高中数学事件的独立性综合测试题(附答案)-精选教育文档

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部编版2020学年高中数学第二章2.2.2事件的相互独立性检测含解析新人教A版选修2(2)

2.2 二项分布及其应用2.2.2 事件的相互独立性A 级基础巩固一、选择题1．有以下三个问题：①掷一枚骰子一次，事件M ：“出现的点数为奇数”，事件N ：“出现的点数为偶数”； ②袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M ：“第1次摸到白球”，事件N ：“第2次摸到白球”；③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ：“第1枚为正面”，事件N ：“两枚结果相同”．这三个问题中，M ，N 是相互独立事件的有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个解析：①中，M ，N 是互斥事件；②中，P (M )＝35，P (N )＝12，即事件M 的结果对事件N的结果有影响，所以M ，N 不是相互独立事件；③中，P (M )＝12，P (N )＝12，P (MN )＝14，P (MN )＝P (M )·P (N )，因此M ，N 是相互独立事件．答案：C2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则产品的正品率为( )A ．1－a －bB ．1－abC ．(1－a )(1－b )D ．1－(1－a )(1－b )解析：设A 表示“第一道工序的产品为正品”，B 表示“第二道工序的产品为正品”，则P (AB )＝P (A )P (B )＝(1－a )(1－b )．答案：C3．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49B.29C.23D.13解析：设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P (A )＝23，B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”，则P (B )＝23.故P (AB )＝P (A )·P (B )＝23×23＝49.答案：A4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16解析：所求概率为23×14＋13×34＝512或P ＝1－23×34－13×14＝512.答案：B5．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( ) A.19 B.16 C.13 D.718解析：设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝23，停车一次即为事件ABC ＋ABC ＋ABC 的发生，故概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×23＋13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝718.答案：D 二、填空题6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．解析：从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M ，从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N ，因事件M ，N 相互独立，则能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P (MN )＝P (M )P (N )＝160200×180240＝35.答案：357．已知P (A )＝0.3，P (B )＝0.5，当事件A 、B 相互独立时，P (A ∪B )＝________，P (A |B )＝________．解析：因为A ，B 相互独立，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A )·P (B )＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65；P (A |B )＝P (A )＝0.3.答案：0.65 0.38．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．解析：在同一时刻两颗卫星预报都不准确的概率为(1－0.8)×(1－0.75)＝0. 05，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－0.05＝0.95.答案：0.95 三、解答题9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为12，求灯亮的概率．解：因为A ，B 断开且C ，D 至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，P ＝P (AB )[1－P (CD )]＝P (A )P (B )[1－P (CD )]＝12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝316.所以灯亮的概率为1－316＝1316.10．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率．解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A ，B ，C ，则有P (A )＝45，P (B )＝35，P (C )＝710.(1)因为A ，B ，C 相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P (A — B —C )＋P (— A B — C )＋P (— A — B C )＝P (A )P (— B )P (— C )＋P (— A )P (B )P (—C )＋P (—A )P (—B )P (C )＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250.(2)至多有两人当选的概率为1－P (ABC )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－45×35×710＝83125.B 级能力提升1．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率解析：分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A 、B ，则P (A )＝13，P (B )＝12，由于A 、B 相互独立，所以1－P (— A )P (—B )＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C 正确．答案：C2．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为__________，问题得到解决的概率为________．解析：都未解决的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝12×23＝13，问题得到解决就是至少有1人能解决问题，所以P ＝1－13＝23.答案：13 233．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、第二、第三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手被淘汰的概率；(2)记该选手在考核中回答问题的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解：(1)记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件A i (i ＝1，2，3)，则P (A 1)＝45，P (A 2)＝35，P (A 3)＝25.所以该选手被淘汰的概率P ＝1－P (A 1A 2A 3)＝1－P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝1－45×35×25＝101125. (2)ξ的所有可能取值为1，2，3. 则P (ξ＝1)＝P (A 1)＝15，P (ξ＝2)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝45×25＝825， P (ξ＝3)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝45×35＝1225，所以ξ的分布列为：。

2024-2025年北师大版数学必修第一册7.4事件的独立性(带答案)

4 事件的独立性必备知识基础练知识点一相互独立事件的判断1．掷一枚质地均匀的骰子，判断下列各组事件，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．(1)A ＝{掷出偶数点}，B ＝{掷出奇数点}； (2)A ＝{掷出偶数点}，B ＝{掷出3点}； (3)A ＝{掷出偶数点}，B ＝{掷出3的倍数点}； (4)A ＝{掷出偶数点}，B ＝{掷出的点数小于4}．知识点二相互独立事件同时发生的概率2．甲骑自行车从A 地到B 地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13 ，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是( )A ．13B ．427C ．49D ．1273．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15 ，13 ，14 .假设他们破译密码是彼此独立的，此密码被破译的概率为________．知识点三互斥事件、对立事件与独立事件的综合应用4．(多选题)若P (AB )＝19 ，P (A －)＝23 ，P (B )＝13 ，则事件A 与B 的关系错误的是( )A ．事件A 与B 互斥 B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又相互独立5．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．6．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为12 与25 .(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；(2)甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率．关键能力综合练1．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率是( )A ．1425B ．1225C ．34D ．352．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12 和13 ，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是( )A ．13B ．23C ．12D ．1 3．2022年国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13 ，乙、丙去北京旅游的概率分别为14 ，15 .假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )A ．5960B ．35C ．12D ．1604．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A ．34B ．23C ．35D ．125．(探究题)如图所示，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9，0.8，0.8，则系统正常工作的概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.5766．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估做对第二道题的概率是________．7．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．8．(易错题)在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 片上，则跳三次之后停在A 片上的概率为________．9．甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为12 ，p ，q (p <q )，各项目的比赛结果相互独立，甲得0分的概率是350 ，甲得3分的概率是425.(1)求p ，q 的值；(2)甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由．核心素养升级练1．(多选题)甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以A 1，A 2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是( )A ．事件A 1，A 2互斥B ．事件B 与事件A 1相互独立C ．P (A 1B )＝12D ．P (B )＝23302．计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45 ，34 ，23 ，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12 ，23 ，56，所有考试是否合格相互之间没有影响．(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性大？(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．§4 事件的独立性必备知识基础练1．解析：(1)∵A ，B 不可能同时发生，∴A ，B 是互斥事件．(2)∵A ，B 不可能同时发生，∴A ，B 是互斥事件．(3)P (A )＝12 ，P (B )＝13 ，P (AB )＝16 ，∴P (AB )＝P (A )·P (B )，∴事件A ，B 为相互独立事件．(4)∵P (A )＝12 ，P (B )＝12 ，P (AB )＝16，P (AB )≠P (A )·P (B )，∴A ，B 不是相互独立事件，又A ，B 可能同时发生，∴A ，B 不是互斥事件． 2．答案：B解析：由题可知，甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13 ，在每个十字路口没有遇到红灯的概率都是1－13 ＝23 ，所以甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是23 ×23 ×13 ＝427，故选B.3．答案：35解析：用A ，B ，C 分别表示三人破译出密码，则P (A )＝15 ，P (B )＝13 ，P (C )＝14.且P (A － B － C － )＝P (A － )P (B － )P (C －)＝45 ×23 ×34 ＝25 ，所以此密码被破译的概率为1－25 ＝35 .4．答案：ABD解析：由题意可得P (A )＝1－P (A －)＝1－23 ＝13，因为P (AB )＝19 ，P (A )＝P (B )＝13 ，可得P (AB )＝P (A )·P (B )，所以事件A 与B 相互独立，不互斥不对立．故选ABD. 5．答案：0.09解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P ＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.6．解析：(1)记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事件B ，则P (A )＝12，P (B )＝25，P (A －)＝12，P (B －)＝35.∴恰好命中一次的概率为P ＝P (A ·B － )＋P (A － ·B )＝P (A )·P (B － )＋P (A －)·P (B )＝12 ×35 ＋12 ×25 ＝510 ＝12. (2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为P 1，则P 1＝P (A － ∩A － ∩B － ∩B － )＝P (A － )·P (A － )·P (B － )·P (B －)＝(1－12 )2×(1－25 )2＝9100.∴甲、乙两人在罚球线各投球两次，至少一次命中的概率为P ＝1－P 1＝91100.关键能力综合练1．答案：A解析：设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，根据题意知，P (A )＝810＝45 ，P (B )＝710 ，且A 与B 相互独立，故他们都命中目标的概率为P (AB )＝P (A )·P (B )＝45 ×710 ＝1425. 2．答案：C解析：设事件A 表示“甲通过听力测试”，事件B 表示“乙通过听力测试”．根据题意，知事件A 和B 相互独立，且P (A )＝12 ，P (B )＝13.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C ，则C ＝A B － ∪A － B ，且A B －和A －B 互斥，故P (C )＝P (A B － ∪A －B ) ＝P (A B － )＋P (A － B ) ＝P (A )P (B － )＋P (A －)P (B ) ＝12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 ×13 ＝12 . 3．答案：B解析：设“这段时间内至少有1人去北京旅游”为事件A ，则“这段时间内没有人去北京旅游”为事件A ，且P (A )＝(1－13 )×(1－14 )×(1－15 )＝25 ，故P (A )＝1－P (A )＝35.故选B.4．答案：A解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12 ；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12 ×12 ＝14 .故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34.5．答案：B解析：解法一：由题意知，K ，A 1，A 2正常工作的概率分别为P (K )＝0.9，P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.8.因为K ，A 1，A 2相互独立，所以A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为P (A － 1A 2)＋P (A 1A －2)＋P (A 1A 2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96，所以系统正常工作的概率为P (K )[P (A － 1A 2)＋P (A 1A －2)＋P (A 1A 2)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.解法二：A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为 1－P (A 1－A 2－)＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96.所以系统正常工作的概率为P (K )[1－P (A － 1A －2)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B. 6．答案：0.75解析：设事件A i (i ＝1，2)表示“做对第i 道题”，A 1，A 2相互独立，由已知得，P (A 1)＝0.8，P (A 1A 2)＝0.6，由P (A 1A 2)＝P (A 1)·P (A 2)＝0.8P (A 2)＝0.6，解得P (A 2)＝0.60.8 ＝0.75.7．答案：12解析：若都取到白球，P 1＝812 ×612 ＝13 ，若都取到红球，P 2＝412 ×612 ＝16 ，则所求概率P ＝P 1＋P 2＝13 ＋16 ＝12 .8．答案：13解析：由题意知逆时针方向跳的概率为23 ，顺时针方向跳的概率为13，青蛙跳三次要回到A 只有两条途径：第一条，按A →B →C →A ，P 1＝23 ×23 ×23 ＝827 ；第二条，按A →C →B →A ，P 2＝13 ×13 ×13 ＝127，所以跳三次之后停在A 片上的概率为P 1＋P 2＝827 ＋127 ＝13.9．解析：(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧12（1－p ）（1－q ）＝35012pq ＝425，且p <q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝25q ＝45. (2)甲得2分的概率P 1＝12 ×25 ×(1－45 )＋12 ×(1－25 )×45 ＋(1－12 )×25 ×45 ＝1125 ，所以甲得2分或3分的概率P ＝1125 ＋425 ＝35 ，那么乙得2分或3分的概率为25 ，所以甲获得最终胜利的可能性大．核心素养升级练1．答案：ACD解析：根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数，A 1，A 2不可能同时发生，故彼此互斥，故A 正确； P (A 1)＝1830＝35，P (A 2)＝1230＝25，P (B )＝15＋830 ＝2330 ，P (A 1B )＝1530 ＝12，故C 正确，D 正确；因为P (A 1B )＝12 ，P (A 1)P (B )＝2330 ×35 ＝2350，则P (A 1B )≠P (A 1)P (B )，则事件B 与事件A 1不独立，故B 错误．故选ACD.2．解析：(1)记“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则P (A )＝45 ×12 ＝25，P (B )＝34 ×23 ＝12 ，P (C )＝23 ×56 ＝59.因为P(C)＞P(B)＞P(A)，所以丙获得合格证书的可能性大．(2)设“三人计算机考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则P(D)＝P(AB C－)＋P(A B－ C)＋P(A－ BC)＝25×12×49＋25×12×59＋35×12×59＝1130.。

