北师大版函数 PPT
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北师大版高中数学必修第一册 第二章 2-1《函数概念》课件PPT
(2)求g(f(2)),求f(g(x));
1
=4,求x.
(())
(3)若
1
1
解:(1)f(2)=1+2 = 3,g(2)=22+2=6.
1
1
19
1
1+()
(2)g(f(2))=g 3 = 3 2+2= 9 , f(g(x))=
(3)
1
=x2+3=4,即x2=1,得x=±1.
(())
1
求复合函数或抽象函数的定义域应明确以下几点:
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围所组成的集合.
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
(3) f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的范围相同.
(4)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知φ(x)的取值范围为A,求出x的取值范围.
都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).
变式训练
求函数y= 2 + 3 −
1
2−
1
+ 的定义域.
2 + 3 ≥ 0,
3
解:要使函数有意义,需ቐ 2− > 0, 解得-2≤x<2,且x≠0,
≠ 0,
所以函数y= 2 + 3 −
1
2−
1
3
+ 的定义域为 ቚ− 2 ≤ < 2,且 ≠ 0 .
+ 2 ≠ 0,
≠ −2,
即ቊ
解得x<0,且x≠-2.
||− ≠ 0,
|| ≠ ,
1
=4,求x.
(())
(3)若
1
1
解:(1)f(2)=1+2 = 3,g(2)=22+2=6.
1
1
19
1
1+()
(2)g(f(2))=g 3 = 3 2+2= 9 , f(g(x))=
(3)
1
=x2+3=4,即x2=1,得x=±1.
(())
1
求复合函数或抽象函数的定义域应明确以下几点:
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围所组成的集合.
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
(3) f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的范围相同.
(4)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知φ(x)的取值范围为A,求出x的取值范围.
都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).
变式训练
求函数y= 2 + 3 −
1
2−
1
+ 的定义域.
2 + 3 ≥ 0,
3
解:要使函数有意义,需ቐ 2− > 0, 解得-2≤x<2,且x≠0,
≠ 0,
所以函数y= 2 + 3 −
1
2−
1
3
+ 的定义域为 ቚ− 2 ≤ < 2,且 ≠ 0 .
+ 2 ≠ 0,
≠ −2,
即ቊ
解得x<0,且x≠-2.
||− ≠ 0,
|| ≠ ,
北师大版必修一第三章第三节指数函数及其性质ppt课件
§ 指数函数（一）
经过
第一年
第二年
第三年
经过 X年
…...
人口 倍数
Y
增长
1%
增长
1%
增长
1%
表达式
引例：若从今年底开始我国的人口年平均增长率为1%,那么经过20年后我国的人口数是现在的几倍?
指数函数定义： 函数 y=ax （a>0,a≠1）叫做指数函数, 其中x是自变量，函数的定义域为R
作业: A组 7, 8
B组 1, 3, 4
例4．求下列函数的定义域、值域： ⑴ ⑵ ⑶
想一想
探究1：为什么要规定a>0,且a
1呢？
①若a=0，则当x≤0时，
③若a=1，则对于任何x
R，
=1，是一个常量，没有研究的必要性.
②若a<0，对于x的某些数值，可能使
探究2：函数
是指数函数吗？ 不是！指数函数中要求 的系数必须是1 思考:下列函数是指数函数吗,为什么?
指数函数的图象和性质：
x
(
)
=
2
x
的图象和性质：
图象在y轴左边平缓，右边陡 峭
图象在y轴左边陡峭，右边平缓
a>1
0<a<1
图 象
性 质
1.定义域：
2.值域：
3.过点 ，即x= 时，y=
4.在 R上是 函数
在R上是 函数
例2、比较下列各题中两个值的大小：
例3、(1)若 , 则m与n的大小如何? (3)已知a＞0，且a≠1，若当x≠1时恒有： 成立，求a的取值范围.
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
列表如下：
x
-3
北师大版八年级数学上册课件 4.4 一次函数的应用(共28张PPT)
5. 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质 量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李 票费用y元与行李质量的关系如图：
(1)旅客最多可免费携带多少 千克行李？
30千克
⑵超过30千克ห้องสมุดไป่ตู้，每千克需 付多少元？
0。2元
课堂小结
1、确定正比例函数 y kx的表达式： 只需要正比例函数 y kx的一组变量对应值
新知探究
Ⅱ、在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物 体质量x(千克)的一次函数。一根弹簧不挂物体时 长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧 长16厘米。写出y与x之间的关系式，并求当所挂 物体的质量为4千克时弹簧的长度。
解：设一次函数的表达式为：ykxb
x=0时，y=14.5；x=3时，y=16
4.4 一次函数的应用〔1〕
新知探究 Ⅰ、某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与 其下滑时间t(秒)的关系如下图。 (1)写出v与t之间的关系式；
解：正比例函数的表达式为：vkt
当t=2时，v=5
5t2
(2, 5)
k5 2
v 5t 2
确定正比例函数的表达式需要几个条件？
要求出k值，只需要一个点的坐标。
引例、由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增 加而减少。干旱持续时间t(天)与蓄水量v(万米3)的关系如下图， 答复以下问题： (2)蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，干旱多少 天后将发出严重干旱警报？ (3)按照这个规律，预计持续 多少天水库将干涸？
解〔1〕因为一次函数解析式为y=-20x+1200 蓄水量小于400万米3，即y=400时， -20x+1200=400 得
解：设干旱持续时间t与蓄水量v的关系式为y=kx+b 由图上可知：当x=0时，y=1200；当x=60时，y=0；
第2课时一次函数的图象和性质PPT课件(北师大版)
当堂练习
1. 一次函数y=x-2的大致图象为（ C ）
y
y
y
y
x
x
x
x
A
B
C
D
2.下列函数中，y的值随x值的增大而增大的函数是( C ).
