弹塑性力学-第六章 弹性力学平面问题的直角坐标解答
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6弹塑性力学基本求解方法
d r
dr
1 r
(2
r
)
0
代入几何方程和物理方程，整理可得
d 2ur 2 dur 2 ur 0 dr 2 r dr r 2
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
解此微分方程，其一般解为：
由 r 时 ur 0 C1 0
ur
C1r
C2 r2
由 r r1 时 ur r0 C2 r0 (1 )2 r02 r03
l 2
h/2
x
ydy
0
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法
于是可求得：
B
r 5h2
,C
l2r 4h2
10r,
D
3 4
r
x
所以 y
xy
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法 总结：应力函数设计
1．集中载荷——按材料力学方法求解 2．均布载荷—— f (xi2 ) 3．线性分布载荷—— f (xi3 ) 4．非线性分布载荷—— f (xi4 xi8 )
r1
r0
r0
)
—— 错配度
分析：基体变形为球对称变形，则
ur 0 u u 0
边界条件：
r , ur 0 （符合圣维南原理）
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
根据应力平衡微分方程
R0
有
r r
1 r
r
r r sin
1 r
(2
r
r ctg ) 0
r
r
0
r
r
ur
r0
(
r0 r
)2
由几何方程可得
弹性力学-平面问题的直角坐标解答.
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
弹性力学平面问题的基本方程
（1）平衡方程： （3）物理方程：
x yx fx 0 x y xy y fy 0 x y
（2）几何方程：
u x x v y y v u xy x y
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
按应力求解平面问题的基本方程
（1）平衡方程
x xy fx 0 x y yx y fy 0 x y
常体力下可以简化： （ 1）
结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。 2a 2c 2c x y 2a
0
xy b
x
0
2
y2
y
试求图示板的应力函数。 例：
0
0
x
x
y
( x, y )
0
2
x
2
y
0
( x, y) 0 xy
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
h 2 h 2
x y dy M
h 2 h 2
6dy dy M
2
2M d 3 ( 或 d ) h M 3 h 2
M 12 M x 6dy 3 y (h3 / 12) y h
可见：此结果与材力中结果相同，
说明
M x y I
(1) 组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精 确的。 (2) 若按其它形式分布，如： 则此结果不精确，有误差；
弹性力学平面问题的基本方程
（1）平衡方程： （3）物理方程：
x yx fx 0 x y xy y fy 0 x y
（2）几何方程：
u x x v y y v u xy x y
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
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按应力求解平面问题的基本方程
（1）平衡方程
x xy fx 0 x y yx y fy 0 x y
常体力下可以简化： （ 1）
结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。 2a 2c 2c x y 2a
0
xy b
x
0
2
y2
y
试求图示板的应力函数。 例：
0
0
x
x
y
( x, y )
0
2
x
2
y
0
( x, y) 0 xy
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h 2 h 2
x y dy M
h 2 h 2
6dy dy M
2
2M d 3 ( 或 d ) h M 3 h 2
M 12 M x 6dy 3 y (h3 / 12) y h
可见：此结果与材力中结果相同，
说明
M x y I
(1) 组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精 确的。 (2) 若按其它形式分布，如： 则此结果不精确，有误差；
弹性力学直角坐标解答
根据材料的本构关系， 引入物理方程来表达应 力分量与应变分量之间 的关系。
针对具体问题的边界条 件，如固定端、自由端 或受力边界等，对平衡 方程和几何方程进行适 当的处理。
根据问题的性质和复杂 程度，选择合适的求解 方法，如分离变量法、 积分变换法或数值方法 等，以求解平衡方程和 几何方程，得到应力分 量和位移分量的解答。
