对称的概念和晶体对称性
晶体的对称性
对称性与人类思维方式的联系
对称性思维方式是人类认知世界的一 种重要方式。人们习惯于将事物进行 对称性的分类、比较和思考，从而更 好地理解和把握事物的本质和内在规 律。
VS
对称性思维方式在科学研究和工程技 术中也发挥着重要作用。科学家们利 用对称性原理探索自然界的奥秘，解 决各种复杂的科学问题。工程师们则 利用对称性设计各种结构，提高产品 的稳定性和可靠性。
晶体的对称性
• 对称性的基本概念 • 晶体中的对称元素 • 对称性和晶体结构 • 对称性在化学中的运用 • 对称性与生物学的关系 • 对称性的哲学思考
01
对称性的基本概念
Hale Waihona Puke 称性的定义对称性是指一个物体或图形在某种变 换下保持不变的性质。在晶体学中， 对称性是指晶体在空间变换下保持不 变的性质。
对称性可以通过对称操作来描述，对 称操作是指将晶体进行刚性旋转、平 移、反演等变换后仍能恢复原状的操 作。
对称性的分类
晶体可以根据其对称性进行分类，常 见的晶体分类包括立方晶系、四方晶 系、六方晶系等。
VS
不同晶系的晶体具有不同的对称性， 晶体的对称性与其内部原子或分子的 排列方式密切相关。
对称操作的数学表达
对称操作可以用数学矩阵来表示，通过矩阵变换可以描述晶体的对称性。
对称操作的数学表达包括旋转矩阵、平移矩阵、反演矩阵等，这些矩阵可以用来描述晶体在空间中的 变换。
02
晶体中的对称元素
点对称元素
定义
01
点对称元素是晶体中以某一点为中心的对称操作，包括旋转、
反演、反映等。
描述
02
点对称元素在晶体中起着关键作用，它们决定了晶体的空间群
对称性在生物医学中的应用
23晶体的对称性和分类
操作前后晶体保持自身重合的操作,称为对称 操作.
晶体借以进行对称操作的轴、平面或点.称为对 称元素（简称对称素）.
6)表示纯转动对称操作(或转动轴)；i表示中心反演
（或对称中心）；m表示镜面反映（或对称镜面）。
这种表示方法属于国际符号(International
notation)标记法，是海尔曼(Hermann)和毛衮
(Mauguin)制订的，在晶体结构分析中经常使用。
还有一套标记法，是固体物理中惯用的标记， 是熊夫利(Schoenflies)制订的，因此称为熊夫利 符号(Schoenflies notation). 熊夫利符号中Cn 表 示旋转轴；Sn 表示旋转反演轴；Ci 表示中心反 演；Cs 表示镜面反映。
x x
y
y
cos
z
sin
z
y
sin
z
cos
x 1 0 0 x
y0 cos siny z 0 sin cos z
所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：
1 0
0
Ax
0
cos
sin
0 sin cos
同理可得绕y轴和绕z轴的变换矩阵
cos 0 sin
Ay
0
1
0
sin 0 cos
cos sin 0
晶体中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6次轴， 称为晶体的对称性定律
晶体的对称性定律的证明 B
A
如图,A为格点,B为离A最近的 格点之一,则与 平A 行B 的格点
矿物晶体的对称性
物体（或图形）中，其相同部分之间的有规律的重复。
例：蝴蝶、花冠、建筑物、面容、服饰等。
二. 晶体对称的特点晶体的对称表现为晶面、晶棱、角顶作有规律的重复——宏观对称。
晶体的对称性是由晶体的格子构造所决定的，研究晶体的对称性对于认识晶体的各项性质和划分晶体具有重要意义。
1.完全性：所有晶体都具有对称性。
（质点在三维空间有规律的重复——格子构造所决定的）；2.有限性：晶体的对称要素是有限的。
要受到晶体对称规律的控制：不出现5次或高于6次的对称轴；3.一致性（表里如一）：晶体的对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质上，即：不仅包含几何意义，还包含物理化学意义。
三。
对称操作（变换）和对称要素的概念对称操作——指能够使对称物体中的各个相同部分作有规律重复的变换动作。
如，旋转、反映、反伸、旋转反伸等。
对称要素——指在进行对称变换时所凭借的几何要素（点、线、面）。
四. 晶体宏观的对称要素1. 对称面（P）对称面为一假想的面，相对应的对称变换是反映，它使图形平分成两个镜像相等的部分。
对称面的寻找：1）垂直并平分晶面；2）垂直并平分晶棱；3）包含晶棱并穿过角顶。
