九年级数学下册第3章圆3.3垂径定理教案

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九年级数学下册 3.3 垂径定理教案 (新版)北师大版

垂径定理一、教学目标1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理； 2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．二、教学重点和难点重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线三、教学过程（一）情境引入：1．如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能图中有哪些等量关系？（3）你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）（二）知识探究：【探究一】通过上面的证明过程，我们可以得到：1.垂径定理_____________________________________________________2.注意：①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。

③定理中的两个条件缺一不可——______________，______________． 3.给出几何语言如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，CD 是直径，如果CD ⊥AB,垂足为E, 那么AE=_______,⋂AC =______,⋂BD =________4．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？【探究二】 1.，作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M .（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.O E CBAO C DB A OCDE O CD BO DB AC2.垂径定理的推论：______________________________________________________________ 3．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？反例：4.如图，在⊙O 中，AB 是弦（不是直径），CD 是直径，（1）如果AE=BE 那么CD____AB,⋂AC =____⋂BD =____ (2)如果⋂AC =⋂BC 那么CD____AB ，AE______BE ，⋂BD =____ （3）如果⋂AD =⋂BD 那么CD____AB ，AE_____BE ，⋂AC =______ （三）典例讲解：1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中⌒CD ,点0是⌒CD 所在圆的圆心），其中CD =600m ，E 为⌒CD 上的一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90m.求这段弯路的半径．2.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？（四）巩固训练：题组一1.如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB 于C ，若AO=5,OC=3,求弦AB 的长。

北师版九年级数学下册教案：第3章圆3 垂径定理

*3 垂径定理教学目标一、基本目标1．通过圆的轴对称性质的学习,理解垂径定理及其推论． 2．能运用垂径定理及其推论计算和证明实际问题．二、重难点目标【教学重点】垂径定理及其推论．【教学难点】运用垂径定理及其推论解决有关问题．教学过程环节1 自学提纲,生成问题【5 min 阅读】阅读教材P74～P75的内容,完成下面练习．【3 min 反馈】1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧．即一条直线如果满足：①CD 经过圆心O 且与圆交于C 、D 两点；②AB ⊥CD 交CD 于点M ,则AM ＝BM ＝12AB ,AC ︵＝BC ︵ ,AD ︵＝BD ︵.2．垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．环节2 合作探究,解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ︵ ,点O 是CD ︵所在圆的圆心),其中CD ＝600 m,E 为CD ︵上一点,且OE ⊥CD ,垂足为F ,EF ＝90 m,求这段弯路的半径．【互动探索】(引发学生思考)要求这段弯路的半径可转化为求OC 的长,结合已知条件,在Rt △OCF 中利用勾股定理即可求得OC 的长．【解答】连结OC .设弯路的半径为R m,则OF ＝(R －90)m. ∵OE ⊥CD ,∴CF ＝12CD ＝12×600＝300(m)．在Rt △OCF 中,根据勾股定理, 得OC 2＝CF 2＋OF 2, 即R 2＝3002＋(R －90)2, 解得R ＝545.∴这段弯路的半径为545 m.【互动总结】(学生总结,老师点评)常用辅助线：连结半径,由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图,AB 为⊙O 的弦,⊙O 的半径为5,OC ⊥AB 于点D ,交⊙O 于点C ,且CD ＝1,则弦AB 的长是多少？解：连结AO .由题意可知,OA ＝OC ＝5, ∴OD ＝OC －CD ＝5－1＝4. ∵OC ⊥AB , ∴∠ODA ＝90°,∴在Rt △OAD 中,由勾股定理,得 AD ＝OA 2－OD 2＝3. 又∵AB 为⊙O 的弦,∴由垂径定理,得AB ＝2AD ＝6, 即弦AB 的长是6.2．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB ＝10 cm,水面宽AB ＝16 cm.求截面圆心O 到水面的距离．解：如图,过点O 作OC ⊥AB 于点C . ∵OC ⊥AB ,AB ＝16 cm,∴∠OCB ＝90°,BC ＝12AB ＝8 cm.又OB ＝10 cm,∴在Rt △OBC 中,由勾股定理,得 OC ＝OB 2－BC 2＝6 cm.即截面圆心O 到水面的距离为6 cm.3．如图,AB 为半圆的直径,O 为圆心,C 为半圆上一点,E 是AC ︵的中点,OE 交弦AC 于点D ,若AC ＝8 cm,DE ＝2 cm,求OD 的长．解：∵E 是AC ︵的中点, ∴OE ⊥AC , ∴AD ＝12AC ＝4 cm.∵OD ＝OE －DE ＝(OE －2)cm,OA ＝OE , ∴在Rt △OAD 中,由勾股定理,得OA 2＝OD 2＋AD 2, 即OA 2＝(OE －2)2＋42, 解得OE ＝5 cm. ∴OD ＝OE －DE ＝3 cm. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知⊙O 的半径为13,弦AB ＝24,弦CD ＝10,AB ∥CD ,求这两条平行弦AB 、CD 之间的距离．【互动探索】画出几何示意图→要求两条平行弦AB 、CD 之间的距离→利用垂径定理求解→作辅助线,构造直角三角形．【解答】分两种情况讨论：当弦AB 和CD 在圆心同侧时,如图,过点O 作OF ⊥CD 于点F ,交AB 于点E ,连结OC 、OA .由题意可知,OA ＝OC ＝13. ∵AB ∥CD ,OF ⊥CD , ∴OE ⊥AB .又∵AB ＝24,CD ＝10,∴由垂径定理,得AE ＝12AB ＝12,CF ＝12CD ＝5,∴由勾股定理,得EO ＝OA 2－AE 2＝5,OF ＝OC 2－CF 2＝12, ∴EF ＝OF －OE ＝7；当弦AB 和CD 在圆心异侧时,如图,过点O 作OF ⊥CD 于点F ,反向延长OF 交AB 于点E ,连结OC 、OA .同理可得,EO ＝5,OF ＝12, ∴EF ＝OF ＋OE ＝17.综上,两条平行弦AB 与CD 之间的距离为7或17.【互动总结】(学生总结,老师点评)解此类题时,要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧,再结合实际作出半径和弦心距,利用勾股定理和垂径定理求解即可．要注意分类讨论思想的应用,小心别漏解．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)垂径定理及其逆定理,以及常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．练习设计请完成本课时对应练习！。

