第3章中子扩散理论

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第3章 中子扩散理论
2. 斐克定律(Fick’s Law)
扩散现象：
香水分子的扩散（无风状态） 墨滴在静水中的扩散 杂质原子在硅片中的扩散 血液中的养分透过细胞膜向细胞内扩散
粒子的扩散是粒子与周围介质（或其它粒 子）的碰撞、散射而造成的，结果是从密 度大的地方向密度小的地方迁移。
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第3章 中子扩散理论
2. 中子状态的描述
中子状态：位置矢量 r (x, y, z)、能量 E (或 运动速度 v )、方向 (q, j)、时间 t（7个） ：单位矢量，模等 2 于1，方向表示中子的 d dS r sin q dq dj 2 2 r r 运动方向，通过极角 sin q dq dj q 和方位角 j 来表示。
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第3章 中子扩散理论
1. 输运过程及输运理论
由于中子与原子核的无规则碰撞，中子在 介质内的运动是一种杂乱无章的具有统计 性质的运动；在堆内某一位置具有某种能 量及某一运动方向的中子，在稍晚时刻将 以另一能量和另一运动方向运动到堆内另 一位置，这一现象称为中子在介质内的输 运过程，描述这一过程的精确方程为玻尔 兹曼输运方程。


第3章 中子扩散理论
中子流密度是向量，可以写成三个分量之 和： J (J x , J y , J z ) 或 J J xi J y j J zk
其中三个分量分别称为该方向的分中子流 密度每个分量可写成两个分量之差： Jx Jx Jx
中子密度： n( r , E ) n(r , E , )d 4
( r , E ) ( r , E , )d 中子通量密度： 4
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第3章 中子扩散理论
中子扩散理论： 求出介质内中子角通量密度的分布, 才算对 介质内中子的分布有了全面了解。 要做到这一点，需要研究中子输运理论， 求解中子输运方程。这是一个非常复杂和 困难的任务。在本章的课程中，我们研究 输运理论的简化形式 —— 中子扩散理论。 其第一步是研究中子通量的空间分布：
第3章 中子Leabharlann Baidu散理论
在(x0, y0, z0)处，三个分中子流密度： s Jx Jx Jx 3 x x x0
Jy
s
3 y
y y0
Jz
s
3 z
z z0
s s J D 3 x y z 3
Jy J J
y
y
J z J z J z
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第3章 中子扩散理论
如果某平面与中子流密度 J 方向不垂直， 那么每秒通过该平面上单位面积的净中子 数是 J n J n
J J xi J y j J zk n cos i cos j cos k
D
tr
3
s tr 1 0
2 0 3A
假设2：介质为弱吸收介质 在强吸收体附近，斐克定律不适用， 在较远处近似成立。
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第3章 中子扩散理论
假设3：介质为无限均匀介质 有限介质内，在距离表面平均自由程 之外的内部区域，斐克定律近似成立，在 距真空边界条件两三个自由程以内的区域 不适用。 假设4：通量密度随空间位置缓慢变化 强中子源附近或者两种扩散介质显著 不同的交界面附近，斐克定律不适用，在 较远处近似成立。
( r ) r
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第3章 中子扩散理论
3. 反应堆物理与屏蔽计算基本方法
确定性方法：1）数学模型用数学物理方程 表示，然后采用数值方法求解；2）优点： 计算快速，相对精确等；3）缺点：模型简 化，大型多维问题结果可能数值发散。 非确定性方法：1）基于统计理论，通过计 算机的随机模拟来跟踪中子在介质中的运 动；2）优点：计算精确，可以模拟三维复 杂几何模型；3）缺点：非常耗时。
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第3章 中子扩散理论
类推可以得到在(x0, y0, z0)处沿x+、x-、y+、 y-、z+方向的分中子流密度： 0 0 1 1 Jx Jx 4 6 s x x x0 4 6 s x x x0
sdA 2 /2 J dA ( r )exp ( s r ) cosq sinq drdq dj 4 0 0 0
z
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第3章 中子扩散理论
假设4：通量密度随空间位置缓慢变化 引入一阶泰勒展开： ( x , y , z ) 0 x y z x x x0 y y y z z z0
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第3章 中子扩散理论
发展简史： 2. Hilbert论述了Boltzmann方程解的存在性 与唯一性，奠定了输运理论的数学基础； 3. 天体物理、等离子物理、激光物理和固 体物理等的发展提出并进一步推动了辐 射输运理论的研究； 4. Von Neumann 和 Ulam等开发了第一个用 概率论方法（Monte Carlo方法）计算中 子链式反应的程序；
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第3章 中子扩散理论
3. 斐克定律推导
在 dV 中，单位时 间发生散射的中 子数为： s( r )dV 假设1：中子的散射是各向同性的 中子从微元体dV发生散射后，向微元面dA cosq dA 所对应的立体角方向运动的概率是： 4 r 2
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第3章 中子扩散理论
斐克定律：
物质总是从浓度 高的地方向浓度 低的地方扩散； 扩散的速度与浓 度梯度的大小成 正比。
中子从通量高的地方流向通量低的地方， 通量差别越大，中子“流量”越大。
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第3章 中子扩散理论
输运理论：微观粒子(中子、光子、电子、 离子和分子等)在介质中的迁移统计规律的 数学理论；不是研究个别粒子的运动，而 是研究大量粒子运动所表现的非平衡统计 运动规律。 发展简史： 1. Clausius、Maxwell、Boltzmann的工作奠 定了最早的粒子输运理论 —— 分子运动 论的基础；
假设1：中子的散射是各向同性的 假设2：介质为弱吸收介质 假设3：介质为无限均匀介质 假设4：通量密度随空间位置缓慢变化
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假设1：中子的散射是各向同性的 需要对扩散系数进行修正，输运平均 自由程 tr ，略大于散射平均自由程。
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二、单能中子扩散方程
1. 引言
稳态或临界状态时：
输玻 运尔 方兹 程曼
( r , E , )
假设中子通 量密度角分 布各向同性
散中 方子 程扩
( r , E )
假设中子具 有单一能量
扩单 散能 方中 程子
( r )
0 1 J 4 6 s y
y
y y0
0 1 J 4 6 s y
y
y y0
0 1 J 4 6 s z
z
z z0
0 1 J 4 6 s z
z
z z0
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第3章 中子扩散理论
假设2：介质为弱吸收介质 单位时间内，在微元体 dV中发生散射后向 微元面dA方向运动的中子数为： cosq dAdV s ( r )exp ( s r ) 2 4 r 假设3：介质为无限均匀介质 单位时间内，从x-y平面上方向下穿过微元 面dA的中子数为：
第3章 中子扩散理论
中子流密度：J D 上式中被 J 称为被称为中子流密度（简称 中子流） ； 中子流密度是一个向量； 其方向是通量场的负梯度方向； 其数值等于垂直于梯度方向的单位面积上 每秒穿过的净中子数目； 单位：中子/cm2. s
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核反应堆物理
中子扩散理论
主讲人：张 彪
2016年11月5日
第3章 中子扩散理论
主要内容 引言 单能中子扩散方程 非增殖介质内中子扩散方程的解
扩散长度、慢化长度和徙动长度
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第3章 中子扩散理论
一、引言
反应堆物理的核心问题之一：确定堆内 中子通量密度按空间和能量的分布。 第二章通过求解中子慢化方程，解决了 中子通量密度按能量的分布，即中子能谱； 本章将学习中子扩散方程，研究中子通量密 度按空间的分布。
0
x r sinq cos j
s J 4
z
y r sinq sin j
z r cosq

