航天器动力学03-轨道要素_684006699
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2011年9月23日星期五
Z h i O f r S Y
e t
X N
要素意义
Page 8
轨道要素的意义
轨道倾角 i 和升交点赤经Ω 表示了轨道平面在空间 中的方位；近地点幅角ω表示了轨道的长轴方向； 半通径 p 和偏心率 e 表示 了轨道的大小及形状；
h Z
过近地点时刻τ 表示了 航天器在轨道中的相对 位置。 这六个量完全确定了航 天器的运动状况。
2011年9月23日星期五
解决方案
Page 5
解决方案
已知航天器的运动轨迹为圆锥曲线，而圆锥 曲线的统一方程（轨道方程）为：
p r 1 e cos f
除了p、e 外再引入四个量，可以用这六个独立变 量来描述航天器的轨道运动。 在航天领域，一般习惯用下面的六个独立参数 来描述轨道的状况: i、Ω、ω、p(a)、e、τ。 这 些量称为轨道要素，或轨道根数。
ab
1 h T 2
h p p a (1 e ) b 1 e
2 2
T 2
a3
2 因此轨道平均角速度 n 为： n T
2011年9月23日星期五
a3 开普勒第三定律 2 T 4 2
a
3
时间积分
Page 11
时间积分
时间积分：t 圆轨道：…… 椭圆轨道：作变量代换 tan 2
2 0
y2 M e sin E
0 2 4 6 8 10
E M e sin E
设
2.299 2.2989 2.2988
y1 E y2 M e sin E 两条曲线的交线就是解。
2011年9月23日星期五
2.2987 2.2986 2.2985 2.2984 2.2983 2.2985 2.2986 2.2987 2.2988
任课教师：蒋方华 助理研究员 办 公 室：逸夫技科楼1211室,62795926 email: jiangfh04@mails.thu.edu.cn
2011年9月23日星期五
个人简介
Page 1
本人简介
• 学习和工作经历
2000.9-2004.7 2004.9-2009.7 2009.7-2011.6 2011.6-??? 清华大学工程力学系本科 清华大学航天航空学院博士研究生 清华大学航天航空学院博士后 清华大学航天航空学院教师
M E e sin E
2011年9月23日星期五
Page 19
作业
1. 证明椭圆参数方程中的参数 E满足图示几何关系，并推导 cosE和sinE与f的关系式，以 及cosf和sinf与E的关系式
x a cos E e , y a 1 e 2 sin E
数值迭代
Page 16
（3）数值迭代
E M e sin E
2.4
2.3
1. 令E1=M，按下式迭代，直到En与 En-1之差小于给定误差
2.2
En 1 M e sin En
2.1
E的迭代值
2.00000000000000 2.36371897073027 2.28070648114268 2.30336817494395 2.29738274094345 2.29897858923242 2.29855414582844 2.29866710814390 2.29863704935453 2.29864504824203 2.29864291969958 2.29864348611684 2.29864333539012 2.29864337549933 2.29864336482605 2.29864336766626 2.29864336691047
f 1 e E tan 1 e 2
f 0
r2 df h
p3
f
0
df (1 e cos f ) 2
，得 E e sin E n t
f 2 3 f 2 t 抛物线轨道： 2 tan tan 3 2 3 2 q
双曲线轨道：作变量代换
tan
E O f
S
偏近点角 E ：椭圆轨道存 在内、外接圆，航天器在 内、外接圆上的投影点与 椭圆中心对应的夹角。如 图。 f 1 e E tan tan 2 1 e 2
2011年9月23日星期五
角度关系
Page 14
各角度的关系
M
a
3
(t )
开普勒方程
求微分方程 与求代数方 程的比较？
迭代误差