多场耦合问题
涉及多个物理场的相互作用，如热-力、电-力等耦 合问题，使得边界条件更加复杂。
处理复杂边界条件方法
坐标变换法
通过坐标变换将复杂边界转换为简单边界，从而简化问题的求解。
近似解法
采用近似函数逼近复杂边界条件，将问题转化为可求解的近似问题。
数值解法
利用数值计算方法（如有限元法、有限差分法等）对复杂边界条件 进行离散化处理，进而求解弹性力学问题。
直角坐标系下应力应变关系
应力分量
在直角坐标系下，一点的应力状态可以用六个应力分量来 表示，即三个正应力分量和三个剪应力分量。
应变分量
与应力分量相对应，一点的应变状态也可以用六个应变分 量来表示，即三个正应变分量和三个剪应变分量。
应力应变关系
在弹性力学中，应力和应变之间存在一定的关系，这种关 系可以用广义胡克定律来描述。对于各向同性材料，应力 应变关系可以简化为三个独立的方程。
03
空间问题直角坐标解答方 法
空间应力问题求解思路
应力分量求解
叠加原理应用
根据弹性力学基本方程，利用直角坐标 系下的应力分量表达式，通过给定的边 界条件和载荷，求解各应力分量。
对于多个载荷同时作用的情况，可利用 叠加原理将问题分解为多个简单问题分 别求解，再将结果叠加得到最终解。
应力函数引入
弹塑性力学第6章—弹塑性力学问题的建立与基本解法
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
6.3.2 塑性力学问题的基本解法
对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。
全量理论中塑性力学问题的提法：
已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、 边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻 物体的应力场、应变场、位移场。
全量理论对应的解法：
θ = εx + ε y + εz
2 2 2 ∂ ∂ ∂ 2 ， ∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
6.2 弹性力学问题的基本解法
位移法：
上述位移法平衡方程表示为张量形式为
(λ + μ )u j , ji + μui, jj + fi = 0
位移法平衡方程的推导包含了平衡方程、几何方程和本构 方程的信息，求解时只需补充边界条件。 当边界条件为给定位移时，可以直接使用；当边界条件为 给定面力时，则可通过广义胡克定律和几何关系，将其中的 应力用位移来表示。
增量理论
e dε ij = dε ij + dε ijp
e ij
1 dε ij = ( dui , j + du j ,i ) 2
3v 其中弹性应变增量 dε = − dσ mδ ij 2G E
塑性应变增量 dε ijp = dλ
dσ ij
∂ϕ 3dε p , dλ = ∂σ ij 2σ s
6.3 塑性力学基本方程与边界条件
用张量公式表示为
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
此外还可补充6个应变协调方程
6.1 弹性力学基本方程与边界条件
弹性力学基本方程
本构方程：
工程弹塑性力学---平面应力应变问题的直角坐标解
第六章平面问题的直角坐标解知识点平面应变问题应力表示的变形协调方程应力函数应力函数与双调和方程平面问题应力解法逆解法简支梁问题矩形梁的级数解法平面应力问题平面应力问题的近似性应力分量与应力函数应力函数与面力边界条件应力函数性质悬臂梁问题楔形体问题一、内容介绍对于实际工程结构的某些特殊形式，经过适当的简化和力学模型的抽象处理，就可以归结为弹性力学的平面问题，例如水坝，受拉薄板等。
这些问题的特点是某些基本未知量被限制在平面内发生的，使得数学上成为二维问题，从而简化了这些问题的求解困难。
本章的任务就是讨论弹性力学平面问题：平面应力和平面应变问题。
弹性力学平面问题主要使用应力函数解法，因此本章的工作从推导平面问题的基本方程入手，引入应力函数并且通过例题求解，熟悉和掌握求解平面问题的基本方法和步骤。
本章学习的困难是应力函数的确定。
虽然课程讨论了应力函数的相关性质，但是应力函数的确定仍然没有普遍的意义。
这就是说，应力函数的确定过程往往是根据问题的边界条件和受力等特定条件得到的。
二、重点1、平面应变问题；2、平面应力问题；3、应力函数表达的平面问题基本方程；4、应力函数的性质；5、典型平面问题的求解。
§6.1 平面应变问题学习思路:对于弹性力学问题，如果能够通过简化力学模型，使三维问题转化为二维问题，则可以大幅度降低求解难度。
平面应变问题是指具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束的弹性体。
这种弹性体的位移将发生在横截面内，可以简化为二维问题。
根据平面应变问题定义，可以确定问题的基本未知量和基本方程。
对于应力解法，基本方程简化为平衡微分方程和变形协调方程。
学习要点：1、平面应变问题；2、基本物理量；3、基本方程；4、应力表示的变形协调方程1、平面应变问题部分工程构件，例如压力管道、水坝等，其结构及其承载形式力学模型可以简化为平面应变问题，典型实例就是水坝，如图所示这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
