第四章格林函数法2解析
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第四章拉氏方程的格林函数法.docx
第四章拉氏方程的格林函数法.docx第四章拉氏方程的格林函数法前面儿章，介绍了儿种求解PDE定解问题的方法：分离变量法、行波法、积分变换法。
?本章介绍令一种求解拉氏方程的格林函数法。
首先来看一下我们要研究的定解问题是怎么捉出的。
§4.1拉氏方程边值问题的提法在第一章中，我们知道，对于无源的稳恒热传导问题满足拉氏方程，它的边值问题一般有三种提法。
研究最多的就是前面两种。
1)第一边值问题边界条件为:心要求的解心C2(Q)AC°(Q),既比在区域Q上连续，在Q上有二阶连续导数,满足拉氏方程且在边界上与/吻合。
Q = Q + 「为边界；称第一-边值问题为狄利克莱(Dirichlet)问题，简称狄氏问题。
通常称拉氏方程的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并满足拉氏方程的连续函数为调和函数。
2)第二边值问题边界条件为:単=/,on r要求的解ue C2(Q)nC*(Q),既u在区域豆上有一阶连续导数，在Q 上有二阶连续导数，满足拉氏方程且在边界上满足上边界条件。
称第二边值问题为牛曼(Neumarm)问题，简称牛氏问题。
前面两种边值问题都是在Q内求解拉氏方程，故称此类方程为内问题。
另外, 冇这样一类问题，如已知某区域边界上的温度，要求该区域Z外的温度分布情况, 这就归结为在区域Q外求解拉氏问题，称这样的问题为外问题。
注：对于外问题來说，求解通常都是在无界区域上，这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例了。
Aw = 0, r > 1, r = Vx2 + r2 + z2易知u = Vu = \!r都是上定解问题的解，这就出现了解的不唯一性，为了保证解的唯一性，通常我们要加一些限制条件，三维问题时limw = 0厂T8二维问题通常假定解冇界。
3）狄氏外问题（略）4）牛氏外问题（略）§ 4.2格林公式及其应用一、格林公式的推导为建立拉氏方程解的积分公式,我们先推导格林函数，它由曲面积分的Guass 公式直接导出。
4第四章格林函数法
，于是有 除在 M 0 点外处处满足三维Laplace方程 u0 内调和,则 上有一阶连续偏导数,且在 定理:若函数 u 在 调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函 数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
u ( M ) 1[ 1 1 u ( M ) u ( M ) ( ) ] dS 0 4 n r r n MM MM 0 0
3
P Q R { P , Q , R } n dS ( ) dV 由高斯公式 x y z v v v
2019/2/12
4.1.3 调和函数的积分表达式
由Green公式可导出调和函数的积分表示。由于函数：
1 1 2 2 2 r ( x x ) ( y y ) ( z z ) MM 0 0 0 0
为二维Laplace方程的基本解.
其通解为： 为任意常数)。 V ( r ) c ln r c , ( r 0 , c , c 1 2 1 2
4.1.2 格林公式
令P u , Q u ,R u ,则得到格林第一公式： x y z u v u v u v v u vdV ( ) dV u dS x x y y z z n u v u v u v u v udV ( ) dV vdS x x y y z z n 将以上两公式相减，得到格林第二公式： v u ( u v v u ) dV ( u v ) dS n n 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数。
1
2019/2/12
4.1.1 拉普拉斯方程的基本解 对拉普拉斯方程 , 其球坐标形式为： u u u u 0 xx yy zz
数理方程第四章 格林函数法
则 u(M 2 ) u(M1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径
在 内作球 k 2 ，在 k 2上u(M ) u(M 2 ) u(M1 ) ，…, n 次后，
点 N 一定包含在以某点 M n 为中心 ,半径小于 d 的球
kn 内 , 因而 u( N ) u(M n ) u(M1 ) , 由 N 的
性质1. 设 u(x, y, z) 是区域 内的调和函数，它在
上有一阶连续偏导数，则
udS n
0,
其中
,
n
是 的外法线方向。
证明 只要在Green公式中取 v 1即证。
注：此性质表明调和函数的法向导数沿区域边界的积分为零。 对稳定的温度场，流入和流出物体界面的热量相等，否则就 不能保持热的动态平衡，而使温度场不稳定。
3
下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
对二维拉普拉斯方程 u uxx uyy 0 ,其极坐标形式为:
2u r 2
1 r
u r
1 r2
2u
2
0
(4.1.2)
求方程(4.1.2)的径向对称解 u V (r) (即与 无关的解) ,则有：
d 2V dr 2
1 r
dV dr
任意性 ,就得到整个 上有 u( N ) u( M 1 ) ,这与 u 不为
常数矛盾.