0.36371897073027 -0.08301248958759 0.02266169380127 -0.00598543400050 0.00159584828897 -0.00042444340398 0.00011296231547 -0.00003005878937 0.00000799888750 -0.00000212854245 0.00000056641725 -0.00000015072672 0.00000004010921 -0.00000001067328 0.00000000284022 -0.00000000075580
p p 2 r h r2 f p a 1 e 1 e cos f 2a
h h e sin f rf (1 e cos f ) r r p p
e 1
2 h 2
2
n
a
3
T 2
a3
M n t
2011年9月23日星期五
坐标系
Page 6
地心赤道惯性坐标系
为了定义轨道根数，有必要先介绍地心赤道惯性坐标系。 定义地心赤道惯性坐标系OXYZ：O在地球中心，XY平面为地 球赤道面，X轴沿地球赤道面与黄道面的交线，指向春分点 (白羊座)，Z轴为地球自转轴，指向北极。
黄道面
太 阳
春分点方向：春分时刻地心与日 心的连线
a 1 e 2 cos f 1 e cos f
2
r S O
x
极坐标方程化为直角坐标方程：
2
x a cos E e , y a 1 e sin E
+
x
,y
a 1 e 2 sin f 1 e cos f
r a 1 e cos E
cos E ,sin E cos f ,sin f
2011年9月23日星期五
是否真的惯性系？
要素定义
Page 7
轨道要素的定义
i 表示轨道倾角，动量矩h 与Z轴的夹角 。 ON 表示升节线，是轨道平 面与地球赤道平面的交线。 Ω 表示升交点赤经，升节 线ON与X轴的夹角。 ω 表示近地点幅角，升节 线ON与 e 的夹角。 τ为过近地点时刻。 p 为轨道的半通径。 e 为轨道的偏心率。
f 2
e 1 H tanh ，得 e 1 2
esinhH H n t
E、H：新的角度量
2011年9月23日星ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ五
椭圆情况
Page 12
时间积分：椭圆为例
t
f 0
r df h
2
y
x ae
a
2
2
椭圆直角坐标方程： 参数化方程：
y 2 1 2 a 1 e
2
0
5
10
15
20
迭代10次，误差为10-6
迭代20次，误差为10-11
牛顿法
Page 17
2011年9月23日星期五
（3）数值迭代
E M e sin E
2.牛顿法：令E1=M ，代入下式迭代
M En e sin En En 1 En 1 e cos En
E的迭代值
2.000000000000000 2.311814691712278 2.298663603893595 2.298643367117615 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317
2011年9月23日星期五
轨道要素
Page 4
轨道要素
另一方面，我们已知航天器在某一个平面内的运动 轨迹为圆锥曲线，如果已知： （1）轨道平面在空间惯性坐标系中的方位； （2）圆锥曲线的方向（长半轴方向）； （3）在某一时刻航天器在轨道的某一个点上， 则可以通过求解代数方程确定任一时刻航天器位置。
迭代误差
0.311814691712278 -0.013151087818683 -0.000020236775980 -0.000000000048298 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
迭代3次，误差为10-5 迭代4次，误差为10-11
2011年9月23日星期五
Page 18
重要的公式
1 e2 df dE 1 e cos E
2011年9月23日星期五
f
0
r2 df h
a3
1 e cos E dE
0
E
平偏近点角Page 13
平近点角与偏近点角
平近点角M ：航天器从近地 点开始按平均角速度 n 转过 的角度。
M n(t )
a
3
(t )
注意：轨道要素或轨道根数i、Ω、ω、p、e、τ都是 常数，但是轨道角 或真近点角 f 是随时间变化的。如 果求出 f 的变化规律，则航天器的运动完全确定…
2011年9月23日星期五
平角速度
Page 10
平均轨道角速度
为便于计算真近点角 f ，先推出轨道运行周期、平 均角速度，再引入平近点角M和偏近点角 E 。 由几何关系 及面积定律
X
i O f
r
S Y
e t
N
讨论：奇异情况
2011年9月23日星期五
真近点角
Page 9
真近点角
