线性代数第五章相似矩阵与二次型

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线性代数第五章相似矩阵与二次型第1节

就正交。
显然，零向量与任何向量正交。
定义一组两两正交的非零向量，称为正交向量组。
定理如果 n 维向量 1, 2 ,..., m 为正交向量组，则1, 2 ,..., m 线性无关。
证明设有1，2，m 使11 2 2 ... m m 0
以
T 1
左乘上式两端，得
1
T 1
1
0
因1 0，故1T1 1 2 0，从而1 0。
1 3 1
4 6
1 2 1
5 3
1 1 ; 1
3
3
[ 3, 1] [1, 1]
1
[ 3, 2] [2, 2 ]
2
4 1 0
1
3
1 2 1
5
3
1 1 1
2 0
2
再把它们单位化，取
e1
1
1
1 6
1 2 , 1
e3
3
3
r1,n , 把1，r ,r1,n 正交规范化
就得到 Rn 的一个正交规范基。
五、正交矩阵与正交变换
定义若 n 阶方阵A 满足 AT A E (即A1 AT )
则称 A 是正交矩阵。
若记 A 1 2 n ，则 AT A可表示为：
12TT
1
2
n E
T n
即
iT j
1 0
当i 当i
四、施密特正交化方法
把基 1, 2 ,..., n 化成标准正交基的具体步骤：
先正交化：
令
1
，
1
2
2
[ 2 , [1,
1] 1]
1
3
3
2 i 1
[ 3 [i

大学线性代数课件相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型

|[, ] | [, ][ , ]
长为 1 的向量称为单位向量.
例1
01，
1
0
2
，
0
1
2
若向量
1
3
x ≠0 ,
则
1 x
x
1 都是3 维单位向量.
3
1
是单位向量.
3
例已知
1
2
2
,
3
,
1
1
0
0
计算两个向量单位化后的内积.
解：
12 22 (1)2 02
1 0 2
所以A的特征值为 1 2,2 3 1
当 1 2解齐次线性方程组 (2E A)x 0 即
3x1 x2 0 4x1 x2 0 x1 0
3 1 0 1 0 0
由
2E
A
4 1
1 0
00
0 0
1 0
0 0
0
得基础解系
p1
10
故对应于 1 2的全体特征向量为 k1 p1(k1 0)
y yT y xT PT Px xT x x
说明经正交变换向量长度保持不变，这是正交变换的优良特性．
2 方阵的特征值特征向量
内容分布一、特征值与特征向量二、特征值与特征向量的性质
基本要求会求特征值与特征向量
2.1 特征值与特征向量
定义8 设A是n阶方阵，如果数和n维非零向量x使
量为
k11 k22 kss （k1, ···,ks不同时为0）
例1 求矩阵
A
2 1
解： A的特征方程为
1 2
的特征值和特征向量
2 1
| E A |

线性代数第五章相似矩阵及二次型

1.2正交向量组与施密特正交化方法
b1 ,b2 , ,br1 ,br 是正交向量组．由
b1
,br
b1
,ar
b1 ,ar b1 ,b1
b1
b2 b2
br 1 ,ar br 1 ,br 1
br 1
,ar ,b2
b2
由归纳假设知b1 分别与 b2 ,b3 , ,br 1 正交，故
a1 b1,
a2
b2
b1, a2 b1, b1
b1
,
1.2正交向量组与施密特正交化方法
ar
br
b1 ,ar b1 ,b1
b1
b2 b2
,ar ,b2
b2
br 1 ,ar br 1 ,br 1
br 1 .
于是得 a1 ,a2 , ,ar b1 ,b2 , ,br 与等价．
若再将 b1 ,b2 , ,br 单位化，并记为
a,b a1b1 a2b2 anbn aTb
1.1向量的内积
例2 设向量 1
a
0
,
2
3
3
b
2
1
,
求a,
b
1
解 a,b 13 0 2 2(1) 31 4
3
1
练习设向量
a
1 0
,
b
1 2
,
求
a,
b
2
3
解 a,b 3111 0 (2) 2 (3) 2
1 2 3
6 3
1 1 1
1 0 1
1.2正交向量组与施密特正交化方法
b3
a3
b1, a3 b1, b1
b1
b2 , b2 ,
a3 b2

线性代数课件第五章相似矩阵及二次型-第6节

应用三
在矩阵分解和矩阵求逆中，可以利用相似变换将一个复杂的问题转化为简单的问题，提高计算效率。
03
二次型
定义与性质
二次型是定义在一组数域上的一个多项式，其最高次项的次数为2。
二次型具有对称性，即对于任意实数x和y，有f(y,x)=f(x,y)。
二次型的系数矩阵是对称矩阵，即其转置矩阵等于其本身。
定义法
根据特征值的定义，通过解方程组$Ax = λx$来计算特征值和特征向量。
谱分解法
将矩阵A表示为若干个特征值的线性组合，即$A = λ1P1 + λ2P2 + ... + λnPn$，其中Pn是对应的特征向量组成的矩阵，λn是特征值。通过求解这个方程组可以得到特征值和特征向量。
特征值与特征向量的应用
答案
01
02
03
04
1. $A^2 = begin{bmatrix} 5 & 0 0 & 5 end{bmatrix}$
2. $B^3 = begin{bmatrix} 2 & -2 -1 & 1 end{bmatrix}$
3. $C^2 = begin{bmatrix} -1 & 0 0 & -1 end{bmatrix}$，
05
矩阵对角化
矩阵对角化的定义与性质
定义：如果存在可逆矩阵$P$，使得 $P^{-1}AP$为对角矩阵，则称矩阵$A$ 可对角化。
可对角化的矩阵$A$的行列式值等于其对角矩阵的行列式值。
可对角化的矩阵$A$的秩等于其对角矩阵的秩。
性质
可对角化的矩阵$A$的特征值都在对角线上。
矩阵对角化的判定
在求解线性方程组时，如果系数矩阵可对角化，可以利用对角化方法将方程组化为易于求解的形式。

