M y
F
zFx xFz
M z F xFy yFx
Fz Fx Fy
18
力矩的单位： N m 或 kN m
B
Mo(F)
r
O
h
F
A
③力对点之矩矢的性质： a) 当力沿其作用线移动时，
M O F 保持不变。
12
①力对点之矩矢的概念 力对刚体产生的绕点转动效应取决于三要素： a.强度：力与力偶臂乘积 b.方位：转动轴的方位 c.方向：转动方向
13
力矩矢量的方向
MO
r
F
按右手定则
MO r F
14
②力对点之矩矢的矢量积和解析表达式
B
Mo(F)
r
O
h
F
A
力矢： F Fx , Fy , Fz
求： 光滑螺柱AB所受水平力。
解：由力偶只能由力偶平衡的 性质，其受力图为：
M 0
FAl M1 M 2 M 3 0
解得
FA
FB
M1
M2 l
M3
200N
人教版高中物理选修(2-2)《力矩和力偶》ppt课件1
力矩、力偶
§2-2 力矩、力偶
第二节 念、力偶矩计算公式
(力 §2-21、力对点之矩 力矩、力偶
扳手拧螺母，使得扳手与螺母绕定点O转动，称为
矩)
力F对O点之矩，简称力矩。
矩心 ：O
力臂：d
2、力矩计算公式（重点）
§2-2 力矩、力偶
O
§2-2 力矩、力偶
3、力矩的性质 （1）当力的大小等于零或力的作用线通过矩心时，力 矩为零 （2）当力沿其作用线移动时，力矩不变。 （3）力矩的大小不仅与力的大小有关，同时与矩心的 位置有关。
§2-2 力矩、力偶
4、讨论：如图所示，怎样利用力矩的原理来 提高转动效应？
1、增加力的大小
O
2、增加力臂的长度
M。（F）=±Fd
M。（F）—力矩，力F对点0之矩。
符号：“＋ ”—— 使物体逆时针转动时为正； “－” —— 使物体顺时针转动时为负。
F—力
d—力臂，力F作用线与矩心的垂直距离。
单位：N.m(牛顿.米)
§2-2 力矩、力偶
例：如图，已知F＝100N，d=10cm,求力F对O 点之矩。
M O ( F ) Fd 100 0.1 10 N .m
§2-2 力矩、力偶
第二节 力矩、力偶
力矩概念、计算公式、性质 力偶概念、力偶矩计算公式
§2-2 力矩、力偶
二、力偶
力偶实例
§2-2 力矩、力偶
1、力偶
力偶作用面——力偶所在平面。
A
F
d
B
F
力偶——两个大小相等、方 向相反、作用线平行的一对 平行力。(Fˊ、F) 力偶臂——力偶中两力作用线 之间的垂直距离。(d)
项目二 平面力系 任务二 力矩与力偶
• M1=F1d1，M2=F2 d2
• 现求其合成结果。在力偶作用面内任取一线段AB=d， 根据力偶的等效性推论，在不改变力偶矩M1和M2的条 件下，将它们的力偶臂都改为d，于是得到与原力偶等 效的两个力偶。(Fpl，F'p1)和(Fp2，F'p2)，FP1和 FP2的大小可由下列等式算出：
• 所以 F= M/2AC= 2.5/0.3kN= 8.33kN
§2–6 力偶及其性质
一、 力偶和力偶矩
1、力偶——大小相等的二反向平行力。
d
⑴、作用效果：引起物体的转动。 F2
F1
⑵、力和力偶是静力学的二基本要素
力。偶特性一：
力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为 一个力。 力偶特性二：
力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶 等效），因而也只能与力偶平衡。
图2-15
• 通常把O点称为矩心，把h称为力臂，把力的大小与 力臂的乘积称为力对矩心的矩，简称力矩，用它来衡 量力F使物体绕矩心转动的效应。力矩用符号mO(F)表 示。
• 人为约定：使物体产生逆时针转动(或转动趋势)的力 矩为正(图2-17(a))；使物体产生顺时针转动(或转动趋 势)的力矩为负(图2-17(b))。在平面问题中力对点的 矩可表示为
量纲：力×长度，牛顿•米（N•m）.