第六章 弹塑性力学平面问题
Axy 3 U yf1 ( x) f 2 ( x) 4U = 0 6 4U 4U 4U 2 2 2 4 0 4 x x y y 4U 4U 0 0 4 2 2 y x y
பைடு நூலகம்
d 4 f1 ( x) d 4 f 2 ( x) 4U y 0 4 4 4 x dx dx d 4 f1 ( x) f1 ( x) Bx3 Cx 2 Dx 0 4 dx d 4 f 2 ( x) f 2 ( x) Ex3 Fx 2 0 4 dx Axy 3 U y ( Bx3 Cx 2 Dx) Ex3 Fx 2 6
x F1 ( x, y ), y F2 ( x, y ), xy F3 ( x, y )
平面应变问题
纵向轴
构件几何形状特征： 具有很长纵向轴的柱体
横截面的大小和形状沿轴 线不变；外力与轴线垂直 并且沿轴线不变；主体两 端受固定约束。
z方向上位移 w 0 位移发生在oxy平面内
o
x y
② ax bxy cy x 2c, y 2a, xy b
2 2
2a 2c o y -b o
3
均匀应力状态
b 0, a 0, c 0 双向受拉 b 0, a 0, c 0 纯剪切
x
③ ax bx y cxy dy x 2cx 6dy 复杂应力状态 y 6ax 2by 应用叠加原理
3 2 2
x y
-3dh2 o x
xy
可分解为简单 2(bx cy ) 应力状态
a b c 0, d 0 纯弯曲
y
④ ax 4 bx 3 y cx 2 y 2 dxy3
弹塑性力学课后答案
εij第二章 应力理论和应变理论2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。
解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应力符号均按材力的规定） 代入材力有关公式得：3030cos 2sin 22210410413cos 602sin 6073222226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 60223132 3.598 3.60()22x yx yxy x y xy MPa MPa σσσσσατασστατα+-=+----+=++=--⨯+⨯=----+=⋅+=⋅-=-⨯-⨯=--代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +23030()cos 2sin 22210410413cos 602sin 6073222226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 60222132 3.598 3.60()22x yx yxyx y xy MPa MPa s ss ss a tas s t a t a +-=++---+=++=--??=----+=-?=-?=??由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。
2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。
材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。
试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。
解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c 截面的内力：N z =γ·A ·z ；c 截面上的应力：z z N A z z A Aγσγ⋅⋅===⋅； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为：δy题图1-3τxyx 30°10n24xO10yTτ30°δ30°zz zEEσγε==；则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：()22zzzzz z z z y zz l d l d d zd EEEγγγε=⎰⋅∆=⎰⋅=⎰=⎰=；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：()2222ll A l lW ll d l EEAEAγγ⋅⋅⋅⋅⋅=⎰∆=== ；（W=γAl ）2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦应力单位为kg ／cm 2 。
06-弹塑性平面问题
3. 位移计算
u Fxy x x x E EJ v Fxy y x y EJ u v xy xy y x G F (h 2 y 2 ) 2GJ
积分(g)前两式 Fx2 y u u1 ( y ) 2 EJ 2 Fy x v v1 ( x) 2 EJ
1 ( xy ) y h C1h 2 3C2 x 2 2C3 x C4 0 2 1 C4 C1h 2 2 h h 1 F xytdy C1t ( y 2 h 2 )dy h h 2 3F F C1 3 2th J 1 2 3 3 J t (2h) th 12 3
( h)
du1 (2 ) Fy2 C1 2 EJ dy 2 dv Fx 1 1 2 Fh C1 dx 2 EJ EJ