第五章相似矩阵及二次型线性代数含答案

第五章相似矩阵及二次型5.4.1 基础练习 1. (1223),(3151),(,)αβαβ==∠求.2. 若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则1213A -⎛⎫⎪⎝⎭的一个特征值为 .3. 试证ｎ阶方阵Ａ的满足2A A =，则Ａ的特征值为0或者1.4.已知三维向量空间中，12(111),(121)TTαα==-正交，试求3123,,αααα，使得是三维向量空间的一个正交基.5. 已知向量1(111)T α=，求3R 的一个标准正交基.6. 已知122224242A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，问A 能否化为对角阵？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.7. 将二次型222123121323171414448f x x x x x x x x x =++---，通过正交变换x Py =化成标准型.8. 判别二次型()222123123121323,,55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定？5.4.2 提高练习1. 设n 阶实对称矩阵A 满足2A A =，且A 的秩为r ，试求行列式det(2E －A).2. 设460350361A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，问A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使得-1P AP 为对角阵.3. 已知实对称矩阵220212020A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，分别求出正交矩阵P ，使1P AP -为对角阵. 4. 化二次型()123121323,,f x x x x x x x x x =++为标准形，并求所作的可逆线性变换.5. 设A，B分别为m阶，n阶正定矩阵，试判定分块矩阵ACB⎛⎫= ⎪⎝⎭是否为正定矩阵？6. 判别二次型22256444f x y z xy xz=---++的正定性.7. 判断下列两矩阵A，B是否相似11100111100,111100nA B⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第五章参考答案5.4.1 基础练习 1.[,]cos ||||||||4αβπθθαβ===∴=2.34. 3.略.4. 设3123()0Tx x x α=≠，则[][]1223,0,,0αααα==，即 12313312321002001x x x x x x x x x α-⎛⎫++==-⎧⎧ ⎪⇒⇒=⎨⎨ ⎪-+==⎩⎩ ⎪⎝⎭5. 设非零向量23,αα都与2α正交，即满足方程11230,0T x x x x α=++=或者，其基础解系为： 12100,111ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，令 121321101,0,1111ααξαξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭1）正交化令 121122121111[,]1,0,[,]11βαβαβαβαββ⎛⎫⎛⎫⎪⎪===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1323233312321122221[,][,][,]12[,][,][,]21βαβαβαβαββαβββββββ-⎛⎫⎪=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭2）标准化令1||||i i i ςββ=，则1231111,0,2111ςςς-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎭⎭⎭6. 由2122224(2)(7)242A E λλλλλλ---=---=--+--得，1232,7λλλ===-将12λ=λ=2代入()1A-λE x=0，得方程组 12312312322024402440x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩解值得基础解系 12200,111αα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理，对3λ=-7，由()3A-λE x=0，求得基础解系()31,2,2Tα=，由于201120112≠，所以123,,ααα线性无关，即A 有3个线性无关得特征向量，因而A 可对角化，可逆矩阵为：123201(,,)012112P ααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭7. 第一步，写出对应得二次型矩阵，并求其特征值 172221442414A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭， ()()2172221441892414A E λλλλλλ---⎛⎫⎪-=---=-- ⎪⎪---⎝⎭，从而A 的全部特征值为1239,18λλλ===。

线性代数第五章相似矩阵及二次型

1 2
也是 R4 的一个规范正交基．
1 1 1 1
e1
0 0
,
e2
1 0
,
e3
1 1
,
e4
1
1
0
0
0
1
是 R4 的一个基，但不是规范正交基．
§1 向量的内积、长度及正交性
设 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个正交基，则V 中任意一
个向量可唯一表示为 x = l1e1 + l2e2 + …+ lrer
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量）时， [x, x] = 0；
当[xl x≠,0y（] 零(l向x量)T ）y 时l，xT[xy, x]l>( x0T．y) l[x, y] 施瓦兹（Schwarz）不等式 [ x y, z] ( x y)T z[x, (yx]2T ≤[yxT, )x]z[y,(yx]T．z) ( yT z) [ x, z] [ y, z]
y
x
§1 向量的内积、长度及正交性
定义：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组．
定理：若 n 维向量a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量，则 a1, a2, …, ar 线性无关．证明：设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = [a1, 0] = [a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar]
当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，
[x, y] 1≠ 0 且 y ≠ 0 时，把
arccos [ x, y]

