度量数论中若干分形集
分形学理论
分形学理论分形理论是20世纪后期创立并且蓬勃发展的新学科之一。
分形理论把传统的确定论思想与随机论思想结合在一起，使人们对于诸如布朗运动、湍流等大自然中的众多复杂现象有了更加深刻的认识，并且在材料科学、计算机图形学、动力学等多个学科领域中被广泛应用, 称为非线性科学研究的一个十分重要的分支。
一．分形学的产生在19 世纪初期到20 世纪中期期间, 一些数学家、生物学家、物理学家等曾经研究了大自然中物体和现象的几何形状, 大自然中的物体和现象举不胜举,但是这些物体和现象普遍具有复杂的不规则形状, 传统的欧氏几何学在描述这样的自然现象时显得苍白无力。
究其原因, 发现过去的几何对象都有其几何长度, 例如线段有长度、圆有半径和面积等, 而一棵树、一朵花、一片云却很难用长度、面积、体积等来描述其形状。
在传统的物理学研究之中, 牛顿的确定论是运动学的基础, 牛顿在表达物体运动时所用的质量、加速度、惯性等概念至今仍在沿用, 确定论是人们相信在研究星内一颗小球运动的时候没有必要考虑屋外一棵树上落下一片树叶的影响, 但是约在1960年时, 美国气象学家洛伦兹在通过一组微分方程组预报天气时发现: 如果将一次输入所得六位数结果四舍五入并作为第二次的输入值时, 这一步很小的误差却能造成结果的巨大差异, 洛伦兹为了强调某些系数对初始值强烈的敏感性, 在1979 年12月29 日的华盛顿科学促进会中, 提出了一个形象的提问: “一只蝴蝶在巴西扇动翅膀, 会在得克萨斯引起风暴吗? ”由此留下了“蝴蝶效应”的说法。
另外, 在1827 年就发现的布朗运动其轨迹的复杂性岩石在受击破碎时裂纹的复杂性等, 也很难用牛顿的确定论来描述, 传统的物理学也面临困境。
在化学领域里, 随着二十世纪初科学技术的发展, 有机物越来越受到人们的重视, 其中高分子已成为其中的重要的分支学科。
高分子分为两类: 一类是生物高分子, 如生物体中的核糖核酸、蛋白质等; 另一类是聚合高分子, 如塑料、橡胶、纤维等。
分形几何
分形几何作者：来源：《初中生世界·九年级》2014年第08期分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学. 相对于传统几何学的研究对象为整数维数，如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空，分形几何学的研究对象为分数维数，如0.63、1.58、2.72. 因为它的研究对象普遍存在于自然界中，比如云彩、闪电、山脉、树枝、蕨叶以及生物细胞等，因此分形几何学又被称为“大自然的几何学”.康托尔三分集1883年，德国著名数学家康托尔构造了一个奇异的集合：取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，将剩下的两段各再三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段各再三等分，这样一直继续操作下去，直至无穷，便可得到康托尔三分集.皮亚诺曲线取一个正方形并把它分成4个相等的小正方形，然后从左上角的正方形开始至左下角的正方形结束，依次将小正方形的中心连接起来；下一步把每个小正方形再分成4个相等的正方形，然后按上述方式把其中心连接起来……如此继续不断作下去，以至无穷，也便形成了一条皮亚诺曲线.一般来说，一维的直线是不可能填满二维的平面的，但是皮亚诺曲线恰恰给出了反例.谢尔宾斯基三角形垫片1915～1916年，波兰数学家谢尔宾斯基构造了这样一种图形：将边长为1的等边三角形均分成四个小等边三角形，去掉中间的一个小等边三角形，再对其余3个小等边三角形进行相同操作，这样操作继续下去直至无穷，所得图形称为谢尔宾斯基三角形垫片. 我们可以发现，剩下的三角形面积在不断操作下趋近于零，但它的周长却趋近于无限大.谢尔宾斯基地毯谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似，区别仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基础的. 将一个实心正方形划分为3×3的9个小正方形，去掉中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便能得到谢尔宾斯基地毯.门杰海绵与谢尔宾斯基金字塔奥地利数学家门杰从三维的单位立方体出发，用与构造谢尔宾斯基地毯类似的方法，构造了门杰海绵（1999年以前，大部分分形著作中，均误称之为谢尔宾斯基海绵）；谢尔宾斯基用与构造谢尔宾斯基三角形垫片类似的方法，构造了谢尔宾斯基金字塔. 这是两座宏伟的集合大厦，里面有无数的通道，连接着无数的门窗. 这种“百孔千窗”、“有皮没有肉”的结构的表面积是无穷大，它们是由反复挖去一拨比一拨小的立体所生成，是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构模型.海岸线有多长1967年，数学家曼德尔布罗在著名的《科学》杂志上发表了一篇奇怪的文章《英国的海岸线有多长》，使人们大吃一惊. 原来海岸线长度不是一个固定不变的数值. 海岸线的长短取决于人们所用的尺. 如果用1千米的尺子测量，小于1千米的弯弯曲曲的海岸线便会被忽略；如果用1米的尺子测量，便会增加许多弯曲的部分，海岸线必然大大增大；如果让蜗牛来测量，海岸线必然大得惊人.曼德尔布罗波兰裔法国数学家曼德尔布罗是分形几何的创始人. 他的科学兴趣极其广泛，具有极强的创造能力和形象思维能力，利用计算机开创了一门崭新的分形几何学.。