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下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
K1 M2 l M1 K2 M3
S1 S2
Kn N Mn Sn
图4.1
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下午9时12分
HUST 数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
格林函数法详解
V
q (r r') /0
解 u f (r')d ' G 1 V q
4 | r r'|
4 | r r'|
40 | r r'|
基本思路
原问题 点源问题
关系
u f (r ) u | 0
G (r r ' )
G | 0
f (r) f (r') (r r')d '
A JGdV
V
Am J mGdV V
3、格林函数的一般概念
• 定义：纯点源产生的场
– （不计初始条件和边界条件的影响）。
– 例子：
• ΔG = δ(r-r’)，G|Γ=0 • (t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’)， G|Γ= G|t=0=0
– 一般形式
• L G(xi) = δ(xi-xi’) • G|边界= G|初始=0
林函数
• 性质：
– 设数学物理方程为 L u(x) = f (x) – 而格林函数方程为 L G(x) =δ(x-x’) – 在相同的齐次定解条件下 – 因为： f(x) =∫f (x’)δ(x-x’) dx’ – 所以： u(x) =∫f (x’) G(x-x’) dx’
• 应用（求解数学物理方程的格林函数法）
格林函数法
• 有源电磁场问题要求解非齐次波动方程，格林函数法 是其中一种重要的求解方法。
• 格林函数表示单位强度的点源的产生的场，是非齐次 波动方程的基本解。
• 在此基础上，可利用叠加原理求得任意分布的源所产 生的场。确定论问题
• 如果源的分布是未知的，也可借助格林函数建立积分 方程，将求解非齐次波动方程转换为求解积分方程， 从而有利于用数值方法对问题进行求解. 边值问题
4格林函数法
u( r ) f ( r0 ) dr0 4 | r r0 |
那么，如何求解某边界条件下的泊松方程呢？
格林函数法求解拉普拉斯方程的边值问题
边值问题与无界空间的问题不同，要受到边界的影响， 边值问题的解 u(r) 与格林函数 G 的关系就更复杂了，需要 用到格林第二公式。 格林第二公式 设函数 u(r)， v(r) 在区域 Ω 直到其边界 Γ 上具有连续一阶 微商，而在 Ω 中有连续二阶微商，有格林第二公式
若知道一个点源在一定的边界条件和(或)初值 条件下所产生的场（称为格林函数），就可用叠加 的方法计算出任意源产生的场。这就是格林函数法 的基本思想。故也称点源法。
δ – 函数（狄拉克函数）
用来描述物理中集中分布的量，如点电荷、点热源、质点、单 位脉冲等，这是通常的函数概念不能描述的。
0 x x0 ( x x0 ) x x0 0 x0 ( a , b ) a ( x x0 )dx 1 x0 (a , b)
r r0 o
2
R (x0, y0, z0)
G G x x 0 , x R R
2G 2G x x0 G 1 ( x x0 )2 2 2 3 x R R R R R
2G 2G 同样计算可 2 和 ，于是 2 y z 2G R 2 G 3 R 2 2G 2 G 2G 3 2 2 R R R 2 R R 0 R R R
于是有积分形式的解
拉普拉斯方程的格林函数
根据格林函数法的基本思想，先求解方程
(x, y, z) r r0 o
G ( r , r0 ) ( r r0 )
2
那么，如何求解某边界条件下的泊松方程呢？
格林函数法求解拉普拉斯方程的边值问题
边值问题与无界空间的问题不同，要受到边界的影响， 边值问题的解 u(r) 与格林函数 G 的关系就更复杂了，需要 用到格林第二公式。 格林第二公式 设函数 u(r)， v(r) 在区域 Ω 直到其边界 Γ 上具有连续一阶 微商，而在 Ω 中有连续二阶微商，有格林第二公式
若知道一个点源在一定的边界条件和(或)初值 条件下所产生的场（称为格林函数），就可用叠加 的方法计算出任意源产生的场。这就是格林函数法 的基本思想。故也称点源法。
δ – 函数（狄拉克函数）
用来描述物理中集中分布的量，如点电荷、点热源、质点、单 位脉冲等，这是通常的函数概念不能描述的。
0 x x0 ( x x0 ) x x0 0 x0 ( a , b ) a ( x x0 )dx 1 x0 (a , b)
r r0 o
2
R (x0, y0, z0)
G G x x 0 , x R R
2G 2G x x0 G 1 ( x x0 )2 2 2 3 x R R R R R
2G 2G 同样计算可 2 和 ，于是 2 y z 2G R 2 G 3 R 2 2G 2 G 2G 3 2 2 R R R 2 R R 0 R R R
于是有积分形式的解
拉普拉斯方程的格林函数
根据格林函数法的基本思想，先求解方程
(x, y, z) r r0 o
G ( r , r0 ) ( r r0 )
2
拉普拉斯方程的格林函数法
然出现感应电荷, 内任意一点的电位，就是点电荷的
电位 1 和感应电荷的电位 内4的rM电0M位.