线性代数第五章答案

k1a1k2a2 knranrl1b1l2b2 lnrbnr0 记 k1a1k2a2 knranr(l1b1l2b2 lnrbnr) 则k1 k2 knr不全为0 否则l1 l2 lnt不全为0 而
l1b1l2b2 lnrbnr0 与b1 b2 bnt线性无关相矛盾
因此 0 是A的也是B的关于0的特征向量所以A与B有公共的特征值有公共的特征向量
8 设A23A2EO 证明A的特征值只能取1或2 证明设是A的任意一个特征值 x是A的对应于的特征向量则
(A23A2E)x2x3x2x(232)x0 因为x0 所以2320 即是方程2320的根也就是说1或2
9 设A为正交阵且|A|1 证明1是A的特征值证明因为A为正交矩阵所以A的特征值为1或1 （需要说明）因为|A|等于所有特征值之积又|A|1 所以必有奇数个特征值为1 即1 是A的特征值
10 设0是m阶矩阵AmnBnm的特征值证明也是n阶矩阵BA的特征值证明设x是AB的对应于0的特征向量则有
(AB)xx 于是 B(AB)xB(x) 或 BA(B x)(Bx) 从而是BA的特征值且Bx是BA的对应于的特征向量
11 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A35A27A| 解令()3527 则(1)3 (2)2 (3)3是(A)的特征值故
|A35A27A||(A)|(1)(2)(3)32318
12 已知3阶矩阵A的特征值为1 2 3 求|A*3A2E| 解因为|A|12(3)60 所以A可逆故
A*|A|A16A1 A*3A2E6A13A2E 令()6132 则(1)1 (2)5 (3)5是(A)的特征值故 |A*3A2E||6A13A2E||(A)|
6 设A为n阶矩阵证明AT与A的特征值相同证明因为

