越野长跑团体赛记分规则的公平性模型

越野长跑团体赛记分规则的

公平性

一、问题重述

越野长跑团体赛的记分规则是这样的：每个参赛团体由7名队员组成，取该团体跑在前面的之和为该团体的得分，然后根据各参赛队

得分（由小5个队员在所有参赛选手中的排名顺序到大）的顺序决定比赛排名。试回答以下问题：

1. 此规则是否存在不公平的地方？如果存在，举例说明。

2. 试讨论在不计时时，仅仅考虑各位参赛选手的排序信息的前提下，公平的记分规则应满足哪些性质？

3. 试根据2.中的讨论，构造你们认为更合理的规则，对你们得到的结论需说明理由。

二、 模型假设

1、 参赛的人名次不会相同，即俩个人的名次有先后，不会重复

2、 先到的人得分低，团体得分低的名次好

3、 每个人都跑完了，不会有人没有名次

三、 符号简单介绍

1、i A ：表示A 组的第i 个人的成绩（i=1,2,3,4,5,6,7）；

2、

A

：

表示A 组中人的平均名次

3、A ：表示A 组名次的数学期望

4、A σ：A

组名次的标准差A

σ=

5、hi ： = ()i i h f A ，表示名次i

A 在图上对应的纵坐

标

6、Ai Q ：

1

Ai i

i hi

Q h ==∑７

，

表示i A 的名次在本组 中

占的权值

7、A M ：A 组最后求得的总的名次

四、 问题分析及一二问的解答

第一问：

根据对题的计分规则的研究可以知道，所给的积分规则有失公平，下面具体举例来说明

1. 如果一个队的差距很大，前五名成绩很好，后俩名成绩很差，则取前五个人的成绩，这个队的团体成绩会很好，但这违背了团体赛的意义，且不能如实反映队的真实情况。

举例: A 、B 俩个组，(A1代表A 组的第一个人) A1=10,A2=12,A3=14,A4=16,A5=18,A6=1000,A7=1001; B1=11,B2=13,B3=15,B4=17,B5=19,B6=20,B7=21;

根据团体精神体现和日常认知，可知B组的成绩比A组的好，但是根据题中的计分规则却是A组的好，所以有失公平。

2.如果有A、B俩组名次为

A1=1,A2=3,A3=5,A4=7,A5=100,A6=101,A7=1001;

B1=2,B2=4,B3=6,B4=20,B5=21,B6=1000,B7=1002;

那么如果如题中取前五名成绩则B组优胜，但如果取前六名或前四名，则A组优胜，所以成绩与所取人数关系很大，有失说服力，缺乏公平性。

3. 有A、B俩组人名次如下：

A1=1,A2=2,A3=3,A4=4,A5=200,A6=201,A7=202;

B1=10,B2=11,B3=12,B4=13,B5=14,B6=203,B7=204；

从优秀率考虑，可以认为A组比B组优秀，但由于一个人A5的差，使得A组整体差的太多，过分夸大了一个人的影响，所以有失公平性。

第二问：

一个好的计分规则要能最大程度的反映参赛团体的真实水平，在任何极端的情况下都能做出公正的评判，所以积分规则应满足：

1.不能过分的夸大一个人对集体的影响，应该对其影

响进行弱化；

2.不能忽略成绩差者对总体的影响，第一点和第二点

实际上就是在说要弱化但不得忽略成绩差者对整

体的影响；

3.因为是团体赛，所以要体现团体的团结，名次相差

不大的应该更加优秀一点；

4.先到的分数少，团体分数小的优胜

五、问题分析：

根据积分规则，首先不要忽视成绩差的对总体的影响，所以处理成绩时取一组所有人的数据；其次是不能让个别人成绩过大的影响总体，所以要进行一定的弱化；最后要对每组人的名次的方差大小程度（可一定程度体现团结合作的精神）。

六、模型的建立：

由于要使得名次排在后面的人对团体的影响小一些，所以可以建立一个权值系统使得名次靠后的人的成绩权值小，同时要兼顾团体成绩的离散程度对总体的影

响，即σ对整体的影响，所以可以建立正态分布曲线模型

对每一个组的成绩求得一个正态曲线，其中μ为这组

的平均名次，σ

为他们的标准差，横坐标对应

着名次，纵坐标为h ，h 的大小代表了对应的名次在总体中占得比重，反映了权值。

假设一组人的名次按从小到大的顺序依次为：A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7。 根据最大似然估计得： 均值

7

1

A i i A A μ===∑

标准差

2A A S σ====

那么可以做出正态曲线：

2

2

()

2

(),

A

A

x

f x e x

μ

σ

-

-

=-∞<<∞

，

每个名次i A在图上对应一个纵坐标，用i

h表示，= ()

i i

h f A，那么每个名次

i

A所

占的权值用Ai

Q表示

，

1

Ai

i

i

hi

Q

h

=

=

∑７，

最后求总的名次，用A

M表示

，

7

1

.

A Ai i

i

M Q A

=

=∑

。