五年高考真题(数学理)10.5二项分布与正态分布
二项分布和正态分布的关系
二项分布和正态分布的关系二项分布和正态分布是概率统计中常用的两种分布。
虽然它们的形态不同，但是它们之间有着密切的关系。
二项分布是指在n次独立重复试验中，成功的次数服从参数为n和p的二项分布。
其中，p表示每次试验成功的概率。
二项分布的形态呈现出一种类似梯形的形状。
当试验次数越多，成功概率越小时，梯形的左侧越陡峭，右侧越平缓。
这种形态的分布，适合描述二元事件的概率分布，如抛硬币正反面的概率分布等。
而正态分布则是一种具有对称性的连续概率分布。
其形态呈现出钟形曲线的形状。
正态分布的均值和方差是其分布的两个重要参数。
在实际应用中，许多自然现象和人类行为都可以用正态分布来描述。
例如，身高、体重等连续变量的分布，以及IQ、学习成绩等离散变量的分布等。
二项分布和正态分布之间的关系，主要体现在以下两个方面：1.大样本情况下，二项分布可以近似为正态分布当试验次数n足够大，成功概率p足够小（或足够大），二项分布可以近似为正态分布。
这是因为，二项分布的期望和方差分别为np 和np(1-p)，当n足够大时，np和n(1-p)都足够大，从而使得二项分布的形态逐渐接近于正态分布。
这种近似关系，可以用中心极限定理来证明。
2.正态分布可以用来近似计算二项分布的概率由于二项分布的计算比较繁琐，而且在一些情况下，二项分布的参数也不易确定，因此可以用正态分布来近似计算二项分布的概率。
具体方法是，将二项分布的期望和方差分别用正态分布的均值和方差进行替换，从而得到一个近似的正态分布。
需要注意的是，这种近似计算方法的精度，取决于二项分布的参数和正态分布的均值和方差的选择。
一般来说，当试验次数n足够大时，正态分布的均值和方差可以分别取为np和np(1-p)，此时的近似效果较好。
二项分布和正态分布之间存在着密切的关系。
在实际应用中，可以根据具体问题的特点，选择合适的分布来描述概率分布，并采用相应的数学方法来求解问题。
同时，也需要注意分布的参数和近似方法的选择，以保证计算结果的准确性和可靠性。
二项分布与正态分布
二项分布与正态分布二项分布与正态分布是概率统计学中两个重要的分布模型。
它们在实际应用中发挥着重要的作用，对于描述随机事件和现象的分布规律具有重要意义。
本文将分别介绍二项分布和正态分布的基本概念和性质，并对它们之间的关系进行探讨。
一、二项分布二项分布是概率统计学中最基本的离散型概率分布之一。
它描述了在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。
其中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
试验次数n和成功次数X（取值范围为0到n）是二项分布的两个重要参数。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n, k)表示从n个物体中取出k个的组合数。
二项分布具有以下性质：1. 期望和方差：二项分布的期望为E(X) = np，方差为Var(X) = np(1-p)。
2. 归一性：二项分布的概率之和为1，即∑P(X=k) = 1，其中k的取值范围为0到n。
二、正态分布正态分布是概率统计学中最重要的连续型概率分布之一。
它以钟形曲线的形式描述了大量随机变量分布的特征。
正态分布由两个参数决定，即均值μ和标准差σ。
正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，exp表示自然指数函数，sqrt表示开方。
正态分布具有以下性质：1. 对称性：正态分布呈现出关于均值对称的特点，即其左右两侧的曲线是镜像关系。
2. 均值和方差：正态分布的均值即为μ，方差即为σ^2。
3. 中心极限定理：当样本容量较大时，多个独立随机变量的均值近似服从正态分布。
三、二项分布与正态分布的关系在一些情况下，二项分布可以近似看作正态分布。
当试验次数n较大，成功概率p较接近0.5时，二项分布的概率分布形状逐渐接近于正态分布。
根据中心极限定理，当n足够大时，二项分布的均值和方差趋近于正态分布的均值和方差，因此可以用正态分布来近似描述二项分布的概率分布。
2025高考数学一轮复习-10.8-二项分布与正态分布-专项训练【含解析】
2025高考数学一轮复习-10.8-二项分布与正态分布-专项训练【原卷版】1．已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝2，D (X )＝43，则p ＝()A ．34B ．23C ．13D ．142．某高三学生进行心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为45，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为()A ．512625B ．256625C ．64625D ．641253．为加强体育锻炼，让运动成为习惯，某校进行了一次体能测试，这次体能测试满分为100分，从高三年级抽取1000名学生的测试结果，已知测试结果ξ服从正态分布N (70，σ2)．若ξ在(50,70)内取值的概率为0．4，则ξ在90分以上取值的概率为()A ．0．05B ．0．1C ．0．2D ．0．44．已知随机变量ξ，η满足ξ～B (2，p )，η＋2ξ＝1，且P (ξ≤1)＝34，则D (η)的值为()A ．0B ．1C ．2D ．35．(多选)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X ，则()A ．X ～B ．P (X ＝2)＝881C ．E (X )＝83D ．D (X )＝896．(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N (μ1，σ21)，N (μ2，σ22)，其态分布密度曲线正态分布密度曲线是函数f (x )＝12πσ，x ∈(－∞，＋∞)如图所示，则下列说法正确的是()A ．甲类水果的平均质量为0．4kgB ．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右C ．平均质量分布在[0．4,0．8]时甲类水果比乙类水果占比大D ．σ2＝1．997．已知随机变量ξ～B (6，p )，且E (ξ)＝2，则D (3ξ＋2)＝________．8．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5，其中A 的各位数字中，a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，则启动一次出现的数字A 中恰有两个0的概率为________．9．在某市2021年6月的高中质量检测考试中，高二年级学生的数学成绩服从正态分布N (98,100)．已知参加本次考试的全市高二年级学生约100000人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第________名．(参考数值：P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0．6827，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0．9545，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0．9973)10．羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为34，乙选手在每回合中得分的概率为14．(1)在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求再经过4回合比赛甲获胜的概率；(2)在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．