v
的叠加，
Green函数=
➢将 上的感应电荷用一个等价的点电荷代替，使得这
个“虚”的电荷和真实的点电荷一起，在 内给出和原
来的问题同样的解
M0
M1
4.4 两种特殊区域的格林函数 及狄氏问题的解
4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解
r
2
2
同理可得 因此
1 r
u n
dS
1
u n
dS
4
u n
u
n
1 r
1 r
u n
dS
4
u
4
u n
0
4.2 格 林 公 式
令 0, 则
lim 0 u uM0
于是
lim
0
4
u n
0
u
M
0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
4.2 格 林 公 式
4.3 格林函数
要想确定格林函数, 需要找一个调和函数 v , 它满
1
足: 易,
但v 对| 于4一 r些M0特M .殊对的于区一域般, 的如区半域空,间确，定球v域并等不, 容格
林函数可以通过初等方法得到. 我们通常使用“电
象法”求解。
4.3 格林函数
Green函数的物理意义
➢在接地的闭曲面中放上点电荷之后，在 面内侧必
边界条件:
1） 第一边值问题
u 0 ()
u | f .
狄利克雷(Direchlet)问题 2)第二边值问题
数学物理方程课件第四章拉普拉斯方程的格林函数法
r M 0 M
M 1
1
4 xx02 y y02 zz02
解：
1
4 xx02 y y02 zz02
u(M 0)G (M n,M 0)f(M )dS G(M z,M0)|z0 f(x,y)dS
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
1
1
G ( M , M 0 ) 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 4 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2
调和函数的积分表达式
k
拉 普l1r拉n 斯1
1 方x程2的基y本2 解z
ln 1
2
r
x2 y2
三维 二维
1 1 1 u
u (M 0)4 S(u n(r)r n)d S
调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个
函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。
2 牛曼内问题有解的必要条件
V (u 2 v v 2 u )d V S (u n v v u n )d S
一 拉普拉斯方程边值问
题 的 1提 第法一边值问题（狄氏问题）
第四章
拉普 u f
2 第二边值问题（牛曼问题）
拉斯方程的格 u f 林函数法 n
3 内问题与外问题
4 调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程 的连续函数。
二 格林公式及其结论
V (u 2 v )d V S u n vd S V u v d V 格V 林(u 公 2 式v 的v 结 2 论u )：d V S (u n v v u n )d S
半空间的格林函数
1 1 1
G(M,M0)4rM
r M 0 M
M 1
M0q d
第四章格林函数法2
转化为求v满足：
2 v 0, in ; 1 . v 4 r MM 0
注1.格林函数法的优点:
格林函数仅依赖于区域，而与原问题的边界条件无关，因此， 只要求得某个区域的格林函数G ( M , M 0 ) C1()，就能一劳永 逸的解决这个区域上的一切边界条件的狄氏问题。
P R O
M1
rM1P 1 q q , 4 rM 0 P 4 rM1P rM 0 P 其中P是球面上任一点.