§2–6 力偶及其性质
二、力偶的等效条件 1. 同一平面上力偶的等效条件
作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等 效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。
因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。
力矩与力偶
第2章力矩与力偶2.1力对点的矩从实践中知道，力对物体的作用效果除了能使物体移动外，还能使物体转动，力矩就 是度量力使物体转动效果的物理量。
力使物体产生转动效应与哪些因素有关呢？现以扳手拧螺帽为例，如图 2.1所示。
手加在扳手上的力F ，使扳手带动螺帽绕中心 0转动。
力F 越大，转动越快；力的作用线离转动中心越远，转动也 越快；如果力的作用线与力的作用点到转动中心0点的连线不垂直，则转动的效果就差；当力的作用线通过转 动中心0时，无论力F 多大也不能扳动螺帽， 只有当力 的作用线垂直于转动中心与力的作用点的连线时，转动 效果最好。
另外，当力的大小和作用线不变而指向相反 时，将使物体向相反的方向转动。
在建筑工地上使用撬 杠抬起重物，使用滑轮组起吊重物等等也是实际的例子。
通过大量的实践总结出以下的规律：力使物体绕某点转 动的效果，与力的大小成正比，与转动中心到力的作用线的垂直距离 d 也成正比。
这个垂直距离称为力臂，转动中心称为力矩中心 (简称矩心)。
力的大小与力臂的乘积称为力F 对点0之矩(简称力矩)，记作m °(F)。
计算公式可写为m °(F)二-F d式中的正负号表示力矩的转向。
在平面内规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时,力矩为正；力使物体作顺时针方向转动时，力矩为负。
因此，力矩是个代数量。
力矩的单位是N m 或kNm 。
由力矩的定义可以得到如下力矩的性质:(1)力F 对点0的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心的位置有关。
矩心的位置不 同，力矩随之不同;(2)当力的大小为零或力臂为零时，则力矩为零；⑶力沿其作用线移动时，因为力的大小、方向和力臂均没有改变，所以，力矩不变。
(4)相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。
例2.1分别计算图2.2中F ,、F 2对0点的力矩。
解 从图2 - 2中可知力F 1和F 2对0点的力臂是h 和|2。
(2.1)\P图2, 1故 m °(F)= ± F i l 1 = F i l 1 sin30° =49 X 0.1 X 0.5=2.45N.mm o(F)= ± F 2 l 2 = — F 2 l 2 = — 16.3 X0.15=2.45N.m必须注意：一般情况下力臂并不等于矩心与 力的作用点的距离，女口F 1的力臂是h ，不是11 。
力矩和力偶-人教版选修2-2教案
力矩和力偶-人教版选修2-2教案一、教学目标1.了解力矩和力偶的概念，理解它们的物理意义。
2.学会计算力矩和力偶。
3.学习如何应用力矩和力偶解决实际问题。
二、教学重难点1.理解力矩和力偶的概念。
2.掌握力矩和力偶的计算方法。
3.能够应用力矩和力偶解决实际问题。
三、教学内容1. 力矩的概念力矩是描述力对物体产生扭转效应的物理量。
当一个力作用于物体上时，它可能会引起物体旋转，这个旋转的效应就称为力矩。
力矩的大小等于力乘以力臂，力臂是力作用点到物体旋转中心的距离。
2. 力偶的概念力偶是两个大小相等、方向相反的力在同一直线上并分别作用于物体的两个点上时产生的物理效应。
力偶的大小等于其中一个力的大小乘以两个力的距离，方向垂直于该直线。
3. 力矩和力偶的计算公式•力矩的计算公式：$M = F \\times L$，其中M表示力矩，F表示作用力的大小，L表示力臂的长度。
•力偶的计算公式：$T = F \\times d$，其中T表示力偶，F表示其中一个力的大小，d表示两个力的距离。
4. 力矩和力偶的应用(1) 物体平衡问题物体平衡条件是所有受力和力矩都为零。
在处理物体平衡问题时，可以通过计算受力点数矩的和来确定力是否平衡。
如果受力点数矩为零，则物体受到的所有力矩相互抵消，物体处于平衡状态。
(2) 固定点和支撑点固定点是物体旋转中心，支撑点是受力的点。
在处理力矩和力偶的问题时，需要明确固定点或支撑点的位置，才能正确计算力矩和力偶。
(3) 机械设备设计在机械设备的设计中，经常需要考虑力矩和力偶。
比如，在机器人的关节处需要合理分布力矩，以保证机器人能够移动和控制。