注意：a. 晶体中可以没有对称面，也可以有对称面，但最多只能有9个对称面；b 必须通过晶体中心，其出现的位置多垂直并平分于晶面或晶棱；c 寻找对称面时要尽量避免转动模型，以免造成重复；d 对称面的数目写在前面：如，9P。
2. 对称轴（Ln）对称轴为一假想的直线，相对应的对称操作是围绕此直线的旋转。
旋转一定角度后可使相同（等）部分重复。
轴次（n）——旋转一周重复的次数；基转角（α）——重复时所旋转的最小角度。
二者之间的关系为n = 360°/ α。
晶体的对称定律（晶体对称的有限性所决定）：晶体中只能出现轴次为1、2、3、4、6的对称轴，而不能出现5次或高于6次的对称轴（准晶体则可以出现）。
对称轴的寻找：1）通过晶棱中点且垂直该晶棱的直线——L2；2）通过晶面中心且垂直该晶面的直线——L2、L3、L4、L6；3）通过角顶的直线——L3、L4、L6。
晶体的对称性理论
7
2、反映面——反映 对称要素：反映面，符号：m 对称动作：反映， 符号：M 阶次：2 一个面不动，反映能使左右手重合，一次反映不 能使相等的图形重合 特点：两个等同图形中相应点连线⊥反映面
30
问题：八种宏观对称要素之间究竟存在着多少种组 合方式？即晶体的宏观对称类型有多少种呢？ 组合要符合如下条件： (1)对称要素间是相互作用的，两个对称要素相组 合，必然产生新的对称要素来； (2)对称要素间的组合不是任意的，需要满足： A- 参加组合的对称要素必须至少相交于一点。 这是因为晶体的外形是有限的、封闭的多 面体。 B- 晶体是一种点阵结构，对称要素的组合结果 不容许产生与点阵结构不相容的对称要素 来。(5、7····等)
5、反轴 == 旋转+倒反(点在线上)
对称要素：反轴， 符 号：n 复合对称动作：旋转+倒反 (点在线上)又称旋转倒反 阶 次： 如果旋转轴的轴次n是偶数，那么反轴的阶次=n 如果旋转轴的轴次n是奇数，那么反轴的阶次=2n 旋转倒反动作只能使左右手重合，不能使相等图 形重合。
11
12
6、螺旋轴-旋转+平移
21
(3)对称轴、反映面、对称中心、反轴，对应的对 称动作是点动作，在动作中至少有一点不动， 既存在于无限结构中，又存在于有限晶体外形 的结构中； 点阵、螺旋轴、滑移面，对应的对称动作 是空间动作，每一点都移动了只能存在于无限 结构中，而不能存在于有限晶体外形的结构 中。 旋转轴、螺旋轴→统称对称轴； 反映面、滑移面→统称对称面。
结晶学 第三章 晶体的对称
3）对称轴Ln 与垂直它的对称面P的组合。考虑到组 合规律Ln(偶次)P⊥→Ln(偶次)PC，则可能的对称型为： （L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。 4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合。根据组合规 律Ln P∥→LnnP，可能的对称型为：（L1P=P） L22P；L33P；L44P；L66P。
根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导 出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅 有32个。那么，这32个对称型怎么推导出来？
A类对称型（高次轴不多于一个）的推导： 1）对称轴Ln单独存在，可能的对称型为 L1； L2；L3； L 4；L 6 。 2）对称轴与对称轴的组合。在这里我们只考虑Ln与垂 直它的 L2 的组合。根据上节所述对称要素组合规律 LnL2→LnnL2 ， 可 能 的 对 称 型 为 ： （ L1L2=L2 ） ； L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2 如果L2与Ln斜交有可能 出现多于一个的高次轴， 这时就不属于A类对称型了。
6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为： Li1=C； Li2=P；Li3=L3C；；Li6=L3P。 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的 组合。根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能 的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为： （Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
Li 2= P
Li 3= L3C
Li 4
Li 6= L3P
