电势11.3--电势叠加原理
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才能选无穷远点的电势为零； 积分路径上的电场强度的函数形式要求已知或可求。 积分对路径进行，是一维积分。
2．叠加法 利用公式 ——已知电荷分布，对电荷分布区域积分 说明：
要求电荷的分布区域是已知的； 积分对电荷分布的区域进行，可能是一维、二维或三维；
当电荷分布在有限的区域内，并且是选择无穷远点作为
电势的零点的；而当激发电场的电荷分布延伸到无穷远时，不 宜把电势的零点选在无穷远点，否则将导致场中任一点的电势 值为无限大。这时只能根据具体问题，在场中选择某点为电势 的零点。
（1）电势叠加法 例题1（课本P37）：电荷q均
匀分布在半径为 R 的细圆环上， 求圆环轴线上距环心x处的点P的 电势。
解：在圆环上取任意电荷
讨论：
ö当
x»R
时，
x2
R2
x
2Rx2，因此：Vp
20
R2 2x
1 40
R2 x
1 40
q x
相当于点电荷的电势。
2）电场强度线积分法
例题2（课本P39）：求均匀带电球壳电场
中任一点 P 处的电势。设球壳半径为 R，总
带电量为 q。
解：由高斯定理求得均匀带电球面的场强
当势x不=一0定时为，零V0 。4q0R ,E0 0 ，可见场强为零处，电
当 x»R 时，
，相当于点 电荷电势。
电势叠加比V电p 场4叠q0x加方便。
V—x 图。
由本题结果，很容易求出半径为 R，均匀带电为 q 的薄圆盘轴线 上任一点的电势。
圆盘可看成由许多细圆环所组成，在距 盘心为 r 处取细圆环，电荷元为：dq dS 2rdr
元d q d l ，
其中 q / 2 R 。所以圆环在 P 点 的电势为：
Vp
2 R dl 0 40r
2 R
0 40
dl R2 x2
1/ 2
40
R2 x2 1/2
2 R
dl
0
40
q R2 x2 1/2
即点电荷系电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时在该 点的电势的叠加（代数和）。这个结论叫做静电场的电势叠加原 理。
2．连续型——连续分布电荷电场中的电势
若场源为电荷连续分布的带电体，可
以把它分成无穷多个电荷元 dq ，每个电荷
元都可以看成点电荷，在场点产生的电势
为
dV dq
4 0 r
该点电势为这些元电荷的叠加：
q R2 r2
4 0 R3
q
40 R
uur r R Ew dl 0
R
q 40r
Biblioteka Baidu
2
dr
q 40
R
球面内各点电势相等，均等于球面上各点电势。
V-r曲线如图，可见在r=R的球壳处，电势是连续的，而 前面我们知道，带电球壳在r=R处的场强是跃变的。其次， 我们发现可见场强为零处，电势不一定为零。
例题3（课本P41）求无限长均匀带 电直导线外任一点 P 处的电势，已 知线电荷密度为λ。
解：取场中任一点b（距导线为r0）为电势
零点，即：Vbrr0 0 则任一点P的电势为：V
rb r
ur E
d
rl。
由高斯定理，得无限长均匀带电直导线外
任一点场强为：E 20r ，则P点的电势为：
V
r0
ur E
d
r l
r
r0 dr ln r r 20r 20
推广到N个 离散带电 体的电势
1
Ua
Edl
a
a
(E1
E2
... E ) d l n
a E1 d l a E2 d l ... a En d l
Ua1 Ua2 第.1.1.章 U电势an
在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各点电荷单独 存在时在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理。
其中 q / R2 。该细圆环在 P 点的电势为：
dVp 4 0
dq x2 r2
1/ 2
4 0
1
2 rdr
x2 r2
所以带电薄圆盘在 P 点激发的电势为：
VP
dU P
2 0
R 0
rdr x2 r 2 2 0
