高三数学一轮复习椭圆课件
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• 二、焦点三角形问题
• 椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角形.习惯上, 称作焦点三角形,在焦点三角形中命制题目是常见命题方 式,解决焦点三角形问题经常从以下几个方面入手:
• ①定义 ②正、余弦定理 ③三角形面积.
• [例1] 已知动圆P过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x- 3)2+y2=64的内部与其相内切,则动圆圆心P的轨迹方程 为__________.
• 在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中,常将所求 量表达为其它量的函数,运用函数的方法解决.求圆锥曲 线方程时,往往是已知曲线形状特征或由已知条件可分析 其几何特征,确定形状,设出其标准方程,然后设法列出 关于待定系数的方程或方程组求待定系数.要注意解题过 程中,设而不求、整体处理的策略和恰当运用一元二次方 程根与系数的关系求解.
∴e=ac=
5 3.
• 二、解答题
• 5.(2010·新课标全国文)设F1、F2分别是椭圆E:x2+ • =1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A、B
两点,且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列. • (1)求|AB|;
• (2)若直线l的斜率为1,求b的值.
[解析] (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4, 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=43. (2)l 的方程为 y=x+c,其中 c= 1-b2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程 组
解析:由题易知 F(-1,0),设 P(x,y),其中-2≤x≤2, 则
O→P·F→P=(x,y)·(x+1,y)=x(x+1)+y2 =x2+x+3-34x2=14x2+x+3=14(x+2)2+2 当 x=2 时,(O→P·F→P)max=6.
答案:C
(文)(09·浙江)已知椭圆ax22+by22=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P,若A→P=2P→B,则椭圆的离心率是( )
面积的最大值为 1,则椭圆长轴长的最小值为( )
A.1
B. 2
C.2
D.2 2
解析:设椭圆ax22+by22=1(a>b>0),则使三角形面积最 大时,三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点,
∴S=12×2c×b=bc=1≤b2+2 c2=a22. ∴a2≥2. ∴a≥ 2.∴长轴长 2a≥2 2,故选 D.
所以点 P 的轨迹是以 A、B 为两焦点,长半轴长为 4, 短半轴长为 b= 42-32= 7的椭圆,方程为:
1x62 +y72=1.
• 已知F1、F2为椭圆
=1的两个焦点,过F1的直线交
椭圆于A、B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=
________.
• 解析:(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=|AB|+|AF2|+ |BF2|=4a=20,∴|AB|=8.
解法二:设 P(2cosθ,sinθ),依题意得点 F1(- 3, 0),F2( 3,0),P→F1·P→F2=(- 3-2cosθ)( 3-2cosθ)= 4cos2θ+sin2θ-3=3cos2θ-2,,因为-2≤3cos2θ-2≤1, 所以|P→F1·P→F2|的最大值是 2,选 C.
答案:C
y=x+c, x2+by22=1. 消去 y 整理得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.
则 x1+x2=1-+2bc2,x1x2=11-+2bb22.
因为直线 AB 的斜率为 1,所以|AB|= 2|x2-x1|, 即43= 2|x2-x1|.
则89=(x1+x2)2-4x1x2 =411+-bb222-411- +2bb2 2=1+8bb422.
• 答案:8
[例 2] 设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F2 作椭
圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角
形,则椭圆的离心率是( )
2 A. 2
2-1 B. 2
C.2- 2
D. 2-1
解析:由已知得:ba2=2c,∴b2=2ac
即 a2-c2=2ac 变形为 e2+2e-1=0
A.2 B.3 C. 2 D. 3
[答案] C
[解析] 椭圆中 c2=a2-b2,
∴焦距 2c=2 a2-b2,抛物线的焦点 Fb2,0, 由题意知|F1F|=3|FF2|,∴|F1F2|=4|FF2|,
∴c=2|FF2|,即 c=2c-b2,∴c=b,
∴c2=a2-c2,∴e=
2 2.
(理)(2010·安徽皖北联考)已知椭圆ax22+by22=1(a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 作倾斜角为 30°的直线 与椭圆的一个交点为 P,且 PF2⊥x 轴,则此椭圆的离心 率 e 为( )
1,此时 0<m<1,
由 e=ac= ac22=
m1 -1 1= 23⇒m=14.故选 C.
m
2.(文)(2010·胶州三中)若椭圆ax22+by22=1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1、F2,线段 F1F2 被抛物线 y2=2bx 的焦点 F 分成 两段,则此椭圆的离心率为( )
11
2
3
D.5
• 解析:由题意得:4b=2(a+c)⇒4b2=(a+c)2⇒3a2-2ac -5c2=0⇒5e2+2e-3=0(两边都除以a2)⇒e= 或e=- 1(舍),故选B.
• 答案:B
(理)(2010·南昌市模考)已知椭圆 E 的短轴长为 6,焦
点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9,则椭圆 E 的离心
• 分析:相切两圆连心线必过两圆的切点,设切点为M,则 B、P、M三点共线,∴|PB|+|PM|=|BM|=8,又A在⊙P 上,∴|PA|=|PM|,从而|PB|+|PA|=8.
解析:如图,设动圆 P 和定圆 B 内切于点 M,动圆 圆心 P 到两定点,即定点 A(-3,0)和定圆圆心 B(3,0)的距 离 之 和 恰 好 等 于 定 圆 半 径 , 即 |PA| + |PB| = |PM| + |PB| = |BM|=8.
与直线 y=k(x+ 3)交于点 A、B,则△ABM 的周长为( )
A.4
B.8
C.12 D.16
[答案] B
[解析] 直线 y=k(x+ 3)过定点 N(- 3,0),而 M、 N 恰为椭圆x42+y2=1 的两个焦点,由椭圆定义知△ABM 的 周长为 4a=4×2=8.
