第3章中子扩散理论
核反应堆工程概论第3章
2.2、单群扩散连续性方程
单群扩散连续性方程:
S－∑aΦ － ∙J = 0 引入斐克定律：
D Φ－∑aΦ + S = 0
19
2.2、单群扩散连续性方程
单群扩散连续性方程: 反应堆功率运行中，中子源最初来自于裂变， 所以S与Φ有一定的比例关系(如S可以表示成 S＝ ν∑fΦ)，扩散方程最终可写成如下的简单形式： ΔΦ ＋ B2Φ = 0 B2称为材料曲率。求解通量随空间的变化归 结为求解上述二阶偏微分扩散方程。 上述扩散方程(扩散近似)成立的条件：散射各 向同性，介质均匀，吸收较弱，距离边界较远。
27
3.1、反应堆临界的概念
反应堆最重要的就是要能够维持连 续稳定的运行，即维持连续稳定的链式 核裂变反应。这种状态称为临界状态。 若裂变反应率自发地不断增加，称之为 超临界，反之为次临界。 倍增因子K：反应堆内中子产生率与消 失率的比值，或：代中子比值。
28
倍增因子k
新生一代中子数 k 直属一代中子数 系统内中子的产生率 k 系统内中子的总消失（吸收＋泄漏）率 系统内中子的产生率 k 系统内中子的吸收率 系统内中子的吸收率 PL 系统内中子的吸收率＋系统内中子的泄漏率 k k PL
25
2.4、扩散理论小结
反应堆物理分析的首要任务是得到中子 通量。一般情况下，中子通量是中子能 量、空间位置、时间等的函数(更细致 的考虑要包含空间角度，即中子输运理 论)。我们的处理办法是分离变量和离 散化，根据实际需要求得中子通量，从 而知道各种核反应的反应率。
26
三、反应堆临界理论
3.1、反应堆临界的概念 3.2、四因子、六因子公式 3.3、扩散方程确定的临界条件
17
2.1、中子流密度与斐克定律
中子输运方程和扩散方程区别
中子输运方程和扩散方程区别摘要：1.中子输运方程和扩散方程的定义与含义2.中子输运方程和扩散方程的物理背景与应用领域3.中子输运方程和扩散方程的数学表达式及求解方法4.中子输运方程和扩散方程的区别与联系5.泄漏迭代法在求解中子扩散方程中的应用正文：一、中子输运方程和扩散方程的定义与含义中子输运方程和扩散方程都是物理学中描述粒子传输过程的方程。
中子输运方程主要应用于中子在物质中的输运过程，而扩散方程则广泛应用于粒子在各种介质中的扩散现象。
二、中子输运方程和扩散方程的物理背景与应用领域中子输运方程主要用于研究中子在核反应堆中的传输过程，对于核反应堆的设计、仿真和安全验证具有重要意义。
扩散方程则广泛应用于粒子在气体、液体和固体等介质中的扩散现象，如气体分子的扩散、污染物在环境中的扩散等。
三、中子输运方程和扩散方程的数学表达式及求解方法中子输运方程的数学表达式通常是基于积分形式的，描述了中子在物质中的输运过程。
求解方法主要有常微分方程求解法、有限元法等。
而扩散方程的数学表达式则是基于偏微分方程的，描述了粒子在介质中的扩散现象。
求解方法包括经典数值解法、有限差分法等。
四、中子输运方程和扩散方程的区别与联系中子输运方程和扩散方程在物理背景、应用领域和数学表达式上都有所区别，但它们都是描述粒子传输过程的方程，具有一定的联系。
在实际应用中，可以根据问题的具体特点选择合适的方程进行求解。
五、泄漏迭代法在求解中子扩散方程中的应用泄漏迭代法是一种求解中子扩散方程的有效方法，通过迭代计算可以逐步逼近中子扩散方程的解。
该方法在核反应堆物理计算等领域具有广泛的应用，对于提高计算精度和效率具有重要意义。
总结：中子输运方程和扩散方程是描述粒子传输过程的两种重要方程，它们在物理背景、应用领域和数学表达式上有所区别，但也具有一定的联系。
在实际应用中，可以根据问题的具体特点选择合适的方程进行求解。
哈工程核反应堆的核物理第3章中子扩散理论3详解
3.2 非增殖介质内中子扩散方程的解
对于稳态、源项为零的情况，扩散方程为：
2(r ) 2(r ) 0
定义 得：
L2 1 D
2 a
2 (r
)
(r
L2
)
0
无限介质内点源的情况
这种情况下，扩散方程为：
d 2(r) 2 d(r) (r)
dr 2
r
dr
L2 0
引入一个新的变量u r
则
d 2u dr 2
得方程的解：
1 A1 cosh(x / L1) C1 sinh(x / L1)
2
A e x / L2 2
C2ex / L2
3.3 反照率
定义：
J J
4
D
2 D
d
dx
d
1 2D
1
2D
d
dx
d
4 2 dx
dx
介质A 介质B
J
J
反照率不仅取决于反射介质的材料特性，而且还取决于
系统的尺寸和几何形状。
无限平板反射层情况： 1 2D coth( a )
L
L
1 2D coth( a )
L
L
3.4 扩散长度、慢化长度和徙动长度
扩散长度
计算公式：
L2 D atr as
1
a 3 3(1 0 ) 3as (1 0 )
无限介质点源情况的解：
r2 r3er / Ldr / rer / Ldr
S(r ) D2(r ) a(r ) 0
扩散方程的边界条件
在扩散方程适用的范围内，中子通旦密度的数值必须 是正的、有限的实数；
在两种不同扩散性质的介质交界面上，垂直于分界面 的中子流密度相等，中了通量密度相等；
核反应堆物理基础第3章
中子从dV内泄漏的总数应等于以上三项之和，这样，单位时间， 单位体积泄漏出去的中子数
L D D D x x y y z z
（3-15）
若护散系数D与空间位置无关，那么便得到
u Ae
r / L
Ce
r/L
因此
er / L er / L (r ) A C r r
式中A，C为两个待定常数，可以由边界条件确定 C必须为零，否则当r趋于无限大时，φ便变为无限大 常数A由中子源条件求出