新北师大版九年级数学下册《三章圆.3垂径定理》教案_1

将圆形纸张沿着它的任意一条直径所在的直线对折，
重复做几次，你发现了什么？由此你能
得到什么结论？
学生按要求动手折叠圆形纸张若干次，经历观察、思考、归纳等数学活动过程，得到结论．
教师利用幻灯片，显示结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
（此设计是让学生亲自动手折叠圆形纸张，发现“直径两边的两个半圆完全重合”
2、学生在第 24.1. 1 节学习了圆的定义和弦、弧、等弧等概念．
3、学生已具备动手操作、观察思考和合作交流的能力，初步具备了运用建模思想将实际问题转化为数学数学问题的能力．
【教学目标】
1、知识与技能目标： ①理解圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
②掌握垂径定理及其推论．
③学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题．
【教学难点】
垂径定理及其推论的运用．
【教学用具】
圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件．
【教学过程】
圆形纸张、圆规、直尺、投影仪．
【教学过程】
一、创设问题情境：
教师提问：世界上最著名的割圆拱桥首推中国赵州桥，你知道赵州桥吗？它的设计者是谁？
在学生回答的基础上，教师播放幻灯片，显示赵州桥图片，向学生介绍有关赵州桥的知识．
（3）这些方法中你又用到了哪些数学思想？
学生围绕三个问题进行所学知识小结．师生相互交流补充，明确本节课学习的基本知识和解题方
法．教师强调运用垂径定理解决问题时，一定要明白“知二得三”
、“半弦半径弦心距”的含义，
务必做到准确灵活运用．（采用问题形式进行小结，使学生在回顾本节课所学知识的同时，掌握
，给学生
直观感受，易于接受和掌握．）