分形几何概述
三、分形几何的研究方法
1、以分数维数来描述分形；
Mandelbrot提出了一个分形维数的概念。
在Euchlid几何学中我们知道维数的概念
点---0维；
线---1维；
面---2维；
分形几何与传统几何相比有什么特点：
⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的，它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。
⑵分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
例如：Mandelbrot集，简称M集，是人类有史以来最奇异最瑰丽的几何图形. 它由一个主要的心形图与一系列大小不一的圆盘芽苞突起连在一起构成．你看，有的地方象日冕，有的地方象燃烧的火焰，那心形圆盘上饰以多姿多彩的荆棘，上面挂着鳞茎状下垂的微小颗粒，仿佛是葡萄藤上熟透的累累硕果．它的每一个细部都可以演绎出美丽的梦幻般仙境似的图案，因为只要把它的细部放大，展现在眼前的景象会更令人赏心悦目．而这种放大可以无限地进行下去，无论放大到哪一个层次，都会显示同样复杂的局部，这些局部与整体有某种相似的地方，但又不完全相同，仿佛里面酝藏着无穷的创造力，使你感到这座具有无穷层次结构的雄伟建筑的每一个角落都存在无限嵌套的迷宫和回廊，催生起你无穷的探究欲望.。
6、可以制作成各种尺寸的分形挂历、台历、贺卡、书签等等。
7、装点科技馆、少年宫、旅游景点等地点，美化公众环境。
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我们来看曼德勃罗的分析：
当你用一把固定长度的直尺(没有刻度)来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。
如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。如果尺子小到无限，测得的长度也是无限。
分形概念及应用
对分形理论的综述一、分行理论产生的背景二、分形理论的概念三、分形理论的应用一、分型理论产生的背景长期以来，自然科学工作者，尤其是物理学家和数学家，由于受欧几里得几何学及纯数学方法的影响，习惯于对复杂的研究对象进行简化和抽象，建立起各种理想模型，把问题纳入可以解决的范畴。
线性近似方法在许多学科得到广泛的应用，解决了许多理论问题和实际问题，推动了各学科的发展。
但是，在复杂的动力学系统中，简单的线性近似方法不可能认识与非线性有关的特性，如流体中的湍流、对流等等。
而分形则是直接从非线性复杂系统的本身入手，从未简化和抽象的研究对象本身去认识其内在的规律性，这是分形理论与线形近似处理本质上的区别。
从理论上讲，它是数学思想的新发展，是人类对于维数、点集等概念的理解的深化与推广，所以人们把它称为是一种新的几何学—分形几何学。
然而，它又与现实的物理世界紧密相连，成为研究混沌(chaos)现象的重要工具。
众所周知，对混沌现象的研究正是现代理论物理学的前沿和热点之一。
除了理论上的意义之外，在实际应用中，分形也显示了巨大的潜力。
从气象、生态，直到图形压缩、城市规划，在许多相距甚远的领域里，都发现了分形的概念与方法的用武之地。
人们惊奇地发现，分形现象在自然界是普遍地、大量地存在着。
分形概念的产生与发展，进一步拓宽了我们的视野，使人类的科学思想登上了一个新的台阶。
二、分形理论的概念分形是一个新的概念，不同的专家有不同的定义方法。
当然，不同的说法所描述的还是同一件事物，只是强调其不同的侧面，不同的属性而已。
从直观上来看，所谓分形是指一些无法用常规的、传统的几何方法描述的图形。
例如天空的云彩、曲折的江河和海岸线、树叶、山峰等。
它们不同于正方形、圆、直线等规则的几何图形，表现出某种混乱和不规则。
通常的度量概念，如长度、面积等，对它们来说，不仅很难计算，而且有时根本是无法计算的。
例如，曾有科学家提出了这样一个似乎荒谬的命题：“英国的海岸线的长度是无穷大。
分形几何中的分形维数和分形拓扑
分形几何是一门研究自相似性和自恶化性质的数学分支。
分形几何的基本思想是运用递归和迭代方法来构造并研究具有特殊性质的几何对象，这些几何对象被称为分形。
在分形几何中，分形维数和分形拓扑是两个重要的概念。
分形维数描述了分形对象的尺度特征和空间填充性质。
对于一般的几何图形，维数可以用整数来描述，比如点的维数是0，线的维数是1，平面的维数是2。
然而，对于分形对象来说，用整数维度来描述是不合适的，因为分形对象通常具有非整数维的特点。
