一线三等角相似专题复习
相似专题：一线三等角模型
由于角顶点位置的改变，或角绕顶点旋转会产生各 种各样的变式，但万变不离其宗： 都是构造相似三角形列比例式解决问题.
常见类型
考题赏析：
考题赏析
应用举例
应用举例.
2、当等角所对的边相等时的两个三角形全等. 如图，当CE=ED时，易得△AEC≌△BDE.
3、“中点型一线三等角”的特殊性质
如图，当∠1=∠2=∠3且D是BC中点时， △BDE∽△CFD∽△DFE.
四、一线三等角的常见构图（以等腰三角形为例）
A与E重合时如图所示
也可以在射线上
点D也可以在线段 BC外面
练习中的问题：
相似专题复习 ：
合肥实验学校 孙红涛
引例
已知相邻两条平行线间距离相等，若等腰直角三角形顶 点分别在三条平行线上，则sinα =
C
a
B
起源
二、“一线三等角”的两种基本类型
1.三等角都在直线的同侧
2.三等角分居直线的两侧
三、“一线三等角”的性质
1.一般情况下，由∠1=∠2=∠3易得△AEC∽△BDE.
中考数学专题复习一线三等角专题练习(含答案)
—线三等角型相似三角形强化训练：1. 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．2. 已知：如图，在△ABC 中，5==AC AB ，6=BC ，点D 在边AB 上，AB DE ⊥，点E 在边BC 上．又点F在边AC 上，且B DEF ∠=∠． (1) 求证：△FCE ∽△EBD ；(2) 当点D 在线段AB 上运动时，是否有可能使EBD FCE S S ∆∆=4． 如果有可能，那么求出BD 的长．如果不可能请说明理由．3. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。
（1）求证△BPD ∽△CEP（2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。
CPEA BDABCDEAB C D EF4. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，记PE =1y ，PF =2y （1）分别求1y 、2y 关于x 的函数关系式（2）△PEF 能为直角三角形吗?若能，求出CP 的长，若不能，请说明理由。
5. 如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上的一个动点(与B 、C 不重合)，PE ⊥AB 与E ，PF ⊥BC 交AC 与F ，设PC =x ，△PEF 的面积为y（1）写出图中的相似三角形不必证明；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）若△PEF 为等腰三角形，求PC 的长。
圆中相似问题及一线三等角专题复习
ENOABCDE 0BCD ENOABCD圆中相似一线三等角1.已知如图 ,⊙O 中,OC 为半径，AB 、CD 为弦， 且OC ⊥AB 于N ，AB 、CD 交于点E ， 求证：BC 2=CE ·CD2.已知如图 ,⊙O 中,OC 为半径，AB 、CD 为弦， 切OC ⊥AB 于N ，AB 、CD 交于点E ， 求证：A C ·BC =CE ·CD3．如图1，在⊙O 中，，3=AB ，5=⋅ED AE ，则EC 的长为 ．图1O A BCD O AC D O A BC D4.已知如图AB 是⊙O 的直径，C 为圆上一点， CD ⊥AB 于D ，AD=9cm,BD=4cm, (1) 求CD 的长；(8题)(2) 仿照此题能否作出已知的两条线段a b 的比例中项c(只须保留作图痕迹)5. 已知如图AB 是⊙O 的直径，C 为圆上一点， CD ⊥AB 于D ，连结AC BC, (1) 试用两种方法证明:A C ·BC=AB ·CD (AB=2R)(2) 向上平移AB,此时AB 为弦,是否还有A C ·BC=2R ·CD, 若有请证明,若没有请说明理由.6如图，△ABC 是⊙O 的内接等腰直角三角形，D 为弧AB 上的点，连结DA DB DC 试证明DC DB DA 2=+7如图，△ABC 是⊙O 的内接等腰直角三角形，D 为弧AC 上的点，连结DA DB DC 试证明DC DA DB 2=-O BD OBCD8如图，AB 、BC 是圆内接正六边形的相邻两边， D 为优弧AC 上的点，连结DA DB DC 试证明DC DA DB 3=+（方法同1题方法一）9如图，AB 、BC 是圆内接正六边形的相邻两边， D 为弧AB 上的点，连结DA DB DC 试证明DA DB DC 3=-CABO DCBAOD10．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝900，AB ＝3，DC ＝7，AD ＝15，请你在AD 上找一点P ，使得以P 、A 、B 和以P 、D 、C 为顶点的两个三角形相似吗？若能，这样的P 点有几个？并求出AP 的长；若不能，请说明理由。
初三相似三角形之一线三等角专题
相似三角形——“一线三等角型”一、知识梳理：一线三等角：两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧。
若有第三个与之相等的角、其顶点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形．（图1）（图2）（1）如图1，已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B，那么一定存在的相似三角形有；（2）如图2，已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B，那么一定存在的相似三角形有.二、【例题解析】【例1】如图，等边△ABC中，边长为4，D是BC上动点，∠EDF=60°，（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，FC=52时，求BE.【变式1】在边长为4的等边ABC∆中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且保持ABCEDF∠=∠，连接EF.(1) 已知BE=1,DF=2，求DE的值；(2) 求证：∠BED=∠DEF.【变式2】在边长为4的等边ABC ∆中，若BD =1时，当△DEF 与△AEF 相似，求BE 的值.【变式3】如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，CF =1，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线EG ，FG 交直线AC 于点M ，N ，（1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE =x ，MN =y ，，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.【例2】在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q （不与点B ,C 重合），已知AP =2，求CQ .【变式1】 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．QC P【变式2】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点（与A ，C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F .(1) 如图1，当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =;(2) 如图2，当m DB AD =，求DF DE 的值.图(2)图(1)F CF C A BB A D E D E【例3】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ① 求证；△ABP ∽△DPC ； ② 求AP 的长．【变式1】如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长．C B AD C B A D【变式2】在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF ∽△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；（3）若EF CD ⊥，求BE 的长．【作业】1、如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，43=BC AC ，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.2、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，连结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．3、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么:①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当BEP DMF S S ∆∆=49时，求BP 的长.。
相似专题：一线三等角模型
相似专题复习---“一线三等角模型”
一、教学目标
1.学生会运用两组对应角分别相等的两个三角形为相似三角形的判定方法证明两个三角形相似。
2.学生经历观察、比较、归纳的学习过程，归纳出“一线三等角”图形的基本特征，并且能够在不同的背景中认识和把握基本图形。
3.学生在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的重要性。
二、教学重点、难点
1、重点：运用判定方法解决“一线三等角”的相关计算与证明
2、难点：在不同背景中识别基本图形
三、教学方法：教师主导与学生合作探究相结合。
四、教学过程
二一线三等角的性质。
专题 相似三角形一线三等角模型(学生版)