11．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是1625，则该射手每次射击的命中率为()A ．925B ．25C ．35D ．3412．如图，在网格状小地图中，一机器人从A (0,0)点出发，每秒向上或向右行走1格到相应顶点，已知向上的概率是23，向右的概率是13，则6秒后到达B (4,2)点的概率为()A ．16729B ．80243C ．4729D ．2024313．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p (0<p <1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求E (X )；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？2025高考数学一轮复习-10.8-二项分布与正态分布-专项训练【解析版】1．已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝2，D (X )＝43，则p ＝()A ．34B ．23C ．13D ．14解析：C由随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．又E (X )＝2,D (X )＝43，所以np ＝2，np (1－p )＝43，解得p ＝13，故选C ．2．某高三学生进行心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为45，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为()A ．512625B ．256625C ．64625D ．64125解析：A4次独立重复实验，故概率为C ·15＋C ＝512625．3．为加强体育锻炼，让运动成为习惯，某校进行了一次体能测试，这次体能测试满分为100分，从高三年级抽取1000名学生的测试结果，已知测试结果ξ服从正态分布N (70，σ2)．若ξ在(50,70)内取值的概率为0．4，则ξ在90分以上取值的概率为()A ．0．05B ．0．1C ．0．2D ．0．4解析：B∵ξ服从正态分布N (70，σ2)，∴正态曲线的对称轴是直线x ＝70，∴ξ在(70,100)内取值的概率为0．5．∵ξ在(50,70)内取值的概率为0．4，∴ξ在(70,90)内取值的概率为0．4，则ξ在90分以上取值的概率为0．5－0．4＝0．1．故选B ．4．已知随机变量ξ，η满足ξ～B (2，p )，η＋2ξ＝1，且P (ξ≤1)＝34，则D (η)的值为()A ．0B ．1C ．2D ．3解析：C因为随机变量ξ满足ξ～B (2，p )，P (ξ≤1)＝34，所以有P (ξ≤1)＝C 02(1－p )2＋C 12p (1－p )＝1－p 2＝34，即p ＝12．则D (ξ)＝2×12＝12，η＝1－2ξ，D (η)＝4D (ξ)＝2．故选C ．5．(多选)袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X ，则()A ．X ～B ．P (X ＝2)＝881C ．E (X )＝83D ．D (X )＝89解析：ACD从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，所以随机变量X 服从二项分布X ～故A 正确；X ＝2，则其概率为P (X ＝2)＝C ＝827，故B 错误；因为X ～所以X 的期望E (X )＝4×23＝83，故C 正确；因为X ～所以X 的方差D (X )＝4×23×13＝89，故D 正确．故选A 、C 、D ．6．(多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N (μ1，σ21)，N (μ2，σ22)，其正态分布密度曲线正态分布密度曲线是函数f (x )＝12πσ，x ∈(－∞，＋∞)说法正确的是()A ．甲类水果的平均质量为0．4kgB ．甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于平均值左右C ．平均质量分布在[0．4,0．8]时甲类水果比乙类水果占比大D ．σ2＝1．99解析：ABC由题图可知，甲类水果的平均质量为μ1＝0．4kg ，故A 正确；由图可知，甲类水果的质量分布比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B 正确；由图可看出平均质量分布在[0．4,0．8]时甲类水果比乙类水果占比大，故C 正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数满足12πσ2＝1．99，则σ2≠1．99，故D 错误，故选A 、B 、C ．7．已知随机变量ξ～B (6，p )，且E (ξ)＝2，则D (3ξ＋2)＝________．解析：因为ξ～B (6，p )，所以E (ξ)＝n ·p ＝6·p ＝2，解得p ＝13D (ξ)＝n ·p ·(1－p )＝2·23＝43，所以D (3ξ＋2)＝9D (ξ)＝12．答案：128．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5，其中A 的各位数字中，a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，则启动一次出现的数字A 中恰有两个0的概率为________．解析：根据题意，A 中恰有两个0的概率，即在a 2，a 3，a 4，a 5四个数中恰好有2个0,2个1，则A 中恰有两个0的概率P ＝C ＝827．答案：8279．在某市2021年6月的高中质量检测考试中，高二年级学生的数学成绩服从正态分布N (98,100)．已知参加本次考试的全市高二年级学生约100000人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第________名．(参考数值：P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0．6827，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0．9545，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0．9973)解析：因为考试的成绩X 服从正态分布N (98,100)，所以μ＝98，σ＝10，所以，108＝μ＋σ，则P (X ≥108)＝P (X ≥μ＋σ)＝1－P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)2＝0．15865，数学成绩为108分的学生大约排在全市第100000×0．15865＝15865名．答案：1586510．羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打用羽毛和软木刷制作而成的一种小型球类的室内运动项目．羽毛球比赛的计分规则：采用21分制，即双方分数先达21分者胜，3局2胜．每回合中，取胜的一方加1分．每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜，否则继续比赛；若双方打成29平后，一方领先1分，即算该局取胜．某次羽毛球比赛中，甲选手在每回合中得分的概率为34，乙选手在每回合中得分的概率为14．(1)在一局比赛中，若甲、乙两名选手的得分均为18，求再经过4回合比赛甲获胜的概率；(2)在一局比赛中，记前4回合比赛甲选手得分为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．解：(1)记再经过4回合比赛，甲获胜为事件A ，可知甲在第4回合胜，前3回合胜2场，所以P (A )＝34×C ＝81256．