A.y=-2xLeabharlann B.y=-2x+1
C.y=x-2
D.y=-x-2
3.直线y=3x-2可由直线y=3x向 下 平移 2 单位得到.
4.直线y=x+2可由直线y=x-1向 上 平移 3 单位得到.
y
y=2x-1
2… -3 …
2·
x
o ·1
再画出y=2x-1 的图象
y=-2x+l
总结归纳
一次函数
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线,
因此画一次函数图象时,只要确定两个点，
再过这两点画直线就可以了.一般过
(0,b)和(1,k+b)或( b ,0) k
(
y
, 0) (0, b)
O
x
一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b.
总结归纳
一次函数y=kx＋b中，k的正负对函数图象有什么影响？ 当k＞0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐上升，y随x的增大 而增大.
① b>0时，直线经过一、二、三象限； ② b<0时，直线经过一、三、四象限. 当k＜0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐降落，y随x的增大 而减小.
① b>0时，直线经过 一、二、四象限； ② b<0时，直线经过二、三、四象限.
y=5－6x, 这个函数也可以写成
y=－6x+5.
讲授新课
一 一次函数的图象的画法
反比例函数(1)PPT课件(北师大版)
R（Ώ）
20
60
I（A）
2.2
例2:在某一电路中,保持电压U(伏)不变， 电流I(安)是电阻R(欧)的反比例函 数,当电阻R=5欧时,电流I=2安。
(1) 求I与R之间的函数关系式。
(2) 当电流I=0.5安时,求电阻R的值。
互动的课堂
问题1:关系式xy+4=0中y是x的反比 例函数吗?若是，相应的k值等于多 少？若不是，请说明理由。
问题2:
若
y
=
m－ x
1
是反比例函数，则m应满足
的条是
.
问题3：
函数关系式
y
=
100
x
可以表示许多
生活中变量之间的关系，你能举出一
些这样的实际例子吗？
问题4： 若 y =(m + 1)xm 2-2 是关于x的反比例 函数,确定m的值,并求其函数关系式。
说说收获
1.通过本节课的学习，你有哪些收获？ 2.你还存在什么疑问？
（1）y
=
4
2x
（3）
y
=
1-x
（4）xy = 1
（5）y
=
x
2
（6） y = 2x-1
检测练习
下列函数中，x均为自变量，那么哪些y是x的 反比例函数？k值是多少？
（1）y =-3x
（2）y
=
-
2
3x
（3）xy=0.4
（4）y
=
5
x
+
1
（5）y =
n
x
例: y是x的反比例函数，下图给出了x与 y的一些值:
成 y = xk（k为常数，k ≠0）的情势，那么
北师大版(2019)必修第一册3.3 对数函数y=loga x的图像和性质 课件(共15张PPT)
注意定义域
∴ x的取值范围是（1，
+ ∞）
【变式】已知a 1,函数f x
求f x
loga x 1
0时x的取值范围.
(0,1)
loga 1 x
环节五：归纳小结，深化目标
思考:本课你学到了哪些知识？
请回忆学习过程，其中提炼了哪些方法？数学思想？
知
识
线
思
想
方
法
线
应
用
线
数形结合
图像
性质
分类讨论
特殊到一般
单
2
关于x轴对称！
由此我们可以得到又一对称规则：
y
f x 与y
f x 图象关于x轴对称
环节二：自主动手，绘出图象
尝试在同一直角坐标系中分别画出y log 2 x、
y log 1 x、y log3 x、y log 1 x的图象
2
3
y
y
log 2 x
y
o
1
log 3 x
x
y
log 1 x
3
y
log 1 x
4.3.2对数函数y
log a x 的图象和性质
学习目标
学习目标
1.掌握对数函数的图象与性质.
2.会应用对数函数的图象与性质比较大小、求
定义域和值域、确定单调区间等.
3.体会数形结合思想在研究函数问题中的应用.
