反例在高等数学教学中的功能
反例在高等数学教学中的应用
新校园XinXiaoYuan摘要：美国学者B.R.盖尔鲍姆等人曾指出：“一个数学问题用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧。
”这个比喻，形象地说明了“反例”。
在教学中恰当地应用反例可以帮助学生全面、准确地理解高等数学中的一些概念及定理，对学生理解概念、纠正错误、开拓思维、掌握定理起着很大的作用。
关键词：反例；高等数学；教学；应用回顾数学的发展史，反例具有重要的地位，重要的反例往往会成为数学殿堂的基石。
如在19世纪以前，数学界长期认为连续函数除个别点外，总是处处可导。
但是，后来数学家们创造出了很多反例，使他们清醒地认识到了分析基础严格化的必要性和重要性，推动了微积分理论的发展。
本文将根据高等数学实际教学情况，结合作者多年的教学经验，阐述反例在高等数学中的应用。
一、利用反例加深学生对数学概念的理解在讲数列极限的定义时，由于概念比较抽象，学生很难全面掌握。
这时不妨给出表面相似而实质却根本不同的反例进行区别和判断，从而使学生真正掌握概念的实质。
例1：判断以下两个叙述是否与极限的定义等价。
（1）有无穷多个ε>0，对每一个ε，存在N（ε），当n>N 时，有|a n-a|<ε；（2）对任意正数ε，有无穷多个a n，使|a n-a|<ε。
叙述（1）忽略了ε的最本质的属性任意小的正数。
教学中可举出反例{a n}:a n=1+（-1）n加以说明。
叙述（2）对任意正数ε，虽然有无穷多个a n，使|a n-a|<ε成立，但它忽视了对每个ε>0，都必须存在某个自然数N，即数列{a n}的某一项a N，从项a N以后的所有项都必须满足|a n-a|<ε。
可举出反例{a n}={1，12，1，13，1，14，…，1，1n，…}加以说明。
因此，这两个叙述都与数列极限的定义不等价。
通过反例，从反面进一步深刻理解了数列极限定义中的ε与N在定义中的作用与意义和要求，从而理解和掌握定义的实质。
“反例法”在高等数学教学中的应用
散 ；但它们的和 ∑Ｕ＋ ｎ ０是收敛 级数 。 ｎ ∑Ｖ＝ 学员在学习的过程 中， 常常误以为由收敛级数 的线性性 质可 以推出两个 发散 级数 的 “ 线性性质 ”。通过此例 ，可 以
让学员很快 明白两个 发散级数 的和可能是个收敛级数， 这就
提 高 了课 堂 教 学 效 率 。
“ 反例法＂在高等数学教学中的应用
齐 莲敏
（ 襄樊广播 电视 大学，湖北 襄樊 ４ １２ ） ４ ０１
［ 内容提要］ 本文通过对高等数学 中典型问题的反例研 究，说 明在高数教学中应用 “ 反例法 ”能有效提高教 学质量 ，能提高学生分析 问题和解决 问题的能力。 ［ 关键词】 反例 ；分析 ；实函 ；代数 ［ 中图分类号］ Ｇ７ ２ ［ 文献标识码］ Ａ ［ 文章编号］ １０ ．４ ７（ ０ ０ １０ ２ －２ ０ ８７ ２ ２ １ ）０ ．０ ００
连 续 必 然 可 导 。（ 是个 错 误 命 题 ） 这 反例 ：Ｙ ｌ在 ｘ ０处 连 续 ，但 不 可 导 。因 为 在 该 点 的 ＝ｘ ｌ ＝
念与定理的含义，提 高教学质量 。 １ ．连续基数 的概念
通常情 况下，学员在学习实变 函数之前 ，总会从直觉上 感到：较长的线段 比较短的线段含有更 多的点。 这种错误的 直 觉 会 使 学 员在 实变 函数 的后 续 学 习 中绕 很 多弯 路 。 下 面 但 这个反例却可以使初 学实函的人很快 明确 ： 一个较长 的线短 并不 比另一个较 短的线段含有更 多的点 ， 而是含有 同样多的
的周长为 ４ ，表 面看 来好象 “ 后者 比前 者含有更 多的点” ｇ 实际上，只要从原点出发作射线 ，即可建立前者与后者 的点 的一一对应 。也就是 说，ｘ＋ ２ １与 ｘ＋ ２４上面 的点一样 ２ｙ＝ ２ｙ－ ＿ ．
浅谈反例在高等数学教学中的作用及构造
2. 3 从类比入手[5 1 概念、 公理、 已有的结论等可供类比。
[ 文章编号] 1009一2323(2005)03一0087一02
数学教育理论认为:概念或规则的正例传递了最有利 于概括的信息， 反例则传递了最有利于辨别的信息。 在高 j l [ 等数学教学中经常用到数学反例。所谓数学反例就是否定 的数学例证。为了防止或否定学生对于数学知识的错误认 识而列举的一些数学事例， 是数学教学上的“ 调节器” 运 . 用数学反例对学生的智力活动能起到定向纠错、 提炼升华 的作用， 并能维持数学课堂教学按既定的路线进行。教师 在数学教学中要有运用反例的意识。现就反例在高等数学 教学中的作用及构造谈几点看法。 1. 反例在高等数学教学中所起的重要作用 1. 1 能使学生准确地理解定义， 正确地掌握定理 心理学实验告诉我们:差别大的东西、 异常的信号， 往 往会首先引起人们的注意;同样的问题， 变化一个角度去观 察或思考， 常常会给人以新鲜的感觉， 往往会收到意想不到 的效果。在数学教学中教师若只采用正例来帮助学生理解 数学知识， 学生将很难留 下深刻的印象， 甚至难以讲清楚有 关问题;而适当地运用反例， 就能使学生从另一个侧面抓住 问题的本质。 例如， 在微积分中， 关于罗尔(Ro le) 定理， 闭许多教 l J z [ 材的处理方式雷同， 一般先介绍定理:若 “x 满足: ( 1 在 ) ) 闭区间〔 b〕 a， 上连续; (2) 在开区间(a， 内可导， f(a) = f b) (3) b ( ). 则在开区间( ， 内至少存在一点e， f‘ 。再 a b ) 使得 (日= ， 给出证明， 最后举出满足定理条件的正例， 求出定理中的佗 (或判断所给问题是否满足定理条件) 。为了深刻理解此定 理， 可举出反例来说明罗尔定理中的三个条件与结论之间
高等数学教学中的反问题及反例
高等数学教学中的反问题及反例
【原创实用版】
目录
一、引言
二、高等数学中的反问题
三、高等数学中的反例
四、反问题和反例在高等数学教学中的应用
五、结论
正文
一、引言
高等数学是现代科学和技术领域的重要基础学科，其教学目的是培养和加强学生的基本运算能力、基本应用能力和逻辑思维能力。