分形维数是一种介于整数维和分数维之间的维数概念，它可以帮助我们理解和揭示分形对象的尺度特性。
常见的分形维数包括Hausdorff维数、盒维数等。
Hausdorff维数描述了分形对象的自相似性，而盒维数则描述了分形对象的空间填充性。
分形拓扑研究的是分形对象如何在拓扑空间中进行组合和分解。
传统的拓扑学主要研究整体性质和连续性，无法很好地描述分形对象的自相似性和分布特点。
分形拓扑通过引入分形维度和分形结构等概念，对分形对象进行了全面而深入的研究。
在分形拓扑中，分形对象可以通过分形维度和分形结构来分解成多个部分，并且这些部分之间仍然表现出自相似性。
通过分形拓扑的方法，人们可以更好地理解分形对象的组合特性、变换特性以及拓扑空间中的分形结构。
分形维数和分形拓扑的研究不仅在纯数学领域中具有重要意义，而且在物理学、生物学、地理学、经济学等多个学科中也有广泛的应用。
在物理学中，分形维数被用来描述复杂系统的几何特征，如分形海岸线、分形粉末的填充性等；在生物学中，分形维数被用来研究生物体的形态特征和生存策略；在地理学中，分形维数被用来描述地形形状的复杂性和多样性；在经济学中，分形拓扑可以用于模拟金融市场的波动性和奇异性。
总之，分形维数和分形拓扑是分形几何中的两个重要概念，它们描述了分形对象的尺度特性和空间组织特性。
分形维数和分形拓扑的研究不仅在数学领域具有重要意义，而且在其他学科中也发挥着重要作用。
通过对分形维数和分形拓扑的深入研究，我们可以更好地理解和揭示自然界和人类社会中的复杂系统的结构和行为规律。
分形公式大全
分形公式大全分形公式是一种表示分形特征的数学公式，它可以描述自相似、无限细节和复杂的结构。
下面是一些常见的分形公式及其相关参考内容。
1. Mandelbrot集公式:Mandelbrot集是分形几何中最著名的一个例子，它由下面的公式定义：Z(n+1) = Z(n)² + C其中，Z(n)是一个复数，C是一个常数。
这个公式对于不同的C值会产生不同的形状，形成了Mandelbrot集的分形特征。
关于Mandelbrot集的更多内容，可以参考书籍《The Fractal Geometry of Nature》 by Benoit B. Mandelbrot。
2. Julia集公式:Julia集是类似于Mandelbrot集的分形图形，它由下面的公式定义：Z(n+1) = Z(n)² + C其中，Z(n)和C都是复数。
当给定不同的C值时，Julia集的形状也会有所不同。
关于Julia集的更多内容，可以参考书籍《The Science of Fractal Images》by Heinz-Otto Peitgen和Dietmar Saupe。
3. 分岔图公式:分岔图是描述非线性动力系统中稳定性变化的一种分形图形。
它由下面的公式定义：f(x) = r * x * (1-x)其中，r是参数，x是状态变量。
当r的值在一定范围内变化时，分岔图会展现出分形的特征。
关于分岔图的更多内容，可以参考书籍《Chaos: Making a New Science》by James Gleick。
4. 树形分形公式:树形分形是一种描述树状结构的分形图形，它由下面的公式定义：x(n+1) = r * x(n) * cos(theta) - y(n) * sin(theta)y(n+1) = r * x(n) * sin(theta) + y(n) * cos(theta)其中，x(n)和y(n)是当前点的坐标，x(n+1)和y(n+1)是下一个点的坐标，r是缩放参数，theta是旋转角度。
数论里的基本概念
数论里的基本概念数论是研究数及其性质的一个分支学科。
它涉及到数的整除性质、数字的分布模式、数的性质和数学结构等方面。
下面我将介绍数论中的一些基本概念。
1. 素数：素数是指只能被1和自身整除的正整数。
素数具有很多独特的性质，如无法表示为其他两个整数的乘积，无限多的存在性（欧几里得证明了素数有无穷多个），以及质数定理等。
2. 合数：合数是指除了1和本身以外还有其他因子的正整数。
与素数相对，合数可以分解成多个素数的乘积。
3. 互质：若两个正整数的最大公约数（即两个数的公共因子中最大的一个数）等于1，则称这两个数互质。
互质的数在一些问题中具有特殊的性质和应用，如中国剩余定理和欧拉函数等。
4. 最大公约数：最大公约数指的是两个或多个整数中最大的能够同时整除它们的数。
我们可以使用辗转相除法或欧几里得算法来求解最大公约数。
5. 最小公倍数：最小公倍数指的是两个或多个整数中最小的能够同时被它们整除的数。
最小公倍数可以通过最大公约数来求解。
6. 同余：在数论中，同余是指两个整数除以一个正整数所得的余数相等。
我们可以使用同余关系来描述一些周期性问题，如模运算和剩余类等。
7. 模运算：模运算是指将一个整数除以另一个正整数后所得的余数。
模运算在数论中常常被用来处理与整除相关的问题，如同余关系和剩余类等。
8. 费马小定理：费马小定理是一个重要的数论定理，它描述了在模素数下的同余关系。
费马小定理可以用来快速计算指数幂的模运算结果，以及解决一些与同余关系相关的问题。
