电势11.3--电势叠加原理
电场的叠加解析电荷分布产生的电场的叠加效应
电场的叠加解析电荷分布产生的电场的叠加效应电场叠加是指当有多个电荷同时存在时，它们所产生的电场可以互相叠加的现象。
这种叠加效应可以通过分析电荷的分布和电场的特性来进行解析，从而计算出叠加电场的强度和方向。
本文将介绍电场叠加的基本原理和应用。
一、电场叠加原理电场的叠加原理是基于库仑定律和叠加原理的基础上得出的。
根据库仑定律，两个点电荷之间的电场强度与它们之间的距离和电荷量有关。
假设有n个电荷在同一空间中，那么每个电荷产生的电场都可以看作是其他（n-1）个电荷共同作用下的结果。
根据叠加原理，电场强度可以通过将每个电荷产生的电场矢量相加得到。
设第i个电荷qi位于坐标(xi, yi, zi)，观察点P位于坐标(x, y, z)，则第i个电荷对于观察点P产生的电场强度为：Ei = k * qi / r_i^2 * Ri，其中k为库仑常量，ri为观察点P到第i个电荷的距离，Ri为指向观察点P的单位矢量。
将每个电荷产生的电场矢量相加，最终得到观察点P处的总电场强度E：E = E1 + E2 + ... + En二、解析电荷分布产生的电场叠加效应对于复杂的电荷分布，可以利用叠加原理将其分解为若干个简单的电荷分布，然后对每个简单的电荷分布计算其产生的电场，最后再将它们进行叠加得到整个电荷分布产生的电场。
以均匀带电圆环为例，假设圆环半径为R，圆环电荷线密度为λ。
我们可以将圆环切割成无限多的小电荷dq，然后对每个小电荷dq计算其产生的电场，最后进行叠加。
根据对称性和积分计算的方法，可以得到圆环中心点P处的电场强度为：E = k * λ * z / (4π * ε * R^2 * (R^2 + z^2)^(3/2))其中，z为P点沿圆环轴线的垂直距离，ε为真空介质常数。
同样的方法可以应用于其他电荷分布，如均匀带电球体、直线电荷分布等。
三、电场叠加的应用电场叠加原理在电荷分析和电场计算中有着重要的应用。
通过合理地选择电荷分布的特性和叠加方法，可以解析出复杂场景中的电场分布。
物理 电磁学 第11讲 电势叠加原理及电势的计算
R2
Q1 Q2 4 π R 4 π R ( r R1 ) 0 1 0 2 Q2 Q1 ( R1 r R2 ) 4 π r 4 π R 0 0 2 Q1 Q2 4 π r ( r R2 ) 0
[例] 均匀带电球层 ，内外半径为 R1，R2，求：A、B 两点的电势。 解：取带电球面 1. 求 A
Q1 ( r R ) 1 4 π R 0 1 1 Q1 ( r R ) 1 4 π 0 r
Q2 ( r R ) 2 4 π R 0 2 2 Q2 ( r R ) 2 4 π 0 r
Q2
区域 r < R1 R1 < r < R2 r > R2
Q1 O R1
R2
外壳贡献 总电势
内壳贡献
Q1 1内 4π 0 R1
Q1 1外 4π 0 r Q2 2外 4π 0 r
Q2 2内 4π 0 R2
1内 2内
1外 2内
1外 2外
解： 总电势分布为
1 2
Q2
Q1 O R1
P
[例] 己知：均匀带电圆盘，总电量 Q，半径 R。 求：圆盘轴线上任意点 P 处的电势。 解：利用电势积分法。
1.分割合适电荷元
dq dS Q π R2 dS 2π d
O d
r x P dq
2.电荷元 dq 在 P 处电势 3.总电量 Q 在 P 处电势
dq d 4π 0 r
1 q 4π 0 r
OP r
P r+
r- r
[例] 求距电偶极子相当远处的电势。
电势的叠加与电场中的电势垂直教案计算电势的叠加与电场中的电势垂直
电势的叠加与电场中的电势垂直教案计算电势的叠加与电场中的电势垂直电势的叠加与电场中的电势垂直在电学领域中，电势是描述电场中某一点的物理量。
电势的叠加和电场中电势垂直是电势的重要特性和应用。
本文将重点探讨电势的叠加和电场中的电势垂直，并介绍相关的计算方法。
一、电势的叠加当存在多个电荷体系时，每个电荷都会在其周围产生电场，对周围的空间产生影响。
这些电场分别负责各自电荷的作用，它们同时存在并相互独立运动。
而每个电场都有对应的电势，电势既可以独立计算，也可以根据电场的叠加性质进行计算。
电势叠加是指当多个电荷同时存在时，它们产生的电场叠加所得的电势。
根据叠加原理，电势是一个标量，可以直接将各个电势相加得到总电势。
具体计算方法如下：1. 确定电荷体系中各个电荷的位置和电量。
2. 计算每个电荷在给定点产生的电势，根据库仑定律可以得到电势的表达式。
3. 将所有电荷产生的电势相加，得到总电势。
需要注意的是，电势是与路径无关的，即在计算过程中可以选取任意合适的路径。
这是因为电势受电荷的性质和位置的影响，而与路径无关。
二、电场中的电势垂直电场中的电势可以沿着电场线方向变化，也可以垂直于电场线方向变化。
电场中的电势垂直是一个重要的性质，它可以帮助我们理解电场线的分布和电荷在电场中的受力情况。
具体来说，在电场中，如果将电势线和电场线画在同一个平面上，我们会发现电势线与电场线相交的地方，电势线垂直于电场线。
这是由于电势线的切线方向代表了电场强度的方向，而垂直于切线方向的方向就是电势线的方向。
电场中的电势垂直性质的应用非常广泛。
例如，在导体表面的电势分布中，电势线垂直于导体表面，这说明导体表面上的电势是均匀的。
又如，如果将电势计算点选取在电场线上，那么该点电势的变化就是沿着垂直于电场线的方向。