四、教学方法本节课采用讲授和案例分析相结合的教学方法来讲解力矩和力偶的概念和计算方法。
在讲解理论的同时，结合实际应用，通过案例分析来加深学生对力矩和力偶的理解和掌握。
五、教学评价本节课采用理论讲解和案例分析相结合的教学方法，能够让学生更好地理解和掌握力矩和力偶的概念和计算方法。
《力矩和力偶》 讲义
《力矩和力偶》讲义在物理学和工程学中，力矩和力偶是两个非常重要的概念。
它们在理解物体的转动和平衡等方面起着关键作用。
接下来，让我们深入了解一下力矩和力偶。
一、力矩力矩，简单来说，就是使物体转动的能力。
想象一下，你试图用扳手拧松一个螺丝。
当你在扳手的一端施加一个力时，这个力能够使螺丝转动，而衡量这个转动效果的物理量就是力矩。
力矩的大小等于力的大小乘以力臂的长度。
力臂是从转动轴到力的作用线的垂直距离。
如果用 M 表示力矩，F 表示力，L 表示力臂，那么力矩的计算公式就是 M ＝ F × L 。
例如，一个力为 10N，作用点距离转动轴 2m，力臂就是 2m，那么力矩就是 10×2 ＝ 20N·m 。
力矩的方向遵循右手定则。
伸出右手，让四指沿着力绕轴转动的方向弯曲，那么大拇指所指的方向就是力矩的方向。
在实际生活中，力矩有很多应用。
比如开门时，我们在门把手上施加一个力，通过长长的力臂产生较大的力矩，从而轻松地把门打开。
二、力偶力偶是由两个大小相等、方向相反、但不在同一直线上的平行力所组成的系统。
这两个力的合力为零，但它们能够使物体产生转动。
力偶的作用效果仅仅取决于力偶矩的大小和方向，而与力偶中两个力的作用点的位置无关。
力偶矩等于其中一个力的大小乘以两个力之间的垂直距离，即力偶臂。
假设力偶中的两个力大小都为 F ，力偶臂为 d ，那么力偶矩 M 就等于 F × d 。
力偶在工程和日常生活中也很常见。
比如，用两个手指拧动螺丝帽，或者汽车的方向盘在转动时，都是力偶在起作用。
三、力矩与力偶的关系力矩和力偶既有联系又有区别。
联系在于，力偶可以看成是由一对特殊的力矩组成，这对力矩的大小相等、方向相反，且都作用在同一物体上。
区别在于，力矩是单个力对物体转动效果的度量，而力偶是两个力的组合对物体转动效果的度量。
此外，单个力矩可以使物体产生转动和平动，而力偶只能使物体产生纯转动。
四、力矩和力偶的平衡当一个物体处于平衡状态时，作用在它上面的所有力矩和力偶的总和必须为零。
汽车机械基础项目1任务2力矩和与力偶的计算
PART 05
实际应用案例分析
REPORTING
WENKU DESIGN
汽车发动机中的力矩计算
总结词
理解力矩在汽车发动机中的重要性
详细描述
在汽车发动机中，力矩是评估发动机性能的关键参数。通过计算力矩，工程师可以 了解发动机的输出功率、加速性能和燃油经济性。力矩的计算公式为M=F×d，其中 F是作用在物体上的力，d是力臂，即力和转动轴之间的距离。
力矩的定义
力矩
力对物体产生转动作用的物理量，用 字母M表示。
单位
国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米 （N·m）。
力矩的物理意义
力矩描述了力使物体 绕某点转动的效应， 是描述力的转动效果 的物理量。
力矩的物理意义在于 揭示力和转动之间的 内在联系。
当力矩作用在物体上 时，会使物体产生转 动或加速转动的效果。
PART 04
力矩与力偶的关系
REPORTING
WENKU DESIGN
力矩与力偶的相似性
均描述力的转动效果
力矩和力偶都能描述力对物体转动的效应，是描述力的转动效果 的两种物理量。
单位相同
力矩和力偶的单位都是牛顿·米（Nm），是国际单位制中的导出 单位。
遵循相似的计算法则
力矩和力偶的计算都遵循平行四边形法则，即力的作用点、转动 轴和转动角度是计算力矩和力偶的关键因素。
在汽车工程中，力矩和与力偶的计算是评估发动机、传动 系统和悬挂系统性能的关键因素，对于提高车辆的动力性、 经济性和稳定性具有重要作用。
在航空航天领域，力矩和与力偶的计算对于飞行器的设计 和优化同样具有重要意义，直接影响到飞行器的性能和安 全性。
2.2力矩和力偶
例 2 求图中荷载对A、B两点之矩
解： 图（a）：
(a)
(b) MA = - 8×2 = -16 kN ·m
MB = 8×2 = 16 kN ·m
图（b）： MA = - 4×2×1 = -8 kN ·m MB = 4×2×1 = 8 kN ·m
第二节 力偶
一、力偶 力偶矩 在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反， 但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如 （图a）司机转动驾 驶汽车时两手作用在方 向盘上的力； （图b）工人用丝锥 攻螺纹时两手加在扳手 上的力； （图c）以及用两个 手指拧动水龙头所加的 力等等。