9. 欧拉函数：欧拉函数是指小于给定正整数n并与n互质的正整数的个数。
欧拉函数在数论中有很多重要的应用，如与同余关系相关的问题，以及RSA加密算法等。
10. 罗列函数：罗列函数是指小于给定正整数n并与n互质的正整数的列表。
罗列函数与欧拉函数在数论中有很多相似的性质和应用。
这些是数论中的一些基本概念，它们是研究数论的基础和出发点。
数论作为一门古老而又重要的学科，在密码学、组合数学、代数数论等领域都有广泛的应用。
分形几何概述1
n
ln 4 1.26186 ln 3
英国海岸线的维数为D=1.25 (Mandelbrot)
Koch曲线：(㏑4)/ (㏑3)=1.2618 Cantor集： (㏑2)/ (㏑3)=0.6309 Sierpinski集： 垫片： (㏑3)/ (㏑2)=1.5850 地毯： (㏑8)/ (㏑3)=1.8927 海绵： (㏑20)/ (㏑3)=2.7268
Koch曲线的生成过程 —第0步、第1步
Koch曲线的生成过程 —第2步、第3步
Koch 曲线
Koch 曲线（续）
Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。 同样的道理：长度无限、面积为零、而曲 线还有“界”。 另外，有一个特点：当取其中的一部分 展开，与整体有完全的自相似性，似乎是一 个什么东西的无数次的自我复制。
定义1 如果一个集合在欧式空间中的 Hausdorff维数DH恒大于其拓扑维数DT，则 称该集合为分形集，简称分形。
由Mandelbrot在1982年提出，四年后， 他又提出了一个更是实用的定义： 定义2 组成部分以某种方式与整体相似的形 体叫分形。
分形的概念
分形看作具有如下所列性质的集合F：
F具有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。 F是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。 F通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计 意义下的。 F在某种方式下定义的“分维数”通常大于F的扑维数。 F的定义常常是非常简单的，或许是递归的。
分形几何概述
海岸线长度问题
二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著 作中讨论英国海岸线的长度。他发现，这个问题取决于测量 所使用的尺度。采用公里做单位，一些几米和几十米的曲折 会被忽略，如果采用米做单位，测得的长度会增加，但厘米 以下的量仍然无法反映，测量单位的缩小使测得的长度增加， 由于在自然尺度之间有许多个数量级，这种增加不会停止， 海岸线的长度会趋于无限长。也就是说，长度不是海岸线的 定量特征。
分形几何在统计物理建模中的应用指标
分形几何在统计物理建模中的应用指标统计物理建模是一种通过数学模型和统计方法来研究物理系统的方法。
在这一领域中，分形几何被广泛应用于描述复杂系统的特征和建立相应的模型。
本文将介绍分形几何在统计物理建模中的应用指标，包括分形维数、分形谱、分形法测度和分形尺度，以及它们在不同领域的具体应用。
一、分形维数分形维数是描述分形结构复杂度的一个重要指标。
在统计物理建模中，分形维数可以通过盒计数法或者哈尔斯多夫维数法进行计算。
盒计数法是将分形结构包含在不同尺寸的盒子内，然后统计所需的盒子数目。
哈尔斯多夫维数法则是通过使用分形特征函数来计算分形维数。
在统计物理建模中，分形维数可以用来描述物质的几何结构的复杂性。
例如，在多孔介质模型中，分形维数可以用来量化材料的孔隙分布和表面粗糙度。
此外，在物理过程的动力学建模中，分形维数可以帮助研究物质的扩散、输运和混合等性质。
二、分形谱分形谱是描述分形结构多样性的指标。
它是一个函数，描述了分形结构在不同尺度下的数量分布。
通常，分形谱可以通过分形维数的变化率来计算。
分形谱的计算可以通过对分形结构进行图像分析或者使用分形谱变换方法来实现。
在统计物理建模中，分形谱可以用来分析复杂系统中的性质变化。
例如，在材料科学中，分形谱可以用来描述材料的颗粒大小分布、孔隙大小分布以及金属合金的微观结构。
此外，在生物物理学中，分形谱可以用来研究生物体的形态变异、组织结构和生长模式。
三、分形法测度分形法测度是一种用来度量分形结构复杂性的数学方法。
分形法测度可以通过对一个分形结构的空间尺度进行统计分析来获得。
常见的分形法测度有信息维度、容量维度和遗传维度等。
在统计物理建模中，分形法测度可以用来描述复杂系统的信息内容和信息压缩能力。
例如，在网络科学中，分形法测度可以用来研究社交网络的结构和节点的连接性。
此外，在金融学中，分形法测度可以通过对金融时间序列进行分析来揭示市场的非线性和长期相关性。
四、分形尺度分形尺度是用来描述分形结构变化的指标。
几何平均直径和分形维数
几何平均直径和分形维数引言：在数学领域中，几何平均直径和分形维数是两个重要的概念。
它们在几何学和分形理论中有着重要的应用。