• 值得指出的是，除Li4外，其余各种旋转反伸轴 都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来 代替，其间关系如下： Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C， Li6 = L3 + P • 但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4 和Li6，而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代 替。这是因为Li4 不能被代替， Li6在晶体对称 分类中有特殊意义。
晶体的对称性
x1
a11 a12 a13
A= a21 a22 a23
a31
a32
a33
（x1’,x2’,x
3’)
θ （x1,x2,x3)
α
x2
由于操作前后，两点间的距离保持不变，即
x1' 2 x2' 2 x3' 2 x12 x22 x32
而 x1'2 x2' 2 x3' 2 x2' x2' AxAx x AAx x12 x22 x32 xx
立方晶系：在立方晶胞4个方向体对角线上均有三重旋转轴 (a=b=c, α=β=γ=90)
六方晶系：有1个六重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)
四方晶系：有1个四重对称轴(a=b, α=β=γ=90;)
三方晶系：有1个三重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)
正交晶系：有3个互相垂直的二重对称轴或2个互相垂直的对 称面(α=β=γ=90;)
晶体中对称轴的度数常用不同的符号代表，如下表所示
对称轴度数的符号表
对称轴
2
3
4
6
的度数n
符号
▼
（b）n度旋转-反演轴 若绕某一固定轴u旋转2π/n角度以后，再经过中心反演（即x→ -x ，y → -y，z → -z），晶体能够自身重合，则称u为n度旋转-反演 轴 这。样的对称轴只有1，2，3，4，6度。为了区别于转轴，在轴的
1 0 0 A 0 1 0
0 0 1
（x1,x2,x3)
x2
（x1,x2,-x3)
A 1
2）基本的对称操作 （a）n度旋转对称轴
3第二章晶体的对称
第二章晶体的对称[内容介绍]本章叙述晶体对称的概念、对称操作和对称要素，和晶体的分类—晶簇晶系的划分。
[学习目的] 理解和掌握晶体对称、对称要素的概念，学会晶体对称的操作方式，熟练正确地找出晶体的所有对称要素，肯定对称型，掌握晶族、晶系的划分方式。
第一节对称的概念一、对称的概念对称现象在自然界及人类日常生活中常常能够见到。
人的左右手，动物的躯体，植物的花冠、树叶，建筑物、器皿、图案等，常常都是对称的。
它们之所以是对称的，是因为这些物体包括有两个或两个以上的相同部份，而且这些相同的部份可以作有规律地重复。
图2-1 对称的图形如图2-1中，蝴蝶可通过垂直并平分躯体的一个镜面反映，使身体的左右两部份发生重合，花纹图案可通过垂直图形中心的一条直线旋转，在旋转360°里，图案中相同的图形发生四次重合。
但是，图2—2中的两个三角形之间，虽然图形完全相同，但彼其间的位置却没有必然规律，无法通过必然的操作使其重复。
所以，这两个三角形之间，不是对称的图形。
因此，对称的概念是：物体的相同部份作有规律地重复的性质称为对称。
二、晶体对称及特点晶体对称最直观地表此刻晶体的几何多面体外形上，如在不同方向上对称地散布着相同的晶面、晶棱和晶顶等。
同时，晶体对称还表此刻晶体的力学、电学、光学及热学等物理性质上。
晶体对称与动植物和其它物体的对称是有区别的。
动植物的对称是由于生存的需要而长图2-2 不对称图形期演化的结果，建筑物及工艺美术品的对称是为求美观而人为的，它们的对称现象都仅仅表此刻外部形态上，而晶体对称是本质的，是内部构造的反映。
因此晶体对称有如下特点：1.所有的晶体均具对称性，无一例外。
因为，晶体是具有格子构造的固体，而格子构造本身就具有对称性。
2.由于晶体对称受格子构造的严格控制，只有符合格子构造规律的对称才能在晶体上表现出来，这就是晶体对称的有限性。
3．同一晶体上相对称的各部份，不仅在外形上能够有规律地重复，而且在化学性质及物理性质方面，它们也是完全一致的，因此，晶体对称性不仅包括几何意义，同时也包括化学的和物理的意义。
晶体的对称性
晶体的对称性晶体因为有了对称，所以才有了他的美丽、永恒，下面重点说下他的对称性一. 对称的概念物体（或图形）中，其相同部分之间的有规律的重复。