x2 R2 x
r0 r
20
ln r0
ln r
显然：当选择r0=1m时，P点电势有最简单的形式，且
V
ln r 2 0
讨论：
ö电势零点不同，电势表式不同；
ö任意两点的电势之差与电势零点选择无关；
ö选择电势零点的原则是使电势表式取最简单形式。
例3． 均匀带电球体的电势。 已知电荷q均匀地分布在半 径为R的球体上，求空间个各点的电势。 解：有高斯定理可求出电场强度的分布
分布为：
q
E
4
0r
2
0
rR rR
选择无穷远处为电势零点V∞=0。由电势定义，
沿径向积分，得：r R时
ur r q
q
V r E dl r 40r2 dr 40r
与点电荷电势相同
rR 时
V
R uur r r En dl
q
E
4 0r 2
qr
4 0 R3
rR rR
方向沿径向。
由积分公式
ur r
V r E d l
可以计算电势。
当r>
R时，V
r
q dr
40r 2
q
4 0 r
当r≤R时， V
R r
qr
4 0 R3
dr
R
q
4 0r 2 dr
§11.3 电势叠加原理
一、 点电荷系的电势
q1
r1
E2
v v
p
E dl
p
q2
r2 P E1
q1 dr
r1 40r12
q2
r2 40r22
dr
q1
4 0 r1
q2
4 0 r2
n
对n 个点电荷
qi
i1 4 0ri
注意：电势零点P0 必须是共同的。
二、电势的叠加原理
q1, q2 , q3....qn
1.离散型--点电荷系电场中的电势，设电场由几个点电荷 q1,q2,q3,...qn
产生，由场强叠加原理可知电场强度为
ur uur
E Ei
矢量和
ur r uur r
电势的矢量和为 V Edl Ei dl Vi 标量和
V
dq 4 0 r
线分布
V dl
l 40r
面分布
V
S
dS 4 0 r
体分布
V
V
dV 4 0 r
3
第11章 电势
三、电势的计算
1，电势定义法
bv v
利用公式Va
a
E
dl
Vb
——已知场强分布，对路径积分
说明： 要注意参考点的选择，只有电荷分布在有限的空间时，
2．叠加法 利用公式 ——已知电荷分布，对电荷分布区域积分 说明：
要求电荷的分布区域是已知的； 积分对电荷分布的区域进行，可能是一维、二维或三维；
当电荷分布在有限的区域内，并且是选择无穷远点作为
电势的零点的；而当激发电场的电荷分布延伸到无穷远时，不 宜把电势的零点选在无穷远点，否则将导致场中任一点的电势 值为无限大。这时只能根据具体问题，在场中选择某点为电势 的零点。
（1）电势叠加法 例题1（课本P37）：电荷q均
匀分布在半径为 R 的细圆环上， 求圆环轴线上距环心x处的点P的 电势。
解：在圆环上取任意电荷
讨论：
ö当
x»R
时，
x2
R2
x
2Rx2，因此：Vp
20
R2 2x
1 40
R2 x
1 40
q x
相当于点电荷的电势。
2）电场强度线积分法
例题2（课本P39）：求均匀带电球壳电场
中任一点 P 处的电势。设球壳半径为 R，总
带电量为 q。
解：由高斯定理求得均匀带电球面的场强
当势x不=一0定时为，零V0 。4q0R ,E0 0 ，可见场强为零处，电
当 x»R 时，
，相当于点 电荷电势。
电势叠加比V电p 场4叠q0x加方便。
V—x 图。
由本题结果，很容易求出半径为 R，均匀带电为 q 的薄圆盘轴线 上任一点的电势。
圆盘可看成由许多细圆环所组成，在距 盘心为 r 处取细圆环，电荷元为：dq dS 2rdr
元d q d l ，
其中 q / 2 R 。所以圆环在 P 点 的电势为：
Vp
2 R dl 0 40r
2 R
0 40
dl R2 x2
1/ 2
40
R2 x2 1/2
2 R
dl
0
40
q R2 x2 1/2
即点电荷系电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时在该 点的电势的叠加（代数和）。这个结论叫做静电场的电势叠加原 理。
2．连续型——连续分布电荷电场中的电势