高中数学必修二 10 2 事件的相互独立性练习(含答案)

10.2 事件的相互独立性一、选择题1．下列事件A,B是独立事件的是()A．一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”B．袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”D．A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”【答案】A【解析】对于A选项，,A B两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件.对于B选项，A事件发生时，影响到B事件，故不是相互独立事件.对于C选项，由于投的是一个骰子，,A B是对立事件，所以不是相互独立事件.对于D选项，能活到20岁的，可能也能活到50岁，故,A B不是相互独立事件.综上所述，本小题选A.2．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为A．0.28B．0.12C．0.42D．0.16【答案】B【解析】甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为0.30.40.12⨯=．选B.3．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（）A．34B．23C．57D．512【答案】D【解析】设甲、乙获一等奖的概率分别是23(),()34P A P B ==，不获一等奖的概率是2131()1,()13344P A P B =-==-=，则这两人中恰有一人获奖的事件的概率为：13215()()()()()()()343412P AB AB P AB P AB P A P B P A P B +=+=+=⨯+⨯=。

4．甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( )A ．34B ．23C ．35D ．12【答案】A【解析】甲赢的方式分为两种：第一场赢，或者第一场输且第二场赢.甲第一场赢的概率为12，甲第一场输第二场赢的概率为1111224⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭.故甲赢得冠军的概率为311244+=.故选A. 5．（多选题）下列各对事件中,不是相互独立事件的有( )A ．运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”B ．甲､乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”C ．甲､乙两运动员各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标”D ．甲､乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”【答案】ACD【解析】在A 中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B 中,甲､乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C 中,甲,乙各射击一次,“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没有射中目标“不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D 中,设“至少有1人射中目标”为事件A ,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B ,则AB B =,因此当()1P A ≠时,()()()P AB P A P B ≠⋅,故A ､B 不独立,6．（多选题）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以1A ，2A 表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B 表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（）A ．23()30PB = B ．事件B 与事件1A 相互独立C ．事件B 与事件2A 相互独立D ．1A ，2A 互斥【答案】AD 【解析】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：因此()1183305P A ==，()2122305P A ==，15823()3030P B +==，A 正确；又115()30P A B =，因此()()11()P A B P A P B ≠，B 错误；同理，C 错误； 1A ，2A 不可能同时发生，故彼此互斥，故D 正确，故选：AD ．二、填空题7．甲射手击中靶心的概率为13，乙射手击中靶心的概率为12，甲、乙两人各射击一次，那么甲、乙不全击中靶心的概率为__________．【答案】56【解析】由于两个人射击是相互独立的，故不全中靶心的概率为1151326-⋅=. 8．甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以2:1获胜的概率是_____．【答案】0.3【解析】甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，则甲队以2:1获胜的概率是：0.60.50.60.40.50.60.3P=⨯⨯+⨯⨯=.9．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于.【答案】【解析】根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=1×0.2×0.8×0.8=0.128，故答案为0.128.法二：根据题意，记该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮为A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，由此分两类，第一个答错与第一个答对；有相互独立事件的概率乘法公式，可得P（A）=0.8×0.2×0.8×0.8+0.2×0.2×0.8×0.8=0.2×0.8×0.8=0.12810．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率是______．【答案】2 3【解析】设此射手每次射击命中的概率为p ，分析可得，至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中，由题意可知一射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为80118181-=．则41(1)81p -=，可解得23p =，故答案为23．三、解答题 11．假定生男孩和生女孩是等可能的，令A =｛一个家庭中既有男孩又有女孩｝，B =｛一个家庭中最多有一个女孩｝.对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性.（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩.【答案】（1）A ，B 不相互独立（2）A 与B 是相互独立【解析】（1）有两个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={（男,男）,（男,女）,（女,男）,（女,女）},它有4个样本点由等可能性可知每个样本点发生的概率均为14这时A ={（男,女）,（女,男）},B ={（男,男）,（男,女）,（女,男）},AB ={（男,女）,（女,男）} 于是()()()131,,242P A P B P AB === 由此可知()()()P AB P A P B ≠所以事件A ,B 不相互独立.（2）有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω={（男,男,男）,（男,男,女）,（男,女,男）,（女,男,男）,（男,女,女）,（女,男,女）,（女,女,男）,（女,女,女）}. 由等可能性可知每个样本点发生的概率均为18, 这时A 中含有6个样本点,B 中含有4个样本点,AB 中含有3个样本点.于是()()()63413,,84828P A P B P AB =====, 显然有()()()P AB P A P B =成立,从而事件A 与B 是相互独立的.12．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.【答案】（1）丙；（2）1130【解析】（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则412()525P A =⨯=，321()432P B =⨯=，255()369P C =⨯=. 因为()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性最大.（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则21421531511()()()()52952952930P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.。

(完整版)事件的独立性练习题

巩固与提高（事件的独立性）A 组、选择题1若A 与B 相互独立，则下面不相互独立的事件是（A ）A. A 与 AB.A 与 BC. A 与 BD. A 与 B2、抛掷一颗骰子一次，记A 表示事件：出现偶数点，B 表示事件：出现3点或 6点，则事件A 与B 的关系。

（B ）A 、相互互斥事件B 、相互独立事件C 、既相互互斥事件又相互独立事件D 、既不互斥事件又不独立事件3、在下列命题中为假命题的是（B ）A. 概率为0的事件与任何事件都是互相独立的B. 互斥的两个事件一定不是相互独立的，同样互相独立的两个事件也一定不是互斥的C. 必然事件与不可能事件是相互独立的D. 概率为1的事件与任何事件都是相互独立的1 1 4、甲乙丙射击命中目标的概率分别为 -、-、2 4一次，目标被设计中的概率是（C ）3、填空题5、某商场经理根据以往经验知道，有40%的客户在结账时会使用信用卡，则连续三位顾客都使用信用卡的概率为 __________________ 0.0646、三个同学同时作一电学实验，成功的概率分别为R ,P 2,P 3,则此实验在三人中恰有两个人成功的概率是 ______________________________ P|P 2 1 F 3 PP 3 1 F 2 F 2 F 3 1 P7、甲、乙射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为 0.8,乙射中的概率为0.9，贝U 2人中至少有一人射中的概率是 _______ 0.98 三、解答题&甲•乙、丙三位同学完成六道数学自测题，他们及格的概率依次为 -、-、5 517），求: （1）三人中有且只有两人及格的概率；（2）三人中至少有一人不及格的概率。

解：设甲•乙、丙答题及格分别为事件 A 、B 、C ,则A 、B 、C 相互独立（1）三人中有且只有2人及格的概率为2，现在三人射击一个目标各A. 丄 96B. 47 96C.21 32 D.P P ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C P A P B P C4 37 4 3 7 437 1131 -1 -1 -5 5 10551055 10 250(2).三人中至少有一人不及格的概率为4 3 783 1 P ABC1 P A P B P C15 5 10125B 组.选择题2•假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为 1-P ,且各引擎是否有故障是独立的，如有至少 50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功飞行，若使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则P 的取值范围是（A ） 2 211A .-,1 B. 0,-C.丄，1D 0,丄3334二、填空题3、每门高射炮射击飞机的命中率为 0.6,至少要 ______ 门高射炮独立的对飞机同时进行一次射击就可以使击中的概率超过 0.98. 54、甲、乙两人同时应聘一个工作岗位，若甲、乙被应聘的概率分别为 0.5和 0.6两人被聘用是相互独立的，则甲、乙两人中最多有一人被聘用的概率 — ________________ 0.7 三、解答题5、设A 、B 为两个事件，若 P （A ）=0.4, p AUB 0.7,P B x ，试求满足下列条件的X 的值：（1） A 与B 为互斥事件（2） A 与B 为独立事件解：（1）因为A 与B 为互斥事件，所以AI B .故P AI B p AUB --P A -- P B =0.7--0.4—X,所以 X=0.3⑵.因为A 与B 为独立事件，所以P AI B = P A P B ，由此可得，p AUB = P A + P B -- P AI B = P A + P B -- P A P B ，即 0.7=0.4+X-0.4X 解得 X=0.51.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同则事件 A 发生的概率P （ A ）是（A ）A. B. C.18。