例：蝴蝶、花冠、建筑物、面容、服饰等。
二. 晶体对称的特点晶体的对称表现为晶面、晶棱、角顶作有规律的重复——宏观对称。
晶体的对称性是由晶体的格子构造所决定的，研究晶体的对称性对于认识晶体的各项性质和划分晶体具有重要意义。
1.完全性：所有晶体都具有对称性。
（质点在三维空间有规律的重复——格子构造所决定的）；2.有限性：晶体的对称要素是有限的。
要受到晶体对称规律的控制：不出现5次或高于6次的对称轴；3.一致性（表里如一）：晶体的对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质上，即：不仅包含几何意义，还包含物理化学意义。
三。
对称操作（变换）和对称要素的概念对称操作——指能够使对称物体中的各个相同部分作有规律重复的变换动作。
如，旋转、反映、反伸、旋转反伸等。
对称要素——指在进行对称变换时所凭借的几何要素（点、线、面）。
四. 晶体宏观的对称要素1. 对称面（P）对称面为一假想的面，相对应的对称变换是反映，它使图形平分成两个镜像相等的部分。
对称面的寻找：1）垂直并平分晶面；2）垂直并平分晶棱；3）包含晶棱并穿过角顶。
注意：a. 晶体中可以没有对称面，也可以有对称面，但最多只能有9个对称面；b 必须通过晶体中心，其出现的位置多垂直并平分于晶面或晶棱；c 寻找对称面时要尽量避免转动模型，以免造成重复；d 对称面的数目写在前面：如，9P。
2. 对称轴（Ln）对称轴为一假想的直线，相对应的对称操作是围绕此直线的旋转。
旋转一定角度后可使相同（等）部分重复。
轴次（n）——旋转一周重复的次数；基转角（α）——重复时所旋转的最小角度。
二者之间的关系为n = 360°/ α 。
晶体的对称定律（晶体对称的有限性所决定）：晶体中只能出现轴次为1、2、3、4、6的对称轴，而不能出现5次或高于6次的对称轴（准晶体则可以出现）。
12 晶体的对称性一 对称性的概念二 晶体中允许的对称操作三 晶体
1.2 晶体的对称性一. 对称性的概念二. 晶体中允许的对称操作三. 晶体宏观对称性的表述：点群四. 七个晶系和14种晶体点阵五. 晶体的微观对称性：空间群六. 二维情形七. 点群对称性和晶体的物理性质参考：黄昆书1.5－1.7 节阎守胜书 2.2 节一.对称性的概念：一个物体（或图形）具有对称性，是指该物体（或图形）是由两个或两个以上的部分组成，经过一定的空间操作（线性变换），各部分调换位置之后整个物体（或图形）保持不变的性质。
对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作。
即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。
点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不动的操作。
有限大小的物体，只能有点对称操作。
对称元素：对称操作过程中保持不变的几何要素：点，反演中心；线，旋转轴；面，反映面等。
●●如何科学地概括和区别四种图形的对称性？从旋转来看，圆形对绕中心的任何旋转都是不变的；正方形只能旋转才保持不变；后2个图形只有3,,πππ2π以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换：111213212223313233'''x a a a x y a a a y z a a a z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=∙ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111213212223313233i j a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ 其中A ij 为正交矩阵从解析几何知道，符合正交变换的是：绕固定轴的转动(Rotation about an axis) 绕z 轴旋转θ角cos sin 0sin cos 0001i j A θθθθ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭数学上可以写作：如果，一个物体在某一正交变换下保持不变，我们就称这个变换为物体的一个对称操作。
一个物体可能的对称操作越多，它的对称性就越高。
立方体具有较高的对称性，它有48个对称操作：绕4 条体对角线可以旋转共8个对称操作；绕3 个立方边可以旋转共9个对称操作；绕6 条棱对角线可以转动π，共 6 个对称操作；加上恒等操作共24个。