三、电势叠加与电场中的电势垂直的计算为了更好地理解电势叠加与电场中的电势垂直性质，下面将通过一个具体的例子进行计算。
例：一个圆盘面上分布着均匀电荷密度为σ的电荷，求圆盘面内点P处的电势。
电势叠加原理公式及其推导
电势叠加原理公式及其推导电势叠加原理是指当有多个电荷产生的电势作用在一个点上时，这些电势之间可以相加得到最终的电势。
电势叠加原理的公式可以表示为：V = V1 + V2 + V3 + ... + Vn其中，V表示最终的电势，V1、V2、V3等表示不同电荷产生的电势。
推导过程如下：假设有一个点P，在该点上存在多个电荷Q1、Q2、Q3等，则每个电荷产生的电势V1、V2、V3等可以表示为：V1 = k * Q1 / r1V2 = k * Q2 / r2V3 = k * Q3 / r3其中，k表示库仑常数，r1、r2、r3等表示该点P与每个电荷之间的距离。
根据库仑定律，电荷之间的作用力可以表示为：F1 = k * Q1 * Q / r1^2F2 = k * Q2 * Q / r2^2F3 = k * Q3 * Q / r3^2其中F1、F2、F3等表示每个电荷受到的作用力。
根据电场力计算公式F = Q * E，其中F表示力，Q表示电荷，E表示电场强度。
则上述方程可以改写为：E1 = k * Q1 / r1^2E2 = k * Q2 / r2^2E3 = k * Q3 / r3^2对于同一个点P，如果受到多个电荷的作用，则总的电场强度E可以表示为：E = E1 + E2 + E3 + ... + En代入电场强度与电势之间的关系公式：E = -dV/dr，其中d表示微分。
得到：-dV/dr = k * Q1 / r1^2 + k * Q2 / r2^2 + k * Q3 / r3^2 + ... + k *Qn / rn^2对上述方程进行微分，得到：dV = k * Q1 / r1^2 * dr + k * Q2 / r2^2 * dr + k * Q3 / r3^2 * dr + ... + k * Qn / rn^2 * dr对上述方程进行积分，得到：V = k * Q1 / r1 + k * Q2 / r2 + k * Q3 / r3 + ... + k * Qn / rn即：V = V1 + V2 + V3 + ... + Vn所以，当有多个电荷产生的电势作用在一个点上时，这些电势之间可以相加得到最终的电势，即电势叠加原理成立。
第11章电势
[ 例 11.3] 计算电偶极子电场中任 11. 一点的电势分布
y
P(x, y)
解：P的电势为
l θ+ −O ϕp = ϕ+ +ϕ− x q − q q(r1 − r2 ) = + = 4πε0r2 4πε0r 4πε0r2r1 1 2 Qr >> l ∴r r2 ≈ r r1 − r2 ≈ l cosθ 1
R
12
q
R
讨论： 讨论： 球壳内任一点的电势与 球壳的电势相等(等势) 球壳的电势相等(等势) 球壳外的电势与球壳上 的电荷集中于球心的点 电荷的电势相同
U
0
R
r
13
[例11.2]求无限长均匀带电直线外任一点 11. a处的电势。已知电荷线密度为λ 处的电势。 解：无限长均匀带电直线 的场强大小为
31
[ 例 1] 应用电势梯度的概念 ， 计算半径为 R 、 应用电势梯度的概念， 计算半径为R 电荷面密度为 σ 的均匀带电圆盘轴线上任一 点P的电场强度
c
E θ
3
• 在q1、q2、…qn点电荷系电场中移动
b
1 q0q ∴Aab = ∫ qoEdr = ∫ dr 2 a ra 4 πε0 r q0q 1 1 = ( − ) ----与路径无关 ----与路径无关 4πε0 ra rb
b
rb
v v v v v b v Aab = q0 ∫ E ⋅ dl = q0 ∫ (E1 + E2 +L+ En ) ⋅ dl a a q0qi 1 1 ----与路径无 =∑ ( − ) ----与路径无 πε ia rib 关 i 4 0 r
v r a
dq
电势叠加原理
电势叠加原理电势叠加原理是电学中的一个重要概念，它描述了在电场中，由多个电荷所产生的电势可以叠加在一起。
这个原理在电路分析、电场计算等领域都有着重要的应用。
在本文中，我们将深入探讨电势叠加原理的基本概念、数学表达和实际应用。
首先，我们来了解一下电势叠加原理的基本概念。
在电场中，每个电荷都会产生一个电势，而这些电势可以相互叠加。
如果在某一点上同时存在多个电荷，那么该点的总电势就是这些电荷产生的电势的代数和。
换句话说，电势叠加原理可以用数学公式表示为Φ=ΣkQk/rk，其中Φ表示总电势，Σk表示对所有电荷求和，Qk 表示每个电荷的电荷量，rk表示该电荷到目标点的距离。
接下来，我们将讨论电势叠加原理在实际中的应用。
在电路分析中，我们经常需要计算电路中各点的电势。
利用电势叠加原理，我们可以将电路中各个部分的电势分别计算，然后将它们叠加在一起得到整个电路的电势分布。
这样，我们就能够更加方便地分析电路的性质和特点。
此外，在电场计算中，电势叠加原理也有着重要的应用。
当电场中存在多个电荷时，我们可以利用电势叠加原理来计算电场在某一点上的电势。
通过将各个电荷产生的电势叠加在一起，我们可以得到该点的总电势，从而更好地理解电场的分布和性质。
总之，电势叠加原理是电学中一个基础而重要的概念，它为我们理解电场和电路提供了重要的工具。