专题04相似三角形重要模型－一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.是边A．3B．5C．2D．1B (1)如图2，在53⨯个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不．．．同连接格点．．．．．的方法，作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt APC △中，90A ∠=，AC AP >，延长AP 至点B ，使AB AC =，作A ∠的等联角CPD ∠和PBD ∠．将APC △沿PC 折叠，使点A 落在点M 处，得到MPC ，再延长PM 交BD 的延长线于E ，连接CE 并延长交PD 的延例5.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．例6．（2023·浙江·九年级专题练习）在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点D 在BC 所在的直线上运动，作45ADE ∠=︒（A 、D 、E 按逆时针方向）．（1）如图，若点D 在线段BC 上运动，DE 交AC 于E ．①求证：ABD DCE △△∽；②当ADE V 是等腰三角形时，求AE 的长；（2）如图，若点D 在BC 的延长线上运动，DE 的反向延长线与AC 的延长线相交于点E '，是否存在点D ，使ADE '△是等腰三角形？若存在，求出线段CD 的长度；若不存在，请简要说明理由；（3）若点D 在BC 的反向延长线上运动，是否存在点D ，使ADE V 是等腰三角形？若存在，写出所有点D 的位置；若不存在，请简要说明理由．上一点，轴9,23A．()9,3B．()3．（2023·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形4．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．分别在边6．（2022秋·安徽淮北·九年级校考阶段练习）如图，在四边形分别在线段AD、DC上（点E与点A、CD=，在BC边上取中点E，连接DE，过点E 8．（2023·山东烟台·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，4做EF ED⊥与AB交于点G，与DA的延长线交于点F．(1)求证：BEG CDE△∽△；(2)求AFG的面积．⊥交AB于点M，9．（2023·上海·九年级假期作业）在矩形ABCD中，3AB=，4=AD，点E是边AD上一点，EM EC∠=∠．(1)求证：AE是AM和AN的比例中项；(2)当点N在线段AB的延点N在射线MB上（如图），且ANE DCE长线上时，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长．的两个等腰直角三角形，(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．312．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中6cm AB AC ==，8cm BC =，点E 是线段BC 边上的一动点（不含B 、C 两端点），连接AE ，作AED B ∠=∠，交线段AB 于点D ．(1)求证：BDE CEA△∽△(2)设BE x =，AD y =，请求y 与x 之间的函数关系式．(3)E 点在运动的过程中，ADE V 能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．13．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将ABC 绕点A 顺时针方向旋转90︒，点B 的对应点为点B '，点C 的对应点为点C '，连接BB '；②在①中所画图形中，AB B '∠=______︒．【问题解决】如图2，在Rt ABC △中，190BC C =∠=︒，，延长CA 到D ，使1CD =，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90︒到AE ，连接DE ，求ADE ∠的度数．【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD 中，AE BC ⊥，垂足为E ，BAE ADC ∠=∠，1BE CE ==，3CD =，2=AD AB ，求BD 的长．14．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线AB 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，2OA =，AOB 的面积为2．(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k =-<，AD y ⊥轴，将BC 绕点B 顺时针旋转90︒，交AD 于点D ，求点D 的坐标．（用含k 的式子表示）(3)如图3，在（2）的条件下，连接OD ，交直线BC 于点E ，若345ABC BDO ∠-∠=︒，求点E 的坐标．九年级专题练习）某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在BC=．点E是线段AD上的动点（点E不与18．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，4AB=，6⊥，交AB于点F．点A，D重合），连接CE，过点E作EF CE∽；(1)求证：AEF DCE⊥，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．(2)如图2，连接CF，过点B作BG CF①求AG GM+的最小值；②当AG GM+取最小值时，求线段DE的长．。
2024中考数学总复习冲刺专题：《一线三等角模型》通用版
《一线三等角模型》一、教材分析“一线三等角”是指三个相等角的顶点在同一直线上，其中两个角的一边与该直线重合，第三个角的两边均不与直线重合，这样会形成一组全等或相似三角形.根据等角的度数，此模型可分为锐角一线三等角、直角一线三等角和钝角一线三等角.“一线三等角”模型本质上是一个重要的基本几何模型，数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的表现形式，初中阶段的“一线三等角”模型是利用方程或函数等来表示数量之间的关系或变化规律.它一般不单独出现，通常与其他特殊图形结合，如等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形，以及与翻折、坐标系结合等，从而考查这些图形的性质.因此“一线三等角”模型可以出现在选择题、填空题的最后一题，也可以出现在解答题的几何证明、综合题中，是一个使用频率高、综合性较强的模型.平时的训练中，需要提升自己的模型思想，提炼问题的基本图形，利用基本图形的性质特点来突破考题，在具体分析过程中，也要结合数形结合思想，如根据题干信息提炼图形的结构特点，然后结合图形，采用代数运算的方式探求深层信息，促进信息的融合、转化.二、核心素养分析2022年版义务教育数学课程标准希望学生在初中阶段形成模型观念、数据观念；数学学科核心素养也提到数学抽象和直观想象，逻辑推理和运算能力，数学模型和数据分析.因此在数学学习中，我们有必要及时归纳一些数学模型.“一线三等角”问题的核心思想就是模型思想，关键的解题途径是能从复杂图形中分离出此模型，把握基本图形并建立方程或函数，帮助我们塑造模型观念，增强数学能力，提高解题技巧，提升数学核心素养.三、学情分析本次教学设计的授课对象为九年级学生，学生已有与本课时内容相关的知识基础如下：①全等三角形的性质与判定；②相似三角形的性质与相似；③三角函数；④二元一次方程（组）.本课程适用于对中考几何题有一定解决能力并有待提升综合能力的学生，弥补和改善学生漏听或未听懂这部分知识的不足，旨在促进学生深入理解方法和思想，从复杂图形中分离出基本数学模型，对解决问题有化繁为简的效果.四、教学任务分析1.课堂教学目标（1）知识与技能：探索“一线三等角”的基本特征，并且能够在不同背景中认识和把握基本图形，能利用“一线三等角”模型解决相关计算和证明问题；能够构造“一线三等角”模型，解决较为复杂的几何问题.（2）过程与方法：通过观察分析，大胆猜想，探索“一线三等角”基本图形，培养学生合作交流、逻辑推理的能力；让学生在解决相关问题时感受几何基本模型对几何学习的重要性.（3）情感态度与价值观：在学习活动中积累对数学的兴趣，培养与同学的交往、合作意识，在动手动脑的过程中发展想象力，体会模型思想、转化思想、分类讨论思想和数形结合思想；提高解题技巧，提升数学核心素养.2.教学重点和难点（1）教学重点①识别“一线三等角”模型的基本特征，并应用“一线三等角”模型解决相关问题；②构造“一线三等角”模型，解决复杂的几何问题.（2）教学难点构造“一线三等角”模型，并解决较为复杂的几何问题.五、具体教学过程设计1、概述：引导学生回顾一线三等角模型的基本分类：1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD 1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD同侧锐角直角钝角异侧2）相似篇：条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP∽△BPD同侧锐角直角钝角222111122222211111异侧3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时.结论：△BDE∽△CFD∽△DFE.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.2、模块一三角齐见，模型自现——图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题.（一）典例精讲例1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG＝6，则BE的长为________．222111例1图例2图2.如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转，在旋转过程中，射线DE与线段AB相交于点P，射线EF与射线CA相交于点Q，连结PQ．（1）如图1，当点Q 在线段CA 上时，①求证：△BPE ∽△CEQ ；②线段BE ，BP ，CQ 之间存在怎样的数量关系？请说明理由；（2）当△APQ 为等腰三角形时，求BPCQ的值．3、模块二模型隐藏，及时添补——模型隐藏，及时添补，图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.（一）知识铺垫找角、定线、构相似如果直线上只有1个角，该角通常是特殊角（30°、45°、60°），就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过C、D 两点作直线l 的垂线是必不可少的.两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。