M0
在OM 0 P, OPM1有公共角M1OP，且0 1 R ，即
2
0
R
=
R
1
,
OM 0 OP 也即 = ，故OM 0 P与 OPM1相似。从而 OP OM1
2 2 ( u v v u)dV ( u
v u v )dS n n
取u, v为内的调和函数，且在上有一阶连续偏导数，则
1 u(M 0 ) 4 与调和函数的积分表达式相加
1 1 u ) u ( dS rMM 0 n n rMM 0
2 v 0，inD 其中v满足： 1 v 2 ln D rMM 0
D
2u 2u x 2 y 2 0, y 0, 上半平面内的狄氏问题： u f ( x), x y 0 y0 f ( x) u ( x0 , y0 ) dx 2 2 ( x x0 ) y0
令
则
1 G( M , M 0 ) v, 4 rMM 0
G G u ( M 0 ) u ( M ) dS f (M ) dS . n n
其中G(M , M 0 )称为Laplace方程的格林函数。
常微分方程格林函数
常微分方程格林函数格林函数（Green's function）是常微分方程理论中的一个重要概念。
格林函数是指线性常微分方程解的特定形式，用于将非齐次方程的解表示为齐次方程的解与一个特定的函数的线性组合。
格林函数的理论有广泛的应用，包括电磁学、量子力学、流体力学等领域。
我们考虑一个形如L[u]=f(某)的一维线性常微分方程，其中L是一个线性微分算子，u是未知函数，f(某)是已知函数。
我们想要找到方程的解u(某)。
为此，我们引入格林函数G(某,t)，满足以下两个条件：1. 对于每个固定的t，在某>t的区域内，格林函数满足L[G(某,t)]=δ(某-t)，其中δ(某-t)是Diracδ函数。
2.对于边界条件G(a,t)=G(b,t)=0，其中a和b是方程所涉及的区域的边界。
为了求解方程L[u]=f(某)，将解表示为u(某)=∫G(某,t)f(t)dt，其中积分是对整个区间进行的。
然后，我们可以利用格林函数的性质来计算系数函数G(某,t)与未知函数u(某)之间的关系，从而得到方程L[u]=f(某)的解u(某)。
对于常微分方程来说，我们可以通过求解格林函数来求解对应的非齐次方程。
具体的求解步骤如下：1.首先，求解齐次方程L[u]=0，并找到其解u_h(某)。
2.接下来，我们需要求解L[G(某,t)]=δ(某-t)的齐次方程，即L[G(某,t)]=0。
3.根据格林函数的边界条件，我们可以得到G(a,t)和G(b,t)的表达式，并利用这些条件分析求解。
4.最后，将方程的非齐次项f(某)代入到格林函数的表达式中，得到方程的解u(某)。
格林函数的概念和求解方法在物理和工程领域中广泛应用。
例如，在电磁学中，可以利用格林函数求解电荷分布所引起的电势分布；在量子力学中，格林函数用于描述定态和非定态系统中的粒子传播；在流体力学中，格林函数被用于描述流体的流动行为。
总之，格林函数是常微分方程理论中的重要工具，它可以将非齐次方程的解表示为齐次方程的解与一个特定的函数的线性组合。
第四章 格林函数法 (2)
Ω
可得 与
∂v ∂u (u∇ v − v∇ u )dV = ∫∫ (u − v )dS ∂n ∂n Γ ∂v ∂u ∫∫ (u ∂n − v ∂n )dS = 0 Γ
2 2
1 u (M 0 ) = − 4π
∂ 1 u (M ) ∫∫ ∂n rM 0 M Γ
1 ∂u (M ) dS − rM M ∂n 0
能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问 题的解 ？
∂u 为得到狄利克雷问题的解, 为得到狄利克雷问题的解, 必须消去 ∂n |Γ ,
这需要引入格林函数的概念. 这需要引入格林函数的概念.
设 u, v 为 Ω 内的调和函数并且在 Ω + Γ 上 有一阶连续偏导数， 有一阶连续偏导数，利用第二格林公式
∫∫∫
∂u ∂u 所以牛曼内问题( 有 ∫∫ dS = 0. 所以牛曼内问题( |Γ = f ) ∂n ∂n Γ
∫∫ fdS = 0
Γ
事实上, 这也是牛曼内问题有解的充分条件. 事实上 这也是牛曼内问题有解的充分条件
2) 拉普拉斯方程解的唯一性问题 是定解问题的两个解， 设 u1 ,u 2 是定解问题的两个解，则它们的 差 v = u1 − u2 必是原问题满足零边界条件的 解。对于狄利克雷问题， 对于狄利克雷问题，
Γ + Γε
∫∫
1 ∂ r 1 ∂u u − dS ∂n r ∂n
∂ (1/ r ) 1 ∂ (1/ r ) 1 =− = 2 = 2 ∂n ∂r r ε ∂ (1/ r ) 1 1 因此 ∫∫ u dS = 2 ∫∫ udS = 2 u ⋅ 4πε 2 = 4π u ∂r ε Γε ε Γε 1 ∂u 1 ∂u ∂u 同理可得 ∫∫ r ∂n dS = ε ∫∫ ∂n dS = 4πε ∂n Γε Γε
可得 与
∂v ∂u (u∇ v − v∇ u )dV = ∫∫ (u − v )dS ∂n ∂n Γ ∂v ∂u ∫∫ (u ∂n − v ∂n )dS = 0 Γ
2 2
1 u (M 0 ) = − 4π
∂ 1 u (M ) ∫∫ ∂n rM 0 M Γ
1 ∂u (M ) dS − rM M ∂n 0
能不能直接提供狄利克雷问题和牛曼问 题的解 ？
∂u 为得到狄利克雷问题的解, 为得到狄利克雷问题的解, 必须消去 ∂n |Γ ,
这需要引入格林函数的概念. 这需要引入格林函数的概念.