F F
A
刚 体
B
附加力偶
个力分解为一个力和一个力偶；反 过来，也可以将同一平面内的一个 力和一个力偶合成为一个力。
力的平移定理表明， 可以将一
应该注意，力的平移定理只适 用于刚体，而不适用于变形体，并 且只能在同一刚体上三角形OAB的面积的两 倍表示，即 Mo(F)＝±2Δ ABC 在国际单位制中，力矩的单位是牛顿•米（N•m ） 或千牛顿•米（kN•m）。 由上述分析可得力矩的性质： （1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的 位置有关。力矩随矩心的位置变化而变化。 （2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线 移动而改变，再次说明力是滑移矢量。 （3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等 于零。
1．力偶：在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶，用符号 ( F ,F′)表示。 两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂， 两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。
2．力偶矩：
作为力偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩， 用 m 或m( F ,F′) 表示。在平面问题中，将力偶中 的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，如图 所示，
力偶矩和力矩
力偶矩和力矩一、力偶矩的定义和概念1.1 力偶的概念力偶是由两个大小相等、方向相反的力构成的力对，它们的作用线平行但不共线。
力偶可用一个力矩矢量来表示，该矢量的大小等于其中一个力的大小乘以它们之间的距离，方向垂直于作用线，符合右手定则。
1.2 力偶矩的定义力偶矩是力偶对物体所产生的力矩，它描述了力偶对物体的“扭转”效果。
力偶矩的大小等于力偶矩矢量与力偶矩臂之间的夹角的正弦值乘以力偶的大小。
二、力矩的定义和性质2.1 力矩的定义力矩是描述力对物体产生“转动效果”的物理量。
力矩的大小等于力的大小与作用力臂之间的乘积，方向垂直于力矢量和作用力臂所在的平面，符合右手定则。
2.2 力矩的性质•力矩与力的大小和力臂长度成正比。
•作用在刚体上的一组力的合力矩等于各个力矩的矢量和。
•如果合外力矩为零，则刚体处于平衡状态。
三、力偶矩和力矩的关系3.1 力偶矩和力矩的相似性力偶矩和力矩在物理学中有很多相似之处。
它们都描述了力对物体的“扭转”效果，都与力的大小、作用线和作用力臂有关。
力偶矩和力矩都可以用矢量来表示，且方向垂直于力的作用线和作用力臂所在的平面。
3.2 力偶矩的计算方法对于一个力偶，可以通过计算其中一个力的力矩再乘以其距离来得到力偶矩的大小。
力偶矩的方向垂直于力的作用线，遵循右手定则。
3.3 力偶矩和力矩的关系可以发现，力偶矩可以被看作是一种特殊的力矩。
力偶可以看作是由两个大小相等、方向相反的力构成的力对，而力矩是由一个单一的力对物体产生的扭转效果。
力偶矩的计算方法与力矩一致，只是力偶矩的距离是两个力之间的距离。
两者都可以用矢量来表示，并且方向都垂直于力的作用线和作用力臂所在的平面。
四、力偶矩和力矩在实际中的应用4.1 力偶矩的应用•力偶矩常被应用于刚体平衡问题的分析中，用于计算刚体所受到的力矩以及刚体的平衡条件。
•力偶矩也常用于描述弹簧力和扭矩等力学现象。
•在工程领域，力偶矩的概念被广泛应用于机械设计和结构分析中，用于计算物体的稳定性和强度等参数。
高中物理选修2-2力矩和力偶
力偶的三要素：力偶的大小 转向 作用面
2 力偶的性质
力偶对其作用面内任意点的力矩值恒等于此力 偶的力偶矩，而和力偶与矩心间的相对位置无 关。
力偶无合力，在任何坐标轴的投影和恒为零。 力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来平 衡，力偶只能用力偶平衡。
力偶的等效性，在同一平面内的两个力偶， 如果它们的力偶矩大小相等，转向相同，则两 力偶等效，且可以相互代换。此即为力偶的等 效性。
扳手的力矩
例9-1：如图所示圆柱直齿轮，分度圆半径 r=80mm，Fn=1000N，a=20°，试计算力对轴心 0的力矩。
解： (1)按力对点之矩的定义