r 0
J (r ) D
d 1 1 DA 2 e r / L dr rL r
s dA 2 2 J dA (r )e s r cos sin drd d 4 0 0 0
z
s dA 2 2 J dA (r )e s r cos sin drd d 4 0 0 0
z
其中， J z
得
A
SL 2D
最后得中子通量密度
( x)
SL x / L e 2D
根据对称性，只需将式中的x用 x 代替，源平面 左边介质内的中子通量密度即可得到。
第三章 单速中子扩散
§3.1 单速中子扩散方程
§3.2
§3.3
非增殖介质内中子扩散方程的解 扩散长度
§3.4 与能量相关的中子扩散方程
基本概念
中子角密度:
n(t , r, v, )
中子角通量密度:
n(t , r, v, )v (t , r, v, )
稳态情况
中子角密度: 中子角通量密度: 一、中子流密度:
如果之间有一夹角
第三章 中子扩散理论
s (r )
3 z
J z (r ) 叫做z方向的中子流密度或净中子流密度，若dA的取向
与x轴垂直，沿着x方向穿过dA平面单位面积净中子数Jx为
J x (r )
s ( r )
3 x
同样，沿着y方向穿过dA平面单位面积净中子数Jy为
推导中并没有考虑中子源的贡献，中子流密度的贡献只 是来自中子与介质核的散射碰撞 在强中子源两三个平均自由程的区域内，斐克定律不 适用。
3.2 非增殖介质内中子扩散方程的解
稳态单能的中子扩散方程
D2 (r ) a (r ) S (r ) 0
无源情况下，即除中子源所在的位置以外的无源区域,扩散 方程有以下形式: 1 D (r ) 2 2 2 2 L ( r ) 0 (r ) (r ) 0 或 k2 L2
第三章 中子扩散理论
中子在介质中的输运过程中 的运动状态由位置矢量r(x,y,z), 能量 E, 和运动方向Ω表示。 Ω通过极角θ 和方位角φ 来 表示
dS r 2 sin dd d 2 sin dd 2 r r
中子角密度函数n(r,E, Ω)定义： 方向 Ω的表示 在r处单位体积内和能量为E的 单位能量间隔内，运动方向为 Ω的单位立体角内的中子数目。 中子角通量密度定义为: ( r, E, ) n( r , E, )v( E ) 对中子角密度和中子角通量密度积分便可得到与运动方向无 关的标量中子密度和标量中子通量密度
4
tr d
6 dx
0
d dx
x 0
30 2tr
应用输运理论和扩散理论的 外推距离求得的扩散方程的解
堆物理第三、四章
慢化长度
热中子年龄：
徒动长度
令
1 2 L1 = r s = τ th 6 裂变中子慢化到热中子的年龄。 τth
rm = r s + rd
cosθ
1 2 2 M = L + τ th = rs + rd 6
2 2
(
)
对上式两边取均方值 r 2 = r 2 + r 2 + 2 r r cos θ m s d d s 由于 rs 和 r 的方向彼此不相关，因而两者的夹角余 的方向彼此不相关， d 的平均值等于零， 弦 的平均值等于零，即
1 裴克定律
玻尔兹曼输运方程： 玻尔兹曼输运方程：描述中子输运过程的 精确方程。 精确方程。 扩散方程： 扩散方程：近似地认为中子通量密度的角 分布于运动方向 Ω 的依赖性很弱甚至无 关，通过这种近似简化得到的方程称为扩 散方程。 散方程。
中子流密度
称为中子流密度： 定义 J 称为中子流密度：表示它是由许多具有 不同方向的微分中子束矢量合成的量， 不同方向的微分中子束矢量合成的量，表示该处 中子的净流动情况。 中子的净流动情况。
核反应堆物理
主讲： 主讲：王虎
第三章 中子扩散理论
φ r, E ,Ω ,t
(
)
1.各向同性 大型堆中心） 无关。 1.各向同性 （大型堆中心） 与 Ω 无关。 2.稳态 无关。 2.稳态 与 t 无关。 3.单能 或单速） 单能（ 无关。 3.单能（或单速） 与 E 无关。
单能中子扩散方程
1 2 3 4 裴克定律 单能中子扩散方程的建立 边界条件 扩散长度、慢化长度和徒动长度
1 2 1 2 2 M = rs + rd = rm 6 6
《核反应堆物理分析》名词解释及重要概念整理
第一章—核反应堆的核物理基础直接相互作用：入射中子直接与靶核内的某个核子碰撞，使其从核里发射出来，而中子却留在了靶核内的核反应。
中子的散射：散射是使中于慢化(即使中子的动能减小)的主要核反应过程。
非弹性散射：中子首先被靶核吸收而形成处于激发态的复合核，然后靶核通过放出中子并发射γ射线而返回基态。
弹性散射：分为共振弹性散射和势散射。
微观截面：一个中子和一个靶核发生反应的几率。
宏观截面：一个中子和单位体积靶核发生反应的几率。
平均自由程：中子在介质中运动时，与原子核连续两次相互作用之间穿行的平均距离叫作平均自由程。
核反应率：每秒每单位体积内的中子与介质原子核发生作用的总次数(统计平均值)。
中子通量密度：某点处中子密度与相应的中子速度的乘积，表示单位体积内所有中子在单位时间内穿行距离的总和。
多普勒效应：由于靶核的热运动随温度的增加而增加，所以这时共振峰的宽度将随着温度的上升而增加，同时峰值也逐渐减小，这种现象称为多普勒效应或多普勒展宽。
瞬发中子和缓发中子：裂变中，99％以上的中子是在裂变的瞬间(约10-14s)发射出来的，把这些中子叫瞬发中子；裂变中子中，还有小于1％的中子是在裂变碎片衰变过程中发射出来的，把这些中子叫缓发中子。
第二章—中子慢化和慢化能谱慢化时间：裂变中子能量由裂变能慢化到热能所需要的平均时间。
扩散时间：无限介质内热中子在自产生至被俘获以前所经过的平均时间。