积分得 (2 ) Fy3 u1 C1 y C2 6 EJ 3 Fx 1 v1 Fh2 x C1 x C3 6 EJ EJ 代入位移表达式得 F 2 (2 ) Fy3 u x y C1 y C2 2 EJ 6 EJ 3 F 2 Fx 1 v x y Fh2 x C1 x C3 2 EJ 6 EJ EJ
F 2 (2 ) Fy3 u x y C1 y C2 2 EJ 6 EJ 3 F 2 Fx 1 v x y Fh2 x C1 x C3 2 EJ 6 EJ EJ u 边界条件: x l , y 0处：u v 0 y Fl 2 1 C1 Fh2 2 EJ EJ C2 0 Fl 3 C3 3EJ
弹性本构方程为 1 x ( x y ) E 1 y ( y x ) E xy 2(1 ) xy xy G E
弹塑性力学部分习题
2018/10/7 7
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
§6-3平面问题的基本解法
§6-4多项式应力函数运用举例
2018/10/7
8
第七章弹性力学平面问题的极坐 标系解答
§7-1平面极坐标下的基本公式 §7-2轴对称问题 §7-3轴对称应力问题——曲梁 的纯弯曲 §7-4圆孔的孔边应力集中问题 §7-5曲梁的一般弯曲 §7-6楔形体在楔顶或楔面受力
弹塑性力学
第 六 章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答 第 七 章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 第 八 章 等截面直杆的扭转 第 九 章 空间轴对称问题 第 十 章 弹性力学问题的能量原理 第 十一 章 塑性力学基础知识
2018/10/7
1
参考书目
1.徐芝纶， 弹性力学：上册 .第三版,高等教育
w k x, y
其中 k 为待定常数，(x‚y)为待定函数， 试写出应力分量的表达式和位移法方程。
2018/10/7
18
题1-6 半空间体在自重 g 和表面均布压力 q 作用下的位移解为 u = v = 0,
1 g 2 2 w q h z h z 2G 2
2018/10/7
在 V上
16
题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz，试求位移。
z l y
Fbz g
x
x
2018/10/7
17
题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴 方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u kyz
v kxz
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
§6-3平面问题的基本解法
§6-4多项式应力函数运用举例
2018/10/7
8
第七章弹性力学平面问题的极坐 标系解答
§7-1平面极坐标下的基本公式 §7-2轴对称问题 §7-3轴对称应力问题——曲梁 的纯弯曲 §7-4圆孔的孔边应力集中问题 §7-5曲梁的一般弯曲 §7-6楔形体在楔顶或楔面受力
弹塑性力学
第 六 章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答 第 七 章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 第 八 章 等截面直杆的扭转 第 九 章 空间轴对称问题 第 十 章 弹性力学问题的能量原理 第 十一 章 塑性力学基础知识
2018/10/7
1
参考书目
1.徐芝纶， 弹性力学：上册 .第三版,高等教育
w k x, y
其中 k 为待定常数，(x‚y)为待定函数， 试写出应力分量的表达式和位移法方程。
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18
题1-6 半空间体在自重 g 和表面均布压力 q 作用下的位移解为 u = v = 0,
1 g 2 2 w q h z h z 2G 2
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在 V上
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题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz，试求位移。
z l y
Fbz g
x
x
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题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴 方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u kyz
v kxz
7-弹塑性力学-弹性问题的求解
第六章 弹性问题的求解
轴对称问题(axi-symmetrical problem) 的求解
轴对称：几何与载荷场均中心对称。 应力函数 (r , ) ，由于轴对称， (r )
1 d r , r dr
2
d 2 2 , dr
2
r r 0
第六章 弹性问题的求解