中考复习相似三角形---一线三等角型
相似三角形——“一线三等角型”教学目标：1、掌握相似三角形的判定和性质，并能熟练运用其解决重要类型“一线三等角”的类型题.2、经历运用相似三角形知识解决问题的过程，体验图形运动、分类讨论、方程与函数等数学思想.3、通过问题的解决，体验探究问题成功的乐趣，积极探索，提高学习几何的兴趣.重点：相似三角形的判定性质及其应用.难点：与相似、函数有关的综合性问题的解决技巧和方法.教学方法：启发式教学方法，尝试指导教学法.一、知识梳理：（图1）（图2）（1）如图1，已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B，那么一定存在的相似三角形有；（2）如图2，已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B，那么一定存在的相似三角形有.二、【例题解析】【例1】如图，等边△ABC中，边长为4，D是BC上动点，∠EDF=60°，（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，FC=52时，求BE.【变式1】在边长为4的等边ABC∆中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且保持ABCEDF∠=∠，连接EF.(1) 已知BE=1,DF=2，求DE的值； (2) 求证：∠BED=∠DEF.【变式2】在边长为4的等边ABC ∆中，若BD =1时，当△DEF 与△AEF 相似，求BE 的值.【变式3】如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，CF =1，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线EG ，FG 交直线AC 于点M ，N ，（1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE =x ，MN =y ，，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.【例2】在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q （不与点B ,C 重合），已知AP =2，求CQ .【变式1】 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．QC P【变式2】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o 是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点（与A ，C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F .(1) 如图1，当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =;(2) 如图2，当m DB AD =，求DF DE 的值.图(2)图(1)F CF C A BB A D E D E【例3】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ① 求证；△ABP ∽△DPC ； ② 求AP 的长．【变式1】如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长．C B AD C B A D【变式2】在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF ∽△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；（3）若EF CD ⊥，求BE 的长．【作业】1、如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，43=BC AC ，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.2、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，连结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．3、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么:①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当BEP DMF S S ∆∆=49时，求BP 的长.。
初三相似三角形之一线三等角专题
相似三角形——“一线三等角型”一、知识梳理：一线三等角：两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧。
若有第三个与之相等的角、其顶点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形．（图1）（图2）（1）如图1，已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B，那么一定存在的相似三角形有；（2）如图2，已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B，那么一定存在的相似三角形有 .二、【例题解析】【例1】如图，等边△ABC中，边长为4，D是BC上动点，∠EDF=60°，（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，FC=52时，求BE.【变式1】在边长为4的等边ABC∆中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且保持ABCEDF∠=∠，连接EF.(1) 已知BE=1,DF=2，求DE的值；(2) 求证：∠BED=∠DEF.【变式2】在边长为4的等边ABC ∆中，若BD =1时，当△DEF 与△AEF 相似，求BE 的值.【变式3】如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，CF =1，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线EG ，FG 交直线AC 于点M ，N ，（1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE =x ，MN =y ，，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.【例2】在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q （不与点B ,C 重合），已知AP =2，求CQ .【变式1】 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．QC P【变式2】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点（与A ，C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F .(1) 如图1，当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =;(2) 如图2，当m DB AD =，求DF DE 的值.图(2)图(1)F CF C A BB A D E D E【例3】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． ① 求证；△ABP ∽△DPC ； ② 求AP 的长．【变式1】如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长．C B AD C B A D【变式2】在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF ∽△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；（3）若EF CD ⊥，求BE 的长．【作业】1、如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，43=BC AC ，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.2、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，连结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．3、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直线CD于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么:①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当BEP DMF S S ∆∆=49时，求BP 的长.。
2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题(含解析)
2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—一线三等角相似、三垂直模型压轴题专题（含解析）一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
不同地区对此有不同的称呼，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
“一线三等角”的两种基本类型1.三等角都在直线的同侧2.三等角分居直线的两侧3.在初三各学校的考试和中考试题中，一线三等角的相似属于压轴题的热点题型之一，本专题从中考试题和初三各名校的试题中，精选一线三等角相似模型的经典好体，并根据角度区别把一线三等角模型细分为三类题型：三垂直模型、一线三锐角、一线三钝角，适合于初三学生进行压轴题专项突破时使用。