Mo(Fn)=Fncos20° =1000×cos20°×0.08=-75.2N·m (2)按合力矩定理得
Mo(Fn)=Mo(Ft)+Mo(Fr) =Fncosa+Fnsina × 0 =1000N·m×cos20°r+0N·m=-75．2N·m
MO(F)=±Fd
（N mm）
O点称为力矩中心，简称矩心；D点到F作
用线的垂直距离d称为力臂。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
式中正负号表明对点之矩是一个代数量，
其正负规定为：力使物体绕矩心作逆时针方
向转动时，力矩为正，反之为负。
2 合力矩定理
若力系有合力，则合力对某点之矩等于各个 分力对同一点之矩代数和。即 MO(FR)=Mo(F1)+Mo(F2)+…+Mo(Fn)=∑Mo(F) 其中FR是F1、F2、…、Fn的合力。
高中物理选修2-2
第三章 物体的受力及其分析
第二节 力矩与力偶
内容
力对点之矩与和力矩定理 力对点之矩 合力矩定理
力偶及其性质
建筑力学 第2章 力力矩力偶
图（a)
图（b)
4、作用与反作用定律 两物体间相互作用的力（作用力与反作力） 同时存在，大小相等，作用线相同而指向相反。
这一定律就是牛顿第三定律，不论物体是 静止的或运动着的，这一定律都成立。
与二力平衡区别，作用于两个物体上。
FT FT
P
P
y
y
A
o
B
b1 Fy a1 A
b
x o
Fx
FB
Fy
I
E
D
出各构件的受力图。 P
例 题 1-4
解：
1. 杆 AB 的受力图。
FAB
C
A
B FBA
2. 杆 BC 的受力图。
A
45
H B F
FBy
FCB
C
H
45
B F
FBx
I
E
D
FTH
FTF
B
FBC
P
3. 轮 B (B处为没 有销钉的孔）的受
力图。
例 题 1-4
5. 轮 D 的受力图。 4. 销钉 B 的受力图。
支座特点：允许结构绕A转动，但不能移动。 约束反力：通过铰A的中心，但指向和大小均未知。
5. 可动铰支座 在固定铰支座下面加几个辊轴支承于平面上，就构成可 动铰支座。 支座特点：限制了杆件的竖向位移，但允许结构绕铰作 相对转动，并可沿支座平面方向移动。 约束反力：作用点确定，即通过铰中心并与支承平面相 垂直，但指向未知。
图 a 平行光线照射 下物体的影子
a
图b 力在坐标轴上的投影
a
Fx
b
x
由图b知，若已知力 F 的大小 和其与x轴、y轴的夹角为 ，则力在x、y轴上的投影为 、
2.2 力矩和力偶
∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑MO(F)=0
上述三组方程是平面一般力系平 衡方程的三种表达形式，实际计算时 应根据问题的具体条件来选择其中的 一组方程。但不论采用哪种形式，都 只有写出三个独立的平衡方程才可以 求解三个未知量。
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
例1-8
已知F=15kN，M=3kN.m，求A、B处支座反力 解：
y
Fx
F
（二）合力矩定理
合力对平面内任意一点之矩， F 等于所有分力对同一点之矩的代数 和。
o
r
d
x
A
y
Fy
x
M O F M O F1 M O F2 M O Fn
即：
Mo (FR ) Mo (F )
利用合力矩定理可以简化力矩的计算
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
• 【例2.1】如图所示每1m长挡土墙
• 所受的压力的合力为F，它的大小为 • 160kN，方向如图所示。求土压力F
• 使墙倾覆的力矩。
• 【解】土压力F 可使墙绕点A倾覆， • 故求F 对点A的力矩。 • 采用合力矩定理进行计算比较方便。 • MA(F) =MA(F1)+MA(F2)=F1×h/3-F2b
§2-2 力矩和力偶
一、 力矩
（一）力对点之矩
实践经验告诉我们：力F使物体绕某点O转动的效应，不仅与 力F的大小成正比，而且还与力F的作用线到O点的垂直距离d 成正比。
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
一、 力矩
（一）力对点之矩
l
d
A
o
将力F与O点到力F作用线的垂直距离d的乘积Fd并加上 正负号称为力F对O点的力矩，用MO(F)表示，即
力矩力偶与力的平移详细版课件
正负号表示两种不同的转向，使物体逆转，正值；顺转，负值
“＋ ”—— 使物体逆时针转时力矩为 正；
“－” —— 使物体顺时针转时力矩 为负。
由力矩的定义可知：
（1）当力的大小等于零或力的作用线通过矩心（力臂
d=0）时，力矩等于零；
（2）当力沿其作用线移动时，力矩不变。
.精品课件.