线性代数第五章答案

线性代数第五章答案第五章相似矩阵及二次型1. 试用施密特法把下列向量组正交化:(1)=931421111) , ,(321a a a ;解根据施密特正交化方法,==11111a b ,-=-=101],[],[1112122b b b a b a b ,-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .(2)---=011101110111) , ,(321a a a .解根据施密特正交化方法,-==110111a b ,-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ?-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . 2. 下列矩阵是不是正交阵:(1)---121312112131211;解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.(2)------979494949198949891.解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明因为H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵.4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明因为A ,B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T ,(AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,故AB 也是正交阵.5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)----201335212;解 3)1(201335212||+-=-------=-λλλλλE A ,故A 的特征值为λ=-1(三重). 对于特征值λ=-1, 由----=+000110101101325213~E A ,得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 1, -1)T , 向量p 1就是对应于特征值λ=-1的特征值向量.(2)633312321;解 )9)(1(633312321||-+-=---=-λλλλλλλE A ,故A 的特征值为λ1=0, λ2=-1, λ3=9. 对于特征值λ1=0, 由=000110321633312321~A ,得方程A x =0的基础解系p 1=(-1, -1, 1)T , 向量p 1是对应于特征值λ1=0的特征值向量. 对于特征值λ2=-1, 由=+000100322733322322~E A ,得方程(A +E )x =0的基础解系p 2=(-1, 1, 0)T , 向量p 2就是对应于特征值λ2=-1的特征值向量. 对于特征值λ3=9, 由--???? ??---=-00021101113333823289~E A ,得方程(A -9E )x =0的基础解系p 3=(1/2, 1/2, 1)T , 向量p 3就是对应于特征值λ3=9的特征值向量.(3)0001001001001000.（和书后答案不同，以书后为主，但解题步骤可以参考）解22)1()1(001010010100||+-=----=-λλλλλλλE A ,故A 的特征值为λ1=λ2=-1, λ3=λ4=1. 对于特征值λ1=λ2=-1,由=+00000000011010011001011001101001~E A , 得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 0, 0, -1)T , p 2=(0, 1, -1, 0)T , 向量p 1和p 2是对应于特征值λ1=λ2=-1的线性无关特征值向量.对于特征值λ3=λ4=1, 由------=-00000000011010011001011001101001~E A , 得方程(A -E )x =0的基础解系p 3=(1, 0, 0, 1)T , p 4=(0, 1, 1, 0)T , 向量p 3和p 4是对应于特征值λ3=λ4=1的线性无关特征值向量.6. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 证明因为|A T -λE |=|(A -λE )T |=|A -λE |T =|A -λE |,所以A T 与A 的特征多项式相同, 从而A T 与A 的特征值相同.7.设n阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)<n,证明a与b有公共的特征值,有公共的特征向量.< p="">证明设R(A)=r,R(B)=t,则r+t<n.< p="">若a1,a2,,a n-r是齐次方程组A x=0的基础解系,显然它们是A的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.类似地,设b1,b2,,b n-t是齐次方程组B x=0的基础解系,则它们是B的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n,故a1,a2,,a n-r,b1,b2,,b n-t 必线性相关.于是有不全为0的数k1,k2,,k n-r,l1,l2,,l n-t,使k1a1+k2a2++k n-r a n-r+l1b1+l2b2++l n-r b n-r=0.记γ=k1a1+k2a2++k n-r a n-r=-(l1b1+l2b2++l n-r b n-r),则k1,k2,,k n-r不全为0,否则l1,l2,,l n-t不全为0,而l1b1+l2b2++l n-r b n-r=0,与b1,b2,,b n-t线性无关相矛盾.因此,γ≠0,γ是A的也是B的关于λ=0的特征向量,所以A与B有公共的特征值,有公共的特征向量.8.设A2-3A+2E=O,证明A的特征值只能取1或2.证明设λ是A的任意一个特征值,x是A的对应于λ的特征向量,则(A2-3A+2E)x=λ2x-3λx+2x=(λ2-3λ+2)x=0.因为x≠0,所以λ2-3λ+2=0,即λ是方程λ2-3λ+2=0的根,也就是说λ=1或λ=2.9.设A为正交阵,且|A|=-1,证明λ=-1是A的特征值.证明因为A为正交矩阵,所以A的特征值为-1或1.（需要说明）因为|A|等于所有特征值之积,又|A|=-1,所以必有奇数个特征值为-1,即λ=-1是A的特征值.10.设λ≠0是m阶矩阵A m?n B n?m的特征值,证明λ也是n阶矩阵BA的特征值.证明设x是AB的对应于λ≠0的特征向量,则有(AB)x=λx,于是B(AB)x=B(λx),或BA(B x)=λ(B x),从而λ是BA的特征值,且B x是BA的对应于λ的特征向量.11.已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, 3,求|A3-5A2+7A|.解令?(λ)=λ3-5λ2+7λ, 则?(1)=3, ?(2)=2, ?(3)=3是?(A )的特征值, 故 |A 3-5A 2+7A |=|?(A )|=?(1)??(2)??(3)=3?2?3=18.12. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |. 解因为|A |=1?2?(-3)=-6≠0, 所以A 可逆, 故 A *=|A |A -1=-6A -1, A *+3A +2E =-6A -1+3A +2E .令?(λ)=-6λ-1+3λ+2, 则?(1)=-1, ?(2)=5, ?(-3)=-5是?(A )的特征值, 故 |A *+3A +2E |=|-6A -1+3A +2E |=|?(A )|=?(1)??(2)??(-3)=-1?5?(-5)=25.13. 设A 、B 都是n 阶矩阵, 且A 可逆, 证明AB 与BA 相似.证明取P =A , 则P -1ABP =A -1ABA =BA ,即AB 与BA 相似.14. 设矩阵=50413102x A 可相似对角化, 求x .解由)6()1(50413102||2---=---=-λλλλλλx E A ,得A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=1.因为A 可相似对角化, 所以对于λ2=λ3=1, 齐次线性方程组(A -E )x =0有两个线性无关的解, 因此R (A -E )=1. 由-???? ??=-00030010140403101)(~x x E A r知当x =3时R (A -E )=1, 即x =3为所求.15. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值;解设λ是特征向量p 所对应的特征值, 则(A -λE )p =0, 即=???? ??-???? ??------0001112135212λλλb a ,解之得λ=-1, a =-3, b =0.(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 解由3)1(201335212||--=-------=-λλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=λ2=λ3=1. 由-???? ??----=-00011010111325211~r b E A知R (A -E )=2, 所以齐次线性方程组(A -E )x =0的基础解系只有一个解向量. 因此A 不能相似对角化.16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:(1)----020212022;解将所给矩阵记为A . 由λλλλ-------=-20212022E A =(1-λ)(λ-4)(λ+2),得矩阵A 的特征值为λ1=-2, λ2=1, λ3=4. 