类型一：三垂直模型1.（雅礼）如图，点A 是双曲线()80y x x=<上一动点，连接OA ，作OB OA ⊥，使2OA OB =，当点A 在双曲线()80y x x =<上运动时，点B 在双曲线ky x=上移动，则k 的值为.【解答】解：过A 作AC ⊥y 轴于点C ，过B 作BD ⊥y 轴于点D ，∵点A 是反比例函数y ＝（x ＜0）上的一个动点，点B 在双曲线y ＝上移动，∴S △AOC ＝×|﹣8|＝4，S △BOD ＝|k |，∵OB ⊥OA ，∴∠BOD +∠AOC ＝∠AOC +∠OAC ＝90°，∴∠BOD ＝∠OAC ，且∠BDO ＝∠ACO ，∴△AOC ∽△OBD ，∵OA ＝2OB ，∴＝（）2＝，∴＝，∴|k |＝2．∴k ＜0，∴k ＝﹣2，故答案为：﹣2．2.（青竹湖）如图，︒=∠90AOB ，反比例函数()04<-=x xy 的图象过点()a A ,1-，反比例函数xky =()0,0>>x k 的图象过点B ，且x AB //轴，过点B 作OA MN //，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，交双曲线x ky =于另一点，则OBC ∆的面积为.【解答】解：∵反比例函数的图象过点A （﹣1，a ），∴a ＝﹣＝4，∴A（﹣1，4），过A作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，∴AE＝4，OE＝1，∵AB∥x轴，∴BF＝4，∵∠AOB＝90°，∴∠EAO+∠AOE＝∠AOE+∠BOF＝90°，∴∠EAO＝∠BOF，∴△AEO∽△OFB，∴＝，∴OF＝16，∴B（16，4），∴k＝16×4＝64，∵直线OA过A（﹣1，4），∴直线AO的解析式为y＝﹣4x，∵MN∥OA，∴设直线MN的解析式为y＝﹣4x+b，∴4＝﹣4×16+b，∴b＝68，∴直线MN的解析式为y＝﹣4x+68，∵直线MN交x轴于点M，交y轴于点N，∴M（17，0），N（0，68），解得，或，∴C（1，64），﹣S△OCN﹣S△OBM＝﹣﹣＝510，∴△OBC的面积＝S△OMN故答案为510．3．（广益）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为．【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，∵∠OAB＝90°，∴∠OAM+∠BAN ＝90°，∵∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BAN＝∠AOM，∴△AOM∽△BAN，∴＝，∵点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，∴A（2，），B（k，1），∴OM＝2，AM＝，AN＝﹣1，BN＝k﹣2，∴＝，解得k1＝2（舍去），k2＝8，∴k的值为8，故答案为：8．4．（长沙中考2020）在矩形ABCD 中，E 为DC 上的一点，把ADE ∆沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ．（1）求证：ABF FCE∆∆:（2）若23,4AB AD ==，求EC 的长；（3）若2AE DE EC -=，记,BAF FAE αβ∠=∠=，求tan tan αβ+的值．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=∠C=∠D=90°，∴∠AFB+∠BAF=90°，∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴∠AFE=∠D=90°，∴∠AFB+∠CFE=90°，∴∠BAF=∠CFE ，∴△ABF ∽△FCE ．（2）解：∵△AFE 是△ADE 翻折得到的，∴AF=AD=4，∴()22224232AF AB --，∴CF=BC-BF=AD-BF=2，由（1）得△ABF ∽△FCE ，∴CE CF BF AB =，∴2223CE =，∴EC=233（3）解：由（1）得△ABF ∽△FCE ，∴∠CEF=∠BAF=α，∴tan α+tan β=BF EF CE EFAB AF CF AF+=+，设CE=1，DE=x ，∵2AE DE EC -=，∴AE=DE+2EC=x+2，AB=CD=x+1，2244AE DE x -=+∵△ABF ∽△FCE ，∴AB CF AF EF =2144x x x x -=+(211121x x x xx ++-+ ，∴112x x +=，∴1x x =-x 2-4x+4=0，解得x=2，∴CE=1，213x -=，EF=x=2，AF=2244AE DE x -=+=23tan α+tan β=CE EF CF AF +33323．5.（广益）矩形ABCD中，8AB=，12AD=，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．（1）如图1，若点P恰好在边BC上．①求证：△EBP∽△PCD；②求AE的长；（2）如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．图1图2【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，∴∠BPE+∠BEP＝90°，由折叠知，∠DPE＝∠BAD＝90°，∴∠BPE+∠CPD＝90°，∴∠BEP＝∠CPD，∵∠B＝∠C＝90°，∴△EBP∽△PCD；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，BC＝AD＝12，由折叠知，PE＝AE，DP＝AD＝12，在Rt△DPC中，CP＝＝4，∴BP＝BC﹣CP＝12﹣4，在Rt△PBE中，PE2﹣BE2＝BP2，∴AE2﹣（8﹣AE）2＝（12﹣4）2，∴AE＝18﹣6；（2）如图，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x，∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴＝＝＝＝，∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得x＝（负值已经舍弃），∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴＝，∴＝，∴BF＝3．6．（长郡）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，已知点Q 是射线OC 上一点，182OQ =，点P 是x 轴正半轴上一点，tan 1POC ∠=，连接PQ ，A 经过点O 且与QP 相切于点P ，与边OC 相交于另一点D ．(1)若圆心A 在x 轴上，求A 的半径；(2)若圆心A 在x 轴的上方，且圆心A 到x 轴的距离为2，求A 的半径；(3)在（2）的条件下，若10OP <，点M 是经过点O ，D ，P 的抛物线上的一个动点，点F 为x 轴上的一个动点，若满足1tan 2OFM ∠=的点M 共有4个，求点F 的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）∵圆心A 在x 轴上，⊙A 经过点O 且与QP 相切于点P ，∴PQ ⊥x 轴，OP 为直径，∵tan ∠POC ＝1，，∴PQ ＝OP ，∵在Rt △OPQ 中，．∴OP ＝18．∴⊙A 的半径为9；（2）如图所示，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点Q 作QB ⊥x 轴于B ，连接AP ，∵PQ是⊙A的切线，∴AP⊥PQ，则∠APQ＝90°，∵AM⊥x轴，QB⊥x轴，∴∠AMP＝∠PBC＝90°，∴∠PAM＝90°﹣∠APM＝∠QPB，∴△APM∽△PBQ，∴，∵tan∠POC＝1，QB＝18，∴OB＝QB＝18，∵AM＝2，设MP＝MO＝x，∴PB＝18﹣2x，∴，解得x＝3或x＝6，∴MO＝3或MO＝x，∴A（3，2）或A（6，2），∴AP＝＝或AP＝＝2．∴半径为或2．（3）∵OP＜10，∴BO＝3，P（6，0），∴A（3，2），∵tan∠POC＝1，设D（a，a），∵，∴（3﹣a）2+（2﹣a）2＝13，解得：a＝0或a＝5，∴D（5，5），设抛物线解析式为y＝ax2+bx，将点P（6，0），D（5，5）代入得，，解得：，∴y＝﹣x2+6x，∵点F可能在点O的左边或点P的右边，，则|K FM|＝，设直线MF：或，联立，，得或，当或，解得：或，∴直线MF：或，令y＝0，解得：或，∴或．7.（麓山国际）有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．（1）已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为，则该智慧三角形的面积为；（2）如图①，在△ABC中，∠C＝105°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形；（3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数y＝上（x＞0）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当△ABC是直角三角形时，求k的值．＝AC•AB，【解答】解：（1）如图1，设∠A＝90°，AC≤AB，S△ABC①若AC＝，i）AB＝AC＝2，∴S＝，ii）BC＝AC＝2，则AB＝，∴S＝，②若AB＝，i）AB＝AC，即AC＝，∴S＝，ii）BC＝AB＝2，则AC＝∴S＝，③若BC＝，若AB＝AC＝＝1，∴S＝，若AB＝AC，AB＝，，S＝××＝，故答案为：或1或或或．（2）证明：如图2，过点C作CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，在Rt△BCD中，∠B＝30°，∴BC＝2CD，∠BCD＝90°﹣∠B＝60°，∵∠ACB＝105°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝45°，∴Rt△ACD中，AD＝CD，∴AC＝，∴，∴△ABC是智慧三角形．（3）∵△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，∴BC＝AB，∵△ABC是直角三角形，∴AB不可能为斜边，即∠ACB≠90°∴∠ABC＝90°或∠BAC＝90°①当∠ABC＝90°时，过B作BE⊥x轴于E，过C作CF⊥EB于F，过C作CG⊥x轴于G，如图3，∴∠AEB＝∠F＝∠ABC＝90°，∴∠BCF+∠CBF＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△BCF∽△ABE，∴，设AE＝a，则BF＝AE＝a，∵A（3，0），∴OE＝OA+AE＝3+a，∵B的纵坐标为，即BE＝，∴CF＝BE＝2，CG＝EF＝BE+BF＝，B（3+a，），∴OG＝OE﹣GE＝OE﹣CF＝3+a﹣2＝1+a，∴C（1+a，），∵点B、C在在函数y＝上（x＞0）的图象上，∴（3+a）＝（1+a）（+a）＝k解得：a1＝﹣2（舍去），a2＝1，∴k＝，②当∠BAC＝90°时，过C作CM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，如图4，∴∠CMA＝∠ANB＝∠BAC＝90°，∴∠MCA+∠MAC＝∠MAC+∠NAB＝90°，∴∠MCA＝∠NAB，∴△MCA∽△NAB，∵BC＝，∴2AB2＝BC2＝AB2+AC2，∴AC＝AB，∴△MCA≌△NAB（AAS），∴AM＝BN＝，∴OM＝OA﹣AM＝3﹣，设CM ＝AN ＝b ，则ON ＝OA +AN ＝3+b ，∴C （3﹣，b ），B （3+b ，），∵点B 、C 在在函数y ＝上（x ＞0）的图象上，∴（3﹣）b ＝（3+b ）＝k解得：b ＝，∴k ＝18+15，综上所述，k 的值为或。
