一线三等角相似专题复习
张长巧
一线三等角相似专题复习
【“K 型”相似】
1．如图，正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，
（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；
（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位
置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；
6．如图，矩形AOBC 中，C 点的坐标为(4，3)，，F 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），过
F 点的反比例函数k
y x
=
(k >0)的图像与AC 边交于点E 。 (1)若BF ＝1，求△OEF 的面积；
(2)请探索：是否在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点k 的值；若不存在，请说明理由
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3．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6AB DC AD ===，60ABC ∠= ，点E F ，分别在线段AD DC ，上（点E 与点A D ，不重合），且120BEF ∠= ，设AE x =，DF y =． （1）求y 与x 的函数解析式；
（2）当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？
4．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不能到达点B 、C ），过点D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E 。 （1）求证：△ABD ∽△DCE
（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。 （3）当△ADE 为等腰三角形时，求AE 的长。
B
B
一线三等角教案
相似三角形的判定---“一线三等角”
一、教学目标 1.学生会运用两组对应角分别相等的两个三角形为相似三角形的判定方法证明两个三角形相似。 2.学生经历观察、比较、归纳的学习过程，归纳出“一线三等角”图形的基本特征，并且能够在不同的背景中认识和把握基本图形。 3.学生在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的重要性。 二、教学重点、难点 1、重点：运用判定方法解决“一线三等角”的相关计算与证明 2、难点：在不同背景中识别基本图形 三、教学方法：教师主导与学生合作探究相结合。 四、教学过程
例2. 在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=AD=6，∠ABC=60°，点E,F 分别在线段AD,DC 上（点E 与点A,D 不重合），且∠BEF=120°，设AE=x,DF=y. （1）求y 与x 的函数关系式； （2）当x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ C D A B E F 一线三等角与梯形知识的结合。 引导学生思考如何确定y 与x 的 关系，有没有基 本图形的模型。 例2，学生到 黑板上完成，其他同学自 主完成，教师 巡视 例3如图，正方形ABCD 的边长为10，部有6个全等的正方形，小正方 形的顶点E 、F 、G 、H 分别落在边AD 、AB 、BC 、CD 上，则DE 的长为 ． 在正方形中体会“一线三等 角”的重要性 教师引导学生观察有没有基本图形？如何构造基本图形。 学生思考问题，可以在和同学交流的基础上完成。 四知识巩固： 1已知，如图，在矩形ABCE 中， D 为EC 上一点，沿线段AD 翻折，使得点 E 落在BC 上，若借助此题，让学生感到在矩形中因为矩形四个角为直角 的特点，容易和“一线三直 角”基本图形建立联系。 本题融入了轴对称的变换， 教师引导学生观察图形，找基本图 形。 师生共同完成
基本图形-一线三等角
基本图形：一线三等角，相似两边找 “一线三等角”这个基本图形性质虽然不同，就是可以得到一组相似三角形而已，但因为这组相似三角形的对应关系较难看出，因此根据这个基本图形先判断存在着一组相似三角形，就有其价值了。 例1：在等腰△ABC中，AB=AC,D是BC上的一点，作∠ADE=∠B,问：△ABD与△DCE相似吗？如果相似，请写出这组相似三角形顶点和边的对应关系。 讲评：从这个例子，我们可以提炼出如下基本图形：“三个相等的顶点在一直线上，就有两个三角形相似”这个结论。这就成为一个基本图形，简称“一线三等角”。 如图，当∠A=∠B=∠EDC时，就有△ADE∽△CDB； 其证明只要用到外角知识。“一线三等角”不能作为定理直接引用，因此在书写证明时，还得用外角知识重新证明。 数学上特别注意的是，这对相似三角形的对应关系不太“顺眼”，要把其中一个三角形转过一个角度后，才比较容易看出顶点的对应关系和对应边。比较好的记忆方法“逆时针比例法”：从图中的点E出发，沿逆时针沿外周绕，得比例EA:AD=DB:BC.