对于λ1=-2, 解方程(A +2E )x =0, 即0220232024321=----x x x , 得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得T)32 ,32 ,31(1=p .对于λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即0120202021321=-----x x x , 得特征向量(2, 1, -2)T , 单位化得T )32 ,31 ,32(2-=p . 对于λ3=4, 解方程(A -4E )x =0, 即0420232022321=-------x x x , 得特征向量(2, -2, 1)T , 单位化得T )31 ,32 ,32(3-=p . 于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(-2, 1, 4).(2)----542452222. （和书后答案不同，以书后答案为准，解题步骤可以参考）解将所给矩阵记为A . 由λλλλ-------=-542452222E A =-(λ-1)2(λ-10),得矩阵A 的特征值为λ1=λ2=1, λ3=10. 对于λ1=λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即=???? ?????? ??----000442442221321x x x , 得线性无关特征向量(-2, 1, 0)T 和(2, 0, 1)T , 将它们正交化、单位化得T 0) 1, ,2(511-=p , T 5) ,4 ,2(5312=p .对于λ3=10, 解方程(A -10E )x =0, 即=???? ?????? ??-------000542452228321x x x ,得特征向量(-1, -2, 2)T , 单位化得T )2 ,2 ,1(313--=p . 于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(1, 1, 10).17. 设矩阵------=12422421x A 与-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.解已知相似矩阵有相同的特征值, 显然λ=5, λ=-4, λ=y 是Λ的特征值, 故它们也是A 的特征值. 因为λ=-4是A 的特征值, 所以0)4(9524242425|4|=-=---+---=+x x E A ,解之得x =4.已知相似矩阵的行列式相同, 因为100124242421||-=-------=A , y y2045||-=-=Λ,所以-20y =-100, y =5.对于λ=5, 解方程(A -5E )x =0, 得两个线性无关的特征向量(1, 0, -1)T , (1, -2, 0)T . 将它们正交化、单位化得T )1 ,0 ,1(211-=p , T )1 ,4 ,1(2312-=p .对于λ=-4, 解方程(A +4E )x =0, 得特征向量(2, 1, 2)T , 单位化得T )2 ,1 ,2(313=p .于是有正交矩阵?--=23132212343102313221P , 使P -1AP =Λ. 18. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1,1, 0)T , 求A .解令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(2, -2, 1)=Λ, A =P ΛP -1.因为---=???? ??=--11011101101111111011P ,所以---???? ??-???? ??=Λ=-1101110111000200020111111101P P A------=244354332. 19. 设3阶对称阵A 的特征值为λ1=1, λ2=-1, λ3=0; 对应λ1、λ2的特征向量依次为p 1=(1, 2, 2)T , p 2=(2, 1, -2)T , 求A .解设=653542321x x x x x x x x x A , 则A p 1=2p 1, A p 2=-2p 2, 即 =++=++=++222222122653542321x x x x x x x x x , ---① =-+-=-+-=-+222122222653542321x x x x x x x x x . ---② 再由特征值的性质, 有x 1+x 4+x 6=λ1+λ2+λ3=0. ---③由①②③解得612131x x --=, 6221x x =, 634132x x -=,642131x x -=, 654132x x +=. 令x 6=0, 得311-=x , x 2=0, 323=x ,314=x , 325=x . 因此-=022********A . 20. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .解设=653542321x x x x x x x x x A .因为λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 所以有=???? ??1116111A , 即?=++=++=++666653542321x x x x x x x x x ---①. λ2=λ3=3是A 的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R (A -3E )=1. 利用①可推出--???? ??---=-331113333653542653542321~x x x x x x x x x x x x x x x E A .因为R (A -3E )=1, 所以x 2=x 4-3=x 5且x 3=x 5=x 6-3, 解之得x 2=x 3=x 5=1, x 1=x 4=x 6=4.因此=411141114A .21. 设a =(a 1, a 2, , a n )T , a 1≠0, A =aa T . (1)证明λ=0是A 的n -1重特征值;证明设λ是A 的任意一个特征值, x 是A 的对应于λ的特征向量, 则有A x =λx ,λ2x =A 2x =aa T aa T x =a T a A x =λa T ax , 于是可得λ2=λa T a , 从而λ=0或λ=a T a .设λ1, λ2, ? ? ?, λn 是A 的所有特征值, 因为A =aa T 的主对角线性上的元素为a 12, a 22, ? ? ?, a n 2, 所以a 12+a 22+ ? ? ? +a n 2=a T a =λ1+λ2+ ? ? ? +λn ,这说明在λ1, λ2, ? ? ?, λn 中有且只有一个等于a T a , 而其余n -1个全为0, 即λ=0是A 的n -1重特征值.(2)求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 解设λ1=a Ta , λ2= ? ? ? =λn =0.因为A a =aa T a =(a T a )a =λ1a , 所以p 1=a 是对应于λ1=a T a 的特征向量.对于λ2= ? ? ? =λn =0, 解方程A x =0, 即aa T x =0. 因为a ≠0, 所以a T x =0, 即a 1x 1+a 2x 2+ ? ? ? +a n x n =0, 其线性无关解为p 2=(-a 2, a 1, 0, , 0)T ,p 3=(-a 3, 0, a 1, , 0)T , ? ? ?,p n =(-a n , 0, 0, , a 1)T .因此n 个线性无关特征向量构成的矩阵为--=112212100), , ,(a a a aa a a nn n p p p . 22. 设-=340430241A , 求A 100. 解由)5)(5)(1(340430241||+---=----=-λλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=5, λ3=-5.对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(1, 0, 0)T . 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得特征向量p 2=(2, 1, 2)T . 对于λ1=-5, 解方程(A +5E )x =0, 得特征向量p 3=(1, -2, 1)T . 令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(1, 5, -5)=Λ, A =P ΛP -1, A 100=P Λ100P -1. 因为Λ100=diag(1, 5100, 5100),--=???? ??-=--1202105055112021012111P ,所以--???? ?????? ??-=12021050555112021012151100100100A-=1001001005000501501.23. 在某国, 每年有比例为p 的农村居民移居城镇, 有比例为q 的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n (x n +y n =1).(1)求关系式??=??++n n n n y x A y x 11中的矩阵A ;解由题意知x n +1=x n +qy n -px n =(1-p )x n +qy n , y n +1=y n +px n -qy n = px n +(1-q )y n , 可用矩阵表示为--=??? ??++n n n n y x q p q p y x 1111,因此--=q p q p A 11.(2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即??? ??=??? ??5.05.000y x , 求?n n y x .解由??=??++n n n n y x A y x 11可知??