2020河北中考 考点复习课件--3三角形的内心与外心

(3)证明：在图2中， ∵∠PCA＝2×7.5°＝15°，∠BCE＝∠ACB－∠PCA＝75°，∠ECA＝ ∠EBA＝15°，∠EBC＝∠EBA＋∠ABC＝75°， ∴∠BCE＝∠EBC. ∴BE＝EC.
难点突破
河北8年真题训练
命题点 三角形的内心与外心(8 年 7 考) 1．(2015·河北 T6·3 分)如图，AC，BE 是⊙O 的直径，弦 AD 与 BE 相 交于点 F，下列三角形中，外心不是点 O 的是( B )
A．△ABE C．△ABD
B．△ACF D．△ADE
2．(2016·河北 T9·3 分)如图为 4×4 的网格图，A，B，C，D，O 均在 格点上，点 O 是( B )
A．△ACD 的外心 C．△ACD 的内心
B．△ABC 的外心 D．△ABC 的内心
3．(2018·河北 T15·2 分)如图，点 I 为△ABC 的内心，AB＝4，AC＝3， BC＝2，将∠ACB 平移使其顶点与 I 重合，则图中阴影部分的周长为( B )
2．(2018·河北模拟)如图，每个小三角形都是正三角形，则△ABC的
外心是(B )
A．D点
B．E点
C．F点
D．G点
3．如图为5×5的网格图，点A，B，C，D，O均在格点上，则点O是 (B)
A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心
4．如图，点F是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BFC＝( B ) A．100° B．115° C．130° D．135°
A．M 点 C．P 点
B．N 点 D．Q 点
2．(2019·廊坊广阳县一模)在联欢会上，甲、乙、丙 3 人分别站在不在
同一直线上的三点 A，B，C 上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放
一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位
置是△ABC 的( D )
A．三条高的交点
B．重心
A．60° C．80°
B．70° D．100°
9．(2019·唐山路南区三模)如图，O 为锐角三角形 ABC 的外心，四边 形 OCDE 为正方形，其中 E 点在△ABC 的外部，判断下列叙述不正确的是
(D) A．O 是△AEB 的外心，O 不是△AED 的外心 B．O 是△BEC 的外心，O 不是△BCD 的外心 C．O 是△AEC 的外心，O 不是△BCD 的外心 D．O 是△ADB 的外心，O 不是△ADC 的外心
A．174° C．178°
B．176° D．180°
7．(2019·石家庄新华区模拟)如图，在△ABC 中，∠B＝∠C＝44°，点 D，点 E 分别从点 B，点 C 同时出发，在线段 BC 上做等速运动，到达 C 点，B 点后运动停止．
(1)求证：△ABE≌△ACD； (2)若 AB＝BE，求∠DAE 的度数； (3)若△ACE 的外心在其内部时，求∠BDA 的取值范围．
【方法指导】 (1)在图1中，∠BOC＝2∠A；
(2)在图2中，∠BOC＝90°＋12∠A；
(3)直角三角形的外接圆半径与内切圆半径的求法：如图3，Rt△ABC
的外接圆半径O1A＝
c 2
；Rt△ABC的内切圆半径O2D＝
a＋b－c 2
或O2D＝
ab a＋b＋c.
重难点选讲
重难点 三角形的内心与外心 (2019·河北模拟)如图是一块含30°(即∠CAB＝30°)角的三角板
(1)如图 1，当点 M 与点 A 重合时，分别过点 B，C 作⊙M 的切线，切 点为 E，F.求证：BE＝CF；
(2)如图 2，若点 M 与点 D 重合，且半圆 M 恰好落在△ABC 的内部， 求 r 的取值范围；
(3)当 M 为△ABC 的内心时，求 AM 的长．
解：(1)证明：连接 AE，AF， ∵BE 和 CF 分别是⊙M 的切线， ∴∠BEA＝∠CFA＝90°. ∵AB＝AC，AE＝AF， ∴Rt△ABE≌Rt△ACF(HL)． ∴BE＝CF.