(2)易知X 的取值为0,1,2,3,4，且X ～P (X ＝0)＝C ＝1256，P (X ＝1)＝C ×34＝364，P (X ＝2)＝C ＝27128，P (X ＝3)＝C ＝2764，P (X ＝4)＝C ＝81256，所以X 的分布列为X 01234P125636427128276481256数学期望E (X )＝np ＝4×34＝3．11．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是1625，则该射手每次射击的命中率为()A ．925B ．25C ．35D ．34解析：C设该射手射击命中的概率为p ，两次射击命中的次数为X ，则X ～B (2，p )，由题可知：P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝1625，即C 02p 0(1－p )2＋C 12p (1－p )＝1625，解得p ＝35．故选C ．12．如图，在网格状小地图中，一机器人从A (0,0)点出发，每秒向上或向右行走1格到相应顶点，已知向上的概率是23，向右的概率是13，则6秒后到达B (4,2)点的概率为()A ．16729B ．80243C ．4729D ．20243解析：D根据题意可知，机器人每秒运动一次，则6秒共运动6次，若其从A (0,0)点出发，6秒后到达B (4,2)，则需要向右走4步，向上走2步，故其6秒后到达B 的概率为C 26＝60729＝20243．13．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解：(1)因为20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2·(1－p)18，所以f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0．1．当p∈(0,0．1)时，f′(p)>0；当p∈(0．1,1)时，f′(p)<0．所以f(p)的最大值点为p0＝0．1．(2)由(1)知，p＝0．1．①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0．1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y．所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490．②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．由于E(X)>400，故应该对余下的产品作检验．。
二项分布与正态分布详解
在二项分布和正态分布中的应用举例
二项分布参数估计
正态分布参数估计
二项分布假设检验
正态分布假设检验
对于二项分布B(n, p)，可以使 用样本比例作为成功概率p的 点估计。同时，根据二项分布 的性质，可以构造出p的置信 区间进行区间估计。
对于正态分布N(μ, σ^2)，可 以使用样本均值作为总体均值 μ的点估计，样本方差作为总 体方差σ^2的点估计。同样地 ，可以构造出μ和σ的置信区间 进行区间估计。
02
通过对二项分布和正态分布进行深入剖析，探讨它们之间的联
系和区别，以便更好地理解这两种分布。
为后续概率论与数理统计学习打下基础
03
二项分布和正态分布是概率论与数理统计中的重要内容，掌握
它们对于后续学习具有重要意义。
预备知识
概率论基础知识
要理解二项分布和正态分布，首先需要具备概率论的基础知识， 如事件、概率、随机变量等概念。
正态分布转化为二项分布的条件
在实际应用中，如果某个连续型随机变量可以取整数值，且这些整数值出现的概率可以 用二项分布来描述，那么可以将这个连续型随机变量近似为二项分布。但需要注意的是
，这种转化通常需要在一定的精度范围内进行。
实际应用中的选择依据
• 在实际应用中，选择使用二项分 布还是正态分布通常需要考虑以 下因素：首先，需要判断随机变 量是离散的还是连续的；其次， 需要考虑随机变量所描述的实际 情况是否符合二项分布或正态分 布的定义和性质；最后，还需要 考虑样本量大小、数据分布情况 等因素来选择最合适的分布类型 进行建模和分析。
方差
正态分布的方差等于其标准差的平方，即D(X)=σ^2。
正态分布的应用举例
01 02
质量控制
二项分布与正态分布
二项分布与正态分布二项分布（Binomial Distribution）和正态分布（Normal Distribution）是统计学中常用的两种分布类型，它们在描述概率和随机变量的分布特征上有着重要的应用。
一、二项分布二项分布是一种离散概率分布，适用于两个互斥事件（成功和失败）发生的多次独立重复实验。
每个实验的结果只有两种可能性，并且各试验之间的概率不会发生变化。
该分布以两个参数来描述：n（实验次数）和p（事件成功的概率）。
二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中X为成功事件发生的次数，k为取值范围，C(n, k)表示组合数。
例如，某外卖平台的数据显示，在送达100份订单中，正好有20份遇到问题，成功率为0.2。
如果我们想要了解在送达下一个订单时会出现多少问题的概率分布，我们就可以使用二项分布来计算。
二、正态分布正态分布是一种连续概率分布，也被称为高斯分布。
在统计学中，正态分布常常用来描述一组数据中心性的表现，其图形呈钟形曲线。
正态分布由两个参数来描述：均值（μ）和标准差（σ^2）。
正态分布的概率密度函数为f(x) = 1 / (σ * √(2π)) * exp(-(x-μ)^2 /2σ^2)，其中x为取值范围。
例如，在考试成绩分析中，如果我们知道某门考试的平均分是80分，标准差是10分，我们就可以使用正态分布来计算不同分数段的比例和概率。
三、二项分布与正态分布的关系当二项分布的参数n（实验次数）足够大，同时p（事件成功的概率）也足够接近0.5时，二项分布可以近似地用正态分布来描述。
根据中心极限定理（Central Limit Theorem），当样本容量足够大时，无论数据服从什么分布，其样本均值的分布均近似服从正态分布。
由于二项分布和正态分布之间的关系，我们可以利用正态分布的性质对二项分布进行近似计算。
这种近似计算可简化复杂的二项分布计算，并提高效率。
二项分布与正态分布
二项分布与正态分布随机现象在统计学中起着重要的作用，而其中最常见的概率分布是二项分布和正态分布。
本文将对二项分布和正态分布进行详细的论述，以便更好地理解和运用它们。
一、二项分布二项分布是指在n次相互独立的伯努利试验中，成功的次数所服从的概率分布。
每一次试验只有两种可能的结果，记为"成功"和"失败"。
例如，扔一枚硬币正面朝上为成功，反面朝上为失败。
随机变量X表示成功的次数，则X满足二项分布B(n, p)，其中n表示试验的次数，p表示每次试验成功的概率。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n, k)表示组合数。
二项分布的特点是每次试验都是相互独立的，并且成功的概率为p。
二、正态分布正态分布是最常见的连续型概率分布之一，也被称为高斯分布。
正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))其中，μ表示均值，σ表示标准差。
正态分布的特点是呈钟形曲线，均值μ决定了曲线的中心位置，标准差σ决定了曲线的形状。
正态分布在自然界和人类社会中广泛存在，例如人的身高、智力测验成绩等。
根据统计学的中心极限定理，当试验次数足够多时，二项分布的近似分布趋近于正态分布。
三、二项分布与正态分布的关系当试验次数n较大、成功的概率p接近于0.5时，二项分布可以近似地看作是正态分布。
这是因为中心极限定理的影响，当试验次数n趋近于无穷时，二项分布的形态越来越接近正态分布。
这使得我们可以利用正态分布对二项分布进行近似计算，简化问题的解决过程。
