数学竞赛辅导讲座：高斯函数Word版
华杯赛初二辅导第十讲高斯函数
华杯赛初二辅导 第十讲 高斯函数一、知识概要1.定义：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数.则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.显然，[]y x =的定义域是R ，值域是Z .任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即[]()01x x a a =+≤<，因此，[]x x ≤[]1x <+，这里，[]x 为x 的整数部分，而{}[]x x x =-为x 的小数部分.2．性质（1）函数[]y x =是一个分段表达的不减的无界函数，即当12x x ≤时，有[][]12x x ≤；（2）[][]n x n x +=+，其中n Z ∈；（3）[][]11x x x x -<≤<+；（4）若[][]x y n ==，则,,x n a y n b =+=+其中0,1a b ≤<；（5）对于一切实数,x y 有[][][]x y x y +≤+；（6）若0,0x y ≥≥，则[][][]xy x y ≥；（7）[][][]1x x x ⎧--⎪-=⎨-⎪⎩ （x 不是整数时） （x 是整数时）（8）若n N +∈，则[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；当1n =时，[][]x x ⎡⎤=⎣⎦； （9）若整数,a b 适合a bq r =+（0,,b q r >是整数，0r b ≤<），则a q b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （10）x 是正实数，n 是正整数，则在不超过x 的正整数中，n 的倍数共有x n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个； （11）设p 为任一素数，在!n 中含p 的最高乘方次数记为()!p n ，则有：()()12!m m m n n n p n p n p p p p +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++≤<⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ． 证明：由于p 是素数，所有!n 中所含p 的方次数等于!n 的各个因数1,2,,n L 所含p 的方次数之总和。
小学六年级数学竞赛讲座 第2讲 高斯记号进阶
第二讲高斯记号进阶模块一、高斯记号求值：例1．和式S=5021305 [] 503nn =∑的值为。
解1：3051305502305503503⨯⨯+=，3052305501305503503⨯⨯+=，……，5021305305251503n n ==⨯∑ 所以5021305[]503n n =∑=5021305251503n n =-∑=304×251=76304. 解2：n =1时，3051[]0503⨯=；n =2时，3052[]1503⨯=；n =3时，3053[]1503⨯=；n =4时，3054[]2503⨯=； n =5时，3055[]3503⨯=；n =6时，3056[]3503⨯=；n =7时，3057[]4503⨯=；n =8时，3058[]4503⨯=； n =9时，3059[]5503⨯=；n =10时，30510[]6503⨯=；n =11时，30511[]6503⨯=；n =12时，30512[]7503⨯=； n =13时，30513[]7503⨯=；n =14，30514[]8503⨯=；n =15时，30515[]9503⨯=；n =16时，30516[]9503⨯=；…… 于是原式=0+(1+1+2+3+3)+(4+4+5+6+6)+(7+7+8+9+9)+……+(301+301+302+303+303)+304=10+25+40+……+1510+304=(101510)1003042+⨯+=76304.例2．计算：2101222[][][][]3333++++= 。
解：原式=0+0+1+2+5+10+21+42+85+170+341=677.解2：对于1、2、22、23、……、210，它们除以3的余数分别是1、2、1、2、……2、1， 所以直接算0121022223333++++，得到的数将偏大， 而前面11个余数中恰好组成5个3外加1个1， 于是0121022223333++++−153=1111(21)533⨯--=677. 例3．2000010010[]103+的值的个位数字为 。
高斯函数.doc
精英班数学讲义高斯函数一、知识纲要1 、定义： 设 x R ，用 x 表示不超出 x 的最大整数。
则 y x 称为高斯函数，也叫取整函数。
明显，y x 的定义域是 R ，值域是 Z 。
任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即 x x a 0 a 1 ，所以， x x x 1，这里， x 为 x 的整数部分，而 x x x 为 x 的小数部分。
定理 2 设 f (x) x x ，则 f ( x) 是一有界、周期为1 的非单一函数，其图像如( b ).2 、性质(a)(b)1、函数 y x 是一个分段表达的不减的无界函数，即当 x 1 x 2 时，有 x 1x 2 ；2、 n x nx ，此中 n Z ；3、 x1x xx 1 ；4、若 xyn ，则 x n a, y n b, 此中 0 a, b 1 ；5、关于一确实数 x, y 有 xy x y ；6、若 x 0, y 0 ，则 xy x y ；7、x x 1（ x 不是整数时）x（ x 是整数时 ）x8、若 n Nx；当 n 1时，xx ；，则nn9、若整数 a,b 合适 abq r （ b 0, q, r 是整数， 0 r b ），则a q ；b10、 x 是正实数， n 是正整数，则在不超出x 的正整数中， n 的倍数共有x 个；n下边再来议论高斯函数 x 的图像及 x 的图像和性质 .关于函数 y x ,怎样做出它的图像呢?我们先来剖析一下高斯函数x 的图像的基天性质和特点 .(1) 由 y x 的性质知 x 的图形在 y x 的图形的下方 .(2) 由 y x 的性质知 x 的图像是一组阶高为 1的平行于 x 轴的平行线段 这组平行线段呈阶,梯形 .可见函数 yx 是一个不减 (非单一 ) 的非周期的函数,其图像以下 ( a )例 1 、方程 [ x]x 1 实数根的个数例 2 、函数 f (x) 定义在 R 上，对随意x R , 有 f ( x 1) f (x) ，则函数 f ( x) 在 R 上能否为增函数，请说明原因。
初一暑假竞赛班第五讲高斯函数
高斯函数一、基础知识（一）概念对任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，称[x ]为高斯函数或取整函数。
对任意实数x ，{x }＝x －[x ]，称为x 的小数部分。
若x ＝n ＋α，n 为整数，0≤α＜1，则[x ]＝n ，{x }＝α，x ＝[x ]＋{x }。
（二）性质1．（1）[x ]≤x ＜[x ]＋1；（2）x －1＜[x ]≤x ；（3）0≤{x }＜1。
2．（1）[n ＋x ]＝n ＋[x ]，n 为整数；（2）[x ]＋[y ]≤[x ＋y ]；（3）{x }＋{y }≥{x ＋y }；（4）若x ≥0，y ≥0，则[xy ]≥[x ][y ]。
3．若[x ]＝[y ]，则|x －y |＜1。