通过对电势叠加原理的深入理解和应用，我们可以更好地分析和解决与电场、电路相关的问题，为电学领域的发展和应用提供支持和帮助。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解电势叠加原理的基本概念、数学表达和实际应用，并在相关领域的学习和研究中起到一定的指导作用。
同时，也希望读者能够通过进一步的学习和实践，更加深入地理解和运用电势叠加原理，为电学领域的发展做出贡献。
电势11.3 电势叠加原理
r <R r ≥R
∞ p
+ P1 + + ++ +
R
r
P
对球外一点P 对球外一点 对球内一点P 对球内一点 1
ϕ外 = ∫
v v ∞ qdr q E2 ⋅ dr = ∫r 2 = 4πε0r 4πε0r
∞ R
ϕ内 = ∫
6
∞
p1
v v E ⋅ dr =
∫
R
r
Edr + ∫ 1
E2dr =
(3R2 − r2 ) 8πε0R3
∞ ∞
注意：电势零点 注意：电势零点P0 必须是共同的。 必须是共同的。
推广到N个 推广到 个 Ua = ∫a E⋅ d l = ∫a (E1 + E2 +... + En ) ⋅ dl 离散带电 ∞ ∞ ∞ = ∫ E1 ⋅ dl + ∫ E2 ⋅ d l +... + ∫ En ⋅ dl 体的电势 a a a
§11.3 电势叠加原理
一、 点电荷系的电势
q1
q2
r 1
ϕp = ∫
=∫
∞ r 1
∞
p
v v E ⋅ dl
r2
P
v E2 v E1
∞ q1 q2 q1 q2 dr + ∫ dr = + 2 2 r2 4π r 4πε0r ε0 2 4πε0r 4πε0r2 1 1
n
qi 对n 个点电荷 ϕ = ∑ ε i i=1 4π 0r
4
1 ∝ 2 r
第11章 电势
1 ϕ= ∝ 4πε 0 r r
q
电偶极子的电场线和等势带电球体。 例 半径为 ，带电量为 的均匀带电球体。
11第十一章___电势
11.2 电势差和电势
A L A q0 L
p2
2
r2
r1
qo Edr Edr
qq0
40 r1 q 1
(
1
q
1 r2
)
r2
r2
1
q
r1
40 r1
40 r2
1
2
r1
p1
1
则 P P2电场力的功 q0 (1 2 ) 1 电势 ：静电场中存在着一个由电场中各点的位置 所决定的标量函数，使得：
i 1
各点电荷单独存在时在该点电势的代数和
点电荷系的电势
由电势叠加原理，P的电势为
i
qi 40 ri
q1
q2 r1
r2
qn
P
rn
连续带电体的电势
由电势叠加原理
dq
r
d 4
dq
0
P
r
电势计算的两种方法：
根据已知的场强分布，按定义计算
1 A1 B1
2 A2 B 2
q
4 0 r 1 q 4 0 r2 q R
0
3 A3 B 3 4
4 0 RB q 4 R
•环路定理 •电势 P
E dl 0
E dl
d dq 4 0 r
r
x
P
R
O
X
Z
P d
dq 40 r
dq 4 r
q 0
1
方法二 定义积分法 由电场强度的分布
电势叠加原理
电势叠加原理
电势叠加原理是电场理论中的重要概念之一。
根据电势叠加原理，与多个电荷相互作用的点电荷所产生的电势可以通过分别计算与每个电荷相互作用时的电势，再将其叠加得到。
在空间中存在多个电荷Q1、Q2、Q3...Qn，它们分别位于点
P1、P2、P3...Pn处。
要计算某一点P0处的电势V0，可以将其分别与每个电荷相互作用的电势Vi相加，即
V0=V1+V2+V3+...+Vn。
每个电荷Q的电势Vi可以通过库伦定律计算得到。
对于与点电荷Q相距r的点P，Q对P产生的电势Vi= k * Q / r，其中k 为库伦常数。
对于多个电荷相互作用的情况，每个电荷产生的电势可以根据这个公式计算，再将它们相加得到总的电势。
电势叠加原理的应用非常广泛。
在电场分析中，可以用来计算电荷分布所产生的电场。
在计算中，可以将电荷分布近似看作由许多极小的电荷元组成，然后通过叠加其对某一点的电势来计算整个电荷分布的电势分布。
电势叠加原理的适用条件是电场中的电荷都是点电荷，并且它们之间的相互作用可以近似看作线性叠加关系。
对于一些特殊情况，如电荷分布具有对称性或线性电场中的电势分布，可以利用叠加原理来简化计算过程。
总之，电势叠加原理是在电场理论中常用的计算方法，它通过
叠加每个电荷对某一点的电势来计算整个电场中某一点的电势。
这一原理对于分析和计算电场问题非常有用。
电势以及叠加原理
第六讲电势
内容：§9－6
1．电势和电势差
2．电势叠加原理
3．电势的计算
要求：
1．掌握电势叠加原理；
2．掌握电势的两种计算方法。
重点与难点：
3．电势的计算方法。
作业：
习题：P39：21，22
意大利物理学家。
伏打在物理学方面做出了许多重要贡献，他发明过起电盘，发明过验电器、储电器等多种静电实验仪器。
伏打最显赫的功绩是发明了伏打电池。
伏打电池的出现对电学的发展却产生的深远的影响，开创了一个新的广阔天地，成为人类征服自然的最有力的武
伽伐尼在1786年和1792年在实验中观察到用铜钩挂起来的蛙腿在碰到铁架时会发生痉挛。
他认为这是生物电产生的效果。
伏打认为上述现象的产生是由于两种不同金属接触时所产生的电效应。
两种观点曾引起了十年之久的争论。
3．电势差
在静电场中，任意两点-=V U。
物理 电磁学 第11讲 电势叠加原理及电势的计算
点电荷电势
此处
讨论
E=0
[例] 求均匀带电圆环轴线上的电势 (R，q)。 另解： 圆环轴线上任一点的场强为：
E
4π 0 x 2 R 2