环节一：温故知新，导入新课
1.上节我们学过y=log2x的图像，你还能画出它的函数
图象吗？
y
y log 2 x
o
2.结合上节所学内容，你能画y
x
log 1 x的图象吗？
2
y
北师大版141一元二次函数课件(47张)
k
m≤h≤n
h＝m＋2 n
a(m－h)2＋k 或a(n－h)2＋k
k
m＋2 n<h≤n
a(m－h)2＋k
k
[练习 3]求函数 y＝x2－2x＋3 在区间[0，a]上的最值，并求此时 x 的值．
解：函数图象的对称轴为直线 x＝1，抛物线开口向上， 当 0<a≤1 时，在[0，a]上函数值随 x 的增大而减小， ∴当 x＝0 时，ymax＝3；当 x＝a 时，ymin＝a2－2a＋3. 当 1<a<2 时，在[0,1]上函数值随 x 的增大而减小，在[1，a]上函数值随 x 的增大而增 大， ∴当 x＝1 时，ymin＝2；当 x＝0 时，ymax＝3. 当 a≥2 时，在[0,1]上函数值随 x 的增大而减小，在[1，a]上函数值随 x 的增大而增大， ∴当 x＝1 时，ymin＝2； 当 x＝a 时，ymax＝a2－2a＋3.
任意一元二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可转化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式，都可由 y ＝ax2 的图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示．
[练习1]画出一元二次函数y＝12x2－6x＋21的图象，并说明它是如何经过y＝21x2平移得 到的．
解：∵y＝12x2－6x＋21＝12(x－6)2＋3， ∴抛物线的顶点坐标为(6,3)，对称轴为x＝6. 令x＝0，求得y＝21，它与y轴交点为(0,21)，此交点距顶点太远，画图时利用不上； 令y＝0，12x2－6x＋21＝0. ∵Δ＜0，方程无实数解， ∴抛物线与x轴没有交点． 因此，画此函数图象，应利用函数的对称性列表，在顶点的两侧适当地选取两对对 称点，然后描点、画图即可．
a＝－2， 解这个方程组得b＝8，
c＝－5.
新教材北师大版必修第一册 第二章2.2函数的表示法1函数的表示法 课件(49张)
x
所以f(x)=- 1.
x
=-
x
,
3
xx
【补偿训练】
已知f(x)满足f(x)=2f ( 1 )+x,则f(x)的解析式为________.
x
【解析】因为f(x)=2f ( 1+) x,用
x
替1 换x得f
x
=( 12)f(x)+
x
,1
x
代入上式得f(x)= 2[2f x 1 ] x,
x
解得f(x)= 2 . x
【补偿训练】 某公共汽车,行进的站数与票价关系如表:
行进的 站数
票价
123456789 111222333
此函数的关系除了列表之外,能否用其他方法表示?
类型二 函数的图象及其应用(直观想象) 【典例】1.(2020·徐州高一检测)函数y= x2 的图象的大致形状是( )
x
2.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2). (1)画出f(x)图象的简图. (2)根据图象写出f(x)的值域. 【思路导引】1.分x>0,x<0两种情况作出判断. 2.先作出图象,再根据图象写值域.
【跟踪训练】 作出下列函数的图象并写出其值域. (1)y=-x,x∈{0,1,-2,3}. (2)y= 2 ,x∈[2,+∞).
x
【拓展延伸】关于图象变换的常见结论有哪些? 提示:(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称. (2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称. (3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于点(0,0)对称. (4)y=f(|x|)是保留y=f(x)的y轴右边的图象,去掉y轴左边的图象,且将右边图象 沿y轴对折而成. (5)y=|f(x)|是保留y=f(x)的x轴上方的图象,将x轴下方的图象沿x轴对折且去掉 x轴下方的图象而成.
所以f(x)=- 1.
x
=-
x
,
3
xx
【补偿训练】
已知f(x)满足f(x)=2f ( 1 )+x,则f(x)的解析式为________.
x
【解析】因为f(x)=2f ( 1+) x,用
x
替1 换x得f
x
=( 12)f(x)+
x
,1
x
代入上式得f(x)= 2[2f x 1 ] x,
x
解得f(x)= 2 . x
【补偿训练】 某公共汽车,行进的站数与票价关系如表:
行进的 站数
票价
123456789 111222333
此函数的关系除了列表之外,能否用其他方法表示?
类型二 函数的图象及其应用(直观想象) 【典例】1.(2020·徐州高一检测)函数y= x2 的图象的大致形状是( )
x
2.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2). (1)画出f(x)图象的简图. (2)根据图象写出f(x)的值域. 【思路导引】1.分x>0,x<0两种情况作出判断. 2.先作出图象,再根据图象写值域.
【跟踪训练】 作出下列函数的图象并写出其值域. (1)y=-x,x∈{0,1,-2,3}. (2)y= 2 ,x∈[2,+∞).
x
【拓展延伸】关于图象变换的常见结论有哪些? 提示:(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称. (2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称. (3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于点(0,0)对称. (4)y=f(|x|)是保留y=f(x)的y轴右边的图象,去掉y轴左边的图象,且将右边图象 沿y轴对折而成. (5)y=|f(x)|是保留y=f(x)的x轴上方的图象,将x轴下方的图象沿x轴对折且去掉 x轴下方的图象而成.