本文将分别介绍几何平均直径和分形维数的概念，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、几何平均直径几何平均直径是指一组点之间的平均距离的几何平均值。
假设有n 个点，其坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，...(xn, yn)，则这n个点之间的几何平均直径的计算公式如下：几何平均直径 = ((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)...((x1-xn)^2+(y1-yn)^2)的平方根 / n几何平均直径的概念常常用于计算一组点的平均分散程度。
在实际问题中，例如城市规划中，可以使用几何平均直径来评估城市中不同区域之间的距离，从而更好地规划交通网络和公共设施的布局。
二、分形维数分形维数是描述分形结构复杂性的一个指标。
分形是指具有自相似性的图形或物体，即无论放大多少倍，其形态都保持不变。
分形维数可以帮助我们量化分形对象的复杂程度。
常见的分形维数有Hausdorff维数和盒维数等。
1. Hausdorff维数Hausdorff维数是分形维数的一种度量方法。
它通过测量分形对象被不同大小的区域所覆盖的程度来计算分形维数。
具体计算方法如下：Hausdorff维数= log(N) / log(1/ε)其中N为覆盖分形对象的最小区域数，ε为区域的尺寸。
2. 盒维数盒维数是另一种常用的分形维数计算方法。
它通过将分形对象划分为不同大小的盒子，并计算这些盒子中包含的分形对象的数量来计算分形维数。
具体计算方法如下：盒维数= log(N) / log(1/ε)其中N为盒子的数量，ε为盒子的尺寸。
分形维数的应用非常广泛。
在自然科学领域，分形维数可以用来研究自然界中的分形结构，如云朵、山脉等。
在社会科学领域，分形维数可以用来研究城市的发展规律、经济系统的复杂性等。
此外，分形维数还可以应用于图像处理、数据压缩等领域。
经典的分形算法 (1)
经典的分形算法小宇宙2012-08-11 17:46:33小宇宙被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。
它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。
它承认世界的局部可能在一定条件下，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。
分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。
1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。
1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。
1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。
这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。
1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。
1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。
1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。
1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。
以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。
真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始，而一开始，分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面，但这也足以使人们心驰神往。
两类分形集的Hausdorff测度
两类分形集的Hausdorff测度
分形几何是上世纪70年代中期发展起来的一门新兴的学科,它为研究自然界中一些不规则集提供了新的思想、方法和技巧,已引起科学界的极大关注。
正如Falconer在[9]中所述:“过去,数学已广泛涉及到那些可以用经典的微积分进行研究的集类和函数类,而那些不够光滑和不够规则的集和函数却被认为是‘病态’的,不值得研究而不被理睬。
近几年来,这种态度发生了变化,人们已经意识到,对‘不光滑集’可以而且必须进行详细的数学描述,不规则集比经典的几何图形能更好的反映许多自然现象,分形几何恰好为研究这样的不规则集提供了一个总的框架。
”特别在近年来,分形几何这一新兴学科在数学、物理、化学、生物、医学、地质、材料、工程技术等学科的研究和应用中获得巨大成功,同时,不同学科中提出的大量问题又刺激了分形几何的深入发展。
因此,分形几何的诞生和发展对整个科学的发展有极为重要的意义,正如M.