qx
ˆ i 32
方向沿轴线指向无限远
O x 距环心为 x 处 P 点的电势为： R P E dl P Edx qx x dx 3 2 2 2 4π 0 x R q 4π 0 x 2 R 2
P ( 任意路径 L )
Hale Waihona Puke Q1 O R1R2
外壳贡献 总电势
内壳贡献
Q1 1内 4π 0 R1
Q1 1外 4π 0 r Q2 2外 4π 0 r
Q2 2内 4π 0 R2
1内 2内
1外 2内
1外 2外
解： 总电势分布为
1 2
Q2
Q1 O R1
Q 4 π 0 R Q 2 π 0 R
2 2
盘心处电势不为零。
2 x
2
R x x
2
环0
Q 4π 0 R
环
O
注意：盘0 = 2环0
[例] 两个半径分别为 R1 和 R2 的带电球面同心 放置，所带电量分别为 Q1 和 Q2，求其电 场的电势分布。 Q1 O R1 Q2 解： R2 Q1 产生的电势分布为 Q2 产生的电势分布为
R2 dq rB 4 π 0 r
R2
2 2 B 3 R2 rB 6 0 rB
当 R1 = 0 时，均匀带电球体内
3 2 R1
rB R1 O
电势叠加原理
a
a
路径上各点的总场强
例：点电荷 q 场中的电势分布
o
rr
P
r E
解：
r E
=
r qr
4πε 0 r 3
q
U
∝1 r
令
U
U
=
∞=
∞r ∫E⋅
0
r dl
沿径向积分
rr
=
∞
∫
qr
⋅
dr
P
r 4πε r3
0
∞
=∫
qdr
=
q
r 4πε r2 4πε r
0
0
o
r
电势叠加原理
例1.
解：
简例
2. 连续分布电荷的电场中的电势
=
q
4πε0(R2 +
x )2
1 2
例3.
带电薄圆盘
解：
例4.
带电薄球壳
例5.求均匀带电球壳腔内任意点电势
已知： R1, R2 , ρ
求：U P
R2
ρ
r o R1
解：将带电球壳视为许多均匀带
P
dr
电球面的集合，
取半径 r ，厚 dr 的球壳为电荷元：dq = ρ ⋅ 4πr2 ⋅dr
令 U ∞ = 0 ，dq 在腔内产生的电势：
dU = dq = ρ ⋅ 4πr 2dr = ρrdr
4πε 0 r
4πε 0 r
ε0
∫ ∫ 由叠加原理：U =
dU
=
R2 ρ rdr ε R1 0
=
ρ 2ε 0
( R2 2
−
R12 )
即：腔内各点等势
解：
等势面 等势面
大学物理(下)03静电场3
§11.3 电 势
静电场—电势 静电场 电势
1
§11.3 电 势
§11.3.1 §11.3.2 §11.3.3 §11.3.4 小结 电场力的功 电势能 电势 电势的计算
静电场—电势 静电场 电势
返回
2
§11.3
§11.3.1 电场力的功
1、在点电荷的电场中 、
电
+q
势
静电场—电势 静电场 电势
12
r+ ⋅ r− ≅ r
2
r− − r+ ≅ l cosθ
3. 连续带电体的电势 连续带电体的电势: (1). 电势积分法 电势积分法:
r dU
P
dq
UP = ∫
∞
dq 4πε0r
Q
Q
(2). 场强积分法 场强积分法:
UP = ∫
P
v v E ⋅ dL
特点： 计算场强对称分布带电体的电势方便。 特点： 计算场强对称分布带电体的电势方便。
W = qU
静电场—电势 静电场 电势
返回
9
§11.3.4 电势的计算
1、 点电荷的电势 、
UP
r ∞ r = ∫ E ⋅ dl
P
q
r
P
r dl
r 设 dr = d l
U
r E
∞
=
=
∫r
∞
E dr
∞
∫r 4πε 0
q 4πε0r
q
dr 2 r
q>0
r
o
=
q<0
静电场—电势 静电场 电势
10
2、电荷系的电势 、
(1). 当 P点 r > R2 ： P = U1 1
大学物理学第11章电势
例1 求电矩为 p=ql 的电偶极子在均匀外电场 E 中的电势能
l A
-q
B +q
θ
E
讨论:
39
§11.7 静电场的能量 电场能量密度
电场总能量
积分遍及整个空间
注意：电场能量存在于场强所在的全部空间
40
例2 在真空中一个均匀带电球体,半径为R,总电量为q,试利用电 场 能量公式求此带电系统的静电能。 思路分析： （1）确定电场分布；
R
（2）确定能量密度； （3）从电场能量定义出发求电场能量；
41
++
+
+
+R + +
+
+
+ +r
+ +
+ +
+ +
o +
+ dr +
+
+
+ + +
+++ +
42
期末复习.doc
解：思路分析：
+++ +
+R
o
+
（1）确定电势零点——无穷远处；
q+ （2）用高斯定律确定电场分布；
+ +
+
+ ++
+
+ + （3）确定电势分布；
10
++ +
+
+R
+
o
+ +++
第17讲 电势叠加原理、等势面
令 U 0，dq 在腔内产生的电势：
dq 4r 2dr rdr
dU
4 0r
4 0r
0
由叠加原理：U
dU
R2
rdr
R1 0
2 0
(R22
R12 )
即：腔内各点等势
解：
等势面 等势面
点电荷势场
电偶极势场
电容器势场
电导块势场
综合势场图
a
a
路径上各点的总场强
计算 Va
例：点电荷 q o r P
场中的电势分布
解： E
E
qr
4 0 r 3
q
U
令
U 0
沿径向积分
qr dr
U
E dl
P
r
4
r3
0
1 r
o
r
qdr
q
r
4
r2
4
r
0
0
电势叠加原理
例1.