p r 1 e cos( )
S
b
p
O
r
根据几何关系有
a (1 e ) r 1 e cos f
2
ae a
f
N
e
其中 f 是真近点角：航天器相对于椭圆长轴的极角。 真近点角 f 的变化就是航天器的轨道角速度。
• 研究领域
航天器编队飞行(博士课题) 高精度卫星轨道建模与计算(载人航天交会对接项目) 深空探测小推力轨道优化(博士后期间)
2011年9月23日星期五
轨道要素
Page 2
§1.2 轨道要素
前面介绍了航天器轨道的特点及积分情况， 导出了一些积分常数（ , h, e , ），根据轨道 运动方程，只有六个参数是独立的。 原则上，要唯一确定航天器的轨道，六个独 立的参数可以有多种选取方法，比如取航天器的 初始位置和速度：( x0 , y0 , z0 , x 0 , y 0 , z 0 ) ，也可以取 , h, e, 。
M E e sin E
cos E e cos f 1 e cos E
见章仁为“卫星轨道姿态 动力学与控制”，p5－7
根据上式可由平近点角 M 迭代求出偏近点角 E 、 再求出真近点角 f。 从而确定航天器的运动。
a (1 e 2 ) r 1 e cos f
2011年9月23日星期五
2011年9月23日星期五
直角坐标
Page 3
直角坐标
如果用航天器的初始位置和速度 ( x0 , y0 , z0 , x 0 , y 0 , z 0 ) 来描述航天器的运动，则在任一时刻，需要求解 微分方程才能确定航天器的位置，不方便。 x x 3 0 r 2 y 2 2 2 dr r r x y z y 0 3 3 2 r dt r z z 3 0 r 0 , y 0 , z 0 如果给定初始条件： x0 , y0 , z0 , x 就可以计算出以后任意时刻航天器的位置和速度。
因此，利用轨道根数可以很直观地 表示航天器的运动，并且只需求解 代数方程。
开普勒方程Page 15
求解开普勒方程几种方法
M E e sin E
设：M=2; e=0.4
10 8 （1）直接求解非线性方程 （Matlab中有求解函数fsolve,solve） 6 4
y1 E
（2）几何法求解
Z h i O f r S Y
e t
X N
要素意义
Page 8
轨道要素的意义
轨道倾角 i 和升交点赤经Ω 表示了轨道平面在空间 中的方位；近地点幅角ω表示了轨道的长轴方向； 半通径 p 和偏心率 e 表示 了轨道的大小及形状；
h Z
过近地点时刻τ 表示了 航天器在轨道中的相对 位置。 这六个量完全确定了航 天器的运动状况。
2011年9月23日星期五
解决方案
Page 5
解决方案
已知航天器的运动轨迹为圆锥曲线，而圆锥 曲线的统一方程（轨道方程）为：
p r 1 e cos f
除了p、e 外再引入四个量，可以用这六个独立变 量来描述航天器的轨道运动。 在航天领域，一般习惯用下面的六个独立参数 来描述轨道的状况: i、Ω、ω、p(a)、e、τ。 这 些量称为轨道要素，或轨道根数。
ab
1 h T 2
h p p a (1 e ) b 1 e
2 2
T 2
a3
2 因此轨道平均角速度 n 为： n T
2011年9月23日星期五
a3 开普勒第三定律 2 T 4 2
a
3
时间积分
Page 11
时间积分
时间积分：t 圆轨道：…… 椭圆轨道：作变量代换 tan 2
2 0
y2 M e sin E
0 2 4 6 8 10
E M e sin E
设
2.299 2.2989 2.2988
y1 E y2 M e sin E 两条曲线的交线就是解。
2011年9月23日星期五
2.2987 2.2986 2.2985 2.2984 2.2983 2.2985 2.2986 2.2987 2.2988
任课教师：蒋方华 助理研究员 办 公 室：逸夫技科楼1211室,62795926 email: jiangfh04@mails.thu.edu.cn
2011年9月23日星期五
个人简介
Page 1
本人简介
• 学习和工作经历
2000.9-2004.7 2004.9-2009.7 2009.7-2011.6 2011.6-??? 清华大学工程力学系本科 清华大学航天航空学院博士研究生 清华大学航天航空学院博士后 清华大学航天航空学院教师
M E e sin E
2011年9月23日星期五
Page 19
作业
1. 证明椭圆参数方程中的参数 E满足图示几何关系，并推导 cosE和sinE与f的关系式，以 及cosf和sinf与E的关系式
