九年级数学下册第3章圆3.3垂径定理教案

3.3垂径定理;;

一、教学目标;;

1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性.

2.运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.

3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.

二、课时安排

1课时

三、教学重点

运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.

四、教学难点

运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.

五、教学过程

（一）导入新课

引导学生说出点与圆的位置关系：

（二）讲授新课

活动内容1：

探究1：圆的相关概念——弧、弦、直径

1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.

２.连接圆上任意两点的线段叫做弦.

３.经过圆心的弦叫做直径

探究2： AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.

小明发现图中有:

理由：

连接OA,OB,则OA=OB.

在Rt△OAM和Rt△OBM中,

∵OA=OB，OM=OM，

∴Rt△OAM≌Rt△OBM.

∴AM=BM.

∴点A和点B关于CD对称.

∵⊙O关于直径CD对称,

∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,

和重合和重合

AC BC,AD BD.

∴==

AC BC,AD BD.

活动2：探究归纳

定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

（三）重难点精讲

例1.如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD⊥AB，已知CD = 20，CM = 4，求

AB.

证明：连接OA ，

∵ CD = 20，∴ AO = CO = 10. ∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6. 在⊙O 中，直径CD ⊥AB ， ∴ AB =2AM ， △OMA 是直角三角形.

在Rt △OMA 中，AO = 10，OM = 6， 根据勾股定理，得：2

22AO OM AM =+，

AM 8===， ∴ AB = 2AM = 2 × 8 = 16.

例2.如图，两个圆都以点O 为圆心，小圆的弦CD 与大圆的弦AB 在同一条直线上.你认为AC 与BD 的大小有什么关系？为什么？

解:作OG ⊥AB ， ∵AG=BG,CG=DG ， ∴AC=BD.

例3.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ,点O 是CD 所在圆的圆心),其中CD=600m,E 是CD 上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.

解:连接OC.

,(90).Rm OF R m =-设弯路的半径为则

,OE CD ⊥

11

600300().22

CF CD m ∴=

=⨯= 根据勾股定理得：2

2

2

,OC CF OF =+即

()2

2230090.R R =+-

解这个方程得R=545

∴这段弯路的半径为545米。 （四）归纳小结

通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.圆的相关概念，弦、弧、优弧、劣弧. 2.垂径定理及推论、圆的对称性.

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

（五）随堂检测

1.（上海·中考）如图，AB，AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝3，那么BC＝________.

2.（芜湖·中考）如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（）

A．19 B．16 C．18

3．（烟台·中考）如图，△ ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤1

AE AB

2正确结论的个数是（）

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

4.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）

A．AE＝OE B．CE＝DE

C．OE＝1

2

CE D．∠AOC＝60°

5.（襄阳·中考）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为（）

A．5cm B．2．5cm C．2cm D．1cm

6.（襄阳·中考）已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD 之间的距离为（）

A．17cm B．7 cm

C．12 cm D．17 cm或7 cm

7.如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.

【答案】

1. 【解析】由垂径定理得AN=CN，AM=BM，所以BC=2MN=6.答案：6

2. 答案:D

3. 答案:B

4. 答案:B

5. 答案:D

6. 答案：D

7. 解：连接OM,过M作AB⊥OM，交⊙O于A，B两点.

六．板书设计

3.3垂径定理

例题1：例题2：例题3：