北师大版八年级数学上册《一次函数与正比例函数》一次函数PPT精品课件
零．
样
式
2200232/35//45/4
9
•
•
•
• •
例典单1例：精击写析此出处下编列各辑题母中版y与标题x之样间式的三级关二级 单击此处系式，并判断单击此
：•y单是击否此为处编x的辑母一版次文函本样数式？是否为五 四级正比编辑例函数？ （1）• 二汽•级三车级 以60km/h的速度匀速级行驶,行母版 驶路程为
击 此 处 编
但m-1• ≠三0•级,四即级 m≠1,
版 文
辑
• 五级
所以m=-1.
本
母
样 式
版
4.若函数y=(m-3)x+m2-9是正比例函数，求m的值. 标
解：根据题意，得m2-9=0,
题
解得m=±3，
样 式
但m-3≠0,即m≠3,
所以m=-3.
2200232/35//45/4
18
•
•
•
• •
样 式
y=60－0.12x
2200232/35//45/4
6
•
•
•
• •
单
单
上单•(1单面)•击y击二=的此级3此+处两0处编.个5辑x编函母版数辑文关母本系样版式式标: 题样五级大两有式四级个家什三级讨么函二级论关数击此处编辑母关一系?系下,式这
击 此 处 编
(2) y=• 三60级－0.12x • 四级
辑
• 五级
本
母
一次 函数
正比例函数的概样式念
版 标
题
函数关系式的确定
样
式
2200232/35//45/4
23
5 kg 时• 三的•级四级长度，并填入下表：
北师大版八年级数学上册《函数》一次函数PPT课件
(4)当关系式有零指数幂(或负整数指数幂)时，自变 量的取值需使相应的底数不为0；
(5)当关系式是实际问题的关系式时，自变量的取值 需使实际问题有意义；
(6)当关系式是复合形式时，自变量的取值需使所有 式子同时有意义．
知2－讲
知例(1)3识y＝点求3x下＋列7；函(2数) 中y＝自3变x1量2x；的(取3) 值y＝范围x： 4 .
干旱持续时间t/天 蓄水量V/万立方米
0 10 20 30 40 50 60
(3)当t取0至60之间的任一值时，对应几个V值？ (4)V可以看作t的函数吗？若可以，写出函数关系式．
知3－讲
知导引识：点(1)通过读图可知，横坐标表示干旱持续时间，纵坐标表
示水库蓄水量，因此它表示的是干旱持续时间与水库蓄水 量之间的关系；(2)根据图象信息确定每个特殊点的坐标即 可；(3)观察图象即可得解；(4)可根据函数的定义来判断． 解：(1)这个图象反映了干旱持续时间与水库蓄水量之间的关
知1－讲
例1 已知三角形的一边长为12，这边上的高是h，
则三角形的面积S＝ 1 ×12·h，即S＝6h.在 2
这个式子中，常量和变量分别是什么？ 导引：根据常量和变量的定义分析．由于三角形的面
积是边长与该边上的高的长度的乘积的一半， 已知边长，因此可以得出常量是边长的一半， 变量是高和面积． 解： 常量是6，变量是h和S.
(1)根据图填表：
t/min 0 1 2 3 4 5 …
h/m
…
(2)对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？
知识点 1 函 数
知1－导
做一做 1. 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放，随着
层数的增加，物体的总数是如何变化的？
知1－导
(5)当关系式是实际问题的关系式时，自变量的取值 需使实际问题有意义；
(6)当关系式是复合形式时，自变量的取值需使所有 式子同时有意义．
知2－讲
知例(1)3识y＝点求3x下＋列7；函(2数) 中y＝自3变x1量2x；的(取3) 值y＝范围x： 4 .
干旱持续时间t/天 蓄水量V/万立方米
0 10 20 30 40 50 60
(3)当t取0至60之间的任一值时，对应几个V值？ (4)V可以看作t的函数吗？若可以，写出函数关系式．
知3－讲
知导引识：点(1)通过读图可知，横坐标表示干旱持续时间，纵坐标表
示水库蓄水量，因此它表示的是干旱持续时间与水库蓄水 量之间的关系；(2)根据图象信息确定每个特殊点的坐标即 可；(3)观察图象即可得解；(4)可根据函数的定义来判断． 解：(1)这个图象反映了干旱持续时间与水库蓄水量之间的关
知1－讲
例1 已知三角形的一边长为12，这边上的高是h，
则三角形的面积S＝ 1 ×12·h，即S＝6h.在 2
这个式子中，常量和变量分别是什么？ 导引：根据常量和变量的定义分析．由于三角形的面
积是边长与该边上的高的长度的乘积的一半， 已知边长，因此可以得出常量是边长的一半， 变量是高和面积． 解： 常量是6，变量是h和S.
