完整版函数图像过定点问题

函数图像过定点的研究
题1：
2＋(k－2)x＋2k(3求证：拋物线y＝－k)x－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．
归纳：
第一步：对含有变系数的项集中；
第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的
因式之积的形式；
第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；
第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得
到一个y的值y(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x，y)；000第五步：反思回顾，查
看关键点、易错点，完善解题步骤．
题2：
（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总）过的
点是（
）0，1 31 C. 01B. ），（ A. 13 （，）（－，）（－D.
巩固练习：2）﹣m）x+m的图象总是过定点为何实数，二次函数1．无
论my=x（﹣（2 ）（﹣D． 1，0，10） C．（﹣1，3） 3 A．（1，） B．（2）
1（a≠0），下列说法正确的有（ 2．对于关于x的二次函数y=ax）﹣（2a﹣1x
﹣取何值，图象必过两定②无论取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；a①无论a的增大而减小；④当1时，y随x点，且两定点之间的距离为；③当
a＞0时，函数在x＜ x轴所得的线段长度必大于2．a＜0时，函数图象截 4个．．3 个 D A ．1个 B． 2个C2（m≠0）的图象发现，随﹣2mx+33.（2012?鼓楼区
一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx的变化，这个二次函数的图象形状与
位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两着m ．个定点，请你写出这
两个定点的坐标：_________
2的变化，这个二次函（m≠0）的图象发现，随着4．某数学小组研究二次函救
y=mxm﹣3mx+2数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过
两个定点．请你写出这两个．定点的坐标：_________
2，则这个函数的图象一定经过某一个﹣c=2+bx+c满足by=x5．（2009?宜宾县一模）二次函数．定点，这个定点是 _________
2．的图象总是过定点 _________ y=x）﹣（2﹣mx+mm6．无论为何实数，二次
函数）在函数的图象12，1）图象不经过三、四象限；（2）点（．已知一个二次函数具有性质（7的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函x时，函数值y随自变量03上；（）当x＞ _________ ．数解析式：8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标
2．（m是常数）－6x＋1y.9（南京2011年24题7分）已知函数=mx轴上的一个定点；m为何值，该函数的图象都经过y⑴求证：不论的值．轴只有一个交点，求m⑵若该函数的图象与x
，﹣），与y轴的交点为（0．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，n﹣m），其顶点恰101（好在直线1y=x+﹣m）上（其中m、n为正数）．2（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；
（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．
函数图像过定点的研究
题1：
2＋(k－2)x＋－k)x2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．求证拋物线y＝(3审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线y＝kx＋b(k≠0)，当b确定时，无论k取不等于0的任何值，它总过定点(0，b)；物线线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当c确定时，无论a、b取何值，它总过定点(o，c)．
本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标．
解：整理抛物线的解析式，得
2＋(k－2)x＋2k－1 y＝(3－k)x2－2x－1－kx2＋＝3xkx＋2k
2－2x－1－k(x2 －＝3xx－2)(k≠3)，
2－x－2＝0，得x＝－1，x＝上式中令x2. 2122－x－2)，－2x－1－将它们分别代入y＝3xk(x解得y＝4，y＝7，2122－x－2)1－k(x，3x(2，7)分别代入y＝－2x －4)把点(－1，、无论k取何值，等式总成立，
2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)上，(3，7)总在抛物线y＝－k)x 4)即点(－1，、(22＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点(－1，4)、－即拋物线y＝(3k)x(2，7)．
归纳：
第一步：对含有变系数的项集中；
第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；
第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值y(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x，y)；000第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．
题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）
A. （1，3）
B. （1，0）
）0，1（－D. ）3，1（－ C.
解法一、特殊值法
依据：二次函数的图像随着m的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。

如果这个抛物线群恒过某定点，则该抛物线群中的某两条特殊的抛物线也必过这一定点。

解：任意给m赋予两个特殊值，不妨设m=0和m=2。

则函数解析式变为：。

联立方程组解得
中，无论把m为何值，等式总成立。

中所有的抛物线恒经过定点（1 所以，抛物线群，3）。

故应选A。

解法二、变换主元法依据：一元一次方程的解有三种情形：（1；）当a≠0时，方程有惟一解：（2）当a=b=0时，方程的解为全体实数；
（3）当a=0，b≠0时，方程无解。