北师大版九年级下册3.3垂径定理教学设计

1.概念讲解：明确垂径定理的定义，即圆的直径垂直于弦，并且平分弦。
2.证明过程：引导学生通过几何画板或实际操作，观察并思考如何证明垂径定理。在此基础上，给出严格的证明过程，强调证明方法与逻辑推理。
3.推论介绍：介绍垂径定理的两个重要推论，即弦的一半、弦心距和圆半径构成直角三角形，以及圆的弦垂直平分线相交于圆心。
4.通过对垂径定理及其推论的学习，使学生体会几何知识之间的联系，培养他们运用几何知识解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对几何学的兴趣，培养他们主动探究、积极思考的学习态度。
2.通过对垂径定理的学习，使学生体会数学的简洁美和逻辑美，提高他们对数学的审美能力。
3.培养学生的团队合作精神，使他们学会在合作中交流、分享和互助，共同解决问题。
3.情感态度培养：鼓励学生勇于提出问题、发表见解，培养他们的自信心和批判性思维。
4.课后作业布置：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及培养学生的独立思考能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请同学们完成课本第63页的练习题1、2、3，这些题目主要考察对垂径定理基本概念的理解和简单应用。
5.请同学们按时提交作业，教师将及时批改、反馈，帮助大家查漏补缺，提高学习效果。
2.教学难点：垂径定理的证明过程，以及在实际问题中的应用。
-证明过程涉及严密的逻辑推理，对于部分学生来说可能存在理解上的困难。
-在实际应用中，学生需要能够灵活运用定理，结合其他几何知识，解决更为复杂的问题。
（二）教学设想
1.采定理及其推论。
-教师应以鼓励和表扬为主，营造积极向上的课堂氛围，让学生在轻松的环境中学习。

新北师大版九年级数学下册《三章圆.3垂径定理》教案_2

第三章圆3、垂径定理（1）一、学生学情分析学生的知识技能基础：学生在小学时已经学习过圆的概念，对圆有一定的认识。

本章又学习了圆有关的概念，这些都为这一节课的学习做好了铺垫。

圆的垂径定理是这一节的关键，为圆有关的计算证明都起到重要的作用。

本期我担任两个班级，9（1、2）.学生基础水平较差，因此在备课方面就要班级学生的差异性进行备课，难度较大。

练习以及作业的布置方面也有所不同，总之为了上好本课时在各个方面都必须下足功夫。

二、教学任务分析垂径定理是初中最重要的定理之一，关系到圆有关的计算及证明。

教学目标：【知识与技能】1、进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2、理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明。

【过程与方法】经历探索垂径定理的过程，培养学生类比的思想及发展有条理的思考及其语言表达能力.【情感态度与价值观】①通过学习垂径定理定理，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想。

②结合已有的数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气.教学重、难点【重点】：垂径定理的理解及应用。

【难点】：理解垂径定理及其推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明。

【关键点】理解并应用垂径定理。

三、教学过程设计本节课设计了6个教学环节：情景引入——讲授新课——典例精析——课堂练习——课堂小结——布置作业第一环节情景引入问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？第二环节讲授新课垂径定理及其推论问题：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?通过分析归纳得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.第三环节典例精析例1、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= （）cm.分析：例2如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.分析：第四环节课堂练习1、如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.2、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．3、已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：AC＝BD.4、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。

2024北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》教学设计

2024北师大版数学九年级下册3.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是北师大版数学九年级下册第3.3节的内容，本节课主要介绍垂径定理及其应用。

垂径定理是指：圆中，如果一条直径垂直于一条弦，那么这条直径把这条弦平分。

这个定理是圆的基本性质之一，对于解决与圆有关的问题具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、性质以及一些基本的运算。

但是，对于证明一个定理，他们可能还不是很熟悉。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、推理等方法，逐步理解并证明垂径定理。

三. 教学目标1.理解垂径定理的内容，并掌握其证明过程。

2.能够运用垂径定理解决与圆有关的问题。

3.培养学生的观察能力、思考能力和推理能力。

四. 教学重难点1.教学重点：垂径定理的内容及其证明过程。

2.教学难点：如何引导学生通过观察、思考、推理等方法，证明垂径定理。

五. 教学方法1.引导法：通过提问、引导，激发学生的思考，帮助他们理解垂径定理。

2.推理法：引导学生通过观察、推理，证明垂径定理。

3.实例法：通过具体的例子，让学生学会如何运用垂径定理解决实际问题。

六. 教学准备1.教学PPT：包括垂径定理的定义、证明过程以及应用实例。

2.教学素材：一些与圆有关的问题，用于巩固和拓展学生的知识。

3.黑板：用于板书重要的概念和证明过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的与圆有关的问题，引导学生复习之前学过的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）介绍垂径定理的定义和证明过程。