平均寿命：在反应堆动力学计算中往往需要用到快中子自裂变产生到慢化成为热中子，直至最后被俘获的平均时间，称为中子的平均寿命。
慢化密度：在r处每秒每单位体积内慢化到能量E以下的中子数。
分界能或缝合能：通常把某个分界能量E c以下的中子称为热中子，E c称为分界能或缝合能。
第三章—中子扩散理论中子角密度：在r处单位体积内和能量为E的单位能量间隔内，运动方向为 的单位立体角内的中子数目。
慢化长度：中子从慢化成为热中子处到被吸收为止在介质中运动所穿行的直线距离。
第三章-中子慢化和中子能谱
105～107eV 快中子裂变 1. 弹性散射 (质心系各向异性，P 波)； 2.非弹性散射； 3.没有向上散射； 4.有共振吸收(未分辨的共振)； 5.有裂变源。
空间与能量分离，对空间作简化，无限介质（最简单的情况，不考虑空间变量） 。
1
§3.1 中子的弹性散射过程
§3.1.1 弹性散射时能量的变化：
故用“一次碰撞”后的 中子代表有效源。
<3>
Fc ( E )恰好满足源中子在源能 量E 0 处作一次碰撞后的方程 ，
6
先求微分： dFc ( E ) Σ (E) =− s ⋅ Fc ( E ) dE Σt (E)E dFc ( E ) dE Σ a ( E ) dE =− + ⋅ dE E Σt (E) E <4> S 0 Σ s ( E0 ) ⋅ E0 Σ s ( E0 )
E ∞
=∫
E /α
E
Σ s ( E ′)φ ( E ′) dE ′ + S ( E ) (1 − α ) E ′
<1>
对于q( E )，按照定义： q( E ) = ∫ dE ′∫ Σ s ( E ′)φ ( E ′) f ( E ′ → E ′′)dE ′′
E 0 ∞ E
= ∫ dE ′
Σ s ( E ′)φ ( E ′) E dE ′′ E (1 − α ) E ′ ∫αE ′ E /α E − αE ′ dE ′ = ∫ Σ s ( E ′)φ ( E ′) E (1 − α ) E ′
§3.1.2 弹性散射的中子能量分布：
由(*)式，E ′和θ c 是一一对应的关系。 f ( E → E ′)dE ′ = f (θ c )dθ c 由于质心系各向同性，f (θ c )dθ c＝ 由(*)式两边求微分，可得： dE ′ − f ( E → E ′)dE ′ = (1 − α ) E 0 dS 2π ⋅ R sin θ c ⋅ Rdθ c 1 = = sin θ c dθ c S 2 4πR 2 (均匀分布，与E ′无关)
第三章-中子的慢化、扩散与反应堆临界理论
S－∑aΦ － ∙J = 0 引入斐克定律：
DΔΦ－∑aΦ + S = 0
二、中子扩散理论(3)
2.2 单群扩散连续性方程(2):
反应堆功率运行中，中子源最初来自于裂变，所 以S与Φ有一定的比例关系(如S可以表示成 S＝ν∑fΦ)， 扩散方程最终可写成如下的简单形式： ΔΦ ＋ B2Φ = 0 B2称为材料曲率。求解通量随空间的变化归结为 求解上述二阶偏微分扩散方程。 上述扩散方程(扩散近似)成立的条件：散 射各向同性，介质均匀，吸收较弱，距离边界较远。
一、中子慢化(2)
1.2 慢化能力与慢化比(1):
中子慢化可以进行到什么程度呢？当中子运动 速度比靶核运动速度高很多时，中子与靶核碰撞总 要损失能量，实现慢化。但当中子运动速度与靶核 相当时，中子与靶核碰撞可能损失能量，也可能获 得能量，这时不再是慢化，称之为“热化”。中子 热化过程实际上是与介质的原子核达到热运动平衡 的过程。与靶核达到热平衡的中子的飞行速度满足 麦克斯韦分布。室温情况下，最可几速率为 2200m/s，对应的能量为0.0253eV。
二、中子扩散理论(7)
2.4 扩散理论小结(2):
反应堆物理分析的首要任务是得到中子通量。 一般情况下，中子通量是中子能量、空间位 置、时间等的函数(更细致的考虑要包含空间 角度，即中子输运理论)。我们的处理办法是 分离变量和离散化，根据实际需要求得中子 通量，从而知道各种核反应的反应率。
三、反应堆临界理论(1)
无限大反应堆： Kinf = εp fη 有限尺寸的反应堆：Keff ＝εp fη Pf Pt
ε：快中子裂变因子 p ：逃脱共振吸收几率 f ：热中子利用系数 η：热中子裂变因子 Pf：快中子不泄漏几率 Pt：热中子不泄漏几率 Kinf ：无限倍因子 Keff ：有效倍增因子 临界、次临界、超临界：K＝1、<1、>1
《核反应堆物理分析》基本概念总结
m 2 ，巴恩—1b=1028 m2 。
（P8）
6)宏观截面:一个中子与单位体积内所有原子核发生核反应的平均概率大小的一种度量。设 为材料密 度， A 为该元素的原子量，N 0 =6.0221367×1023 mol 1 ， 则 N dI / I ，N N 0 单位： （P9） m 1
反应堆物理分析（修订本-谢仲生主编） 基本概念总结
西安交大出版社（原子能出版社）
有稳定的分布，称之为中子慢化能谱。 3) E '
（P36）
1 1 1 cosc E ， ① c 00 时 E ' Emax E ，此时碰撞前后中子没有能量损失； 2
弹性散射。
（P5）
4)共振现象：当入射中子的能量具有某些特定值，恰好使形成的复合核激发态接近于某个量子能级时， 中子被靶核吸收而形成复合核的概率就显著地增加，这种现象就叫做共振现象。
INx N x
（P4）
I I / I ，单位 5)微观截面：表征一个入射中子与单位面积内一个靶核发生作用的几率大小； σ
（P30）
即 ： k eff
第2章 中子慢化和慢化能谱