中考专题复习——一线三等角
归纳：“形”变“质”不变
（学生画图，上黑板展示交流）
六、小结收获 交流归纳（2分钟）
本节课的所学知识小结起来很明确，贵在让学生悟到几何学习中的基本图形和相关应用，从学习的方法来进行总结。
七、课堂作业
针对学生的差异性，作业设计体现难度梯度，必做题是基础题，重在检查整体学生的掌握情况；选做题是考察学生的应用能力的题型，重在培养学生的知识迁移能力，重在因材施教。
总结规律：（学生会用自己的语言总结出规律，老师应适当给予肯定，然后总结出顺口溜）
顺口溜：“一线三等角，两头对应好，
互补导等角，相似轻易找”
这里通过口诀来总结规律，学生兴趣盎然，形象易记。
教师强调：说理题的格式要先写结论，再说理由即结论得出的证明过程。
三．运用新知，看图作答（3分钟）
通过前面的学习，为了让学生学以致用，设置一组题例让学生跃跃欲试，慧眼识“一线三等角”相似型。
例2如图，在平面直角坐标系中，o为坐标原点，B点坐标为（5，0），梯形OBCD中，CD∥OB，OD=BC=2，DC=3，∠DOB=60°，若点E、F分别在线段DC、CB上（点E与点D、C不重合），且∠OEF=120°，设DE=X，CF=y，求y与x的函数关系式。
分析：由“一线三等角”基本图
形，易知△ODE∽△ECF
板书设计：
课题：“一线三等角”相似形专题
规律：一线三等角，相似容易找
例1 例2
例3例4
教后反思：
一线三等角
两头对应好
互补导等角
相似轻易找
三．运用新知，看图作答
下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你快速找出“一线三等角”的基本图形所形成的相似三角形（要求对应的顶点写在对应的位置）
专题相似复习一线三等角
（3）QＣ＝ＱP时 ，△BPC∽ △BCA
A
C Q
P
B
例3、如图，直角梯形OABC的一顶点O是坐标原 点，边OA，OC分别在x轴、y轴的1 正半轴上， OA∥BC，D是BC上一点，BD= O4 A= ，2 AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、 AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°． （1）直接写出D点的坐标；
A
E E
B D
C
B
D
C
当α为锐角时：
小
A
结
D
一
E
线
三
B
P
C
等
当α为直角时：
角
D
E
类
型
B
P
C
当α为钝角时：
E
F
B
P
C
A
E
B P
C
例题讲解
例1：等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°， P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板， 使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如图，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、 F时．求证：△BPE～△CFP；
3、如图，已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，点P在 斜边AB上移动（点P不与点A、B重合），以点P为顶点作 ∠CPQ=45°，射线PQ交BC边与点Q，△CPQ能否是等腰三角 形？如果能够，试求出AP的长，如果不能，试说明理由。
分类讨论（１）ＣＰ＝ＣＱ 时， ∠CQP>∠B, ∴不可能
1、如图，直角梯形ABCD，AD∥BC，∠A=90°， ∠B=90°，∠DEC=90°，试说明AD，AE，BE， BC之间的关系。
中考专题复习——一线三等角教学教材
（3）几何的学习中，要注重图形的运动和变化，总结和发现图形之间的内在联系，探求其规律，帮我们解决繁杂问题。
七、课堂作业
1、（必做题）如图，已知等边△ABC的边长为6，D是BC边上一动点，∠EDF=60°。
追问：三个图形有什么共同点？（引入“一线三等角”的概括性名称）
二、抽象模型，揭示实质（3分钟
抽象模型的目的是让学生的认识从“特殊“上升到“一般”，这是核心结论的生成阶段，时间上用多一点，要求学生写出证明过程，为例1的学习提供帮助，同时让学生对“一线三等角”基本图形的本质理解，在整节课的设计中起承上启下的作用，为下面的运用规律和知识有枢纽的效果。
解析：
（3）若∠DMC绕点M顺时针旋转20°到∠D〞MC〞的位置，且DD〞=m，BC〞=n，求m与n的关系式，
解析：方法与（2）同
设计意图
一、导入新课,揭示目标(7分钟)
情景：（1）师生解读学习目标（1分钟）
（2）三个问题呈现提供了同类相似三角形，让学生说出每一个问题的证明过程是必要的，使学生的“直观经验”由“量”变产生“质“变。从问题和模型引入本专题，使学生对产生模型有个感性的认识，为下一环节抽象模型打好铺垫。（6分钟）
三．运用新知，看图作答
下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你快速找出“一线三等角”的基本图形所形成的相似三角形（要求对应的顶点写在对应的位置）
（4）
（3）
D（2）
四、典例解析综合运用
例1、已知，如图，在矩形ABCE中，D为EC上一点，沿线段AD翻折，使得点E落在BC上，若BC=10,BE∶EC=4∶1.求CD的长
相似三角形复习(一线三等角)
1
F O
2
B
x
五、思维开放 展示提高
例3：等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=AB， ∠MDN=45°，且∠MDN的顶点D在线段CB或CB的延 长线上运动，且角的两边MD、ND与AB、AC边所在直 线分别交于E、F点，，请同学们尽你所能，画出满足 △DBE与△FCD相似的图形，并交流你的理由 。
A E
二、抽象模型，揭示实质 如图，已知∠A=∠BCD=∠E=α°，图中有 没有相似三角形，并写出证明过程
结论：图中△ABC∽△ECD 理由：∵ ∠DCE =180 ° - ∠BCD - ∠ACB ∠B= 180 ° -∠A- ∠ACB B 又∵∠A=∠BCD ∴∠B=∠DCE ∵∠A=∠E α α A ∴△ABC∽△ECD
驶向胜利的彼岸
七、课堂作业
E
A
1、（必做题）如图，已知等边△ABC的边 长为6，D是BC边上一动点，∠EDF=60°。 求证：△BDE∽△CFD； 当BD=1，CF=3时，求BE的长。
F
B
D
C
2、（选做题）如图（2），梯形OBCD为等腰梯 D D' 形，DO=CB=2，DC∥OB，DM⊥OB， ∠DOB=∠DMC =60°， O （1）求证：OD2=OM .MB M' （2）若∠DMC向右平移m（0＜m≤3）个单位到 如图所示的位置，M落在M’点，此时角的两边分 别与DC边和CB边相交于D’和C’点，若BC’=n,求 y m与n的关系式。（提示：过Dˊ点作DO的平行 D D'' 线与x轴交于N点构造“一线三等角”基本图形） 解析： （3）若∠DMC绕点M顺时针旋转20°到∠D〞 O M MC〞的位置，且DD〞=m，BC〞=n，求 m与n 的关系式，
一线三等角模型证相似(解析版)九年级数学下册常考点微专题提分精练(人教版)
专题13 一线三等角模型证相似1．如图，在边长为9cm 的等边ABC ∆中，D 为BC 上一点，且3BD cm =，E 在AC 上，60ADE ∠=︒，则AE 的长为( )cm ．A ．B ．C ．7D ．6【解答】解：ABC ∆是等边三角形，9AB BC AC cm ∴===，60B C ∠=∠=︒，180120BAD ADB B ∴∠+∠=︒-∠=︒，60ADE ∠=︒，180120ADB EDC ADE ∴∠+∠=︒-∠=︒，BAD EDC ∴∠=∠，ABD DCE ∴∆∆∽， ∴AB BD DC CE =， ∴9393CE=-， 2CE ∴=，7()AE AC CE cm ∴===，故选：C ．2．如图，边长为8cm 的正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中E 、F 、G 分别在AB 、BC 、FD 上，若2BF cm =，则小正方形的面积等于 2254cm ．【解答】解：正方形ABCD 的边长为8cm ，2BF cm =，6CF cm ∴=四边形ABCD 和EFGH 均为正方形90B C EFG ∴∠=∠=∠=︒90BEF BFE ∴∠+∠=︒，90CFD BFE ∠+∠=︒BEF CFD ∴∠=∠BEF CFD ∴∆∆∽ ∴BE CF BF CD = ∴628BE = 32BE ∴= ∴小正方形的面积等于：222EF BE BF =+944=+ 225()4cm = 故答案为：2254cm ． 三．解答题（共15小题）3．已知等边ABC ∆，E ，F 分别在边AB 、AC 上，将AEF ∆沿EF 折叠，A 点落在BC 边上的D 处．（1）求证：BED CDF ∆∆∽；（2）若2CD BD =时，求ED DF．【解答】解：（1）证明：等边ABC ∆60A B C ∴∠=∠=∠=︒将AEF ∆沿EF 折叠，A 点落在BC 边上的D 处．