首先，让学生观察一些与圆有关的几何图形，引导他们发现其中的规律。

然后，通过推理和论证，得出垂径定理的结论。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试用垂径定理解决一些与圆有关的问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）针对学生的讨论结果，进行讲解和分析，巩固他们对垂径定理的理解。

同时，通过一些具体的例子，让学生学会如何运用垂径定理解决实际问题。

北师大版九年级数学下册第三章圆3.3垂径定理教案

课题垂径定理目标（三维目标）1．知识与技能（1）探索并理解垂径定理(2)熟练掌握垂径定理及其逆定理2．过程与方法（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．•理解定理的推导,掌握定理及公式．（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．3．情感、态度与价值观经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．重点难点1．重点：垂径定理及其运用．2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．教法讲授法演示法学法示范指导法启迪思维法教学过程：（详案）讨论修改一、复习引入（学生活动）请同学口答下面问题（提问一、两个同学）复习上节课内容:包括圆的概念以及与圆相关的概念二、探索新知（实践）把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．（学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）将圆O沿CD所在直线折叠,你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．（2）AM=BM，弧AC=弧BC,弧AD=弧BD，即直径CD平分弦AB，并且平分弧ACB和弧ADB．这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为MAM=B求证：M.，，分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、•OB或AC、BC即可．证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在Rt△OAM和Rt△OBM中∴Rt△OAM≌Rt△OBM∴AM=BM∴点A和点B关于CD对称∵⊙O关于直径CD对称∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，与重合，与重合．∴，三、学生活动（证明垂径定理的逆定理）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．已知：直径CD、弦AB（除直径）且AM=BM求证：（1）CD⊥AB （2），四、例题讲解1、如图所示，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，若AB=2cm，OC=1cm，则⊙O的半径长为______cm．2.在直径为50cm的圆中，弦AB为40cm，弦CD为48cm，且AB∥CD，求AB•与CD之间距离．解：如图所示，过O作OM⊥AB，∵AB∥CD，∴ON⊥CD．在Rt△BMO中，BO=25cm．由垂径定理得BM=AB=×40=20cm，∴OM==15cm．同理可求ON==7cm，所以MN=OM-ON=15-7=8cm．以上解答有无漏解，漏了什么解，请补上五、拓展训练例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O是的圆心，•其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．解：如图，连接OC设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m∵OE⊥CD∴CF=CD=×600=300（m）根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即R2=3002+（R-90）2解得R=545∴这段弯路的半径为545m．练习1.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=•60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．。

北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计

北师大版九年级数学下册：3.3《垂径定理》教学设计一. 教材分析《垂径定理》是北师大版九年级数学下册第3章第3节的内容。

本节主要介绍圆中的垂径定理及其应用。

垂径定理是圆的基本性质之一，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。

通过学习垂径定理，学生能够更深入地理解圆的性质，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本概念和性质，具备了一定的观察、分析和推理能力。

但在学习垂径定理时，学生可能对定理的理解和应用还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生逐步理解并掌握垂径定理。

三. 教学目标1.理解垂径定理的内容及证明过程。

2.能够运用垂径定理解决与圆相关的问题。

3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和应用。

2.难点：垂径定理的证明过程。

五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、分析、推理，发现垂径定理。

2.实例讲解法：教师通过具体例子，讲解垂径定理的应用。

3.合作交流法：学生分组讨论，分享学习心得和解决问题的方法。

六. 教学准备1.教学PPT：包含垂径定理的定义、证明和应用。

2.实例图片：用于讲解垂径定理的应用。

3.练习题：巩固所学内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾圆的基本性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师展示PPT，介绍垂径定理的定义、证明和应用。

引导学生观察、分析，理解垂径定理的意义。

3.操练（10分钟）教师提出几个与垂径定理相关的问题，让学生分组讨论，共同解决问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）学生独立完成几道练习题，巩固所学内容。

教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。

5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生运用垂径定理解决实际问题。

学生分组讨论，分享解题方法。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，回顾学习过程，分享学习心得。