1)慢化过程：中子由于散射碰撞而降低速度的过程叫做慢化过程。 （P36）
2)中子慢化能谱：当反应堆处于稳定时，在慢化过程中，堆内中子密度（或中子通量密度）按能量具
￡- 2 -￡
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第3章-中子扩散理论
主讲：马续波
maxb@
华北电力大学核科学与工程学院
1
堆内链式裂变反应过程实质：中子在介质内不断的产生、
运动和消亡的过程
反应堆物理的核心问题之一：确定堆内中子通量密度按空 间和能量的分布 第二章通过求解中子慢化方程，解决了中子通量密度按能 量的分布， φ (E)～ E，即中子能谱
19
场论知识
• 数量场φ的梯度
• 向量场 J 的散度 div J J
算子
grad
i j k x y z 2 2 2 x y z
2 2 2 2
20
2、菲克定律的推导
– 确定性方法(Deterministic method)
• 数学模型用数学物理方程表示，然后采用数值方法求解 • 优点：计算快速，相对精确等
• 缺点：模型简化，大型多维问题需大量计算时间及存储空间等
• 典型方法：离散纵标法（SN） – 非确定性方法(蒙特卡罗方法，Monte Carlo method)： • 基于统计理论，通过计算机的随机模拟来跟踪中子在介质中的运动 • 优点：计算精确，可以模拟三维复杂几何模型 • 缺点：对于深穿透问题（Deep-penetration），计算非常耗时
6
2、中子状态的描述
中子状态: 位置矢量 r (x,y,z)、能量E(或运 动速度v)、运动方向、 时间 （7个）
：单位矢量，模等 于1，方向表示中子的 运动方向，通过极角 和方位角来表示
7
中子角密度：在r处单位体积内和能量为E的单位能量间
隔内，运动方向为 的单位立体角内的中子数目。
由于中子与原子核的无规则碰撞，中子在介质内的运动是一种 杂乱无章的具有统计性质的运动，即初始在堆内某一位置具有某 种能量及某一运动方向的中子，在稍晚些时候，将运动到堆内另 一位置以另一能量和另一运动方向出现。这一现象称为中子在介 质内的输运过程（Transport）。描述这一过程的精确方程为玻 尔兹曼输运方程（Boltzmann equation）。 输运理论：微观粒子(中子、光子、电子、离子和分子等)在介 质中的迁移统计规律的数学理论；不是研究个别粒子的运动，而
第三章：中子慢化与慢(核反应堆物理分析)
1 l 2
2 sin c dc 2 3A A 2 A cosc 1
A cosc 1
某介质的宏观散射截面与中子平均对数能降的乘积。
慢化剂的慢化能力与其热中子宏观吸收截面的比。
元素
A
把裂变中子慢化至1eV平 均所需的碰撞次数 15
H
1
0
1.000
D
Be C O U
E (αE, E)
必然存在
u
u
f (u u )du 1
平均对数能降
能量为E0的中子与慢化剂核n次碰撞，能量依次降为
E1,E2,……En，则：
E0 E0 E1 En 1 En E1 E2 En
E0 E0 En1 E1 ln ln ln ln En E1 E2 En En 1 ln En n
§3.2 无限均匀介质内中子的慢化能谱
各类反应反应率 精确描述 不仅与介质的慢化能力和吸收性等特性有关， 严格讲它还是空间坐标r 的函数，并与反应堆的泄 漏大小有关 简化模型 无限均匀介质内（无泄漏，无空间变化）的中 子慢化能谱来近似地表示 中子的慢化能谱
无泄漏，无空间变化
反应率概念予以 推广，将能量变 化包含在内
2
9 12 16 238
0.111
0.640 0.716 0.779 0.983
0.726
0.207 0.158 0.120 0.0083
20
70 92 121 1700
1.6 弹性慢化时间和中子扩散时间
ts td
弹性慢化时间
经过n次碰撞，到达热区
一般在10-4-10-6s
中子扩散时间
核反应堆物理分析总结-1
第一章:核反应堆的核物理基础
核反应堆是一种能以可控方式产生自持链式裂变 反应的装置。 它由核燃料、冷却剂、慢化剂、结构材料和吸收 剂等材料组成。 链式核反应（nuclear chain reaction）：核反 应产物之一能引起同类的反应，从而使该反应能链式 地进行的核反应。根据一次反应所直接引起的反应次 数平均小于、等于或大于1，链式反应可分为次临界的、 临界的或超临界的三种。
Fission fragment kinetic energy Neutrons
Prompt gamma rays Fission product gamma rays Beta particles Neutrinos Total
7 7 5 10 200
平均每次裂变的衰变功率
停堆余 热排出
(1)换算关系:
中子的分类
中子的能量不同，它与原子核相互作 用的方式、几率也就不同。 在反应堆物理分析中通常按中子能量把 它们分为： （i）快中子（0.1兆电子伏以上）； （ii）超热中子（1电子伏到0.1兆电子伏）； （iii）热中子（1电子伏以下）。
中子与原子核相互作用
中子与原子核的相互作用过程有三种：势散射、直接
E2 E1 E0
激发态
E=EB+EC
若E正好在复合核的 某一激发能级附近， 则复合核形成的几率 很大，称之为“共振 吸收”。
基态 复合核能量
复合核量子能级
温度升高时，增加了238U对中子的吸收几率，负效应。
核反应堆物理-第1章反应堆的核物理基础(9-1
中子在堆内运动及分布与 那些量相关？ （1）空间位置r（x,y,z） （2）能量E （3）运动方向Ω （4）时间t(非稳态时)
问题解决