厚壁筒受均压的应力解： 讨论： 2 2 qa q 常数（与r无关） （1） r 2 2 2 2 b b / a 1 1 a / b
从而 z ( r ) 常数 E
表明：厚壁筒变形后各载面（垂直z轴）仍为平面。（平面应力与平面应 变问题的转换条件） （2）当 qb 0 ，即只受内均压 作用时，
其中：
E1
E 1 2
, 1
1
这就是平面应变问题的广义虎克定律。
第六章 弹性问题的求解
6.3 平面问题(plane problem)的弹性解
不难证明：
1 1 1 E1 E ,G E1 E 2(1 1) 2(1 )
x xy X 0 y x y xy Y 0 y x
第六章 弹性问题的求解
6.3 平面问题(plane problem)的弹性解
x 2G x y 2G y 由物理方程可得应力分量 z 2G z G xy xy 0 zx yz
其中
E （拉梅常数）， (1 )(1 2 )
平面应变问题（长轴类问题）(plane strain problem)
ห้องสมุดไป่ตู้
第六章 弹性问题的求解
弹性力学—平面问题的直角坐标解答共111页文档
弹性力学—平面问题的直角坐标解答
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。
56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。
弹性力学第六章__平面问题直角坐标解答
界条件即可。平面问题的静力边界条件为：
(6-13) 显然，式（6-6）、式（6-12）、式（6-13）都不含弹性常数。 因此，对于单连域物体，当边界上没有给定的位移约束 条件，且体力为常量或可忽略时，其应力状态与材料的性质 无关。这就是平面光弹性实验应力分析的理论依据。
§6-2 平面问题的应力解法 · 应力函数 （续4）
u,v
应
变
x , y , xy yz z x 0
x , y , xy
应
力
x , y , xy
yz zx 0
z 0
x , y , xy
w0 yz z x 0 z 0 yz z x 0
x、 y、 xy ，故两类问题
(4) 两类问题中的物理方程形式相同。关于平面应变问 的 E、 换成 E1、1 即可。
题的物理方程，只须将平面应力问题的物理方程中
两类平面问题及其特征
平面应力问题 名 位 称 移 平面应变问题
未知量
已知量
未知量
已知量
u, ,v u v
w0
z ( x y ) z E ( x y ) E
应力函数求解问题基本思路、基本方程和基本解
题技巧。 三：按应力求解平面问题的应用举例。
主要内容
§6-1 平面应变问题 · 平面应力问题
§6-2
§6-3 §6-4 §6-5 §6-6
平面问题的应力解法· 应力函数
用多项式解平面问题 悬臂梁一端受集中力作用 简支梁受均匀分布荷载作用 应力函数确定的“材料力学方法”
变形协调方程 为：
( x y ) 0
2
(6-12)
(6-13) 显然，式（6-6）、式（6-12）、式（6-13）都不含弹性常数。 因此，对于单连域物体，当边界上没有给定的位移约束 条件，且体力为常量或可忽略时，其应力状态与材料的性质 无关。这就是平面光弹性实验应力分析的理论依据。
§6-2 平面问题的应力解法 · 应力函数 （续4）
u,v
应
变
x , y , xy yz z x 0
x , y , xy
应
力
x , y , xy
yz zx 0
z 0
x , y , xy
w0 yz z x 0 z 0 yz z x 0
x、 y、 xy ，故两类问题
(4) 两类问题中的物理方程形式相同。关于平面应变问 的 E、 换成 E1、1 即可。
题的物理方程，只须将平面应力问题的物理方程中
两类平面问题及其特征
平面应力问题 名 位 称 移 平面应变问题
未知量
已知量
未知量
已知量
u, ,v u v
w0
z ( x y ) z E ( x y ) E
应力函数求解问题基本思路、基本方程和基本解
题技巧。 三：按应力求解平面问题的应用举例。
主要内容
§6-1 平面应变问题 · 平面应力问题
§6-2
§6-3 §6-4 §6-5 §6-6
平面问题的应力解法· 应力函数
用多项式解平面问题 悬臂梁一端受集中力作用 简支梁受均匀分布荷载作用 应力函数确定的“材料力学方法”
变形协调方程 为：
( x y ) 0
2
(6-12)
弹塑性力学 第06章平面问题的直角坐标解答
②几何方程
③物理方程
∂u εx = ∂x ∂v εy = ∂y ∂v ∂u γ xy = + ∂x ∂y
④应变协调方程
⎧ 1 ⎪ε x = (σ x − ν1σ y ) E1 ⎪ ⎪ 1 ⎨ε y = (σ y − ν1σ x ) E1 ⎪ ⎪ 2(1 + ν1 ) τ xy ⎪γ xy = E1 ⎩
[
]
表明：如假想将物体切成无数个与Oxy平面平行的薄片，虽然 各薄片沿 Oz 轴方向的伸长被阻止，但正是由于各薄片相互挤 压的结果，薄片表面上的正应力是存在的。
将
σ z = v(σ x + σ y ) 代入广义胡克定律，有
ν 1− v ⎛ 1 ⎞ σy ⎟ ε x = σ x −ν (σ y + σ z ) = ⎜σx − E ⎝ 1− v ⎠ E 2 ν 1− v ⎛ 1 ⎞ σx ⎟ ε y = σ y −ν (σ z + σ x ) = ⎜σy − E ⎝ 1− v ⎠ E
①平衡微分方程