解：
简例
2. 连续分布电荷的电场中的电势
〈1〉将带电体划分为电荷元 dq 〈2〉选零势点，写出dq 在场点的电势 dV
〈3〉由叠加原理：V dV 或 V dV
即：
例2. 求均匀带电圆环轴线上的电势分布
dq
பைடு நூலகம்
解：在圆环上取点电荷dq ,
r R oxPx
令 U 0
dq dU
4 0r
U
dU
0q
dq
40r
q
两个点电荷电势的叠加
两个点电荷电势的叠加1. 电势的基本概念好，咱们先来聊聊电势这件事。
想象一下，电势就像是一个看不见的能量场，咱们每个人都被它包围着。
电势越高的地方，就像山顶一样，能量满满的，随时准备放个烟花。
而电势低的地方呢，就像大海底，稍微有点沉闷。
两个点电荷就像两个小精灵，一个发光，一个吸光，彼此之间的电势就会产生叠加，形成一个新的能量场。
1.1 点电荷的特性点电荷可真是个神奇的东西，简单来说，它们就像宇宙中的小小灯泡，各自发出独特的光芒。
正电荷就像阳光一样，温暖而明亮；而负电荷则像月光，柔和却又带点神秘。
它们之间的关系可是很有趣的哦，正电荷吸引负电荷，就像小孩追逐萤火虫，充满了乐趣与神秘感。
而在这个过程中，电势便在它们之间形成了。
1.2 电势的叠加原理接下来，咱们得说说电势的叠加原理。
想象一下，你在一个派对上，看到两个朋友在一起，分别发着光，聚在一起的时候，光芒就变得更亮了。
这就是电势叠加的感觉。
当两个点电荷在一起时，它们的电势就会合并，形成一个新的电势。
这种叠加就像把两种美味的冰淇淋混合，口感立马升级，不再是简单的单一风味。
2. 实际应用电势叠加不仅仅是个理论，实际生活中处处可见。
想想你用手机的时候，那些电荷在电池里不停地运动，产生电势，让你能够畅快地刷社交媒体。
还有，咱们的家电也是如此，冰箱、电视、洗衣机，都是依靠电势的巧妙运用在工作。
2.1 电场中的应用在电场中，电势的叠加原理更是无处不在。
比如说，在某些实验室里，科学家们会利用这种原理来研究分子间的作用力。
通过调节电荷的分布，他们可以制造出超强的电场，甚至控制一些微小的粒子，就像指挥家指挥乐队，恰到好处。
2.2 日常生活中的电势再说说日常生活中的电势，开关灯的时候，你有没有想过，电流通过电线流向灯泡，电势在这里叠加了多少次，最后才让房间瞬间明亮？这就好比你加了两勺糖到茶里，原本平淡无味的茶水，瞬间变得香甜可口，令人愉悦。
3. 总结与反思说到最后，电势的叠加真是一个值得深究的主题，就像一道美味的菜谱，越深入，你越能发现它的奥妙。
静电场中电势叠加看过来 高考物理
静电场中电势叠加看过来1 问题提出 近几年高考物理试题中频繁出现点电荷周围电势叠加的题型，学生感到很困惑．场强叠加比较常见，教材中也有明确要求．与场强不同的是，电势的叠加在教材中不明确，教师重视程度不够，对试题边界模糊不清．电势的叠加是空间某点的电势等于各点电荷或各部分电荷单独存在该点的电势的代数和，而不是矢量和．两个点电荷周围电势的叠加一般用点电荷周围的等势线（或面）或电势φ随x 变化的关系进行判断，在涉及三个或三个以上点电荷周围电势叠加问题时，前面两种方法就不适用了．虽中学阶段不涉及点电荷周围电势的定量计算，但是它确实是有公式的，对于真空中电量为Q 的静止点电荷而言，当选取离点电荷无穷远处的电势为零时，离点电荷距离为r 处电势为rkQ =ϕ（k 为静电力常量）．通过公式分析，我们得出结论：取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正，且离正电荷越近电势越高，离正电荷越远电势越低；负电荷周围电势为负，且离负电荷越近电势越低，负电荷越远电势越高．在涉及多个点电荷周围电势的叠加问题时，我们就用这个结论来定性或半定量分析，比较方便，下面举例说明，以飨读者．2 结论应用【例1】 (多选)如图1所示，处于x 轴上的两个等量异号点电荷＋Q 和－Q ，坐标分别为(L,0)和(3L,0)．以坐标原点O 为圆心，作半径为2L 的圆，圆上有a 、b 、c 、d 四个点，均处于两点电荷形成的电场中．则下列说法正确的是( )A ．O 点电势等于b 点电势B ．b 点和d 点电场强度大小相等，电势相同C ．将一正试探电荷从c 点沿虚线圆周移到O 点电场力不做功D ．将一正试探电荷从b 点沿y 轴移到d 点，电势能先增大后减小【答案】 BD 【解析】 由等量异号点电荷的电场线、等势线分布图，如图2所示，可知φO >φb ，故A 错误；如图2根据对称性，b 、d 两点场强大小相等、电势相同，故B 正确；取无穷远处电势为零，c 点电势也为零，由图2知，沿电场线方向电势逐渐降低，O 点电势大于零，所以将正试探电荷从c 点沿虚线圆周移到O 点电场力做负功，故C 错误；由图2知φb ＝φd ＜φO ，所以将正试探电荷从b 点沿y 轴经O 点移到d 点，电势能先增大后减小，故D 正确．【点评】对等量异（同）号点电荷周围的电势叠加，我们可直接根据电场线、等势线分布图求解，也可根据结论求解，题中O 点距离＋Q 比－Q 近，显然O 点电势为正，虽然b 点距离＋Q 也比－Q 近，但O 点与b 点相比离得更近．显然离得越近的影响越大，所以φO >φb ，作为选择题，很明显O 、b 两点电势不等，A 错误．