四、应用举例1. 计算二项分布的概率：假设某产品的质量合格率为0.8，每次抽检3个产品，问其中有2个合格的概率是多少？根据二项分布的公式，代入n=3，k=2，p=0.8，可以计算出概率为2.88%。
2. 近似计算二项分布：假设某超市每天卖出的某种商品数目服从二项分布，已知每个顾客买到该商品的概率为0.2，每天有100名顾客来购买。
知识讲解_高考总复习：二项分布与正态分布(基础)
高考总复习：二项分布与正态分布【考纲要求】一、二项分布及其应用1、了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2、理解n次独立重复试验的模型及二项分布；3、能解决一些简单的实际问题。
二、正态分布利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
【知识网络】【考点梳理】考点一、条件概率1．条件概率的定义设A、B为两个事件，且P（A）＞0，称P（B|A）=P（AB）/P（A）为在事件A发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
要点诠释：条件概率不一定等于非条件概率。
若A，B相互独立，则P（B|A）=P（B）。
2．条件概率的性质①0≤P（B|A）≤1；②如果B、C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）。
考点二、独立重复试验及其概率公式1．事件的相互独立性设A、B为两个事件，如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立。
2.判断相互独立事件的方法(1)利用定义:事件A、B相互独立，则P(AB)=P(A)·P(B)；反之亦然。
(2)利用性质:A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B , A 与B 也都相互独立. (3)具体模型①有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的.②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验. 要点诠释：要明确“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的含义。
已知两个事件A 、B ，则A 、B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ； A 、B 都发生的事件为AB ； A 、B 都不发生的事件为AB ；A 、B 恰有一个发生的事件为AB ∪AB ；A 、B 中至多有一个发生的事件为AB ∪AB ∪AB 。
3．独立重复试验 （1）独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，即若用(1,2,,)i A i n =表示第i 次试验结果，则123123()()()()()n n P A A A A P A A A A =（2）独立重复试验的概率公式如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：()(1)k k n k n n P k C P p -=-。
二项分布与正态分布
二项分布与正态分布在概率统计学中，二项分布和正态分布是两个非常重要的概率分布。
二项分布是描述离散型随机变量的分布，而正态分布则是描述连续型随机变量的分布。
本文将对二项分布和正态分布进行详细介绍和比较。
一、二项分布二项分布是由进行多次独立的二元实验而引起的概率分布。
在每次实验中，结果只有两种可能，成功或失败，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
进行n次实验后，成功的次数就构成了一个二项分布。
二项分布的概率质量函数可以用公式表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个实验中取出k个成功的组合数，p表示成功的概率，(1-p)表示失败的概率。
二、正态分布正态分布又称为高斯分布，是自然界中非常常见的一种连续型概率分布。
正态分布的概率密度函数在数学上表达为：f(x) = (1/σ√(2π)) * e^-(x-μ)^2/(2σ^2)其中，μ表示分布的均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底。
正态分布的形状是一个钟形曲线，呈现对称性，并且均值、中位数、众数都位于曲线中心。
三、二项分布与正态分布的关系当二项分布中的实验次数n足够大，并且成功的概率p足够接近于0.5时，二项分布可以近似地用正态分布来描述。
这是由于中心极限定理的作用，即大量相互独立的随机变量的和近似服从正态分布。
具体来说，当n比较大时，二项分布的均值μ=n*p和方差σ^2=n*p*(1-p)的值也比较大。
而正态分布的均值和方差可以通过对二项分布的均值和方差进行适当的变换得到。
当n趋近于无穷大时，二项分布与正态分布的差别越来越小，因此可以用正态分布来近似描述二项分布。
四、应用场景二项分布常用于描述二元实验的结果，比如投掷硬币的结果、产品的合格率等。
通过对二项分布进行分析，可以计算出实验成功的概率、失败的概率以及在一定实验次数下成功的期望次数。
而正态分布则广泛应用于自然和社会科学的各个领域。
由于其对称性和中心极限定理的作用，正态分布可以用于描述和分析连续型随机变量的分布情况。
推荐 二项分布、正态分布、数学期望、方差 真题练习
1，已知随机事件ξ服从正态分布()2σμ，N ，且()8.04=<ξP ，则()=<<40ξPA ．6.0B ．4.0 C. 3.0 D ．2.02，已知随机事件ξ服从正态分布()13，N ，且()6826.040=<<ξP ，则()=<4ξP A ．1588.0 B ．1587.0 C. 1586.0 D ．1585.03，从中5,4,3,2,1任取两个不同的数，事件A ：取到的两个数之和为偶数；事件B ：取到的两个数都是偶数。
则()=A B P /A ．81B ．41 C. 52 D ．21 4，若随机变量个概率分布密度函数为()()82,2221+-=x e x πϕσμ，则()=-12x E _________5，设随机变量⎪⎭⎫ ⎝⎛21,6~B X ，则==)3(X P A ．165 B ．163 C. 85 D ．83 6，小王通过英语测试的概率是31，他连续测试三次，那么其中恰有一次通过的概率为 A ．94 B ．92 C. 274 D ．272 7，国庆节放假，甲去北京旅游的概率为31，乙、丙去北京旅游的概率分别为5141，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么期间至少一人去北京旅游的概率为A ．6059B ．53 C. 21 D ．6018，设554432110,1010=≤<<<≤x x x x x ，随机变量1ξ的取值54321,x x x x x ，，，的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++，，，，的概率也均为2.0，若记21,ξξD D 分别为1ξ，2ξ的方差，则A ．21ξξD D >B ．21ξξD D = C. 21ξξD D < D ．无法确定 9，若()p n B X ,~，且3,6==DX EX ，则()1=X P 的值为（ ）A ．2-23⋅B ．4-2 C. -1023⋅ D ．8-210，签盒中有编号为6,54,3,2,1，的六只签，从中任意取出3支签，设X 为这三支签中号码最大的一个，则X 的数学期望为（ ）A ．5B ．25.5 C. 8.5 D ．6.411，设随机变量的概率分布规律为()()()()R a n n n a n X P ∈=+==4,3,2,11，则⎪⎭⎫ ⎝⎛<<2521X P 的值为 A ．32 B ．43 C. 54 D ．65。
