线性规划的整数解和非线性规划问题

6 小时，装
配加工 1 小时，每件甲种家电的利润为 200 元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工
5小
时，在电器方面加工 2 小时，装配加工 1 小时，每件乙种家电的利润为 100 元 .已知该工厂可
用于外壳配件方面加工的能力为每天 15 小时，可用于电器方面加工的能力为每天
24 小时，
可用于装配加工的能力为每天 5 小时 .问该工厂每天制造两种家电各几件， 可使获取的利润最
例 2 已知实数 x， y 满足约束条件
2x＋ y－ 2≥0， x－ 2y＋ 4≥ 0， 3x－y－ 3≤ 0.
试求 z＝y＋ 1的最大值和最小值 . x＋1
考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求斜率型目标函数的最值
解 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分 (包含边界 )所示，
y＋ 1 y－ － 1
由于 z＝ ＝
，
x＋ 1 x－ － 1
故 z 的几何意义是点 (x， y)与点 M (－ 1，－ 1)连线的斜率，
y＋1 因此 的最值是点 (x， y)与点 M (－ 1，－ 1)连线的斜率的最值，
x＋1
由图可知，直线 MB 的斜率最大，直线 MC 的斜率最小，
1 又 ∵B(0,2)， C(1,0)， ∴zmax＝ kMB＝ 3， zmin ＝ kMC＝ 2.
数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的
1.5 倍，问桌子、椅子各买多少
才是最好的选择？
考点 线性规划中的整点问题
题点 线性规划中的整点问题
解 设桌子、椅子分别买 x 张， y 把，目标函数 z＝ x＋ y，把所给的条件表示成不等式组，
即约束条件为
50x＋ 20y≤2 000， y≥ x， y≤ 32x， x∈N， y∈N.
2.目标函数 z＝ x2＋ y2 的几何意义为点 (x， y)到点 (0,0)的距离 .(× )
3.目标函数 z＝ ax＋ by(b≠ 0)中， z 的几何意义是直线 ax＋by－ z＝ 0 在 y 轴上的截距 .(× )
类型一 生活实际中的线性规划问题
例 1 某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工
梳理 下表是一些常见的非线性目标函数 .
目标函数 z＝ ax＋ by (ab≠0) (x－ a) 2＋ (y－ b)2
目标函数变形
几何意义
最优解求法
az y＝－ bx＋ b
z 在 y 轴上的截距是 b
a 平移直线 y＝－ bx， 使在 y 轴上的截距
最大 (或最小 )
令 m＝ (x－ a)2＋ (y 点 (x，y)与点 (a，b)距 改变圆 (x－ a)2＋ (y
反思与感悟 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解
(比如人数、车辆数等 )，而直
接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最优整数解，或者运用平移
直线求最优整数解 .最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析
.
跟踪训练 1 预算用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌子和椅子的总
50x＋ 20y＝ 2 000， 由
y＝x，
解得
200 x＝ 7 ，
200 y＝ 7 ，
200 200 所以 A 点的坐标为 7 ， 7 .
50x＋ 20y＝ 2 000，
由
百度文库
3
y＝2x，
x＝ 25， 解得 y＝ 725，
75 所以 B 点坐标为 25， 2 .
所以满足条件的可行域是以
A
2700，
200 7
∴ z 的最大值为
3，最小值为
1 2.
引申探究
3y＋ 1
1.把目标函数改为 z＝
，求 z 的取值范围 .
2x＋ 1
1
1
解
z＝32·y＋
3 1，其中
y＋3 k＝ 1的几何意义为点
11 (x， y)与点 N － 2，－ 3 连线的斜率 .
x＋ 2
x＋2
由图易知， kNC≤ k≤kNB，即 29≤ k≤134，
第 2 课时 线性规划的整数解和非线性规划问题
学习目标 1.了解实际线性规划中的整数解求法 .2.会求一些简单的非线性规划的最优解 .
知识点一 非线性约束条件 思考 类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件 可行域 .
( x－ a) 2＋ (y－ b)2≤ r2 的
答案 梳理 非线性约束条件的概念：约束条件不是二元一次不等式，这样的约束条件称为非线性
y≤3，
x，y∈N ，
作出可行域，如图阴影部分中的整点， 73
由图可得 O(0,0)， A(0,3)， B(2,3)，C 2，2 ， D (4,0). 平移直线 y＝－ 2x＋ z，又 x， y∈ N，所以当直线过点 (3,2) 或(4,0)时， z
有最大值 .
所以工厂每天制造甲种家电 3 件，乙种家电 2 件或仅制造甲种家电 4 件，可获利最大 .
约束条件 .
知识点二 非线性目标函数
x＋ y≥ 6，
思考 在问题“若 x， y 满足 x≤ 4，
求 z＝ y－ 1的最大值”中，你能仿照目标函数 z＝ x－1
y≤ 4，
y－ 1
ax＋ by 的几何意义来解释
z＝x－
的几何意义吗？ 1
答案
z＝
y－ x－
11的几何意义是点
(x， y)与点 (1,1)连线的斜率 .
大？ (每天制造的家电件数为整数 )
考点 线性规划中的整点问题
题点 线性规划中的整点问题
解 设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为 x 件， y 件，获取的利润为 z 百元，
6x＋ 2y≤ 24，
则 z＝ 2x＋ y(百元 )，
x＋ y≤5， 5y≤ 15，
x，y∈N，
3x＋ y≤ 12，
x＋y≤5， 即
y－b x－a
－b)2，则目标函数 离的平方 为( m) 2
－b)2 ＝ r2 的半径， 寻求可行域最先 (或
最后 )与圆的交点
绕定点 (a，b)旋转直
点 (x，y)与定点 (a，b) 线，寻求与可行域
连线的斜率
最先 (或最后 )相交
时的直线的斜率
1.可行域内的整点指横坐标、纵坐标均为整数的点
.(√ )
，B
75 25， 2
，
( ) O 0，0 为顶点的三角形区域 (含边界 )(如图 )，
75 由图形可知，目标函数 z＝x＋ y 在可行域内经过点 B 25， 2 时取得最大值，
x＝ 25， 但注意到 x∈ N， y∈N ，故取
y＝ 37.
故买桌子 25 张，椅子 37 把是最好的选择 . 类型二 非线性目标函数的最值问题 命题角度 1 斜率型目标函数