60EDF A ∴∠=∠=︒180********BED BDE B ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒180********BDE CDF EDF ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒BED CDF ∴∠=∠又B C ∠=∠BED CDF ∴∆∆∽；（2）2CD BD =∴设1BD =，则2CD =，翻折，∴设ED AE x ==，DF AF y ==3AB BC AC ∴===，3BE x =-，3CF y =-BED CDF ∆∆∽ ∴ED BD BE DF CF DC == ∴1332x x y y -==- 由13x y y=-得： 31x y x =+① 由32x x y -=得： 23x y x =-② 由①②解得：75x =，74y = ∴45x y = ∴45ED DF =． 4．如图有一块三角尺，Rt ABC ∆，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6BC =，用一张面积最小的正方形纸片将这个三角尺完全覆盖．求出这个正方形的面积．【解答】解：90C ∠=︒，30A ∠=︒，6BC =，212AB BC ∴==，AC ∴=，四边形AFED 是正方形，90F E ∴∠=∠=︒，AF FE =，90FAC FCA ∴∠+∠=︒，90C ∠=︒，90FCA BCE ∴∠+∠=︒，FAC BCE ∴∠=∠，AFC CEB ∴∆∆∽， ∴AF AC CE CB =，∴AF CE=设AF x =，则CE =，FC x ∴=， 222AF FC AC +=，222)x ∴+=， 2268237x ∴=，答：这个正方形的面积为：226837+ 5．已知：如图，ABC ∆是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，60ADE ∠=︒． （1）求证：ABD DCE ∆∆∽；（2）如果3AB =，23EC =，求DC 的长．【解答】（1）证明：ABC ∆是等边三角形，60B C ∴∠=∠=︒，AB AC =，B BAD ADE CDE ∠+∠=∠+∠，60B ADE ∠=∠=︒，BAD CDE ∴∠=∠ABD DCE ∴∆∆∽；（2）解：由（1）证得ABD DCE ∆∆∽， ∴BD CE AB DC=， 设CD x =，则3BD x =-， ∴2333x x-=， 1x ∴=或2x =，1DC ∴=或2DC =．6．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，P 是边BC 上的任意一点(P 与B 、C 不重合），作PE AP ⊥，交CD 于点E ．（1）判断ABP ∆与PCE ∆是否相似，并说明理由．（2）连接BD ，若//PE BD ，试求出此时BP 的长．【解答】解：（1）ABP ∆与PCE ∆相似，理由如下：四边形ABCD 是矩形，90B C ∴∠=∠=︒，90BAP BPA ∴∠+∠=︒，PE AP ⊥，90CPE BPA ∴∠+∠=︒，BAP CPE ∴∠=∠，ABP PCE ∴∆∆∽；（2）连接BD ，如图所示：由（1）知ABP PCE ∆∆∽，∴AB BP PC CE =， ∴AB PC BP CE=， //PE BD ， ∴CP CE CB CD =， ∴PC CB CE CD=， ∴AB CB BP CD=， 在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，3CD AB ∴==，5CB AD ==，95AB CD BP CB ⋅∴==．7．如图1，在ABC ∆中，AB AC ==，cos B =D 在BC 边上从C 向B 运动．以D 为顶点作ADE B ∠=∠，射线DE 交AB 边于点E ，过点A 作AF AD ⊥交射线DE 于点F ，连接CF ．（1）求证：ACD DBE ∆∆∽．（2）当AD CD =时（如图2)，求AD 和EF 的长．（3）设点D 在BC 边上从C 向B 运动的过程中，直接写出点F 运动的路径长．【解答】（1）证明：AB AC =，B C ∴∠=∠， 又ADE B ∠=∠，ADE B C ∴∠=∠=∠，180B BDE BED ∠+∠+∠=︒，180ADC ADE BDE ∠+∠+∠=︒，BED ADC ∴∠=∠，ACD DBE ∴∆∆∽；（2）解：如图，过点D 作DH AC ⊥交AC 于点H ，AD CD =，AB AC ==，12CH AH AC ∴===cos B =B C ∠=∠， cos CH B CD∴=，6cos CH CD B ∴===，6AD =， AF AD ⊥，90FAD ∴∠=︒，ADE B ∠=∠，6cos ADE DF ∴∠==，DF ∴=由（1）得ACD DBE ∆∆∽， ∴DE BD AD AC =，∴6DE =，DE ∴=， 过点A 作AM BC ⊥于点M ，cos BM B AB ∴=，∴=， 4BM ∴=，28BC BM ∴==，862BD BC CD ∴=-=-=，DE ∴=EF DF DE ∴=-==，6AD ∴=，EF =（3）解：F 点随着D 点的运动而运动，D 在线段BC 上， F ∴点的轨迹也是一条线段，如图，当D 与C 点重合时，F 点在1F 的位置，190CAF ∠=︒，当D 点与B 点重合时，F 点在2F 的位置，290BAF ∠=︒，12F F 为F 点的运动路径， 12F AF CAB ∴∠=∠， 4AC =，cos B =ABC C ∠=∠，1cos AC C CF ∴=1 112CF ∴=，在1Rt ACF ∆中，1AF ==ADF B ∠=∠，2cos cos ABF B ∴∠==22cos AB ABF BF ∠==，2212BF ∴=，2AF =，21AF AF ∴=，△12AF F 是等腰三角形，12F AF CAB ∠=∠，△12AF F 与CAB ∆都是等腰三角形，∴△12AF F ACB ∆∽， ∴121F F AF BC AC=， 由（2）得8BC =，∴128F F =，12F F ∴=∴点F 运动的路径长为8．在ABC ∆中，点E 、F 在边BC 上，点D 在边AC 上，连接ED 、DF ，AB m AC=，120A EDF ∠=∠=︒ （1）如图1，点E 、B 重合，1m =时①若BD 平分ABC ∠，求证：2CD CF CB =⋅；②若213CF BF =，则AD CD = 12或23； （2）如图2，点E 、B 不重合．若BE CF =，AB DF m AC DE ==，37BE EF =，求m 的值．【解答】解：（1）①1AB m AC==， AB AC ∴=， BD 平分ABC ∠，ABD DBF ∴∠=∠，BDC A ABD BDF CDF ∠=∠+∠=∠+∠，且120A BDF ∠=∠=︒， ABD CDF DBF ∴∠=∠=∠，且C C ∠=∠，CDF CBD ∴∆∆∽， ∴CD CF BC CD=， 2CD BC CF ∴=⋅；②如图1，过A 作AG BC ⊥于G ，过F 作FH BC ⊥，交AC 于H ，30C ∠=︒，2CH FH ∴=，设2FH a =，4CH a =，则CF =，213CF BF =，BC ∴=， 152CG =， 152AG a ∴=，15AC a =， 11AH a ∴=，120BAD BDF DHF ∠=∠=∠=︒，18012060ADB FDH ADB ABD ∴∠+∠=∠+∠=︒-︒=︒， ABD FDH ∴∠=∠，ABD HDF ∴∆∆∽，∴AB AD HD FH =，即152a AD DH a=， 设AD x =，则11DH a x =-，230(11)a x a x ∴=-，2211300x ax a -+=，(5)(6)0x a x a --=，5x a =或6a ，∴51102AD a CD a ==或6293AD a CD a ==， 故答案为：12或23； （2）如图2，过E 作//EH AB ，交AC 于H ，过D 作DM EH ⊥于M ，过F 作//FG ED ，交AC 于G ，BE CF =，37BE EF =， ∴37CF EF =， //FG ED ， ∴37CF CG EF DG ==， ∴设3CG a =，7DG a =，AB DF m AC DE==，120A EDF ∠=∠=︒， ABC DFE ∴∆∆∽，DEC C ∴∠=∠，10DE DC a ∴==，//FG DE ，GFC DEF C ∴∠=∠=∠，3FG CG a ∴==，同理由（1）得：EHD DFG ∆∆∽， ∴ED DH DG FG =，即1073a DH a a=， 307a DH =， Rt DHM ∆中，60DHM ∠=︒，30HDM ∴∠=︒，11527a HM DH ∴==，DM ，657EM a ∴=， 651550777EH a a a ∴=-=， 5017302107a AB EH m AC CH a a ∴====+．9．已知：在EFG ∆中，90EFG ∠=︒，EF FG =，且点E ，F 分别在矩形ABCD 的边AB ，AD 上．（1）如图1，填空：当点G 在CD 上，且1DG =，2AE =，则EG（2）如图2，若F 是AD 的中点，FG 与CD 相交于点N ，连接EN ，求证：AEF FEN ∠=∠；（3）如图3，若AE AD =，EG ，FG 分别交CD 于点M ，N ，求证：2MG MN MD =⋅．【解答】（1）解：90EFG ∠=︒，90AFE DFG ∴∠+∠=︒，90AEF AFE ∠+∠=︒，AEF DFG ∴∠=∠，又90A D ∠=∠=︒，EF FG =，()AEF DFG AAS ∴∆≅∆， 2AE FD ∴==，FG ∴=EG ∴=，（2）证明：延长EA 、NF 交于点M ，点F 为AD 的中点，AF DF ∴=，//AM CD ，M DNF ∴∠=∠，MAD D ∠=∠，()MAF NDF AAS ∴∆≅∆，MF FN ∴=，EF MG ⊥，ME GE ∴=，MEF FEN ∴∠=∠；（3）证明：如图，过点G 作GP AD ⊥交AD 的延长线于P ，90P ∴∠=︒，同（1）同理得，()AEF PFG AAS ∆≅∆，AF PG ∴=，PF AE =，AE AD =，PF AD ∴=，AF PD ∴=，PG PD ∴=，90P ∠=︒，45PDG ∴∠=︒，45MDG ∴∠=︒，在Rt EFG ∆中，EF FG =，45FGE ∴∠=︒，FGE GDM ∴∠=∠，GMN DMG ∠=∠，MGN MDG ∴∆∆∽， ∴MG MN DM MG=， 2MG MN MD ∴=⋅．10．在ABC ∆中，BA BC =，(0180)ABC αα∠=︒<<︒，点P 为直线BC 上一动点（不与点B 、C 重合），连接AP ，将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转α得到直线PM ，再将线段AC所在的直线绕点C 顺时针旋转α得到直线CN ，直线PM 与直线CN 相交于点Q ．