【考点归纳分析与分层精选精练】第三节第1讲 二项分布与正态分布(原卷及解析)高考数学复习(全国通用)
【考点分析】 第三节 二项分布与正态分布【考点一】 相互独立事件的概率【典型例题1】甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116.(1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．【解析】 (1)设“甲投一次球命中”为事件A ，“乙投一次球命中”为事件B . 由题意得：P (B －)P (B －)＝116，于是P (B －)＝14或P (B －)＝－14(舍去)．故p ＝1－P (B －)＝34.(2)法一：由题设知，P (A )＝12，P (A －)＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为1－P (A －·A －)＝34.法二：由题设知，P (A )＝12，P (A －)＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为C 12P (A )P (A －)＋P (A )P (A )＝34.【答案】 (1)34 (2)34【归纳总结】 利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解．【考点二】 条件概率【典型例题2】(1)现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为( )A.310 B.25 C.12D.35(2)2020年疫情的到来给人们生活学习等各方面带来种种困难．为了顺利迎接高考，某省制定了周密的毕业年级复学计划．为了确保安全开学，全省组织毕业年级学生进行核酸检测的筛查．学生先到医务室进行咽拭子检验，检验呈阳性者需到防疫部门做进一步检测．已知随机抽一人检验呈阳性的概率为0.2%，且每个人检验是否呈阳性相互独立，假设该疾病患病率为0.1%，且患病者检验呈阳性的概率为99%.若某人检验呈阳性，则他确实患病的概率为( )A ．0.99%B ．99%C ．49.5%D ．36.5%【解析】 (1)法一：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝3×2A 2535＝12.故选C.法二：在第1次抽到理科题的条件下，还有2道理科题和2道文科题，故在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为12.故选C.(2)设A 为“某人检验呈阳性”，B 为“此人患病”，则“某人检验呈阳性时他确实患病”为B |A ，由题意知P (B |A )＝P (AB )P (A )＝99%×0.1%0.2%＝49.5%，故选C.【答案】 (1)C (2)C【归纳总结】 条件概率的求法1．定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P (AB )P (A )求P (B |A )2．基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A )3．缩样法：缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简【考点三】 独立重复试验与二项分布【典型例题3】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列及数学期望．【解析】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X～B(3,0.6)，X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216.故X的分布列为E(X)＝3×0.6＝1.8.【答案】(1)0.108 (2)见解析【归纳总结】1．独立重复试验满足的条件独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．2．二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．3．与二项分布有关的期望、方差的求法(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b).【考点四】 正态分布【典型例题4】为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程，某企业每天从该生产线上随机抽取10 000个零件，并测量其内径(单位：cm)．根据长期生产经验，认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X 服从正态分布N (μ，σ2)．如果加工的零件内径小于μ－3σ或大于μ＋3σ均为不合格品，其余为合格品．(1)假设生产状态正常，请估计一天内抽取的10 000个零件中不合格品的个数； (2)若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利；若生产的某件产品为不合格品则该件产品亏损．已知每件产品的利润L (单位：元)与零件的内径X 有如下关系：L ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5，X <μ－3σ，4，μ－3σ≤X <μ－σ，6，μ－σ≤X ≤μ＋3σ，－5，X >μ＋3σ.求该企业一天从生产线上随机抽取10 000个零件的平均利润．附：若随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 5，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 3.【解析】 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 3，从而抽取一个零件为不合格品的概率为0.002 7，因此一天内抽取的10 000个零件中不合格品的个数约为 10 000×0.002 7＝27.(2)结合正态分布曲线和题意可知： P (X <μ－3σ)＝0.001 35，P (μ－3σ≤X <μ－σ)＝12(0.997 3－0.682 7)＝0.157 3，P (μ－σ≤X ≤μ＋3σ)＝0.997 3－0.157 3＝0.840 0， P (X >μ＋3σ)＝0.001 35，故随机抽取10 000个零件的平均利润为：10 000L ＝10 000(－5×0.001 35＋4×0.157 3＋6×0.840 0－5×0.001 35)＝56 557元． 【答案】 (1)27 (2)56 557元【归纳总结】 正态分布下两类常见的概率计算(1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.注意下面结论的活用：①对任意的a ，有P (X ＜μ－a )＝P (X ＞μ＋a )； ②P (X ＜x 0)＝1－P (X ≥x 0)；③P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．。
二项分布、超几何分布与正态分布 2025年高考数学基础专项复习
则X的分布列为P(X=k)=C pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).
一般地,如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).
教材素材变式
1
1.2
1.［人B选必二P83练习B第4题变式］设随机变量 ∼ , 0.4 , = 2 + 2，若 = 6，则 =___.
+ ) − 60 = 0,得
1
= 3，解得 = 3，故 = 2.所以 − = 1.