4．[][][]⎩⎨⎧---=-是整数时不是整数时x x x x x 15．若a ，b 是两整数，且b ＞0，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a b b a b a 。
二、例题例1 (1)[0.03]= (2)[-2.5] = (3)[10.25]=(4) [-7+2.7] = (5) 1001[]17-= (6) 1219[]18+++= 例2 已知M ＝111122320082009+++⨯⨯⨯，求[M ]．例3 如果[x ]＝3，[y ]＝1，[z ]＝1，求[x ＋y －z ]的值．例4 设m ，n 都是正整数，请问1，2，3，…，m 中共有多少个数是n 的倍数？例5 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯10123100101233101232101231 的值。
例6解下列方程：（1）[x ]－2＝0；（2）2x －[x ]＝165．例7 设x 为任意实数，求证：[][]x x x 221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++。
推广：设x 为任意实数，n 为正整数，则 [][]nx n n x n x n x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++121 。
高斯函数——中学数学竞赛辅导讲座
作者： 穆德华
作者机构： 昭通地区一中
出版物刊名： 昭通学院学报
页码： 74-83页
主题词： 高斯函数 数学竞赛 中学数学教师 数论函数 取整函数 解题技巧 竞赛试题 辅导讲座 整数集 文介
摘要： 高斯函数又称取整函数,是一个非常重要的数论函数,与它相关的问题在目前国内外数学竞赛试题中频繁出现。
作为参加数学竞赛的选手,要获取优异成绩,掌握一些高斯函数的基础知识和解题技巧是十分必要的,因此高斯函数也就成为许多中学数学教师关注的一个重要课题。
本文介绍几类有关高斯函数的问题的解法技巧。
初中数学竞赛代数专题讲义之高斯函数例题习题及详解
初中数学竞赛之高斯函数对于任意实数x ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，称为取整数。
符号[]叫做取整符号，或者叫做高斯记号。
一般地，[]x y =叫做取整函数，也叫做高斯函数或数论函数，自变量x 的取值范围是一切实数。
一、专题知识1.R ∈x ,[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]x y =称为高斯函数。
记{}[]x x x -=称为x 的小数部分，{}10≤≤x 。
2.设R ∈y x ，，高斯函数[]x y =有如下性质：（1）[][]1+≤≤x x x .（2）若y x ≤，则[][]y x ≤.（3）[][]x n x n +≤+.（4）[][][]⎩⎨⎧∉--∈-=-)Z (1)Z (x x x x x （5）[][][]y x y x +≤+.（6）[][][]y x y x -≤-或[]1+-y x .（7）[][][][][]y y x x y x +++≥+22.二、例题分析例题1若[]a 表示实数a 的整数部分，求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-76161的值。
【解】27379176161+=-=-，而372<<，从而327325<+<，从而276161=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-例题2[]x ，[]y ，[]z 分别不大于z y x ，，的最大整数。
若[]5=x ，[]3-=y ，[]1-=z ，求[]z y x --的值。
【解】由已知条件知65<≤x ，23-<≤-y ，01<≤-z ，32≤-<y ，10≤-<z ，107<--<z y x []z y x --的值为7，8，9。
例题3已知n 为正整数，证明：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 。
【证明】由于[][][]1+⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，变形得[][][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n 对于任意实数x ，有[][]1-<≤x x x 或[]x x x ≤<-1，由于[]⎪⎭⎫⎝⎛n x n 和[]⎪⎭⎫⎝⎛+1n x n 都是整数，且[][]1-<≤x x x ，所以[][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n ，故[][][]1+<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，所以[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 例题4解方程4)12(3534+=⎦⎤⎢⎣⎡+x x .【解】设m x =+4)12(3，则634-=m x ，则原方程化为m m =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-⋅536344，化简得m m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1538因为[]10<-≤x x ，所以115380<-+≤m m ，解得73712≤<-m ，由于Z ∈m ，所以0=m 或1-=m ，代入634-=m x 得，21-=x 或67-=x 原方程的解为21-=x 或67-=x三、专题训练1.已知n 为正整数，222131211nS n ++++= ，求[]n S 的值。
高中数学竞赛专题讲义-高斯函数
高斯函数(1)[知识点金]1. 有关概念对于任意实数x ,[]x 为不超过x 的最大整数,,[]y x =称为取整函数或叫高斯函数,并将{}[]y x x x ==-称为小数部分函数,表示x 的小数部分.2. 重要性质(1) []y x =的定义域是R ,值域为Z ;(2) 如果,x R n Z ∈∈,则有[][]n x n x +=+;(3) 对任意x R ∈,有[][][]1,1x x x x x x ≤<+-<≤;(4) 当x y ≤时,有[][]x y ≤,即[]y x =是不减函数;(5) 对于,x y R ∈,有[][][][][]1x y x y x y +≤+≤++;(6) 如果,n N x R +∈∈,则[][]nx n x ≥;(7) 如果,n N x R +∈∈,则[]x x n n ⎡⎤⎡⎤≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 3. 常用方法(1) 定义法 (2) 讨论 (3) 分组法 (4) 去整法 (5) 构造法[例题精析]例1 求方程21310380x x +⎡⎤-⨯+=-⎣⎦的解的个数.例2 解方程 [][]83523x x -=.例3 求方程[]2lg lg 20x x --=的实数根的个数.例4 求函数15()1(0100)15x f x x x -⎡⎤⎡⎤=+<<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域.例5 求证:方程[][][][][][]248163212345x x x x x x +++++= 无实数解.