(1)根据图填表：
t/min 0 1 2 3 4 5 …
h/m
…
(2)对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？
知识点 1 函 数
知1－导
做一做 1. 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放，随着
层数的增加，物体的总数是如何变化的？
知1－导
北师大版八年级数学上册课件：4.3.1一次函数图象(24张PPT)
只要将点的横纵坐标分别代入关系式 中，看是否满足关系式，若满足关系式， 则该点在直线上，否则不在直线上。
当堂检测
1.下列哪些点在一次函数y=2x-3的图像 上？（2,3），（2,1），(0,3),（3,0）
（2,1）
2.做出 一次函数
y=2x+1 的图象。
当堂检测
3．若一次函数y=-x+b的图象经过 点（0，-3），求b的值． 4．若函数y=-2mx-（m2-9）的图象 经过原点，求m的值．
正比例函数的图象是一条经过原点的直线，一次函数y=kx+b的图象是一条经过（0，b），（ ，0）的直线。
只要将点的横纵坐标分别代入关系式中，看是否满足关系式，若满足关系式，则该点在直线上，否则不在直线上。
所有的一次函数的图象都是一条直线。
3、理解一次函数的表达式与图象之间的对应关系。
每日一练
1.已知直线y= (k+1)x＋1-2k，若直线与y
小组合作
2.既然我们得出一次函数y=kx+b的 图象是一条直线．那么在画一次函 数图象时有没有什么简单的方法呢？
两点法
小组合作
3.作出y=-x+2的图像（两点法）
描点，连线
教师精讲
1.画函数图像的一般步骤 (1)列表，(2)描点，（3）连线 2.一次函数的图象及画法注意事 项： （1）.所有一次函数的图象都是 一条直线，通常我们把一次函数 y=kx+b的图象叫做直线y=kx+b
教师精讲
3、理解一次函数的表达式与图象之间的对应关系。 列表法，图像法，解析式法
（2）.一次函数图象的简单画法： 如果正比例函数y=kx的图象经过点（-1,3），那么k=_____
1、满足关系式y= -2x+5的x，y所对应的点（x，y）都在一次函数的图象上吗？ （0，b）和（- ，0）。
当堂检测
1.下列哪些点在一次函数y=2x-3的图像 上？（2,3），（2,1），(0,3),（3,0）
（2,1）
2.做出 一次函数
y=2x+1 的图象。
当堂检测
3．若一次函数y=-x+b的图象经过 点（0，-3），求b的值． 4．若函数y=-2mx-（m2-9）的图象 经过原点，求m的值．
正比例函数的图象是一条经过原点的直线，一次函数y=kx+b的图象是一条经过（0，b），（ ，0）的直线。
只要将点的横纵坐标分别代入关系式中，看是否满足关系式，若满足关系式，则该点在直线上，否则不在直线上。
所有的一次函数的图象都是一条直线。
3、理解一次函数的表达式与图象之间的对应关系。
每日一练
1.已知直线y= (k+1)x＋1-2k，若直线与y
小组合作
2.既然我们得出一次函数y=kx+b的 图象是一条直线．那么在画一次函 数图象时有没有什么简单的方法呢？
两点法
小组合作
3.作出y=-x+2的图像（两点法）
描点，连线
教师精讲
1.画函数图像的一般步骤 (1)列表，(2)描点，（3）连线 2.一次函数的图象及画法注意事 项： （1）.所有一次函数的图象都是 一条直线，通常我们把一次函数 y=kx+b的图象叫做直线y=kx+b
教师精讲
3、理解一次函数的表达式与图象之间的对应关系。 列表法，图像法，解析式法
（2）.一次函数图象的简单画法： 如果正比例函数y=kx的图象经过点（-1,3），那么k=_____
1、满足关系式y= -2x+5的x，y所对应的点（x，y）都在一次函数的图象上吗？ （0，b）和（- ，0）。
北师大版高中数学必修第一册 第二章 4-1《函数的奇偶性》课件PPT
所以f(x)的解析式为f(x)=൞
2 2 + 3−1, < 0.
反思感悟
1.这类问题常见的情形是:已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.
若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时, f(x)=-f(-x)=-φ(-x);
若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时, f(x)=f(-x)=φ(-x).
提示:∵f(x)为奇函数,∴对任意x∈D,f(-x)=-f(x),∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0,为定值.
二、函数奇偶性与单调性的关系
1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上
述结论可简记为“奇同偶异”.
2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于
2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.
延伸探究
若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
解:当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)是奇函数.
(1−), < 0,
的图象如图所示.
(1 + ), > 0
图象关于原点对称,∴f(x)是奇函数.
(方法二)函数f(x)=ቊ
2 2 + 3−1, < 0.
反思感悟
1.这类问题常见的情形是:已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.
若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时, f(x)=-f(-x)=-φ(-x);
若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时, f(x)=f(-x)=φ(-x).
提示:∵f(x)为奇函数,∴对任意x∈D,f(-x)=-f(x),∴f(-0)=-f(0),即f(0)=0,为定值.
二、函数奇偶性与单调性的关系
1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.上
述结论可简记为“奇同偶异”.