设 u, v 为 Ω 内的调和函数并且在 Ω + Γ 上 有一阶连续偏导数， 有一阶连续偏导数，利用第二格林公式
∫∫∫
∂u ∂u 所以牛曼内问题( 有 ∫∫ dS = 0. 所以牛曼内问题( |Γ = f ) ∂n ∂n Γ
∫∫ fdS = 0
Γ
事实上, 这也是牛曼内问题有解的充分条件. 事实上 这也是牛曼内问题有解的充分条件
2) 拉普拉斯方程解的唯一性问题 是定解问题的两个解， 设 u1 ,u 2 是定解问题的两个解，则它们的 差 v = u1 − u2 必是原问题满足零边界条件的 解。对于狄利克雷问题， 对于狄利克雷问题，
Γ + Γε
∫∫
1 ∂ r 1 ∂u u − dS ∂n r ∂n
∂ (1/ r ) 1 ∂ (1/ r ) 1 =− = 2 = 2 ∂n ∂r r ε ∂ (1/ r ) 1 1 因此 ∫∫ u dS = 2 ∫∫ udS = 2 u ⋅ 4πε 2 = 4π u ∂r ε Γε ε Γε 1 ∂u 1 ∂u ∂u 同理可得 ∫∫ r ∂n dS = ε ∫∫ ∂n dS = 4πε ∂n Γε Γε
格林函数2
S
电场线方程
E dl 0
用电场线围成 电场管
几种典型的电场线分布
带电平行板
正电荷
负电荷
由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。
16
2. 真空中静电场方程 物理实验表明，真空中静电场的电场强度E 满足下列两个积分形式 的方程
S
q E dS 0
数学物理方程 与特殊函数
格林函数2
本节内容
格林公式 调和函数的基本性质 格林函数
两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解
格林公式
闭曲面所包围的空间
z
光滑闭曲面 （边界）
M0
0
y
x
边界 所包围的空间 + =
2u 2u 2u 2 u 2 0 2 2 x y z
14
1. 电场强度、电通及电场线 电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以E 表示。
E
F (V/m ) q
式中q 为试验电荷的电量，F 为电荷q 受到的作用力。 单个点电荷产生的场强
E r q 4 0 R 2
N
eR
q 4 0 R3
N
R
N个点电荷产生的电场强度 对于连续的电荷分布 体分布
17
根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度，即
E
0
E 0
左式表明，真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电荷体密 度与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度的旋度处 处为零。由此可见，真空中静电场是有散无旋场。
电场线方程
E dl 0
用电场线围成 电场管
几种典型的电场线分布
带电平行板
正电荷
负电荷
由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。
16
2. 真空中静电场方程 物理实验表明，真空中静电场的电场强度E 满足下列两个积分形式 的方程
S
q E dS 0
数学物理方程 与特殊函数
格林函数2
本节内容
格林公式 调和函数的基本性质 格林函数
两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解
格林公式
闭曲面所包围的空间
z
光滑闭曲面 （边界）
M0
0
y
x
边界 所包围的空间 + =
2u 2u 2u 2 u 2 0 2 2 x y z
14
1. 电场强度、电通及电场线 电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以E 表示。
E
F (V/m ) q
式中q 为试验电荷的电量，F 为电荷q 受到的作用力。 单个点电荷产生的场强
E r q 4 0 R 2
N
eR
q 4 0 R3
N
R
N个点电荷产生的电场强度 对于连续的电荷分布 体分布
17
根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度，即
E
0
E 0
左式表明，真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电荷体密 度与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度的旋度处 处为零。由此可见，真空中静电场是有散无旋场。
数学物理方程第四章_格林函数
1 ⎧ ⎪∆G (r , r0 ) = − δ (r − r0 ) ε ⎨ ⎪G Γ = 0 ⎩
(4.3.7) (4.3.8)
以 G (r , r0 ) 乘式 (4.3.5), u (r ) 乘式 (4.3.7), 二式相减后在 Ω 上对 r 积分 ,以 dr 表示 r 点处的体积微元,有
∫
Ω
(G∆u − u∆G )dr = −
第 4 章 格林函数