在实际做题中，我们可以将几种方法结合起来，这样更简便．【例2】两点电荷量分别为q 1和q 2的点电荷放在x 轴上的O 、M 两点，两电荷连线上各点电势φ随x 变化的关系如图3所示，其中A 、N 两点的电势均为零，ND 段中的C 点电势最高，则（ ） 图1图2A ．A 、N 两点电场强度的大小相等B ．将一个正点电荷放在x 轴负半轴时，它将会一直向x 轴负方向做加速运动C ．NC 间场强方向向x 轴正方向D ．将一正点电荷从N 点移到D 点，电场力先做负功后做正功【答案】 BD 【解析】 A 、N 两点电场强度的大小为该点在电势随x 变化的关系曲线的斜率大小，在A 、N 两点的斜率大小明显不为零，故A 项错误．沿着电场线的方向电势降低，根据q 1和q 2之间电势的变化曲线可以得到，q 1带正电荷、q 2带负电荷，根据零电势点的位置（近小远大）可知，q 1所带电荷量的大小大于q 2所带电荷量的大小，然后根据异种电荷所形成的电场规律可知，将一个正点电荷放在x 轴负半轴时，它将会一直向x 轴负方向做加速运动，故B 项正确．电势沿着电场线方向减小，可得NC 间场强方向向x 轴负方向，故C 项错误．根据φ-x 曲线可知，从N 点到D 点电势为正值且先增加后减小，且带电粒子带正电，根据ϕq E W P ∆-=∆-=可知，电场力先做负功后做正功，故D 项正确．【点评】题目已知电势φ随x 变化的函数图像，对电势高低的判断直接由图像读取．进一步可以利用φ-x 图象的斜率判断沿x 方向电场强度E x 随位置变化的规律．斜率的大小表示电场强度的大小，斜率的正负表示电场强度的方向，进而判断电荷的受力．还可根据电势大小关系分析电荷移动时电势能的变化和电场力做功情况．近小远大也体现了点电荷周围电势的大小关系．【例3】 (2015年江苏卷)两个相同的负点电荷和一个正点电荷附近的电场线分布如图4所示．c 是两负电荷连线的中点，d 点在正电荷的正上方，c 、d 到正电荷的距离相等，则( )A ．a 点的电场强度比b 点的大B ．a 点的电势比b 点的高C ．c 点的电场强度比d 点的大D ．c 点的电势比d 点的低 【答案】 ACD 【解析】 由题4图知，a 点处的电场线比b 点处的电场线密集，所以E a ＞E b ，A 项正确；由沿电场线方向电势逐渐降低可知φb ＞φa ，B 项错误；由场强公式E ＝k Q r 2和场强叠加原理可知E c ＞E d ，C 项正确；取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正，且离正电荷越近电势越高；负电荷周围电势为负，且离负电荷越近电势越低．c 、d 距离正电荷相同，c 比d 距离负电荷近，这里不管正电荷的影响，主要看研究的位置离负电荷的远近来分析电势，所以φd ＞φc ，D 项正确．【点评】 本题非常有新意，把考生熟悉的两个点电荷拓展到了三个点电荷，属于进阶式考题，对于三个点电荷的电势叠加情形，教材里没有固有的电场线和等势线分布图可参考，对考生来说是个难点，还好一般这样的考试题都以定性为主，我们用结论来分析，c 、d 两点的电势就迎刃而解了．【例4】如图5所示，现有两个边长不等的正方形ABCD 和abcd ，且Aa 、Bb 、Cc 、Dd 间距相等．在AB 、AC 、CD 、DB 的中点分别放等量的点电荷，其中AB 、AC 的中点放的点电荷带正电，CD 、BD 的中点放的点电荷带负电，取无穷远处电势为零．则下列说法中正确的是（ ）图3 图4A ．O 点的电场强度和电势均为零B ．把一负点电荷沿着b →d →c 的路径移动时，电场力所做总功为零C ．同一点电荷在a 、d 两点所受电场力不同D ．将一负点电荷由a 点移到b 点电势能减小【答案】B 【解析】上下两个正负点电荷在O 点将产生的电场强度向下，左右两个电荷正负点电荷在O 点的电场强度向右，根据矢量合成法则可以知道O 点电场强度不为零，方向沿为AD 方向，O 离四个点电荷距离相同，四个点电荷在O 点处电势为零，故A 错误．据对称性，b 、c 等电势，把一负点电荷沿着b→d→c 的路径移动时，电场力做功为零，所以B 选项正确．按照库仑定律和力的合成，同一点电荷在a 、d 两点所受电场力相同，故C 错误．取无穷远处电势为零，由结论知，在a 点的电势为正，b 、O 、c 三点电势相等均为零，则负点电荷由a 点移到b 点电势能增加，故D 错误．【点评】对于多个（三个以上）点电荷的电势叠加情形，我们以此类推，仍然依据“取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正，且离正电荷越近电势越高，离正电荷越远电势越低；负电荷周围电势为负，且离负电荷越近电势越低，负电荷越远电势越高．”定性分析，再结合场强、电场力、电势能、电势差等知识分析得出正确结论，一般来说，高考命题涉及静电场的题目以选择题为主，且四个选项会涉及从力的、能的角度来描述电场的较多物理量的考察，场强、电势的叠加只是其中一部分，综合理解、运用场强、电场力、电场线、电势、电势能、电势差、等势面等概念及其关系是解题的关键．