要求解反应堆内中子密度和中子通量密度的分布一般采用两种方法：
确定论方法
非确定论方法
根据边界条件和初 始条件解数学物理方 程得出所求问题的精 确解或近似解。 适用于问题的几何 结构不太复杂的情况。
✓ 将计算中子流密度矢量（中子的流 动）的那一点取做坐标系原点。为了 确定中子流密度J，可以通过计算J在 x、y、z三个方向上的分量。
✓ 对于Jz，计算中子穿过原点处xy平 面上面积dA的速率。
推导菲克定律示意图
菲克定律推导
散射中子： 系统内无源，穿过dA的中子只能是来自散射。
• 在dV中散射的中子数： SdV • 因各向同性散射，射向dA方向的几率与dV所在
扩散近似：假定反应堆内中子在介质核上的碰撞散射是杂乱无章且各向同性 的（中子沿各个方向运动散射出来的中子数相等），满足分子扩散的斐克定 律。
扩散方程：不考虑中子运动方向后简化的中子输运方程称为扩散方程。实际 中大型反应堆的堆芯内中子运动的方向接近各向同性，同时这种简化不影响 理解堆系统的倍增特性。
➢ 扩散现象 • 香水分子的扩散（无 风状态） • 墨滴在静水中的扩散 • 杂质原子在硅片中的 扩散 • 血液中的养分透过细 胞膜向细胞内扩散
n(r, E) n(r, E, )d 4
(r, E) (r, E, )d 4
4
3.1概述
问题的提出
反应堆内的链式裂变 反应过程实质上涉及 中子在介质内的不断 产生，运动和消亡的 过程。反应堆理论的 基本问题之一，就是 确定堆内中子密度 （或中子通量密度） 的分布。
技术类《核反应堆物理》第3部分-反应堆临界理论
1＄=700PCM
有限高圆柱形均匀裸堆
➢ 设一有限高圆柱形均匀裸堆,高为H,半径 为R,采用圆柱形坐标,坐标原点位于轴线 的半高度上.拉普拉氏算符的表达式为:
2 1 (r ) 1
2
2
r r r r 2 2 z 2
➢中子通量密度分布是对称的,与θ无关, 有限高圆柱均匀裸堆的波动方程可以写 为: 1 (r ) 2 B 2 0
(x) AcosBx
由边界条件:
( a) 0
2
要求:
Acos Ba 0 2
A不能为零,所以：Bn
n
a
n 1,3,5, 或
Bn2称为特征值，对应一系列满足方程的特征函数。n=1的称为 基波本征函数，n>1的统称为谐波本征函数。所以：
n (x)
An
cosBn x
An
cos (2n 1)
a
x
n 1,2,3,
dr 2 r dr
令： r x
2
B2
12
B2
( )2
H
化为零阶贝塞尔方程： x2 d 2 f x df x2 f 0
（1）首先，研究均匀裸堆； （2）其次，研究带反射层的反应堆； （3）最后，研究非均匀堆；
（4）方法是先单群，后多群研究。
3.1 均匀裸堆的单群理论
基本概念
➢裸堆： 没有反射层的反应堆；
➢中子源： 有增殖介质；
➢单群理论： 把热中子反应堆内的所有 中子都看成是热中子，忽略 中子能量的影响。
➢双群理论： 比单群更精确的模型，把 热中子划为一群，快中子为 一群。
(x) Acos( x)
a
➢系数A由功率条件决定。无限长平板堆单位面积所对 应的体积所发出的功率为：
反应堆考试概念总结
9..氙振荡：大型热中子反应堆中，局部区域内中子通量密度的变化会引起局部区域 135Xe 和局部区域中子 135 平衡关系的变化.反之，后者变化也将引起前者变化。这两者间的相互反馈作用就有可能使堆芯 Xe 的浓 度和热中子通量密度产生空间振荡现象 10.氙振荡的危害： ①局部温度升高；②材料温度应力。
第六章 栅格的非均匀效应与均匀化群常数的计算
1.空间自屏效应：热中子进入燃料块后，首先为块外层的燃料核所吸收，造成燃料块内部的热中子通量密 度比外层的要低，结果使燃料块里层的燃料核未能充分有效地吸收热中子。即块外层燃料核对里层燃料核 起来屏蔽作用 A.热中子利用系数减少 B 逃脱共振俘获概率增加 C 快中子增殖效应增加 2.最佳栅格：在给定燃料富集度和慢化剂材料的情况下，存在着使栅格的无限增殖因数达到极大值或临界 体积极小的栅格几何参数。
P反应堆 导致温度 和 keff ，这样反应堆功率继续下降直到停堆。
13.反应性系数：反应堆的反应性相对于反应堆的某一个参数的变化率称为该参数的反应性系数
第九章 核反应堆动力学
1.反应堆周期:反应堆中中子密度变化 e 倍所需要的时间称为反应堆时间常数，用 T 表示 l 或 1 称为反应堆的稳定周期或渐近周期。T 为负值，中子密度随时间衰减 T T keff 1 1 2.点堆模型：堆内各中子密度随时间变化涨落是同步的，堆内中子像堆芯没有线度尺寸一样，可以把它看 作是一个集总参数的系统来处理，所以这个模型称为点堆模型。 3.点堆模型主要限制：①不能描述与空间有关的动力学效应②只适用于反应堆临界能量大和扰动不大的问 题 4.瞬发临界条件 p=β 5.瞬发中子的份额虽然少，但它的缓发时间较长，但缓发效应大大增加了两代中子之间的平均时间间隔， 从而滞缓了中子密度的变化率。 所以缓发中子效应在研究反应堆的瞬态过程和反应堆控制时是不可忽略的。 反应堆的控制正是利用了缓发中子的作用才实现的。
中子扩散理论报告
《中子扩散理论》课程报告题目：二维扩散程序编写二维扩散程序编写1.1 理论模型二维(x,y)几何情况下扩散方程可以写为∂∂∂∂--+=∂∂∂∂R ΦΦD D Σ(x,y)Φ(x,y)S(x,y)x x y y(1.1)采用中心点差分离散该方程，将方程(1.1)在(i,j)节点所在的网格区域(如图1-1)上积分得到图1-1,,,()∂∂∂∂-++=∂∂∂∂⎰⎰⎰i ji ji jR σσσΦΦD D dxdy Σ(x,y)Φ(x,y)dxdy S(x,y)dxdyx x y y(1.2)利用高斯公式将(1.2)化为 ,,()∂-+=∂⎰⎰⎰i ji jR S σσΦD dS Σ(x,y)Φ(x,y)dxdy S(x,y)dxdy n(1.3)式(1.3)中三项分别记为123,T ,T T ，其中1T 是对网格(i,j)的边界积分，可以对四条边界单独积分，从左边界沿逆时针分别记为11121314,,,T T T T ，以下推导各项的离散表达式。