⎧ ∂σ x ∂τ yx ⎪ ∂x + ∂y + Fbx = 0 ⎪ ⎨ ⎪ ∂τ xy + ∂σ y + F = 0 by ⎪ ∂y ⎩ ∂x ∂u εx = ∂x ∂v εy = ∂y ∂v ∂u γ xy = + ∂x ∂y
②几何方程
③物理方程
1 ⎧ ⎪ε x = E (σ x − νσ y ) ⎪ 1 ⎪ ⎨ε y = (σ y − νσ x ) E ⎪ 2(1 + ν ) ⎪ ⎪γ xy = E τ xy ⎩ ∂ εx + 2 = 2 ∂x∂y ∂y ∂x
§6-4 用多项式求解平面问题
下面用逆解法求解一些具有矩形边界且不计体力的平面问 题，如矩形板或梁。 这种方法的基本思想是：对不计体积力的矩形梁，在给定 的坐标系下分别给出幂次不同并满足双调和方程的代数多项式 应力函数，由此得出应力分量，然后考察这些应力分量对应于 边界上什么样的面力，从而得知该应力函数能解决什么问题。
弹塑性力学讲义 第六章弹性力学平面问题的直角坐标系解答
x yx X 0， x y
2.2
xy x
几何方程（3 个） 两平面问题一致：
(u , u , )
,
1 2
u x x
2.3
y
v y ，
xy
u v y x
相容方程（1 个）
2 2 2 x y xy 2 2 两平面问题一致： xy y x
X n
在 S =S 上
当体力为常数或体力为零时，两个平面问题的相容方程一致
5
2(x+y )=0
(x+y )为调合函数，与弹性系数无关，不管是平面应力（应变）
问题，也不管材料如何，只要方程一致，应力解一致，有利实验。 3.3 应力函数解法 当体力为常量或为零时，按应力法解的基本方程（共三个）为
3
对于平面应力问题还应有
2 z 2 z 2 z 0， 2 0， 0， y xy x 2
但对于薄板厚度尺寸远此三个方程可以不考虑。
2.4
本构方程（3 个） 平面应力问题
x
1 2(1 ) 1 ( x y ) ， y ( y x ) ， xy xy E E E
(1 2 ) (1 2 ) ( y x) ， ( x y) ，y 1 E E 1
平面应变问题
x
xy
2(1 ) xy E
两个平面问题的基本方程仅物理方程有所不同， 将平面应力物理方程 中弹性系数 E
E ， ，则平面应力问题的物理方程变为平面 1 1 2
对于单连域，应力函数(x,y)满足双调和方程
4
=0，且在 S上满
弹性力学—平面问题的直角坐标解答共111页
弹性力学—平面问题的直角坐标解答
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
111
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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弹塑性力学-第6章 弹塑性平面问题
第六章 弹塑性平面问题任何一个弹塑性体实际上都是空间(三维）物体，且一般的载荷严格说来也是空间力系.因此，所有弹塑性力学问题实际上都是空间问题，即所有的力学量都是坐标),,(z y x 的函数。
但是，当所考察的物体(结构）及其所承受的载荷具有某些特点时，则可将它们近似地看作平面（二维)问题，即所有的力学量都是两个坐标(如y x ,）的函数，从而使问题得简化，且所得解答又具有工程所要求的精度。
由第二章知,弹塑性力学平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题两种，本章主要讨论弹塑性平面问题求解的一般方法。
6.1 弹性平面问题的基本方程由第二章己经知道,两类平面问题的基本未知量虽然是完全相同的，但非零的应力分量、应变分量和位移分量不是完全相同的. 1。
1平衡方程无论是平面应力问题还是平面应变问题,由于在z 方向自成平衡，因此，两类问题的平衡方程均为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00Y y x X y x yxy xyx σττσ （6。
1-1)1.2几何方程由于只需要考虑面内的几何关系,因此，对于两类平面向题均有 xvy u ，yv ，xuxy y x ∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=γεε (6。
1—2）由式（6。
1-2）可得到平面问题的变形协调方程为y x xy xyy x ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222 (6.1—3） 1。
3本构关系两类平面问题的非零应力分量和应变分量不相同，因此,由广义虎克定律所得本构方程也必然不尽相同.(1) 平面应力问题对于平面应力问题，因,0=z σ 0==zx yz ττ，根据广义虎克定律显然有0==zx yz γγ。
因此本构方程为⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=-=-=xy xy y x z x y y y x x E EE Eτνγσσνενσσενσσε)1(2)()(1)(1 （6.1-4a)或⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+=+-=+-=xyxy x y y y x x E E E γντνεενσνεενσ)1(2)(1)(122(6。
6-2弹性力学平面问题(直角坐标)
