鲈鱼数学建模实验报告

数学建模实验报告

姓名：胡斌学号：09015120

一、摘要

题目提供了哈德逊河鲈鱼的年龄分组、成年鱼的年龄、允许捕捞鱼的年龄段、各年龄段的鱼的存活率以及各组成年雌性鱼每年能产雌性后代的个数。题目初始数据是1970年各年龄组的鱼的数量。根据题目要求利用Leslie模型进行建模，找出鱼群总数的变化趋势。以及在条件变化影响出生率和存活率的情况下的鱼群情况。对于模型的简化，可以将存活率相同年龄组的鱼合并，将产雌性鱼的个数累加。

二、问题重述

著名哈德逊河的鲈鱼生活在大西洋,但是每年游到哈德逊河产卵。由于哈德逊河流域工业的发展引起重大的污染,使得河水温度升高,影响了产卵率和成活率。为了了解工业污染对鲈鱼的影响,将鲈鱼分成16个年龄组:

0~1年(卵)，1~2年(游鱼)，2龄鱼，3龄鱼，…，15龄鱼.

已知5~15年龄的鱼为成年鱼，允许捕捞3~15年龄的鱼.考虑自然死亡及捕捞等原因，得各年龄组的成活率P k及每个雌性个体所产雌性后代F k的统计资料如下：

已知1970年各年龄组的鱼数(单位：千条)为

X(0)=（5.21∗10^7,1100,443,266,213,136,77,44,25,14,8,5,3,1,1,1）T （1）在所给条件下，求L矩阵的模最大特征值及稳定的年龄分布.

（2）假设生态条件不变，讨论何时鲈鱼达到稳定的年龄分布(精确到小数点后2位)

（3）假设由于工业污染使卵的成活率降低25%，幼鱼的成活率降低15%，成年鱼的成活率降低10%，对鲈鱼年龄分布结构进行特征分析，并预测种群的发展趋势：经过几年后，可

捕捞的鱼数减半.

（4） 能否将模型简化？对简化的模型进行特征值分析，并讨论

达到稳定的年龄分布的时间.将所得结果与(1)，(2)进行比

较。

三、 模型假设

1. 将时间离散化，假设雌雄鱼数目的性别为1：1

2. 各年的出生率和存活率不变

3. 不考虑生存空间等自然资源的制约，不考虑意外灾难等因素对鱼数目变化的影响

四、 分析与建立模型

由题目给的初始条件，即1970年初始鱼数目的矩阵，以及各年龄段与的出生率和死亡率，并且只考虑了雌性鱼的数目发展变化，我们可以知道，各年龄段的鱼的数目是相互影响的，并且可以用Leslie 建立模型。我们假设第K 年总的鱼数目为X(k)，第K 年第m 年龄组的鱼的数目为x m (k).

根据以上分析我们可得到方程

X(k)= （x 0(k )，x 1(k)，x 2(k)，…，x 15(k)）T

x 0(k +1)=∑F k i 15i=0x i (k)

x i (k +1)= P k x i−1(k)，i=1，2，…，15

写成矩阵形式为

n(k +1)=Ln(k)，

其中，

L=

F

k0F k1⋯F k14F k15

P k

0 ⋯0 0

0 ⋯0

0 P k

1

⋮⋱⋱ ⋱⋮

0 ⋯0 P k

14

即L=

0 0 0 0 0 80110 162700 212700 267900 326400 38600 444500 499700 549600 592200 592200

2.12*10^-5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.3965 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.8000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6387 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5688 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5688 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5688 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5688 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5688 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5688 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5688 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5688 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5688 记

X(0)=（x0(0)，x1(0)，x(0)，…，x15(0)）T

X(0)=（5.21∗10^7,1100,443,266,213,136,77,44,25,14,8,5,3,1,1,1）T

L矩阵的正特征根是唯一的、单重的，若记之为λ0，则其对应的

一个特征向量为

x∗=（1,P k0

λ0，

P k

P k

1

λ02

，…，

P k

P k

1

…P k

14

λ015

）

T

且λ0满足，对于任意矩阵L的特征根λ1，必有|λ1|≤λ0.

当k趋近于无穷时，lim

k→∞X(k)

λ0k

=c x∗,

其中，c是与X(0)有关的常数.

即当k充分大时，有

X(k)≈cλ0k x∗.

记βi=F k

i P k

P k

1

…P k

14

，q(λ)=β0

λ

+β1

λ2

+…+β15

λ16

，则λ是L的非零特征根的

充分必要条件为

q(λ)=1,

所以当时间充分大时，雌性鱼的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定状态，而各个年龄组的鱼的数目按照λ0−1的比例的增长，所以有如下结论

（1）当λ0＞1时，鱼数目最终是递增的.

（2）当λ0＜1时，鱼数目最终是递减的.

（3）当λ0=1时，鱼数目是稳定的.

当由于工业污染的影响，使不同年龄组的鱼的成活率降低的时候，只需要改变相应的F k和P k的大小，使用同样的模型进行求解。五、模型求解

（1）利用matlab中的eig函数求矩阵的特征值，从特征值中选取最大的即为矩阵的最大特征值λ0.

在matlab中输入如下指令