和一个量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合， 其量角器最外缘的读数是从N点开始(即N点的读数为0)，现有射线CP绕着 点C从CA顺时针以每秒2度的速度旋转到与△ACB外接圆相切为止．在旋 转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于点E.
(1)当射线CP与△ABC的外接圆相切时，求射线CP旋转度数是多少？ (2)当射线CP分别经过△ABC的外心、内心时，点E处的读数分别是多 少？ (3)当旋转7.5秒时，连接BE，求证：BE＝CE.
为三角形的外心
交点即为三角形的内心
作法
外接圆
内切圆
【温馨提示】 锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外 心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的(B ) A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条内角平分线的交点
A．4.5 B．4 C．3 D．2
4．(2018·河北 T23·9 分)如图，∠A＝∠B＝50°，P 为 AB 中点， 点 M 为射线 AC 上(不与点 A 重合)的任意一点，连接 MP，并使 MP 的延 长线交射线 BD 于点 N，设∠BPN＝α.
(1)求证：△APM≌△BPN； (2)当 MN＝2BN 时，求 α 的度数； (3)若△BPN 的外心在该三角形的内部，直接写出 α 的取值范围．
(2)过点 D 作 DG⊥AB 于点 G， ∵AB＝AC＝5，AD 是中线， ∴AD⊥BC，BD＝12BC＝4. ∴AD＝ AB2－BD2＝3. ∴12BD·AD＝12AB·DG.∴DG＝152. ∴当 0＜r＜152时，半圆 M 恰好落在△ABC 的内部．
(3)当 M 为△ABC 的内心时，如图， 过点 M 作 MH⊥AB 于点 H，作 MP⊥AC 于点 P， 则有 MH＝MP＝MD. 连接 BM，CM， ∴12AB·MH＋12BC·MD＋12AC·MP＝12AD·BC. ∴r＝AB＋ADA·CB＋C BC＝5＋8×5＋3 8＝43. ∴AM＝AD－DM＝53.
(3)∵△ACE 的外心在其内部， ∴△ACE 是锐角三角形． ∴∠BDA＝∠AEC＜90°. ∵∠B＝44°， ∴∠BAD＝180°－44°－∠BDA＜90°. ∴∠BDA＞46°. ∴46°＜∠BDA＜90°.
8．(2019·河北一模)如图，点 O 是△ABC 的内心，M，N 是 AC 上的点， 且 CM＝CB，AN＝AB.若∠ABC＝100°，则∠MON＝( C )
(1)求证：∠BAD＝∠CAE； (2)设 AP＝x，请用含 x 的式子表示 PD，并求 PD 的最大值； (3)当 AB⊥AC 时，∠AIC 的取值范围为 m°＜∠AIC＜n°，分别直接写 出 m，n 的值．
解：(1)(2)解答过程见本书 P68T2 (3)如图，设∠BAP＝α，则∠APC＝α＋30°， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°－α. ∵I 为△APC 的内心， ∴AI，CI 分别平分∠PAC，∠PCA. ∴∠IAC＝12∠PAC，∠ICA＝12∠PCA. ∴∠AIC＝180°－(∠IAC＋∠ICA)
A．线段 DB 绕点 D 顺时针旋转一定能与线段 DC 重合 B．线段 DB 绕点 D 顺时针旋转一定能与线段 DI 重合 C．∠ABI 绕点 B 顺时针旋转一定能与∠IBC 重合 D．线段 CD 绕点 C 顺时针旋转一定能与线段 CA 重合
6．(2019·石家庄模拟)如图，在△ABC 中，点 I 为△ABC 的内心，点 D 在 BC 上，且 ID⊥BC.若∠ABC＝44°，∠C＝56°，则∠AID 的度数为( A )
解：(1)证明：∵点 D，点 E 分别从点 B，点 C 同时出发，在线段 BC 上做等速运动，
∴BD＝CE. ∴BD＋DE＝DE＋CE，即 BE＝CD. ∵∠B＝∠C＝44°， ∴AB＝AC. ∴△ABE≌△ACD(SAS)．
(2)∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠AEB. ∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE. ∴∠ADE＝∠AEB.∴∠BAE＝∠ADE. ∴∠BAD＋∠DAE＝∠BAD＋∠B. ∴∠DAE＝∠B＝44°.