4.已知 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆ax22+by22=1(a>b>0)
3 211 A. 2 B. 2 C.3 D.2
解析:由题意知:F(-c,0),A(a,0). ∵BF⊥x 轴,∴APPB=ac.又∵A→P=2P→B, ∴ac=2,∴e=ac=12.故选 D.
答案:D
(理)(2010·江西六校联考)F1、F2 是椭圆x42+y2=1 的
左、右焦点,点 P 在椭圆上运动,则|P→F1·P→F2|的最大值是
解得
b=
2 2.
1.若直线 mx+ny=4 和圆 x2+y2=4 没有交点,则
顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC
边上,则△ABC 的周长是( )
A.2 3
B.6
C.4 3
D.12
[答案] C
[解析] 设 F 为椭圆另一焦点,据椭圆定义,三角形 ABC 周长为
AB+AC+BC=AB+AC+BF+CF=4a=4 3.
(理)(2010·浙江台州)已知点 M( 3,0),椭圆x42+y2=1
一、选择题
1.(文)若椭圆x22+ym2=1 的离心率为12,则 m=(
)
3
A. 3
B.2
8 C.3
D.83或32
[答案] D [解析] 焦点在 x 轴上时,e= 2-2 m=12,解得 m=
32,焦点在 y 轴上时, mm-2=12,∴m=83,故选 D.
(理)椭圆 x2+my2=1 的离心率为 23,则 m 的值为
解得 e= 2-1,故选 D.
• 答案:D • 点评:椭圆中有“两轴六点”,准确把握它们之间的相互位
置关系和a、b、c、e各量之间的关系,才能结合题目条 件形成简捷的解题思路.
(文)(2010·广东文)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长
度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )
4
3
2
1
A.5
B.5
C.5
()
A.2 或12
B.2
C.14或 4
1 D.4
[答案] C
[解析] ∵x2+my2=1,即 x2+y12=1 是椭圆,∴m>0.
m
当椭圆的焦点在 x 轴上时,a2=1,b2=m1 ,c2=a2-
b2=1-m1 >0,此时 m>1, 由 e=ac= ac22= 1-m1 = 23⇒m=4; 当焦点在 y 轴上时,a2=m1 ,b2=1,c2=a2-b2=m1 -
2.求椭圆方程的方法,除了直接根据定义外,常用 待定系数法.
当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时, 设方程为xm2+yn2=1(m>0,n>0),可以避免讨论和繁琐的计 算,也可以设为 Ax2+By2=1(A>0,B>0),这种形式在求 解过两定点的椭圆方程时尤其简便.
• 一、函数与方程的思想、待定系数法
[例 4] (2010·福建文)若点 O 和点 F 分别为椭圆x42+y32
=1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则O→P·F→P
的最大值为( )
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
B.3
C.6
D.8
分析:由条件知 O(0,0),F(-1,0),O→P·F→P的值随 P 点在椭圆上位置的变化而变化,故可设 P(x,y)利用椭圆 方程将 y 用 x 表示,则O→P·F→P是关于 x 的函数(其中- 2≤x≤2),求函数的最值可获解.
答案:D
椭圆x92+2y52 =1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m,则当 m 取最大值时,点 P 的坐标是________.
解析:设椭圆上点 P 到两焦点的距离分别 为 u、v,则 u+v=10,uv=m;设∠F1PF2=θ, 由余弦定理可知 cosθ=u2+v22u-v 2c2,即 u2+ v2-2uvcosθ=64⇒m=1+1c8osθ,显然,当 P 与 A 或 B 重合时,m 最大. 答案:(-3,0)或(3,0)
()
A.4
B.5
C.2
D.1
解析:解法一:设 P(x,y),∵F1(- 3,0),F2( 3, 0),
∴P→F1·P→F2=(- 3-x,-y)·( 3-x,-y)=x2-3+ y2.
=x2-3+1-x42=34x2-2 ∵-2≤x≤2,∴-2≤34x2-2≤1 ∴|P→F1·P→F2|max=2.
• 重点难点 • 重点:椭圆的定义、标准方程及几何性质. • 难点:椭圆的几何性质及其应用,椭圆方程的求法. • 知识归纳 • 1.椭圆的定义 • 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数
2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.
• 2.椭圆的标准方程与几何性质
• 误区警示
• 1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性,正确理解掌握定 义是关键,应注意定义中的常数大于|F1F2|,避免了动点 轨迹是线段或不存在的情况.
3
3
2
2
A. 3 B. 2 C. 2 D. 3
[答案] A
[解析] 据已知可得|PF2|=ba2,
在直角三角形 PF1F2 中可得|PF1|=2|PF2|=2ab2,
由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=3ab2=2a⇒ab22=23,
则椭圆离心率 e=
1-ab22=
1-23=
3 3.
3.(文)已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x32+y2=1 上,
上一点,若P→F1·P→F2=0,tan∠PF1F2=12,则椭圆的离心
率为( )
1
2
A.2
B.3
1
5
C.3
D. 3
[答案] D
[解析] 由P→F1·P→F2=0 知∠F1PF2 为直角, 设|PF1|=x,由 tan∠PF1F2=12知,|PF2|=2x,
∴a=32x,
由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2 得 c= 25x,
率等于( )
5
12
A.13
B.13
3
4
C.5
D.5
解析:设椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距分别为 a、b、c,则由条件知,b=6,a+c=9 或 a-c=9,
又 b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=36,
故aa+-cc==94 ,∴ac==52123
,∴e=ac=153.
答案:A
[例 3] 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形