完整版函数图像过定点问题

函数图像过定点的研究

题1：

2＋(k－2)x＋2k(3求证：拋物线y＝－k)x－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．

归纳：

第一步：对含有变系数的项集中；

第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的

因式之积的形式；

第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；

第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得

到一个y的值y(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x，y)；000第五步：反思回顾，查

看关键点、易错点，完善解题步骤．

题2：

（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总）过的

点是（

）0，1 31 C. 01B. ），（ A. 13 （，）（－，）（－D.

巩固练习：2）﹣m）x+m的图象总是过定点为何实数，二次函数1．无

论my=x（﹣（2 ）（﹣D． 1，0，10） C．（﹣1，3） 3 A．（1，） B．（2）

1（a≠0），下列说法正确的有（ 2．对于关于x的二次函数y=ax）﹣（2a﹣1x

﹣取何值，图象必过两定②无论取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；a①无论a的增大而减小；④当1时，y随x点，且两定点之间的距离为；③当

a＞0时，函数在x＜ x轴所得的线段长度必大于2．a＜0时，函数图象截 4个．．3 个 D A ．1个 B． 2个C2（m≠0）的图象发现，随﹣2mx+33.（2012?鼓楼区

一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx的变化，这个二次函数的图象形状与

位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两着m ．个定点，请你写出这

两个定点的坐标：_________

2的变化，这个二次函（m≠0）的图象发现，随着4．某数学小组研究二次函救

y=mxm﹣3mx+2数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过

两个定点．请你写出这两个．定点的坐标：_________

2，则这个函数的图象一定经过某一个﹣c=2+bx+c满足by=x5．（2009?宜宾县一模）二次函数．定点，这个定点是 _________

2．的图象总是过定点 _________ y=x）﹣（2﹣mx+mm6．无论为何实数，二次

函数）在函数的图象12，1）图象不经过三、四象限；（2）点（．已知一个二次函数具有性质（7的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函x时，函数值y随自变量03上；（）当x＞ _________ ．数解析式：8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标

2．（m是常数）－6x＋1y.9（南京2011年24题7分）已知函数=mx轴上的一个定点；m为何值，该函数的图象都经过y⑴求证：不论的值．轴只有一个交点，求m⑵若该函数的图象与x

，﹣），与y轴的交点为（0．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，n﹣m），其顶点恰101（好在直线1y=x+﹣m）上（其中m、n为正数）．2（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；

（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．

函数图像过定点的研究

题1：

2＋(k－2)x＋－k)x2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．求证拋物线y＝(3审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线y＝kx＋b(k≠0)，当b确定时，无论k取不等于0的任何值，它总过定点(0，b)；物线线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当c确定时，无论a、b取何值，它总过定点(o，c)．

本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标．

解：整理抛物线的解析式，得

2＋(k－2)x＋2k－1 y＝(3－k)x2－2x－1－kx2＋＝3xkx＋2k

2－2x－1－k(x2 －＝3xx－2)(k≠3)，

2－x－2＝0，得x＝－1，x＝上式中令x2. 2122－x－2)，－2x－1－将它们分别代入y＝3xk(x解得y＝4，y＝7，2122－x－2)1－k(x，3x(2，7)分别代入y＝－2x －4)把点(－1，、无论k取何值，等式总成立，

2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)上，(3，7)总在抛物线y＝－k)x 4)即点(－1，、(22＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点(－1，4)、－即拋物线y＝(3k)x(2，7)．

归纳：

第一步：对含有变系数的项集中；

第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；

第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值y(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x，y)；000第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．

题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）

A. （1，3）

B. （1，0）

）0，1（－D. ）3，1（－ C.

解法一、特殊值法

依据：二次函数的图像随着m的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。如果这个抛物线群恒过某定点，则该抛物线群中的某两条特殊的抛物线也必过这一定点。

解：任意给m赋予两个特殊值，不妨设m=0和m=2。

则函数解析式变为：

。

联立方程组解得

中，无论把m为何值，等式总成立。

中所有的抛物线恒经过定点（1 所以，抛物线群，3）。

故应选A。

解法二、变换主元法依据：一元一次方程的解有三种情形：（1；）当a≠0时，方程有惟一解：（2）当a=b=0时，方程的解为全体实数；

（3）当a=0，b≠0时，方程无解。