1
§2-力矩、偶与的平移“＋”—使物体逆时针
§2-2 力矩、力偶与力的平移
例2-1 已知 a、b、F、，求力F对O点的矩。
解： F Fx Fy
Fx Fcos Fy Fsin
Fy
F
MO F MO Fx MO Fy
Fxb Fya
Fbcos Fasin
F asin bcos
二、力偶 力偶实例
F1 F2
.精品课件.
5
§2-力矩、偶与的平移二实例F1.精品
力偶实例
.精品课件.
6Leabharlann §2-力矩、偶与的平移实例.精品课件7
1.力偶
力偶——两个大小相等、方
A
F d
向相反且不共线的平行力组
C 成的力系。(Fˊ、F)
F
力偶臂——力偶的两力之间的
B
垂直距离。(d)
力偶矩：
力偶的作用面——力偶中两力 所在平面。
M
M
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§2-力矩、偶与的平移(b)只要保持大小和转向
M
11
三、力的平移定理
作用于刚体上的力，可平移至 该刚体内任一点，但须附加一力偶， 其力偶矩等于原力对平移点之矩。
M B M B (F ) Fd
B
F (加)
F
力矩与平面力偶系
力矩与平面力偶系2.2.1 力对点之矩(简称为力矩)1.力对点之矩的概念为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。
（F）来表示，即力对点之矩用MOMo(F) = ± Fd一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。
Mo(F) = ± 2△OAB力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。
矩心不同，力矩不同。
规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。
力矩的单位是Nmm。
由力矩的定义可知：（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。
（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。
力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。
2.合力矩定理设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。
计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则---由上图可以看出，合力F对O点的矩为据合力投影定理，有F y=F1y+F2y+---+F ny两边同乘以l，得F y l=F1y l+F2y l+---+F ny l即M o(F)=M o(F1)+M o(F2)+---+M o(F n)合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。
3.力对点之矩的求法(力矩的求法)（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。
注意：力臂d 是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。
例2-3 如图所示，构件OBC 的O 端为铰链支座约束，力F 作用于C 点，其方向角为α，又知OB=l，BC=h ，求力F 对O 点的力矩。
解 （1）利用力矩的定义进行求解如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段o a。
第一章 杆件的静力学分析 第二节 力矩与力偶
图1-23力偶的投影
· 性质2：力偶对其作用面内任一点之矩恒为常数，且等于力偶矩，与矩心的位置无关（图124）。
○为力偶（Ｆ，Ｆ′）作用平面内任
意一点。 M○（Ｆ，Ｆ′）＝-Ｆ ′· x+Ｆ（x+d ） = -Ｆ′· x+Ｆx+Ｆd） ＝+Ｆ· d 图1-24力偶对其平面内任意点之矩 ＝M（Ｆ，Ｆ′）
作业：习题集相关题
1.2.2力偶的概念
1．什么是力偶 大小相等、方向反向、作用线平行但不共线的两个力。 用符号（F，F′）表示。 两个力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂； 两力作用线所确定的平面称为力偶的作用面。
（a）
（ｂ） 图1-22力 偶
（ｃ）
（ｄ）
第1 章
杆件的静力分析
2．力偶的作用效应 使刚体产生转动效应。 3．力偶矩
-
一方面可以增加力的大小
更有效的办法是增加力臂的长度
正负规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时， 力矩为正，反之为负。力矩的单位名称为牛顿· 米， 符号为Ｎ· m。 力矩为零的两种情况：（1）力等于零；（2） 力的作用线通过矩心，即力臂等于零。 应当注意：一般来说，同一个力对不同点产 生的力矩是不同的，因此不指明矩心而求力矩是
力偶矩是力偶中的一个力的大小和力偶臂的乘积
并冠以正负号。用来表示力偶在其作用面内使物体产 生转动效应的度量，用Ｍ或Ｍ（F，F′)表示。
M＝±Fd
（1-3）
力偶矩是代数量，一般规定：使物体逆时针转动 的力偶矩为正，反之为负。力偶矩的单位是N•m，读作 “牛米”。
4．力偶的性质 性质1：力偶中的两个力在其作用面内任意坐标轴上的投影的代数和等于零，如图123所示，因而力偶无合力，也不能和一个力平衡，力偶只能用力偶来平衡。
第二章-力-力矩-力偶
动的状态。
§2-1-2 力学基本公理
公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被 反复的实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。
公理1 二力平衡公理（P17 性质四）