2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取得最值时的自变量的值互为相反数;奇函数在关于
2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.
延伸探究
若将本例中的“奇”改为“偶”,“x>0”改为“x≥0”,其他条件不变,求f(x)的解析式.
解:当x<0时,-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1,
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x).∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)是奇函数.
(1−), < 0,
的图象如图所示.
(1 + ), > 0
图象关于原点对称,∴f(x)是奇函数.
(方法二)函数f(x)=ቊ
高中数学北师大版 必修一 函数的奇偶性 课件
+
解：（） = ， = ，两个都是奇函
数，定义域是R，所以，原函数是奇函数
解：（） = ， = + ，前一个是
奇函数，后一个是偶函数，定义域是R，所以，
原函数是奇函数
【说明】分解开，用性质
环节五
微练
1. =
2
,
∈ −1,1
2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
则f(x)＝
经验
−
.∴f(－x)＝－f(x)，奇函数
表面看 + − 在化简时需分类讨论，但结合
定义域很的容化简。
1.用奇偶性定义证明奇偶性，定义域确实非常重要，
一方面它影响着对解 析式的化简，另一方面，也是衡
量奇偶性的重要指标；学生最常犯的错误是一上来就
考虑f(-x)与f(x)关系；
2.能化简就化简，化简后再验证f(-x)与f(x)关系；
当 > 时，− < , − = − − += += ;
当 < 时，− > ， − = − += 。
综上，函数是偶函数。
分段证明
前后两个f指代的不一样
4.分段函数用定义证明奇偶性时，也得遵循定义域与
解析式两方面考查。但无论是定义域，还是在分析解
析式关系上，都有特色。
(1)符号定义法：
确定定义域
定义域关
于原点对
称
否
是
计算 −
确定 与 − 的
关系
结论
既不是奇函数又不
是偶函数
（2）图像法：
的图
像
关于原点对称
奇函数
北师大版八年级数学上册：4.3 一次函数的图象 课件(共36张PPT)
课堂小结 3、一次函数 y kx b 的图象：
一次函数的图象是一条直线。
4、一次函数 y kx b 图象的画法： 用两点法画一次函数的图象。
C
4x
y
O
y
x
5
•
4
3•
2
•1
-2
-1
•
0
-1 1
2
3
x
例1:画出一次函数y=2x+1的图象
⑴先列表：
自变量的值和函数的对应值具有代表性
x
… -2 -1 0 1 2 …
y=2x+1 … -3 -1 1 3 5 …
(2) 描点
将自变量的值和对应的函数值分别作为、 纵坐标，在坐标系中描出表格中的各点；
课堂小结
1、函数图象的定义：
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值 分别作为横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出 它的对应点，所得这些点组成的图形叫做该函数 的图象。
课堂小结
2、作函数图象的一般步骤：
(1)列表：选择具有代表性的自变量的值和函数的 对应值列成表格； (2)描点：将自变量的值作为横坐标，对应的函数 值作为纵坐标，在坐标系中描出表格中的各点； (3)连线：按自变量从小到大的顺序，把所有点用 平滑的曲线连接起来。
b
．
第 4 题. 如果函数 y x b 的图象经过点 P(0，1) ，则它经过 x 轴上的点的坐标
为
．
第 5 题. 若一次函数 y mx (4m 4) 的图象过原点，则 m 的值为
．
第 6 题. 若三角形的一边长为 6，这边上的高为 h式； （2）画出此函数的图象．
一次函数的图象
复习旧知
若两个变量x ,y间的关系式可以 表示成__y_=_kx_+_b___(k,b为_常__数__且k ____0_)的形式,则称y是x的一次函数 (x为_自_变__量__,y为_因_变_ 量__ ).特别地,当 b=__0_时,(即 y=kx)称y是x的正比例 函数.
《一次函数的应用》PPT课件(北师大版)
iX
让每一个生命都精彩绽放
01 小组大比拼
3.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空：
（1）当x=30时，y=
；
（2）当y=30时，x= iX
.
y
l
3
2
1
O
x
-3 -2 -1
123
-1
-2
-3
让每一个生命都精彩绽放
iX
第二关
02 巩固提升
4.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，
求l与两坐标轴所围成的三角形的面积.
让每一个生命都精彩绽放
iX
第一关
01 小组大比拼
1.如图，直线l是某正比例函数的图象，点A（-4，12），B
（3，-9）是否在该函数的图象上？
iX
y
3
2
1 O
-3 -2 -1 -1
123x
-2
-3
l
让每一个生命都精彩绽放
01 小组大比拼 2.若一次函数y=2x+b的图象经过点A（-1，1），点B（1，5）， C（-10，-17），D（10，17）是否在该函数的图象上？
iX
y l
3
2
1
O
x
-3 -2 -1
123
-1
-2
-3
让每一个生命都精彩绽放
02 乘胜追击 •5. 已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三 角形的面积为2，求此一次函数的表达式.
iX
让每一个生命都精彩绽放
iX
第三关
03 你敢挑战吗？
6．在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧
让每一个生命都精彩绽放
让每一个生命都精彩绽放
01 小组大比拼
3.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空：
（1）当x=30时，y=
；
（2）当y=30时，x= iX
.
y
l
3
2
1
O
x
-3 -2 -1
123
-1
-2
-3
让每一个生命都精彩绽放
iX
第二关
02 巩固提升
4.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，
求l与两坐标轴所围成的三角形的面积.