在高等数学教学过程中，反问题和反例的教学方法被广泛应用，它们对于加深学生对概念的理解、提高学生的运算能力和应用能力具有重要的作用。
二、高等数学中的反问题
反问题是指将问题的条件和结论互换，从而形成的新问题。
在高等数学中，反问题的提出可以帮助学生更好地理解原问题的解决过程，同时也能够培养学生的逆向思维能力。
例如，在求解微分方程时，通过提出反问题，可以帮助学生更好地理解微分方程的解法。
三、高等数学中的反例
反例是指在某个命题中，存在的一个对象使得该命题不成立。
在高等数学中，反例的存在可以帮助学生更好地理解概念和定理的适用范围，防止学生片面理解概念和定理。
例如，在极限的求解过程中，通过引入反例，可以帮助学生理解极限存在的条件。
四、反问题和反例在高等数学教学中的应用
在高等数学教学过程中，教师应该注重反问题和反例的教学方法。
通过引入反问题，可以帮助学生更好地理解原问题的解决过程；通过引入反例，可以帮助学生更好地理解概念和定理的适用范围。
同时，教师应该引导学生主动寻找反问题和反例，培养学生的自主学习能力和探索能力。
五、结论
反问题和反例在高等数学教学中具有重要的作用，它们可以帮助学生更好地理解概念和定理，提高学生的运算能力和应用能力。
论高等数学教学中反例的应用
重 要概 念很 多，而且 概 念 之 间错 综 复 杂，因此 在
教 学 中让学 生 深刻 理解 概 念 的 内涵 与 外延 。对 提
高教 学质 量具 有非 常 重要 的意义 。本 文拟 就在 教 学 中充分 应 用 反例 揭示 概 念 之 间 的 内在关 系 增
强学 生对 定理 、 质 的理 解掌 握 ， 性 做一 些分 析谈 一
高等 数 学 的教 学 目的 ， 是 通过 对 极 限理论 、 就
学 的不 足 ， 而加 深 学生 对 知识 的理 解 ， 从 给他们 留
下 深刻 的印象【 。 ３
连 续 与 可 导是 一 元 函数 的重 要概 念 之 一 ， 但 高 等 数学 初学 者 对 它 们 的理 解 常 常模 糊 不 清 ， 在 讲授 这些 知识 的时候 ， 果 只从 正 面论述 ， 如 同学们
点看 法 。
的证明才可 以肯定一个命题的正确性 ，而一个巧 妙 的反 例 即可 否 定 一 个 命 题 的正 确 性 ，８ 纪 著 １世
名数 学家 欧 拉 曾作 出类 似于 费 尔马 大定 理 的一个
猜想 ： 方程 ＋ ｃ： ６＋ 没有 整数 解 。２ ０ ０ 多年 来 ， 无
导数都存在但不相等 ， ） ＝ 不可导。通过此 即 在 ０
例 ， 生 印象 深 刻 ， 化 了对这 两个 概 念之 间内在 学 强
２ ．通 过 反 例 教 学 ．可 加 深 学 生 对 基 础 知 识 的 掌 握
高等数学的教学 内容除概念以外 ，大量的是
论高等数 学教 学 中反例 的应 用
屈 红 萍
（ 山学 院 数学 系 ， 保 云南 保 山 ６ ８０ ） ７０ ０
【 摘
要】反例在高等数 学教 学中有着 重要 的作用， 通过举反例 ， 以加深学生对概念 、 理 、 可 定 公式 的理解 ， 修正学
“反例”在高中数学教学中的应用
“反例”在高中数学教学中的应用【摘要】众多反例集知识性与趣味性于一体，让学生在“惊奇”中发现不同，在“警醒”后学到知识。
在新课程改革大趋势下，我们一线教师必须担负起提高教学效率的重任，而反例的应用就是其中一种很好的方法。
【关键词】反例高中数学教学效率一，反例在数学中的重要意义在整个数学发展史中，发现一个正确的命题固然让我们欣喜，而发现一个命题的错误之处也同样重要。
要证明一个命题的正确必须严格地从所给条件出发，用逻辑推理的方法结合已知定理公理推导出结论。
而要证明一个命题是错误的或者片面的，最具有说服力而又简明的方法就是举出反例。
在数学发展的历史上，恰当的反例推动了数学的发展。
常常有这样的情况，一个重要的猜想，数学家用了很长的时间未能证明它，结果有人举出反例否定了这样的猜想，使问题得到了解决。
1640年，费马认为自己找到了能表示部分素数的公式+1(称为费马数).他验证了n=1,2,3,4的情况都是正确的,于是得到了形如+1的自然数是素数的猜想..一百多年后,欧拉指出+1=4294967297=6700417×641.从而推翻了费马的猜想.历史上,这样的例子数不胜数.二，反例在高中数学教学中的重要作用：1．反例是概念教学中不可或缺的组成部分概念教学是数学教学中的重要板块，几乎每一部分知识的构建都是从概念部分开始。
在概念教学中适当运用反例，有利于突出概念的关键特征，加深学生对概念本质属性的理解，提高概念学习的效率。
例如在双曲线的概念的教学中，课本的双曲线的定义是：我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于｜｜）的点的轨迹叫做双曲线。
在实际学习中，学生总是把注意力放在“差”和“绝对值”上，而忽略了括号中“常数小于｜｜”的要求，而“常数小于｜｜”的要求不仅是双曲线的定义的重要组成部分，也是考题最容易考察的知识点。
我们在教学中也可以先不用急着把“（常数）小于｜｜”的重要性先强加给他们，而是在概念给出后及时给出一个不考虑（常数）小于｜｜的反例：是平面内两个定点，ｐ点是平面内一个动点，并且满足｜｜＝６，那么ｐ点轨迹是什么？学生经过思考后发现，p点轨迹是两条射线，有了这个反例，学生就会发现，双曲线定义中“（常数）小于｜｜”和“差”“绝对值”同样重要，在以后对类似题目的处理就不会忘掉考虑“定值小于｜｜”的要求了。
反例教学法在高等数学教学中的应用解析
须 促使 学生 注意定 理 、 质成 立 的条件 ， 性 正确 理解 定理、 性质 的 实质 ， 把握 定理 的结 论 ， 为推 理 论证
及 应 用打下 良好 的基 础 。 反例 在加 深 学生对 定理 、
性 质 本 质 的 理 解 ， 防 止 理 解 错 误 、 用 不 当 方 面 以 运
解 和 对 基 础 知 识 的 掌 握 ， 现 并 纠 正 学 习 中 的错 误 ， 养 学 生 的创 新 能 力 和 良 好 的 思 维 品 质 。 在 发 培