新教材高中数学第七章概率4事件的独立性练习含解析北师大版必修第一册

§4 事件的独立性水平11．假设两个事件互斥，那么这两个事件相互独立．( )2．袋中有2白、3红共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M ：“第一次摸到白球〞，事件N ：“第二次摸到白球〞相互独立．( )3．袋中有2白、3红共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M ：“第一次摸到白球〞，事件N ：“第二次摸到红球〞相互独立．( )4．掷一枚骰子一次，事件A ：“出现偶数点〞，事件B ：“出现3点或6点〞，事件A 与B 相互独立．( )5．某学生在上学的路上要经过4个路口，在各路口是否遇到红灯是相互独立的．( )【解析】1.提示：×.因为两个事件互斥，所以二者不能同时发生，所以这两个事件不相互独立．2．√3．提示：×.不放回摸球，事件M 与N 不相互独立．4．提示：√.样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件A ＝{2，4，6}，事件B ＝{3，6}，事件AB ＝{6}，所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16＝12×13，即P (AB )＝P (A )P (B ).故事件A 与B 相互独立．当“出现6点〞时，事件A ，B 可以同时发生． 5．√·题组一事件的独立性1．假设P (AB )＝19，P (A )＝23，P (B )＝13，那么事件A 与B 的关系是( )A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 互斥又独立【解析】P (A )＝1－P (A )＝1－23＝13，所以P (AB )＝P (A )P (B )＝19A 与B 相互独立，不是互斥、对立事件．选C.2．2021年起，山东省高考实行新方案．新高考规定：语文、数学、英语是必考科目，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试科目中选取3个作为选考科目．某考生已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的5个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，那么该考生“选择思想政治、化学〞和“选择生物、地理〞为( )A ．相互独立事件B ．对立事件C ．不是互斥事件D ．互斥事件但不是对立事件【解析】选D.由题意得，考生选择的两个考试科目可能为“思想政治、化学〞、“思想政治、历史〞、“思想政治、地理〞、“思想政治、生物〞、“历史、地理〞、“历史、化学〞、“历史、生物〞、“地理、化学〞、“地理、生物〞、“化学、生物〞，设这些选择构成的集合为Q ，令A ＝“思想政治、化学〞，B ＝“地理、生物〞，那么A ＋B ≠Q ，且A 和B 不能同时发生，P (AB )≠P (A )P (B )，A 和B 不相互独立．故该考生“选择思想政治、化学〞和“选择生物、地理〞是互斥事件但不是对立事件．3．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标〞，事件B ：“乙击中目标〞，那么事件A 与事件B ( )A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥【解析】选A.对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．4．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A 是“第一枚为正面〞，事件B 是“第二枚为正面〞，事件C 是“两枚结果相同〞，那么以下事件具有相互独立性的是________________．(填序号)①A ，B ；②A ，C ；③B ，C .【解析】根据事件相互独立性的定义判断，只要P (AB )＝P (A )P (B )，P (AC )＝P (A )P (C )，P (BC )＝P (B )P (C )成立即可．利用古典概型概率公式计算可得P (A )＝0.5，P (B )＝0.5，P (C )＝0.5，P (AB )＝0.25，P (AC )＝0.25，P (BCP (AB )＝P (A )P (B )，P (AC )＝P (A )P (C )，P (BC )＝P (B )P (C ).所以根据事件相互独立的定义，事件A 与B 相互独立，事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立．答案：①②③5．如果一个家庭中有两个小孩，假定生男孩和生女孩的概率相等，事件A 记为“一个家庭中有2个男孩〞，事件B 记为“一个家庭中至少有一个男孩〞，那么事件A 与事件B ________．(填“相互独立〞或“不相互独立〞)【解析】P (A )＝14，P (B )＝34，P (AB )＝14，P (AB )≠P (A )P (B )，所以不相互独立．答案：不相互独立·题组二相互独立事件同时发生的概率1．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，假设两人同时射击，那么他们同时中靶的概率是( )A ．1425B ．1225C ．34D ．35【解析】选A.由题意可知，甲、乙同时中靶的概率为810×710＝1425.2．甲、乙、丙三人独立解决同一道数学题，如果三人分别完成的概率依次是p 1，p 2，p 3，那么至少有一人解决这道题的概率是( )A ．p 1＋p 2＋p 3B ．1－(1－p 1)(1－p 2)(1－p 3)C ．1－p 1p 2p 3D ．p 1p 2p 3【解析】选B.至少有一人解决这道题的对立事件是“没有人解决这道题〞即“三人均没有解出此题〞，此概率为(1－p 1)(1－p 2)(1－p 3)，所以至少有一人解决这道题的概率是1－(1－p 1)(1－p 2)(1－p 3).3．如下图，A ，B ，C 表示3个开关，假设在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为( )【解析】选B.1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.006＝0.994.4．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确答复以下问题者进入下一轮考试，否那么即被淘汰．某选手能正确答复第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确答复互不影响，那么该选手被淘汰的概率为________．【解析】该选手被淘汰的对立事件是该选手通过三轮考核，所以该选手被淘汰的概率为P ＝1－45×35×25＝101125.答案：101125易错点 “独立事件〞概率问题忽略“对立事件〞的应用某商场举行促销活动，凡购置一定价值的商品便可以获得两次抽奖时机．第一次抽奖中奖的概率是0.5，第二次抽奖中奖的概率是0.3，两次抽奖是否中奖互不影响．那么两次抽奖中至少有一次中奖的概率是________．【解析】因为两次抽奖中至少有一次中奖的对立事件是两次都不中奖，所以两次抽奖中至少有一次中奖的概率为P ＝1－(1－0.3)(1－0.5)＝0.65，答案：【易错误区】两次抽奖互不影响，说明两次抽奖的独立性，此题可以考虑“第一次中奖，第二次不中奖〞“第一次不中奖，第二次中奖〞“两次都中奖〞三种情况，但比拟繁琐，可考虑其对立事件．水平1、2限时30分钟分值50分战报得分______一、选择题(每题5分，共25分)1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A 表示“第一次摸到白球〞，如果“第二次摸到白球〞记为B ，否那么记为C ，那么事件A 与B ，A 与C 的关系是( )A ．A 与B ，A 与C 均相互独立B ．A 与B 相互独立，A 与C 互斥C ．A 与B ，A 与C 均互斥D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立【解析】选A.由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A 与B ，A 与C 均相互独立，且A 与B ，A 与C 均有可能同时发生，说明A 与B ，A 与C 均不互斥．2．甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中，两站恰有一次准确预报的概率为( )【解析】选D.甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中，两站恰有一次准确预报的概率为P ＝0.8×(1－0.7)＋(1－0.8)×0.7＝0.38.3．甲、乙两人进行飞镖比赛，规定命中6环以下(含6环)得2分，命中7环得4分，命中8环得5分，命中9环得6分，命中10环得10分(两人均会命中)，比赛三场，每场两人各投镖一次，累计得分最高者获胜．甲命中6环以下(含6环)的概率为13，命中7环的概率为14，命中8环的概率为16，命中9环的概率为16，命中10环的概率为112，乙命中各环对应的概率与甲相同，且甲、乙比赛互不干扰．假设第一场比赛甲得2分，乙得4分，第二场比赛甲、乙均得5分，那么三场比赛结束时，乙获胜的概率为( )A ．83144B ．1116C ．12D ．718【解析】选B.由题意，假设三场比赛结束时，乙获胜，那么第三场比赛乙至多落后甲1分，当甲、乙都得2分时，乙获胜，概率为P 1＝13×13＝19；当乙得4分时，那么甲至多得5分，乙获胜，概率为P 2＝14⎝⎛⎭⎫13＋14＋16＝316；当乙得5分时，那么甲至多得6分，乙获胜，概率为P 3＝16⎝⎛⎭⎫13＋14＋16＋16＝1172；当乙得6分时，那么甲至多得6分，乙获胜，概率为P 4＝16⎝⎛⎭⎫13＋14＋16＋16＝1172；当乙得10分时，乙获胜，概率为P 5＝112×1＝112；故乙获胜的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＋P 4＋P 5＝1116.4．甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为13，12，那么密码被破译的概率为( )A ．16B ．23C ．56D ．1【解析】选B.甲、乙两人独立地破译一份密码，设事件A 表示甲能破译密码，事件B 表示乙能破译密码，那么P (A )＝13，P (B )＝12，密码被破译的对立事件是甲、乙同时不能破译密码，所以密码被破译的概率为P ＝1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－⎝⎛⎭⎫1－13⎝⎛⎭⎫1－12＝23.5．某射击运发动射击一次命中目标的概率为p ，他独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率为3764，那么p 为( )A ．14B ．34C ．338D ．378【解析】选A.由题意可得，独立地连续射击三次，至少有一次命中的概率为1－(1－p )3＝3764，解得p ＝14.二、填空题(每题5分，共15分)6．在新型冠状病毒爆发期间，前期主要是通过对疑似病例的血液标本或呼吸道标本进行荧光RT －PCR 检查，只要有一次检测显示为新型冠状核酸阳性，那么判断该疑似病例为确诊病例．检测标本中即使含有新型冠状病毒，一次荧光RT －PCR 检查结果为阳性的概率也只有34 ，故需要对疑似病例屡次采集标本进行检测．现对某确诊病例先后采集3次标本进行荧光RT －PCR 检查，假设每次检查是否为新型冠状核酸阳性相互独立，那么3次检查结果中至少有1次为阳性的概率为________．【解析】检测标本中即使含有新型冠状病毒，一次荧光RT －PCR 检查结果为阳性的概率也只有34，现对某确诊病例先后采集3次标本进行荧光RT －PCR 检查，假设每次检查是否为新型冠状核酸阳性相互独立，那么3次检查结果中至少有1次为阳性的概率为P ＝1－⎝⎛⎭⎫143＝6364. 答案：63647．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，那么事件A 发生的概率是________．【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧[1－P 〔A 〕][1－P 〔B 〕]＝19，P 〔A 〕[1－P 〔B 〕]＝[1－P 〔A 〕]P 〔B 〕，解得P (A )＝P (B )＝23.答案：238．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，那么三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．【解析】由题意可知三人都达标的概率P ＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率P ′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96.答案：三、解答题9．(10分)在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为13.(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．【解析】(1)设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A ，那么P (A )＝13×14×⎝⎛⎭⎫1－13＝118. (2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B 为“甲两场只胜一场〞，设事件C 为“甲两场都胜〞，那么事件“甲队至少得3分〞为B ＋C ，那么P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝13×⎝⎛⎭⎫1－14＋14×⎝⎛⎭⎫1－13＋13×14＝512＋112＝12. 在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为45和34.在同一时间内，求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；(2)至少有一个气象台预报准确的概率．【解析】记“甲气象台预报天气准确〞为事件A ，“乙气象台预报天气准确〞为事件B .(1)P (AB )＝P (A )P (B )＝45×34＝35.(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P ＝1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－15×14＝1920.。

独立性测试题及答案

独立性测试题及答案一、选择题1. 在统计学中，独立性指的是两个事件的发生互不影响。

以下哪项描述正确地反映了独立性的概念？A. 事件A的发生增加了事件B发生的概率B. 事件A的发生减少了事件B发生的概率C. 事件A的发生不影响事件B发生的概率D. 事件A和B不能同时发生答案：C2. 假设有两个事件A和B，已知P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，要判断A 和B是否独立，需要计算：A. P(A ∩ B)B. P(A) + P(B)C. P(A|B) - P(A)D. P(A ∪ B)答案：A3. 如果事件A和B是独立的，那么P(A ∩ B)等于：A. P(A) * P(B)B. P(A) + P(B)C. |P(A) - P(B)|D. P(A) / P(B)答案：A二、填空题4. 如果P(A) = 0.2，P(B) = 0.5，并且A与B独立，那么P(A ∩ B)等于_________。

答案：0.15. 在一次随机抽样调查中，如果P(事件A发生) = 0.3，P(事件B发生|事件A发生) = 0.4，那么事件A和B独立的概率是_________。

答案：0.4三、简答题6. 解释为什么事件A和B的独立性意味着P(A ∩ B) = P(A) * P(B)。

答案：如果事件A和B是独立的，那么意味着事件A的发生不会影响事件B发生的概率，反之亦然。

因此，我们可以将两个独立事件同时发生的概率看作是它们各自发生概率的乘积，即P(A ∩ B) = P(A) * P(B)。

7. 如果事件A和B不独立，那么P(A ∩ B)与P(A) * P(B)的关系是什么？答案：如果事件A和B不独立，那么它们同时发生的概率P(A ∩ B)不等于它们各自发生概率的乘积P(A) * P(B)。

在这种情况下，P(A ∩ B)可能会大于或小于P(A) * P(B)，具体取决于一个事件的发生是否增加了或减少了另一个事件发生的概率。

四、计算题8. 假设在一个班级中，学生通过数学考试的概率是0.7，通过物理考试的概率是0.6。

5.3.5随机事件的独立性练习题- 高中数学人教版B版(2019)必修第二册

随机事件的独立性一、选择题1．某零件的加工共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2%,3%,5%,3%，假设各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为( )A ．22.5%B ．15.5%C ．15.3%D ．12.4%2．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，用B 表示“第二次摸得白球”，则A 与B 是( )A ．互斥事件B ．相互独立事件C ．对立事件D ．不是相互独立事件3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A ．34B ．23C ．35D ．124．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙两贫困户获得扶持资金的概率分别为25和35，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为( )A ．215B ．25C ．1925D ．8155．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A ．29B ．118C ．13D ．23二、填空题6．两个人通过某项专业测试的概率分别为12，23，他们一同参加测试，则至多有一人通过的概率为________．7．甲、乙两人同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．8．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．三、解答题9.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，求灯亮的概率．10．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率．素养达标11．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A片上，则跳三次之后停在A片上的概率是()A．13B．29C．49D．82712．(多选题)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有()A．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N ＝“出现的点数为偶数”B．袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1次摸到红球”，事件N＝“第2次摸到红球”C．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”D．一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”13．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A＋B)＝______；当A，B互斥时，P(A＋B)＝______.14．设两个相互独立事件A与B，若事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为1－p，则A与B同时发生的概率的最大值为________．15．为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为P)和所需费用如下表：在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．一、选择题1．某零件的加工共需四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为2%,3%,5%,3%，假设各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为() A．22.5%B．15.5%C ．15.3%D ．12.4%D [四道工序中只要有一道工序加工出次品，则加工出来的零件就是次品．设“加工出来的零件是次品”为事件A ，则P (A )＝(1－2%)×(1－3%)×(1－5%)×(1－3%)≈87.6%，故加工出来的零件的次品率为12.4%.]2．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，用B 表示“第二次摸得白球”，则A 与B 是( )A ．互斥事件B ．相互独立事件C ．对立事件D ．不是相互独立事件D [根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A 与B 不是相互独立事件．]3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A ．34B ．23C ．35D ．12A [问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝12；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34.]4．某单位对某村的贫困户进行“精准扶贫”，若甲、乙两贫困户获得扶持资金的概率分别为25和35，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为( )A ．215B ．25C ．1925D ．815C [两户中至少有一户获得扶持资金的概率为P ＝25×25＋35×35＋25×35＝1925.]5．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( )A ．29B ．118C ．13D ．23D [由P (A B )＝P (B A )，得P (A )P (B )＝P (B )P (A )，即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]，∴P (A )＝P (B )．又P (A B )＝19， ∴P (A )＝P (B )＝13，∴P (A )＝23.] 二、填空题6．两个人通过某项专业测试的概率分别为12，23，他们一同参加测试，则至多有一人通过的概率为________．23 [二人均通过的概率为12×23＝13， ∴至多有一人通过的概率为1－13＝23.]7．甲、乙两人同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．0.65 [由题意知P ＝1－(1－0.3)×(1－0.5)＝0.65.]8．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．13 23 [甲、乙两人都未能解决的概率为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝12×23＝13，问题得到解决就是至少有1人能解决问题，∴P＝1－13＝23.]三、解答题9.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，求灯亮的概率．[解]记A，B，C，D这4个开关闭合分别为事件A，B，C，D，又记A与B至少有一个不闭合为事件E，则P(E)＝P(A B)＋P(A B)＋P(A B)＝3 4，则灯亮的概率为P＝1－P(E C D)＝1－P(E)P(C)·P(D)＝1－3 16＝1316.10．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率；(4)2人至多有1人射中目标的概率．[解]设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，A与B，A与B，A与B为相互独立事件，且P(A)＝0.8，P(B)＝0.9.(1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A B发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件A B发生)．根据题意，事件A B与A B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人有1人射中”两种情况，其概率为P＝P(AB)＋[P(A B)＋P(A B)]＝0.72＋0.26＝0.98.(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，故所求概率为P＝P(A B)＋P(A B)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.素养达标11．在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片跳到另一片)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A片上，则跳三次之后停在A片上的概率是()A．13B．29C．49D．827A[由题意知逆时针方向跳的概率为23，顺时针方向跳的概率为13，青蛙跳三次要回到A只有两条途径：第一条：按A→B→C→A，P1＝23×23×23＝827；第二条：按A→C→B→A，P2＝13×13×13＝127，所以跳三次之后停在A上的概率为P1＋P2＝827＋127＝13.]12．(多选题)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有()A．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数为偶数”B ．袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M ＝“第1次摸到红球”，事件N ＝“第2次摸到红球”C ．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ＝“第1枚为正面”，事件N ＝“两枚结果相同”D ．一枚硬币掷两次，事件M ＝“第一次为正面”，事件N ＝“第二次为反面”CD [在A 中，M ，N 是互斥事件，不相互独立；在B 中，M ，N 不是相互独立事件；在C 中，P (M )＝12，P (N )＝12，P (MN )＝14，P (MN )＝P (M )P (N )，因此M ，N 是相互独立事件；在D 中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M ，N 是相互独立事件，故选CD ．]13．已知P (A )＝0.3，P (B )＝0.5，当事件A ，B 相互独立时，P (A ＋B )＝______；当A ，B 互斥时，P (A ＋B )＝______.0.65 0.8 [当A ，B 相互独立时，有P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65.当A ，B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝P (A )＋P (B )＝0.8.] 14．设两个相互独立事件A 与B ，若事件A 发生的概率为p ，事件B 发生的概率为1－p ，则A 与B 同时发生的概率的最大值为________．14 [事件A 与B 同时发生的概率为p (1－p )＝p －p 2(p ∈[0,1])，当p ＝12时，最大值为14.]15．为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为P )和所需费用如下表：在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大．[解]方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元，由题表可知，采用甲措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9.方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元．由题表可知，联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率为1－(1－0.9)×(1－0.7)＝0.97.联合甲、丁或乙、丙或乙、丁或丙、丁两种预防措施，此突发事件不发生的概率均小于0.97.所以联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.97.方案3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施．此时突发事件不发生的概率为1－(1－0.8)×(1－0.7)×(1－0.6)＝0.976.由三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使突发事件不发生的概率最大．。