例2：在等边△ABC中，将角A翻折，使点A落在BC边的D点上，EF为折痕，求证：△BED∽△CDF.并写出对应线段比例式。 例3.在矩形ABCD中，AD=4，CD=5，点F在AD上，将角D沿CF翻折,使点D落在AB边的点E处，求 的值。 例4：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=2，BC=8，∠MEN=∠B.∠MEN的顶点E在边BC上移动，一条边始终经过点A，另一边与CD交于点F,连接AF。设BE=，DF=，试建立关于的函数关系式，并写出函数定义域。
相似三角形之一线三等角型
相似三角形之一线三等角型 一、知识梳理： （图1） （图2） （1）如图1：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有___ （2）如图2：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有___ 二、习题精选 1.如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作 DEF B ∠=∠， 射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； （3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长. 2.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。 （1）求证△BPD ∽△CEP （2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。 3.等腰△ABC ，AB =AC =８，∠BAC =120°，P 为BC 的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P ，三角板绕P 点旋转． （1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：△BPE ～△CFP ； （2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ． C P E A D
①探究１：△BPE与△CFP还相似吗？ ②探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由； ③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S． B C P B P
相似三角形的特殊模型_一线三等角
相似三角形的特殊模型 ―――“一线三等角”模型的综合题 （图1） 图形的变式
（1）如图1：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有 ； （2）如图2：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有 ； (3) 如图2，若 AB ＝AC ，∠ B ＝∠EDF , BD=CD, 连接DF ，那么一定存在的相似三角形有 . 二、例题解析 例1.如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠ABC. 已知BD=1，BE= 3 1 ,求CF 的长. 练习 1.已知△ABC 中AB=AC=6、BC=8，∠BAC=120度，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠C. 已知BD=6、BE=4 . 求:CF 的长 2.如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60°. （1）求证：△BDE ∽△CFD ； （2）当BD =2 3 ，FC =1时，求BE .
例2.在ABC ?中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且 5 2 =AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ . 练习 在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o 是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F. (1)当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =； (2)当 m DB AD =，求DF DE 的值. 例3.已知在等腰三角形ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，∠EDF=∠B. 求证：△BDE ∽△DFE.
一线三等角典型例题
“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用 一、“一线三等角”模型的提炼 例1、（2015 年山东·德州卷） (1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP. (2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由. (3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与A B相切，求t 的值. 变式1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究 如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD1E1 和正方形BCD2E2，过点C作直线KH 交直线AB 于点H，使∠AHK = ∠ACD1．作 D1M ⊥KH，D2N ⊥KH，垂足分别为点M、N．试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系，并加以证明． ( 2) 拓展延伸 1如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点 C 作直线K1H1 ，K2H2，分别交直线AB 于点H1、H2，使∠AH1K1 = ∠BH2K2 = ∠ACD1．作D1M ⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M、N． D1M = D2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由． 2如图8，若将① 中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求:在图8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)
中考复习一线三等角构相似经典题型分类训练