高等 数 学教 学 中 ， 当 的 应 用反 例 进 行 教 学 ， 导 学 生从 反 面 思 考 问题 ， 有 利 于 高 等 数 学教 学 质 恰 引 将 量 的 提 高和 学 生数 学素 质 的 培 养 。 关 键 词 ： 例 ；高 等 数 学 ；应 用 反
从 反例 中修 补相关 的知识 。 嘲
例 如 ， 生 在 学 习 了 “ 穷 小 量 与 有 界 变 量 之 学 无
ｎ＝
ｌ
综上 所 述 ， 例 在 高 等数 学 教学 中有重 要 的 反
作 用 ， 过反 例 的构造 ， 以调动 学生学 习 的积 极 通 可 性， 加深 学 生对 知 识 的理 解 ， 析 错误 ， 辨 发现 数 学 真理 。 生通过 解决 数 学问题 寻找 反例 ， 学 领会数 学 思 维 的规 律 和方法 ， 养 创新 能 力 和 良好 的思 维 培
在 高 等数 学 中对 新概 念 讲 授 时 ， 面 的 例 子 正
可 以起 到 了解 、 熟悉 新概 念 的作 用 ， 而反 例则 可 加
深 对 新 概 念 的 理 解 。２ ［ 在 引 入 一 个 新 概 念 时 ， 通
有 显 著作用 。
反例在数学教学中的作用
反例在数学教学中的作用作者：唐浩月来源：《高等教育》2016年第04期摘要：反例和证明推动了数学学科的发展，在数学发展中具有同等重要的作用.利用反例可以发现原有理论的局限性，推动数学向前发展.在数学教学中通过反例，可加深学生对基本概念的理解和对基础知识的掌握，发现并纠正错误，培养学生的创新能力和良好的思维品质。
数学中的反例，是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子.说得更简洁一点，反例就是一种指出某命题不成立的例子.这里，我们讨论建立在数学上已证实的理论与逻辑推理基础上，并且具有一定作用的反例.本文主要从以下几个方面阐述反例在数学教学中的作用。
第一通过反例教学可加深学生对基本概念和定理的理解.概念是数学理论和方法的基础，只有准确地理解和把握概念的内涵，掌握概念的本质属性，才有可能正确掌握数学知识.高等数学中具有若干新概念，而要很好地理解这些新概念，正面的例子可起到了解熟悉新概念的作用，而反例则可加深对新概念的理解.在讲授Lagrange 中值定理时，学生易将其理解为对一切可微函数均有效，其实它只适用于实分析.这时可构造如下反例以加深学生对Lagrange 中值定理的理解.例：设不难验证处处连续而且可微，但找不到一个区在a与b之间存在某个，使：故，由于不存在正数，使得，因而矛盾，故式（1）不成立.究其原因是的值域中含有虚数元，不属于Lagrange 中值定理中所指实函数范畴.第二通过反例教学可加深学生对基础知识的理解.数学的教学内容除概念以外，大量的是定理性质以及他们的应用.每一个定理性质都有它各自成立的条件.讲解定理性质时，必须促使学生注意这些条件，理解和掌握他们的实质，为推理论证及应用计算打下良好的基础，在这个环节中，正面的例题可使学生掌握定理性质，而反例则可加深学生对其的本质理解，以防止理解错误，运用不当.例如在微分中值定理的教学中，为使学生准确理解和掌握微分中值定理，必须强调结构成立的条件.又如因多元函数是一元函数的推广，它必然要保留一元函数的许多性质，但由于自变量增多，也会产生本质上的差别，因此，在学习多元函数的理论时，既要注意它与一元函数的联系，也要弄清它们之间的本质差别，比如学生在学习多元函数的偏导数与连续性的关系时，容易受到思维定势的影响，不注意一元与多元的差异，错误地把一元函数中可导必连续这一结论搬到多元函数中来，但这个问题结论对多元函数是不成立的，为引起重视，可用如下反例加以说明.如，由偏导数定义而在点却不连续.又如在点连续，但在点两个偏导数都不存在.第三通过反例教学可可以发现和纠正学习中存在的错误.教学过程是一个知识积累的过程，同时也是不断发现错误改正错误的过程，反例在辨析错误中具有直观明显说明力强等突出特点.通过反例教学，不但可以发现学习中存在的错误和漏洞，而且可以从反例中修补相关知识，从而获得正确结论或解答.在区分无界函数和无穷大量这两个概念时，不少学生认为无界就一定是无穷大量.而通过下面的反例即澄清了错误认知.在学习概率论中，同学们都知道不可能事件的概率为零，但是概率为零的事件不一定是不可能事件.通过一反例说明.第四培养学生的良好思维品质.数学教学的目的在于培养学生的思维能力，通过数学知识的传播和思想方法的熏陶，使学生形成良好的思维品质.这就要注重培养他们思维的灵活性、批判性、严谨性及广阔性.而反例在培养学生思维品质的这几个方面都可起到正面例题所不能起到的作用，特别是在培养思维的严谨性和批判性方面尤为重要.第五通过反例教学，可培养学生的创新能力巧妙的一个反例便可否定似乎经过严格“证明”的结论，但实际上，反例的构造并不轻松.构造反例并不像证明那样有清晰可循的逻辑途径，反而需要更高的数学素养和勇于创新的能力.一般说来，许多反例的构造并不惟一，这就从另一方面给学生提供了培养创造性能力的多种途径.因此在教学中，除教师应用反例教学外，指导学生构造反例，使学生在构造反例的过程中学会创新，养成勤于探索，不断进取的良好习惯.在教学中，通过对陈题改造或挖掘定理性质的隐含条件以及针对学生学习中的错误，编制涉及构造反例的题目，通过学生构造反例的训练，达到培养他们的创新能力的目的.数学是一门严密的学科，他有自己独特的思维方式和逻辑推理体系.在数学教学中通过注重应用反例，不但可使学生加深理解教材内容，明确命题成立条件，克服对数学知识理解的偏差，而且培养了学生应用反例的能力.数学教学实践证明，通过反例的列举，对于理解概念和对整个理论的建立有着重要的借鉴作用，可以使学生澄清对某些概念和性质的模糊认识，加深理解教材内容，搞清命题成立条件，克服对数学知识理解的偏差，从而更深刻地理解知识，思维更加严谨.可以这样说，学好数学就必须养成举反例的习惯.而一般来说，举反例比给出证明更需要想像力和创造性.因此，教师在日常教学中一定要注重应用反例教学，引导学生养成举反例的习惯，同时也培养学生应用反例的能力.在这一系列的过程中，不断提高学生数学能力.。
反例在高等数学教学中的应用
反例在高等数学教学中的应用
高等数学教学中的反例，也称为反面学习，一种特殊的学习方法，经常被用于