2020高中数学 9 事件的独立性(含解析)

课时分层作业(九）事件的独立性(建议用时：60分钟）[基础达标练]一、选择题1．有以下三个问题：①掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数"；②袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M:“第1次摸到白球”，事件N：“第2次摸到白球”；③分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：“第1枚为正面”，事件N：“两枚结果相同”．这三个问题中，M，N是相互独立事件的有( )A．3个B．2个C．1个D．0个C［①中，M,N是互斥事件；②中,P（M）＝错误!，P(N）＝错误!。

即事件M的结果对事件N的结果有影响，所以M,N不是相互独立事件；③中，P（M)＝错误!，P（N)＝错误!,P(M∩N）＝错误!，P（M∩N)＝P(M)·P(N），因此M，N是相互独立事件．]2．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A。

错误!B。

错误!C.错误!D.错误!A[“左边圆盘指针落在奇数区域”记为事件A,则P(A)＝错误!＝错误!，“右边圆盘指针落在奇数区域”记为事件B，则P(B)＝错误!＝错误!，事件A、B相互独立,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为错误!×错误!＝错误!，故选A。

]3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A。

错误!B。

错误!C.错误!D.错误!A［问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝错误!;第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢,其概率P2＝错误!×错误!＝错误!。

故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝错误!。

]4．甲、乙二人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率都是0.7，两个人射中与否相互之间没有影响,那么其中恰有1人击中目标的概率是（）A．0。

事件的独立性概率作业练习含答案解析高二数学北京海淀

课时提升作业十事件的独立性一、选择题(每小题5分,共25分)1.设A,B,C为三个随机事件,其中A与B互斥,B与C相互独立,则下列命题一定成立的是( )A.A与B相互独立B.A与C互斥C.B与C互斥D.与相互独立【解析】选D.注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别,前者指的是不可能同时发生的事件,后者指的是在两个事件中,一个事件是否发生对另一个事件没有影响.2.甲、乙二人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,两个人射中与否相互之间没有影响,那么其中恰有1人击中目标的概率是( )A.0.49B.0.42C.0.7D.0.91【解析】选B.由题意可知,两人恰有1人击中目标有两种情况:甲击中乙没击中或甲没击中乙击中,设“恰有1人击中目标”为事件A,则P(A)=0.7×(1-0.7)+(1-0.7)×0.7=0.42.【补偿训练】打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击,则他们同时中靶的概率是( )A. B. C. D.【解析】选A.记“甲中靶”为事件A;“乙中靶”为事件B;“甲、乙同时中靶”为事件C.则P(C)=P(A·B)=P(A)·P(B)=×=.3.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是 ( )A.事件A与B互斥B.事件A与B对立C.事件A与B独立D.事件A与B既互斥又独立【解析】选C.因为P()=,所以P(A)=,又P(B)=,P(AB)=,所以有P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B独立但不一定互斥.4.某校高一新生军训期间,经过两天的打靶训练,甲击中目标的概率为,乙击中目标的概率为(甲、乙两人射击是否击中目标相互不影响),甲、乙两人同时射击一目标且各射击一次,目标被击中的概率为( )A. B. C. D.【解析】选D.目标被击中的对立事件是两人都没击中,其概率为P=×=,所以目标被击中的概率为1-=.5.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是( )A. B. C. D.【解题指南】“事件A,B中至少有一件发生”的对立事件是“事件A,B一个都不发生”,可据此用正难则反的方法计算所求概率.【解析】选C.根据题意,“事件A,B中至少有一件发生”与“事件A,B一个都不发生”互为对立事件,由古典概型的计算方法,可得P(A)=,P(B)=, 则P()==.则“事件A,B中至少有一件发生”的概率为1-=.【补偿训练】端午节放假,甲回老家过节的概率为,乙、丙回老家过节的概率分别为,.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为 ( )A. B. C. D.【解析】选B.因为甲、乙、丙回老家过节的概率分别为,,.所以他们不回老家过节的概率分别为,,.“至少有1人回老家过节”的对立事件是“没有人回老家过节”,所以至少有1人回老家过节的概率为P=1-××= .二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次,三次正面均向上的概率为,则抛掷这枚硬币三次,恰有两次正面向上的概率为__________.【解析】设抛掷这枚硬币一次,正面向上的概率为P.依题意P3=,所以P=.抛掷这枚硬币三次,恰有两次正面向上,一次正面向下的概率P=3×××=答案:7.明天上午李明要参加奥运志愿者活动,为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是__________.【解析】方法一:甲闹钟没准时响的概率为0.2,乙闹钟没准时响的概率为0.1,两闹钟同时没准时响的概率为0.2×0.1=0.02,故所求概率为1-0.02=0.98.方法二:两个闹钟至少有一个准时响有三种情况:甲准时响而乙没准时响,其概率为0.80×(1-0.90)=0.08;乙准时响而甲没准时响,其概率是(1-0.80)×0.90=0.18;甲、乙都准时响,其概率为0.80×0.90=0.72,故两个闹钟至少有一个准时响的概率为0.08+0.18+0.72=0.98.答案:0.988.已知电路中有4个开关,每个开关独立工作,且闭合的概率为,则灯亮的概率为__________.【解析】因为A,B断开且C,D至少有一个断开时,线路才断开,导致灯不亮,所以灯不亮的概率为P=P()·[1-P(CD)]=P()·P()·[1-P(CD)]=××=.所以灯亮的概率为1-=.答案:【拓展延伸】系统可靠性问题的求解策略由于该类问题常常与物理知识相联系,在考查知识纵向联系的同时,重点考查事件独立性的综合应用.求解时可先从系统的构造出发,分析所给的系统是单纯的串(并)联还是串并联混合体结构.(1)直接法:把所求的事件分成若干个互斥事件之和,根据互斥事件的概率公式求解.(2)间接法:当所涉及的事件较多,而其对立事件所涉及的事件较少时,可根据对立事件的概率公式求解.三、解答题(每小题10分,共20分)9.一个袋子中有4个球,其中2个白球,2个红球,讨论下列A,B事件的相互独立性与互斥性.(1)A:取一个球为红球,B:取出的红球放回后,再从中取一球为白球.(2)从袋中取2个球,A:取出的两球为一白球一红球;B:取出的两球中至少一个白球.【解析】(1)由于取出的红球放回,故事件A与B的发生互不影响,因此A与B相互独立.A,B能同时发生,不是互斥事件.(2)设两个白球为a,b,两个红球为1,2,则从袋中取2个球的所有取法为{a,b},{a,1},{a,2},{b,1},{b,2},{1,2}.则P(A)==,P(B)=,P(AB)=,因为P(AB)≠P(A)P(B),所以事件A,B不是相互独立事件,事件A,B能同时发生,不是互斥事件.10.甲、乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分(不计和棋),比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为p(p>0.5),且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.若框图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总得分数S,T的程序框图.其中,如果甲获胜则输入a=1,b=0;如果乙获胜,则输入a=0,b=1.(1)在图中,第一、第二两个判断框应分别填写什么条件?(2)求p的值.(3)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量ξ的分布列.【解析】(1)程序框图中的第一个条件框应填M=2,第二个应填n=6.(答案不唯一.如:第一个条件框填M>1,第二个条件框填n>5,或者第一、第二条件互换都可以).(2)依题意,当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止.所以有p2+(1-p)2=.解得p=或p=.因为p>0.5,所以p=.(3)依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(ξ=2)=,P(ξ=4)=×=,P(ξ=6)=·1=.所以随机变量ξ的分布列为:ξ 2 4 6P 592081一、选择题(每小题5分,共10分)1.从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为.从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响) ( )A. B. C. D.【解析】选D.设体型合格为事件A,身体关节构造合格为事件B,A与B为独立事件,且P(A)=,P(B)=,所以两项中至少一项合格的概率为P=1-P()=1-P()·P()=1-×=.2.荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图,假设现在青蛙在A叶上,则跳三次之后停在A叶上的概率是( )A. B. C. D.【解题指南】根据条件先求出顺时针和逆时针跳的概率,然后根据跳3次回到A,则应满足3次逆时针或者3次顺时针,根据相互独立事件的概率公式即可得到结论.【解析】选A.设按照顺时针方向跳的概率为P,则逆时针方向跳的概率是2P,则P+2P=1,解得P=,所以按照顺时针方向跳的概率为,逆时针方向跳的概率是.若青蛙在A叶上,跳3次后停在A叶上,则满足3次逆时针或者3次顺时针,①若先按逆时针开始从A→B→C→A,则对应的概率为××=,②若先按顺时针开始从A→C→B→A,则对应的概率为××=,则概率为+==.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)=__________.【解析】依题意得解得P(A)=,P(B)=.所以P(B)=×= .答案:4.(2018·沈阳高二检测)在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这个道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为__________.【解析】由题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为,,.在这个道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为××=.答案:【补偿训练】有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是,乙能解决的概率是,2人试图独立地在半小时内解决它,则两人都未解决的概率为__________,问题得到解决的概率为__________.【解析】都未解决的概率为=×=.问题得到解决就是至少有1人能解决问题,所以P=1-=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A,B,C,D四个问题,规则如下:①每位参加者记分器的初始分均为10分,答对问题A,B,C,D分别加1分,2分,3分,6分,答错任一题减2分;②每回答一题,记分器显示累计分数,当累计分数小于8分时,答题结束,淘汰出局;当累计分数大于或等于14分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足14分时,答题结束,淘汰出局;③每位参加者按问题A,B,C,D顺序作答,直到答题结束.假设甲同学对问题A,B,C,D回答正确的概率依次为,,,,且各题回答正确与否相互之间没有影响.(1)求甲同学能进入下一轮的概率.(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求ξ的分布列.【解析】(1)设事件A为:甲同学进入下一轮.事件B i为:甲同学答对了第i题,为:甲同学答错了第i题,则P(A)=P(B1B2B3)+P(B1B2B4)+P(B1B3B4)+P(B2B4)+P(B2B3B4)=.(2)ξ的所有可能取值为:2,3,4P(ξ=2)=P()=,P(ξ=3)=P(B1B2B3)+P(B1)=.P(ξ=4)=1--=.ξ的分布列为:ξ 2 3 4P 1838126.(2018·牡丹江高二检测)某城市实施了机动车尾号限行,该市报社调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表:年龄(岁)[15,25) [25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 6 9 6 3 4(1)请估计该市公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值.(2)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记被选4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.(3)若在这50名被调查者中随机发出20份的调查问卷,记η为所发到的20人中赞成“车辆限行”的人数,求使概率P(η=k)取得最大值的整数k.【解析】(1)该市公众对“车辆限行”的赞成率约为:×100%=64%.被调查者年龄的平均约为:=43.(2)依题意得:ξ=0,1,2,3.P(ξ=0)=×=×==15,P(ξ=1)=×+×=×+×=, P(ξ=2)=×+×=×+×=, P(ξ=3)=×=×=,所以ξ的分布列是:ξ0 1 2 3P 1534752275475(3)因为P(η=k)=,其中k=2,3,4, (20)所以==,当≥1,即k≤12+时,P(η=k+1)≥P(η=k); 当<1,即k>12+时,P(η=k+1)<P(η=k).即P(η=2)<P(η=3)<P(η=4)<…<P(η=13);P(η=13)>P(η=14)>P(η=15)>…>P(η=20).故有:P(η=k)取得最大值时k=13.。