这里所求定点坐标与m的值无关，相当于关于m的一元一次方程am=b（a、b为含x、y的代数式）中，a=b=0时的情形。

解：将其二次函数整理变形为：
①
令所以，无论m为何值时，（1，3）恒满足①式，故该二次函数的图像恒过定点（1，3）。

故应选A。

巩固练习：
1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）
）0，1（﹣．D ）3，1（﹣．C ）0，1（．B ）3，1（．A
2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（2．对于关于x的二次函数y=ax ）①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定
点，且两定点之间的距离为；
③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2．
A ．1 个 B． 2个 C．3 个 D． 4个
2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随3.（2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标： _________ ．
2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着．某数学小组研究二次函救y=mxm的变化，这个二次函4数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标： _________ ．
2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个5．（2009?宜宾县一模）二次函数y=x定点，这个定点是 _________ ．
2﹣（2﹣m）x+my=x的图象总是过定点 _________ ． 6．无论m为何实数，二次函数
7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式： _________ ．
8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标
9.2－6x＋1（m是常数）已知函数y=mx．
⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
y?1．=0时，解：⑴当x21??6xmxy?y m．所以不论，为何值，函数1的图象经过）轴上的一个定点（0x1x?y??60m?时，函数的图象与轴只有一个交点；⑵①当221?mx?6xy?0?1?mx?6xx0m?有两个相等轴只有一个交点，则方程②当的图象与时，若函数20m?4(?6)?9m?的实数根，所以．，
21?6y?mx?x．已知二次函数的11mx．9或0的值为轴只有一个交点，则的图象与综上，若函数．y=x+（），其顶点恰好在直线10，n10.﹣顶点坐标为（﹣m，﹣），与y 轴的交点为（﹣m）上（其中m、n为正数）．
（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；
（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．
分析：
﹣，整理后利用因式分解）=（1﹣y=x+（1﹣m）得﹣m+（1）把二次函数顶点坐标代入代入，﹣），与（舍去）y，于是二次函数的顶点坐标为（﹣轴）=0，则m=n或m=﹣1n得到（m﹣）（m+1的交点为（0，0），由m为正数可判断二次函数的顶点在第四象限，而抛物线过原点，所以抛物线开口向上，由此得到此二次函数的图象与x轴有2个交点；
﹣，抛物线与x轴的一个交点坐标为（0，02）由（1）得到抛物线的对称轴为直线x=），利用对称性（得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）
﹣，）m=）得﹣+（1（）证明：把（﹣，﹣）代入1y=x+（1﹣m﹣2﹣mn+m﹣n=0，整理得m ∵（m﹣n）（m+1）=0，
∴m=n或m=﹣1（舍去），
，﹣），与y轴的交点为（0，0）∴二次函数的顶点坐标为（﹣，
∵m为正数，
∴二次函数的顶点在第四象限，
而抛物线过原点，
∴抛物线开口向上，
∴此二次函数的图象与x轴有2个交点；
（2）解：存在．
﹣，抛物线与x轴的一个交点坐标为（0，0∵抛物线的对称轴为直线x=），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
．）0，01、n如何变化，二次函数的图象总通过点（﹣，0）和（即不论m2反思：+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=axx轴的交点22+bx+c（ax 的一元二次方程即可求得交点横坐标；二次函数y=ax，坐标，令y=0，即ax+bx+c=0，解关于22﹣4ac决定抛物线与xax轴的交+bx+c=0根之间的关系，△=b）的交点与一元二次方程，bc是常数，a≠0222=b△1抛物线与x轴有个交点；时，=b个交点；轴有抛物线与04ac△点个数：=b﹣＞时，x2△﹣4ac=0轴没有交点．x时，抛物线与0＜4ac﹣．。