x a cos E e , y a 1 e 2 sin E
数值迭代
Page 16
（3）数值迭代
E M e sin E
2.4
2.3
1. 令E1=M，按下式迭代，直到En与 En-1之差小于给定误差
2.2
En 1 M e sin En
2.1
E的迭代值
2.00000000000000 2.36371897073027 2.28070648114268 2.30336817494395 2.29738274094345 2.29897858923242 2.29855414582844 2.29866710814390 2.29863704935453 2.29864504824203 2.29864291969958 2.29864348611684 2.29864333539012 2.29864337549933 2.29864336482605 2.29864336766626 2.29864336691047
f 1 e E tan 1 e 2
f 0
r2 df h
p3
f
0
df (1 e cos f ) 2
，得 E e sin E n t
f 2 3 f 2 t 抛物线轨道： 2 tan tan 3 2 3 2 q
双曲线轨道：作变量代换
tan
E O f
S
偏近点角 E ：椭圆轨道存 在内、外接圆，航天器在 内、外接圆上的投影点与 椭圆中心对应的夹角。如 图。 f 1 e E tan tan 2 1 e 2
2011年9月23日星期五
角度关系
Page 14
各角度的关系
M
a
3
(t )
开普勒方程
求微分方程 与求代数方 程的比较？
迭代误差
0.36371897073027 -0.08301248958759 0.02266169380127 -0.00598543400050 0.00159584828897 -0.00042444340398 0.00011296231547 -0.00003005878937 0.00000799888750 -0.00000212854245 0.00000056641725 -0.00000015072672 0.00000004010921 -0.00000001067328 0.00000000284022 -0.00000000075580
p p 2 r h r2 f p a 1 e 1 e cos f 2a
h h e sin f rf (1 e cos f ) r r p p
e 1
2 h 2
2
n
a
3
T 2
a3
M n t
2011年9月23日星期五
坐标系
Page 6
地心赤道惯性坐标系
为了定义轨道根数，有必要先介绍地心赤道惯性坐标系。 定义地心赤道惯性坐标系OXYZ：O在地球中心，XY平面为地 球赤道面，X轴沿地球赤道面与黄道面的交线，指向春分点 (白羊座)，Z轴为地球自转轴，指向北极。
黄道面
太 阳
春分点方向：春分时刻地心与日 心的连线
a 1 e 2 cos f 1 e cos f
2
r S O
x
极坐标方程化为直角坐标方程：
2
x a cos E e , y a 1 e sin E
+
x
,y
a 1 e 2 sin f 1 e cos f
r a 1 e cos E
cos E ,sin E cos f ,sin f
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是否真的惯性系？
要素定义
Page 7
轨道要素的定义
i 表示轨道倾角，动量矩h 与Z轴的夹角 。 ON 表示升节线，是轨道平 面与地球赤道平面的交线。 Ω 表示升交点赤经，升节 线ON与X轴的夹角。 ω 表示近地点幅角，升节 线ON与 e 的夹角。 τ为过近地点时刻。 p 为轨道的半通径。 e 为轨道的偏心率。
f 2
e 1 H tanh ，得 e 1 2
esinhH H n t
E、H：新的角度量
2011年9月23日星ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ五
椭圆情况
Page 12
时间积分：椭圆为例
t
f 0
r df h
2
y
x ae
a
2
2
椭圆直角坐标方程： 参数化方程：
y 2 1 2 a 1 e
2
0
5
10
15
20
迭代10次，误差为10-6
迭代20次，误差为10-11
牛顿法
Page 17
2011年9月23日星期五
（3）数值迭代
E M e sin E
2.牛顿法：令E1=M ，代入下式迭代
M En e sin En En 1 En 1 e cos En