对称及三十二种对称型讲解
2．晶体的对称受格子构造规律的限制，只有符合格子构造规 律的对称才能在晶体上体现。因此，晶体的对称是有限的。
3．晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性质上， 也就是该晶体的对称不仅包含几何意义，也包含物理意义。
显晶质体、隐晶质体、非晶质体
内部质点在三维空间成周期性重复排列的固体为晶质体。 其中较粗的用肉眼或者放大镜可以看出晶粒来为显晶质。
细微的只有通过显微镜才能分辨称为隐晶质。 内部质点在三维空间不成周期性重复排列的固体没有规则
的几何多面体外形。为非晶质体。（蛋白石）
第三讲：晶体对称规律（一）
一、晶体宏观对称要素及对称操作
4．倒转轴（Lin）：又称旋转反伸轴。是一根通过晶体中心 的假想直线，相应的对称操作是围绕此直线的旋转和对此直 线上一个与晶体中心重合的点反伸的复合操作。即图形围绕 此直线旋转一定角度后，再对此直线上一个与晶体中心重合 的点进行反伸可使相等部分重复。
旋转反伸轴以Lin表示，i是反伸的意思，n为轴次，n可以 为1、2、3、4、6。相应的基转角为360º，180º，120º，90º， 60º。
9.L4 ; 10. L44L2 ; 11. L4PC 12. L44P ; 13. L44L25PC 14.Li4 ; 15. Li42L22P
16.L3 ; 17. L33L2 ; 18. L33P 19.L3C ; 20. L33L23PC
21. Li6 ; 22.Li63L23P ; 23. L6 24. L66L2 ; 25. L6PC ; 26. L66P 27. L66L27PC
由于在结晶多面体中，全部对称要素相交于一点 （中心），在进行对称操作时，至少有一个点不移动。因
晶体的宏观对称
(模型示范)
四、对称要素的组合
◆ 对称要素组合不是任意的，必须符合对 称要素的组合定律；
◆ 当对称要素共存时，也可导出新的对称 要素。
定一理半1：) LnL2LnnL2 (L2与L2的夹角是Ln基转角的 例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2
状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1，2，3， 4，6这五种，不可能出现n = 5， n 〉6的情况。
为什么呢？ 直观形象的理解： 垂直五次及高于六次的 对称轴的平面结构不能 构成面网，且不能毫无 间隙地铺满整个空间, 即不能成为晶体结构。
在晶体上，对称轴可能存在的位置：
（1）通过晶棱的中点； （2）通过晶面的中心； （3）通过角顶。
二、晶体对称的特点
1. 由于晶体都具有格子状构造，而格子状构造就 是质点在三维空间周期重复的体现，因此，所 有的晶体都是对称的。
2. 晶体的对称受格子构造规律的限制。即只有符 合格子构造规律的对称才能在晶体上出现，因 此，晶体对称又是有限的。
3. 晶体的对称既然取决于格子构造，因此晶体的 对称不仅体现在外形上，也体现在物理性质上 （光学、力学、热学、电学性质）。
替。这是因为Li4 不能被代替， Li6在晶体对称 分类中有特殊意义。
但易是误，认在为晶L体2。模型上找Li4往往是比较困难的，因为容
我们不能用L2代替Li4 ，就像我们不能用L2代替L4一样。 因为L4高于L2 ， Li4也高于L2 。在晶体模型上找对 称要素，一定要找出最高的。
**********
对称中心（C）
对点的反伸： 通过点直线，点的两侧等距离的两点，可见性
质相同对应点。
对称中心—C
对称的四种基本形式
对称的四种基本形式一、对称的概念对称是指一个物体或系统的两个部分在某种程度上呈镜像对称，即左右对称或上下对称。
对称是自然界中广泛存在的一种现象，它存在于几何形状、生物体结构、艺术作品等方方面面。
对称可以使物体或系统呈现出和谐、平衡、美感等特点，具有重要的意义和作用。
二、左右对称1. 定义左右对称是指物体或系统的左侧部分与右侧部分在形状、结构和布局等方面完全相同。
左右对称是最常见的对称形式之一，在几何学和生物学中都有广泛的应用和研究。
2. 典型例子左右对称的典型例子有人类身体、动物体、植物叶子等。
例如人类的脸部、手臂、腿部等都具有左右对称的结构，这种对称性使得人类身体的各个部分相互协调，形成一个整体的形象。
3. 应用领域左右对称在建筑、艺术、设计等领域都有广泛的应用。
建筑中的很多建筑物都采用左右对称的形式，如宫殿、教堂、博物馆等。
艺术作品中的许多画作、雕塑等也常常运用左右对称的手法，使作品更加美观和协调。