在研究高考试题过程中我们发现，电势属于Ⅰ级要求，教材上也未涉及电势的叠加，有的人认为超纲了，但在大学物理教材中是必须掌握的知识，同时它也能很好地考察学生的核心素养（物理观念、科学思维）和关键能力，高考的核心功能是“立德树人、服务选才、引导教学”，既然是选拔人才，定性地分析电场叠加那就自然不超纲，既然在2015年的江苏卷中出现了，接下来必将是高考物理试题中的常客． 3 小试牛刀1.（2022河北卷）如图，真空中电荷量为2q 和(0)q q ->的两个点电荷分别位于M 点与N 点，形成一个以MN 延长线上O 点为球心，电势为零的等势面（取无穷处电势为零），P 为MN 连线上的一点，S 为等势面与直线MN 的交点，T 为等势面上的一点，下列说法正确的是（ ）A. P 点电势低于S 点电势B. T 点电场强度方向指向O 点C. 除无穷远处外，MN 直线上还存在两个电场强度为零的点D. 将正试探电荷0q 从T 点移到P 点，静电力做正功【答案】B 【解析】A ．在直线MN 上，左边正电荷在M 右侧电场强度水平向右，右边负电荷在直线MN 上电场强度水平向右，根据电场的叠加可知MN 间的电场强度水平向右，沿着电场线电势逐渐降低，可知P 点电势高于等势面与MN 交点处电势，则P 点电势高于S 点电势，故A 错误；C ．由于正电荷的电荷量大于负电荷电荷量，可知在N 左侧电场强度不可能为零，则N 右侧，设MN 距离为L ，根据222()()k q k q L d d ⋅⋅=+图5可知除无穷远处外，直线MN 电场强度为零的点只有一个，故C 错误；D ．由A 选项分析可知：T 点电势低于P 电势，则正电荷在T 点的电势能低于在P 电势的电势能，将正试探电荷0q 从T 点移到P 点，电势能增大，静电力做负功，故D 错误；B ．设等势圆的半径为R ，AN 距离为x ，MN 距离为L ，如图所示，根据kq x ϕ=，结合电势的叠加原理A 、S 满足2k q kq L x x ⋅=-，222k q kq L R x R x ⋅=+--，解得3L x =，23L R =由于电场强度方向垂直等势面，可知T 点的场强方向必过等势面的圆心，O 点电势23233O k q kq kq L L L L ϕ⋅=-=-+，可知T O ϕϕ>可知T 点电场方向指向O 点，故B 正确．故选B ．2.（2021河北卷）如图，四个电荷量均为()0q q >的点电荷分别放置于菱形的四个顶点，其坐标分别为()4,0l 、()4,0l -、()00,y 和()00,y -，其中x 轴上的两个点电荷位置固定，y 轴上的两个点电荷可沿y 轴对称移动（00y ≠），下列说法正确的是（ ）A. 除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零B. 当0y 取某值时，可使得菱形内部只存在两个电场强度为零的点C. 当08y l =时，将一带负电的试探电荷由点()4,5l l 移至点()0,3l -，静电力做正功D. 当04y l =时，将一带负电的试探电荷放置在点(),l l 处，其所受到的静电力方向与x 轴正方向成45︒倾斜向上【答案】ACD 【解析】A ．根据场强叠加原理可知，除无穷远处之外，菱形外部电场强度处处不为零，选项A 正确；B ．因为在x 轴上的两个点电荷在O 点的合场强为零，在y 轴上的两电荷，无论y 0取什么值，因为关于原点对称，则在O 点的合场强也为零，在横轴和纵轴上除原点外，出现合场强为零的点，根据对称性可知，一定是成对出现的，关于原点对称，所以算上原点，合场强为零的点是奇数个，不会是2个，选项B 错误；C ．由几何关系可知，坐标为（4l ，5l ）的A 点在第一象限内所在的虚像的垂直平分线的上方；坐标为（0，-3l ）的B 点在第三象限内所在的虚像的垂直平分线的上方，且到达虚线的距离相等，由电势叠加可知，B 点的电势高于A 点，则带负电的试探电荷在A 点的电势能较大，从A 点到B 点电势能减小，可知电场力做正功，选项C 正确；D ．若y 0=4l ，则四个点构成正方形，由对称可知在点（l ，l ）处的场强一定沿着过该点与原点连线的方向上；在y 轴正向和x正向上的点电荷在（l ，l ）处的合场强1222222222255(9)9kql l kq E ll l l l -=⋅=++，在y轴负向和x 负向上的点电荷在（l ，l）处的合场强21213kq E E ==<，可知（l ，l ）点的场强沿着MN 方向且与x 轴从成45︒角的方向向下，将一带负电的试探电荷放置在点(),l l 处，其所受到的静电力方向与x 轴正方向成45︒倾斜向上，选项D 正确．故选ACD ．。
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一、 点电荷系的电势
q1
r1
E2
v v
p
E dl
p
q2
r2 P E1
q1 dr
r1 40r12
q2
r2 40r22
dr
q1
4 0 r1
q2
4 0 r2
n
对n 个点电荷
qi
i1 4 0ri
注意：电势零点P0 必须是共同的。
电势的零点的；而当激发电场的电荷分布延伸到无穷远时，不 宜把电势的零点选在无穷远点，否则将导致场中任一点的电势 值为无限大。这时只能根据具体问题，在场中选择某点为电势 的零点。