F. Shlesinger在[14]中指出:“20世纪的后半期似乎是科学与数学变得更加专门化的时期。
令人瞩目的是,在前一个十年,下述两个课题使上述趋势得以逆转:非线性动力学与分形。
前者涉及到运动的非线性确定方程的一般普适行为,而后者则是研究自相似或自防射对象的几何以及该几何上的动力学。
两者均已应用到一系列深刻的交叉学科的问题中。
”分形几何主要研究问题之一是分形集的许多形式的维数,如Hausdorff维数,填充维数,Minkowski维数等。
这些维数用以度量分形集的不规则性和裂碎程度;从几何角度看,它们反映了集合的填充空间的能力,是描述集合
分形特征的重要参数。
分形几何研究的另一个重要问题是计算分形集的Hausdorff。
分形理论发展历史及其应用
、分形理论1.1、引言欧氏几何、三角学、微积分学使我们能够用直线、圆、抛物线等其他简单曲线来建立现实世界中的形状模型。
比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空等，它们所描述的几何对象是规则和光滑的。
而在自然界中存在着大量的复杂事物：变幻莫测的云彩、雄浑壮阔的地貌、回转曲折的海岸线、动物的神经网络、不断分叉的树枝、纵横交流的血管烧结过程中形成的各种尺寸的聚积团等等。
面对这些事物和现象，传统科学显得束手无策。
因为目前还没有哪一种几何学能更好地描述自然形态，象山、云、火这类的自然形态尚缺少必要的数学模型。
近30 年来，科学家们朦胧地“感觉” 到了另一个几何世界，即关于自然形态的几何学，或者说分形几何学。
这种几何学把自然形态看作是具有无限嵌套层次的逻辑结构，并且在不同尺度之下保持某种相似的属性，例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。
这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
于是在变换与迭代的过程中得到描述自然形态的有效方法(其中L系统和IFS方法便是典型的代表)。
分形理论是非线性科学的一个重要分支，主要研究的就是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的具有自相似性且没有特征长度的形状和现象。
1.2、分形理论的起源与发展1967年美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。
海岸线作为曲线，其特征是极不规则、极不光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。
我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同，这种几乎同样程度的不规则性和复杂性，说明海岸线在形貌上是自相似的，也就是局部形态和整体态的相似。
在没有建筑物或其他东西作为参照物时，在空中拍摄的 1 00公里长的海岸线与放大了的10 公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似。
分形公式大全
分形公式大全在数学中，分形是一种具有自相似性的几何图形或数学对象。
它们通常通过递归或迭代的方式构建，并且无论观察其任何一部分，都能看到整体的特征。
分形在自然界中广泛存在，例如树枝、云朵、山脉等都展现出分形的特征。
为了描述和生成分形，数学家们创造了许多分形公式和算法。
以下是一些常见的分形公式和它们的特点：1. 曼德勃罗集(Mandelbrot Set)：由法国数学家Mandelbrot于1975年引入的分形集合。
曼德勃罗集是复平面上一组复数的集合，满足迭代公式：Z_(n+1) = Z_n^2 + C，其中C是一个常数，Z是复数。
通过迭代计算，可以将复平面上的点分为属于集合内或集合外，形成具有分形特征的图像。
2. 朱利亚集(Julia Set)：与曼德勃罗集相对应，朱利亚集也是由C 值所确定的复平面上的一组复数。
朱利亚集的迭代公式为：Z_(n+1) = Z_n^2 + C，其中Z是复数。
朱利亚集的形状和曼德勃罗集不同，但同样展现出分形的特征。
3. 希尔伯特曲线(Hilbert Curve)：希尔伯特曲线是一种填充空间的曲线，它具有自相似性和紧凑性。
希尔伯特曲线是通过递归地将二维空间划分为四个子空间，并将曲线从每个子空间的一个角落延伸到另一个角落而生成的。
4. 科赫曲线(Koch Curve)：科赫曲线是一种无限细分的曲线，它由自相似的三角形构成。
科赫曲线的构造方法是在每条线段的中间插入一个等边三角形，然后重复该过程。
除了以上几种常见的分形公式外，还有许多其他有趣的分形公式和算法，如分形树、分形花朵等。
这些分形公式不仅在数学研究中有着重要的应用，还被广泛应用于计算机图形学、自然科学、艺术创作等领域。
总之，分形公式是描述和生成分形图形的重要工具。
通过这些公式，我们可以深入研究分形的特性和美妙之处，并将其应用于各个领域，探索自然界和数学世界中的无限奇妙。
数学拾遗——精选推荐
朗斯基行列式与线性无关解 (2)刘维尔定理(复分析) (3)刘维尔公式 (4)全纯函数 (5)定义 (5)例子 (5)性质 (6)几个变量 (6)扩展到泛函分析 (6)解析函数 (7)定义 (7)例子 (7)基本性质 (7)解析与可微 (8)实解析函数与复解析函数 (8)超度量域上的解析函数 (9)多元解析函数 (9)外部链接 (9)文献 (10)整函数 (11)魏尔施特拉斯分解定理 (12)亚纯函数 (13)例子 (13)性质 (13)黎曼曲面上的亚纯函数 (13)参考 (14)极点 (15)定义 (15)评论 (15)参见 (16)外部链接 (16)希尔伯特的23个问题 (17)问题解决进度 (17)参阅 (18)外部链接 (19)皮卡定理 (20)定理的表述 (20)小定理 (20)大定理 (20)评论 (20)参考文献 (21)朗斯基行列式与线性无关解朗斯基行列式可以用来确定一组函数在给定区间上的线性相关性。