三、上下对称1. 定义上下对称是指物体或系统的上方部分与下方部分在形状、结构和布局等方面完全相同。
上下对称是另一种常见的对称形式，在自然界和人类创造的世界中都有广泛的存在。
2. 典型例子上下对称的典型例子有许多建筑物、植物、动物等。
例如，宫殿的楼梯、花朵的瓣片、鸟类的翅膀等都具有上下对称的特点，这种对称性使得它们看起来更加平衡和美观。
3. 应用领域上下对称在建筑设计、产品设计等领域都有广泛的应用。
在建筑设计中，上下对称的形式可以让建筑物更加稳定和壮观；在产品设计中，上下对称的布局可以使产品更加均衡和符合人体工程学原理。
四、旋转对称1. 定义旋转对称是指物体或系统以某个中心点为旋转轴，经过旋转后的状态与原来的状态完全相同。
旋转对称是对称形式中较为特殊和独特的一种，它具有一定的神奇和奇特感。
2. 典型例子旋转对称的典型例子有正多边形、圆形、螺旋结构等。
例如正六边形、正八边形等都具有旋转对称的特点，在旋转一定角度后，它们的形状和结构完全相同。
对称及三十二种对称型讲解
镜像反映可理解为：如果垂直于对称面作任意直线时，则在此直线 上，位于对称面的两侧且距离对称面等距离的地方，必可找到性质完全 相同的对应点。
由于在结晶多面体中，全部对称要素相交于一点 （中心），在进行对称操作时，至少有一个点不移动。因
此，对称型又称点群。
（二）三十二种对称型与晶类的概念：
经数学推导，晶体可能具有的对称型（点群）总共只 有32种。因此，具有相同对称型的晶体归为一个晶类。
即：自然界产出的所有晶体的对称总共只可能出现 32 个对称型，相应即可分为32个晶类。
对称的图形必须由两个以上的相同部分组成，如两个眼 睛大小不一，形状不同，就不是对称。但是只具有相同的部 分还不一定是对称图形，如图（板书显示）是由两个全等的 三角形组成，但它并不是对称图形。因此，对称的图形还必 须符合另一个条件，那就是这些相同的部分通过一定的操作 （如旋转、反映、反伸）可以发生重复。换句话说，也就是 相同的部分通过一定的操作彼此可以重合起来，使图形中恢 复原来的形象。
☆旋转反伸轴 –Lin 操作为旋转+反伸的复合操作。 具体的操作过程：
Li 1= C Li 2= P
Li 3= L3C
Li 4
Li 6= L3P
Li 1= C
Li1为旋转360º后反伸，因为图形旋转360º后复 原，也就是说等于不旋转而单纯反伸，所以Li1=C。
• Li 2= P
Li2为旋转180º后反伸，如图， 点1围绕Li2旋转180º后，再凭供Li2上的一 点反伸与点2重合，但由图可见，凭籍垂
第三章 晶体对称
一个具有对称中心的图形，其相对应的面、棱、角 部体现为反向平行。如图I－4－10 a，C为对称中 心，ABD与A1B1D1为反向平行，图I－4－10b因 ABA’B’与A1B1A1'B1'各自尚存在对中心，所以两者 既为反向平行，也为正向平行。
注 意
反伸操作”可与“反映操作”做对比， 两者不同之点仅在于反伸凭借一个点， 反映凭借一个面。
三方双锥晶类 复三方双锥晶类 六方单锥晶类 六方偏方面体晶类 六方双锥晶类 复六方单锥晶类 复六方双锥晶类
高级晶族（有数个高次轴）
• 等轴晶系（有四个L3）
五角三四面体晶类 偏方复十三面体晶类 六四面体晶类 五角三八面体晶类 六八面体晶类
对称型的国际符号
一次对称轴L1无实际意义，因为晶体围绕任一直线旋 转360度。轴可以恢复原状。轴次高于2的对称轴， 称高次轴。图I一4—6举例绘出了晶体中对称轴L2 L3 L4和L6。
注 意
晶体中不可能出现五次或高于六次的对称 轴。这是由于它们不符合空间格子的规律。 在空间格子中，垂直对称轴一定有面网存 在，围绕该对称轴转动所形成的多边形应 法符合于该面网上结点所围成的网孔。
在一个晶体中，可以无也可以有一种或几种对 称轴，而每一种对称轴也可以有一个或多个。 如立方体有3L44L36L2(图I一4—8)。
在晶体中，对称轴可能出露的位置为晶面的中心、 晶棱的中点或角项〔图I－4－8a)。
3．对称中心(C)
对称中心是一个假想的点；
相应的对称操作是对此点的反伸(或称倒反)。 如果通过此点作任意直线，则在此直线上 距对称中心等距离的两端，必定可以找到 对应点。 对称中心以字母C来表示。
分子对称性的对对称面
固体物理02-晶体的对称性
(1)旋转对称( Cn )
若晶体绕某一固定轴转 以后自身重合，则此轴称为n次 n 旋转对称轴。
2π
绕 z 轴旋转θ角的正交矩阵
cos A(C n ) sin 0 sin cos 0 0 0 1
(2)中心反演( Ci )
取中心为原点，经过中心反演后，图形中任一点