4．(2018·石家庄二模)如图 1，把△ABC 剪成三部分，边 AB，BC， AC 放在同一直线上，点 O 都落在直线 MN 上，直线 MN∥AB，如图 2， 则点 O 是△ABC 的( B )
图1 A．外心 C．三条中线的交点
图2 B．内心 D．三条高的交点
5．(2019·秦皇岛海港区一模)如图是△ABC 的外接圆，I 是△ABC 的内 心，AI 的延长线与圆相交于点 D，连接 BI，BD，DC.则下列说法中错误的 一项是(D )
＝180°－12(∠PAC＋∠PCA) ＝180°－12(90°－α＋60°) ＝12α＋105°. ∵0°＜α＜90°， ∴105°＜12α＋105°＜150°，即 105°＜∠AIC＜150°. ∴m＝105，n＝150.
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课后作业
1．(2019·保定一模)如图，在 4×4 的网格图中，A，B，C 是三个格点， 其中每个小正方形的边长为 1，△ABC 的外心可能是( D)
【自主解答】
解：(1)连接OC. ∵射线CP与△ABC的外接圆相切， ∴∠OCP＝90°. ∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°.
∴射线CP旋转度数是120°.
(2)∵∠BCA＝90°， ∴△ABC的外接圆就是量角器所在的圆． 当CP过△ABC外心时(即过O点)，∠BCE＝60°. ∴∠BOE＝120°，即E处的读数为120. 当CP过△ABC的内心时(如图1)，∠BCE＝45°，∠EOB＝90°， ∴E处的读数为90.
C．内心
D．外心
3．如图，△ABC 是等腰直角三角形，点 D，E 在 BC 上，△ADE 是等边三角形．若点 O 是△ABC 的内心，则下列说法正确的是(C )
A．点 O 是△ADE 的内心 B．点 O 是△ADE 的外心 C．点 O 不是△ABE 的内心 D．点 O 是△ABC 的外心 【解析】 易知 OA 平分∠BAC，则 OA 不平分∠BAE，所以点 O 不 是△ABE 的内心．
中垂线的交点
内角的平分线的交点
三角形的外心到三角形的三个 三角形的内心到三角形的三
性质
顶点的距离⑤相等
条边的距离⑥ 相等
外接圆
内切圆
∠BOC＝2∠A，∠OBC＝ 角度关系
⑦ ∠OCB
∠BOC＝90°＋12∠A
判断 方法
从三角形中任意选两条边，分 从三角形中任意选两个角，
别作它们的中垂线，其交点即 分别作它们的角平分线，其
解：(1)(2)解答过程见本书 P68T4 (3)∵△BPN 的外心在该三角形的内部， ∴△BPN 是锐角三角形． ∵∠B＝50°， ∴40°＜∠BPN＜90°，即 40°＜α＜90°.
5．(2019·河北 T23·9 分)如图，△ABC 和△ADE 中，AB＝AD＝6， BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边 AD 与边 BC 交于点 P(不与点 B，C 重合)， 点 B，E 在 AD 异侧，I 为△APC 的内心．
中考考点系统复习
三角形的内心与外心
考点解读
三角形与圆 1．确定圆的条件：过一点可以作①无数个圆；过两点的圆有②无数 个，其圆心在③这两点连线的中垂线 上；④不在同一直线上的 三个点可以 确定一个圆．
2．三角形的外接圆与内切圆 外接圆
内切圆
图形
圆心是三角形的外心，三条边 圆心是三角形的内心，三个
圆心
10．(2019·石家庄新华区校级模拟)如图，将 Rt△ABC 平移到△A′B′C′ 的位置，其中∠C＝90°.使得点 C′与△ABC 的内心重合，已知 AC＝4，BC ＝3，则阴影部分的面积为(D )
2
24
A.5
B.25
5
25
C.2
D.24
11．(2019·保定一模)在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝8，点 M 是△ABC 的中线 AD 上一点，以 M 为圆心作⊙M.设半径为 r.