=??00y x A y x n n n . 由)1)(1(11||q p q p qp E A ++--=----=-λλλλλ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=r , 其中r =1-p -q .对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(q , p )T . 对于λ1=r ,解方程(A -rE )x =0, 得特征向量p 2=(-1, 1)T . 令??-==11) ,(21p q P p p , 则 P -1AP =diag(1, r )=Λ, A =P ΛP -1, A n =P Λn P -1.于是 11100111-??-??? ????? ??-=p q r p q A n n-??? ????? ??-+=q p r p q q p n 11001111+--++=n n n n qr p pr p qr q pr q q p 1,+--++=??? ??5.05.01n n n n n n qr p pr p qr q pr q q p y x ??-+-++=n n r p q p r q p q q p )(2)(2)(21.24. (1)设??--=3223A , 求?(A )=A 10-5A 9; 解由)5)(1(3223||--=----=-λλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=5.对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(21. 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(21-.于是有正交矩阵?-=111121P , 使得P -1AP =diag(1, 5)=Λ,从而A =P ΛP -1, A k =P Λk P -1. 因此?(A )=P ?(Λ)P -1=P (Λ10-5Λ9)P -1 =P [diag(1, 510)-5diag(1, 59)]P -1 =P diag(-4, 0)P -1-??? ??-??? ??-=1111210004111121-=??? ??----=111122222.(2)设=122221212A , 求?(A )=A 10-6A 9+5A 8.解求得正交矩阵为---=20223123161P , 使得P -1AP =diag(-1, 1, 5)=Λ, A =P ΛP -1. 于是?(A )=P ?(Λ)P -1=P (Λ10-6Λ9+5Λ8)P -1 =P [Λ8(Λ-E )(Λ-5E )]P -1=P diag(1, 1, 58)diag(-2, 0, 4)diag(-6, -4, 0)P -1 =P diag(12, 0,0)P -1---???? ?---=222033*********223123161----=4222112112. 25. 用矩阵记号表示下列二次型: (1) f =x 2+4xy +4y 2+2xz +z 2+4yz ; 解=z y x z y x f 121242121) , ,(.(2) f =x 2+y 2-7z 2-2xy -4xz -4yz ; 解-------=z y x z y x f 722211211) , ,(.(3) f =x 12+x 22+x 32+x 42-2x 1x 2+4x 1x 3-2x 1x 4+6x 2x 3-4x 2x 4.解------=432143211021013223111211) , , ,(x x x x x x x x f .26. 写出下列二次型的矩阵: (1)x x x ?=1312)(T f ;解二次型的矩阵为=1222A .(2)x x x=987654321)(T f .解二次型的矩阵为=975753531A .27. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3;解二次型的矩阵为=320230002A . 由)1)(5)(2(320230002λλλλλλλ---=---=-E A ,得A 的特征值为λ1=2, λ2=5, λ3=1. 当λ1=2时, 解方程(A -2E )x =0, 由=-0001002101202100002~E A ,得特征向量(1, 0, 0)T . 取p 1=(1, 0, 0)T . 当λ2=5时, 解方程(A -5E )x =0, 由-???? ??---=-0001100012202200035~E A ,得特征向量(0, 1, 1)T . 取T )21 ,21,0(2=p .当λ3=1时, 解方程(A -E )x =0, 由=-000110001220220001~E A ,得特征向量(0, -1, 1)T . 取T )21 ,21 ,0(3-=p .于是有正交矩阵T =(p 1, p 2, p 3)和正交变换x =T y , 使f =2y 12+5y 22+y 32.(2) f =x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 3x 4.解二次型矩阵为----=1101111001111011A . 由2)1)(3)(1(1101111001111011--+=--------=-λλλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=-1, λ2=3, λ3=λ4=1.当λ1=-1时, 可得单位特征向量T )21 ,21 ,21 ,21(1--=p .当λ2=3时, 可得单位特征向量T )21 ,21 ,21 ,21(2--=p . 当λ3=λ4=1时, 可得线性无关的单位特征向量T )0 ,21 ,0 ,21(3=p , T )21 ,0 ,21 ,0(4=p .于是有正交矩阵T =( p 1, p 2, p 3, p 4)和正交变换x =T y , 使f =-y 12+3y 22+y 32+y 42.28. 求一个正交变换把二次曲面的方程3x 2+5y 2+5z 2+4xy -4xz -10yz =1化成标准方程.解二次型的矩阵为----=552552223A .由)11)(2(552552223||---=-------=-λλλλλλλE A , 得A 的特征值为λ1=2,λ2=11, λ3=0, .对于λ1=2, 解方程(A -2E )x =0, 得特征向量(4, -1, 1)T , 单位化得)231 ,231 ,234(1-=p .对于λ2=11, 解方程(A -11E )x =0, 得特征向量(1, 2, -2)T , 单位化得)32 ,32 ,31(2-=p . 对于λ3=0, 解方程A x =0, 得特征向量(0, 1, 1)T , 单位化得)21 ,21,0(3=p .于是有正交矩阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(2, 11, 0), 从而有正交变换--=???? ??w v u z y x 21322312132231031234,使原二次方程变为标准方程2u 2+11v 2=1.29. 明: 二次型f =x T A x 在||x ||=1时的最大值为矩阵A 的最大特征值. 证明 A 为实对称矩阵, 则有一正交矩阵T , 使得TAT -1=diag(λ1, λ2, ? ? ?, λn )=Λ成立, 其中λ1, λ2, ? ? ?, λn 为A 的特征值, 不妨设λ1最大. 作正交变换y =T x , 即x =T T y , 注意到T -1=T T , 有 f =x T A x =y T TAT T y =y T Λy =λ1y 12+λ2y 22+ ? ? ? +λn y n 2. 因为y =T x 正交变换, 所以当||x ||=1时, 有||y ||=||x ||=1, 即y 12+y 22+ ? ? ? +y n 2=1.因此f =λ1y 12+λ2y 22+ ? ? ? +λn y n 2≤λ1,又当y 1=1, y 2=y 3=? ? ?=y n =0时f =λ1, 所以f max =λ1.30. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵. (1) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3;解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3 =(x 1+x 2-2x 3)2+4x 2x 3+2x 22+x 32 =(x 1+x 2-2x 3)2-2x 22+(2x 2+x 3)2.令 ??+==-+=323223211222x x y x y x x x y , 即+-==+-=323223211221225y y x y x y y y x , 二次型化为规范形f =y 12-y 22+y 32,所用的变换矩阵为--=12002102251C .(2) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3; 解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3 =(x 1+x 3)2+x 32+2x 2x 3; =(x 1+x 3)2-x 22+(x 2+x 3)2.令 +==+=32322311x x y x y x x y , 即+-==-+=3 23223211y y x y x y y y x ,二次型化为规范形f =y 12-y 22+y 32,所用的变换矩阵为--=110010111C .(3) f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3. 解 f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3.</n.<></n,证明a与b有公共的特征值,有公共的特征向量.<>。