（1）当点P 在线段BC 上，当60α=︒时，如图1，直接判断BP CQ 的大小； （2）当点P 在线段BC 上，当BC k AC=时，如图2，试判断线段BP CQ 的大小，并说明理由；（3）当点P 在直线BC 上，当90α=︒，AC =17AP =时，请利用备用图探究PCQ ∆面积的大小（直接写出结果即可）．【解答】解：（1）如图1，连接AQ ，BA BC =，60ABC α∠==︒，ABC ∴∆是等边三角形，60BAC ACB ABC ∴∠=∠=∠=︒，将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转α得到直线PM ，再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转α得到直线CN ，60APQ ACQ ∴∠=∠=︒，∴点A ，点P ，点C ，点Q 四点共圆，60AQP ACB ∴∠=∠=︒，APQ ∴∆是等边三角形，AP AQ ∴=，60PAQ ∠=︒，BAC PAQ ∴∠=∠，BAP CAQ ∴∠=∠，()BAP CAQ SAS ∴∆≅∆，BP CQ ∴=，∴1BP CQ=； （2）BP k CQ =，理由如下： 如图2，连接AQ ，BA BC =，ABC α∠=，1802ACB BAC α︒-∴∠=∠=， 将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转α得到直线PM ，再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转α得到直线CN ，APQ ACQ α∴∠=∠=，∴点A ，点P ，点C ，点Q 四点共圆，1802AQP ACB α︒-∴∠=∠=， 1802PAQ BAC α︒-∴∠==∠， BAP CAQ ∴∠=∠，又ABC ACQ α∠=∠=，ABP ACQ ∴∆∆∽， ∴AB BC BP k AC AC CQ===； （3）817AC AP =<=， ∴点P 不在线段BC 上，当点P 在点C 的右侧时，如图3，过点Q 作QH BC ⊥于H ，AB BC =，90ABC ∠=︒，AC =8AB BC ∴==，45ACB ∠=︒，15BP ∴==，7CP ∴=，90ACQ ∠=︒，45ACB ∠=︒，45QCH ∴∠=︒，由（2）可知AB BP AC CQ =， ∴15CQ=，CQ ∴=45QCH ∠=︒，QH BH ⊥，15CH QH ∴==，11105715222CPQ S CP QH ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=； 当点P 在点B 的左侧时，如图4，过点Q 作QH BC ⊥于H ，AB BC =，90ABC ∠=︒，AC =8AB BC ∴==，45ACB ∠=︒，15BP ∴==，23CP ∴=，90ACQ ∠=︒，45ACB ∠=︒，45QCH ∴∠=︒，由（2）可知AB BP AC CQ =， ∴15CQ=，CQ ∴=45QCH ∠=︒，QH BH ⊥，15CH QH ∴==，113452315222CPQ S CP QH ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=； 综上所述：PCQ ∆面积为1052或3452． 11．如图，在ABC ∆中，已知5AB AC ==，6BC =，且ABC DEF ∆≅∆，将DEF ∆与ABC ∆重合在一起，ABC ∆不动，DEF ∆运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点．（1）求证：ABE ECM ∆∆∽；（2）当DE BC ⊥时，①求CM 的长；②直接写出重叠部分的面积；（3）在DEF ∆运动过程中，当重叠部分构成等腰三角形时，求BE 的长．【解答】（1）证明：AB AC =，B C ∴∠=∠，ABC DEF ∆≅∆， AEF B ∴∠=∠，AEF CEM AEC B BAE ∠+∠=∠=∠+∠，CEM BAE ∴∠=∠，ABE ECM ∴∆∆∽；（2）①当DE BC ⊥时，AB AC =，BAE EAM ∴∠=∠，ABC DEF ∆≅∆，B DEF ∴∠=∠，ABE AEM ∴∆∆∽，∴AB AE AE AM=，90AME AEB ∠=∠=︒， 5AB AC ==，DE BC ⊥，6BC =，132BE EC BC ∴===，在Rt ABE ∆中，4AE ==， ∴544AM=， 165AM ∴=， 169555CM AC AM ∴=-=-=；②在Rt AEM ∆中，125EM =， 11161296225525AEM S AM EM ∆∴=⋅=⨯⨯=， ∴重叠部分的面积为9625； （3）①当AE EM =时，ABE ECM ∆≅∆，5CE AB ==，651BE BC EC ∴=-=-=，②当AM EM =时，则MAE MEA ∠=∠，MAE BAE MEC MEA ∴∠+∠=∠+∠，即CAB CEA ∠=∠， C C ∠=∠，CAE CBA ∴∆∆∽， ∴CE AC AC CB=， ∴2256AC CE CB ==， ∴2511666BE BC EC =-=-=； ③当AE AM =时，点E 与点B 重合，即0BE =，此时重叠部分图形不能构成三角形； 1BE ∴=或116．12．如图，直线y =+0)y x =>的交点为A ，与x 轴的交点为B ．（1）求ABO ∠的度数；（2）求AB 的长；（3）已知点C 为双曲线0)y x =>上的一点，当60AOC ∠=︒时，求点C 的坐标．【解答】解：（1）设直线y =+y 轴交于点D ，如图所示：当0x =时，y =D ．当0y =时，1x =-，即点(1,0)B -．∴1OD BO ==．∴tan DO ABO BO∠=60ABO ∴∠=︒．（2）过点A 作AE x ⊥轴，垂足为E ，如图所示．设点A坐标为：(m ．且0m >． OE m ∴=，AE =． //DO AE ． BDO BAE ∴∆∆∽． ∴BO DO BE AE=．即：11m =+． 1m ∴=或2m =-（舍)．∴A ．∴4AB ==． 即：4AB =．（3）过C 作60CFO ∠=︒，点F 在x 轴上，再过点C 作CH OF ⊥于H 点，如图所示．设(C a ，0a >．∴,OH a CH ==．∴4sin sin60CH aCFCFO a ===∠︒．∴2 HFa=．∴2OF aa=+．AOF AOC COF∠=∠+∠，且AOF∠是ABO∆一内角的外角．BAO COF∴∠=∠．ABO OFC∴∆∆∽．∴AB BOOF CF=即：4124aa a=+．∴a=a >．∴a∴C．13．【感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF DE⊥交BC于点F．易证：AED BFE∆∆∽．（不需要证明）【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF DE⊥交BC 于点F．（1）求证：AED BFE∆∆∽．（2）若10AB=，6AD=，E为AB的中点，求BF的长．【应用】如图③，在ABC∆中，90ACB∠=︒，AC BC=，4AB=．E为AB边上一点（点E不与点A、B重合），连结CE，过点E作45CEF∠=︒交BC于点F．当CEF∆为等腰三角形时，BE的长为【解答】【探究】（1）证明：四边形ABCD是矩形，90A B∴∠=∠=︒，90ADEAED∴∠+∠=︒，DE EF ⊥，90DEF ∴∠=︒， 90BEF AED ∴∠+∠=︒，ADE BEF ∴∠=∠，又A B ∠=∠，AED BFE ∴∆∆∽；（2）解：E 为AB 的中点，5AE BE ∴==，由（1）知AED BFE ∆∆∽，∴AD AEBE BF =， 即655BF=， 256BF ∴=； 【应用】解：如果CE CF =，则45CEF CFE ∠=∠=︒，90ECF ∠=︒，则点E 与点A 重合，点F 与点B 重合，不符合题意， ②如果CE EF =，则1804567.52ECF EFC ︒-︒∠=∠==︒， EFC ∠为BEF ∆的外角， EFC B BEF ∴∠=∠+∠， 90ACB ∠=︒，AC BC =， 45A B ∴∠=∠=︒，67.54522.5BEF EFC B ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒， 909067.522.5ACE ECF ∠=︒-∠=︒-︒=︒，ACF BEF ∴∠=∠，又A B ∠=∠，CE EF =， ()AEC BFE AAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，90ACB ∠=︒，AC BC =，4AB =，2AC AB ∴==，BE ∴=如果CF EF =，则45CEF ECF ∠=∠=︒， 90CFE ∴∠=︒，在BEC ∆中，45B BCE ∠=∠=︒， 90BEC ∴∠=︒， CE AB ∴⊥，又AC BC =，∴点E 为AB 的中点，122BE AB ∴==，综上，BE 的长为2，故答案为：2．14．如图1，已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是射线BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ． （1）连接FC ，观察并猜测tan FCN ∠的值，并说明理由；（2）如图2，将图1中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB m =，(BC n m =，n 为常数），E 是射线BC 上一动点（不含端点)B ，以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上，当点E 沿射线CN 运动时，请用含m ，n 的代数式表示tan FCN ∠的值．【解答】解： （1）tan 1FCN ∠=，理由是：如图1，作FH MN ⊥于H ，90AEF ABE ∠=∠=︒，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，90FEH AEB ∠+∠=︒，FEH BAE ∴∠=∠，在EHF ∆和ABE ∆中 EHF ABE FEH BAE EF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()EHF ABE AAS ∴∆≅∆，FH BE ∴=，EH AB BC ==，CH BE FH ∴==， 90FHC ∠=︒，tan 1FHFCH CH∴∠==；（2）如图（2）作FH MN ⊥于H ．