九年级数学下册第3章圆3.3垂径定理教案新版北师大版

九年级数学下册第 3 章圆 3.3 垂径定理教课设计新版北师大版《垂径定理》◆模式介绍“研究式教课”是指学生在学习观点和原理时，教师不过给他们一些案例和问题，让学生自己经过阅读、察看、实验、思虑、议论、听讲等门路去主动研究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种教课方法．它的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地研究，掌握认识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的因由和事物内部的联系，从中找出规律，形成观点，成立自己的认知模型和学习方法架构．研究式教课法能充足发挥了学生的主体作用．研究式教课往常包含以下五个教课环节：创建情境——启迪思虑——研究问题——形成结论——稳固提升◆设计说明第一经过问题 1 由学生亲身着手操作得出“圆是轴对称图形”的结论，为接下来证明垂径定理打下基础；问题 2 经过赵州桥拱的半径问题来激发学生学习兴趣，引起学生进一步探究的欲念．问题 3 让学生回首圆是轴对称图形及其对称轴是经过圆心的直线，问题4展现垂径定理的条件，为马上研究与证明垂径定理作准备．问题5和问题6研究并证了然垂径定理及其推论．最后经过例、习题的稳固，突出了垂径定理及其推论的应用．◆教材剖析本节是北师大版义务教育教科书《数学》九年级下册第三章《圆》的第3节《垂径定理》的教课内容，本节课是在学生学习了圆的有关观点和圆的对称性的基础长进行的，本节内容是依据圆的轴对称性研究了垂径定理及其有关的结论．垂径定理及其推论反应了圆的重要性质，是证明线段或角相等以及垂直关系的重要依照，同时也为有关圆的一些计算和作图问题供给了方法和依照．关于垂径定理的学习，要帮助学生剖析定理的条件和结论，加深学生对定理的理解．垂径定理有关推论的学习，能够按条件画出图形，让学生经过察看、思虑、亲身得出结论．◆教课目的【知识与能力目标】1、研究并证明垂径定理及其逆定理．2、能够运用垂径定理及其推论解决有关证明、计算及作图问题．【过程与方法】经历研究垂径定理及其逆定理的过程，发展推理能力．【感情态度与价值观】历研究垂径定理及其逆定理的过程，让学生领悟数学的谨慎性，并体验发现的乐趣．◆教课重难点【教课要点】垂径定理及其逆定理的证明．【教课难点】利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．◆课前准备多媒体课件、教具等．◆教课过程【创建情境】问题 1 请取出准备好的圆形纸片，将其沿圆心所在的任一条直线对折，你会发现什么？多折几次试一试．追问 1：由折纸可知圆是轴对称图形吗？追问 2：假如是一个残破的圆形纸片，你能找到它的圆心吗？问题 2你知道赵州桥吗？它是1300 多年前我国隋代建筑的石拱桥，是我国古代人民勤奋与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度( 弧所对的弦长 ) 为 37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离) 为 7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精准到0.1 m）设计企图：问题 1 由学生亲身着手操作得出“圆是轴对称图形”的结论，为接下来证明垂径定理打下基础；问题2经过赵州桥拱的半径问题来激发学生学习兴趣，引起学生进一步研究的欲念．【启迪思虑】问题 3经过前方的折纸我们知道圆是轴对称图形，那么它有几条对称轴？分别是什么？结论：⑴圆是轴对称图形；⑵经过圆心的每条直线（注：提示学生说不可以说直径）都是它的对称轴；⑶圆的对称轴有无数条．问题 4 如图，对折⊙O 使圆的两半部分重合获得一条折痕，在上取一点，过CDOCM点 M 再次对折⊙ O ，使 CM 与 MD 重合，新的折痕与⊙O 交于 A 、 B 两点．（ 1）察看图形，它是轴对称图形吗？假如是，其对称轴是什么？（ 2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的原因．设计企图：问题 3 让学生回首圆是轴对称图形及其对称轴是经过圆心的直线，问题4展现垂径定理的条件，为马上研究与证明垂径定理作准备．【研究问题】问题 5 已知：如图，AB 是⊙ O 的一条弦，是⊙ O 的一条直径，而且 ⊥ ，垂足CD CD ABM ．求证： AM=BM ， AC BC ， AD BD ．证明：连结 OA 、 OB ，则 OA =OB ．又∵ CD ⊥ AB ，∴直线 CD 是等腰△ AOB 的对称轴，又是⊙ O 的对称轴．所以沿着直径折叠时，双侧的两个半圆重合， A 点和 B 点重合，和CDCDAMBM 重合， AD 、 AC 分别和 BD、BC重合．所以，AM=BM ，AC BC ，AD BD ．追问：你还有其余方法证明这个结论吗？说明：能够用全等三角形知识来证明．问题 6如图，AB是⊙ O的弦（不是直径），作一条均分AB的直径 CD，交 AB于点 M．（1）察看图形，它是轴对称图形吗？假如是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的原因．（3）AB与CD的地点关系怎样？说一说你的原因．解：，，．原因以下：连结 OA、OB，则 OA=OB．又∵ AM=BM，∴△ AOM≌△ BOM，∴∠ AMO=∠ BMO=90°，∴CD AB ，∴直线 CD是等腰△ AOB的对称轴，而CD又是⊙ O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时， CD双侧的两个半圆重合， A 点和 B点重合，AD、AC 分别和 BD、BC重合．所以，CD AB，AC BC，AD BD．【形成结论】你能文字语言表达问题 5 和问题 6 中的结论吗？问题 5 的结论（垂径定理）：垂直于弦的直径均分弦，而且均分弦所对的两条弧．问题 6 的结论（垂径定理的推论）：均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且均分弦所对的两条弧．追问：假如弦AB是直径，以上结论还成立吗？近似还有以下结论：（1）均分弦所对的两条弧的直径，垂直均分弦；（2）弦的垂直均分线，必过圆心且均分弦所对的两条弧．【稳固提升】例 1如图，一条公路的转弯处是一段圆弧( 即图中 CD ，点O 是CD的圆心)，此中CD=600m，E 为CD上一点，且OE⊥ CD，垂足为 F， EF=90m．求这段弯路的半径．解：连结 OC．设弯路的半径为Rm，则 OF=（ R－90） m．∵OE⊥CD，∴CF 1 1300 （m）．CD 6002 2在 Rt△ OCF中，依据勾股定理，得OC2 CF 2 OF2，即 R222 ．R 90300解这个方程得R＝545．所以，这段弯道的半径是545m．追问：此刻能解决课前提出的赵州桥问题了吗？解：如图，由题意可知，AB=37m， CD=7.23 m，所以 AD=1AB＝18.5 m，2 OD OC CD R 7.23 ．在 Rt△ OAD中，由勾股定理，得AO 2 OD 2 AD 2，即 R2 18.522R 723 ，解得R 27.3（ m）．所以，赵州桥的主桥拱半径为27.3 ．m学生练习 1 课本 76 页随堂练习第 2 题．学生练习 2 如图，已知 AB ，请你利用尺规作图的方法作出AB 的中点，说出你的作法．A B作法： (1) 连结AB；(2)作 AB的中垂线，交AB于点 C，点 C就是所求的点．讲堂小结：本节课你学到了哪些数学知识？在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？1、本节课我们研究了圆的轴对称性；2、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；3、垂径定理和勾股定理相联合，结构直角三角形，可解决心算弦长、半径、弦心距等问题．部署作业：1、教科书习题 3.3 第 1 题、第 2 题．（必做题）2、教科书习题 3.3 第 3 题、第 4 题．（选做题）◆教课反省略．。