相似矩阵与二次型

第5章相似矩阵与二次型
5.1 向量的内积、正交化方法 5.2 方阵的特征值与特征向量 5.3 相似矩阵 5.4 实对称矩阵的相似矩阵 5.5 二次型及其矩阵表示 5.6 二次型的标准形 5.7 正定二次型
5.1 向量的内积、正交化方法
5.1.1向量的内积
定义1 设有 n 维向量
a1
a2
,
arccos ,
称为 n 维向量与的夹角.
当 , 0 时,称向量与正交.
显然,零向量与任何向量都正交.
5.3.3正交向量组
定义3 一组两两正交的非零向量组,称为正交向量组.
两两正交的单位向量组,称为单位正交向量组, 记作e1, e2 ,L , em
正交向量组有下列性质：
组的一个基础解系 1, 2,L , n ， (A iE)x 0
1,2 ,L ,nr ，(设 R( A iE) r ) 则 c11 c22 L cnr nr (c1, c2 ,L , cnr 不全为零)
为对应于 i 的全部特征向量.
例3
求矩阵
A
2 1
1
2
的特征值与特征向量.
解：
2 AE
1
2
5.1.5 正交矩阵
定义4 如果n 阶矩阵A 满足 AT A E,那么称 A
为正交矩阵，简称正交阵．
例如： 1 0
0
1
cos
sin
1
0
0
0
1 2
1
2
0
1 2
1 2
都是正交矩阵．
sin
cos
正交矩阵有下列性质：
性质1 若 A为正交阵，那么 A 是可逆阵,且
A1 AT , A 1 或－１; 性质2 若 A为正交阵，那么 AT 是正交阵；

《线性代数》第五章相似矩阵及二次型精选习题及解答

故， β 3 = ( −
1 3
1 3
1 3
1) T ⇒ γ 3 =
β3 3 = (− 6 β3
3 6
3 3
3 T ) 2
⎛ 3 2 4⎞ ⎜ ⎟ 例 5.3 计算 3 阶矩阵 A＝ 2 0 2 的全部特征值和特征向量. ⎜ ⎟ ⎜ 4 2 3⎟ ⎝ ⎠
n n
f ( x) = xT Ax ，其中 A T = A .
6．熟悉矩阵 A 合同（或相合）于 B 的定义，理解合同关系是等价关系. 7．熟练掌握化二次型 xT Ax 为平方和（标准形）或求实对称矩阵 A 的相合标准形的 3 种方法：正交变换法；配方法；和同型初等行、列变换法. 8．了解惯性定理，会求矩阵 A 的正、负惯性指数和符号差，会求二次型的规范形. 9．熟练掌握正定二次型（正定矩阵）的定义和判别方法. 10．熟悉实对称矩阵 A 正定（二次型正定）的各种等价命题（正定的充要条件）. 11．理解 A 正定的必要条件： a ii > 0( i = 1, 2, L , n ); det( A ) > 0 . 12．会利用正交变换化二次型为标准型和极坐标平移方法判别一般二次曲线和曲面的类型.
故 A 是正交矩阵. 例 5.2 已知向量 α 1 = (1,1, 0, 0 ) , α 2 = (1, 01, 0 ) , α 3 = ( − 1, 0, 0,1) 是线性无关向
T T T
量组，求与之等价的正交单位向量组. 解法一先正交化，再单位化 (1) 取 β 1 =
α1
(2) 令 β 2 = k β 1 + α 2 ，使得 β2 与 β 1 正交
T −1 ∗
5.3 例题分析
例 5.1 设 a 是 n 阶列向量， E 是 n 阶单位矩阵，证明 A = E −

同济大学线性代数课件__第五章相似矩阵及二次型

p3
0 4
30
设
1 0 1
P ( p1, p2 , p3 ) 0 1 0
1 1 4
则
1
P 1AP 2
2
31
性质：若l 是 A 的特征值, 即 Ax = lx (x≠0)，则
(1) kl 是 kA 的特征值(k是常数)，且 kAx = klx (2) lm 是 Am 的特征值(m是正整数)，且 Amx = lmx (3) 若 A可逆，则l-1是 A-1的特征值, 且 A-1x = l-1x
16
定义4 若 n 阶矩阵 A 满足 A A E 则称 A 为正交矩阵, 且 A1 A
令 A (1,2 , ,n )
A
A
1
2
(1
,
2
,
n
,n
)
11
21
n1
故
[i , j ] i j
ij
1, 0,
i i
j j
1 2 2 2
n 2
1 n 2 n
nn
17
特征值及二次型问题是线性代数的重要问题。
[ x ty, x ty] 0, t [ x, x] 2[ x, y]t [ y, y]t 2 0
(1) [ x, y ] = [ y, x ]; [ x, y]2 [x, x][ y, y]
(2) [lx, y] = l[ x, y ];
(3) [ x + y, z ] = [ x, z ] + [ y, z ];
解: (1) A2 2A 3E 有特征值 l 2 2l 3
(2) 3阶阵 A有特征值 1, -1, 2，故 | A | 2，A可逆。 A 3A 2E 有特征值 -1，-3，3