例6 (1) ,x R n N ++∈∈,且1至x 之间的整数中,有x n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个是n 的倍数. (2) 在!n 中,质数P 的最高方次数是23(!)n n n P n p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ . (3) x 为实数,n 为正整数,求证: [][]121.n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦例7 若实数x 满足192091546100100100x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ,求[]100x 的值.例8 求100123101n n =⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑的值.例9 求2000010010103⎡⎤⎢⎥+⎣⎦的个位数字.例10 设[]x 表示不超过实数x 的最大整数,求集合2,12004,2005k n n k k N ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=≤≤∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭的元素个数.[同步检测1]1.求232007232007⎡⎡⎡++++++⎢⎢⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦的值. 2. 已知,x y 满足[][]23325y x y x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩,求x y +的取值范围. 3. 求方程[]2tan 2cos x x =的解集. 4. 解方程 []2440510x x -+=. 5. 求方程[]2870x x -+=的所有解. 6. 解方程[]33x x -=. 7. 求函数1122(),(0,90)1122x f x x x ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⋅∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域. 8. 求实数933110103⎡⎤⎢⎥+⎣⎦的末两位数字.9. 对任意的n N +∈,计算和1022k k k n S ∞+=⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦∑.10. 计算和式5020305503n n S =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑的值.11. 设M 为一正整数,问方程[]{}222x x x -=在[]1,M 中有多少个解?12. 对自然数n 及一切自然数x ,求证: [][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ .13. 在区域{}(,),0,1x y x y x y >=中,求函数[][][][](,)1x yf x y x y x y +=⋅+++的值域,其中[]a 表示a 的整数部分.14. 设n 是给定的大于1的正整数,求证: 存在唯一的正整数2A n <,使得21n n A ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.高斯函数(2)前述部分重要性质的证明:性质5: []{}[]{}[][][]{}{},,x x x y y y x y x y x y ⎡⎤=-=-+=+++⎣⎦[][]0x y =++或1性质6: []{}[][]{}[]{}[],x x x nx n x n x n x n x n x ⎡⎤=+=+=+≥⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 性质7: []1x x x x x x x n x n n n x n n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤<+⇒≤<+⇒≤<+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ [][]1x x x x x n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇒≤<+⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 例11.从992到1992的整数中,有多少个数是7的倍数?如果79929931992k⋅⋅ ,求最大的正整数k .例12. 求1992!末尾的0 的个数.例13.在整数列22221231980,,,,1980198019801980⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 中,包含着多少个互不相等的整数?例14.求数列1,2,2,3,3,3,,,,,k k k k个的通项公式.[同步检测2]1.[][]x y =是1x y -<的 条件.A. 充分不必要 B 必要不充分 C. 充分必要 D.既不充分也不必要2.在1000!的十进制展开中,末尾有 个零.3.方程[]292x x -=的实数解为 .4.求和++++ .5.求证:对于任意实数,x y 都有[][][][][]22x y x x y y +≥+++6.对于n 为大于2 的正整数,求证:(1)1424n n n n ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦.7.求和[]102421log N N =∑。
奥数讲座(1)高斯算法
高斯算法德国有一位世界著名的数学家叫高斯，他上学时，老师出了一道数学题：1＋2＋3＋……＋100＝？，小高斯看了看题目，想了一下，很快说出结果是5050。
他的同学无不为之惊奇，甚至还有的同学以为他在瞎说。
但小高斯得出的结果被确定是正确的。
同学们，你们知道他是怎么算出来的吗？原来小高斯在认真审题的基础上，根据题目的特点，发现了这样的有趣现象：1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，……，50＋51＝101，一共有多少个101呢？100个数，每两个数是一对，共有50对，即共有50个101，所以1＋2＋3＋……＋100＝101×50＝5050。
由此归纳出一个公式，是等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2。
在数学上，人们把1～100这些数中的每个数都叫做项，并把这样的一串数称做等差数列。
这就是“高斯算法”的公式。
有了它，好多数学竞赛中的问题解答起来就方便多了。
【例1】计算：6000－1－2－3－…－99－100分析：可先利用减法的性质，把原题变为6000－（1＋2＋3＋＋4＋…＋100），然后再利用高斯求和公式计算。
所以原式＝6000－（1＋100）×50＝6000－5050＝950。
【例2】计算：1＋2＋3－4＋5＋6＋7－8＋9＋…＋25＋26＋27－28。
减数””。
因此计【技巧点拨】仔细观察这个算式，发现它很有规律地出现着一些【技巧点拨】仔细观察这个算式，发现它很有规律地出现着一些““减数算时应特别细心。
在次介绍了三种解法。
解法一可这样想：开始我们把减数当成加数来算了，所以后来应减去这些减数的和的解法二可这样想：四个数为11组，28所以后来应减去这些减数的和的22倍。