数学课程中。
这种方法的一个特点是重视解释可能的失败，这正是数学课程的核心。
反例是反映一般情况的重要例外，能通过研究例外来深化理解原则本身。
在高等数学教学中，反例应用得最为普遍，可以让学生针对给出的具体例子进
行不同的分析和演示，以致学习数学知识时有了最深刻的理解。
一般来说，反例学习更容易让学生理解数学概念，让学生分析不同情况有助于学生更好地掌握它们并开发他们的创造性思维。
另一方面，反例应用也存在一定的问题，尽管可以更加快速的理解数学概念，
但是学习者分析太多的例外情况，其处理问题的能力会受到影响。
另外，有时由于反例情况过于多，学习者会失去有条理地学习数学知识的概念，最终导致他们通过这个方法学习数学的有效性锐减。
因此，在使用反例学习的数学教学中，应当注意使用把握住重点的原则，合理
统筹调整题目，确保题目的有效性，不应过多地进行例外情况的分析。
只有在确保能够有效发挥反例学习的效用的前提下，才能最大限度的发挥出反例对理解数学概念的好处，促进学生的学习效果。
反例在数学教学中的作用
反例在数学教学中的作用
数学是一种系统性的思维方式，它受到严格的证明和定理来保证其准确性、可靠性以及有效性。
反例在数学教学中发挥着重要的作用，它不仅有助于学生深入理解数学的概念，而且能够帮助学生正确地解决数学问题。
反例是一种有助于学生深入理解数学的概念的方法。
它是用来反驳一个先前在数学领域中所推断或推断出来的理论的例子，学生需要在一定范围内构建一个反驳理论的例子。
反例可以帮助学生更加深刻地理解数学的原理，让学生比较之前被认为是正确的推理和实际情况之间的差异，从而更好地理解数学的概念和原理。
此外，反例在数学教学中可以帮助学生正确地解决数学问题。
学生在解决数学问题时，往往容易迷失在无意义的思考和推断中。
有时他们可能会在错误的假设或推理上花费大量的时间，从而无法正确解决问题。
而反例可以帮助学生辨别错误推理和正确推理，从而更轻松地解决数学问题。
另外，反例不仅可以帮助学生深入理解数学概念，而且可以培养学生的创新思维、发现能力以及解决问题的能力。
通过反例的训练，学生可以学会在解决问题的过程中去思考，并从广泛的视角出发去发现问题的解决方案。
这样一来，学生不仅可以更加深刻地理解数学的原理，而且可以培养自己的创新思维、发现能力和解决问题的能力。
综上所述，反例在数学教学中发挥了重要的作用，它不仅有助于学生深入理解数学概念，而且可以帮助学生正确地解决数学问题，同
时还可以培养学生的创新能力、发现能力和解决问题的能力。
数学老师应该加强培养学生利用反例学习数学的能力，从而提高学生的数学思维和加深学生对数学原理的理解。
浅谈反例在高等数学教学中的作用-毕业论文
【标题】浅谈反例在高等数学教学中的作用【作者】彭小平【关键词】反例高等数学教学作用【指导老师】刘萍【专业】数学与应用数学【正文】1引言高等数学是培养学生抽象概括能力、逻辑思维能力、运算能力和空间想象能力的重要课程，高等数学学习的好坏直接影响到其它学科的学习，在大学学习中占有极其重要的地位.但是，由于内容的高度抽象性与概括性、严密的逻辑性、独特的“公式语言”、简练的表达方式，高等数学常常成为我们学习的第一个难关.如何渡过这第一个难关，学好高等数学？1997年9月，张宏老师在他的《谈谈反例在高等数学教学中的作用》[1]一文中阐述了正确的应用反例，在高等数学的教学和学习中起到事半功倍的效果；内蒙古师范大学数学系旺吉乐先生在他的《谈反例在高等数学教学中的作用》[2]一文中讨论了反例在培养学生数学思维能力方面的功能并通过实例着重探讨了反例在高等数学教学中的作用, 指出“反例教学”是提高教学质量的重要一环, 又是培养学生数学思维能力的不可缺少的手段；南京邮电学院应用数理系丁秀梅老师在她的《反例在高等数学教学中的作用初探》[3]论述了重视和恰当地使用反例,不仅有助于学生全面正确地理解、掌握高等数学的基本概念和基本定理,还有助于激发学生的求知欲,提高数学思维能力。
我们知道，数学提出问题的主要类型为“若A则B”，如果要说明这一问题是正确的，则要建立严格的证明；但是如果要说明这一问题是不正确的，只要举出一个与结论不符合的例子就足够了.这种用来否定某个结论的例子，通常就称为反例.把使用反例这种数学推理方法应用在高等数学的教学中，有什么样的作用呢？前面这几位学者都作了深入的研究。
本文将更加广泛的来研究反例在高等数学教学中的作用，下面我们来简单谈一谈：2 反例能使学生正确、全面的理解数学基础知识2.1反例能使学生正确、全面的理解概念概念在高等数学中有着举足轻重的作用，学生的逻辑思维能力、空间想象能力、分析运算能力、解决问题的能力都是以清晰、正确的概念为基础的.从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念的掌握程度.而数学概念本身是抽象的.引入概念之后，还必须有一个去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造、制作、加工、深化过程，必须在感性认识的基础上对概念作辨证的分析，用不同的方式进一步揭示概念的本质属性.通过构造反例，往往能够从反面消除一些容易出现的模糊认识，帮助我们严格区分那些相近易混的概念，把握概念的要素和本质，从而学好高等数学.例1：在学习数列极限的—N时，我们可以提出这样的问题.若，当n>N时，数列中有无穷多项满足 .是否有？解：答案是否定的.我们可以设，对有，但是，该数列显然是无极限的.用这个小小的反例简洁的否定了这种错误的认识，因为虽有无穷多项满足，但是也可能有无穷多项不满足 .而数列极限的定义当中要求当n>N时，所有的都满足，即不满足的至多为有限项.经过这一反例的判断和分析，学生自然对—N定义的本质有了进一步的认识，对定义的要求也有了更明确的理解.又如：在学习导数概念的时候，对差商的极限，即(2─1)存在的话，就说函数在点可导，有的学生理解不深，认为定义中的是可以指定的，而忽略了是任意的.为了帮助学生对导数概念准确的理解，可以举如下反例加以说名：函数对于，因为同为有理数或同为无理数所以(2─2)故(2─3)根据导数的定义，要求学生回答：此函数在点x处的导数为零吗？