3 2 2 3 （1） c1 x c2 x y c3 xy c4 y 其中: c1、c2、c3 、c4为待定系数。
检验 (x,y) 是否满足双调和方程，显然有 （2）
4 4 4 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y
4 0（可作为应力函数 ）
u0 0
v0 0
M
l y
h/2 h/2
M x
v x l，y 0
Ml 2 EI
0
v y 0
M M 2 v (l x) x y 2 EI 2 EI M (l x) x 与材力中梁的挠曲线方程结果相同 2 EI
M l u (x ) y EI 2
h/2 h/2
M
x
l
恒不满足
u x l，y 0 0
v x l，y 0 0
v 0 x x l , y 0
（中点不动）
（轴线在端部不转动）
u0 0
Ml 2 v0 2 EI
v
代入位移表达式解得
所以
u
Ml EI
M (l x) y EI
M x 3 y (h / 12)
M x y I
可见，此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的 应力结果是正确的。
说明： ① 组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零，结 果才是精确的。 ② 若按其它形式分布，则此结果不精确，有误差； 但按圣 维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。 ③ 当 l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。
l
min 3c4 h
x 6c4 y y 0 xy 0
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不考虑。
2020/7/17
16
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
2.4 本构方程（3个）
平面应力问题
x E1 (x y),
xy 2(1E)xy
y E1 (y x),
2020/7/17
17
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
2.4 本构方程（3个）
平面应变问题
x(1E2)(x1y),y (1E2)(y1x),
▪ 存在四个应变分量(待求量)：x , y , xy ,z （其中 z 不独立）
2020/7/17
9
§6-1平面问题的分类
1.1 平面应力问题 ▪ 位移分量待求量： u(x,y) , v(x,y)（考虑 平面内位移）. ▪ 平面应力问题待求未知函数一共八个：
3个应力＋3个应变＋2个位移
2020/7/17
y
2 x 2
xy
2 xy
（a）
应力函数 (x,y) 与待求应力分量齐次解
之间的微分关系是由两个齐次平衡微分方程 导出的：
2020/7/17
32
§6-3 平面问题的基本解法
x
xyxyA yx来自A xxyy
y
xxyB xy
得 ABA
x y
y
B y
xy
B x
2020/7/17
33
§6-3 平面问题的基本解法
两平面问题一致： 12(u, u,)
x
u x
,
y
v y
,
xy
u y
v x
2020/7/17
15
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
2.3 相容方程（1个）
两平面问题一致：
2x
y2
2x2y
2xy
xy
对于平面应力问题还应有
2 z 0, x2
2 z y2
0,
2 z 0 xy
但对于薄板厚度尺寸远此三个方程可以
基本方程两个：用 u , v 表示的平衡微分方程。 平面应力问题：
G 2uG 1 1 u, f0
2020/7/17
22
§6-3 平面问题的基本解法
其中 2 2 2 x2 y2
平面应变问题：
G 2uG 1 12u, f0
2020/7/17
23
§6-3 平面问题的基本解法
边界条件：位移边界
x
y 2
fx x,
y
x2
fy
y,
xy
2 xy
2020/7/17
35
§6-3 平面问题的基本解法
在边界上应力分量满足力的边界条件 （在S上），用应力函数表示：
Xl(2y 2 fxx)m(x2 y)
Yl(x2 y)m(2x 2 fyy)
2020/7/17
36
§6-3 平面问题的基本解法
对于单连域，应力函数 (x,y) 满足双调 和方程 4= 0，且在S上满足用应力函数二 阶偏微分表示的边界条件，则由 (x,y) 导出
F
d dxC( Y)d SdyC(X)dSB C
dSdS A
dS A
oA
x
上式对s 积分得
B AA B d d
x C ( Y)d Sd
S A
d
S y A CX d d SS
采用分部积分
2020/7/17
从而导出(a)式。则 (a) 式使得齐次的平衡微分 方程自然满足，将(a) 式代入相容方程，得
2( 2 y 2 2 x 2) 2 2 40
2020/7/17
34
§6-3 平面问题的基本解法 4 0
上式称为应力函数解法的基本方程（一个）
基本方程为由应力函数 满足的双调合方程
最后应力分量解为其特解加通解：
2020/7/17
2
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