在这一章里,我们介绍数学物理方程中另外一种常用的方法—格林函数法.从物理上看, 一个数学物理方程是表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系.例如,热传导 方程表示温度场和热源之间的关系,泊松方程表示静电场和电荷分布的关系,等等.这样,当源 被分解成很多点源的叠加时,如果能设法知道点源产生的场,利用叠加原理,我们可以求出同 样边界条件下任意源的场,这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就 叫做格林函数. 4.1
⎧0, T ( x) = ⎨ ⎩∞,
x≠0 x=0
且
∫Байду номын сангаас
所以有
+∞
−∞
cρT ( x)dx = Q
T ( x) =
Q δ ( x) cρ
通过以上两个例题,我们对 δ ( x) 有了进一步的认识.如果将坐标平移 x0 ,即集中量 出现在点 x = x 0 处,则有
δ ( x − x0 ) = ⎨
且
⎧0, ⎩∞,
∫
= ∫ (u∆v)dΩ + ∫ gradu ⋅ gradvdΩ
Ω Ω
=∫u
Γ
∂v dS ∂n
或表示为
∫
Ω
(u∆v)dΩ = ∫ u
Γ
∂v dS − ∫ gradu ⋅ gradvdΩ Ω ∂n
第四章_拉普拉斯方程的格林函数法
这样的问题称为Laplace方程外问题。
注：对于外问题来说，求解通常都是在无界区域上，
这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例子。
易知
u 0, r 1,
u 1 r 1
其中r x2 y2 z2
u 1,
u 1/ r
都是上述定解问题的解，即解不唯一.为了保证解的唯一性，
n
的值，所以要想求得狄氏问题的解就要想法消去积分公式中的
u 。故而我们需要引入格林函数。 n
在第二格林公式 (u2v
v2u)dV
(u
v n
v
u )dS, n
中取u, v C1()，并且都是内的调和函数.则
(u
v n
v
u )dS n
P Q R
(
x
y
z
) dV
Pdydz
Qdzdx Rdxdy
其中取外侧位正向.
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
(
P x
Q y
R z
)dV
(P cos(n, x) Q cos(n, y) R cos(n, z))dS.
Ka表示以M0 (x0, y0, z0 )为中心，以a为半径且完全落在内部的球面，
则成立下面平均值公式
1
u(M0 ) 4 a2 Ka udS
证明: 将调和函数的积分公式应用到Ka可得
u(M 0 )
1
4
(u(M )
n
(1) r
1 r
注：对于外问题来说，求解通常都是在无界区域上，
这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例子。
易知
u 0, r 1,
u 1 r 1
其中r x2 y2 z2
u 1,
u 1/ r
都是上述定解问题的解，即解不唯一.为了保证解的唯一性，
n
的值，所以要想求得狄氏问题的解就要想法消去积分公式中的
u 。故而我们需要引入格林函数。 n
在第二格林公式 (u2v
v2u)dV
(u
v n
v
u )dS, n
中取u, v C1()，并且都是内的调和函数.则
(u
v n
v
u )dS n
P Q R
(
x
y
z
) dV
Pdydz
Qdzdx Rdxdy
其中取外侧位正向.
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
(
P x
Q y
R z
)dV
(P cos(n, x) Q cos(n, y) R cos(n, z))dS.
Ka表示以M0 (x0, y0, z0 )为中心，以a为半径且完全落在内部的球面，
则成立下面平均值公式
1
u(M0 ) 4 a2 Ka udS
证明: 将调和函数的积分公式应用到Ka可得
u(M 0 )
1
4
(u(M )
n
(1) r
1 r
格林函数法(2)
1 rMM 0
相同。 相同。
性质2 恒等于0. 性质2 在边界 Γ 上格林函数 G ( M , M 0 ) 恒等于0. 性质3 性质3 在区域 Ω 内，下面不等式成立
1 0 < G(M , M 0 ) < . 4πrMM 0
性质4 (对称性) 性质4 对称性) 格林函数 G ( M , M 0 )关于自变量 M 和参变量M 0 之间具有对称性质， 之间具有对称性质， 即若 M 1 , M 2 ∈ Ω, 则
G(M , M 0 ) = 1 − v, 4πrMM 0
来表示， 此函数在导电面上恒等于0， 导电面上恒等于0 来表示， 此函数在导电面上恒等于 其中函数 − v 正好表示导电面上感应电荷所产生的电位。 正好表示导电面上感应电荷所产生的电位。
§4.4 两种特殊区域的格林函数 及狄利克雷问题的解
由公式
1 G(M, M0 ) = − v, 4π rM0M
奇性部分 则
∂G u ( M 0 ) = − ∫∫ u dS . ∂n Γ
(3)
正则部分
为拉普拉斯方程格林函数 格林函数。 称 G( M, M0 ) 为拉普拉斯方程格林函数。
如果能找到格林函数中的 v，则狄利克雷问题 ，
∇ 2u = 0, 在Ω内， u Γ = f .
