缓和曲线的坐标公式及推导

第一章缓和曲线的坐标公式

如图1-1所示,其坐标系是以缓和曲线起点ZH为原点O，以切线为x轴，以过原点的曲线半径为y轴。若原点O至P点的缓和曲线长度为，过P点切线与x轴的交角为β（即半径由∞变至的中心角）。若P有微小变化至P′时，则增长，（x,y）增长（）,则有以下关系，

图 1-1

得，

（2-1）

由公式(常数)得知，故有

则

将上式代入（1-1）式中，得

即

（2-2）

以及的关系代入上式得

即

以代入上式得

（2-3）

上式即为缓和曲线上任一点直角坐标（x,y）的计算公式。

缓和曲线上任一点P的切线与x轴的交角，称为缓和曲线螺旋角，或称缓和曲线角。其计算可由前面公式得

（弧

度）（2-4）

若将代入（2-4）及（2-3）式中，则有以下结果：

（2-5）

上式即为缓和曲线终点HZ（ZH）的坐标及螺旋角的计算公式。

第二章圆曲线要素及计算公式

如图2-1所示，两相邻直线偏角（线路转向角）为，选定其

图 2-1

连接曲线圆曲线的半径为R，这样，圆曲线和两直线段的切点位置ZY点、YZ点便被确定下来，我们称为对圆曲线相对位置起控制作用的直圆点ZY、圆直点YZ 和曲中点QZ为圆曲线三主要点。我们称R、α以及具体体现三主要点几何位置的切线长T、曲线长L、外矢距E和切曲差（切线长和曲线长之差）D为曲线6要素。只要知道了曲线6要素，便可于实地测放出圆曲线。现将圆曲线的元素列下：

：转向角（实地测出）

R：曲率半径（设计给出）

T：切线长（计算得出）

L：曲线长（计算得出）

D：切曲差（计算得出）

偏角是在线路祥测时测放出的，圆曲线半径R是在设计中根据线路的等级以及现场地形条件等因素选定的，其余要素可根据以下公式计算：

第三章偏角法测设介绍

偏角法是一种极坐标标定点位的方法，它是用偏角和弦长来测设圆曲线细部。

如图3-1所示，1，2…，，…，n为设计之详测点，邻点间距均为c，弦长

c所对应的圆心角为。当放样至详测点时，可在ZY点置镜，后视JD方向，

拨出偏角,再自-1点量距C和拨出的视线方向交会，即得出点。

图 3-1

若弦长c所对应的弧长为C′，可根据弦切角等于其所对应圆心角之半求出

各点的偏角：

实际作业中，有时为了测量和施工的方便，一般要求圆曲线详测点的里程尾数为选定弧长C′的整数倍。但ZY点、YZ点及QZ的里程尾数却不一定为C′的整数倍，这样在曲线的两端则出现小于C′的分弦。

第四章圆曲线要素计算及测设

根据提供资料，=40º20′（右）,R=100米，转角点JD的桩号为K3+135.12，用偏角法测设各桩点（规定桩距为20米）。

切线长：

曲线长:

外矢距：

切曲差：

经计算，T=36.73L=70.40 E=6.53

根据JD的桩号为K3+135.12，则：

JD桩号K3+135.12

-) T 36.73

ZY桩

号 K3+098.39

+) L 70.40

YZ桩

号 K3+098.39

-) L/2 35.20

QZ桩

号 K3+133.59

+) D/2 1.53

JD桩

号 K3+135.12 所以，经计算交点的里程与校核计算相符。

第一节仪器安置在ZY点上的施测法

一、在ZY点上施测法1

1．计算

根据转折角和半径R及交点桩计算三主点的桩号为：

ZY： K3+098.39； QZ ：K3+133.59 ；YZ： K3+168.79。

因ZY点的里程为3+098.39，在曲线上，它前面最近的整里程为3+100.00，所以起始弧长=（3+100）-（3+098.39）=1.61（m）。又因点YZ点的里程为

3+168.79，在曲线上，它后面最近的里程为3+160.00，弧

长

=(3+168.79)-(3+160.00)=8.79（m）。

现将计算的偏角值到列表如表4-1，供测设时使用。

为检查计算有无错误，可与总偏角核对。本次研究课题中的总偏

表 4-1

角为=20º10′00″，与计算之总偏角20º10′05″相差05″，这是因为偏角表计算至秒为止，秒后数值四舍五入所造成的误差，与测量精度无影响，属容许误差。

2、施测方法：

如图4-1所示，将仪器安置在ZY点上，全站仪显示对准0º0′0″，后视JD，然后旋转望远镜，拨至第一桩点K3+100.00的偏角0º27′40″，从ZY点起沿此方向量出第一段曲线长 1.61米相应的弦长，定出第一桩点。再拨至第二桩点K3+120.00的偏角6º11′26″，从第一桩点量出第二段曲线长20米相应的弦长，交出第二桩点。依此法逐一测设曲线间所有各桩点。

图 4-1

核对方法：用偏角法测至YZ点，如与预先测得YZ点位置相同，则说明施测之曲线正确。

二、在ZY点上施测法2

置仪器于ZY点上，也可用曲线内第一整桩点作为累计偏角的起始点进行施测。

1、计算

同前所计算，第一段曲线长为1.61米，相应的偏角为0º27′40″，现将计算的偏角值到列表如表4-2。

表 4-2

检查方法按总偏角核对，该课题的总偏角为=20º10′00″，与计算之总偏角19º42′25″+0º27′40″=20º10′05″相差05″，属容许误差。

2、施测方法

将仪器安置在ZY点上，全站仪显示对准359º32′20″后视JD，然后旋转望远镜，拨角度0º27′40″则全站仪显示对在0º0′0″上，从ZY点起沿此方向量出第一段曲线长 1.61米相应的弦长，定出第一桩点。再拨至第二桩点K3+120.00的偏角5º43′46″，从第一桩点量出第二段曲线长20米相应的弦长，交出第二桩点。依此法逐一测设曲线间所有各桩点。核对方法同前。此法优点是第一桩点后各桩点，特别是查桩点的偏角查算简单。

第二节全站仪安置在QZ点上施测法

一、全站仪安置在QZ点上施测法1此法以QZ点为计算起点，算出各桩点偏角。

1、计算

现将计算的偏角值到列表如表4-3，供测设时使用。