数学竞赛辅导讲座：高斯函数Word版

数学竞赛辅导讲座：高斯函数

知识、方法、技能

函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.

定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -==

由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：

（1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][.

（4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1；

}{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2.

图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2

（5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中*

∈∈N n R x ,. （6）∑∑==∈≥+≥++≥+n

i i

i

n i i

R x

x x y x y x x y x y x 1

1

],[][

};{}{}{{];[][][

；特别地，

].[][

b

a n

b na ≥ （7）][][][y x xy ⋅≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥n

i i

i

n i i

R x

x x 1

1

],[][

；特别地，

*∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][.

（8）]]

[[

][n

x n x

=，其中*∈+∈N n R x ,. 【证明】（1）—（7）略.

（8）令Z m m n

x ∈=,][，则1+≤≤

m n

x

m ，因此，)1(+<≤m n x nm .由于nm ， N m n ∈+)1(，则由（3）知，),1(][+<≤m n x nm 于是，.]]

[[,1][m n

x m n x m =+<≤故 证毕.

取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个结论.

定理一：*

∈+∈N n R x ,，且1至x 之间的整数中，有][n

x 个是n 的倍数.

【证明】因n n x

x n n x n x n x n

x ⋅+<≤⋅+<≤

)1]([][,1][][即，此式说明：不大于x 而是n 的倍数的正整数只有这n

x ]

[个：

.][,,2,n n

x

n n ⋅

定理二：在n ！中，质数p 的最高方次数是

.][][][)!(32 +++=p

n

p n p n n p

【证明】由于p 是质数，因此!n 含p 的方次数)!(n p 一定是1，2，…，n n ,1-各数中所含p 的方次数的总和.由定理一知，1，2，…，n 中有][p n

个p 的倍数，有][

2p

n 个p 2

的倍数，…，所以.][

][)!(2

++=p n

p n n p 此定理说明：M p n n p ⋅=)!(!，其中M 不含p 的因数.例如，由于

]7

2000

[]72000[

)!2000(72+= +…=285+40+5=330，则2000！=7330

·M ，其中7 M .

定理三：（厄米特恒等式）][]1

[]2[]1

[][,,nx n

n x n x n x x N n R x =-+++++++∈∈ 则 【证法1】引入辅助函数

].1[]2[]2[]1[][][)(n n x n n x n x n x x nx x f -+--+--+-+--= 因=+)1

(n

x f …

)(x f =对一切R x ∈成立，所以)(x f 是一个以n 1为周期的周期函数，而当]1

,0[n

x ∈时，

直接计算知0)(=x f ，故任意R x ∈，厄米特恒等式成立.

【证法2】等式等价于}].{[][]1}[{]1}[{}][{][x n x n n

n x n x x x n +=-++++

++ 消去][x n 后得到与原等式一样的等式，只不过是对)1,0[∈x ，则一定存在一个k 使得

n k x n k <≤-1，即k nx k <≤-)1(，故原式右端.1][-==k nx 另一方面，由n

k

x n k <≤-1知，n

n k x n n k n i k x n i k n k n x n k n k n x n k 12,,1,,221,11-+<≤-+++<≤++<+≤++<+≤ 在这批不等式的右端总有一个等于1，设

k n t n t k -==+即,1. 这时，==+= ]1

[][n

x x 0][=-+n k n x ，而1]1

[]1[=-+==+-+n n x n k n x ，

因此原式的左端是1-k 个1之和，即左端.1-=k 故左=右.

【评述】证法2的方法既适用于证明等式，也适用于证明不等式.，这个方法是：第一步“弃整”，把对任意实数的问题转化为)1,0[的问题；第二步对)1,0[分段讨论.

高斯函数在格点（又叫整点）问题研究中有重要应用. 下面给出一个定理. 定理四：设函数],[)(b a x f y 在=上连续而且非负，那么和式

∑≤

t a b a t t f ],[)](([为内的整数）表示平面区域)(0,x f y b x a ≤<≤<内的格点个数.特别地，有

（1）位于三角形：d x c b ax y ≤<>+=,0内的格点个数等于∑≤<+d

x c x b ax 且]([为整

数）；