“一线三等角”构相似经典题型分类训练 (时间:90分钟 满分:100分) 班级 姓名 成绩 . 类型一 普通角 1. (2分)如图,AB=5cm, AC=3,BD=2cm,∠CAB=∠DBA=a °,点P 在线段AB 上,AP= 时,∠CPD=a °． 2. (2分)如图,在△ABC 中,AB=AC=10,BC=16,D 是边BC 上一动点（不与点B,C 重合）,∠ADE=∠B=α,DE 交AC 于点E,给出下列结论：①图中有2对相似三角形；②线段CE 长的最大值为；③当AD=DC 时,BD 的长为439.其中,正确的结论是（ ） A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 3. (8分)如图，在△ABC 中，AB=AC=8，BC=6，点D 为BC 上一点，BD=2．过点D 作射线DE 交AC 于点E ，使∠ADE=∠B ． （1）求证:AD AB ＝DE DC ； （2）求线段EC 的长度． 4. (8分)如图，已知在△ABC 中，AB=AC=6，BC=5，D 是AB 上一点，BD=2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作∠DEF=∠B ，射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； 5. (8分)如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在线段BC 上运动（点D 不与B 、C 重合）连结AD ，作∠ADE=∠B ，DE 交线段AC 于E ． 求证: (1)AD 2=AE ·AC (2) AB·EC=BD·CD 6. (8分) 如图①，在△ABC 中，AC=BC ，点D 是线段AB 上一动点,∠EDF 绕点D 旋转，在旋转过程中始终保持∠A=∠EDF ，射线DE 与边AC 交于点M ，射线DE 与边BC 交于点N ，连接MN ．
中考数学专题复习一线三等角专题练习(含答案)
—线三等角型相似三角形 强化训练： 1. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ； (2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由． 2. 已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F 在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ； (2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ??=4． 如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由． 3. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点， 然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。 （1）求证△BPD ∽△CEP （2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。 C P E A B D A B C D E A B C D E F
4. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ， 设PC =x ，记PE =1y ，PF =2y （1）分别求1y 、2y 关于x 的函数关系式 （2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出CP 的长，若不能，请说明理由。 5. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ， 设PC =x ，△PEF 的面积为y （1）写出图中的相似三角形不必证明； （2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）若△PEF 为等腰三角形，求PC 的长。 6. 已知在等腰三角形ABC 中，4,6AB BC AC ===，D 是AC 的中点， E 是BC 上的动点（不与B 、C 重合），连结DE ，过点D 作射线DF ，使EDF A ∠=∠，射线DF 交射线EB 于点F ，交射线AB 于点H . （1）求证：CED ?∽ADH ?； （2）设,EC x BF y ==. ①用含x 的代数式表示BH ； ②求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的定义域. C P E A B F C P E A B F H A B C D E F
最新一线三等角型相似初三压轴题
中考热点5——三等角型相似三角形 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角 相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示： 等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。 典型例题 【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE 【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60° 再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度 解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60° ∴∠B =∠C =∠EDF =60° ∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD （2）∵△BDE ∽△CFD ∴ BE CD BD FC = ∵BD =1，FC =3，CD =5 ∴BE = 3 5 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。 【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ， 求证：△BDE ∽△DFE 【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE 与 △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 的条件 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B ∴∠B =∠C =∠EDF ∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD ∴ DF DE CD BE =又∵BD =CD ∴DF DE BD BE =即DF BD DE BE = ∵∠EDF =∠B C A D B E F D
一线三等角专题训练
一线三等角问题 一、问题引入 如图，ABC ?中，90B ∠=?，CD AC ⊥，过D 作DE AB ⊥交BC 延长线与E 。 求证：△ABC ∽△CED 其他常见的一线三等角图形 （等腰三角形中底边上一线三等角） （等腰梯形中底边上一线三等角） F （直角坐标系中一线三等角） （矩形，正方形中一线三等角） （1）等腰三角形中一线三等角 例1、 如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上 一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； （ 3 ）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长． C (备用图)
