第17章勾股定理小结和复习

第17章勾股定理小结和复习

教学目标

1. 理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边

2. 勾股定理的应用.

3. 会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.

重点：掌握勾股定理及其逆定理.

难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.

教学过程

一.复习回顾

在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，

并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用.其知识结构如下：

勾般定理的逆毎用

1. 勾股定理:

(1) ________________________ 直角三角形两直角边的和等于的平方.就是说，对于任意的直

角三角形，如果它的两条直角边分别为 a b,斜边为c,那么一定有：.这就是勾股定理.

(2) 勾股定理揭示了直角三角形―之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据.

2 2 | 2 ■ 2 2 2 2 ■ 2

a 二c -

b ,b 二

c -a ,c = . a b

2. 勾股定理逆定理

若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为__________ .这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边

a,b,c(a+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSSE明两个三角形全等，证明定理成立.

3. 勾股定理的作用：

(1) 已知直角三角形的两边，求第三边；

(2) 在数轴上作出表示川(n为正整数)的点.

勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直，勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想.

2十2 2

(3) 三角形的三边分别为a、b、c,其中c为最大边，若a b =c

，则三角形是直角三

角形；若a b c

，则三角形是锐角三角形；若

a b”：c「，则三角形是钝角三角

形.所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边.

考点一、已知两边求第三边

1 .在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_______ .

2. ___________________________________________________________ 已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长是____________________________ .

3. 在数轴上作出表示-10的点.

4 .已知，如图在△ ABC中，AB=BC=CA=2cm , AD是边BC上的高.

求①AD的长；②△ ABC的面积.

考点二、利用列方程求线段的长

1. 如图，铁路上A，B两点相距25km, C，D为两村庄，DA丄AB于A , CB丄AB

于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

2. 如图，某学校（A点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）

的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校 A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离.

考点三、判别一个三角形是否是直角三角形

1•分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5 （2）

5、12、13 （3）8

15、17 (4) 4、5、6,其中能够成直角三角形的有_____________

2. _________________________________________________________ 若三角形的三别是a2+b2,2ab,f-b2(a>b>0),则这个三角形是______________________ .

2

3. 如图1,在厶ABC中，AD是高，且AD二BD CD，求证：△ ABC为直角三角形。

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考点四、灵活变通

1. 在Rt A ABC中，a, b, c分别是三条边，/ B=90°,已知a=6, b=10,则边长

c= ___

2. 直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7cm2, 8cm2，则以斜

边为边长的正方形的面积为___________ c m2.

3. 如图一个圆柱，底圆周长6cm,高4cm, 一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到

B点，则最少要爬行_______ cm

4. ___________________________________ 如图：带阴影部分的半圆的面积是(二取3)

5. —只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那

么它所爬行的最短路线的长是 _______________

6若一个三角形的周长12、.3cm,—边长为3cm,其他两边之差为3 cm,则这个

二角形是 _______________________ :.

7.如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米

考点五、能力提升

1. 已知：如图，△ ABC 中，AB > AC , AD 是BC 边上的高.

1

2. 如图，四边形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且CE =丄BC .你

4

3. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm ，BC=8cm ,现将直角边AC

沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？

三、随堂检测

求证：AB 2-AC 2

=BC(BD-DC).

能说明/ AFE 是直角吗?

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