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：
这两个力大小相等 | F1 | = | F2 | , ( F1 = F2 )
d
Pn
D 2
cos
75.2 N m
②应用合力矩定理
MO (Pn ) MO (P ) MO (Pr )
Pn
cos
D 2
0
75.2 N m
§2-3-1 力偶（P25 §2-3 ）
一、 力偶的定义 两个大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。 二、力偶的性质 1 性质1 力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的 平行四边形的对角线来表示。
R F1 F2
推论2：三力平衡汇交定理 刚体受三力作用而平衡，若其中两力作
用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交 于同一点，且三力的作用线共面。（不平行 的三个力平衡的必要条件）
m 0 m1 m2 NA l cos 0
解得：
m2 m1 cos 2
§2-3-3 空间力对点之矩与空间力偶
一、力对点的矩 ⒈ 空间力对点之矩三要素
决定力对刚体的作用效应,除力矩的大小、力矩的转向外, 还须考虑力与矩心所组成的平面的方位，方位不同，则力对物 体的作用效应也不同。所以空间力对 刚体的作用效应取决于下列三要素：
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M o ( F ) Fd
o 点称为力矩的中心，简称矩心；o 点到力 F 作用 线的垂直距离 d ,称为力臂。
力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为正，反之为负。
力矩的单位：国际制
N，m
kN m
kg m
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
一、 力矩
（一）力对点之矩
∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑MO(F)=0
上述三组方程是平面一般力系平 衡方程的三种表达形式，实际计算时 应根据问题的具体条件来选择其中的 一组方程。但不论采用哪种形式，都 只有写出三个独立的平衡方程才可以 求解三个未知量。
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
例1-8
已知F=15kN，M=3kN.m，求A、B处支座反力 解：
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
二、力偶
1. 力偶的概念
把作用在同一物体上大小相等、方向相反但不共线的 一对平行力组成的力系称为力偶，记作（F,F`）
F
d
力偶臂
F'
力偶作用面
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
二、力偶
2. 力偶矩
在力偶作用面内，力偶对物体的转动效应取决于力偶中力和力 臂乘积的大小以及力偶的转向。因此，在力学中用力的大小F与力 偶臂d的乘积Fd加上正负号作为度量力偶对物体的转动效应的物理 量，称为力偶矩。
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
§1-7 平面力系的平衡
二、平面一般力系的平衡条件
2、平面一般力系的平衡条件 其他形式：
∑Fx=0
二力矩式
∑MA(F)=0
∑MB(F)=0
其中A、B两点连线不能与x轴垂直。
三力矩式
M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 其中A、B、C三点不能共线。。 M C ( F ) 0
1、画受力图，并建立坐标系
2、列方程
F
M
x
A
0 FAx 0
(F ) 0
FB 3 F 2 M 0 FB (3 2 15) / 3 11kN
F
y
0
FAy FB F 0 FAy F FB 4kN
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
力偶对物体的作用效应只有转动效应，而转动效应由 力偶的大小和转向来度量，因此，力偶系的作用效果也 只能是产生转动，其转动效应的大小等于各力偶转动效 应的总和。可以证明，平面力偶系合成的结果为一合力 偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即：
M=M1+M2+…+Mn=∑Mi
(1.14)
建筑力学与结构基础
M M1 M2
Mn Mi =0
i 1
n
平面力偶系的平衡方程只有一个，只能求解一个未知数。
休息时间
y
Fx
F
（二）合力矩定理
合力对平面内任意一点之矩， F 等于所有分力对同一点之矩的代数 和。
o
r
d
x
A
y
Fy
x
M O F M O F1 M O F2 M O Fn
即：
Mo (FR ) Mo (F )
利用合力矩定理可以简化力矩的计算
建筑力学与结构基础
§1-7 平面力系的平衡
二、平面特殊力系的平衡条件
1、平面汇交力系的平衡条件 ∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑MO(F)=0
在平面汇交力系中，因∑MO(F) ≡0 ，所以其平衡方程为：
∑Fx=0
∑Fy=0
平面汇交力系的平衡条件有两个独立的方程，可以求解两个未 知数。
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
平面汇交力系平衡条件的应用 [例] 已知 P=2kN 求FCD , RA
推论1：力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的 转动效应。
推论2：只要保持力偶矩的大小、转向不变，可以同时改变力 偶中的力和力偶臂的大小，而不改变它对物体的转动 效应。 M M