2021学年高中数学2.2.2事件的独立性练习含解析人教A版选修2_3

第二章 2.2 2.2.2请同学们认真完成练案[12]A 级基础巩固一、选择题1．坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则A 1与A 2是( A )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件[解析] 由概率的相关概念得A 1与A 2是互不影响的两个事件，故是相互独立的事件． 2．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( A )A ．49 B ．29 C ．23D ．13[解析] 设A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P (A )＝23，B 表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P (B )＝23.故P (AB )＝P (A )·P (B )＝23×23＝49．3．如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( B )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576[解析] P ＝0.9×[1－(1－0.8)2]＝0.864．4．甲射手击中靶心的概率为13，乙射手击中靶心的概率为12，甲、乙两人各射一次，那么56等于( D ) A ．甲、乙都击中靶心的概率 B ．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率 C ．甲、乙至少有一人击中靶心的概率 D ．甲、乙不全击中靶心的概率[解析] 设“甲、乙两人都击中靶心”为事件A ，则P (A )＝13×12＝16，甲、乙不全击中靶心的概率为P (A )＝1－P (A )＝56．5．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( B )A ．12 B ．512 C ．14D ．16[解析] 所求概率为23×14＋13×34＝512或P ＝1－23×34－13×14＝512．6．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为45，乙及格的概率为35，丙及格的概率为710，三人各答一次，则三人中只有一人及格的概率为( C )A ．320 B ．42135 C ．47250D ．1735[解析] 利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为：45×⎝⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×710＝47250.故选C ．二、填空题7．在某道路A 、B 、C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为__35192__． [解析] 由题意知每个交通灯开放绿灯的概率分别为512、712、34． ∴所求概率P ＝512×712×34＝35192．8．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，能配成A 型螺栓的概率为__35__．[解析] 从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M ，从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N ，因事件M ，N 相互独立，则能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P (MN )＝P (M )P (N )＝160200×180240＝35． 9．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是__0.46__．[解析] 设“同学甲答对第i 个题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.6，P (A 3)＝0.5，且A 1，A 2，A 3相互独立，同学甲得分不低于300分对应事件A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3发生，故所求概率为P ＝P (A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3∪A 1A 2A 3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46．三、解答题10．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112.甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29．(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． [解析] (1)设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题设条件有⎩⎪⎨⎪⎧P A B ＝14，PB C＝112，PAC ＝29，即⎩⎪⎨⎪⎧P A ·[1－P B ]＝14， ①P B ·[1－P C ]＝112， ②PA ·P C ＝29. ③由①、③得P (B )＝1－98P (C )，代入②得27[P (C )]2－51P (C )＋22＝0．解得P (C )＝23或 119(舍去)．将P (C )＝23分别代入③、②可得P (A )＝13、P (B )＝14，即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13、14、23．(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则P (D )＝1－P (D )＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝1－23×34×13＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56．B 级素养提升一、选择题1．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( A )A ．13 B ．29 C ．49D ．827[解析] 由已知逆时针跳一次的概率为23，顺时针跳一次的概率为13.则逆时针跳三次停在A 上的概率为P 1＝23×23×23＝827，顺时针跳三次停在A 上的概率为P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13．2．甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是P 1，乙能解决这个问题的概率是P 2，那么至少有一人能解决这个问题的概率是( D )A ．P 1＋P 2B ．P 1P 2C ．1－P 1P 2D ．1－(1－P 1)(1－P 2)[解析] 甲能解决这个问题的概率是P 1，乙能解决这个问题的概率是P 2，则甲不能解决这个问题的概率是1－P 1，乙不能解决这个问题的概率是1－P 2，则甲、乙都不能解决这个问题的概率是(1－P 1)(1－P 2)，则至少有一人能解决这个问题的概率是1－(1－P 1)(1－P 2)，故选D ．二、填空题3．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为__516__ ． [解析] 由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14．设甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516，即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516．4．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为__13__，问题得到解决的概率为__23__．[解析] 甲、乙两人都未能解决的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝12×23＝13，问题得到解决就是至少有1人能解决问题， ∴P ＝1－13＝23．三、解答题5．(2020·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12，(1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率．[解析] (1)记事件M ：甲连胜四场，则P (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116．(2)记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输，则四局内结束比赛的概率为P ′＝P (ABAB )＋P (ACAC )＋P (BCBC )＋P (BABA )＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝14，所以，需要进行第五场比赛的概率为P ＝1－P ′＝34．(3)记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输，记事件M ：甲赢，记事件N ：丙赢，则甲赢的基本事件包括：BCBC 、ABCBC 、ACBCB 、BABCC 、BACBC 、BCACB 、BCABC 、BCBAC ，所以，甲赢的概率为P (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝932．由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为P (N )＝1－2×932＝716．6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．[解析] (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23， P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415． (2)解法一：因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝P(A B)＋P(A B)＋P(AB)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445．答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445．解法二：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P(A B)＝P(A)·P(B)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－1415＝145．所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝1－P(A B)＝1－145＝4445．答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445．。