解法二可这样想：四个数为组，所以项数是77。
个数就77组，所以项数是个数就解法一：变减为加，整体推算。
（其中减数为4的倍数，共28÷4＝7个。
（1＋28）×28÷2－[(4＋28)×7÷2]×2＝182解法二：分组累计。
高斯函数
讨论： 对一类含有[ x ]或{ x }的方程，可利用高斯函数的性质，常有 两种解法：一是去掉方括号[ x ], 转化为x的不等式来求解；二 是化为方括号[ x ]，转化[ x ]的不等式来求解。两种解法共同之 处是将等式化为不等式求解，这在高斯函数的方程的解法中 是常用的。又如解方程5 x 2[ x ] 31 0 31 5 x 解法一：由x 1 [ x ] x , 及[ x ] ,得 2 31 5 x x 31 33 2 解得 x , 故[ x ] 4. 7 7 31 5 x x 1 2
证法二：令f ( x ) [ x ] [2 x ] [4 x ] [8 x ] [16 x ] [32 x ], 且设方程的一个实根为x0 , 那么有f ( x0 ) 12345. 由高斯函数的性质知，f ( x )是不减函数， f (195) 12285 12345, f (196) 12348 12345 所以195 x0 196, 记y x0 195, 则0 y 1, 且f ( y ) [ x0 195] [2 x0 2 195] ... [32 x0 32 195] [ x0 ] [2 x0 ] ... [32 x0 ] ([195] [2 195] ... [32 195]) f ( x0 ) f (195) 12345 12285 60 另一方面，由于0 y 1, 因此n N * , 都有0 ny n, 从而有[ny ] n 1, 于是f ( y ) [ y ] [2 y ] [4 y] [8 y] [16 y] [32 y] 0 1 3 7 15 31 57 60矛盾。 故原方程无解。
【数学】高中数学竞赛讲义-高斯函数【精华】
§28高斯函数数论函数][x y，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x xx x y 由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：（1）][x y的定义域为R ，值域为Z ；}{x y 的定义域为R ，值域为)1,0[（2）对任意实数x ，都有1}{0},{][x x x x 且.（3）对任意实数x ，都有x x x x xx ][1,1][][.（4）][x y是不减函数，即若21x x 则][][21x x ，其图像如图I －4－5－1；}{x y 是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2.图Ⅰ—4—5—1图Ⅰ—4—5—2（5）}{}{];[][x n x x n n x.其中N nR x,.（6）ni i i ni i R x x x y x y x x y x y x 11],[][};{}{}{{];[][][；特别地，].[][ban bna （7）][][][y x xy ，其中R yx,；一般有ni ii ni i R x x x 11],[][；特别地，N nR xx x nn,],[][.（8）]][[][nx nx，其中N nR x,.例题讲解1．求证：,2!211k n nn 其中k 为某一自然数.2．对任意的1].22[,K k kn S N n 计算和3．计算和式.]503305[502的值n n S4．设M 为一正整数，问方程222}{][x x x，在[1，M]中有多少个解？5．求方程.051][4042的实数解x x6．.][3]3[2]2[1][][:,,nnx x x x nx N n R x 证明7．对自然数n 及一切自然数x ，求证：].[]1[]2[]1[][nx nn xnxnxx .8．求出]31010[10020000的个位数字例题答案：1．证明：2为质数，n!中含2的方次数为1].2[)!(2t tn n 若1111221111122221]2[]2[)!(2,2t k t k k t k t k k n n n 则故!.|21n n 反之，若n 不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2sp ，其中p>1为奇数，这时总可以找出整数t ，使]2[]2[)!(22!,222211p p n n p s s t st 的方次数为中所含于是0]2[p ts ].2[]22[])12(2[])222[(21p np p p p ts ts stts ts s s 由于12,2)!(22!,2]2[,221n ts ts n n n p则的方次数中含故则n!.这与已知矛盾，故必要性得证.2．解：因]212[]22[11k k n n 对一切k=0,1,…成立，因此，].2[]22[]212[111k k k n n n 又因为n 为固定数，当k 适当大时,.)]2[]2([,0]2[,121n n n Sn n K k kkk故从而3．解：显然有：若.,,1][][][,1}{}{R y x y x y x y x 则503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502, 503305n 都不会是整数，但503305n +,305503)503(305n 可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[503305n ]+.304]503)503(305[n 故25115021.76304251304]),503)503(305[]503305([]503305[n n n n n S4．解：显然x=M 是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解. 设x 是方程的解.将222}{}{}{2][x x x x x代入原方程，化简得}]{[2x x ,1}{0].}{}]{[2[2x x x x 由于所以上式成立的充要条件是2[x]{x}为一个整数..1)1(],1[,.)1())1(21(2),1[,11.2)1,[),12,,1,0(2}{,][个解中有原方程在因此个解中方程有可知在又由于个解中方程有即在则必有设MM M M M M M M m m m m m k mkx N m x 5．解：.0][,1][][不是解又因x x x x .217][,23][,211][;217][,23][,25][.07][2)(3][2(.0)11][2)(5][2(.051][4][4,051][40)1]([422x x x x x x x x x x x x x x 或.2269,02694;2229,02294;2189,01894;229,0294:,876][2][2222xxx x x x x x x x 分别代入方程得或或或解得经检验知，这四个值都是原方程的解.6．这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下.【证明】.,2,1,][2]2[][k kkx x x A k 令由于.,1],[1命题成立时则n x A.,,,],[][][][][][][])[])1([(]))2[(]2([])1[(]([][]2[])2[(])1[(][])1[(]2[][][])1[(]2[][][])1[(]2[][)(:].