1
，
6
=1 =
C14 C15
C29
=
5
，
9
=0 =
C25
C29
5
= 18，所以
［多选］袋中有除颜色外完全相同的2个黑球和8个红球，现从中随机取出3个，记其中黑球的数量为，红球的数
量为，则以下结论正确的是(
贰
超几何分布
教材知识萃取
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取
−
定义 的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=C C−,k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,M∈N*,M≤N,
C
超几何
分布
n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M},此时称随机变量X服从超几何分布.
3.［多选］［人A选必三P81习题7.4第3题变式］某计算机程序每运行一次都会随机出现一个五位二进制数
1
2
= 1 2 3 4 5 （例如10100），其中1 = 1， = 2,3,4,5 出现0的概率为3,出现1的概率为3，记
高考数学考点突破——随机变量及其分布(理科专用)：二项分布与正态分布
二项分布与正态分布【考点梳理】1．条件概率2．事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立. (2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立，P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A ).3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，其中A i (i ＝1，2，…，n )是第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n ).(2)二项分布在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率.4．正态分布 (1)正态分布的定义如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2).其中φμ，σ(x )()222x μσ-- (σ>0).(2)正态曲线的性质①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826； ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974. 【考点突破】考点一、条件概率【例1】(1)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则P(B |A )＝________.(2)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )A ．110B ．15C ．25D ．12 [答案] (1) 14(2) C[解析] (1)由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π.事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×12π×12＝12π.故P (B |A )＝P ABP A ＝12π2π＝14.(2)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1512＝25.故选C.【类题通法】1. 利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ），这是求条件概率的通法.2. 借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n （AB ）n （A ）.【对点训练】1．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A ．18B ．14C ．25D ．12 [答案] B[解析] 法一 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝11025＝14.法二 事件A 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即n (AB )＝1. 故由古典概型概率P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝14.2．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球、4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( )A ．35B ．59C ．110D ．25 [答案] B[解析] 第一次摸出新球记为事件A ，则P (A )＝35，第二次取到新球记为事件B ，则P (AB )＝C 26C 210＝13，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1335＝59. 考点二、相互独立事件同时发生的概率【例2】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． [解析] (1)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为：(2)设Y 率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.【类题通法】求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.②正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.【对点训练】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.[解析] 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35，P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立.(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ， 于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100，120，220，因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13 ×25＝215， P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315＝15， P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415， P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25.故所求的分布列为【例3】空气质量指数(AirQuality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；300以上为严重污染.一环保人士记录去年某地六月10天的AQI 的茎叶图如图.(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI ≤100)的天数；(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为ξ，求ξ的分布列.[解析] (1)从茎叶图中可以发现样本中空气质量为优的天数为2，空气质量为良的天数为4，∴该样本中空气质量为优良的频率为610＝35，从而估计该地六月空气质量为优良的天数为30×35＝18.(2)由(1)估计某天空气质量为优良的概率为35，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，35. ∴P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125，P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫35⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝36125， P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫25＝54125，P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125，ξ的分布列为【类题通法】利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.【对点训练】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值.由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65)，[65，75)，[75，85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75)内的产品件数为X，求X的分布列.[解析] (1)设这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为x，则落在区间[55，65)，[65，75)内的频率分别为4x，2x.依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05.所以这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.05.(2)由(1)得，这些产品质量指标值落在区间[45，75)内的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率得p＝0.6.从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X服从二项分布B(n，p)，其中n＝3，p＝0.6.因为X的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X＝0)＝C03×0.60×0.43＝0.064，P(X＝1)＝C13×0.61×0.42＝0.288，P (X ＝2)＝C 23×0.62×0.41＝0.432， P (X ＝3)＝C 33×0.63×0.40＝0.216，所以X 的分布列为【例4】(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)＝( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2(2)某班有50名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N (100，102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数约为________．[答案] (1) C (2) 10[解析] (1)画出正态曲线如图，结合图象知：P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝1－P (ξ<4)＝1－0.8＝0.2，P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝12[1－P (ξ<0)－P (ξ>4)]＝12(1－0.2－0.2)＝0.3.(2)由题意，知P (ξ>110)＝1－2Pξ2＝0.2，所以该班学生数学成绩在110分以上的人数约为0.2×50＝10. 【类题通法】对于正态分布N (μ，σ2)，由x ＝μ是正态曲线的对称轴知：(1)对任意的a ，有P (X <μ－a )＝P (X >μ＋a )；(2)P (X <x 0)＝1－P (X ≥x 0)；(3)P (a <X <b )＝P (X <b )－P (X ≤a )．【对点训练】1．设随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P (ξ<2)＝0.8，则P (0<ξ<1)的值为________． [答案] 0.3[解析] P (0<ξ<1)＝P (ξ<2)－P (ξ<1)＝0.8－0.5＝0.3.2．某地高三理科学生有15 000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)，已知P (80<ξ≤100)＝0.35，若按成绩分层抽样的方式抽取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取( )A ．5份B ．10份C ．15份D ．20份 [答案] C[解析] ∵数学成绩ξ服从正态分布N (100，σ2)，P (80<ξ≤100)＝0.35，∴P (80<ξ≤120)＝2×0.35＝0.70，∴P (ξ>120)＝12×(1－0.70)＝0.15，∴应抽取的份数为100×0.15＝15.。