（1、 本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必 有三角形相似； （2、 第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少时， 三角线相似。变式练习1就是这类题型； （3、 第三问，中间的三角形与左右两个形似时，有两种情况，一种是DF 与底边平行， 一种是E 为中点； （4、 在等腰梯形中，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰 梯形中也适用。 变式练习1 （浦东新区22题） 如图，已知等边△ABC 的边长为8，点D 、 F 、E 分别在边AB 、BC 、AC 上，3BD =，E 为AC 中 点，当△BPD 与△PCE 相似时，求BP 的值. 变式练习2（宝山22题） 如图6，已知ΔABC 中，AB AC =,点E 、F 在边BC 上，满足∠EAF =∠C .求证： 2BF CE AB ?=； F E C B A （图6） （2）等腰梯形中一线三等角 例2.（长宁区18题）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD = BC =∠45B =?，直角三角板含45度角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F .若△ABE 为等腰三角形，则CF 的长等于 . \ 第18题
相似三角形的基本模型(一线三等角)
模型中的相似三角形（２） 【基本模型】 图3 C B B C C B A A A 1. 如图1，BDE EDF C B ??∠=∠=∠∽CFD ?(一线三等角） 如图2，ABD ADE C B ??∠=∠=∠∽DCE ?(一线三直角) 如图3，特别地,当D 是BC 中点时：BDE ?∽DFE ?∽CFD ??ED 平分 BEF ∠，FD 平分EFC ∠。 2. 一线三等角辅助线添加:一般情况下，已知一条直线上有两个等角(直角)或一个直角 时，可构造“一线三等角”型相似。 【巩固提高】 1. 已知ABC ?中,120,6?=∠==BAC AC AB ，D 是BC 的中点，AB 边上有一点 AC E ,延长线上有一点F ,使.C EDF ∠=∠ 已知4=BE ,则=CF 4 27 提示：,120,6?=∠==BAC AC AB ,D 是BC 的中点 ∴33==CD BD 由BDE ?∽CFD ? ∴ CF DB DC BE =， 4 27 =CF
2. 如图,等边ABC ?中,D 是边BC 上的一点,且3:1:=DC BD ，把ABC ?折叠,使点 A 落在BC 边上的点D 处.那么 AN AM 的值为 75 . A B C 提示：由翻折可得:A MDN DN AN DM AM ∠=∠==,, 设：,3,1==DC BD 则4,4=+=+DN CN DM BM ∵BDM ?∽CND ?, ∴ 7 5 3414=++===??CND BDM C C DN DM AN AM 3. 在矩形ABCD 中，6=AB ,8=AD ，把矩形ABCD 沿直线MN 翻折,点B 落在边 AD 上的E 点处，若AM AE 2=, 那么EN 的长等于 F E 提示：作AD NF ⊥于F ，则6==AB FN ∵MAE ?∽EFN ?, ∴ EF AM FN AE = ∵AM AE 2= ∴53,32 1 ===EN FN EF
相似三角形---一线三等角型
相似三角形（3）“一线三等角型” 教学目标： 1、掌握相似三角形的判定和性质，并能熟练运用其解决重要类型“一线三等角”的类型题. 2、经历运用相似三角形的基础知识解决问题的过程，再次体验图形运动、分类讨论、方程 与函数等数学思想. 3、通过问题的解决，体验探究问题成功的乐趣，积极探索，提高学习几何的兴趣. 重点： 相似三角形的判定性质及其应用. 难点： 与相似、函数有关的综合性问题的解决技巧和方法. 教学方法： 启发式教学方法，尝试指导教学法. 一、知识梳理： （图1） （图2） （1）如图1：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有___ （2）如图2：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有___ 二、【例题解析】 【例1】如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ， AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠ABC. 已知BD=1，BE=3 1,求CF 的长 【练】1、已知△ABC 中AB=AC=6、BC=8，∠BAC=120度，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有 一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠C. 已知BD=6、BE=4，求:CF 的长
2、如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =23，FC =1时，求BE 【例2】在ABC ?中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且5 2=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ 【练】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o 是AB 边上的一点，E 是在AC 边 上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F. (1)、当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE = (2)、当m DB AD =，求DF DE 的值
林初中2017届中考数学压轴题专项汇编：专题17一线三等角模型(附答案)
专题17 一线三等角模型 破解策略 在直线AB 上有一点P ，以A ，B ，P 为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB 上，另一条边在AB 同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C ，D ． 1．当点P 在线段AB 上，且∠3两边在AB 同侧时． （1）如图，若∠1为直角，则有△ACP ∽△BP D ． 321D B P A C （2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP ∽△BP D ． 3 C D B P A 证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CP A ，∠C ＝180°－∠1－∠CP A ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ， ∵∠1＝∠2，∴△ACP ∽△BPD （3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP ∽△BP D ． 231D B P A C 2．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 同侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ．