对于n 个n-1 次连续可微函数f1、...、fn，它们的朗斯基行列式W(f1, ..., fn) :定理：如果f1、...、fn 在一个区间[a,b] 上线性相关，则W(f1, ..., fn) 在区间[a,b] 上恒等于零。
也就是说，如果在某些点上W(f1, ..., fn) 不等于零，则f1、...、fn 线性无关注意，若W(f1, ..., fn) 在区间[a,b] 上恒等于零，函数组不一定线性相关。
刘维尔定理(复分析)刘维尔定理表明，任何有界的整函数都一定是常数。
也就是说，任何一个全纯函数f，如果对于C中所有的z，都存在一个正数M，使得|f(z)| ≤M，则该函数必定是常数。
证明由于f是整函数，它可以表示为关于0的泰勒级数：其中（根据柯西积分公式）：Cr是圆心位于0的圆，它的半径r > 0。
我们可以直接估计在第二个不等式中，我们用到了对于所有z都有|f(z)| ≤ M的假设。
分形几何超级介绍
分数维
现在我们从测量的角度引入了维数概念， 将维数从整数扩大到分数。即： 如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相似的 ｋ个图形所组成，有：ｋ= λ^D D即维数 D = logｋ/logλ 其中：（ λ 为线度的放大倍数 ｋ为“体积”的放大倍数）
Sierpinski垫圈的分数维
• 如右下角的垫圈 ，它是由原图缩小1/2的相 似的3个图形组成。 • 故其维数为D=log3/log2
分维数的多种定义
• 分数维可用于定量描述分形集的复杂性。 • 分维数已有多种定义。 • 豪斯道夫维数是基于豪斯道夫测度而建立起来的 一种分形维数，它是分形几何的维数理论的基础； • 盒维数或称盒计数维数是一个具有广泛应用的维 数，计算一个分形的盒维数是相对简单的。 • 其他分维数有：柯尔莫哥诺夫熵、熵维数、容量 维数、对数维数和信息维数等。
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自相似性
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特 征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似 的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构 与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分 与部分之间，也会存在自相似性。一般情况下 自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域 放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。
分形几何
数理基础试验班 李道坚 范宇航
分形几何的起源
分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗特 （B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可 追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯构造了处处连续 但处处不可微的函数，集合论创始人康托构造了有许多奇 异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺构造 了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫设计出类似 雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾 斯基设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解 决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形 几何思想的源泉。1975年，他创立了分形几何学。在此 基础上，形成了研究分形性质及其应用的科学，称为分形 理论。
第三章 分形和多重分形资料讲解
第三章分形和多重分形第三章 分形和多重分形分形和多重分形的概念正在越来越多地被应用到科学的各个领域中，它们在本质上描述了对象的复杂性和自相似性。
分形和多重分形是不依赖于尺度的自相似的一个自然结果。
单一的分形维数不能完全刻画信号的特征，已有例子表明许多视觉差别很大的图象却具有十分相似的分维。
实际上通过计算分形维数无法区分单一分形集和多重分形集。
为了获得对一个分形更详细的描述，需增加能刻画不同分形子集的参数，因此要引入多重分形理论。
在直观上可将多重分形形象地看作是由大量维数不同的单一分形交错叠加而成的。
从几何测度性质的角度，可将多重分形描述为一类具有如下性质的测度μ（或质量分布）：对于足够小的正数r ，成立幂律特性αr x B u r ∝))((，并且不同的集对应于不同的a （其中)(x B r 表示某度量空间内以x 为中心，半径为r 的球），在此意义上，多重分形又称为多重分形测度，它揭示了一类形态的复杂性和某种奇异性。
