直线与平面垂直的判定(一)课件
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P
A
D
C
16
1.直线与平面垂直的定义，垂线、垂面、垂足的概念。
2.直线与平面垂直的判定：（三种方法）
（1）用定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，
就说直线 l 与平面α互相垂直。
（2）用直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两相交直线都垂直，则该 直线与此平面垂直。
（3）利用例1的结论：
2.由折痕AD⊥BC，翻折之后AD⊥CD ，AD⊥BD
发生变化吗？由此你能得到什么结论？
A A D C
12
B B D C
二、直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条 相交直线都垂直，则该直线 b 与此平面垂直。
符号语言：
a
l
A
线线垂直 线面垂直
a , b , a b A l l a, l b
两条互相平行的直线，如果有一条与一个平面垂直， 则另一条也与这个平面垂直。 17
14
1.直线a与直线b垂直，直线b⊥平面
则直线a与平面 的位置
B.a∥ C.a D.a 或 a∥ 关系是（ D）A.a⊥ 2.以下四个命题中，真命题的个数为（ B ） ①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直 线和这个平面互相垂直；②过空间一点有且只有一条直线和一 个平面垂直；③一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这 条直线垂直于这个平面；④垂直于同一平面的两条直线平行。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.直线 l与平面 内的无数条直线垂直，则直线l 与平面的关系
2.3.1直线与平面垂直的判定（一）
1
观察下面生活中的现象，说出旗杆与地面是怎样的位置关系？
旗杆与底面垂直
2
桥柱与水面是怎样的位置关系？
桥柱与水面垂直
3
太阳
旗杆 A
C’
C B’ B
旗杆AB所在的直线与地面 内任意一条过点B（或不过 点B）的直线都垂直。
4
提出
问题
A
B
α
思考： 如何定义一条直线与 一个平面垂直呢？ 讨论： 能否根据一条直线与一个平 面内的直线的垂直关系来确定这 条直线与这个平面垂直呢？
（1）折痕AD与桌面垂直吗?
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？
A
B
D
C
10
A
A D
B
B
D
C
C
容易发现，当且仅当折痕AD是BC边 上的高时，AD所在直线与桌面所在平 面 垂直。
11
1.有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面
上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面，
你同意他的说法吗？
5
一、直线与平面垂直的定义
如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直， l 就说直线 l与平面α互相垂直。
记作：l ⊥α
直线l 叫做平面α的垂线 平面α叫做直线 l 的垂面
α
P
直线l 与平面α垂直时，它们惟一 的公共点P叫做垂足。
注：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的 平行四边形的一边垂直。
6
思考Hale Waihona Puke Baidu 如果一条直线垂直于一个平面内的 无数条直线，那么这条直线是否与这个 平面垂直？ b （否）
a
α
上述问题中“无数条直线”改为“所有直线”呢？
（是）
7
1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条 直线就垂直于这个平面内的任何一条直线。
线面垂直 线线垂直
2.过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。 3.过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。
8
提出
问题
问题: 如何将一张长方形贺卡直立于 桌面？由此，你能猜想出判断一条直线与 一个平面垂直的方法吗？
猜想：一条直线与一个平面内的两条相交 直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
9
准备一块三角形纸片
过三角形ABC的顶点A翻折纸片，得到折
痕AD，将翻折后的纸片竖起放在桌面上（BD、
DC与桌面接触）
l 相互平行 C. l 在平面 内
A. 和平面
B.
l 和平面 相互垂直
（ D）
D.不能确定
15
4.如图所示：在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC= 60 PA=AC=a, PB=PD= 2a 求证：PA⊥面ABCD 解析：利用勾股定理得线线垂直，再由判 定定理得线面垂直。
证明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC= 60 ∴AB=AD=AC=a 在△PAB中，由 PA2 AB2 2a 2 PB2 知PA⊥AB B 同理，PA⊥AD. ∴PA⊥平面ABCD
13
典型例题
例1 如图，已知 a // b, a ，求证
b .
即：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一 条也垂直于同一个平面
证明：在平面 内作 a 两条相交直线m，n． 因为直线 a ， 根据直线与平面垂直的定义知
a m, a n.
b
A
m
n
又因为 b // a 所以 b m, b n. 又 m , n , m, n 是两条相交直线， 所以 b .