高中数学事件的相互独立性专项练习

高中数学事件的相互独立性专项练习知识点一事件独立性的判定1.袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A 1表示第一次摸得黑球，A 2表示第二次摸得黑球，则A 1与A －2是( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件2．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．知识点二相互独立事件同时发生的概率3.如图所示，在两个转盘中，指针落在转盘每个数所在区域的机会均等(不考虑指针落在分界线上的情况)，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49B.29C.23D.134．三人破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________．知识点三相互独立事件的综合应用5.设甲、乙、丙三位老人是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)甲、乙、丙三位老人在这一小时内需要照顾的概率分别是多少？(2)求这一小时内至少有一位老人需要照顾的概率．6．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；(2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．一、选择题1．掷一枚骰子一次，记A表示事件“出现偶数点”，B表示事件“出现3点或6点”，则事件A与B的关系是()A．互斥事件B．相互独立事件C．既互斥又相互独立事件D．既不互斥又不相互独立事件2．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A.12 B.512 C.14 D.163．甲、乙两颗卫星同时独立地监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为()A．0.95 B．0.6 C．0.05 D．0.44．(多选)甲、乙、丙三位同学用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为45，乙及格的概率为35，丙及格的概率为710，三人各答一次，则下列说法正确的是()A．仅甲及格的概率为28 125B．仅乙及格的概率为9 250C．三人都不及格的概率为3 125D．三人中只有一人及格的概率为47 2505．如图所示，用K，A1，A2三个不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为()A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576二、填空题6．有一批书共100本，其中文科书有40本，理科书有60本，按装订可分为精装、平装两种，其中精装书有70本．记“某人从这100本书中任取1本，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书”为事件M，则事件M发生的概率是________．7．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是________．8．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．三、解答题9．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．求：(1)再赛2局结束这次比赛的概率；(2)甲获得这次比赛胜利的概率．10．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过．方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：(1)该应聘者用方案一通过考试的概率；(2)该应聘者用方案二通过考试的概率．10.2 事件的相互独立性知识点一事件独立性的判定1.袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A 1表示第一次摸得黑球，A 2表示第二次摸得黑球，则A 1与A －2是( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件答案 A解析根据相互独立事件的概念可知，A 1与A 2相互独立，故A 1与A －2也相互独立．2．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．解 (1)有两个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的样本空间为Ω1＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，共包含4个样本点，由等可能性知每个样本点发生的概率均为14.这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝12，P(B)＝34，P(AB)＝12.由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A与B不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的样本空间为Ω2＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，共包含8个样本点，由等可能性知每个样本点发生的概率均为18.这时A包含6个样本点，B包含4个样本点，AB包含3个样本点．于是P(A)＝68＝34，P(B)＝48＝12，P(AB)＝38，显然有P(AB)＝P(A)P(B)成立．从而事件A与B是相互独立的.知识点二相互独立事件同时发生的概率3.如图所示，在两个转盘中，指针落在转盘每个数所在区域的机会均等(不考虑指针落在分界线上的情况)，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.49 B.29 C.23 D.13答案 A解析 ∵左边转盘指针落在奇数区域的概率为23，右边转盘指针落在奇数区域的概率为23，∴两个转盘指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49. 4．三人破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________．答案 35解析用A ，B ，C 分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”，则P (A )＝15，P (B )＝13，P (C )＝14，且P (A －B －C －)＝P (A －)P (B －)·P (C －)＝45×23×34＝25.∴此密码被破译的概率为1－25＝35.知识点三相互独立事件的综合应用5.设甲、乙、丙三位老人是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)甲、乙、丙三位老人在这一小时内需要照顾的概率分别是多少？(2)求这一小时内至少有一位老人需要照顾的概率．解 (1)记事件A ＝“甲在这一小时内需要照顾”，事件B ＝“乙在这一小时内需要照顾”，事件C ＝“丙在这一小时内需要照顾”．由题意，知事件A ，B ，C 两两相互独立，且⎩⎪⎨⎪⎧ P AB ＝P A P B ＝0.05，PAC ＝P A P C ＝0.1，P BC ＝P B P C ＝0.125，解得⎩⎪⎨⎪⎧ P A ＝0.2，P B ＝0.25，P C ＝0.5，即甲、乙、丙三位老人在这一小时内需要照顾的概率分别是0.2,0.25,0.5.(2)由(1)，知P (A －)＝0.8，P (B －)＝0.75，P (C －)＝0.5，所以这一小时内至少有一位老人需要照顾的概率P ＝1－P (A －B －C －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝0.7.6．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．(1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率；(2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．解 (1)记事件A 表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”．依题意知，事件A 和事件B 相互独立，因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P (AB )＝P (A )P (B )＝23×34＝12.(2)记事件A i 表示“甲第i 次射击击中目标”(其中i ＝1,2,3,4)，并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C ，则C ＝A 1A 2A 3A －4∪A －1A 2A 3A 4，且A 1A 2A 3A －4与A －1A 2A 3A 4是互斥事件．由于A 1，A 2，A 3，A 4之间相互独立，所以A i 与A －j (i ，j ＝1,2,3,4，且i ≠j )之间也相互独立．由于P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (A 4)＝23，P (A －1)＝P (A －2)＝P (A －3)＝P (A －4)＝13，故P (C )＝P (A 1A 2A 3A －4∪A －1A 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)P (A －4)＋P (A －1)P (A 2)P (A 3)·P (A 4) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1681. 所以甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率为1681.(3)记事件B i 表示“乙第i 次射击击中目标”(其中i ＝1,2,3,4)，并记事件D 表示“乙在第4次射击后被终止射击”，则D ＝B 1B 2B －3B －4∪B －1B 2B －3B －4，且B 1B 2B －3B －4与B －1B 2B －3B －4是互斥事件．由于B 1，B 2，B 3，B 4之间相互独立，所以B i 与B －j (i ，j ＝1,2,3,4，且i ≠j )之间也相互独立．由于P (B i )＝34(i ＝1,2,3,4)，P (B －i )＝14(i ＝1,2,3,4)，故P (D )＝P (B 1B 2B －3B －4∪B －1B 2B －3B －4)＝P (B 1B 2B －3B －4)＋P (B －1B 2B －3B －4)＝P (B 1)P (B 2)P (B －3)P (B －4)＋P (B －1)P (B 2)P (B －3)·P (B －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝364. 所以乙恰好射击4次后被终止射击的概率为364.一、选择题1．掷一枚骰子一次，记A 表示事件“出现偶数点”，B 表示事件“出现3点或6点”，则事件A 与B 的关系是( )A ．互斥事件B ．相互独立事件C ．既互斥又相互独立事件D ．既不互斥又不相互独立事件答案 B解析因为该试验的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，AB ＝{6}，所以P (A )＝12，P (B )＝13，P (AB )＝16＝12×13＝P (A )P (B )，所以A 与B 是相互独立事件．2．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16答案 B解析设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品，事件B ：乙实习生加工的零件为一等品，则P (A )＝23，P (B )＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512. 3．甲、乙两颗卫星同时独立地监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )A ．0.95B ．0.6C ．0.05D ．0.4答案 A解析解法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故所求事件的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.解法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”，故所求事件的概率为1－(1－0.8)×(1－0.75)＝0.95.故选A.4．(多选)甲、乙、丙三位同学用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为45，乙及格的概率为35，丙及格的概率为710，三人各答一次，则下列说法正确的是( )A ．仅甲及格的概率为28125B ．仅乙及格的概率为9250C ．三人都不及格的概率为3125D ．三人中只有一人及格的概率为47250答案 BCD解析 ∵甲及格的概率为45，乙及格的概率为35，丙及格的概率为710，∴仅甲及格的概率为45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＝24250＝12125，仅乙及格的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＝9250，仅丙及格的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×710＝14250＝7125，三人都不及格的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＝3125，∴三人中只有一人及格的概率为12125＋9250＋7125＝47250.故选BCD.5．如图所示，用K ，A 1，A 2三个不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576答案 B解析解法一：由题意知，K ，A 1，A 2正常工作的概率分别为P (K )＝0.9，P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.8.因为K ，A 1，A 2相互独立，所以A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为P (A －1A 2)＋P (A 1A －2)＋P (A 1A 2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96，所以系统正常工作的概率为P (K )[P (A －1A 2)＋P (A 1A －2)＋P (A 1A 2)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.解法二：A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为1－P (A －1A －2)＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96.所以系统正常工作的概率为P (K )·[1－P (A －1A －2)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.二、填空题6．有一批书共100本，其中文科书有40本，理科书有60本，按装订可分为精装、平装两种，其中精装书有70本．记“某人从这100本书中任取1本，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书”为事件M ，则事件M 发生的概率是________．答案 725解析设“任取1本书是文科书”为事件A ，“任取1本书是精装书”为事件B ，根据题意可知P (A )＝40100＝25，P (B )＝70100＝710，所以P (M )＝P (A )P (B )＝25×710＝725.7．甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13，两人同时参加测试，其中有且只有一人能通过的概率是________．答案 12解析设事件A 表示“甲通过听力测试”，事件B 表示“乙通过听力测试”．依题意知，事件A 和B 相互独立，且P (A )＝12，P (B )＝13.记“有且只有一人通过听力测试”为事件C ，则C ＝A B －∪A －B ，且A B －和A －B 互斥．故P (C )＝P (A B －∪A －B )＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13＝12. 8．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．答案 0.46解析设“同学甲答对第i 个题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.6，P (A 3)＝0.5，且A 1，A 2，A 3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A 1A 2A 3∪A 1A －2A 3∪A －1A 2A 3发生，故所求概率为P ＝P (A 1A 2A 3∪A 1A －2A 3∪A －1A 2A 3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A －2A 3)＋P (A －1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A －2)P (A 3)＋P (A －1)·P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.三、解答题9．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．求：(1)再赛2局结束这次比赛的概率；(2)甲获得这次比赛胜利的概率．解记“第i 局甲获胜”为事件A i (i ＝3,4,5)，“第j 局乙获胜”为事件B j (j ＝3,4,5)．(1)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A ，则A ＝A 3A 4∪B 3B 4，由于各局比赛结果相互独立，故P (A )＝P (A 3A 4∪B 3B 4)＝P (A 3A 4)＋P (B 3B 4)＝P (A 3)P (A 4)＋P (B 3)P (B 4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.所以再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.(2)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B ，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B ＝A 3A 4∪B 3A 4A 5∪A 3B 4A 5，由于各局比赛结果相互独立，故P (B )＝P (A 3A 4∪B 3A 4A 5∪A 3B 4A 5)＝P (A 3A 4)＋P (B 3A 4A 5)＋P (A 3B 4A 5)＝P (A 3)P (A 4)＋P (B 3)P (A 4)P (A 5)＋P (A 3)P (B 4)·P (A 5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.所以甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.10．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过．方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：(1)该应聘者用方案一通过考试的概率；(2)该应聘者用方案二通过考试的概率．解记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B ，C ，则P (A )＝0.5，P (B )＝0.6，P (C )＝0.9.(1)该应聘者用方案一通过考试的概率为P 1＝P (AB C －)＋P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (ABC )＝P (A )P (B )[1－P (C )]＋[1－P (A )]P (B )P (C )＋P (A )[1－P (B )]P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9＝0.75.(2)从三门课程中随机选取两门的样本空间为Ω＝{AB ，AC ，BC }，每个样本点发生的概率均为13，因此，该应聘者用方案二通过考试的概率为P 2＝13P (AB )＋13P (BC )＋13P (AC )＝13P (A )P (B )＋13P (B )P (C )＋13P (A )P (C )13×0.6×0.9＋13×0.5×0.9＝0.43.＝13×0.5×0.6＋。

高中数学-事件的相互独立性跟踪测试卷及答案

课时跟踪检测（四十三）事件的相互独立性层级(一)“四基”落实练1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A＝“甲击中目标”，事件B＝“乙击中目标”，则事件A与事件B () A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥解析：选A对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．2．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是 ()A.524 B.512C.124 D.38解析：选C两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝936×636＝1 24.3．有一道竞赛题，A，B，C三人可解出的概率分别为12，13，14，则三人独立解答，仅有一人解出的概率为()A.124 B.1124C.1324 D.1724解析：选B设仅有一人解出的事件为D，则P(D)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝12×23×34＋12×13×34＋12×23×14＝1124.4．两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，则目标被击中的概率是() A．0.56 B．0.92C．0.94 D．0.96解析：选C ∵两人都没有击中的概率为0.2×0.3＝0.06，∴目标被击中的概率为1－0.06＝0.94.5．(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的是( )A ．2个球都是红球的概率为16B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为12解析：选ACD 设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A 1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A 2，则P (A 1)＝13，P (A 2)＝12，且A 1，A 2相互独立．2个球都是红球为A 1A 2，其概率为13×12＝16，A 正确；“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为56，B 错误；2个球中至少有1个红球的概率为 1－P (A )P (B )＝1－23×12＝23，C 正确；2个球中恰有1个红球的概率为13×12＋23×12＝12，D 正确．故选A 、C 、D.6．已知A ，B 是相互独立事件，且P (A )＝12P (B )＝23，则P (A B －)＝________；P (A － B －)＝________.解析：∵P (A )＝12，P (B )＝23，∴P (A －)＝12，P (B －)＝13.∴P (A B －)＝P (A )P (B －)＝12×13＝16，P (A － B －)＝P (A －)P (B －)＝12×13＝16.答案：16 167．已知生产某零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和P ，每道工序是否产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.960 3，则P＝________.解析：由题意，得(1－0.01)(1－P)＝0.960 3，解得P＝0.03.答案：0.038．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率．解：记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”；记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”．(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)易知D＝(A B－)∪(A－B)，则P(D)＝P(A B－)＋P(A－B)＝P(A)P(B－)＋P(A－)P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.层级(二) 能力提升练1.如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要有一个开关正常工作即可靠)为()A．0.504 B．0.994C．0.496 D．0.064解析：选B由题意知，所求概率为1－(1－0.9)·(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.006＝0.994. 2．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，这些小球除颜色外完全相同．从每袋中任取1个球，则取得同色球的概率为________．解析：设从甲袋中任取1个球，事件A为“取得白球”，则事件A为“取得红球”；从乙袋中任取1个球，事件B为“取得白球”，则事件B为“取得红球”．∵事件A与B相互独立，∴事件A与B也相互独立．∴从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为P(AB∪A B)＝P(AB)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝23×12＋13×12＝12.答案：123．甲、乙两名同学参加一项射击比赛，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．已知甲、乙两人射击互不影响，且命中率分别为35和p .若甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920，则p 的值为________．解析：设“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ，则“甲射击一次，未击中”为事件A ，“乙射击一次，未击中目标”为事件B ，则P (A )＝35，P (A )＝25，P (B )＝p ，P (B )＝1－p ，依题意35×(1－p )＋25×p ＝920，解得p ＝34.答案：344．(2022·全国甲卷节选)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8，各项目的比赛结果相互独立．求甲学校获得冠军的概率．解：设三个项目比赛中甲学校获胜分别为事件A ，B ，C ，易知事件A ，B ，C 相互独立．甲学校获得冠军，对应事件A ，B ，C 同时发生，或事件A ，B ，C 中有两个发生，故甲学校获得冠军的概率为P ＝P (ABC ＋A BC ＋A B C ＋AB C ) ＝P (ABC )＋P (A BC )＋P (A B C )＋P (AB C )＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8) ＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04 ＝0.6.5．已知某音响设备由五个部件组成，A 电视机，B 影碟机，C 线路，D 左声道和E 右声道，其中每个部件工作的概率如图所示，当且仅当A 与B 中至少有一个工作，C 工作，D 与E 中至少有一个工作时能听到声音，且若D 和E 同时工作则有立体声效果．(1)求能听到立体声效果的概率； (2)求听不到声音的概率．解：(1)能听到立体声效果的概率P 1＝[1－(1－0.9)×(1－0.95)]×0.95×0.94×0.94＝0.835 222 9.(2)能听到声音的概率P 2＝[1－(1－0.9)×(1－0.95)]×0.95×[1－(1－0.94)2]＝0.941 847 1，故听不到声音的概率为1－P 2＝1－0.941 847 1＝0.058 152 9. 层级(三) 素养培优练在生活小常识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关生活小常识的问题，已知甲答对这道题的概率是34112，乙、丙两人都回答正确的概率是14.设每人回答问题正确与否相互独立．(1)求乙答对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率．解：(1)记“甲答对这道题”“乙答对这道题”“丙答对这道题”分别为事件A ，B ，C ，设乙答对这道题的概率P (B )＝x ，由于每人回答问题正确与否相互独立，因此A ，B ，C 是相互独立事件．由题意可知，P (A )＝34，P (A B )＝P (A )P (B )＝ 1－34×(1－x )＝112，解得x ＝23，所以乙答对这道题的概率为P (B )＝23.(2)设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M ，丙答对这道题的概率P (C )＝y ，由题可知，P (BC )＝P (B )·P (C )＝23×y ＝14，解得y ＝38.甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P (A B C )＝P (A )P (B )·P (C )＝ 1－34× 1－23× 1－38＝596. 因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”的对立事件是“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对”，所以P (M )＝1－596＝9196.。