0 0
2
/2
0
r cosq 0 z
z z0
r e s cosq sin q drdq dj z z0
0 1 4 6 s z
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第3章 中子扩散理论
中子角密度：在 r 处单位体积内和能量为 E的单位能量间隔内，运动方向为的单位 立体角内的中子数目，n( r , E , ) 。 中子角通量密度：沿 方向在单位时间内 穿过垂直于这个方向的单位面积上的中子 ( r , E , ) n( r , E , )v ( E ) 。 数目，
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第3章 中子扩散理论
单位时间内，在微元体dV中发生散射后向 微元面dA方向运动的中子数为： cosq dAdV s ( r ) 4 r 2 这些中子实际能到达微元面dA的概率为：
exp ( t r ) 单位时间在微元体 dV中发生散射后，能到 达微元面dA的中子数为： cosq dAdV s ( r )exp ( t r ) 2 4 r
扩散系数： D
s
3
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第3章 中子扩散理论
单位时间内通过任一法向量为 n 的平面上 单位面积的净中子数是： s Jn J n cos cos cos 3 x y z 4. 斐克定律的适用范围
J
n
dA
J n J x cos J y cos J z cos
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第3章 中子扩散理论
中子流密度 J 与中子通量密度 的差别：
1.中子流密度用于描述中子的定向运动，是矢量 2.中子通量密度用于计算核反应率，是标量 3.两者的量纲相同 4.当所有中子运动方向相同时，中子通量与中子 流数量（大小）相等。 场论知识回顾： i j k x y z grad 1.梯度： 2 2 2 2.散度： div J J 2 2 2 2 x y z