第3章3.3垂径定理(教案)2023-2024学年九年级下册数学(教案)(北师大版)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调垂径定理的定义及其证明过程这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂径定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示垂径定理的基本原理。
5.培养学生养成良好的学习习惯，提高自主学习、探究学习的能力，形成终身学习的观念。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解垂径定理的概念：垂径定理是圆的基本性质之一，对于圆的认识具有重要意义。教学过程中应重点讲解垂径定理的定义，使学生明确垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
-掌握垂径定理的证明方法：通过运用勾股定理和圆周角定理，引导学生理解并掌握垂径定理的证明过程，培养学生严谨的逻辑推理能力。
此外，在总结回顾环节，学生们能够较好地掌握垂径定理的基本概念和应用。但我也注意到，部分学生在提问环节显得较为拘况，我将在课堂上鼓励学生大胆提问，充分表达自己的观点，同时给予他们更多的肯定和鼓励。
最后，针对本节课的教学，我认为以下方面需要改进：
a.引导学生观察图形，发现垂径定理的规律。
b.分步骤解释证明过程，强调勾股定理和圆周角定理的应用。
c.通过提问和互动，了解学生在证明过程中遇到的难点，并针对性地进行解答。
d.组织学生进行小组讨论，共同解决证明过程中的问题，培养学生的团队合作能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《垂径定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要找到圆中某个点，使得从这个点到圆周上某点的距离最短的情况？”（例如：如何在一张纸上剪出一个最大的圆）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索垂径定理的奥秘。