高一数学概率基础与事件独立性题库

高一数学概率基础与事件独立性题库题目一：某班有30名学生，其中10人喜欢篮球，15人喜欢足球。

现从这些学生中随机选择一人，求这个学生既喜欢篮球又喜欢足球的概率。

解析：题目中给出的信息是某班有30名学生，其中10人喜欢篮球，15人喜欢足球。

我们要求的是既喜欢篮球又喜欢足球的学生的概率。

设A表示喜欢篮球的学生，B表示喜欢足球的学生。

根据题目中给出的信息，我们可以得到以下概率：P(A) = 10/30 = 1/3P(B) = 15/30 = 1/2我们需要求解的是同时喜欢篮球和足球的学生的概率，即P(A∩B)。

根据事件独立性的概念，如果事件A和事件B是相互独立的，则P(A∩B) = P(A) * P(B)。

然而，根据题目描述，我们无法确定事件A和事件B是否相互独立，需要进一步的信息才能判断。

因此，无法根据给出的题目信息计算同时喜欢篮球和足球的学生的概率。

题目二：抽取一副扑克牌，从中随机抽取两张牌，请计算以下事件的概率：A：两张牌都是红心B：两张牌的点数之和为8解析：根据题目描述，我们有一副扑克牌，共有52张牌。

其中，红心的牌有13张，点数为8的牌有4张。

我们需要求解的是两张牌都是红心的概率P(A)和两张牌的点数之和为8的概率P(B)。

1. 计算概率P(A)：第一次抽取时，红心的牌有13张，总牌数为52张，因此第一次抽到红心牌的概率是P(A) = 13/52。

在第一次抽取后，第二次抽取时，红心的牌减少了1张，剩下12张，总牌数减少了1张，剩下51张。

因此第二次抽到红心牌的概率是P(A|A第一次) = 12/51。

根据乘法原理，两次抽到红心牌的概率是P(A) * P(A|A第一次) = (13/52) * (12/51) = 3/52 ≈ 0.0577。

2. 计算概率P(B)：点数为8的牌有4张，总牌数为52张。

第一次抽取时，抽到点数为8的牌的概率是P(B) = 4/52。

在第一次抽取后，第二次抽取时，抽到点数为8的牌的概率不变，仍然是P(B|B第一次) = 4/52。

事件的独立性概率课堂达标检测练习含答案解析高二数学北京海淀

事件的独立性课时自测·当堂达标
1.下列事件A,B是相互独立事件的是 ( )
A.一枚硬币掷两次,A表示“第一次为正面”,B表示“第二次为反面”
B.袋中有2个白球,2个黑球,不放回地摸球两次,每次摸一球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子,A表示“出现点数为奇数”,B表示“出现点数为偶数”
D.A表示“一个灯泡能用1 000小时”,B表示“一个灯泡能用2 000小时”【解析】选A.把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A是相互独立事件;B中是不放回地摸球,显然A事件与B事件不相互独立;对于C,其结果具有唯一性,A,B应为互斥事件;D中事件B受事件A的影响.
2.坛子中放有3个白球,2个黑球,从中进行不放回地取球2次,每次取一球,用A1表示第一次取得白球,A2表示第二次取得白球,则A1和A2是( ) A.互斥的事件 B.相互独立的事件
C.对立的事件
D.不相互独立的事件
【解析】选D.因为P(A1)=.若A1发生了,P(A2)==;若A1不发生,P(A2)=,即A1发生的结果对A2发生的结果有影响,所以A1与A2不是相互独立事件.
3.如图,在两个圆盘中,指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两
个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】选A.左边圆盘指针落在奇数区域的概率为=,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×=.。

新教材高中数学第七章概率4事件的独立性素养作业北师大版必修第一册

第七章 §4A 组·素养自测一、选择题1．事件A 与事件B 相互独立，且P (A )＝P (B )＝14，则P (AB )＝( C )A ．0B ．116C ．316D ．12[解析] 由相互独立事件的性质可得P (AB )＝P (A )P (B )＝P (A )[1－P (B )]＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝316. 2．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )是( D )A ．29 B ．118 C ．13D ．23[解析] 由P (A ∩B －)＝P (B ∩A －)得P (A )P (B －)＝P (B )·P (A －)，即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]，∴P (A )＝P (B )．又P (A －∩B －)＝19，∴P (A －)＝P (B －)＝13.∴P (A )＝23.故选D ．3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A 、B 中至少有一件发生的概率是( C )A ．512B ．12C ．712D ．34[解析] 由题意P (A )＝12，P (B )＝16，事件A 、B 中至少有一个发生的概率P ＝1－12×56＝712. 4．甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是P 1，乙能解决这个问题的概率是P 2，那么至少有一人能解决这个问题的概率是( D )A ．P 1＋P 2B ．P 1P 2C ．1－P 1P 2D ．1－(1－P 1)(1－P 2)[解析] 甲能解决这个问题的概率是P 1，乙能解决这个问题的概率是P 2，则甲不能解决这个问题的概率是1－P 1，乙不能解决这个问题的概率是1－P 2，则甲、乙都不能解决这个问题的概率是(1－P 1)(1－P 2)，则至少有一人能解决这个问题的概率是1－(1－P 1)(1－P 2)，故选D ．5．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( B )A ．12B ．512C ．14D ．16[解析] 所求概率为23×14＋13×34＝512或P ＝1－23×34－13×14＝512.6．三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是( A )A ．1532 B ．932 C ．732D ．1732[解析] 记“三个元件T 1，T 2，T 3正常工作”分别为事件A 1，A 2，A 3，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝34，P (A 3)＝34. 不发生故障的事件为(A 2∪A 3)∩A 1， ∴不发生故障的概率为P ＝P [(A 2∪A 3)∩A 1]＝[1－P (A 2－)·P (A 3－)]·P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×14×12＝1532. 故选A ．二、填空题7．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为12，乙生解出它的概率为13，丙生解出它的概率为14.由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为__1124__．[解析] 甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A 1，则P (A 1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，乙生解出，而甲、丙不能解出为事件A 2，则P (A 2)＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝18，丙生解出，而甲、乙不能解出为事件A 3，则P (A 3)＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝112.甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝14＋18＋112＝1124. 8．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为__516__.[解析] 由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.设甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516，即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.9．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于__0.128__．[解析] 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.三、解答题10．(2022·广东省韶关市调研)如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别记为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p ；(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率．[解析] 记事件A i 表示“电流能通过T i ”，i ＝1，2，3，4，事件A 表示“T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流”，事件B 表示“电流能在M 与N 之间通过”．(1)因为A －＝A 1－A 2－A 3－，A 1，A 2，A 3相互独立，所以P (A －)＝P (A 1－A 2－A 3－)＝P (A 1－)P (A 2－)P (A 3－)＝(1－p )3. 又P (A －)＝1－P (A )＝1－0.999＝0.001，所以(1－p )3＝0.001，解得p ＝0.9. (2)B ＝A 4＋A 4－A 1A 3＋A 4－A 1－A 2A 3，P (B )＝P (A 4)＋P (A 4－A 1A 3)＋P (A 4－A 1－A 2A 3)＝P (A 4)＋P (A 4－)P (A 1)P (A 3)＋P (A 4－)P (A 1－)P (A 2)P (A 3) ＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9 ＝0.9891.11．一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.求：(1)这名学生在途中遇到4次红灯的概率； (2)这名学生在首次停车前经过了3个路口的概率； (3)这名学生至少遇到一次红灯的概率．[解析] (1)设事件A 为在途中遇到4次红灯，P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫134×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×5＝10243. (2)设首次停车前经过3个路口为事件B ，则P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133×13＝881.(3)设至少遇到一次红灯为事件C ，则其对立事件为全遇到绿灯，所以P (C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－135＝211243.B 组·素养提升一、选择题1．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A 荷叶上，则跳三次之后停在A 荷叶上的概率是( A )A ．13 B ．29 C ．49D ．827[解析] 由已知逆时针跳一次的概率为23，顺时针跳一次的概率为13.则逆时针跳三次停在A 上的概率为P 1＝23×23×23＝827，顺时针跳三次停在A 上的概率为P 2＝13×13×13＝127.所以跳三次之后停在A 上的概率为P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13.2．从甲袋内摸出1个白球的概率为13，从乙袋内摸出1个白球的概率是12，从两个袋内各摸1个球，那么概率为56的事件是( C )A ．2个球都是白球B ．2个球都不是白球C ．2个球不都是白球D ．2个球中恰好有1个白球[解析] 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为P 1＝13×12＝16，∴两个球不都是白球的概率为P ＝1－P 1＝56.3．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为( D )A ．215B ．25C ．35D ．1315[解析] 记E ＝“甲组研发新产品成功”，F ＝“乙组研发新产品成功”，由题设知P (E )＝23，P (E －)＝13，P (F )＝35，P (F －)＝25，且事件E 与F ，E 与F －，E －与F ，E －与F －都相互独立．记H ＝“至少有一种新产品研发成功”，则H －＝E －∩F －，于是P (H －)＝P (E －)×P (F －)＝13×25＝215，故所求的概率P (H )＝1－P (H －)＝1－215＝1315.故选D ． 4．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止．每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p ，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p ＝( A )A ．0.4B ．0.6C ．0.1D ．0.2[解析] 由题意可得p ＋p (1－p )＋p (1－p )2＝0.784，整理可得p (2－p ＋1－2p ＋p 2)＝p (p 2－3p ＋3)＝0.784，将各选项中的数分别代入方程可知A 项正确．二、填空题5．(2019·全国Ⅰ卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是__0.8__．[解析] 记事件M 为“甲队以4∶1获胜”，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P (M ) ＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.6．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为__12__．[解析] 设“从甲袋中取白球”为事件A ，则P (A )＝812＝23.设“从乙袋中取白球”为事件B ，则P (B )＝612＝12.取得同色球为AB ＋A －B －.P (AB ＋A －B －)＝P (AB )＋P (A －B －)＝P (A )·P (B )＋P (A －)·P (B －) ＝23×12＋13×12＝12. 7．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人都达标的概率是__0.24__，三人中至少有一人达标的概率是__0.96__．[解析] 三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5＝0.24.三人都不达标的概率为(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2×0.4×0.5＝0.04，三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.三、解答题8．(2019·全国Ⅱ卷)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．(1)求P (X ＝2)；(2)求事件“X ＝4且甲获胜”的概率．[解析] 思路点拨：(1)由题意知P (X ＝2)包括又打了2个球甲获胜的概率与又打了2个球乙获胜的概率，利用互斥事件的概率公式求解即可；(2)利用相互独立事件与互斥事件的概率公式计算即可．(1)X ＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P (X ＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4) ＝0.5.(2)X ＝4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前2个球是甲、乙各得1分，后2个球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4) ＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.9．计算机考试分理论考试和上机操作考试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试合格并颁布合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为35，34，23；在上机操作考试中合格的概率分别为910，56，78，所有考试是否合格相互之间没有影响．(1)甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大？ (2)求这三人计算机考试都获得合格证书的概率．[解析] 记“甲理论考试合格”为事件A 1，“乙理论考试合格”为事件A 2，“丙理论考试合格”为事件A 3；记“甲上机考试合格”为事件B 1，“乙上机考试合格”为事件B 2，“丙上机考试合格”为事件B 3.(1)记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A ，“乙计算机考试获得合格证书”为事件B ，“丙计算机考试获得合格证书”为事件C ，则P (A )＝P (A 1)P (B 1)＝35×910＝2750，P (B )＝P (A 2)·P (B 2)＝34×56＝58，P (C )＝P (A 3)P (B 3)＝23×78＝712，因为P (B )>P (C )>P (A )，故乙获得合格证书的可能性最大． (2)记“三人计算机考试都获得合格证书”为事件D ．P (D )＝P (A )P (B )P (C )＝2750×58×712＝63320.所以，三人计算机考试都获得合格证书的概率是63320.。

