2019-2020年上海复旦附中高一上数学期末试卷

．
1
二、选择题
13. 若命题甲： x −1 = 0 ，命题乙： lg2 x − lg x = 0 ，则命题甲是命题乙的（ ）
A、充分非必要条件
B、必要非充分条件
C、充要条件
D、既非充分也非必要条件
14、下列函数中既是偶函数，又在(0，+∞)上单调递增的是( )
A、y= 1 |x|
B、 y = x−2
f
( 1 ) ，若对任意的 t ∈[1 , 2] ，函数 g(x) 在区间[t,t + 2] 上
售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器 x （百台 ，其总成本为
P(x) (万元 ，其中固定成本为 12 万元，并且每生产 1 百台的生产成本为 10 万元 总成本 固定
成本
生产成本
销售收入 Q(x)
万元
满足
Q(
x)
=
−0.5x2 224, ( x
+ >
22x, 16)
(0
≤
x ≤ 16)
（3）已知函数 f (x)在其定义域 D 上封闭，且单调递增。若 x0 ∈ D 且 f ( f (x0 )) = x0 ， 求证： f (x0 ) = x0 .
21.已知函数
f
(x)
=
|
x+a 2x
|
x x
≥ <
0 0
，其中
a
∈
R
.
（1）若 a = −1，解不等式 f (x) ≥ 1 ； 4
（2）设 a > 0 ， g(x) = log2
．
8.若函数
f
(x)
=
−x + 6, x ≤ 2,
3
+
loga
x,
x
>
2,
（
a
>
0
且a ≠1
）的值域是 [4, +∞)
，则实数 a 的
取值范围是
．
9.已知 f (x) = 1 (3x − 3−x ) 的反函数为 f −1(x) ，当 x ∈[−3, 5] 时，函数 2
F (x) = f −1(x −1) +1 的最大值为 M ，最小值为 m ，则 M + m =
2019 学年复旦附中高一年级第一学期期末试卷
2020.1
一、填空题
1.函数 y = log 1 (5 − x) 的定义域为
．
2
2.函数 f (x) = x2 +1 (x ≤ −1) 的反函数为
．
3.已知 log2 3 = a ，试用 a 表示 log9 12 =
．
4.幂函数 f (x) = (a −1)xm2 −2m−3(a, m ∈ ℕ) 为偶函数，且在 (0, +∞) 上是减函数，则
2
18.已知函数
f
(x)
=
log 2
1− ax x −1
的图像关于原点对称，其中
a 为常数.
（1）求 a 的值；
（2）设集合
A={x
|
4 7−
x
≥ 1}，B={x
|
f
(x) +
log2 (x −1)
<
m} ，若
A∩
B
≠
φ
，求实数 m
的取值范围.
19.近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当 今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销
，假定该产
品产销平衡 即生产的产品都能卖掉 ，根据上述统计规律，请完成下列问题：
求利润函数 y = f (x) 的解析式 利润 销售收入 总成本 ；
工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？
3
20.若函数 f (x) 满足：对于其定义域 D 内的任何一个自变量 x0 ，都有函数值 f (x0 ) ∈ D ，则 称函数 f (x)在 D 上封闭.
C、 y =| log2 x |
2
D、 y = x3
15、设函数 f (x) 的定义域为 R ，有下列三个命题：
（1）若存在常数 M ，使得对任意 x ∈ R , 有 f (x) ≤ M ，则 M 是函数 f (x) 的最大值；
（2）若存在 x0 ∈ R , 使得对任意 x ∈ R , 且 x ≠ x0 , 有 f (x) < f (x0 ) ，则 f (x0 ) 是函数 f (x) 的最大值；
（3f (x) ≤ f (x0 ) ，则 f (x0 ) 是函数 f (x) 的最
大值。
这些命题中，真命题的个数是（ ）
A、0 个
B、1 个 C、2 个
D、3 个。
16、已知函数 f (x) = m ⋅ 2x + x2 + nx ，记集合 A = {x | f (x) = 0, x ∈ R}，集合
x
x
m 的取值范围是
．
12.已知函数
f
(x)
=
− −
x2 + x +
1 2
+
log
1 3
k x
x ≤1
x
>1，
g(x)
=
a
⋅ lg(x
+
2)
+
x
x 2+
1
(a
∈
R)
，若对
任意的 x1, x2 ∈{x | x ∈ R, x > −2} ，均有 f (x1) ≤ g(x2 ) ，则实数 k 的取值范围是
（1）若下列函数的定义域为 D = (0,1)，试判断其中哪些在 D 上封闭，并说明理由。 f1(x) = 2x − 1， f2 (x) = 2x −1；
（2）若函数
g(x)
=
5x − a x+2
的定义域为
(1, 2)
，是否存在实数
a
，使得
g(
x)
在其定义域
(1,2) 上封闭？若存在，求出所有 a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由.
a+m=
．
5.函数 y = log3 (x2 − x) 的递增区间为
．
6.方程 log2 (9x − 5) = log2 (3x − 2) + 2 的解为 x =
．
7.已知关于 x 的方程 x2 + kx + k 2 + k − 4 = 0 有两个实数根，且一根大于 2，一根小于 2，
则实数 k 的取值范围为
．
10.对于函数 y = f (x), x ∈ D ，若对任意 a,b, c ∈ D ， f (a), f (b), f (c) 都可为某一
三角形的三边长，则称
f
(x)
为“三角形函数”.已知
f
(x)
=
ex ex
+t +1
是三角形函数，则实
数 t 的取值范围是
．
11.若关于 x 的方程 (4x + 5)− | 5x − 4 |= m 在 (0, +∞) 内恰好有三个实数根，则实数
B = {x | f [ f (x)] = 0, x ∈ R}，若 A = B ，且都不是空集，则 m + n 的取值范围是
(
)
A、 [0, 4)
B、 [−1, 4) C、[−3, 5]
D、[0, 7)
三、解答题
17.已知函数 f (x) = 4x − a ⋅ 2x+1 +1. （1） 若 a = 1，解方程： f (x) = 4 ； （2） 若 f (x) 在[−1,1] 上存在零点，求实数 a 的取值范围.