弹性体都是三维的，而受力（外力）一般 也是空间力系，但如果所研究弹性体具有某 种特殊形状，并且承受某种特殊规定的外力 和约束 。
弹性力学三维问题可以近似的简化为二 维问题处理，这将使分析和计算大大简化， 而所得结果也能满足工程上对精度的要求。
d ()Y dS x
积分得
2020/7/17
42
§6-3 平面问题的基本解法 y
F
d ( ) X , dS y
d ()Y B
dS x
o
A
积分得
x
( y)B ( y)AA B d d S ( y)d sA B X d s R x
( x)B( x)AA BYd sR y
10
§6-1平面问题的分类
1.2 平面应变问题 形状特点：物体一个方向尺寸（z 或x3）比其 它两个方向（x,y 或 x1 ,x2 ）大的多，如水坝、 涵洞。
x1 (x)
x3 (z)
2020/7/17
x2 (y)
11
§6-1平面问题的分类
1.2 平面应变问题
▪ 受 体 = 力力conf和3s=t约f面z束=均情0可，况看面：成力沿对zX称(3或面x，Z3）对轴称0，方结这向构样无受x变对3 =化称z，
l 2y2 mx2y X l x2ym2x2 Y
l cosn(,e1)ddSy
mcosn,(e2)ddSx
y e2 dy
n ds
代入边界条件，得
o -dx e1
x
2020/7/17
41
§6-3 平面问题的基本解法
2y 2 ddSyx2yddSxX
d () X dS y
(x2 yddSy2x 2 ddSx)Y
平面应变问题待求未知函数仍然八个：
3应力＋3应变＋2位移。
2020/7/17
13
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
2.1 平衡微分方程（2个）
两个平面问题一致： ,+f=0, , =1,2
x yx X0 xy y Y 0
x y
x y
2020/7/17
14
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
2.2 几何方程（3个）
（平面应力问题时）
2020/7/17
25
§6-3 平面问题的基本解法
3.2 应力法
1个相容方程：2(xy)1 1( fxx fyy)
（平面应变问题时 ）
力边界条件： X n 在S =S上
Xlx myx Ylxymy
2020/7/17
26
§6-3 平面问题的基本解法
当体力为常数或体力为零时，两个平面问题 的相容方程一致
应力分量为真解，对于复连域，还要考虑位移 的单值条件.
2020/7/17
37
§6-3 平面问题的基本解法
3.4 应力函数的特性
1. 应力函数加上一个线性函数 a+bx+cy，并 不影响应力，换句话说，某问题的应力函数为
，则 1=+a+bx+cy 也是问题的应力函数。
应力函数可确定到只差一个线性函数。
1.1 平面应力问题 ▪ 受力和约束特点：沿厚度（x3方向）均匀分
布，体力 f3 = fz = 0 , 面力 X3 Z 0 ，在薄
板表面无面力，坐标系（x1 , x2 , x3）放在板 厚中间平面——中平面，以z(或x3）轴垂直板
面。满足上述条件的问题称为平面应力问题
2020/7/17
7
§6-1平面问题的分类
2(x+y ) = 0
(x+y )为调合函数，与弹性系数无关，不
管是平面应力（应变）问题，也不管材料如何， 只要方程一致，应力解一致，有利实验。
2020/7/17
27
§6-3 平面问题的基本解法
3.2 应力函数解法 当体力为常量或为零时，按应力法解的
基本方程（共三个）为
,+f=0 , 2=0
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类 §6-2平面问题的基本方程和边界条件 §6-3平面问题的基本解法 §6-4多项式应力函数运用举例
2020/7/17
1
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
▪ 在第五章讨论了弹性力学问题的基本解法： 位移法和应力法，并结合简单的三维问题， 根据问题的特点，猜想问题的应力解或位移 解，并验证猜想的解是否满足应力法或位移 法的基本方程和边界条件，满足则为问题真 解。
xy 2(1E)xy
2020/7/17
18
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
两个平面问题的基本方程仅物理方程有所
不同，将平面应力物理方程中弹性系
数
E
E
1
2
，
1
，则平面应力问题的物理
方程变为平面应变问题的物理方程。所以按
平面应力问题求解的结果中弹性系数也如此
替换，则可得到平面应变问题解。
2020/7/17
▪ 平面问题分为平面应力问题和平面应变问 题两类。
▪ 下面将它们分类简要说明一下。
2020/7/17
5
§6-1平面问题的分类
1.1 平面应力问题
固体的形状特点：
物体一个方向尺 寸 比 其 它 两 个 方 向 x2
尺寸小的多（等厚
度薄板）。
o
x1
x2
x3
t
2020/7/17
6
§6-1平面问题的分类
2. 无体力作用时，应力函数及其一阶偏导数 的边界值可分别由边界的面力的主矩和主矢 量来确定。
2020/7/17
38
§6-3 平面问题的基本解法
B
B
( x)B ( x)A A F y d S A Y d S R y
( y)B( y)AA BF xd SA BX d SR x