让每一个生命都精彩绽放
iX
第一关
01 小组大比拼
1.如图，直线l是某正比例函数的图象，点A（-4，12），B
（3，-9）是否在该函数的图象上？
iX
y
3
2
1 O
-3 -2 -1 -1
123x
-2
-3
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让每一个生命都精彩绽放
01 小组大比拼 2.若一次函数y=2x+b的图象经过点A（-1，1），点B（1，5）， C（-10，-17），D（10，17）是否在该函数的图象上？
iX
y l
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-3 -2 -1
123
-1
-2
-3
让每一个生命都精彩绽放
02 乘胜追击 •5. 已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三 角形的面积为2，求此一次函数的表达式.
iX
让每一个生命都精彩绽放
iX
第三关
03 你敢挑战吗？
6．在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(cm)与燃烧
让每一个生命都精彩绽放
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北师大版八年级《数学》上册
函数
函数
1 教材分析
说
2 教学方法与手段
课
3 教材处理
流 程
4 教学设计
函数
(B)教学目标
（A）教材的地位与作用
(C)教学重点与难点
教材的地位和作用
《函数》是北师大版数学八年级上第 六章第一节的内容，在七年级知识的基础 上，继续面对变量间的关系的考察，让学 生体会数学的实用性和生活性，初步体会 函数的概念，体会数形结合的思想，为后 续学习打下基础，并在实际生活中体现数 学的价值。
学以致用 3、在国内投寄平信应付邮资如下表：
信件质量m/克 邮资y/元
0<m≤20 0.80
20<m ≤40 40<m ≤60
1.20
1.60
上表中有几个变量？你能将其中某 个变量看成另一个变量的函数吗？
北师大版七年级《数学》下册
函数
The end thank you!
‹#›
最早提出函数概念的是17世纪德国数学家 莱布尼兹 ，后来再由莱布尼兹 的学生瑞士数学 家贝努利 ，瑞士数学家欧拉，法国数学家柯西， 俄国数学家巴契夫斯基等人研究了100多年的 时间，最后由德国数学家狄利克提供了方便。 雷给出了具有普遍性的概念。为理论研究和实 际应用。
合作探究
我们研究了三个问题
不同点：在第一个问题中，是 以图像的形式表示两个变量的 关系，第二个问题以表格的形 式，第三个问题以代数式的形 式表示两个变量之间的系。
生成新知
(1)图象法 函数的表达式 (2)列表法
3解析式(关系式)
学以致用
1、下图中有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？
学以致用
2、已知菱形ABCD的对角线AC长为4， BD的长x在变化，则菱形的面积为y=－ ×4×x。本题中有几个变量？你能将其中 某个变量看成另一个变量的函数吗？
相同点：都研究两个变量 的关系。某一变量取一个 值时，另外也有一个变量 和它对应。
生成新知
一般地，在某个变化过程中，有 两个变量x和y，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y值， 那么我们称y是x的函数 （function），其中x是自变量， y是因变量。
数学天地-----函数的历史
数学史表明，重要的数学概念的产生和发展， 对数学发展起着不可估量的作用。有些重要的 数学概念对数学分支的产生起着奠定性作用。 我们刚学过的函数就是这样重要概念。
4 教学设计
新课引入 合作探究 生成新知 学以致用 拓展升华
新课引入
坐在摩天轮上， 随着时间的变化， 离开地面的高度是
如何变化的？
合作探究
正方形个数n 1 2 3 4 5 ----
火柴棒根数y
----
合作探究
给定一个v值， 你能求出相应的s吗？
汽车速度v
v2 s
300
滑行距离数概念的抽象 概括过程，体会函数 的模型思想。让学生 主动地从事观察、操 作、交流、归纳等探 索活动，形成自己对 数学知识的理解和有 效的学习模式。
教学重难点
重点
•掌握函数概念， 判断两个变量之间 的关系是否可看作 函数。能把实际问 题抽象概括为函数 问题。
难点
•理解函数的概念。 能把实际问题抽 象概括为函数问 题。
教学目标
知识目标
掌握函数概念，能 判断两个变量间的 关系是否可看作函 数。根据两个变量 间的关系式，给定 其中一个量，相应 地会求出另一个量 的值。
能力目标
通过函数概念， 初步形成学生利用 函数的观点认识现 实世界的意识和能 力。经历具体实例 的抽象概括过程， 进一步发展学生的 抽象思维能力。