（1）电势叠加法 例题1（课本P37）：电荷q均
匀分布在半径为 R 的细圆环上， 求圆环轴线上距环心x处的点P的 电势。
解：在圆环上取任意电荷
即点电荷系电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时在该 点的电势的叠加（代数和）。这个结论叫做静电场的电势叠加原 理。
2．连续型——连续分布电荷电场中的电势
若场源为电荷连续分布的带电体，可
以把它分成无穷多个电荷元 dq ，每个电荷
元都可以看成点电荷，在场点产生的电势
为
dV dq
4 0 r
该点电势为这些元电荷的叠加：
uur r R Ew dl 0
R
q 40r
2
dr
q 40
R
球面内各点电势相等，均等于球面上各点电势。
V-r曲线如图，可见在r=R的球壳处，电势是连续的，而 前面我们知道，带电球壳在r=R处的场强是跃变的。其次， 我们发现可见场强为零处，电势不一定为零。
例题3（课本P41）求无限长均匀带 电直导线外任一点 P 处的电势，已 知线电荷密度为λ。
r0 r
20
ln r0
ln r
显然：当选择r0=1m时，P点电势有最简单的形式，且
V
ln r 2 0
讨论：
ö电势零点不同，电势表式不同；
ö任意两点的电势之差与电势零点选择无关；
ö选择电势零点的原则是使电势表式取最简单形式。
例3． 均匀带电球体的电势。 已知电荷q均匀地分布在半 径为R的球体上，求空间个各点的电势。 解：有高斯定理可求出电场强度的分布
解：取场中任一点b（距导线为r0）为电势
零点，即：Vbrr0 0 则任一点P的电势为：V
rb r
ur E
d
rl。
由高斯定理，得无限长均匀带电直导线外
任一点场强为：E 20r ，则P点的电势为：
V
r0
ur E
d
r l
r
r0 dr ln r r 20r 20
二、电势的叠加原理
q1, q2 , q3....qn
1.离散型--点电荷系电场中的电势，设电场由几个点电荷 q1,q2,q3,...qn
产生，由场强叠加原理可知电场强度为
ur uur
E Ei
矢量和
ur r uur r
电势的矢量和为 V Edl Ei dl Vi 标量和
q
E
4 0r 2
qr
4 0 R3
rR rR
方向沿径向。
由积分公式
ur r
V r E d l
可以计算电势。
当r>
R时，V
r
q dr
40r 2
q
4 0 r
当r≤R时， V
R r
qr
4 0 R3
dr
R
q
4 0r 2 dr
才能选无穷远点的电势为零； 积分路径上的电场强度的函数形式要求已知或可求。 积分对路径进行，是一维积分。
2．叠加法 利用公式 ——已知电荷分布，对电荷分布区域积分 说明：
要求电荷的分布区域是已知的； 积分对电荷分布的区域进行，可能是一维、二维或三维；
当电荷分布在有限的区域内，并且是选择无穷远点作为
元d q d l ，
其中 q / 2 R 。所以圆环在 P 点 的电势为：
Vp
2 R dl 0 40r
2 R
0 40
dl R2 x2
1/ 2
40
R2 x2 1/2
2 R
dl
0
40
q R2 x2 1/2
q R2 r2
4 0 R3
q
40 R
讨论：
ö当
x»R
时，
x2
R2
x
2Rx2，因此：Vp
20
R2 2x
1 40
R2 x
1 40
q x
相当于点电荷的电势。
2）电场强度线积分法
例题2（课本P39）：求均匀带电球壳电场
中任一点 P 处的电势。设球壳半径为 R，总
带电量为 q。
解：由高斯定理求得均匀带电球面的场强
当势x不=一0定时为，零V0 。4q0R ,E0 0 ，可见场强为零处，电
当 x»R 时，
，相当于点 电荷电势。
电势叠加比V电p 场4叠q0x加方便。
V—x 图。
由本题结果，很容易求出半径为 R，均匀带电为 q 的薄圆盘轴线 上任一点的电势。
圆盘可看成由许多细圆环所组成，在距 盘心为 r 处取细圆环，电荷元为：dq dS 2rdr
V
dq 4 0 r
线分布
V dl
l 40r
面分布
V
S
dS 4 0 r
体分布
V
V
dV 4 0 r
3
第11章 电势
三、电势的计算
1，电势定义法
bv v
利用公式Va
a
E
dl
Vb
——已知场强分布，对路径积分
说明： 要注意参考点的选择，只有电荷分布在有限的空间时，
其中 q / R2 。该细圆环在 P 点的电势为：
dVp 4 0
dq x2 r2
1/ 2
4 0
1
2 rdr
x2 r2
所以带电薄圆盘在 P 点激发的电
R 0
rdr x2 r 2 2 0
x2 R2 x
分布为：
q
E
4
0r
2
0
rR rR
选择无穷远处为电势零点V∞=0。由电势定义，
沿径向积分，得：r R时
ur r q
q
V r E dl r 40r2 dr 40r
与点电荷电势相同
rR 时
V
R uur r r En dl
推广到N个 离散带电 体的电势
1
Ua
Edl
a
a
(E1
E2
... E ) d l n
a E1 d l a E2 d l ... a En d l
Ua1 Ua2 第.1.1.章 U电势an
在点电荷系产生的电场中，某点的电势是各点电荷单独 存在时在该点产生的电势的代数和。这称为电势叠加原理。