2020-2021学年高考数学(理)考点：二项分布与正态分布
需对当天的生产过程进行检查？剔除 ( 3 , 3 ) 之外的数据，用剩下的数据估计 和
（精确到 0.01) ．
附：若随机变量 Z 服从正态分布 N (, 2 ) ，则 P( 3 Z 3 ) 0.9974 ，
0.997416 0.9592 ， 0.008 0.09 ． 【解析】（1）由题可知尺寸落在 ( 3 , 3 ) 之内的概率为 0.9974，
4 落入阴影部分的点的个数的估计值为 40000 0.1359 1359 ．
4 故选 B ．
7．（2020•辽宁三模）已知随机变量 X 服从正态分布 N (2, 2 ) ，且 P(0„ X„ 2) 0.3 ，则
P( X 4) ( )
A．0.6 【答案】B
B．0.2
C．0.4
【解析】由随机变量 X 服从正态分布 N (2, o2 ) ，
这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.26
9.91
10.13 10.02
9.22
10.04 10.05
10.04 9.95
真题演练
1．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机 抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位： cm) ．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状 态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N (, 2 ) ． （1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的 零件数，求 P( X…1) 及 X 的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在
二项分布与正态分布习题理含答案
一、选择题1．某人参加一次考试,4道题中解对3道即为及格,已知他的解题正确率为0.4,则他能及格的概率是A．0.18 B．0.28C．0.37 D．0.48答案A解析C0.43·0.6＋C·0.44＝0.1792.故应选A.2．某气象站天气预报的准确率为80%,则5次预报中至少有4次准确的概率为A．0.2 B．0.41C．0.74 D．0.67答案C解析设事件A为“预报一次,结果准确”P＝PA＝0.8,至少有4次准确这一事件是下面两个互斥事件之和：5次预报,恰有4次准确；5次预报,恰有5次准确,故5次预报,至少有4次准确的概率为P54＋P55＝C×0.84×0.2＋C×0.85×0.20≈0.74.故应选C.3．2011·湖北理,5已知随机变量ξ服从正态分布N2,σ2,且Pξ<4＝0.8,则P0<ξ<2＝A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2答案C解析本题考查利用正态分布求随机变量的概率．∵Pξ<4＝0.8,∴Pξ≥4＝0.2,又μ＝2,∴P0<ξ<2＝P2<ξ<4＝0.5－Pξ≥4＝0.5－0.2＝0.3.4．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率是.质点P移动五次后位于点2,3的概率是A．5B．C5C．C3D．CC5答案B解析由于质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点2,3,所以质点P必须向右移动二次,向上移动三次,故其概率为C3·2＝C5＝C5.故应选B.5．在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是A．0.4,1 B．0,0.6C．0,0.4 D．0.6,1答案A解析CP1－P3≤C P21－P2,41－P≤6P,P≥0.4,又0<P<1,∴0.4≤P<1.6．如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3的三种正态曲线N0,σ2的图像,那么σ1、σ2、σ3的大小关系是A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3答案D解析当μ一定时,曲线由σ确定,当σ越小,曲线越高瘦,反之越矮胖．故选D.二、填空题7．在某项测量中,测量结果X服从正态分布N1,σ2σ>0．若X在0,1内取值的概率为0.4,则X在0,2内取值的概率为________．答案0.8解析∵X～N1,σ2,X在0,1内取值概率为0.4,∴X在1,2内取值的概率也为0.4.∴X在0,2内取值的概率为0.8.8．在一次抗洪抢险中,准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐,已知只有5发子弹备用,首次命中只能使汽油流出,再次命中才能引爆成功,每次射击命中率都是,每次命中与否互相独立,求油罐被引爆的概率______．答案解析记“油罐被引爆”的事件为事件A,其对立事件为,则P＝C4＋5∴PA＝1－C4＋5＝.三、解答题9．2011年12月底,一考生参加某大学的自主招生考试,需进行书面测试,测试题中有4道题,每一道题能否正确做出是相互独立的,并且每一道被该考生正确做出的概率都是.1求该考生首次做错一道题时,已正确做出了两道题的概率；2若该考生至少正确做出3道题,才能通过书面测试这一关,求这名考生通过书面测试的概率．解析1记“该考生正确做出第i道题”为事件Ai i＝1,2,3,4,则PAi＝,由于每一道题能否被正确做出是相互独立的,所以这名考生首次做错一道题时,已正确做出了两道题的概率为PA1A23＝PA1·PA2·P3＝××＝.2记“这名考生通过书面测试”为事件B,则这名考生至少正确做出3道题,即正确做出3道题或4道题,故PB＝C×3×＋C×4＝.一、选择题1．2010·山东理已知随机变量X服从正态分布N0,σ2,PX>2＝0.023,则P－2≤X≤2＝A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.977答案C解析∵PX>2＝0.023,∴PX<－2＝0.023,故P－2≤X≤2＝1－PX>2－PX<－2＝0.954.2．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定义数列{an}：an ＝,如果Sn为数列{an}的前n项和,那么S7＝3的概率为A．C2·5B．C2·5C．C2·5D．C2·5答案B解析有放回地每次摸取一个球,摸到红球的概率为,摸到白球的概率为,这是一个独立重复试验．S7＝3,说明共摸7次,摸到白球比摸到红球多3次,即摸到白球5次,摸到红球2次,所以S7＝3的概率为C2·5.二、填空题3．将1枚硬币连续抛掷5次,如果出现k次正面的概率与出现k＋1次正面的概率相同,则k的值是________．答案2解析由C k5－k＝C k＋14－k,得k＝2.4．某射手射击1次,击中目标的概率是0.9,他连续射击4次,且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中正确结论的序号是________写出所有正确结论的序号．答案①③解析本小题主要考查独立事件的概率．“射手射击1次,击中目标的概率是0.9”是指射手每次射击击中目标的概率都是0.9,由于他各次射击是否击中目标相互之间没有影响,因此他在连续射击4次时,第1次、第2次、第3次、第4次击中目标的概率都是0.9,①正确；“他恰好击中目标3次”是在4次独立重复试验中有3次发生,其概率是C×0.93×0.1,②不正确；“他至少击中目标1次”的反面是“1次也没有击中”,而“1次也没有击中”的概率是0.14,故至少击中目标1次的概率是1－0.14,③正确．三、解答题5．有甲、乙、丙3批饮料,每批100箱,其中各有一箱是不合格的,从3批饮料中各抽出一箱,求：1恰有一箱不合格的概率；2至少有一箱不合格的概率．解析记抽出“甲饮料不合格”为事件A,“乙饮料不合格”为事件B,“丙饮料不合格”为事件C,则PA＝0.01,PB＝0.01,PC＝0.01.1从3批饮料中,各抽取一箱,恰有一箱不合格的概率为P＝PBC＋PAC＋PAB ＝0.01×0.992＋0.01×0.992＋0.01×0.992≈0.029.2各抽出一箱都合格的概率为0.99×0.99×0.99≈0.97.所以至少有一箱不合格的概率为1－0.97≈0.03.6．2010·全国卷Ⅰ投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审,则予以录用；若两位初审专家都未予通过,则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5,复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审．1求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；2记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数,求X的分布列及期望．分析本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想．1“稿件被录用”这一事件转化为事件“稿件能通过两位初审专家的评审”和事件“稿件能通过复审专家的评审”的和事件,利用加法公式求解．2X服从二项分布,结合公式求解即可．解析1记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D表示事件：稿件被录用．则D＝A＋B·C,而PA＝0.5×0.5＝0.25,PB＝2×0.5×0.5＝0.5,PC＝0.3故PD＝PA＋B·C＝PA＋PB·PC＝0.25＋0.5×0.3＝0.4.2X～B4,0.4,X的可能取值为0,1,2,3,4且PX＝0＝1－0.44＝0.1296PX＝1＝C×0.4×1－0.43＝0.3456PX＝2＝C×0.42×1－0.42＝0.3456PX＝3＝C×0.43×1－0.4＝0.1536PX＝4＝0.44＝0.0256故其分布列为期望EX＝4×0.4＝1.6.7．甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．1求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率；2求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；3假设某人连续2次未击中目标,则中止其射击．问：乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少.由题意,解析1记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1射击4次相当于作4次独立重复试验．