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从换元法,整体思想到函数的解析式

【基础内容与方法】

题目常见形式“已知()[]x g f 的解析式,求)(x f 的解析式.”

1.“整体代入法”是把)(x g 视为一个整体,将()[]x g f 的解析式转化为含)(x g 的表达式,然后直接整体代换)(x g ,即可求出解析式,此种方法不必求出x ,可以减少运算量.

2.“换元法”是通过引入参数t 进行式子的变形,从而得到)(x f 的表达式,这是解此类型题的通法.

类型一:已知f (x )的解析式,求f [g (x )]的解析式

例1:已知f (x )=2x 2+1,求f (x +1)的解析式.

类型二:已知f [g (x )] 的解析式,求f (x )的解析式

方法:通过引入参数t ,进行换元,分离相应的变量x,从而得到f (x )的解析式.

例2:已知函数f (1+x x )=1+x 2x 2+1x ,求f (x ) .

考点练习

1.设f (x )=2x +3,g (x )=f (x -2),则g (x )等于( )

A .2x +1

B .2x -1

C .2x -3

D .2x +7

2.已知f (x )是一次函数,且满足3f (x +1)=6x +4,则f (x )=________

3.设f (x )=11-x

,则f [f (x )]=________. 4.已知函数f (x )=x 21+x 2

. (1)求f (2)+f (12),f (3)+f (13)的值;

(2)求证:f (x )+f (1x )是定值;

(3)求f (2)+f (12)+f (3)+f (13)+…+f (2 012)+f (12 012)的值.

[来

5.已知f (x +1)=x +2x ,求f (x ).

6.(1)已知af (x )+f (-x )=bx ,其中a ≠±1,求f (x );

(2)已知f (x )-2f (1x )=3x +2,求f (x ).

[

7.(1)已知函数f (x )是一次函数,若f [f (x )]=4x +8,求f (x )的解析式;

(2)已知f (x )是二次函数,且满足f (0)=1,f (x +1)-f (x )=2x ,求f (x )的解析式.

8.对1x ≠±的所有实数x ,函数()f x 满足122111x x f f x x x +⎛⎫⎛⎫-=

⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭

,求()f x 的解析式.

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