肯定有学生回答存在且等于零.老师可以继续提问，函数在定义区间上连续吗？有学生回答函数在内处处间断.这样说明函数在任何点都没有导数.通过这个例子，老师可以向学生讲清楚导数定义中的自变量的增量必须是趋向于零的任意量，它不能只是按某些特定的方式趋向于零.2.2反例能使学生分清定理中条件的充分性和必要性弄清楚数学问题中的充分条件和必要条件,有利于对数学问题的研究, 也有利于对定理的理解.反例能帮助学生分清定理中条件的充分性和必要性.例2：在复合函数的求导法则中, 在点u可导,而又在点可导,这个条件是在处可导的充分条件, 还是必要条件, 还是充分必要条件,学生分不清, 难以回答.即使老师告诉答案,学生也理解不透.但是,如果用反例来说明,学生不但能分清楚,而且还能深刻理解,牢固掌握.如：，，在点不可导，，在x=0点也不可导，但是在x=0处是可导的.因为(2─4)所以│x=0=1(2─5)此例说明复合函数求导法则中的条件是充分的,但并非必要条件.又如在定积分中值定理中，对函数在［］上连续这个条件，大部分同学都认为是使(2─6)成立的充分必要条件.其实不然，在闭区间不连续的可积函数，却可以有积分中值定理的结论.如：在x=0不连续，且，若取，则显然有(2─7)此反例说明,闭区间上连续函数乃是积分中值定理存在的充分条件,并非必要条件.2.3 反例能使学生明确定理、法则、公式中条件的严密性数学本身就是严密性很强的一门科学.在教学过程中，尽管教师把定理、法则、公式讲得十分深刻、十分彻底.但是学生运用时仍然忽视定理、法则、公式的条件，造成错误.恰当的反例可以帮助学生认识定理中条件的严密性.例３：Roll中值定理要求函数同时满足三个条件：１）在闭区间［］上连续；２）在开区间（）内可导；３）在闭区间两端点处的函数值相等，即 .为了说明Ｒoll中值定理中这三个条件是必不可少的，可以用反例来说明.如：（a）令判断是否存在使得成立？该例子中的函数除了不满足罗尔定理中的第一个条件外(因在在处不连续) 满足其余两个条件,但是不存在一点使得成立这个例子说明罗尔定理中的第一个条件是必不可少的.（b）设，判断是否存在使得成立?该例子中的函数除了不满足罗尔定理中的第二个条件外(因在处不可导) 满足其余两个条件， ,显然不存在使得成立.这个例子说明罗尔定理中的第二个条件是必不可少的.（c）设 ,判断是否存在使得成立?该例子中的函数除了不满足罗尔定理中的第三个条件外(因为 ) 满足其余两个条件, 显然不存在使得成立.这个例子说明罗尔定理中的第三个条件是必不可少的. 2.4 反例可以发现和纠正学习中存在的错误学习过程是一个知识积累的过程, 同时也是不断发现错误、改正错误的过程, 反例在辨析错误的过程中具有直观、明显、说明力强等突出特点.通过反例教学, 不但可以发现学习中存在的错误和漏洞, 而且可以从反例中修补相关知识, 从而获得正确结论或解答. 例4：在我们学习了“函数和的定积分等于它们积分的和”这个性质后，大家就想当然的把它推广到无限和的情形，但是无限个函数和的定积分可以不等于各个函数积分的和.如：因为所以即在闭区间[0，1]上恒有 .所以(2─8)但是= ,于是 = (2─9)所以有(2─10)此例说明了“函数和的定积分等于它们定积分的和”这一性质不能够无条件地推广到无限项和的情形.又如：我们在学习二元函数的连续、偏导、可微的时候，不少同学想当然的将一元函数的这些概念迁移过来.如果是正确的，当然是好的，但是是正确的吗？我们来看一看：函数在处存在两个偏导数，即，，但是它在处不连续.此例可以说明“偏导一定连续”是错误的.3 反例可以培养学生的科学的数学思维方法学习数学的目的在于培养我们的思维能力，通过数学知识的传播和数学思想方法的熏陶，使我们形成良好的思维品质，科学的数学思想方法.这就要注意培养我们思维的灵活性、思维的批判性、思维的严谨性和思维的广阔性.而反例在培养我们科学的思维方法中起到了正面例题所起不到的作用.如反例可以使我们可以克服定势思维、培养我们的发散思维能力.3.1 反例是克服定势思维的有力手段在学习过程中，学生在教师习惯性程序影响下容易形成固定的思维模式，即定势，它是发散的基础，没有一定的定势储备，便没有灵活的发散.但是受定势和习惯的影响便会产生“墨守成规”、“机械记忆”、“被动模仿”等负面影响，容易形成思维的障碍，反例正是解决这一弊端的有效方法.学生学完洛必塔法则入获至宝，认为符合条件的都能求解，形成定势思维.为了消除这样的定势思维，我们可以举出反例例5：，我们有，，所以(3─1)但是(3─2)仍然是不定式，再用洛必塔法则又回来到原来的比式，无法得到最终结果.3.2 反例是培养发散思维的重要途径著名数学教育家波利亚强调要教会学生会猜想，而高等数学教学现状是偏重于形式论证、逻辑推理的严密性，这对培养学生的创新能力来说是不利的.而反例的运用恰恰能够培养学生思维的批判性，发展逆向思维和发散思维，有利于创新思维能力的提高.所以，在教学过程中要鼓励学生敢于提出问题、敢于猜想，将定理的条件改变一下，加强或减弱，看看对结论会有什么样的影响？能否将定理的结论推广延伸等等.也就是要求学生不仅仅局限于证明现成的定理和习题，而是着眼于发现创新，自己提出问题，猜想结果，这时反例常常会发挥出意想不到的威力.例6：对于正项级数（D’Alembert）判敛法陈述为：若则当时级数收敛；当（或）时级数发散.当时判别法失效，这意味着时级数可能收敛也有可能发散.教师可以即时的构造反例加以说明，事实上收敛和发散的反例分别为和 .当然（D’Alembert）判敛法还有可能由于的跟本不存在而失效，进而引发学生去发现创造比（D’Alembert）判敛法更有效的判别方法.此时反例又的作用又得到了充分的展示.如：判定级数的敛散性.若用（D’Alembert）判敛法，则(3─3)故不存在，（D’Alembert）判敛法失效，但不能得到这个级数是收敛的还是发散的结论.事实上此级数是收敛的.利用Cauchy判别法有(3─4)故此级数是收敛的.又如：发散级数此时，， .所以不存在.进而得到（D’Alembert）判敛法极限不存在的推广形式：(3─5)但是注意到推广形式仍然可能由于 1 而失效.