故PA＝1－P＝1－4＝,1所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为.2记“甲射击4次,恰有2次击中目标”为事件A,“乙射击4次,恰有3次2击中目标”为事件B,则2PA＝C×2×1－4－2＝；2PB2＝C×3×1－4－3＝.由于甲、乙射击相互独立,故PA2B2＝PA2·PB2＝×＝.所以两人各射击4次,甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.3记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A3,“乙第i次射击未击中”为事件Dii＝1,2,3,4,5,则A3＝D5D4＋D1＋D2,且PDi＝.由于各事件相互独立,故PA3＝PD5PD4PP＋D1＋D2＝×××1－×＝.所以乙恰好射击5次后被中止射击的概率为.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五节二项分布与正态分布考点一条件概率与相互独立事件的概率1．(2015·新课标全国Ⅰ，4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312解析该同学通过测试的概率为p＝0.6×0.6＋C12×0.4×0.62＝0.648.答案 A2．(2014·新课标全国Ⅱ，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45解析由条件概率可得所求概率为0.60.75＝0.8，故选A.答案 A3.(2011·湖南，15)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝________.(2)P(B|A)＝________.解析圆的半径为1，正方形的边长为2，∴圆的面积为π，正方形面积为2，扇形面积为π4.故P(A)＝2π，P(B|A)＝P（A∩B）P（A）＝12π2π＝14.答案(1)2π(2) 1 44．(2014·陕西，19)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．解(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，因为利润＝产量×市场价格－成本，所以X所有可能的取值为500×10－1 000＝4 000，500×6－1 000＝2 000，300×10－1 000＝2 000，300×6－1 000＝800.P(X＝4 000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P(X＝2 000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，所以X的分布列为(2)设C i表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i＝1，2，3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(C i)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.82×0.2＝0.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.5．(2013·辽宁，19)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．解 (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”． 因为P (A )＝C 36C 310＝16， 所以P (A )＝1－P (A )＝56.(2)X 所有的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 02·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252·15＝4125； P (X ＝1)＝C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫251·15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252·45＝28125； P (X ＝2)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫250·15＋C 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫251·45＝57125； P (X ＝3)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫250·45＝36125. 所以X 的分布列为：所以E (X )＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.6．(2012·山东，19)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． (1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E (X )．解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，由于A ＝B C D ＋B C D ＋B C D ，根据事件的独立性和互斥性得P (A )＝P (B C D ＋B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D )＋P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23×23＝736. (2)根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5. 根据事件的独立性和互斥性得P (X ＝0)＝P (B C D )＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝(1－34)×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23＝136，P (X ＝1)＝P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＝34×⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23＝112，P (X ＝2)＝P (B C D ＋B C D ) ＝P (B C D )＋P (B C D ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23×23＝19， P (X ＝3)＝P (BC D ＋B C D ) ＝P (BC D )＋P (B C D )＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23×23＝13，P (X ＝4)＝P (BCD )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－34×23×23＝19，P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13.故X 的分布列为所以E (X )＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.7．(2011·大纲全国，18)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．解设A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.(2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，X～B(100，0.2)，即X服从二项分布，所以期望E(X)＝100×0.2＝20.考点二正态分布1．(2015·湖南，7)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4.A．2 386 B．2 718 C．3 413 D．4 772 解析由X～N(0，1)知，P(－1＜X≤1)＝0.682 6，∴P(0≤X≤1)＝12×0.682 6＝0.341 3，故S≈0.341 3.∴落在阴影部分中点的个数x估计值为x10 000＝S1(古典概型)，∴x＝10 000×0.341 3＝3 413，故选C.答案 C2．(2015·山东，8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( ) (附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%解析由题意，知P(3＜ξ＜6)＝P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3）2＝95.44%－68.26%2＝13.59%.答案 B3．(2014·新课标全国Ⅰ，18)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.(ⅰ)利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；(ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用(ⅰ)的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x－＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)(ⅰ)由(1)知，Z～N(200，150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.(ⅱ)由(ⅰ)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100，0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26. 4．(2013·湖北，20)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502) 的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4.)(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆，若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解(1)由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，故有μ＝800，σ＝50，P(700<X≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋P(800<X≤900)＝12＋12P(700<X≤900)＝0.977 2.(2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1 600x＋2 400y.实用标准文案文档 依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0.由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y .作可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7，14)，R (15，6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆，B 型车12辆．。