1 G(M , M 0 ) = − v, 4πrMM 0
(3)
格林函数的几个重要性质： 格林函数的几个重要性质： 的几个重要性质 性质1 性质1 格林函数 G ( M , M 0 )在除去 M = M 0 一点外 G 处处满足拉普拉斯方程， 当 处处满足拉普拉斯方程， M → M 0时， ( M , M 0 ) 趋于无穷大， 其阶数和 趋于无穷大，
所谓镜像法， 点放置单位正电荷， 所谓镜像法，就是在 M 0 ∈ Ω点放置单位正电荷， 镜像法 在区域 Ω 外找出 M 0关于边界 Γ 的像点 M 1 , 然 点放置适当单位的负电荷， 后在 M 1 点放置适当单位的负电荷，它产生的 负电位与 M 0处正电荷产生的正电位在 Γ 上互相 抵消。 的内部， 抵消。由于 M 0在边界 Γ 的内部，M 1 在边界 Γ 的外部， 的外部， M 1 处的点电荷形成电场的电位在 Γ 内 部是调和函数 v，且有 ， 1 vΓ = 4π rM0M 故 M 0和 M 1 处的电荷形成的电场在 Γ 上的电位 就是所要求的格林函数。 就是所要求的格林函数。
相同。 相同。
性质2 恒等于0. 性质2 在边界 Γ 上格林函数 G ( M , M 0 ) 恒等于0. 性质3 性质3 在区域 Ω 内，下面不等式成立
1 0 < G(M , M 0 ) < . 4πrMM 0
性质4 (对称性) 性质4 对称性) 格林函数 G ( M , M 0 )关于自变量 M 和参变量M 0 之间具有对称性质， 之间具有对称性质， 即若 M 1 , M 2 ∈ Ω, 则
G(M , M 0 ) = 1 − v, 4πrMM 0
来表示， 此函数在导电面上恒等于0， 导电面上恒等于0 来表示， 此函数在导电面上恒等于 其中函数 − v 正好表示导电面上感应电荷所产生的电位。 正好表示导电面上感应电荷所产生的电位。
§4.4 两种特殊区域的格林函数 及狄利克雷问题的解
由公式
1 G(M, M0 ) = − v, 4π rM0M
奇性部分 则
∂G u ( M 0 ) = − ∫∫ u dS . ∂n Γ
(3)
正则部分
为拉普拉斯方程格林函数 格林函数。 称 G( M, M0 ) 为拉普拉斯方程格林函数。
如果能找到格林函数中的 v，则狄利克雷问题 ，
∇ 2u = 0, 在Ω内， u Γ = f .
1 G(M , M 0 ) = − v, 4πrMM 0
(3)
格林函数的几个重要性质： 格林函数的几个重要性质： 的几个重要性质 性质1 性质1 格林函数 G ( M , M 0 )在除去 M = M 0 一点外 G 处处满足拉普拉斯方程， 当 处处满足拉普拉斯方程， M → M 0时， ( M , M 0 ) 趋于无穷大， 其阶数和 趋于无穷大，
所谓镜像法， 点放置单位正电荷， 所谓镜像法，就是在 M 0 ∈ Ω点放置单位正电荷， 镜像法 在区域 Ω 外找出 M 0关于边界 Γ 的像点 M 1 , 然 点放置适当单位的负电荷， 后在 M 1 点放置适当单位的负电荷，它产生的 负电位与 M 0处正电荷产生的正电位在 Γ 上互相 抵消。 的内部， 抵消。由于 M 0在边界 Γ 的内部，M 1 在边界 Γ 的外部， 的外部， M 1 处的点电荷形成电场的电位在 Γ 内 部是调和函数 v，且有 ， 1 vΓ = 4π rM0M 故 M 0和 M 1 处的电荷形成的电场在 Γ 上的电位 就是所要求的格林函数。 就是所要求的格林函数。
4第四章格林函数法
u ( M ) u ( M 1 ) 。设 M 2 是 K 1 的球面 S1 与折线 L 的交点，
则 u ( M 2 ) u ( M 1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径 在 内作球 k 2 ，在 k 2上 u ( M ) u ( M 2 ) u ( M 1 ) 点 N 一定包含在以某点 M n
c1 d 2 dV V (r ) 0 其通解为： (r ) c2 , (r 0, c1 , c2 为任意常数)。 r dr dr 1 1 若取 c1 , c2 0 ,则得到特解 V0 (r ) 4r ,称此解为 4
三维Laplace方程的基本解，它在研究三维拉普拉斯方程中 起着重要的作用. 对二维拉普拉斯方程 u uxx u yy 0,其极坐标形式为:
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.2.1 格林函数的定义 设在 内有 u 0, v 0; u, v 在 上有一阶连续 1 v u 偏导数,则由格林第二公式有 0 (u n v n )dS (2) 4 将(1)和(2)两式加起来：
u(M 0 ) 1 4 1 1 u u (v ) (v ) dS (3) n rMM 0 rMM 0 n
4.1.4 调和函数的性质
u u 0, | f . n
u n dS f dS 0.