变为
( x, y , z )
( x, y , z )
0 1 0 A(C i ) 0 1 0 0 0 1
中心反演矩阵
(3)镜像( m )
如以 Z=0 面作为对称面，镜象是将图形的任何一点 变为
( x, y , z )
( x, y , z )
sin cos 0
0 0 1
(5)恒等操作（ E ）: 保持晶体不动
立方体对称性
1. 如(a)图所示3个对称轴， 转动 π/2， π ， 3π/2， 共 9 个对称操作 2. 如(b)图所示6个面对角线， 转动 π， 共 6 个对称操作 3. 如(c)图所示4个体对角线， 转动 2π/3， 3π/4, 共 8 个对称操作 4. 恒等操作 5. 以上每个操作都可以再加上中心反演 共 24╳2=48个对称操作
点群的Schönflies符号： 主轴：Cn、Dn、Sn、T 和 O Cn：n次旋转轴； Sn：n次旋转－反演轴； Dn：n次旋转轴加上一个与之垂直的n个二次轴 T： 四面体群； O： 八面体群。
脚标：h、v、d
h：垂直于n次轴（主轴）的水平面为对称面； v：含n次轴（主轴）在内的竖直对称面；
d：垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面。
闪锌矿结构 InAs， GaAs，InP 等III-V族 元素化合物
晶体学对称
晶体学对称
晶体学对称是材料科学研究中一个非常重要的课题，它是描述晶体中原子或分子排列方式的一个重要性质。
在晶体中，原子或分子通常排列成规则的重复单元，该重复单元的坐标位置和内部结构的对称性被定义为晶体的对称操作。
下面分步骤阐述晶体学对称的相关概念：
第一步：对称操作
对称操作指的是改变晶体结构和形态的操作，主要包括旋转、平移和旋转反转三种。
旋转或旋转反转是通过旋转或旋转反转一个固定中心使晶体保持不变。
平移是通过平移所有原子或分子使晶体保持不变。
对称操作可以用矩阵表示，并且对于晶体中的原子或分子，其对称操作会保持晶格不变。
第二步：晶体对称元素
晶体对称元素是指维持晶体对称性的最小单位。
这个单位通常在晶体学中被称为SYM，它可以是旋转轴、旋转反转轴、反转面、平移矢量等。
在晶体对称元素中，最常见的是反射面和旋转轴。
反射面是将晶格沿某条轴上的所有原子或分子进行反射，可以形成一个垂直于轴的平面。
旋转轴是将晶体沿某个轴旋转一定角度后仍然保持对称性。
第三步：晶体对称群
晶体对称群是指晶体对称元素的集合，用来描述晶胞中所有对称操作及其组合的完整性。
比如对于立方晶系，其对称群有48个对称操作，可以通过不同的对称元素组合得到。
第四步：点群
点群是晶体对称群的一个子集，它由旋转或旋转反转轴组成。
点群在晶体学中是由最小单位点的对称操作组成的。
点群有32种可能的组合，可以表示所有的立体角点群和一部分中心群。
总体而言，晶体学对称是描述晶体中原子或分子排列方式的一个非常重要的概念，它能够帮助科学家更好地理解晶体的性质和特点。
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反伸的对称变换矩阵
0
1
0
0 0 1
v 晶体的对称心 • 晶体中若存在对称心，其晶
面必然两两平行且相等。
（判断晶体有无对称心的依据）
Ⅱ反映操作和镜面
ⅰ 表示方法
圣夫利斯 国际记号 习惯记号
图示记号
对称操作 σ
M
对称元素 σ m P
垂直纸面 平行纸面
ⅱ定义
使图形中的每一点都反映到该点到镜面 垂线的延长线上，在镜面另一侧等距离处 有相同的点存在。
∣(m-1)/2∣≤1或∣m-1∣≤2
-1 ≤m≤3
m=0、 1、2……
则m的取值和n的关系如下表
(m-1)/2= cos(2π/n)
m=0、1、2
m
cos(2π/n)
2π/n
n
-1
-1
2π/2
2
0
-1/2
2π/3
3
1
0
2π/4
4
2
1/2
2π/6
6
3
1
2π/1
1
即n的取值只能是1、2、3、4、6
思考：
0
1
0
0 0 1
v 晶体的对称面
镜面是平分图形的平面，在图形中除位于 镜面上的点外，其他成对地排在镜面两 侧，它们通过反映操作可以复原。
晶体中的对称面往往 垂直平分晶面或垂直 晶棱并通过它的中心， 或包含晶棱
C4
念 旋转操作：将图形绕通过其中心的轴旋转一定 的角度后使图形复原的操作，
ⅱ表示方法
圣夫利斯 国际记号 习惯记号 图示记号
对称操作 i
I
对称元素 i i C 。
ⅲ 举例
A B
C
C1
i
B1
A1
D B
C
A
i C1
B1 A1
D1
iv 反伸的对称变换矩阵
• 以对称心为坐标原点，建立坐标系