北师大版数学九年级下册3.3垂径定理教学设计

三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：理解并掌握垂径定理及其证明过程，能够灵活运用垂径定理解决相关问题。
2.难点：
（1）从具体实例中抽象出垂径定理，理解其几何本质。
（2）运用逻辑推理证明垂径定理，培养学生的逻辑思维和推理能力。
（3）将垂径定理应用于解决与圆相关的实际问题，提高学生的应用能力。
5.小组合作题：安排一道需要团队合作完成的题目，要求学生在小组内部分工合作，共同解决问题。这样的题目有助于提高学生的沟通协作能力，同时也能让学生在合作中发现问题、解决问题。
作业要求：
1.学生需独立完成作业，书写规范，保持卷面整洁。
2.对于提高拓展题和实践应用题，鼓励学生尝试不同的解题方法，注重解题过程的逻辑性和思维的创造性。
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及提高他们的数学思维能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：请学生完成课后练习题中与垂径定理相关的前三题，旨在帮高拓展题：选择两道具有一定难度的题目，要求学生在理解垂径定理的基础上，结合其他几何知识，如圆周角定理、相似三角形等，解决问题。这样的题目旨在培养学生的综合解题能力和逻辑思维。
4.教学策略：
（1）注重分层教学，针对不同水平的学生，设计不同难度的教学任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
（2）鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的表达和倾听能力。
（3）关注学生的情感态度，营造轻松愉快的学习氛围，激发学生的学习兴趣。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.复习引入：首先，引导学生复习圆的基本概念，如半径、直径、弦、弧等。通过提问方式，让学生回顾这些概念的定义及性质，为新课的学习打下基础。
3.小组合作题需明确每个成员的责任，确保每个学生都能积极参与，共同完成任务。

3.3 垂径定理教案 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

课题*3 垂径定理课时1课时上课时间45教学目标1.知识与技能(1)利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.(2)运用垂径定理及其逆定理解决问题.2.过程与方法经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.3.情感、态度与价值观(1)培养学生类比分析,猜想探索的能力.(2)通过学习垂径定理及其逆定理的证明,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神.教学重难点重点:利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.难点:垂径定理及其逆定理的证明,以及应用时如何添加辅助线.教学活动设计二次设计课堂导入提出问题,引入新课:1.等腰三角形是轴对称图形吗?2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折,可以发现什么结论?3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心,腰长为半径画圆,得到的图形是否是轴对称图形呢?探索新知合作探究自学指导如图,AB是☉O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.(1)该图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?(2)你能发现图中有哪些等量关系?(3)你能给出几何证明吗?(写出已知、求证并证明)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.合作探究1.小组讨论自学指导中出现疑问的地方.2.如图,AB是☉O的弦(不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB于点M.(1)如图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?(2)图中有哪些等量关系?说一说你的理由.(3)你能模仿垂径定理的证明过程,自行证明逆定理吗?续表探索新知合作探究(4)你能正确表述逆定理的内容吗?(5)“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.”如果该定理少了“不是直径”,是否也能成立？点拨：条件:①CD是直径;②AM=BM.结论(等量关系):③CD⊥AB;④;⑤.垂径定理逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.学以致用思考如下问题:(1)如何利用所学定理添加辅助线?(2)这样添加辅助线的目的是什么?(3)你想利用直角三角形的什么知识来解决问题?(4)大家能合作完成求解过程吗?点拨(1)垂径定理中的两个条件缺一不可——直径(半径),垂直于弦.(2)垂径定理的逆定理中“不是直径”不可或缺,否则错误.尝试应用：1. (毕节中考)如图，在⊙O中，弦AB的长为8，OC⊥AB，垂足为C，且OC＝3，则⊙O的半径为( )A．5 B．10 C．8 D．61题 2题2. 如图，在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝3，则弦CD的长为____________．3. 1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到0.1米）．盘点提升1.学了本节课，你还有什么疑问？2.你的收获？知识：(1)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.(2)垂径定理逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.方法规律:解决有关弦的问题,经常是过圆心作弦的垂线,或作垂直于弦的直径,连接半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件.当堂达标1. 如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若OE=3，则AB的长是（）A．4 B．6 C．8 D．101题 2题 3题 4题2. 如图，圆O过点A、B，圆心O在正△ABC的内部，AB=2，OC=1，则圆O的半径为（）A．B．2 C．D．3.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜54.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB= cm．5.如图，MN是⊙O的直径，矩形ABCD的顶点A、D在MN上，顶点B、C在⊙O 上，若⊙O的半径为5，AB=4，则AD边的长为．5题 6题6. 如图所示，⊙O内有折线OABC，其中OA=2，AB=4，∠A=∠B=60°，则BC的长为．7．如图，⊙O的半径为2，弦AB=2，点C在弦AB上，AC=AB，求OC的长．智者加速8. 如图，⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离．9．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），求该光盘的直径是多少？10．今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．（选自《九章算术》卷第九“句股”中的第九题，1尺=10寸）．板书设计垂径定理1.垂径定理 3.例题2.垂径定理的逆定理。