由此可见，在高等数学教学过程中构造恰当的反例，利用帮助学生深刻理解基本概念和重要定理，清楚的看到猜想和反驳在数学学习过程中的重要性，对培养学生的发散思维能力是十分有益的.4 反例可以培养学生的创新思维能力反例和证明一样推动了数学学科的发展，数学的发现也是朝着提出证明和构造反例这两个主要目标前进的.与证明一样,反驳也是我们在数学学习中必须努力培养的十分重要的数学思维能力.构造反例(反驳的主要方式之一) 带有一定的技巧性,有时是费力的.它不仅与基础知识掌握的程度有关,还涉及到知识面的宽窄等等.所以在教学中除列举一些反例之外,在适当的时候,让学生自己构造反例,这对学生是很好的锻炼.事实上,反例的引出、构造、对命题的再分析??重视和体验这样的过程,不仅能增加知识、拓宽思路、活跃思维、提高自学能力,也能提高分析问题和解决问题的能力, 增加数学素养.在教学中重视和恰当地应用反例,不仅可以调动学生的学习积极性, 养成重视条件、严格推理的习惯,而且还可以提高学生的数学能力、学习能力和创新能力.巧妙的一个反例便可否定似乎经过严格“证明”的结论, 因此, 有人误认为构造反例比证明轻松, 但实际上, 构造反例并不像证明那样有清晰可循的逻辑途径, 而给人一种不可捉摸的感觉, 因而, 需要更高的数学素养和勇于创新的能力.一般说来, 许多反例的构造并不是惟一的, 这就从另一方面给学生提供了培养创造性能力的多种途径.因此在教学中, 除教师应用反例教学外, 指导学生构造反例对提高他们的创造能力有良好的作用, 使学生在构造反例的过程中学会创新, 养成勤于探索, 不断进取的良好习惯.例7：例如在学习了商的极限法则后, 为强化学生对分母的根限不为零这一条件的注意, 设计了题目：若则必有以下结论吗?(4─1)我们可以举如下反例:我们设 ,那么 ,即没有意义那么就有(4─2)又如在学习了级数后为区分正项级数与任意项级数的不同, 设计了题目: 若级数收敛, 则级收敛吗?构造反例和给出证明, 不论是从纯数学的角度还是从数学教学的角度来看, 都起着同等重要的作用.通过构造反例, 可深化对知识的理解, 辨析错误, 发现数学真理, 培养创新能力和良好的思维品质.在数学教学中, 恰当地使用反例, 引导学生去构造反例, 将有助于教学质量的提高和学生数学素质的培养.5 反例有助于激发学生的求知欲有些问题稍作变化,再交给学生,在新旧的比较和思索中,往往能引起学生的兴趣.而通过教师有效的引导和学生积极的讨论, 许多反例将被举出.例如对于绝对值函数,我们可以提出下面一系例8：列命题让学生判断:(1) 若在点连续,则在点也连续; (是)(2) 若在点连续,则在点也连续; (非)(3) 若在点可导,则在点也可导; (非)(4) 若在点可导,则在点也可导. (非)又如学习洛必达法则时,我们可以提出这样的问题:若符合洛必达法则的条件, 通过该法是否就一定能求得极限呢? 只需举一反例:(5─1)在接连使用该法则的过程中总是出现不定式且发生循环现象.学生一旦发现这一反例中的恶性循环,便感到惊奇,引起解题的兴趣.像这些学生易犯而又意识不到的错误, 一经提出, 就会使学生感到诧异.因为学生有强烈的了解“为什么”的愿望,所以接下来反例的构造或列举自然会引起我们格外的注意.6 结束语从以上论述我们可以看出，反例在高等数学教学中的运用，对于准确理解定义、定理，正确运用所学知识，培养学生的数学能力，激发学生的求知欲，确实起到了事半功倍的效果.在教学过程中，我们应充分发挥它的作用.。
反例在数学教学中的作用
反例在数学教学中的作用
数学是一门综合性学科，其中运用了证明、推理和假设等复杂的理论，对学生进行数学教学时，需要从不同的角度和多种方式来探讨和推动学生的学习进度。
通常给学生展示正例是广泛应用的一种教学方式，而反例在数学教学中也有重要的作用，具有十分重要的教育意义。
首先，反例在数学教学中能够更好地帮助学生理解知识点，这是因为正例可以提供一种假设，然后反例可以扩展该假设的有效范围。
比如，在学习内容是“定义域和值域”时，可以以反例的方式提出，“给定函数f(x) = x2 3x + 2，它的定义域是什么？该函数的值域是什么？”这样的反例，针对性更强，可以让学生对具体问题有更深刻的理解。
其次，反例能够有效地发展学生的创造能力和思维能力。
数学是客观性学科，学习时仅通过实例来理解规律是比较吃力的，只有借助反例，学生才能更清晰地看到数学规律，从而促进了学生学习兴趣和思维能力的培养。
另外，学生通过反例也可以善于发现问题，在解决实际问题时更具有创新能力。
最后，反例在数学教学中还有一个重要的作用，就是可以有效地帮助学生提高数学处理能力，这是因为反例提供的情景比正例更加完整，学生必须具备良好的数学处理能力才能解决问题。
比如，如果使用反例来教授“函数f(x)的导数”，而不是直接明示f(x)的导数，学生必须具备一定的处理能力，才能计算出函数f(x)的导数。
以上是反例在数学教学中的作用。
反例是一种有效的教学方式，能够使学生受益匪浅。
反例教学法在高等数学教学中的应用
反例教学法在高等数学教学中的应用作者：盖虹范东昕来源：《现代交际》2015年第12期[摘要]反例教学法在高等数学教学实践中效果十分明显，且有着非常重要的作用。
恰当地运用反例教学，有利于加深学生对基本概念的理解，使其更好地掌握基本定理，能够及时发现并有效地纠正习题中的错误，同时开拓学生的思维，培养学生的思维创新能力，引导学生多方面、多角度地思索问题，有助于提高教学效率和教学质量。
本文探究了反例教学法在高等数学教学中的重要意义，分析并举例说明了反例在高等数学教学中的应用。
[关键词]反例教学法高等数学教学应用[中图分类号]G72 [文献标识码]A [文章编号]1009-5349（2015）12-0191-01一、反例教学法在高等数学教学中的重要意义高等数学的反例是举出一个与命题的条件完全相同但是结论与命题矛盾的例子。
进行反例教学，需要严密地证明正确的命题，再利用反例否定错误的命题。
（一）有利于学生深化理解基本概念高等数学理论与方法以概念为基础。
要想学好高等数学，应用数学知识来解决实际问题，必须要学会正确地理解概念的具体内涵。
反例教学法有利于学生认识概念的本质，深化理解基本概念，理解概念的真正内涵。