变换前（x,y,z） 则反伸后（－x,－y,－z）
x x
y
y
z z
1 0 0
a 31 a 32 a 33
对称变换矩阵
对任一对称操作，都要唯一的对称变换矩阵与之对应
• 6 对称的表示法
熊夫利斯记号 （分子常用）
国际记号
（晶体常用）
习惯记号
图示记号
•4 晶体宏观对称操作和对称元素的类型
Ⅰ反伸操作和对称心
ⅰ定义
若对称图形具有对称中心，则对称图形中的任意一点，在与 中心点连线的反向延长线的等距离处，必有相同的点存在。
• 如图所示的正多边形，如果将每一个正 多边形作为一个基本单元，验证一下哪 些正多边形能够没有空隙的排列并充满 整个二维平面？
Ⅳ旋转倒反操作和反轴
ⅰ 表示方法
熊夫利斯 国际记号 习惯记号 图示记号
对称操作
In
L 2 I n
中包含多个不同的 旋转轴，则称最高 次轴为主轴，低次 轴为副轴。
主轴：3 C4 副轴：4 C3 6C2
C2
举例
若一个图形中在一个方向 上有不同轴次的对称轴，那 么只取轴次最高的一个。
•vi对称轴轴次定理（晶体对称定理）
晶体中只可能出现1，2，3，4，6 次轴，而不存在五次及高于六次 的对称轴。
对称元素 对称中心
镜面 旋转轴
反轴 映转轴
5 对称变化矩阵
• 空间一点（x,y,z），对称变换后（X,Y,Z）
X＝a11x+a12y+a13z Y＝a21x+a22y+a23z Z＝a31x+a32y+a33z
X x
Y
y
Z z
a11 a12 a13
其中
a 21
a 22
a
23
旋转轴 C1 C2 C3 C4 C5 C6
基转角 3600 1800 1200 900 720 600
2π/n
轴次 n 1
2
3
4
5
6
C∞ ：旋转任意的角度都能使图形复原。 CO2
ⅳ
对称 操作
旋转 角度
圣夫利斯 国际记号 备注：
Cn
C
m n
m：旋转 L 2 的次数 n
L
2 n
m
m 2 n
对称轴:包括旋转轴、反轴和螺旋轴
B1
ma
－2π/n a
a
a
A1
A2
a 2π/n a
A3
A4
B1B2∥A1A4
B1B2= ma, m=0、1、2……
B1B2=∣B1B2∣=a+2∣A2B1∣cos(2π/n)
即：ma=a+2a cos(2π/n) (m-1)/2= cos(2π/n)而∣cos(2π/n)∣≤1，
旋转轴：旋转所依据的几何元素。
基转角α：使物体复原的最小旋转角（0度除外 ）对C n轴的基转角α= 2π/n。旋转角度按逆时针 方向计算。
轴次：使图形完全复原旋转基转角的次数n。
ⅱ表示方法
熊夫利斯 国际记号 习惯记号 图示记号
对称操作 Cn
L 2 n
对称元素 Cn n Ln
ⅲ 有限图形常见的对称轴
三 晶体宏观对称元素和对称操作
1 对称操作： 能够使对称物体中的等同部分作有规律的 重复的变换动作。
2 对称元素： 对称操作所依据的辅助的几何元素（点、 线、面）
3 晶体的宏观对称：外部形态上的对称。
•4 晶体宏观对称操作和对称元素的类型
点 面 线 点线 线面
对称操作 反伸 反映 旋转
旋转反伸 旋转反映
m≤n为 自然数
对称 操作
旋转 角度
圣夫利斯
C
1 3
1 2 3
C
2 3
2 2 3
C
3 3
3 2 3
国际记号
L
2 3
1
L
2 3
2
L
2 3
3
备注：
1 2 3
2 2 3
3 2 3
m=1,2, 3
1200 2400 3600 1200 2400 3600
ⅴ举例 C4 C3
主轴：若一个图形
变换前（x,y,z） 则反伸后（x,－y, z）
z y
x
x x
y
y
z z
反映的对称变换矩阵
1 0 0 0 1 0
0 0 1
• 以包含yz轴的平面为镜面 变换前（x,y,z） 则反伸后（－x, y, z）
z y
x
x x
y
y
z z
反映的对称变换矩阵
1 0 0
对称的概念和晶体 对称性
一 对称的概念
不对称图形
不对称图形
对称图形
对称：指物体或图形中相同的部分之间有规律的重复。
二 晶体对称 1 特点 （1）所有的晶体都是对称的； （2）晶体的对称是有一定的限制的； （3）晶体的对称包含几何意义，也包含物理意义。 2 应用 （1）作为晶体分类的基本依据； （2）研究晶体的内部结构、外部形态、物理性质。
A
A1
B C
B1
C1
P
ⅲ 反映的对称变换矩阵
• 对称面包含的坐标轴不同，点经对称面的操作 后，得到的点的坐标不同
• 以包含xy轴的平面为镜面
变换前（x,y,z） 则反伸后（x,y,－z）
z y
x
x x
y
y
z z
反映的对称变换矩阵
1 0 0
0 1
0
0 0 1
• 以包含xz轴的平面为镜面