1-1/2,,111,-Φ()dS ΔΔ/2∂=-=-∂⎰i j i j i j i S i ΦΦT D D y x n(1.4)利用相邻交界面上中子流连续条件-1/2,,-1,1/2,,-1,-1-Φ-ΦΔ/2Δ/2-=i j i ji j i ji ji ji i ΦΦD D x x (1.5)所以,1,-1,-1,-1/2,,1-1,ΔΦΔΔΔ--+=+i j i i j i j i i ji j i j i i j iD x D x ΦΦD x D x (1.6)将式(1.6)代入式(1.4)得11,1,1,()()-=-i j i j i j j T D ΦΦΔy (1.7)其中1,,,1,11,2()---=+i j i ji j i j i i j iD D D D Δx D Δx (1.8)同理12,2,,1()()-=-i j i j i j i T D ΦΦΔx (1.9)其中,1,,2,1,12()---=+i j i ji j i j j i j jD D D D Δy D Δy (1.10) 131,11,,()()++=--i j i j i j j T D ΦΦΔy (1.11) 14,12,1,()()++=--i j i j i j i T D ΦΦΔx(1.12) ,,,(,)(,)2==⎰i jR R i j i j σT Σx y Φx y dxdy ΣΔx Δy(1.13) 3,,==⎰i ji j i j σT S(x,y)dxdy S Δx Δy(1.14)所以1112131423++++=T T T T T T (1.15)可以化简为,,1,1,,1,,,1,,,--++++++=i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j a Φb Φc Φd Φe Φs (1.16)其中,1,,,1,2,1,12()----==-=-+i j i j i i j i j i j i i j j i j jD D Δx a d D Δx D Δy D Δy (1.17)1,,,1,,1,11,2()----==-=-+i j i j j i j i j i j j i j i i j iD D Δy b c D Δy D Δx D Δx (1.18),,,,,,,=----i j R i j i j i j i j i j i j e ΣΔx Δy a b c d(1.19) ,,=i j i j i j s S Δx Δy(1.20)所以扩散方程的差分离散形式为式(1.16)。
第三章-中子慢化和中子能谱
<3>
Fc ( E )恰好满足源中子在源能 量E 0 处作一次碰撞后的方程 ，
6
先求微分： dFc ( E ) Σ (E) =− s ⋅ Fc ( E ) dE Σt (E)E dFc ( E ) dE Σ a ( E ) dE =− + ⋅ dE E Σt (E) E <4> S 0 Σ s ( E0 ) ⋅ E0 Σ s ( E0 )
第四章 均匀反应堆临界理论
第三章 中子慢化和慢化能谱
慢化(moderation)：在无明显俘获的情况下，由散射引起中子能量降低的过程。 慢化能谱：稳态时，中子通量密度按能量有稳定的分布。
0～1eV 中子热化 1.有向上散射；(核的热运动) 2.化学结合键效应； 3.衍射(与原子间距离相当)
1eV～105eV(轻核可到 MeV) 中子慢化 1. 由静止自由核产生弹性散射 (质心系各向同性，S 波)； 2.没有向上散射； 3.有共振吸收(已分辨的共振)。
vl' vl m M M v c'
θl
vl' m
vc
Vc M v c'
m M
θc
a
Lᇹ
b
a
Cᇹ
b
ᅄ4.12!Ᏼဣዩ၀ᇹDŽLᇹDžਜ਼ᒠቦᇹDŽCᇹDžดᒦᔇᎧਖ਼ࡼࡧቶྲ
a
ྲ༄Ǘ b
ྲઁ
（点击图片可放大显示）
可看作两个弹性钢球，动量、能量守恒。
在L系内： V CM = 1 1 M (mvl + M Vl ) = vl，其中A = m+M 1+ A m A 大写字母表示核的量 vl vc + V CM = vl ⇒ vc = 1+ A 小写字母表示中子的量 V + V CM = V ⇒ V = − 1 v 带脚标" ' " 表示碰撞后的量 c l c l 1+ A
核反应堆物理分析名词解释及重要概念整理
第一章—核反应堆的核物理基础直接相互作用：入射中子直接与靶核内的某个核子碰撞，使其从核里发射出来，而中子却留在了靶核内的核反应。
中子的散射：散射是使中于慢化(即使中子的动能减小)的主要核反应过程。
非弹性散射：中子首先被靶核吸收而形成处于激发态的复合核，然后靶核通过放出中子并发射γ射线而返回基态。
弹性散射：分为共振弹性散射和势散射。
微观截面：一个中子和一个靶核发生反应的几率。
宏观截面：一个中子和单位体积靶核发生反应的几率。
平均自由程：中子在介质中运动时，与原子核连续两次相互作用之间穿行的平均距离叫作平均自由程。
核反应率：每秒每单位体积内的中子与介质原子核发生作用的总次数(统计平均值)。
中子通量密度：某点处中子密度与相应的中子速度的乘积，表示单位体积内所有中子在单位时间内穿行距离的总和。