在引进一个新的概念时，教师可以通过几个合理的具体例子将高等数学概念具体化，这时，再适当地举几个反例，从反面理解概念，能深化学生对概念的掌握，教学效果也会大大提升。
（二）有利于学生理解并掌握基本定理高等数学在教学中会运用大量的定理、性质及其具体应用。
在讲解定理和性质时，教师要重点讲解定理、性质是在什么条件下成立的，准确理解其实质，掌握定理成立的结论，以便更好地进行推理、论证和应用。
反例教学有利于学生深化理解并掌握基本定理和性质的本质，避免对概念的错误理解，以及不当运用定理和性质。
（三）有利于有效地纠正错误的命题学生通过积累知识来学习更多，同时也不断地产生错误，错误不仅出现在理解概念、定理和性质的过程中，也会在具体解题的过程中出现。
高等数学教学中反例的作用
高等数学教学中反例的作用作者：邹宗兰来源：《科技视界》2014年第24期【摘要】本文讨论了反例在高等数学教学中的作用，说明适当运用反例，对学生正确理解概念，合理运用定理，激发学生学习兴趣，提高分析和解决问题的能力起着重要作用。
【关键词】高等数学；教学；反例；作用【Abstract】This thesis discusses the role of counterexample in the higher mathematics teaching， we need the proper application of counterexample， to help students understand the concept correctly， use of theorem rationally， to stimulate students learning interesting， improve their ability of analyze and solve problems.【Key words】Higher mathematics；Counterexample；Teaching；Effect高等数学中存在着大量的概念、定理、法则、公式、命题等，它们不仅内容抽象，逻辑严密，而且之间的关系错综复杂，成为学生学习的难关。
在高等数学教学中，由于学生对某些概念的理解存在一定困难，对一些定理缺乏深刻的认识，对一些方法的应用很难掌握，而在教学过程中恰当运用反例，往往能弥补这方面的不足，给高等数学的教学带来事半功倍的效果。
1 利用简单的反例，准确理解定义高等数学中许多重要的概念都是用抽象的数学语言给予形式化的精确描述，这些语言往往简短精炼，但内涵丰富，意义深刻，给学生的理解带来很大难度。
而数学理论和方法的基础是概念，只有准确理解，才能正确掌握数学知识。
概念的教学中，不仅仅要运用正确的例子来分析和强调概念，如果有几个例子从反面来说明定义，从而能加深学生对概念的理解和掌握。
反例在数学教学中的应用
反例在数学教学中的应用
反例在数学教学中有很重要的应用，可以帮助学生更深入地理解和掌握数学概念。
具体来说，反例可应用于以下几个方面：
1. 明确概念的条件限制：对于某些数学概念来说，只有特定的条件下才能成立，反例可以帮助学生明确这些条件限制。
例如，学生可能会认为两个奇数的和一定是奇数，但给出反例后，例如
3+5=8，学生就会了解到这个结论只在两个奇数的和小于偶数的情况下成立。
2. 辅助证明定理：在学习证明数学定理时，反例可以作为一种辅助工具。
通过给出反例，学生可以了解到一个结论的确切形式，从而更容易理解和证明相关的定理。
反例也可以被用来发现证明定理的缺陷或不足。
3. 明确问题的限制范围：在解决数学问题时，有时需要明确题目限制的范围。
例如，如果要找到比2更小的正整数，反例可以帮助学生明确这个范围的限制，例如1和0都不是正整数，因此找到比2更小的正整数需要从1开始。
总之，反例是一个非常有用的工具，可以帮助学生更深入地理解和掌握数学概念，在解决问题和证明定理时也可以提供帮助。
高等数学教学中反例的作用
高等数学教学中反例的作用
近年来，学术界、教育界及社会各界对于高等数学教学中反例的作用表示关注。
反例是指可以说明某种性质的特例的存在或不存在，例如某定理的真假等。
本文通过概述反例的定义、反例的分类以及结合实例讨论高等数学教学中反例的作用，旨在探讨反例对于高等数学教学传授知识和思维方式的有效补充作用以及未来可能发展的方向。
首先，从定义上讲，反例作为一种数学化的概念，可以帮助把抽象的数学概念在实际应用中得以不断诠释和完善。
在数学教学中，反例的存在可以帮助学生更加深刻理解相关数学概念，正是由于反例的存在，学生能够更清晰地了解定理及其证明结构，认识定理的应用以及发现潜在的知识领域。
其次，反例在数学教学中扮演了突破传统教育框架的重要作用。
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谈“反例教学”在高等数学教学中的应用
谈“反例教学”在高等数学教学中的应用摘要：反例教学可以说在高等数学教学过程中，发挥着非常重要的作用和效果，随着新课标的不断改革和完善，其重点就是要培养学生的整体水平和综合能力，因此，在高等数学教学过程中，采用反例教学的教学方式，一方面可以帮助学生对高等数学理念和基础知识的掌握和了解，另一方面，还可以在不同程度上帮助学生改正在高等数学教学中学习的误区，通过反例教学的方式，可以锻炼和培养的学生的感知、认知以及创新能力，为此，在高等数学教学中，恰当的采用反例教学法进行引导教学，是非常有利于培养学生数学能力和高等数学教学质量的，下文我们主要针对“反例教学”在高等数学教学中的应用进行简单的阐述和分析，希望能够起到一定的借鉴之处。
关键词：反例教学；高等数学教学；应用；分析中图分类号：g64 文献标识码：a文章编号：1009-0118（2012）05-0142-02高等数学，在高等院校中可以说是一门要求逻辑和思维能力非常强的学科，在高等数学教学中，学生可以培养和锻炼自身的抽象和思维能力，可以充分调动自身的空间思维能力和空间想象能力，学生如果掌握其高等数学学习的能力，那么对于提高自身能力来说，是百利而无一害，因此，为了能让学生掌握和了解高等数学学习方法，我们在高等数学中可采用反例教学，来引导和启发学生学习高等数学，进而，培养学生的思维能力和创新的能力，让学生能够具备解决问题的能力，然后将这样的学习能力，应用到学习工作和生活中，不断的提高和完善自身素质和技能。