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
二、力偶
4. 平面力偶系的合成 在物体的某一平面内同时作用有两个或两个以上的 力偶时，这群力偶，就称为平面力偶系。
要想把力平移而又不改变其对物 体的作用效果，需要附加什么条件 呢？呢？
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
§1-7 平面力系的平衡
一、力的平移定理
作用在刚体上的力可平移到该刚体内任一指定点，但必 须同时附加一力偶才能与原力等效，附加的力偶矩等于原力 对该指定点之矩。
力的平移定理是力系简化的 基础。
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
§1-7 平面力系的平衡
二、平面一般力系的平衡条件
1、平面一般力系的合成 要将平面一般力系合成，可应用力的平移定理，将 力系中各力都平移到平面内的任一点O（简化中心）， 于是得到一个汇交于O点的平面汇交力系和一个附加的 平面力偶系。平面汇交力系可以合成为作用在O点的一 个力和一个力偶。 可见，平面一般力系合成的结果，是一个力和一 个力偶。
F1
80mm
休息时间
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
§1-7 平面力系的平衡
一、力的平移定理
平面一般力系：同一平面上的各力既不全汇交于一点，也不全
互相平行。
在分析计算中，我们需要对平面一般力系进行简化，即简化为平面 汇交力系和平面力偶系。这就需要将力的作用线进行平移，但使力离开作 用线，平行移动到任一点上，就会改变它对物体的作用效果。
第二章 平面力系
• 【例2.1】如图所示每1m长挡土墙
• 所受的压力的合力为F，它的大小为 • 160kN，方向如图所示。求土压力F
• 使墙倾覆的力矩。
• 【解】土压力F 可使墙绕点A倾覆， • 故求F 对点A的力矩。 • 采用合力矩定理进行计算比较方便。 • MA(F) =MA(F1)+MA(F2)=F1×h/3-F2b
平衡。力偶在任意轴上的投影等于零。
（2）力偶对其平面内任意点之矩，恒等于其力偶矩，而与矩心的
位置无关。
（3）力偶的等效性。在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶
矩大小相等，力偶的转向相同，则这两个力偶是等效的。
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
二、力偶
根据力偶的等效性，可以得出以下两个推论：
解：①以AB杆为研究对象
②画AB杆的 受力图
③列平衡方程 ∑Fx=0 ∑Fy=0 ④解平衡方程
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
§1-7 平面力系的平衡
二、平面特殊力系的平衡条件
2、平面平行力系的平衡条件 ∑Fx=0 ∑Fy=0 ∑MO(F)=0
Fx 0 M A ( F ) 0 M B ( F ) 0
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
§1-7 平面力系的平衡
二、平面一般力系的平衡条件
2、平面一般力系的平衡条件
Fx 0 M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 M A ( F ) 0 M B ( F ) 0 M C ( F ) 0
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
一、 力矩
（一）力对点之矩
实践经验告诉我们：力F使物体绕某点O转动的效应，不仅与 力F的大小成正比，而且还与力F的作用线到O点的垂直距离d 成正比。
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
一、 力矩
（一）力对点之矩
l
d
A
o
将力F与O点到力F作用线的垂直距离d的乘积Fd并加上 正负号称为力F对O点的力矩，用MO(F)表示，即
第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
二、力偶
4. 平面力偶系的合成
例1-7
两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1=F2 = 1.5KN F3=F4 = 1KN,求作用在板上的合力偶矩。
F3
mm 180
F4
F2
【解】
M M1 M 2
F1d1 F3d 2
1.5 0.08 1 0.18 0.3kN m
M ( F , F ' ) Fd 或 M Fd
力偶矩的正负号的规定和单位跟力矩相同 3. 力偶的三要素 （1）力偶矩的大小； （2）力偶的方向； （3）力偶的作用面。
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
二、力偶
3. 力偶的性质
（1）力偶无合力，不能与一个力平衡和等效，力偶只能用力偶来
说明：
① 力矩是一个代数量； ② 力矩的大小与矩心的位置有关，同一个力对于不同 的矩心，力矩是不相同的。 ③力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果 一个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力 的作用线必通过该点。
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
§2-2 力矩和力偶
一、 力矩
（一）力对点之矩
建筑力学与结构基础
第二章 平面力系
1、平面一般力系的合成
F1 F2 O F3 F'n F'1 M1 O Mn M2 F'2
Fn F'1
M3 F'3
F'R
F'2 M1 O M2 O Mn M3
=
F'n
+
F'3
=
O