2019年高考理科数学分类汇编:数列(解析版)
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题08 数列
1.【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则 A .25n a n =-
B .
310n a n =-
C .2
28n S n n =-
D .2
122
n S n n =
- 【答案】A
【解析】由题知,415
144302
45d S a a a d ⎧
=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩,解得132a d =-⎧⎨=⎩,∴25n a n =-,2
4n S n n =-,故选A . 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式,渗透方程思想与数学计算等素养.利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,再适当计算即可做了判断.
2.【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15,且53134a a a =+,则3a = A .16 B .8
C .4
D .2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ,则23111142
111
15
34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩, 解得11,2
a q =⎧⎨=⎩,2
314a a q ∴==,故选C .
【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量,熟练应用公式是解题的关键. 3.【2019年高考浙江卷】设a ,b ∈R ,数列{a n }满足a 1=a ,a n +1=a n 2+b ,n *∈N ,则 A . 当101
,102
b a =
> B . 当101
,104
b a =
> C . 当102,10b a =-> D . 当104,10b a =->
【答案】A
【解析】①当b =0时,取a =0,则0,n a n *
=∈N .
②当<0b 时,令2x x b =+,即2
0x x b -+=.
则该方程140b ∆=->,即必存在0x ,使得2
000x x b -+=, 则一定存在10 ==a a x ,使得21n n n a a b a +=+=对任意n *
∈N 成立,
解方程2
0a a b -+=,得1142
b
a ±-=
, 当
114102b +-≤时,即90b -时,总存在1142
b
a +-=,使得121010a a a ==⋯=≤, 故C 、D 两项均不正确.
③当0b >时,2
21a a b b =+≥,
则22
32a a b b b =+≥+,
()2
2
243a a b
b b b =+++.
(ⅰ)当12b =时,2
2451111711,1222162a a ⎡⎤⎛⎫++=>>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥,
则2
61111
12224a ⎛⎫>++=> ⎪⎝⎭
,
2719222
a >+
=, 2
8918310224a ⎛⎫>+=> ⎪⎝⎭
,
则2
981
102
a a =+
>, 2
1091
102
a a =+
> , 故A 项正确.
(ⅱ)当14b =时,令1==0a a ,则2
231111
,4442
a a ⎛⎫==+< ⎪⎝⎭,
所以2
2
4311114242a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭,以此类推,
所以2
2109
1111
4242
a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭,
故B 项不正确. 故本题正确答案为A.
【名师点睛】遇到此类问题,不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想,通过研究函数的不动点,进一步讨论a 的可能取值,利用“排除法”求解.
4.【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若2
1461
3
a a a ==,,则S 5=____________. 【答案】
121
3
【解析】设等比数列的公比为q ,由已知21461,3a a a =
=,所以32511
(),33
q q =又0q ≠, 所以3,q =所以
55
151
(13)
(1)12131133
a q S q --===
--. 【名师点睛】准确计算,是解答此类问题的基本要求.本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算,部分考生易出现运算错误.
5.【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,12103a a a =≠,,则10
5
S S =___________. 【答案】4
【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,
因213a a =,所以113a d a +=,即12a d =,
所以
105S S =1111109
1010024542552
a d a a a d ⨯+
==⨯+. 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算.渗透了数学运算素养.使用转化思想得出答案.
6.【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=−3,S 5=−10,则a 5=__________,S n
的最小值为__________. 【答案】 0,10-.
【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,
5320a a d =+=,
由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.