由已知可得90EAG BAD AEF ∠=∠=∠=︒， 结合（1）易得FEH BAE DAG ∠=∠=∠， 又G 在射线CD 上，90GDA EHF EBA ∠=∠=∠=︒，在EFH ∆和AGD ∆中 FHE GDA FEH DAG EF AG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()EFH AGD AAS ∴∆≅∆，BAE FEH ∠=∠，ABE FHE ∠=∠， EFH AEB ∴∆∆∽，EH AD BC n ∴===，CH BE ∴=，∴EH FH FHAB BE CH==， ∴在Rt FEH ∆中，tan FH EH nFCN CH AB m∠===， ∴当点E 沿射线CN 运动时，tan n FCN m∠=． 15．如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，点M 是BC 边上的动点，点M 从点B 出发，运动到点C 停止，N 是CD 边上一动点，在运动过程中，始终保持AM MN ⊥，设BM x =，CN y =．（1）直接写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围 010x ；（2）先完善表格，然后在平面直角坐标系中（如图2)利用描点法画出此抛物线，直接写出m = ；；并写出在整个运动过程中，点N 运动的总路程 ．【解答】解：（1）四边形ABCD 是矩形， 908B C AB CD ∴∠=∠=︒==， 90BAM AMB ∴∠+∠=︒， AM MN ⊥， 90AMN ∴∠=︒， 90AMB CMN ∴∠+∠=︒， BAM CMN ∴∠=∠， ABM MCN ∴∆∆∽，∴AB MCBM CN=， ∴810xx y-=， 21584y x x ∴=-+，10BC =，点M 是BC 边上的动点，点M 从点B 出发，运动到点C 停止，010x ∴，故答案为：010x ；（2）当5x =时，代入21584y x x =-+中得：2152555848y =-⨯+⨯=， 故答案为：258，画出的抛物线如图所示：（3）21584y x x =-+，2215125(5)8488y x x x ∴=-+=--+， 108a =-<，∴当5x =时，y 最大258=， ∴当CN 达到最大值时，BM 的值是5；2525284⨯=， ∴在整个运动过程中，点N 运动的总路程为254， 故答案为：5，254． 16．【基础巩固】（1）如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，直线l 过点C ，分别过A 、B 两点作AE l ⊥，BD l ⊥，垂足分别为E 、D ．求证：BDC CEA ∆∆∽． 【尝试应用】（2）如图2，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 上一点，过D 作AD 的垂线交AB 于点E ．若BE DE =，4tan 5BAD ∠=，20AC =，求BD 的长．【拓展提高】（3）如图3，在平行四边形ABCD 中，在BC 上取点E ，使得90AED ∠=︒，若AE AB =，43BE EC =，CD =ABCD 的面积．【解答】（1）证明：90ACB ∠=︒， 90BCD ACE ∴∠+∠=︒， AE CE ⊥， 90AEC ∴∠=︒， 90ACE CAE ∴+∠=︒． BCD CAE ∴∠=∠．BD DE ⊥，90BDC ∴∠=︒， BDC AEC ∴∠=∠． BDC CEA ∴∆∆∽．（2）解：过点E 作EF BC ⊥于点F ．由（1）得EDF DAC ∆∆∽．∴DE DFDA AC=． AD DE ⊥，4tan 5BAD ∠=，20AC =，∴4520DF=， 16DF ∴=．BE DE =， BF DF ∴=．232BD DF ∴==．（3）解：过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥的延长线于点N ．90AMB DNC ∴∠=∠=︒．四边形ABCD 是平行四边形， //AB CD ∴，AB CD =． B DCN ∴∠=∠．()ABM DCN AAS ∴∆≅∆． BM CN ∴=，AM DN =．AB AE =，AM BC ⊥， BM ME ∴=，43BE EC =， 设AM b =，4BE a =，3EC a =． 2BM ME CN a ∴===，5EN a =． 90AED ∠=︒，由（1）得AEM EDN ∆∆∽．∴AM ENME DN =， ∴25b aa b=，∴b ，CD =22(2)14a b ∴+=，1a ∴=，b∴平行四边形ABCD 的面积172BC DN a b =⨯⨯=⨯= 17．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠；又因为90ACB AED ∠=∠=︒，可得ABC DAE ∆∆∽，进而得到BCAC=AE DE .我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在ABC ∆中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠． ①求证：ABP PCD ∆∆∽；②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当APD ∆为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【解答】（1）解：ABC DAE ∆∆∽，∴BC ACAE DE =， ∴BC AEAC DE=， 故答案为：AEDE； （2）①证明：AB AC =，B C ∴∠=∠，APC B BAP ∠=∠+∠，APC APD CPD ∠=∠+∠，APD B ∠=∠， BAP CPD ∴∠=∠， B C ∠=∠， ABP PCD ∴∆∆∽；②解：12BC =，点P 为BC 中点， 6BP PC ∴==， ABP PCD ∆∆∽，∴AB BPPC CD=，即1066CD =， 解得： 3.6CD =；（3）解：当PA PD =时，ABP PCD ∆≅∆， 10PC AB ∴==，12102BP BC PC ∴=-=-=；当AP AD =时，ADP APD ∠=∠，ADP B C ∠=∠=∠， ADP C ∴∠=∠，不合题意， AP AD ∴≠；当DA DP =时，DAP APD B ∠=∠=∠， C C ∠=∠，BCA ACP ∴∆∆∽， ∴BC AC AC CP =，即121010CP=， 解得：253CP =， 25111233BP BC CP ∴=-=-=， 综上所述：当APD ∆为等腰三角形时，BP 的长为2或113．。
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张长巧
一线三等角相似专题复习
【“K 型”相似】
1．如图，正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，
（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；
（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位
置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；
6．如图，矩形AOBC 中，C 点的坐标为(4，3)，，F 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），过
F 点的反比例函数k
y x
=
(k >0)的图像与AC 边交于点E 。
(1)若BF ＝1，求△OEF 的面积；
(2)请探索：是否在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点k 的值；若不存在，请说明理由
3．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6AB DC AD ===，60ABC ∠= ，点E F ，分别在线段AD DC ，上（点E 与点A D ，不重合），且120BEF ∠= ，设AE x =，DF y =． （1）求y 与x 的函数解析式；
（2）当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？
4．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不能到达点B 、C ），过点D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E 。
（1）求证：△ABD ∽△DCE
（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。
（3）当△ADE 为等腰三角形时，求AE 的长。
B
B
5．如图□ABCD中。
BC=10，sin∠C=4
5
，点E、F分别是边AB，对角线BD上的动点（点E不与A、
B重合），∠DEF=∠A=∠BDC，设AE=x，DF=y
1)求AB的长
2)求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围。
3)当动点E在边AB上移动的过程中△DEF是否有可能成为一个等腰三角形，若能，求出x，若不
能请说明理由
6.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P、E分别是线段AC，BC上的点，且四边形PEFD为矩形.
(Ⅰ)若△PCD为等腰三角形，求AP的长；
(Ⅱ)若AP＝2，求CF的长.
7．（2017莆田质检24）如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,E是AB边上的一个动点,点F在射线EC 上,点H在AD边上,四边形EFGH是正方形,过点G作GM⊥射线AD于点M,连接CG,DG．
(1)求证:AH=GM；(2)设AE=x，△CDG的面积为S,求S与x的函数关系式,并写出x的取值范围．
8．（2017宁德质检24）在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,3),点B和点D的坐标分别为(m,0),(n,4),且m>0,四边形ABCD是矩形．
(1)如图1,当四边形ABCD为正方形时,求m,n的值;
(2)在图2中,画出矩形ABCD,简要说明点C,D的位置是如何确定的,并直接用含m的代数式表示点C 的坐标;
(3)探究:当m为何值时,矩形ABCD的对角线AC的长度最短．。