高中数学新北师大版必修第一册第七章 4 事件的独立性固学练习

4事件的独立性固学篇基础达标1.某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9.则透镜落地3次以内(含3次)被打破的概率是()A.0.378B.0.3C.0.58D.0.958【解析】透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为P1，恰在第二次落地打破的概率为P2，恰在第三次落地打破的概率为P3，所以落地3次以内被打破的概率P=P1+P2+P3=0.958.故选D.【答案】D2.某闯关游戏规则如下：在主办方预设的6个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，闯关成功.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就闯关成功的概率等于()A.0.064B.0.144C.0.216D.0.432【解析】选手恰好回答了4个问题就闯关成功，则第1个问题可能正确，也可能不正确，第2个问题不正确，第3，4个问题正确.故P=0.6×0.4×0.6×0.6+0.4×0.4×0.6×0.6=0.144.故选B.【答案】B3.甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：(1)2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率；(3)2人至少有1人射中目标的概率.【解析】记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A 与B，A与B，A与B，A与B为相互独立事件，(1)2人都射中的概率为P(AB)=P(A)P(B，故2人都射中目标的概率是0.72.(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即事件A B)，另一种是甲未击中、乙击中(即事件A B)，根据题意，事件A B与A B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P (A B )+P (A B )=P (A )P (B )+P (A )P (B ，故2人中恰有1人射中目标的概率是0.26.(3)(法1)：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为P =P (AB )+[P (A B )+P (A B )]=0.72+0.26=0.98.(法2)：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，2人都未击中目标的概率是P (AB )=P (A )P (B ，∴“两人至少有1人击中目标”的概率为P =1-P (AB )=1-0.02=0.98.素养提升4.(多选题)下列各对事件中，M ，N 是相互独立事件的有( )A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M 表示“出现的点数为奇数”，事件N 表示“出现的点数为偶数”B.袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M 表示“第1次摸到白球”，事件N 表示“第2次摸到白球”C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M 表示“第1枚为正面”，事件N 表示“两枚结果相同”D.一枚硬币掷两次，事件M 表示“第一次为正面”，事件N 表示“第二次为反面”【解析】在A 中，P (MN )=0，所以事件M ，N 不相互独立；在B 中，事件M 的发生对事件N 的发生有影响，不是相互独立事件；在C 中，P (M )=12，P (N )=12，P (MN )=14，P (MN )=P (M )P (N )，因此事件M ，N 是相互独立事件；在D 中，第一次与第二次的结果互不影响，因此事件M ，N 是相互独立事件.故选CD.【答案】CD5.甲、乙、丙三台机床是否需要维修相互之间没有影响.在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是0.1，0.2，0.4，则一小时内恰有一台机床需要维修的概率是( )A.0.444B.0.008C.0.7D.0.233 【解析】因为在一小时内甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是，，，所以一小时内恰有一台机床需要维修的概率是P =0.1×(1-0.2)×(1-0.4)+0.2×(1-0.1)×(1-0.4)+0.4×(1-0.2)×(1-0.1)=0.444.故选A.【答案】A6.甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军.4个人相互比赛的胜率如表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率.那么甲得冠军且丙得亚军的概率是( )A.0.15B. 0.105C. 0.045D. 0.21【解析】甲、乙比赛甲获胜的概率是，丙、丁比赛丙获胜的概率是，甲、丙决赛甲获胜的概率是，根据独立事件的概率等于概率之积，所以甲得冠军且丙得亚军的概率为0.3×0.5×0.3=0.045.故选C. 【答案】C7.甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，0.8，若只有1人击中，则飞机被击落概率为0.2，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，若3人击中，则飞机一定被击落，则飞机被击落的概率为 .【解析】设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A ，B ，C ，依题意，A ，B ，C 相互独立，故所求事件概率为P =[P (A BC )+P (ABC )+P (AB C )]×0.2+[P (AB C )+P (A BC )+P (A B C )]×0.6+P (ABC )=(0.4×0.5×0.2+0.6×0.5×0.2+0.6×0.5×0.8)×0.2+(0.4×0.5×0.2+0.6×0.5×0.8+0.4×0.5×0.8)×0.6+0.4×0.5×0.8=0.492.【答案】8.某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯，汽车在甲、乙、丙三个地方通过(即通过绿灯)的概率分别是13，12，23，对于该大街上行驶的汽车，求： (1)在三个地方都不停车的概率；(2)在三个地方都停车的概率；(3)只在一个地方停车的概率.【解析】记汽车在甲地遇到绿灯为事件A ，汽车在乙地遇到绿灯为事件B ，汽车在丙地遇到绿灯为事件C ，则P (A )=13，P (A )=23，P (B )=12，P (B )=12，P (C )=23，P (C )=13.(1)在三个地方都不停车的概率为P (ABC )=P (A )P (B )P (C )=13×12×23=19.(2)在三个地方都停车的概率为P (ABC )=P (A )P (B )P (C )=23×12×13=19. (3)只在一个地方停车的概率为P (A BC +A B C +AB C )=P (A BC )+P (A B C )+P (AB C )=P (A )P (B )P (C )+P (A )P (B )P (C )+P (A )P (B )P (C )=23×12×23+13×12×23+13×12×13=718. 9.在一个选拔节目中，每个选手都需要进行四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56，34，56，13，且各轮问题能否正确回答互不影响.(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.【解析】设事件A i (i =1，2，3，4)表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，则P (A 1)=56，P (A 2)=34，P (A 3)=56，P (A 4)=13. (1)设事件B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”，则P (B )=P (A 1A 2A 3)=P (A 1)P (A 2)P (A 3)=56×34×1-56=548.(2)设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则P (C )=P (A 1+A 1A 2+A 1A 2A 3)=P (A 1)+P (A 1A 2)+P (A 1A 2A 3)=1-56+56×1-34+56×34×1-56=2348.。

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高中数学事件的独立性综合测试题（附答案）选修2-3 2.2.2 事件的独立性一、选择题1．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为()A．p＋q－2pqB．p＋q－pqC．p＋qD．pq[答案] A[解析] 恰有一株成活的概率为p(1－q)＋(1－p)q＝p＋q－2pq，故选A.2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是()A.1425B.1225C.34D.35[答案] A[解析] P甲＝810＝45，P乙＝710，所以P＝P甲P乙＝1425. 3．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是()(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)A.1320B.15C.14D.25[答案] D[解析] 设“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，则P(A)＝15，P(B)＝14.又A，B相互独立，则A，B也相互独立，则P(A B)＝P(A)P(B)＝4534＝35，故至少有一项合格的概率为P＝1－P(A B)＝25，故选D. 4．(2019湖北理，4)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是()A.512B.12C.712D.34[答案] C[解析] 由题意P(A)＝12，P(B)＝16，事件A、B中至少有一个发生的概率P＝1－1256＝712.5．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是()A．p1p2B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)C．1－p1p2D．1－(1－p1)(1－p2)[答案] B[解析] 设甲解决问题为事件A，乙解决问题为事件B，则恰有一人解决为事件AB＋A B，由题设P(A)＝p1，P(B)＝p2，P(AB＋A B)＝P(AB)＋P(A B)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－p1)p2＋p1(1－p2)．6．从甲袋内摸出1个白球的概率为13，从乙袋内摸出1个白球的概率是12，从两个袋内各摸1个球，那么概率为56的事件是()A．2个球都是白球B．2个球都不是白球C．2个球不都是白球D．2个球中恰好有1个白球[答案] C[解析] 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为P1＝1312＝16，两个球不都是白球的概率为P＝1－P1＝56.7．(2019广州模拟)在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内，至少有1人去此地的概率是()A.320B.15C.25D.920[答案] C[解析] 解法一：考查相互独立事件的概率公式．设“甲去某地”为事件A，“乙去某地”为事件B，则至少1人去此地的概率为P＝P(A)P(B－)＋P(A－)P(B)＋P(A)P(B)＝1445＋3415＋1415＝25.故选C.解法二：考查对立事件P＝1－P(A－)P(B－)＝1－3445＝25. 8．若事件A、B发生的概率都大于零，则()A．如果A、B是互斥事件，那么A与B也是互斥事件B．如果A、B不是相互独立事件，那么它们一定是互斥事件C．如果A、B是相互独立事件，那么它们一定不是互斥事件D．如果A＋B是必然事件，那么它们一定是对立事件[答案] C[解析] 当事件A、B如图(1)所示时，A与B互斥，但A与B不互斥，故A错；当事件A、B如图(2)时，A＋B是必然事件，但不是对立事件，故D错；如果A与B相互独立，则A 的发生与否对B没有影响，故不是互斥事件；A与B不相互独立时也未必是互斥事件．二、填空题9．设A、B互不相容，且P(A)＞0，P(B|A)＝__________，若A、B相互独立，且P(A)＞0，则P(B|A)＝______________. [答案] 0 P(B)[解析] ∵A、B互不相容，A发生则B一定不发生，从而P(B|A)＝0；又A、B相互独立时，P(B|A)＝P(B)．10．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A＋B)＝________，P(A|B)＝________.[答案] 0.65 0.3[解析] ∵A、B相互独立，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)＝0.3＋0.5－0.30.5＝0.65.P(A|B)＝P(A)＝0.3.11．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为12，乙生解出它的概率为13，丙生解出它的概率为14. 由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________．[答案] 1124[解析] 甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A1，则P(A1)＝121－131－14＝14，乙生解出，而甲、丙不能解出为事件A2，则P(A2)＝131－121－14＝18，丙生解出，而甲、乙不能解出为事件A3，则P(A3)＝141－121－13＝112.甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P(A1＋A2＋A3)＝14＋18＋112＝1124.12．(2019重庆文，14)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为__________．[答案] 370[解析] 本题考查独立事件，对立事件有关概率的基本知识以及计算方法．设加工出来的零件为次品为事件A，则A为加工出来的零件为正品．P(A)＝1－P(A)＝1－(1－170)(1－169)(1－168)＝370. 三、解答题13．有三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验．(1)求恰有一件不合格的概率；(2)求至少有两件不合格的概率(精确到0.001)．[解析] 设从三种产品中各抽取一件，抽到合格品的事件为A、B、C.(1)∵P(A)＝0.90，P(B)＝P(C)＝0.95，P(A)＝0.10，P(B)＝P(C)＝0.05.因为事件A、B、C相互独立，恰有一件不合格的概率为：P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝20.900.950.05＋0.100.950.95＝0.176.(2)方法1：至少有两件不合格的概率为P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝0.900.052＋20.100.050.95＋0.100.052＝0.012.方法2：三件产品都合格的概率为P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.900.952＝0.812.由(1)知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1－[P(ABC)＋0.176]＝1－(0.812＋0.176)＝0.012.14．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．[解析] (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)＝C26C14＋C36C310＝60＋20190＝23，P(B)＝C28C12＋C38C310＝56＋56120＝1415.(2)方法1：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝1－231－1415＝145.所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝1－P(AB)＝1－145＝4445.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.方法2：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝23115＋131415＋231415＝4445.答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445. 15．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112.甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．[解析] (1)设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．由题设条件有P(AB)＝14，P(BC)＝112，P(AC)＝29，即P(A)[1－P(B)]＝14，①P(B)[1－P(C)]＝112，②P(A)P(C)＝29. ③由①、③得P(B)＝1－98P(C)，代入②得27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0.解得P(C)＝23或 119(舍去)．将P(C)＝23分别代入③、②可得P(A)＝13、P(B)＝14，即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是13、14、23.(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则P(D)＝1－P(D)＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－233413＝56.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.16．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：在三门课程中，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为a、b、c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．(1)分别求应聘者用方案一和方案二时，考试通过的概率；(2)试比较应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小(说明理由)．[解析] 记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A、B、C，则P(A)＝a、P(B)＝b、P(C)＝c.(1)应聘者用方案一考试通过的概率P1＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝ab(1－c)＋bc(1－a)＋ac(1－b)＋abc＝ab＋bc＋ca－2abc，应聘者用方案二考试通过的概率为P2＝13P(AB)＋13P(BC)＋13P(AC)＝13(ab＋bc＋ca)；(2)因为a、b、c[0,1]，所以P1－P2＝23(ab＋bc＋ca)－2abc ＝23[ab(1－c)＋bc(1－a)＋ac(1－b)]0，故P1P2.即采用第一种方案，该应聘者通过的概率大．。