多普勒效应：由于靶核的热运动随温度的增加而增加，所以这时共振峰的宽度将随着温度的上升而增加，同时峰值也逐渐减小，这种现象称为多普勒效应或多普勒展宽。
瞬发中子和缓发中子：裂变中，99％以上的中子是在裂变的瞬间(约10-14s)发射出来的，把这些中子叫瞬发中子；裂变中子中，还有小于1％的中子是在裂变碎片衰变过程中发射出来的，把这些中子叫缓发中子。
第二章—中子慢化和慢化能谱慢化时间：裂变中子能量由裂变能慢化到热能所需要的平均时间。
扩散时间：无限介质内热中子在自产生至被俘获以前所经过的平均时间。
平均寿命：在反应堆动力学计算中往往需要用到快中子自裂变产生到慢化成为热中子，直至最后被俘获的平均时间，称为中子的平均寿命。
慢化密度：在r处每秒每单位体积内慢化到能量E以下的中子数。
分界能或缝合能：通常把某个分界能量E c以下的中子称为热中子，E c称为分界能或缝合能。
第三章—中子扩散理论中子角密度：在r处单位体积内和能量为E的单位能量间隔内，运动方向为 的单位立体角内的中子数目。
慢化长度：中子从慢化成为热中子处到被吸收为止在介质中运动所穿行的直线距离。
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sdA 2 /2 J dA ( r )exp ( s r ) cosq sinq drdq dj 4 0 0 0
z
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第3章 中子扩散理论
假设4：通量密度随空间位置缓慢变化 引入一阶泰勒展开： ( x , y , z ) 0 x y z x x x0 y y y z z z0
假设1：中子的散射是各向同性的 假设2：介质为弱吸收介质 假设3：介质为无限均匀介质 假设4：通量密度随空间位置缓慢变化
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第3章 中子扩散理论
假设1：中子的散射是各向同性的 需要对扩散系数进行修正，输运平均 自由程 tr ，略大于散射平均自由程。
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第3章 中子扩散理论
1. 输运过程及输运理论
由于中子与原子核的无规则碰撞，中子在 介质内的运动是一种杂乱无章的具有统计 性质的运动；在堆内某一位置具有某种能 量及某一运动方向的中子，在稍晚时刻将 以另一能量和另一运动方向运动到堆内另 一位置，这一现象称为中子在介质内的输 运过程，描述这一过程的精确方程为玻尔 兹曼输运方程。
第3章 中子扩散理论
中子流密度：J D 上式中被 J 称为被称为中子流密度（简称 中子流） ； 中子流密度是一个向量； 其方向是通量场的负梯度方向； 其数值等于垂直于梯度方向的单位面积上 每秒穿过的净中子数目； 单位：中子/cm2. s
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第3章 中子扩散理论
二、单能中子扩散方程
1. 引言
稳态或临界状态时：
输玻 运尔 方兹 程曼
( r , E , )
假设中子通 量密度角分 布各向同性
散中 方子 程扩
( r , E )
假设中子具 有单一能量
扩单 散能 方中 程子
( r )
0 1 J 4 6 s y
y
y y0
0 1 J 4 6 s y
y
y y0
0 1 J 4 6 s z
z
z z0
0 1 J 4 6 s z
z
z z0
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第3章 中子扩散理论
中子流密度是向量，可以写成三个分量之 和： J (J x , J y , J z ) 或 J J xi J y j J zk
其中三个分量分别称为该方向的分中子流 密度每个分量可写成两个分量之差： Jx Jx Jx
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第3章 中子扩散理论
斐克定律：
物质总是从浓度 高的地方向浓度 低的地方扩散； 扩散的速度与浓 度梯度的大小成 正比。
中子从通量高的地方流向通量低的地方， 通量差别越大，中子“流量”越大。
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Jy J J
y
y
J z J z J z
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第3章 中子扩散理论
如果某平面与中子流密度 J 方向不垂直， 那么每秒通过该平面上单位面积的净中子 数是 J n J n
J J xi J y j J zk n cos i cos j cos k
扩散系数： D
s
3
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第3章 中子扩散理论
单位时间内通过任一法向量为 n 的平面上 单位面积的净中子数是： s Jn J n cos cos cos 3 x y z 4. 斐克定律的适用范围
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第3章 中子扩散理论
类推可以得到在(x0, y0, z0)处沿x+、x-、y+、 y-、z+方向的分中子流密度： 0 0 1 1 Jx Jx 4 6 s x x x0 4 6 s x x x0