32 1C P D B A 证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CP A ，∠C ＝180°－∠1－∠CP A ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ， ∵∠1＝∠2＝∠PBD ，∴△ACP ∽△BPD 3．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 异侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ． 32 1C D B A P 证明：∵∠C ＝∠1－∠CPB ，∠BPD ＝∠3－∠CPB ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠BP D ． ∵∠1＝∠2，∴∠P AC ＝∠DBP ．∴△ACP ∽△BP D ． 例题讲解 例1：已知：∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与点A ，B 重合）．DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ．记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2． （1）如图1，当△ABC 是等边三角形，∠EDF ＝∠A 时，若AB ＝6，AD ＝4，求S 1S 2的值； （2）当△ABC 是等腰三角形时，设∠B ＝∠A ＝∠EDF ＝α． ①如图2，当点D 在线段AB 上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，求S 1S 2的表达式（结果用a ，b 和a 的三角函数表示）． ②如图3，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，直接写出S 1 S 2的表达式．
一线三等角相似模型
一线三等角相似 一．一线三直角 1.如图，住平面直角系中，直线AB ：()4 40y x a a = +≠分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点，D 是x 轴上的一点，OA OD =，过D 作CD ⊥ x 轴交AE 于C ，连接B C ，当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点D 重合）且AB BC ⊥时 (1)求证：ABO ?∽BCD ?； (2)求线段CD 的长（用a 的代数式表示）； (3)若直线AE 的方程是13 16 y x b =- +，求tan BAC ∠的值．
2.如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 是射线DA 上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P ，三角板两直角中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E ． （1）判断△EAP 与△PDC 一定相似吗？请证明你的结论； （2）设PD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）是否存在这样的点P ，是△EAP 周长等于△PDC 周长的2倍？若存在，请求出PD 的长度；若不存在，请简要说明理由． E P D C B A
3.如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P 为垂足，PE交DC于点E， (1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围； (2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由. 解：(1)∵AB∥CD ，∴∠A+∠D=180° ∵∠A=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D 又∵PE⊥BP ，∴∠APB+∠DPE=90°， 又∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPE， ∴△ABP∽△DPE ∴，即 ∴ (2)欲使四边形ABED为矩形，只需DE=AB=2，即，解得 ∵，∵均符合题意，故AP=1或4. 4.（2018上海，23，12分）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF ⊥AP，垂足分别是点E、F． （1）求证：EF=AE-BE； （2）联结BF，如果，求证：EF=EP．
一线三等角相似专题复习
张长巧 一线三等角相似专题复习 【“K 型”相似】 1．如图，正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△； （2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位 置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积； 6．如图，矩形AOBC 中，C 点的坐标为(4，3)，，F 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），过 F 点的反比例函数k y x = (k >0)的图像与AC 边交于点E 。 (1)若BF ＝1，求△OEF 的面积； (2)请探索：是否在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点k 的值；若不存在，请说明理由
第2页 3．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6AB DC AD ===，60ABC ∠= ，点E F ，分别在线段AD DC ，上（点E 与点A D ，不重合），且120BEF ∠= ，设AE x =，DF y =． （1）求y 与x 的函数解析式； （2）当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？ 4．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不能到达点B 、C ），过点D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E 。 （1）求证：△ABD ∽△DCE （2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。 （3）当△ADE 为等腰三角形时，求AE 的长。 B B
一线三等角专题
一线三等角专题 1．如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 、y 轴上，连接AC ，将纸片OABC 沿AC 折叠，使点B 落在点D 的位置．若点B 的坐标为（4，8），则点D 的坐标是____． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y= -2x+2与 x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，四边形ABCD 是正方形，曲线在第一象限经过点D.则________． 3．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=AD=6, ∠ABC=∠C=70°，点E 、F 分别在线段AD 、DC 上，且 ∠BEF=110°, 若AE=3，求DF 的长． 4．点E 为线段BC 上一点，若 ∠B=∠AEF =∠C=90°, 连接AF ，AB=7,CF=4,BC=11,当△ABE 与△EFC 相似时，求BE 的长． 5．