A
D
C
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1.直线与平面垂直的定义，垂线、垂面、垂足的概念。
2.直线与平面垂直的判定：（三种方法）
（1）用定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，
就说直线 l 与平面α互相垂直。
（2）用直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两相交直线都垂直，则该 直线与此平面垂直。
（3）利用例1的结论：
2.由折痕AD⊥BC，翻折之后AD⊥CD ，AD⊥BD
发生变化吗？由此你能得到什么结论？
A A D C
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B B D C
二、直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条 相交直线都垂直，则该直线 b 与此平面垂直。
符号语言：
a
l
A
线线垂直 线面垂直
a , b , a b A l l a, l b
两条互相平行的直线，如果有一条与一个平面垂直， 则另一条也与这个平面垂直。 17
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1.直线a与直线b垂直，直线b⊥平面
则直线a与平面 的位置
B.a∥ C.a D.a 或 a∥ 关系是（ D）A.a⊥ 2.以下四个命题中，真命题的个数为（ B ） ①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直 线和这个平面互相垂直；②过空间一点有且只有一条直线和一 个平面垂直；③一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这 条直线垂直于这个平面；④垂直于同一平面的两条直线平行。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.直线 l与平面 内的无数条直线垂直，则直线l 与平面的关系
2.3.1直线与平面垂直的判定（一）
1
观察下面生活中的现象，说出旗杆与地面是怎样的位置关系？
旗杆与底面垂直
2
桥柱与水面是怎样的位置关系？
桥柱与水面垂直
3
太阳
旗杆 A
C’
C B’ B
旗杆AB所在的直线与地面 内任意一条过点B（或不过 点B）的直线都垂直。
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提出
问题
A
B
α
思考： 如何定义一条直线与 一个平面垂直呢？ 讨论： 能否根据一条直线与一个平 面内的直线的垂直关系来确定这 条直线与这个平面垂直呢？
（1）折痕AD与桌面垂直吗?
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面垂直？
A
B
D
C
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A
A D
B
B
D
C
C
容易发现，当且仅当折痕AD是BC边 上的高时，AD所在直线与桌面所在平 面 垂直。
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1.有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面
上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面，
你同意他的说法吗？
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一、直线与平面垂直的定义
如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直， l 就说直线 l与平面α互相垂直。
记作：l ⊥α
直线l 叫做平面α的垂线 平面α叫做直线 l 的垂面
α
P
直线l 与平面α垂直时，它们惟一 的公共点P叫做垂足。
注：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的 平行四边形的一边垂直。
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思考Hale Waihona Puke Baidu 如果一条直线垂直于一个平面内的 无数条直线，那么这条直线是否与这个 平面垂直？ b （否）
a
α
上述问题中“无数条直线”改为“所有直线”呢？
（是）
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1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条 直线就垂直于这个平面内的任何一条直线。
线面垂直 线线垂直
2.过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。 3.过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。
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提出
问题
问题: 如何将一张长方形贺卡直立于 桌面？由此，你能猜想出判断一条直线与 一个平面垂直的方法吗？
猜想：一条直线与一个平面内的两条相交 直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
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准备一块三角形纸片
过三角形ABC的顶点A翻折纸片，得到折
痕AD，将翻折后的纸片竖起放在桌面上（BD、
DC与桌面接触）
l 相互平行 C. l 在平面 内
A. 和平面
B.
l 和平面 相互垂直
（ D）
D.不能确定
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4.如图所示：在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC= 60 PA=AC=a, PB=PD= 2a 求证：PA⊥面ABCD 解析：利用勾股定理得线线垂直，再由判 定定理得线面垂直。
证明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC= 60 ∴AB=AD=AC=a 在△PAB中，由 PA2 AB2 2a 2 PB2 知PA⊥AB B 同理，PA⊥AD. ∴PA⊥平面ABCD
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典型例题
例1 如图，已知 a // b, a ，求证
b .
即：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一 条也垂直于同一个平面
证明：在平面 内作 a 两条相交直线m，n． 因为直线 a ， 根据直线与平面垂直的定义知
a m, a n.
b
A
m
n
又因为 b // a 所以 b m, b n. 又 m , n , m, n 是两条相交直线， 所以 b .