[],2[22,],)1[()1()1(],[,][,][,].)1[(,],2[],[,1122112111221111121证毕均成立故原不等式对一切命题成立时即故相加得所以成立对一切即因为即有时命题成立设N nk n kx A kx k kx kx kx kx kx x x k x kx x k x x x x k x k kx x k x x A A A A kx x k x x kA kx x kx x A A A kA x A x A A x k A k A k kx kA kA k kx kA kA k kx A A x k A x A x A k n kkk kk k k k kk kkkk k7．解：M ＝|f(x)|max ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－2a )|} ⑴若|－2a |≥1 (对称轴不在定义域内部)则M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|} 而f ⑴＝1＋a ＋b f(－1)＝1－a ＋b|f ⑴|＋|f(－1)|≥|f ⑴＋f(－1)|＝2|a|≥４则|f ⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于 2∴M ≥２＞21⑵|－2a |＜1M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－2a )|}＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a 2＋b|}＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－4a2＋b|，|－4a2＋b|}≥41(|1＋a ＋b|＋|1－a ＋b|＋|－4a 2＋b|＋|－4a2＋b|) ≥41[(1＋a ＋b)＋(1－a ＋b)－(－4a 2＋b)－(－4a2＋b)] ＝)2a2(412≥21综上所述，原命题正确.8．先找出3101010020000的整数部分与分数部分.。
江苏省兴化市楚水实验学校高中数学竞赛28高斯函数
§28高斯函数数论函数][xy=，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数][,xx是不超过x的最大整数，称][x为x的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{xxxxy-==由][x、}{x的定义不难得到如下性质：（1）][xy=的定义域为R，值域为Z；}{xy=的定义域为R，值域为)1,0[（2）对任意实数x，都有1}{},{][<≤+=xxxx且.（3）对任意实数x，都有xxxxxx≤<-+<≤][1,1][][.（4）][xy=是不减函数，即若21xx≤则][][21xx≤，其图像如图I －4－5－1；}{xy=是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2.图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2 （5）}{}{];[][xnxxnnx=++=+.其中*∈∈NnRx,.（6）∑∑==∈≥+≥++≥+niiiniiRxxxyxyxxyxyx11],[][};{}{}{{];[][][；特别地，].[][banbna≥（7）][][][yxxy⋅≥，其中+∈Ryx,；一般有∑∏=+=∈≥niiiniiRxxx11],[][；特别地，*∈+∈≤NnRxxx nn,],[][.（8）]][[][nx n x =，其中*∈+∈N n R x ,. 例题讲解1．求证：,2!211--=⇔k n n n 其中k 为某一自然数.2．对任意的∑∞=+*+=∈01].22[,K k kn S N n 计算和3．计算和式.]503305[502的值∑==n nS4．设M 为一正整数，问方程222}{][x x x =-，在[1，M]中有多少个解？5．求方程.051][4042的实数解=+-x x6．.][3]3[2]2[1][][:,,nnx x x x nx N n R x ++++≥∈+∈*证明7．（厄米特恒等式）对自然数n 及一切自然数x ，求证：].[]1[]2[]1[][nx nn x n x n x x =-+++++++ .8．求出]31010[10020000+的个位数字例题答案：1．证明：2为质数，n!中含2的方次数为 ∑∞==1].2[)!(2t tnn若∑∑∞=-=--------=-=++++====1111221111122221]2[]2[)!(2,2t k t k k t k t k k n n n 则故!.|21n n -反之，若n 不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2s p ，其中p >1为奇数，这时总可以找出整数t ，使+++=<<--+ ]2[]2[)!(22!,222211p p n n p s s t s t 的方次数为中所含于是 ≤++- 0]2[p t s ].2[]22[])12(2[])222[(21p n p p p p t s t s s t t s t s s s -------+=-=-=+++由于12,2)!(22!,2]2[,221----≤-=-<<n t s ts n n n p 则的方次数中含故则n !.这与已知矛盾，故必要性得证. 2．解：因]212[]22[11+=+++k k n n 对一切k =0,1,…成立，因此， ].2[]22[]212[111+++-⋅=+k k k n n n又因为n 为固定数，当k 适当大时,.)]2[]2([,0]2[,1201n nn S n n K k k k k ==-==<∑∞=+ 故从而3．解：显然有：若.,,1][][][,1}{}{R y x y x y x y x ∈++=+=+则503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502, 503305n 都不会是整数，但503305n +,305503)503(305=-n可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[503305n ]+.304]503)503(305[=-n 故 ∑∑===⨯=-+==25115021.76304251304]),503)503(305[]503305([]503305[n n n n n S4．解：显然x =M 是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解.设x 是方程的解.将222}{}{}{2][x x x x x +⋅+=代入原方程，化简得=}]{[2x x,1}{0].}{}]{[2[2<≤+x x x x 由于所以上式成立的充要条件是2[x ]{x }为一个整数..1)1(],1[,.)1())1(21(2),1[,11.2)1,[),12,,1,0(2}{,][个解中有原方程在因此个解中方程有可知在又由于个解中方程有即在则必有设+--⋅=-+++-≤≤+-==∈=M M M M M M M M m m m m m k mkx N m x5．解：.0][,1][][不是解又因<+<≤x x x x224([]1)40[]510,(2[]5)(2[]11)0.(2[]3)(2[]70.4[]4[]510.511[],[],2233[],[],221717[];[].22x x x x x x x x x x x x x x ⎧+-+>-->⎧⎪∴⎨⎨--≤-+≤⎪⎩⎩⎧⎧<>⎪⎪⎪⎪⎪⎪≥≥⎨⎨⎪⎪⎪⎪≤≤⎪⎪⎩⎩或.2269,02694;2229,02294;2189,01894;229,0294:,876][2][2222==-==-==-==-==x x x x x x x x x x 分别代入方程得或或或解得经检验知，这四个值都是原方程的解.6．