表征多重分形的主要方法是使用多重分形谱)(a f 或广义维数q D 。
多重分形谱)(a f 在对多重分形进行精确的数学刻画的同时，通过)(a f 相对a 的曲线为多重分形提供了自然而形象的直观描述，其中a 确定了奇异性的强度，而)(a f 则描述了分布的稠密程度。
§3.1 分形的基本理论3.1.1 分形理论的基本概念㈠ 分形分形几何学是由Mandelbrot[4]首先提出并发展为系统理论，Mandelbrot 在研究英国海岸线的复杂边界时发现，在不同比例的地图上会测出不同的海岸线长度，这正是欧几里德几何无法解释的。
在研究中，他将测量长度与放大比例（尺度）分别取对数，所对应的二维坐标点存在一种线性关系，此线性关系可用一个定量参数-称分形维数来描述。
由此, Mandelbrot 进一步发展了分形几何理论，可以产生许多分形集图形和曲线，如Mandelbrot 集、Cantor 集、Koch 曲线、Sierpinski 地毯等，还可描述复杂对象的几何特性。
数论中的数域与数论函数
数论中的数域与数论函数数论作为数学的一个重要分支，探讨了整数的性质和结构。
在数论的研究过程中，涉及到了许多与数域相关的概念和数论函数。
本文将介绍数论中的数域以及常见的数论函数，并探讨它们在数论中的应用。
一、数域1.1 整数域整数域是最基本的数域，用符号Z表示。
整数域包括正整数、负整数和0，利用整数域可以进行基本的加减乘除运算，并且满足加法和乘法的封闭性、结合律、交换律、分配率等性质。
1.2 有理数域有理数域是由所有可以表示为两个整数比的数构成，表示为符号Q。
有理数域包括整数域以及所有形如a/b（其中a、b为整数，b≠0）的数。
在有理数域上，可以进行加、减、乘、除等基本运算，并且满足分数的加、减、乘、除的运算规则。
1.3 实数域实数域用符号R表示，包括有理数和无理数。
实数域上可以进行基本运算，并且满足实数域的完备性，即实数域上的每个非空有上界的子集都有最小上界。
1.4 复数域复数域用符号C表示，由实数域R上的有序对（a,b）构成，其中a 和b都是实数。
复数域上可以进行加、减、乘、除等基本运算，并且满足复数域的代数封闭性，即复数域上的任何多项式方程都有根。
二、数论函数2.1 除法函数除法函数指的是整除函数和求余函数。
整除函数d(x,y)表示x能否被y整除，如果能整除，则d(x,y)=1，否则d(x,y)=0。
求余函数r(x,y)表示x除以y的余数。
2.2 最大公因数函数最大公因数函数指的是求两个或多个整数的最大公因数的函数。
常用的求最大公因数的算法有辗转相除法、质因数分解法等。
最大公因数函数常用符号表示为gcd(x,y)，表示x和y的最大公因数。
2.3 最小公倍数函数最小公倍数函数指的是求两个或多个整数的最小公倍数的函数。
常用的求最小公倍数的算法有质因数分解法、辗转相除法等。
最小公倍数函数常用符号表示为lcm(x,y)，表示x和y的最小公倍数。
2.4 欧拉函数欧拉函数用符号φ(n)表示，表示小于等于n的正整数中与n互质的个数。
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度量数论中若干分形集
本文主要讨论了使用Liiroth展式逼近实数的效率问题,无穷迭代函数系中数字的增长速度,以及1的β-展式的性质.我们得到了其中出现的一些分形集的Hausdorff维数.在第一章介绍本文的背景,第二章给出预备知识的基础上,用了三章内容分别对上述三方面的问题展开了详细的论述.在第三章,我们考虑使用Liiroth展式的逼近因子来逼近实数的效率问题,我们发现Liiroth展式逼近因子无穷次成为最佳逼近的点集是一个Lebesgue零测集,不过该集合的Hausdorff 维数是严格大于0的,我们给出了一个下界的估计.同时,我们还证明了类似Jarnilc定理的结果,说明了将其中的连分数展式逼近因子换成Liiroth展式逼近因子相应集合的Hausdorff维数减半.在第四章,我们将连分数展式部分商的概念推广到无穷迭代函数系中,称之为数字.我们考虑一类无穷迭代函数系中数字的增长速度,将Wang和Wu[1,2]以及Luczak[3]关于连分数的结果推广到一类无穷迭代函数系上.具体的,对于自然数的任意无限子集B,我们给出了数字限定在B中并趋于无穷的点所构成集合的Hausdorff维数.对于任意的a,b>1,给出了数字满足an(x)>abn对任意的n成立以及对无穷多个n成立的点构成集合的Hausdorff维数上界,并说明在给定条件下,是没有一致的下界的.在上述两个维数结论中,无穷迭代函数系的压缩比构成级数的收敛指数起了关键的作用.此外,我们证明了对满足条件的无穷迭代函数系,任意的趋于无穷的函数φ(n),都可以找到自然数集的无穷子集B(?)N,使得限定在此子集上收敛指数不变,但是数字限定在B中并且满足an(x)>φ(n)对任意的n成立的点构成集合的Hausdorff维数为0.从而说明了第一个结果的最佳性.同时我们还证明了,对任意的实数s0∈[0,1]和趋于无穷的函数φ(n),都存在一个无穷迭代函数系,收敛
指数为s0,但是an(x)>φ(n)对任意的n成立的点构成集合的Hausdorff维数为0.在第五章,我们考虑1的β展式的性质,证明了对于任意给定的点x0∈[0,1]和任意的区间(β,β1)(?)(1,∞),使得(β0,β1)中在β变换下1的轨道不以x0为聚点的β构成的集合是Hausdorff满维的.最后,我们在第六章总结了本文的主要结果,并提出了一些可以进一步研究的问题.。