九下第三章第3节垂径定理

课题：九下3.3垂径定理一、备课标（一）内容标准：探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。

（二）数学思想、方法（十大核心概念）：圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，利用圆的轴对称性探索垂径定理及其逆定理，然后用推理证明的方法进行证明。

十大核心概念在本节课中突出的是空间观念、几何直观、推理能力、应用意识。

二、备重点、难点（一）教材分析：本节课是九年级下册第三章《圆》的第三节“垂径定理”，属于“图形与几何”领域图形性质部分。

学生在第二节已经学习了圆是轴对称图形以及中心对称图形的有关性质，具备一定的研究图形的方法，基本掌握探究问题的途径，具备推理证明的能力。

本节设计会侧重学生对新知识形成过程的认识和理解，采用通过实验、观察、猜想、验证的手法去探求几何定理，继续让学生探索与圆有关的性质，为本章后续圆的知识学习打下坚实的基础。

（二）重点、难点分析：学生通过折纸的方法认识了圆的轴对称性，利用轴对称性图形的性质得出有关结论，教科书展示了垂径定理的一种证明方法，探索的方式可多样化。

所以确定重点：利用圆的轴对称性探索垂径定理及其逆定理，并进行应用难点：垂径定理及其逆定理的区别及两个定理的使用条件三、备学情（一）学习条件和起点能力分析：1.学习条件分析：（1）必要条件：学生已认识圆是轴对称性图形，了解弧、弦、弦心距的相关概念，能运用四量关系定理解决圆的相关问题。

（2）支持性条件：学生具备一定的运用数形结合研究图形的方法，基本掌握探究问题的途径，2.起点能力分析：能运用四量关系定理解决圆的相关问题，具备推理证明的能力（二）学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：学生通过折纸的方法认识了圆的轴对称性，进而会用折叠的方法得出猜想，还有的学生可能尝试用证明的方法得出结论，对于垂径定理和逆定理的使用条件不会区分，证明过程不够严谨。

针对这一问题，采取策略是利用几何语言分析其区别，通过例题规范解题格式。

新北师大版九年级数学下册《三章圆 .3 垂径定理》教案_4

24.1.2垂直于弦的直径教学设计一、学习目标：1. 探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质。

2. 能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。

二、学习重点、难点：1. 重点：垂直于弦的直径所具有的性质以及证明。

2. 难点：利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。

三、学习过程：（一）、探究一把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论：圆是____________，对称轴是经过圆心的每一条_________。

（二）、探究二作⊙O 的一条弦AB(不是直径)和直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ．右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 你能发现图中有那些相等的线段和弧?你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．相等的线段：相等的弧：猜想：。

符号语言：∵∴巩固：1、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不成立的是（）A 、CE=DEB 、弧CB=弧BDC 、OE=AED 、∠COE=∠DOE 2、如图，OC ⊥AB 于点E 交圆O 于点C ，若⊙O 的半径为10cm,OD=6cm,则AB= cm 。

D CB A3、在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O的半径。

4、如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1，AB=10，求直径CD 的长。

（三）、应用：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m ，请你求出赵州桥主桥拱的半径。

（四）、总结和收获C OABED。