这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下. 【证明】.,2,1,][2]2[][ =+++=k kkx x x A k 令 由于.,1],[1命题成立时则==n x A.,,,],[][][][][][][])[])1([(]))2[(]2([])1[(]([][]2[])2[(])1[(][])1[(]2[][][])1[(]2[][][])1[(]2[][)(:].[],2[22,],)1[()1()1(],[,][,][,].)1[(,],2[],[,1122112111221111121证毕均成立故原不等式对一切命题成立时即故相加得所以成立对一切即因为即有时命题成立设*---------∈=≤∴=+++≤++-++-++-+=+++-+-++-+++≤++++++-+++=+-+++=+++-==--=---=-=-=--≤≤≤-≤N n k n kx A kx k kx kx kx kx kx x x k x k x x k x x x x k x k kx x k x x A A A A kx x k x x kA kx x k x x A A A kA x A x A A x k A k A k kx kA kA k kx kA kA kkx A A x k A x A x A k n k k k k k k k k k k k k k k k7.（厄米特恒等式）][]1[]2[]1[][,,nx nn x n x n x x N n R x =-+++++++∈∈ 则 【证法1】引入辅助函数].1[]2[]2[]1[][][)(n n x n n x n x n x x nx x f -+--+--+-+--= 因=+)1(nx f …)(x f =对一切R x ∈成立，所以)(x f 是一个以n 1为周期的周期函数，而当]1,0[nx ∈时，直接计算知0)(=x f ，故任意R x ∈，厄米特恒等式成立.【证法2】等式等价于}].{[][]1}[{]1}[{}][{][x n x n nn x n x x x n +=-++++++ 消去][x n 后得到与原等式一样的等式，只不过是对)1,0[∈x ，则一定存在一个k 使得n k x n k <≤-1，即k nx k <≤-)1(，故原式右端.1][-==k nx 另一方面，由nk x n k <≤-1知，nn k x n n k n i k x n i k n k n x n k n k n x n k 12,,1,,221,11-+<≤-+++<≤++<+≤++<+≤ 在这批不等式的右端总有一个等于1，设k n t n t k -==+即,1. 这时，==+= ]1[][nx x 0][=-+n k n x ，而1]1[]1[=-+==+-+n n x n k n x ，因此原式的左端是1-k 个1之和，即左端.1-=k 故左=右.【评述】证法2的方法既适用于证明等式，也适用于证明不等式.，这个方法是：第一步“弃整”，把对任意实数的问题转化为)1,0[的问题；第二步对)1,0[分段讨论.8．先找出3101010020000+的整数部分与分数部分.3101010020000+=31033103)10(100200100200200100+++-100200200100210021001002220000200100100222000020010020010010010020000200020020000100100100100(10)3[(10)](3),(10)3|103103|(10)3,103.103391,10310310103109[]103103103-=---+--+=<++--===+++知 又知 是整数显然知20000501001081.103-+ 其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3.。
第六讲高斯函数与整点
第六讲 高斯函数与整点本讲概述本讲我们将研究全国数学联赛二试范围内初等数论所要求的最后一个专题：高斯函数][x y =. 实际上高斯函数就是取整函数，利用这个函数可以将以前很多需要大量描述才能说清楚的问题很简洁地描述和处理.我们想给出高斯函数的定义及若干性质:定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -==由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：（1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][.（4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图1；}{x y =是以1为周期的周期函数，如图2.图1 图2（5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中*∈∈N n R x ,. （6）11[][][];{}{}{};[][],n ni i i i i x y x y x y x y x x x R ==+≥++≥+≥∈∑∑；特别地，].[][ba nb na ≥ （7）][][][y x xy ⋅≥，其中+∈R y x ,；一般有11[][],n niiii i x x x R+==≥∈∏∏；特别地，*∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][.（8）]][[][nx n x =，其中*∈+∈N n R x ,. 【证明】（1）—（7）略. （8）令Z m m n x∈=,][，则1+≤≤m nxm ，因此，)1(+<≤m n x nm .由于nm ， N m n ∈+)1(，则由（3）知，),1(][+<≤m n x nm 于是，.]][[,1][m nx m n x m =+<≤故 证毕.上面（1）-（5）都很容易理解；而（6）-（7）一般只需掌握二元形式，多元的很难用上；(8)的证明方法是涉及高斯函数问题的一种典型方法，必须熟练掌握.以下给出高斯函数相关的几个重要定理：定理一：*∈+∈N n R x ,，且1至x 之间的整数中，有][nx 个是n 的倍数.【证明】因n nxx n n x n x n x n x ⋅+<≤⋅+<≤)1]([][,1][][即，此式说明：不大于x 而是n 的倍数的正整数只有这nx ][个： .][,,2,n nxn n ⋅Λ定理二：在n ！中，质数p 的最高方次数是.][][][)!(32Λ+++=pnp n p n n p【证明】由于p 是质数，因此!n 含p 的方次数)!(n p 一定是1，2，…，n n ,1-各数中所含p 的方次数的总和.由定理一知，1，2，…，n 中有][p n 个p 的倍数，有][2pn个p 2的倍数，…，所以.][][)!(2Λ++=pnp n n p此定理说明：M p n n p ⋅=)!(!，其中M 不含p 的因数.例如，由于]72000[]72000[)!2000(72+=+…=285+40+5=330， 则2000！=7330·M ，其中7M 宮. 定理三：（厄米特恒等式）][]1[]2[]1[][,,nx nn x n x n x x N n R x =-+++++++∈∈Λ则高斯函数在格点（又叫整点）问题研究中有重要应用. 下面给出一个定理. 定理四：设函数],[)(b a x f y 在=上连续而且非负，那么和式∑≤<bt a b a t t f ],[)](([为内的整数）表示平面区域)(0,x f y b x a ≤<≤<内的格点个数.