《线性代数》第五章相似矩阵与二次型第6节

正交变换在相似矩阵中应用
正交变换在相似矩阵中的应用主要体现在通过正交变换将一个矩阵对角化，从而简化矩阵的运算和分析。
具体应用包括：利用正交变换化二次型为标准型、利用正交变换求矩阵的特征值和特征向量等。
典型例题分析与解答
例题1
设A是n阶实对称矩阵，证明存在正交矩阵P，使得 P^(-1)AP为对角矩阵。
二次型标准形求解步骤
配方法
通过配方将二次型化为标准形，即平方和的形式。
正交变换法
通过正交变换将二次型化为标准形，其中变换矩阵是正交矩阵。
特征值法
通过求解对称矩阵的特征值和特征向量，将二次型化为标准形。
二次型与对称矩阵关系
二次型与对称矩阵一一对应
每个二次型都唯一对应一个对称矩阵，反之亦然。
二次型的性质与对称矩阵的性质密切相关
《线性代数》第五章相似矩阵与二次型第6节
目录
• 相似矩阵基本概念与性质 • 二次型及其标准形 • 惯性定理与规范形 • 正交变换与正交矩阵 • 相似矩阵对角化与实对称矩阵对角化 • 课程总结与拓展延伸
01 相似矩阵基本概念与性质
相似矩阵定义及表示方法
定义
设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使$P^{-1}AP=B$，则称B是A的相似矩阵，或说A和B相似。
正定性。
解答
通过配方或正交变换法，可以求得该二次型的标准形为 $y_1^2 + y_2^2 + 5y_3^2$。
解答
通过求解对应的对称矩阵的特征值，可以判断该二次型不是正定的，因为存在负特征值。
03 惯性定理与规范形
惯性定理内容及其证明
惯性定理内容
设A,B为n阶实对称矩阵，若A与B合同，则A与B的正惯性指数相等，负惯性指数也相等。

线性代数第五章相似矩阵与二次型第3节

k 1
k
k 2
(1 )
,则
()
0
k n
0
0
(2 )
0
0 0
(n )
利用上述结论可以很方便计算矩阵A 的多项式 ( A)
定理若n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A与 B 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。证明: 因 A 与 B 相似，所以有可逆矩阵P,使
P 1 AP B 故 E B P1(E)P P1AP P1(E A)P
1
1
1
则有
5
P 1 AP 1
1
（3）直接计算 A100 比较麻烦，但由
5 P 1 AP
1
可得
1
5 A P
1
P 1 1
5 则 A100 P 1
100P 1 易求11 1 1P 1
1
2
1 1
3
1
2
1
于是
5 A100 P
1
100
P 1
特征向量,
故存在可逆矩阵
P
2
, 使得
P
1 2
B
P
2
,
从而
P
1 1
A P1
P
1 2
B
P2,
即
P2
P
1
1
A
P1
P
2
1
B,
故A与B相似.
于是有 Api i pi i 1,2,, n.
可见 i 是A的特征值,而P的列向量 pi 就是 A的对应于特征值i的特征向量.
反之, 如果 n 阶方阵 A 有n 个线性无关的特征向量，
P1, P2 ,, Pn 满足 APi iPi ,

线性代数第五章(答案)

第五章相似矩阵及二次型一、是非题（正确打√，错误打×）1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组kαα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. (√)2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. (√)3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. (√)4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. (√)5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. (√)6．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ，则2是n n A ⨯的一个特征值. (×) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. (×) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. (×) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . (√) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式).(√)11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. (×) 12. T A 与A 的特征值相同. (√)13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. (×) 14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B有相同的特征值. (√)15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. (√)16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. (√) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. (√)18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. (√)19. 实对称阵A 与对角阵 Λ相似：Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵。

线性代数之相似矩阵及二次型

λ − a22 ⋯
⋯ λ − ann
= λn − c1λn − 1 + c 2 λn − 2 + ⋯ + ( −1) n − 1 c n − 1λ + ( −1) n c n
特征多项式，特征方程。称为 A 的特征多项式，而 f (λ ) = λE − A = 0 称为 A 的特征方程。
-18-
性质
对特征值 i , 解(λi E − A) X = 0, 得基础解系 1 ,⋯,αr λ α
λi所对应的特征向量为 k1α1 +⋯+ krαr , k1 ,⋯, kr不全为零
-20-
−1 1 0 例：求矩阵 A = −4 3 0 的特征值和全部特征向量的特征值和全部特征向量. 1 0 2
1 b3 1 1 = ξ3 = b3 6 − 2 0
-13-
六、正交矩阵定义若 n 阶方阵 A 满足 AT A = E , 则称 A 为正交矩阵正交矩阵. 例4 验证(1)旋转矩阵是正交矩阵验证旋转矩阵是正交矩阵
cos ϕ A= sin ϕ − sin ϕ cos ϕ
T 0 ⇒ α1 α1
= α1
2
≠ 0, 从而有 λ1 = 0 .
同理可得 λ2 = ⋯ = λr = 0. 故α1 ,α 2 ,⋯,α r 线性无关 .
-8-
例1
(P115 例3)
1 1 α1 = 1 , α 2 = − 2 1 1
(2)镜像矩阵是正交矩阵 (P40 例8) 镜像矩阵是正交矩阵
H = E − 2αα (α ∈ R , α α = 1)
T n T

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