第四章格林函数法2解析

u(M 0 )
f
(x,
y)
G n
dS
求解Laplace方程在上半空间z 0内的第一边值问题,就归结为求解
狄氏问题：
2u
x2
2u y2
2u z 2
0,
z
0,
u z0 f (x, y), x, y
解：首先确定格林函数(电像法)
在半空间z 0的M0
并找出M0关于z
0(x平0,面y0,的z0对)点称放点一M单1位(x正0 , 电 y0 ,荷z,0它)，产在生M电1放位一4单r1MM位0 。
这时内任意一点M处的电位由两部分产生：
一是由M
处单位正电荷产生的电位
0
1
4 rMM0
, 二是在内侧由感应负电荷
2v 0
产生的电位v,
它是狄氏问题
v
1
4 rMM0
的解。
从而 格林函数
1
G(M , M0 ) 4 rMM0 v,
它表示位于M 0处的单位正电荷在导电曲面内任一点M 处产生的电位。
§4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解
x0 )2
z0 (y
y0 )2
z02 ]3/2
从而
u(M 0 )
z0
f
(x,
y)
2 [( x
x0 )2
z0 (y
y0 )2
z02 ]3/2 dxdy
z0
2
f (x, y)
[(x x0 )2 ( y y0 )2 z02 ]3/2 dxdy
例：设在均匀的上半空间的边界上保持定常温度，在圆K : x2 y2 1内 等于1，而在其外等于0，求在半空间内温度分布。
特殊区域，如球，半空间等，格林函数可以用初等方法求。
注3.泊松方程第一边值问题
2u F，in u f
;的解:
G
u(M 0 )
f
(M
)
n
dS
GFdV
二、格林函数的物理意义
在闭曲面内M0处放一单位正电荷，则它在内侧感应有 一定分布密度的负电荷，外侧分布有同等数量的正电荷。
M0
M
若边界是导体并接地，则外侧正电荷就消失，且电位为零。
n
了u 值，就不能再任意给 u 的值。所以要想求得狄氏问题的解，
n
就必须想法消去积分表达式中的 u 。这就需要引入格林函数。 n
在第二格林公式中
(u 2v
v 2 u)dV
(u
v n
v
u )dS n
取u, v为内的调和函数，且在上有一阶连续偏导数，则
0
(u
v n
v
u n
)dS
与调和函数的积分表达式相加
§4.3 格林函数
一、格林函数的引出
调和函数的积分表达式
1
1 1 u
u(M0 ) 4
[u(M ) ( )
n rMM0 rMM0
]dS n
因为公式中既含有u ，又含有 u ，而在狄氏问题或牛曼问题中
n
二者不能同时得到,因此不能直接提供狄氏问题或牛曼问题的解。
比如对狄氏问题而言，u 已知，但不知道 u 。由解的唯一性，当给定
格林函数仅依赖于区域，而与原问题的边界条件无关，因此，
只要求得某个区域的格林函数G(M , M0 ) C1()，就能一劳永 逸的解决这个区域上的一切边界条件的狄氏问题。
注2.格林函数法的缺点:
2v 0，in
G(M , M0)
1
4 rMM0
v,
其中v满足
v
1
4 rMM0
，这是一个特殊的
狄氏问题，对于一般的区域，上问题的求解也不容易，但对于某些
点
0
q
• M1
单位正电荷产生的电位在上正好相互抵消；
v
4 rMM1
(2).因M1在外，此点电荷产生的电位v在内是调和的，
它在边界上满足 v 1 .
4 rMM0
G(M , M0)
1
4 rMM0
q
4 rMM1
故M 0和M1处的电荷所形成的电场在内任一点M 处的电位总和即所求格林函数。
二、举例 1.半空间的格林函数
)
GdS n
f
(M
)
GdS n
格林函数：
G(M , M0)
1
4 rMM0
1
.
4 rMM1
下面计算 G ,注意上半空间在边界z=0上的外法线方向是z轴的负向 n z0
G G
n z0
z z0
1
4
(x
x0 )2
z z0 ( y y0 )2
(z
z0 )2 3/2
(x
x0 )2
(y
z z0 y0 )2
(z
z0
)2
3/
2
z 0
2 [( x
2
K
1 [(x x0 )2 ( y y0 )2 z02 ]3/2 dxdy
特别在z轴的正半轴上，有
u(0, 0,
z0 )
z0
2
K
1 [x2 y2 z02 ]3/2 dxdy
z0
2
2
d
0
1 rdr 0 [r 2 z02 ]3/2
1
z0 1 z02
解的积分表达式：
u(M 0 )
u(M
由§4.3知，要得到狄氏问题的解
u(M
0
)
u(M
)
G n
dSБайду номын сангаас
,
需要先求
格林函数G(M , M0 )，对于某些特殊区域可用电象法求得。
一、电象法
•M
在区域内M0 (x0, y0, z0 )点处放一单位正电荷, 找出M 0关于边界的象点M1。要求：
• M0
(1).在M1放适当的负电荷，使它产生的负电位与M
令
1
G(M , M0 ) 4 rMM0 v,
则
G
G
u(M 0 )
u(M
)
n
dS
f
(M
)
n
dS.
其中G(M , M0 )称为Laplace方程的格林函数。
把求解u的问题：
2u 0, in ; u f (M ).
转化为求v满足：
2v 0, in ;
v
1
4 rMM0
.
注1.格林函数法的优点:
u
(M
0
)
1
4
u
(
1
)
1
u
dS
n rMM0 rMM0 n
v 1 1
1
u
u(M0)
{u(M )[
n 4
( )] [
n rMM0
4 rMM0
v] }dS n
显然，要想消去 u 项，只需选取调和函数v满足 n
1 v
4 rMM0
则
1
u(M0)
u(M ) (
n 4 rMM0
v)dS
解：半空间内温度分布可归结为求解如下的狄氏问题：
2u
x
2
2u y 2
2u z 2
0,
z
0,
u ( x,
y,
0)
1, 0,
x2 y2 1, x2 y2 1.
代入公式
u(M 0 )
z0
2
z0
f (x, y)
1
dxdy
[(x x0 )2 ( y y0 )2 z02 ]3/2
z0
负电荷,它产生电位- 1 （如下图）
4 rMM1
z M 0 (x0 , y0 , z0 )
M (x, y, z)
o
y
x
M1(x0 , y0 , z0 )
它与M
0点正电荷所产生的电位在平面z
0上相互抵消。由于
4
1 rMM1
在上半空间z 0内为调和函数，在闭域z 0上有一阶连续偏导数，
因此
G(M , M0)