函数的单调性问题教师版

知识点5：函数单调性的定义及应用：

定义：在函数()x f y =的定义域A 的某一区间I 内任取1x ,2x I ∈,且21x x <. ○

112x x <⇔()()12f x f x <,则称()x f y =在区间I 上为增函数； ○

212x x <⇔()()12f x f x >,则称()x f y =在区间I 上为减函数. 说明：（1）函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质；

（2）函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性且单调区间不可写并集； （3）函数单调性的定义中，有两层意思：

①对于任意的1x ，2x M ∈，若12x x <，有12()()f x f x <，则称()f x 在M 上是增函数； ②若()f x 在M 上是增函数，则当12x x <时，就有12()()f x f x <恒成立．

（4）图象特征：图象是上升趋势的为增函数；图象是下降趋势的为减函数. 1.已知函数y=f(x)是定义在R 上的增函数，则f(x)=0的根 （ C ） A.有且只有一个 B.有2个 C.至多有一个 D.以上均不对 2.已知函数f （x ）在区间［a ，b ］上单调，且f （a ）·f （b ）＜0，则方程f （x ）=0在区间［a ，b ］（D ）A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有惟一的实根

题型1：证明函数的单调性：步骤：一设，二作差，三变形判断符号，四结论 变形常用的手段有：通分，提取公因式、配方法、有理化、因式分解。

1.利用单调性的定义证明函数+2

()+1

x f x x =

在(-1,)+∞上是减函数。 解：在(-1,)+∞上任取12x x <， 则121212+2+2

()()+1+1x x f x f x x x -=-2121

(+1)(+1)x x x x -=

因为211x x >>-，所以21210,+1>0,+10x x x x ->>。

2121>0(+1)(+1)x x x x -∴，所以21()()0f x f x ->；即21()>()f x f x ， 故+2()+1

x f x x =在区间(-1,+)∞上为减函数。 练.证明函数3

()2f x x =-在R 上的单调递增。 题型2.函数单调性的判定，有一些规律

〈1〉若()x f y =↑,()x g y =↑,则()()x g x f y +=↑.（若)(x f 单增,)(x g 单减,则)()(x g x f -单增） 〈2〉若()x f y =↓,()x g y =↓,则()()x g x f y +=↓. 〈3〉若()x f 是增函数，那么()x f 是增函数，()()x f x f 1

,

-（00)(<>或x f 部分）是减函数。 〈4〉若()x f 是减函数，那么

()x f 是减函数，()()x f x f 1

,-（00)(<>或x f 部分）是增函数。

1.设()f x 是定义在A 上的减函数，且()0f x >，则下列函数①32()y f x =-；②

21()y f x =+

；③1()()y f x f x =-；④1

()()

y f x f x =-,其中为增函数的个数是（ ） （A ）1 （B ） 4 （C ）2 （D ）3

解：()f x 是定义在A 上的减函数，且()0f x >， ()y f x ∴=-、1()y f x =为增函数，1

()

y f x =-为

减函数， 32()y f x ∴=-、2

1()

y f x =+、1()()y f x f x =-为增函数，故选D 。

2.讨论函数())0(,12

≠-=a x ax

x f 在区间(-1，1)内的单调性.

解：设-1＜x 1＜x 2＜１，则f(x 1)-f(x 2)＝

2

1

11x ax --

2

2

21x ax -＝

)

1)(1()

1)((2

2212121x x x x x x a --+-

∵x 1，x 2∈(-1，1)，且x 1＜x ２，∴x 1-x 2＜0，1+x 1x 2＞0，(1-x 2

1)(1-x 2

2)＞0

于是，当a ＞0时，f(x 1)＜f(x 2)；当a ＜0时，f(x 1)＞f(x 2).

故当a ＞0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a ＜0时，函数在(-1，1)上为减函数. 题型3：求单调区间：利用图象求函数的单调性 1.常见函数的单调性

(1)一次函数:)0(≠+=k b kx y , 0>k ,一次函数在R 上单调递增,0

≠++=a c bx ax y ,二次函数的单调性决定于开口方向和对称轴, (3)反比例函数)0(≠=

k x

k

y ,若0>k ,则函数在区间)0,(-∞和),0(+∞都是单调递减, 若0

1

1

＋x 的单调区间为____（－∞，－1），（－1，＋∞） 2．函数y ＝＝x 2

－6x ＋10在区间（2，4）上是（ C ） A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增

D ．选递增再递减．

3.函数()(1)f x x x =-在区间A 上是增函数，则区间A 是 （ ）

(A)[0,)+∞ (B) (,0]-∞ (C) 1[0,]2 (D) 1

(,)2

+∞

4．函数f （x ）＝2x 2

－3｜x ｜的单调减区间是____［0，43］，（－∞，－4

3）

练：函数f （x ）＝|2x 2

－3x|的单调减区间是____ 练：2312)(+--=x x x f 的单调区间。 5.

求函数()f x =

解：令2

160x -+≥，即216x ≤，44x ∴-≤≤

，

y =

20),16y u u x =>=-+复

合而成，[4,0]x ∈-时，2

16u x =-+单调递增；当[0,4]x ∈时，216u x =-+单调递减；

又0)y u =>

为增函数，y ∴=[4,0]-上单调递增，在[0,4]上单调递减。 题型4：已知单调区间求参数

1.函数f (x )=4x 2

－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25

2．函数f （x ）＝－x 2

＋2（a －1）x ＋2在（－∞，4）上是增函数，则a 的范围是（ A ） A ．a ≥5 B ．a ≥3 C ．a ≤3 D ．a ≤－5

解：本题作出函数f （x ）＝－x 2

＋2（a －1）x ＋2的图象，可知此函数图象的对称轴是x ＝a －1，由图

象可知，当a －1≥4，即当a ≥5时，函数f （x ）＝－x 2

＋2（a －1）x ＋2在（－∞，4）上是增函数． 3.2)1(2)(2

+-+=x a x x f 在区间]4,1[-上单调,则a 的取值范围是( ). 4.若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是),3[+∞，则a =__-6______。

5.已知函数)(x f 为定义在区间]3,1[-的增函数,且满足:)1()12(+<-x f x f ,则x 的范围是( ).

A.)2,(-∞

B.),2(+∞

C.)2,0(

D.)2,0[

解 由题意,则可得不等式组:⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-≤-≤-+<-3113121112x x x x ,解得:⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤-≤≤<22202x x x ,即20<≤x ,所以正确选项为D.

练.已知()x f y =是定义在（-2，2）上的增函数，若()()m f m f 211-<-，则m 的取值范围是 (-)3

2

,21 .

题型5：抽象函数的单调性 1.函数()x f 对任意的R b ,a ∈,都有()()()1-+=+b f a f b a f ,并且当0>x 时,()1>x f .