如图设M 为线段AB 中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME=∠A=∠B=α，且DM 交AC 于F ，EM 交BD 于G ． （1）写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明； （2）连接FG ，设α=45°，AB=4 ,AF=3，求FG 长． 6．如图，已知y 1=k 1x+k 1（k 1≠0）与反比例函数 (k 2≠0)的图象交于点A 、C ，其中A 点坐标（1，1）． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象写出在第一象限内，当取何值时，y 1＜y 2？ （3）若一次函数y 1=k 1x+k 1与x 轴交于B 点，连接OA ，求△AOB 的面积： （4）在（3）的条件下，在坐标轴上是否存在点P ，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知：在矩形AOBC 中，OB=3，OA=2．分别以OB 、OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若点F 是边BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数（k ＞0）的图象与边交于点E ． （1）直接写出线段AE 、BF 的长（用含k 的代数式表示）； 设△AOE 与△FOB 的面积分别为S 1，S 2，求证：S 1=S 2； （3）记△OEF 的面积为S ． ①求出S 与k 的函数关系式并写出自变量k 的取值范围； ②以OF 为直径作⊙N ，若点E 恰好在⊙ N 上，请求出此时△OEF 的面积S ． （4）当点F 在BC 上移动时，△OEF 与△ECF 的面积差记为S ，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？ （5）请探索：是否存在这样的点E ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． A B C D O y x 图4 F E C B A
相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答
一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行） B （不平行） （二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型 B （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 （五）一线三直角型： （六）双垂型：
相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共 享 性 G A B C E F 一线三等角的变形 一线三直角的
1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OC2=OA?OE．2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α， DE交AC于点E．下列结论： ①AD2=AE?AB；②3.6≤AE＜10；③当AD=2时，△ABD≌△DCE； ④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5． 其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上） 3．已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB=∠ABC． 求证：（1）DB2=DE?DA； （2）∠DCE=∠DAC． 4．已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2=EF?EG． 5．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2=FB?FC．
6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC 于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP 的面积为y． （1）求证：AE=2PE； （2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积． 7．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：BC=2DE． 8．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE=120°． （1）图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似； （2）若DB=2，CE=6，求BC的长． 9．（已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．求证： （1）△ABE∽△DCA；（2）BC2=2BE?CD．
第13讲 “一线三等角型相似”问题
第13讲 “一线三等角相似”问题 二、方法剖析与提炼 例1.如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF ＝60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD ＝1，FC ＝3时，求BE 【解析】主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件得到∠BED=∠FDC 是解题的关键，注意等边三角形性质的应用． 【解答】（1）要证明△BDE 与△CFD 相似，已知条件是∠B ＝∠C ，还缺少一个角或一组对应边成比例； （2）△ABC 是等边三角形，∠EDF ＝60°∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝60°，∠EDC ＝∠EDF ＋∠FDC ＝∠B ＋∠BED ，∠BED ＝∠FDC 。充分利用三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角之和这一性质； （3）根据∠BED ＝∠FDC ，∠B ＝∠C ；容易得出△BDE ∽△CFD ； （4）因为△BDE ∽△CFD ，可以得出 BE CD BD FC BD ＝1，FC ＝3，CD ＝5 所以BE ＝3 5 【说明】（1）本题属于典型的一线三等角相似，由题意可得∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝60°再用外角可证∠BED ＝∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似，根据相似比便可求得线段BE 的长度 （2）根据一线三等角的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。 例2. （2015?泰安）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B ． （1）求证：AC?CD=CP?BP； （2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC?CD=CP?BP 转化为证明AB?CD=CP?BP 是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C 进而得到△BAP ∽△BCA 是解决第（2）小题的关键． 