若场源为电荷连续分布的带电体，可
以把它分成无穷多个电荷元 dq ，每个电荷
元都可以看成点电荷，在场点产生的电势
为
dV dq
4 0 r
该点电势为这些元电荷的叠加：
q R2 r2
4 0 R3
q
40 R
uur r R Ew dl 0
R
q 40r
Biblioteka Baidu
2
dr
q 40
R
球面内各点电势相等，均等于球面上各点电势。
V-r曲线如图，可见在r=R的球壳处，电势是连续的，而 前面我们知道，带电球壳在r=R处的场强是跃变的。其次， 我们发现可见场强为零处，电势不一定为零。
例题3（课本P41）求无限长均匀带 电直导线外任一点 P 处的电势，已 知线电荷密度为λ。
解：取场中任一点b（距导线为r0）为电势
零点，即：Vbrr0 0 则任一点P的电势为：V
rb r
ur E
d
rl。
由高斯定理，得无限长均匀带电直导线外
任一点场强为：E 20r ，则P点的电势为：
V
r0
ur E
d
r l
r
r0 dr ln r r 20r 20
推广到N个 离散带电 体的电势
1
Ua
Edl
a
a
(E1
E2
... E ) d l n
a E1 d l a E2 d l ... a En d l
Ua1 Ua2 第.1.1.章 U电势an
在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各点电荷单独 存在时在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理。
其中 q / R2 。该细圆环在 P 点的电势为：
dVp 4 0
dq x2 r2
1/ 2
4 0
1
2 rdr
x2 r2
所以带电薄圆盘在 P 点激发的电势为：
VP
dU P
2 0
R 0
rdr x2 r 2 2 0
x2 R2 x
r0 r
20
ln r0
ln r
显然：当选择r0=1m时，P点电势有最简单的形式，且
V
ln r 2 0
讨论：
ö电势零点不同，电势表式不同；
ö任意两点的电势之差与电势零点选择无关；
ö选择电势零点的原则是使电势表式取最简单形式。
例3． 均匀带电球体的电势。 已知电荷q均匀地分布在半 径为R的球体上，求空间个各点的电势。 解：有高斯定理可求出电场强度的分布
分布为：
q
E
4
0r
2
0
rR rR
选择无穷远处为电势零点V∞=0。由电势定义，
沿径向积分，得：r R时
ur r q
q
V r E dl r 40r2 dr 40r
与点电荷电势相同
rR 时
V
R uur r r En dl
q
E
4 0r 2
qr
4 0 R3
rR rR
方向沿径向。
由积分公式
ur r
V r E d l
可以计算电势。
当r>
R时，V
r
q dr
40r 2
q
4 0 r
当r≤R时， V
R r
qr
4 0 R3
dr
R
q
4 0r 2 dr
§11.3 电势叠加原理
一、 点电荷系的电势
q1
r1
E2
v v
p
E dl
p
q2
r2 P E1
q1 dr
r1 40r12
q2
r2 40r22
dr
q1
4 0 r1
q2
4 0 r2
n
对n 个点电荷
qi
i1 4 0ri
注意：电势零点P0 必须是共同的。
二、电势的叠加原理
q1, q2 , q3....qn
1.离散型--点电荷系电场中的电势，设电场由几个点电荷 q1,q2,q3,...qn
产生，由场强叠加原理可知电场强度为
ur uur
E Ei
矢量和
ur r uur r
电势的矢量和为 V Edl Ei dl Vi 标量和
V
dq 4 0 r
线分布
V dl
l 40r
面分布
V
S
dS 4 0 r
体分布
V
V
dV 4 0 r
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第11章 电势
三、电势的计算
1，电势定义法
bv v
利用公式Va
a
E
dl
Vb
——已知场强分布，对路径积分
说明： 要注意参考点的选择，只有电荷分布在有限的空间时，