情感目标
2 教学方法与手段
（A）教学方法： 采用情景法，演示法，讨论法，探索发，启发引导
等多种方法，引导学生主动地进行观察、猜测、验证和 交流。
（B）教学手段： 利用多媒体辅助教学，突破教学重难点，形象、
直观，提高教学效率。
3 教材处理
在尊重教材的基础上，为突出本节课 的重点，有效地完成教学目标。适当地增 加教学内容调整教学结构，本课利用摩天 轮创设问题情境，激发学生学习兴趣，通 过火柴棒推导公式和刹车经验公式的研究 得出函数概念，揭示函数内涵。教学过程 中教师充分放手，让学生探索，启发学生 思考，教师讲解的是学生探索的结果，体 现了教师和学生的关系是朋友和合作者。
函数
函数
1 教材分析
说
2 教学方法与手段
课
3 教材处理
流 程
4 教学设计
函数
(B)教学目标
（A）教材的地位与作用
(C)教学重点与难点
教材的地位和作用
《函数》是北师大版数学八年级上第 六章第一节的内容，在七年级知识的基础 上，继续面对变量间的关系的考察，让学 生体会数学的实用性和生活性，初步体会 函数的概念，体会数形结合的思想，为后 续学习打下基础，并在实际生活中体现数 学的价值。
学以致用 3、在国内投寄平信应付邮资如下表：
信件质量m/克 邮资y/元
0<m≤20 0.80
20<m ≤40 40<m ≤60
1.20
1.60
上表中有几个变量？你能将其中某 个变量看成另一个变量的函数吗？
北师大版七年级《数学》下册
函数
The end thank you!
‹#›
最早提出函数概念的是17世纪德国数学家 莱布尼兹 ，后来再由莱布尼兹 的学生瑞士数学 家贝努利 ，瑞士数学家欧拉，法国数学家柯西， 俄国数学家巴契夫斯基等人研究了100多年的 时间，最后由德国数学家狄利克提供了方便。 雷给出了具有普遍性的概念。为理论研究和实 际应用。
合作探究
我们研究了三个问题
不同点：在第一个问题中，是 以图像的形式表示两个变量的 关系，第二个问题以表格的形 式，第三个问题以代数式的形 式表示两个变量之间的系。
生成新知
(1)图象法 函数的表达式 (2)列表法
3解析式(关系式)
学以致用
1、下图中有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？
学以致用
2、已知菱形ABCD的对角线AC长为4， BD的长x在变化，则菱形的面积为y=－ ×4×x。本题中有几个变量？你能将其中 某个变量看成另一个变量的函数吗？
相同点：都研究两个变量 的关系。某一变量取一个 值时，另外也有一个变量 和它对应。
生成新知
一般地，在某个变化过程中，有 两个变量x和y，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y值， 那么我们称y是x的函数 （function），其中x是自变量， y是因变量。
数学天地-----函数的历史
数学史表明，重要的数学概念的产生和发展， 对数学发展起着不可估量的作用。有些重要的 数学概念对数学分支的产生起着奠定性作用。 我们刚学过的函数就是这样重要概念。
4 教学设计
新课引入 合作探究 生成新知 学以致用 拓展升华
新课引入
坐在摩天轮上， 随着时间的变化， 离开地面的高度是
如何变化的？
合作探究
正方形个数n 1 2 3 4 5 ----
火柴棒根数y
----
合作探究
给定一个v值， 你能求出相应的s吗？
汽车速度v
v2 s
300
滑行距离数概念的抽象 概括过程，体会函数 的模型思想。让学生 主动地从事观察、操 作、交流、归纳等探 索活动，形成自己对 数学知识的理解和有 效的学习模式。
教学重难点
重点
•掌握函数概念， 判断两个变量之间 的关系是否可看作 函数。能把实际问 题抽象概括为函数 问题。
难点
•理解函数的概念。 能把实际问题抽 象概括为函数问 题。
教学目标
知识目标
掌握函数概念，能 判断两个变量间的 关系是否可看作函 数。根据两个变量 间的关系式，给定 其中一个量，相应 地会求出另一个量 的值。
能力目标
通过函数概念， 初步形成学生利用 函数的观点认识现 实世界的意识和能 力。经历具体实例 的抽象概括过程， 进一步发展学生的 抽象思维能力。
情感目标
2 教学方法与手段
（A）教学方法： 采用情景法，演示法，讨论法，探索发，启发引导
等多种方法，引导学生主动地进行观察、猜测、验证和 交流。
（B）教学手段： 利用多媒体辅助教学，突破教学重难点，形象、
直观，提高教学效率。
3 教材处理
在尊重教材的基础上，为突出本节课 的重点，有效地完成教学目标。适当地增 加教学内容调整教学结构，本课利用摩天 轮创设问题情境，激发学生学习兴趣，通 过火柴棒推导公式和刹车经验公式的研究 得出函数概念，揭示函数内涵。教学过程 中教师充分放手，让学生探索，启发学生 思考，教师讲解的是学生探索的结果，体 现了教师和学生的关系是朋友和合作者。