E的迭代值
2.000000000000000 2.311814691712278 2.298663603893595 2.298643367117615 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317 2.298643367069317
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轨道要素
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轨道要素
另一方面，我们已知航天器在某一个平面内的运动 轨迹为圆锥曲线，如果已知： （1）轨道平面在空间惯性坐标系中的方位； （2）圆锥曲线的方向（长半轴方向）； （3）在某一时刻航天器在轨道的某一个点上， 则可以通过求解代数方程确定任一时刻航天器位置。
迭代误差
0.311814691712278 -0.013151087818683 -0.000020236775980 -0.000000000048298 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
迭代3次，误差为10-5 迭代4次，误差为10-11
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Page 18
重要的公式
1 e2 df dE 1 e cos E
2011年9月23日星期五
f
0
r2 df h
a3
1 e cos E dE
0
E
平偏近点角Page 13
平近点角与偏近点角
平近点角M ：航天器从近地 点开始按平均角速度 n 转过 的角度。
M n(t )
a
3
(t )
注意：轨道要素或轨道根数i、Ω、ω、p、e、τ都是 常数，但是轨道角 或真近点角 f 是随时间变化的。如 果求出 f 的变化规律，则航天器的运动完全确定…
2011年9月23日星期五
平角速度
Page 10
平均轨道角速度
为便于计算真近点角 f ，先推出轨道运行周期、平 均角速度，再引入平近点角M和偏近点角 E 。 由几何关系 及面积定律
X
i O f
r
S Y
e t
N
讨论：奇异情况
2011年9月23日星期五
真近点角
Page 9
真近点角
p r 1 e cos( )
S
b
p
O
r
根据几何关系有
a (1 e ) r 1 e cos f
2
ae a
f
N
e
其中 f 是真近点角：航天器相对于椭圆长轴的极角。 真近点角 f 的变化就是航天器的轨道角速度。
• 研究领域
航天器编队飞行(博士课题) 高精度卫星轨道建模与计算(载人航天交会对接项目) 深空探测小推力轨道优化(博士后期间)
2011年9月23日星期五
轨道要素
Page 2
§1.2 轨道要素
前面介绍了航天器轨道的特点及积分情况， 导出了一些积分常数（ , h, e , ），根据轨道 运动方程，只有六个参数是独立的。 原则上，要唯一确定航天器的轨道，六个独 立的参数可以有多种选取方法，比如取航天器的 初始位置和速度：( x0 , y0 , z0 , x 0 , y 0 , z 0 ) ，也可以取 , h, e, 。
M E e sin E
cos E e cos f 1 e cos E
见章仁为“卫星轨道姿态 动力学与控制”，p5－7
根据上式可由平近点角 M 迭代求出偏近点角 E 、 再求出真近点角 f。 从而确定航天器的运动。
a (1 e 2 ) r 1 e cos f
2011年9月23日星期五
2011年9月23日星期五
直角坐标
Page 3
直角坐标
如果用航天器的初始位置和速度 ( x0 , y0 , z0 , x 0 , y 0 , z 0 ) 来描述航天器的运动，则在任一时刻，需要求解 微分方程才能确定航天器的位置，不方便。 x x 3 0 r 2 y 2 2 2 dr r r x y z y 0 3 3 2 r dt r z z 3 0 r 0 , y 0 , z 0 如果给定初始条件： x0 , y0 , z0 , x 就可以计算出以后任意时刻航天器的位置和速度。
因此，利用轨道根数可以很直观地 表示航天器的运动，并且只需求解 代数方程。
开普勒方程Page 15
求解开普勒方程几种方法
M E e sin E
设：M=2; e=0.4
10 8 （1）直接求解非线性方程 （Matlab中有求解函数fsolve,solve） 6 4
y1 E
（2）几何法求解