2019年高考理科数学分类汇编：数列(解析版)

题08 数列

1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-

B ．

310n a n =-

C ．2

28n S n n =-

D ．2

122

n S n n =

- 【答案】A

【解析】由题知，415

144302

45d S a a a d ⎧

=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，2

4n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．

2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8

C ．4

D ．2

【答案】C

【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142

111

15

34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2

a q =⎧⎨=⎩，2

314a a q ∴==，故选C ．

【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则 A ． 当101

,102

b a =

> B ． 当101

,104

b a =

> C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =->

【答案】A

【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n *

=∈N .

②当<0b 时，令2x x b =+，即2

0x x b -+=.

则该方程140b ∆=->，即必存在0x ，使得2

000x x b -+=， 则一定存在10 ==a a x ，使得21n n n a a b a +=+=对任意n *

∈N 成立，

解方程2

0a a b -+=，得1142

b

a ±-=

， 当

114102b +-≤时，即90b -时，总存在1142

b

a +-=，使得121010a a a ==⋯=≤， 故C 、D 两项均不正确.

③当0b >时，2

21a a b b =+≥，

则22

32a a b b b =+≥+，

()2

2

243a a b

b b b =+++.

（ⅰ）当12b =时，2

2451111711,1222162a a ⎡⎤⎛⎫++=>>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥，

则2

61111

12224a ⎛⎫>++=> ⎪⎝⎭

，

2719222

a >+

=， 2

8918310224a ⎛⎫>+=> ⎪⎝⎭

，

则2

981

102

a a =+

>， 2

1091

102

a a =+

> ， 故A 项正确.

（ⅱ）当14b =时，令1==0a a ，则2

231111

,4442

a a ⎛⎫==+< ⎪⎝⎭，

所以2

2

4311114242a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，以此类推，

所以2

2109

1111

4242

a a ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，

故B 项不正确. 故本题正确答案为A.

【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.

4．【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2

1461

3

a a a ==，，则S 5=____________． 【答案】

121

3

【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a =

=，所以32511

(),33

q q =又0q ≠， 所以3,q =所以

55

151

(13)

(1)12131133

a q S q --===

--． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．

5．【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则10

5

S S =___________. 【答案】4

【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,

因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，

所以

105S S =1111109

1010024542552

a d a a a d ⨯+

==⨯+． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．

6．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n

的最小值为__________． 【答案】 0，10-.

【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,

5320a a d =+=,

由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-.