一、采用反例教学方法，提高学生对于知识的理解在高等数学教学过程中，可以说高等数学中存在很多的概念以及相应的定理和规则，这样就给学生在学习高等数学过程中带来了很大程上的困难，因为在高等数学中的定理以及规则，如果片面的理解起来是非常的困难的，很多学生在学习高等数学过程中，也都只是了解其文字的含义，而对其所要表达的内容一无所知，因此，为了能够加深学生对高等数学的概念、定理以及规则的理解，我们可以在高等数学教学过程中，采用反例教学的方式，从侧面了解和概括高等数学的概念、定理以及公式所要表达的本质意思，从而使学生能够对知识进行一定的理解和分析。
浅谈反例在高等数学教学中的作用
此如何帮助学 生正 确 的理解 和 掌握 高等 数学 的基本
概念和定理 ， 是教 师面临 的一个 首要 问题 。解决 这一 问题 的有效 的方法 之一 ， 重视 和恰 当地利 用 反 例 。 是 在数 学 中， 要确立 一个 命题 正 确 ， 须 经过 严 密 的逻 必
０从 而 ｆ ｘ， 在 （ ，） 的两个偏 导 数存在 。 ， （ ） Ｏ０ 处 这说明 ： 即使二元函数的两个偏导数都存在 ， 但是它 不具有 连续 性 。
１ ５
（ ，） （ ，） ００ ， ０Ｏ 不存 在 。 这说明： 即使二 元 函数是 连续 的 ， 两个偏 导数 都不 但 存在。
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不存 在 ． 这 说 明 ： 元 函 数 不 连 续 ， 两 个 偏 导 数 也 不 二 且 存在 。 例 ３ 讨 论 ｆ ｘ ） Ｉ ，ｚ， ∈ ， （ ， ） （ ， 一 ｌ （ ） 在 Ｏ ０ 处连 续性 与偏 导数 存在 性 。
浅析“反例教学”在高等数学教学中的应用(全文)
浅析“反例教学”在高等数学教学中的应用1 反例教学的内涵数学是由两个大类构成的，证明和反例。
证明是我们在教学中经常使用的方法，而我们所说的反例指的是，在具体的数学教学过程中，为了加深学生的记忆，将比较难以理解的问题简单化，教师针对这些学生较容易出现学习困难或理解错误的知识点上有意设计答案，用表面上看起来似乎是正确的，但其实是完全错误的答案来设置“陷阱”，待学生按照预期跳入陷阱后，教师再根据学生所犯的错误给出正确的解答，引导学生得出的正确的答案，这就是反例的教学方法。
反例教学法实际的教学中是十分重要的。
学生在这一反向思维的过程中，不但能够准确地掌握所要学习的数学知识，又能锻炼自己的逻辑思维能力。
本文就从高等数学的知识入手，具体探讨反例教学在高等教学中的运用。
现代信息技术的不断进展以及各种现代化的手段工具在学校教学中的广泛运用，既给学校教育带来了难得的机遇，也使学校教育面临着比之前更多的挑战。
同时，随着我国课程改革的不断深入，传统的教育方式面临着比之前更多更严峻的挑战，因此，新的教学方法在教学过程中的运用就成为这个时代的新要求。
在数学的教学中，很多教师注重对例题的讲授，教师将例题的过程完整的呈现给学生，将答案和思路一并灌输给学生，学生虽然获得了例题的正确答案，很多时候并不理解解题的思路和过程，在面对相同类型的试题时，往往依旧摸不着头脑，长时间处在这样的教学环境中，只会使学生越来越厌恶数学的学习。
因此，在数学的教学中要勇于革新，积极运用新方法，本文我们就以此为出发点，寻求数学教学中的反例法。
2 反例教学在高等数学教学中的重要性（1）反例教学的运用可以使学生更加准确地理解数学基本概念。
在数学中，概念纷繁复杂，有很多概念还是十分抽象的。
教师在讲授这些概念时就面临一个问题，如何能够使这些抽象的概念变得生动、具体、易于理解？笔者认为，反例教学就可以在数学概念讲授时，得到很好的运用，从而使学生对这些抽象概念的理解不断加深。
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反例在高等数学教学中的功能
发表时间：2014-08-22T11:01:32.153Z 来源：《素质教育》2014年6月总第154期供稿作者：韩召伟
[导读] 高等数学主要围绕数学知识的理论体系的建立来展开,然而解释概念、得出命题、阐明定理大都是从正面陈述的,对于反例的陈述少之又少。
韩召伟陕西师范大学数学与信息科学学院710062
摘要：高等数学是近代数学的基础,是现代科学技术中应用最广泛的一门学科。
在高等数学教学中, 恰当地开发和有效地利用反例,能起到事半功倍的效果。
本文具体以多元微分学中极限、可偏导和可微之间的关系为例,剖析了高等数学教学中反例的功能。
关键词：高等数学多元函数反例
一、引言
高等数学主要围绕数学知识的理论体系的建立来展开,然而解释概念、得出命题、阐明定理大都是从正面陈述的,对于反例的陈述少之又少。
因为缺乏反例的衬托,在学习过程中学生对数学概念内涵和外延理解上的偏差或对于命题的条件和结论认知的不充分,都将成为学生高等数学学习的屏障。
构造适当的反例，一方面能帮助学生全面理解和正确掌握高等数学中的基本知识,激发学生的求知欲；另一方面对于提高学生的数学学习能力和数学思维能力将会起到十分重要的作用。
因此,在高等数学教学中,充分发掘反例的教学功能,有效地构造和利用反例,教师应予以足够重视。
二、高等数学教学中反例的功能
1.反例是全面理解概念的基础。
数学知识理论体系向来以思维严密和逻辑严谨而著称,教材主要由定义和定理等内容构成,比较注重学生的抽象概括能力、逻辑思维能力、空间想象能力、分析运算能力、解决问题方面能力的培养,而这些能力的取得都以深刻理解概念和准确掌握概念为基础，因此,在教学中只要求学生死背概念是不行的,必须注重理解其实质。
高等数学中具有若干新概念,而要很好地理解这些新概念,正面的例子可起到了解、熟悉新概念的作用,而反例则可加深对新概念的理解。
在高等数学教学中,教师不仅要运用正确的例子深刻阐明知识点,而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质,弥补正面教学的不足,从而加深学生对知识的理解。