特别地，有位于三角形：d x c b ax y ≤<>+=,0内的格点个数等于∑≤<+dx c x b ax 且]([为整数）； （2）奇数p,q 满足1),(=q p ，矩形域]2,0;2,0[pq 内的格点数等于.2121][][2/02/0∑∑<<<<-⋅-=+q x p y q p y pq x q p *注：利用上面的结果，我们可以证明关于初等数论中关于雅可比符号的二次互反律. *（3）0>n ，区域：n xy y x ≤>>,0,0内的格点个数等于∑<<-nx n x n02][][2. 这些结论通过画图即可得到.关于格点更深入的研究(如格点多边形面积等)往往涉及到组合几何的与数论的高级知识，有兴趣的同学可以参考闵嗣鹤的小丛书《格点与面积》，这些更高难度的问题一般只在冬令营及更高级别赛事中出现，本讲不涉及.一般来说，联赛中只涉及到中等难度的格点个数计数问题，其处理手段即利用定理4.例题精讲【例1】 （1）试利用定理2给出34！的质因子分解形式；（2）若其展开式最后12位是643,,,abc def ghi ，试确定最后9位数.【例2】（1）证明当n=1,2,…时交错地取偶数与奇数值。
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数学竞赛辅导讲座：高斯函数知识、方法、技能函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -==由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质：（1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][.（4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1；}{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2.图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2（5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中*∈∈N n R x ,. （6）∑∑==∈≥+≥++≥+ni iin i iR xx x y x y x x y x y x 11],[][};{}{}{{];[][][；特别地，].[][ba nb na ≥ （7）][][][y x xy ⋅≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥ni iin i iR xx x 11],[][；特别地，*∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][.（8）]][[][nx n x=，其中*∈+∈N n R x ,. 【证明】（1）—（7）略.（8）令Z m m nx ∈=,][，则1+≤≤m nxm ，因此，)1(+<≤m n x nm .由于nm ， N m n ∈+)1(，则由（3）知，),1(][+<≤m n x nm 于是，.]][[,1][m nx m n x m =+<≤故 证毕.取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个结论.定理一：*∈+∈N n R x ,，且1至x 之间的整数中，有][nx 个是n 的倍数.【证明】因n n xx n n x n x n x nx ⋅+<≤⋅+<≤)1]([][,1][][即，此式说明：不大于x 而是n 的倍数的正整数只有这nx ][个：.][,,2,n nxn n ⋅定理二：在n ！中，质数p 的最高方次数是.][][][)!(32 +++=pnp n p n n p【证明】由于p 是质数，因此!n 含p 的方次数)!(n p 一定是1，2，…，n n ,1-各数中所含p 的方次数的总和.由定理一知，1，2，…，n 中有][p n个p 的倍数，有][2pn 个p 2的倍数，…，所以.][][)!(2++=p np n n p 此定理说明：M p n n p ⋅=)!(!，其中M 不含p 的因数.例如，由于]72000[]72000[)!2000(72+= +…=285+40+5=330，则2000！=7330·M ，其中7 M .定理三：（厄米特恒等式）][]1[]2[]1[][,,nx nn x n x n x x N n R x =-+++++++∈∈ 则 【证法1】引入辅助函数].1[]2[]2[]1[][][)(n n x n n x n x n x x nx x f -+--+--+-+--= 因=+)1(nx f …)(x f =对一切R x ∈成立，所以)(x f 是一个以n 1为周期的周期函数，而当]1,0[nx ∈时，直接计算知0)(=x f ，故任意R x ∈，厄米特恒等式成立.【证法2】等式等价于}].{[][]1}[{]1}[{}][{][x n x n nn x n x x x n +=-++++++ 消去][x n 后得到与原等式一样的等式，只不过是对)1,0[∈x ，则一定存在一个k 使得n k x n k <≤-1，即k nx k <≤-)1(，故原式右端.1][-==k nx 另一方面，由nkx n k <≤-1知，nn k x n n k n i k x n i k n k n x n k n k n x n k 12,,1,,221,11-+<≤-+++<≤++<+≤++<+≤ 在这批不等式的右端总有一个等于1，设k n t n t k -==+即,1. 这时，==+= ]1[][nx x 0][=-+n k n x ，而1]1[]1[=-+==+-+n n x n k n x ，因此原式的左端是1-k 个1之和，即左端.1-=k 故左=右.【评述】证法2的方法既适用于证明等式，也适用于证明不等式.，这个方法是：第一步“弃整”，把对任意实数的问题转化为)1,0[的问题；第二步对)1,0[分段讨论.高斯函数在格点（又叫整点）问题研究中有重要应用. 下面给出一个定理. 定理四：设函数],[)(b a x f y 在=上连续而且非负，那么和式∑≤<bt a b a t t f ],[)](([为内的整数）表示平面区域)(0,x f y b x a ≤<≤<内的格点个数.特别地，有（1）位于三角形：d x c b ax y ≤<>+=,0内的格点个数等于∑≤<+dx c x b ax 且]([为整数）；（2）1),(=q p ，矩形域]2,0;2,0[pq 内的格点数等于.2121][][2/02/0∑∑<<<<-⋅-=+q x p y q p y p q x q p （3）0>r ，圆域222r y x ≤+内的格点个数等于∑≤<--++2/0222]2[4][8][41r x r x r r .（4）0>n ，区域：n xy y x ≤>>,0,0内的格点个数等于∑<<-nx n x n 02][][2. 这些结论通过画图即可得到.例1：求证：,2!211--=⇔k n n n 其中k 为某一自然数.（1985年第17届加拿大数学竞赛试题） [证明]2为质数，n!中含2的方次数为∑∞==1].2[)!(2t t n n 若∑∑∞=-=--------=-=++++====1111221111122221]2[]2[)!(2,2t k t k k t k t k k n n n 则故!.|21n n -反之，若n 不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2sp ，其中p >1为奇数，这时总可以找出整数t ，使+++=<<--+ ]2[]2[)!