【解答】（1）根据题意可证得∠B=∠C ，∠BAP=∠DPC ，所以△ABP ∽△PCD 。 由相似三角形的性质可以得出 BP AB CD CP = ,有因为AB=AC ，所以AC ?CD=CP ?BP （2）因为PD ∥AB ，所以∠APD=∠BAP ．又因为∠APD=∠C ，所以∠BAP=∠C ． 根据∠B=∠B ，∠BAP=∠C ，可以得出△BAP ∽△BCA ，所以BA BP BC BA = ,把AB=10，BC=12代入就可以求出BP= 253 【说明】（1）易证∠APD=∠B=∠C ，从而可证到△ABP ∽△PCD ，即可得到=， 即AB?CD=CP?BP，由AB=AC 即可得到AC?CD=CP?BP； （2）由PD ∥AB 可得∠APD=∠BAP ，即可得到∠BAP=∠C ，从而可证到△BAP ∽△BCA ，然后运用相似三角形的性质即可求出BP 的长． 例3.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝8，点P 为BC 边上一动点（不与点 B 、 C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM ＝∠B ； （1）求证：△ABP ∽△PCM ； （2）设BP ＝x ，CM ＝y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域． （3）当△APM 为等腰三角形时， 求PB 的长． 【解析】相似三角形的判定及性质定理和等腰三角形的性质，综合运用相似三角形的判定及性质定理解答此题的关键．注重运用分类讨论的思想方法． 【解答】（1）第1小题中，还是有∠APM 等于等腰三角形一个底角（∠B ）这个条件，所以还是符合“一线三等角相似”，所以比较容易证得△ABP ∽△PCM （2）第2小题就是在例2中的已知条件改成未知数x ，y ，把求值改成探究x ，y 的函数关系，提高了思维含量；因为BP ＝x ，CM ＝y ，CP ＝8－x ，根据相似比 MC BP PC AB = ，把值代入比例式就可以得出y x x =-85，x x y 5 8 512+-=)80(< 相似三角形专题——“一线三等角”图形中的相似 教学目标：巩固“一线三等角”图形中的相似判定及分类讨论 结合“一线三等角”图形中相似三角形的特点，确定动点位置 会根据一线两等角图形添加第三个等角构造相似三角形 教学重难点： 重点是“一线三等角”图形中判定三角形相似及两类三个三角形两两相似的分类讨论，难点在根据“一线三等角”图形中相似三角形的特点，确定动点位置，构造相似三角形 教学过程： 一、巩固“一线三等角”图形中相似的判定及分类讨论 1. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，作∠EDF = ∠B，点 E、F分别落在边AD、AC上，求证：△BED∽△CDF *（A A）突出“一线三等角，外角证相似” 2.思考1：练习中，联结EF 若点D是BC边的中点，求证：△EDF∽△EBD *注重证明过程，注意BD与CD的等量代换及比例的内向交换3.思考2：练习中，联结EF 若 BE = CF，求证：△EDF∽△DBE *通过比例的转化，更应注意可证明EF与BC平行 4.提问：思考3：联结EF B 若△BDE与△EDF相似，应该分析哪些请况 *问题直接总结上述两种相似情况，同时为后面分类讨论问题铺垫 二、分类讨论，结合“一线三等角”图形中相似三角形的特点，确定动点位置 1. 练习： 如图，在△ABC中，AB = AC，点D在BC上，若 BC = 5， 点E、点D是AB、BC上的点，且BE=√(6)，作∠EDF = ∠ 当△DEF与△CDF相似时，求CF与BD的长 2. 如图，在正方形格子中有一个矩形ABCD，在AB上，找出点E，联结DE、CE，使得△DEC 与△DAE及△EBC都相似 *注意 AB中点不正确的说明 3. 思考：如图，在矩形ABCD中，点M在AD上， 将△DMC沿MC翻折，点D恰好落在AB边的E点位置，若△MEC与△AME相似， 求：矩形相邻两边 AD与AB的比 *三个相似三角形带来的特点要注意 B A E -- 一线三等角专题 1．如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 、y 轴上，连接AC ，将纸片OABC 沿AC 折叠，使点B 落在点D 的位置．若点B 的坐标为（4，8），则点D 的坐标是____． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线y= -2x+2与 x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，四边形ABCD 是正方形，曲线在第一象限经过点D.则________． 3．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=AD=6, ∠ABC=∠C=70°，点E 、F 分别在线段AD 、DC 上，且 ∠BEF=110°, 若AE=3，求DF 的长． 4．点E 为线段BC 上一点，若 ∠B=∠AEF =∠C=90°, 连接AF ，AB=7,CF=4,BC=11,当△ABE 与△EFC 相似时，求BE 的长． 5．如图设M 为线段AB 中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME=∠A=∠B=α，且DM 交AC 于F ，EM 交BD 于G ． （1）写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明； （2）连接FG ，设α=45°，AB=4 ,AF=3，求FG 长． 6．如图，已知y 1=k 1x+k 1（k 1≠0）与反比例函数 (k 2≠0)的图象交于点A 、C ，其中A 点坐标（1，1）． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象写出在第一象限内，当取何值时，y 1＜y 2？ （3）若一次函数y 1=k 1x+k 1与x 轴交于B 点，连接OA ，求△AOB 的面积： （4）在（3）的条件下，在坐标轴上是否存在点P ，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知：在矩形AOBC 中，OB=3，OA=2．分别以OB 、OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若点F 是边BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数（k ＞0）的图象与边交于点E ． （1）直接写出线段AE 、BF 的长（用含k 的代数式表示）； 设△AOE 与△FOB 的面积分别为S 1，S 2，求证：S 1=S 2； （3）记△OEF 的面积为S ． ①求出S 与k 的函数关系式并写出自变量k 的取值范围； ②以OF 为直径作⊙N ，若点E 恰好在⊙N 上，请求出此时△OEF 的面积S ． （4）当点F 在BC 上移动时，△OEF 与△ECF 的面积差记为S ，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？ （5）请探索：是否存在这样的点E ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． A B C D O y x 图4 F E C B A相似三角形专题——一线三等角
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