五年高考真题(数学理)10.5二项分布与正态分布

第五节二项分布与正态分布

考点一条件概率与相互独立事件的概率

1．(2015·新课标全国Ⅰ，4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )

A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312

解析该同学通过测试的概率为p＝0.6×0.6＋C12×0.4×0.62＝0.648.

答案 A

2．(2014·新课标全国Ⅱ，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )

A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45

解析由条件概率可得所求概率为0.6

0.75

＝0.8，故选A.

答案 A

3.(2011·湖南，15)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则

(1)P(A)＝________.

(2)P(B|A)＝________.

解析圆的半径为1，正方形的边长为2，∴圆的面积为π，正方形面积为2，

扇形面积为π

4

.故P(A)＝

2

π

，

P(B|A)＝P（A∩B）

P（A）＝

1

2

π

2

π

＝

1

4

.

答案(1)2

π(2) 1 4

4．(2014·陕西，19)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；

(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．

解(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，

因为利润＝产量×市场价格－成本，

所以X所有可能的取值为

500×10－1 000＝4 000，500×6－1 000＝2 000，

300×10－1 000＝2 000，300×6－1 000＝800.

P(X＝4 000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，

P(X＝2 000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，

所以X的分布列为

(2)设C i表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i＝1，2，3)，

由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，

P(C i)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)，

3季的利润均不少于2 000元的概率为

P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；

3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋

P(C1C2C3)＝3×0.82×0.2＝0.384，

所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.

5．(2013·辽宁，19)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．

(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；

(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是3

5，答对每道乙类题的概率都是4

5

，且各题答对与否相互独立．用

X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．

解 (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”． 因为P (A )＝

C 36

C 310＝1

6

， 所以P (A )＝1－P (A )＝5

6

.

(2)X 所有的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 02·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫350·⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫252·15＝4125； P (X ＝1)＝C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫251·15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252·45＝28125； P (X ＝2)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫250·15＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫251·45＝57125； P (X ＝3)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎪

⎫250·45＝

36125. 所以X 的分布列为：

所以E (X )＝0×4

125＋1×28

125＋2×57

125＋3×36

125

＝2.

6．(2012·山东，19)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34

，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为2

3

，

每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． (1)求该射手恰好命中一次的概率；

(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E (X )．

解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知P (B )＝3

4，P (C )＝P (D )＝2

3

，由于A ＝B C D ＋B C D ＋

B C D ，根据事件的独立性和互斥性得P (A )＝P (B C D ＋B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D )＋P (B C D )

＝P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎪

⎫1－23＋

⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫1－23×23＝7

36. (2)根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5. 根据事件的独立性和互斥性得

P (X ＝0)＝P (B C D )

＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝(1－34)×⎝

⎛⎭⎪⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23＝136，

P (X ＝1)＝P (B C D )