(22!,222211p p n n p s s t s t 的方次数为中所含于是 ≤++- 0]2[p t s ].2[]22[])12(2[])222[(21p n p p p p t s t s s t t s t s s s -------+=-=-=+++由于12,2)!(22!,2]2[,221----≤-=-<<n t s ts n n n p 则的方次数中含故则n !.这与已知矛盾，故必要性得证.例2：对任意的∑∞=+*+=∈01].22[,K k kn S N n 计算和 （第10届IMO 试题）【解】因]212[]22[11+=+++k k n n 对一切k =0,1,…成立，因此，].2[]22[]212[111+++-⋅=+k k k nn n 又因为n 为固定数，当k 适当大时,.)]2[]2([,0]2[,1201n nn S n n K k k k k ==-==<∑∞=+ 故从而例3：计算和式.]503305[502的值∑==n n S （1986年东北三省数学竞赛试题） 【解】显然有：若.,,1][][][,1}{}{R y x y x y x y x ∈++=+=+则 503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502, 503305n 都不会是整数，但503305n +,305503)503(305=-n可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[503305n ]+.304]503)503(305[=-n 故 ∑∑===⨯=-+==25115021.76304251304]),503)503(305[]503305([]503305[n n n n n S例4：设M 为一正整数，问方程222}{][x x x =-，在[1，M]中有多少个解？ （1982年瑞典数学竞赛试题）【解】显然x =M 是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解.设x 是方程的解.将222}{}{}{2][x x x x x +⋅+=代入原方程，化简得=}]{[2x x,1}{0].}{}]{[2[2<≤+x x x x 由于所以上式成立的充要条件是2[x ]{x }为一个整数..1)1(],1[,.)1())1(21(2),1[,11.2)1,[),12,,1,0(2}{,][个解中有原方程在因此个解中方程有可知在又由于个解中方程有即在则必有设+--⋅=-+++-≤≤+-==∈=M M M M M M M M m m m m m k mkx N m x例5：求方程.051][4042的实数解=+-x x （第36届美国数学竞赛题） 【解】.0][,1][][不是解又因<+<≤x x x x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥<⎩⎨⎧≤-->--⎪⎩⎪⎨⎧≤+->+-+∴.217][,23][,211][;217][,23][,25][.07][2)(3][2(.0)11][2)(5][2(.051][4][4,051][40)1]([422x x x x x x x x x x x x x x 或 .2269,02694;2229,02294;2189,01894;229,0294:,876][2][2222==-==-==-==-==x x x x x x x x x x 分别代入方程得或或或解得经检验知，这四个值都是原方程的解. 例6：.][3]3[2]2[1][][:,,nnx x x x nx N n R x ++++≥∈+∈*证明 （第10届美国数学竞赛试题）这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下. 【证明】.,2,1,][2]2[][ =+++=k kkx x x A k 令由于.,1],[1命题成立时则==n x A.,,,],[][][][][][][])[])1([(]))2[(]2([])1[(]([][]2[])2[(])1[(][])1[(]2[][][])1[(]2[][][])1[(]2[][)(:].[],2[22,],)1[()1()1(],[,][,][,].)1[(,],2[],[,1122112111221111121证毕均成立故原不等式对一切命题成立时即故相加得所以成立对一切即因为即有时命题成立设*---------∈=≤∴=+++≤++-++-++-+=+++-+-++-+++≤++++++-+++=+-+++=+++-==--=---=-=-=--≤≤≤-≤N n k n kx A kx k kx kx kx kx kx x x k x k x x k x x x x k x k kx x k x x A A A A kx x k x x kA kx x k x x A A A kA x A x A A x k A k A k kx kA kA k kx kA kA kkx A A x k A x A x A k n k k k k k k k k k k k k k k k 例7：对自然数n 及一切自然数x ，求证：)].([]1[]2[]1[][苏联数学竞赛题nx nn x n x n x x =-+++++++【证明】则},{][x x x +=]1[]2[]1[][nn x n x n x x -+++++++].[]1[]2[]1[][}].{[]1}[{]2}[{]1}[{}][{.}]{[.1}{,}{11}{1}{.]1}[{]}[{]1}[{]2}[{]1}[{}][{,11}{,1}{,1,.}]{[]1}[{]2}[{]1}[{}][{}],{[][}]{][[][].1}[{]2}[{]1}[{}][{][],1}[{][]2}[{][]1}[{][}][{][]1}{][[]2}{][[]1}{][[}]{][[nx nn x n x n x x x n nn x n x n x x k n x n k n x n k n x n nk x n k x k n n n x n k x n k x n x n x x nk x n k x n k k x n nn x n x n x x x n x n x n x n nx nn x n x n x x x n n n x x n x x n x x x x n n x x n x x n x x x x =-+++++++=-+++++++-=+-<-≥<-+≥+-=-+++++-+++++++<-+≥+≤≤=-++++++++=+=-++++++++=-+++++++++++=-+++++++++++= 从而有知故知且知及由则而使设存在即可故只要证明例8：求出]31010[10020000+的个位数字.（第47届美国普特南数学竞赛试题） 【解】先找出3101010020000+的整数部分与分数部分.3101010020000+=31033103)10(100200100200200100+++-.3108110310910310310]31010[,131093103.310310,3)10(|310310|3)10(,)3(])10[(3)10(1005020000100100200001002002000100200001001001002001002002000022100100200200002210010021002100200200100+-=+-=+-=+<+=++--+---=-知显然是整数知又知其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。