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第3章 中子扩散理论
单位时间内，在微元体dV中发生散射后向 微元面dA方向运动的中子数为： cosq dAdV s ( r ) 4 r 2 这些中子实际能到达微元面dA的概率为：
exp ( t r ) 单位时间在微元体 dV中发生散射后，能到 达微元面dA的中子数为： cosq dAdV s ( r )exp ( t r ) 2 4 r
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第3章 中子扩散理论
2. 斐克定律(Fick’s Law)
扩散现象：
香水分子的扩散（无风状态） 墨滴在静水中的扩散 杂质原子在硅片中的扩散 血液中的养分透过细胞膜向细胞内扩散
粒子的扩散是粒子与周围介质（或其它粒 子）的碰撞、散射而造成的，结果是从密 度大的地方向密度小的地方迁移。
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第3章 中子扩散理论
输运理论：微观粒子(中子、光子、电子、 离子和分子等)在介质中的迁移统计规律的 数学理论；不是研究个别粒子的运动，而 是研究大量粒子运动所表现的非平衡统计 运动规律。 发展简史： 1. Clausius、Maxwell、Boltzmann的工作奠 定了最早的粒子输运理论 —— 分子运动 论的基础；
D
tr
3
s tr 1 0
2 0 3A
假设2：介质为弱吸收介质 在强吸收体附近，斐克定律不适用， 在较远处近似成立。
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第3章 中子扩散理论
假设3：介质为无限均匀介质 有限介质内，在距离表面平均自由程 之外的内部区域，斐克定律近似成立，在 距真空边界条件两三个自由程以内的区域 不适用。 假设4：通量密度随空间位置缓慢变化 强中子源附近或者两种扩散介质显著 不同的交界面附近，斐克定律不适用，在 较远处近似成立。
第3章 中子扩散理论
在(x0, y0, z0)处，三个分中子流密度： s Jx Jx Jx 3 x x x0
Jy
3 z
z z0
s s J D 3 x y z 3
中子密度： n( r , E ) n(r , E , )d 4
( r , E ) ( r , E , )d 中子通量密度： 4
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第3章 中子扩散理论
中子扩散理论： 求出介质内中子角通量密度的分布, 才算对 介质内中子的分布有了全面了解。 要做到这一点，需要研究中子输运理论， 求解中子输运方程。这是一个非常复杂和 困难的任务。在本章的课程中，我们研究 输运理论的简化形式 —— 中子扩散理论。 其第一步是研究中子通量的空间分布：
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第3章 中子扩散理论
假设2：介质为弱吸收介质 单位时间内，在微元体 dV中发生散射后向 微元面dA方向运动的中子数为： cosq dAdV s ( r )exp ( s r ) 2 4 r 假设3：介质为无限均匀介质 单位时间内，从x-y平面上方向下穿过微元 面dA的中子数为：
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第3章 中子扩散理论
发展简史： 2. Hilbert论述了Boltzmann方程解的存在性 与唯一性，奠定了输运理论的数学基础； 3. 天体物理、等离子物理、激光物理和固 体物理等的发展提出并进一步推动了辐 射输运理论的研究； 4. Von Neumann 和 Ulam等开发了第一个用 概率论方法（Monte Carlo方法）计算中 子链式反应的程序；
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第3章 中子扩散理论
中子角密度：在 r 处单位体积内和能量为 E的单位能量间隔内，运动方向为的单位 立体角内的中子数目，n( r , E , ) 。 中子角通量密度：沿 方向在单位时间内 穿过垂直于这个方向的单位面积上的中子 ( r , E , ) n( r , E , )v ( E ) 。 数目，
( r ) r
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第3章 中子扩散理论
3. 反应堆物理与屏蔽计算基本方法
确定性方法：1）数学模型用数学物理方程 表示，然后采用数值方法求解；2）优点： 计算快速，相对精确等；3）缺点：模型简 化，大型多维问题结果可能数值发散。 非确定性方法：1）基于统计理论，通过计 算机的随机模拟来跟踪中子在介质中的运 动；2）优点：计算精确，可以模拟三维复 杂几何模型；3）缺点：非常耗时。
核反应堆物理
中子扩散理论
主讲人：张 彪
2016年11月5日
第3章 中子扩散理论
主要内容 引言 单能中子扩散方程 非增殖介质内中子扩散方程的解
扩散长度、慢化长度和徙动长度
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第3章 中子扩散理论
一、引言
反应堆物理的核心问题之一：确定堆内 中子通量密度按空间和能量的分布。 第二章通过求解中子慢化方程，解决了 中子通量密度按能量的分布，即中子能谱； 本章将学习中子扩散方程，研究中子通量密 度按空间的分布。