6
下午10时1分
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
性质2 (平均值定理) 设函数 u(M ) 在区域 内调和， M 0 是 内任意一点，若 a 是以 M 0 为中心，a为半径 的球面，此球完全落在区域 的内部，则有 1 u(M 0 ) udS(调和函数的球面平均值公式) 2 a 4a 证明: 由调和函数的积分表示：
则 u ( M 2 ) u ( M 1 ) 。以 M 2 为中心，以小于 d 的数为半径 在 内作球 k 2 ，在 k 2上 u ( M ) u ( M 2 ) u ( M 1 ) 点 N 一定包含在以某点 M n
c1 d 2 dV V (r ) 0 其通解为： (r ) c2 , (r 0, c1 , c2 为任意常数)。 r dr dr 1 1 若取 c1 , c2 0 ,则得到特解 V0 (r ) 4r ,称此解为 4
三维Laplace方程的基本解，它在研究三维拉普拉斯方程中 起着重要的作用. 对二维拉普拉斯方程 u uxx u yy 0,其极坐标形式为:
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
4.2.1 格林函数的定义 设在 内有 u 0, v 0; u, v 在 上有一阶连续 1 v u 偏导数,则由格林第二公式有 0 (u n v n )dS (2) 4 将(1)和(2)两式加起来：
u(M 0 ) 1 4 1 1 u u (v ) (v ) dS (3) n rMM 0 rMM 0 n
4.1.4 调和函数的性质
u u 0, | f . n
u n dS f dS 0.
6
下午10时1分
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
性质2 (平均值定理) 设函数 u(M ) 在区域 内调和， M 0 是 内任意一点，若 a 是以 M 0 为中心，a为半径 的球面，此球完全落在区域 的内部，则有 1 u(M 0 ) udS(调和函数的球面平均值公式) 2 a 4a 证明: 由调和函数的积分表示：
数学物理方程第四章 格林函数法
为边界的有界连通区域，u(x, y, z)在 上有连续
的一阶偏导数，在 内调和，定点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) ， r 为定点M 0到变点 M (x, y, z) 距离： 则有
u(M0 )
1
4
1 [ r
u n
u
(1)]ds n r
(2.9)
故不提初始条件!只给出边界条件就可以. 下面看边界条件的提法.
（1） 第一边值问题(狄利克雷（Dirichlet）问题）
设方程（1.1）的空间变量(x, y, z) ， 为 R3的开区域。如果
u(x, y, z)满足方程（1.1），且在 边界 上直接给定了u(x, y, z)
的具体函数形式 f (x, y, z)，即
u(x, y, z) f (x, y, z)
（1.2）
则称问题（1.1）~（1.2）为拉普拉斯第一边值问题或狄利克雷
（Dirichlet）问题，u(x, y, z) 为此问题的解。
2u 2u 2u
u
x 2
y 2
z 2
0
u( x, y,z) f ( x, y,z),
u, v互 换
v
u v u v u v
( uv )dV
u
n
ds
(
x
x
y
y
z
z
)dV
(2.2)
u
u v u v u v
(vu)dV
v
n
ds
(
x
x
y
y
z
第四章 -green函数法
方程可化简为：
1 r2
r
r
2
u r
0
解方程得：
u(r)
C1 r
C2
其中 C1, C2 是任意常数。
特别地，取 C1 1, C2 0, 即
u(r) 1 r
称为三维拉普拉斯方程的基本解。
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
二维拉普拉斯方程的圆对称解
极坐标：
u
n
1 r
1 r
u n
dS
4
u
4
u n
0
令 0, 则
4 u(M0 )
0
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
u 这是由于 u(x,y,z) 一阶连续可导, n 有界。
故 uM0
1
4
u
该点的值。构造辅助函数
1
1
v
r x x0 2 y y0 2 z z0 2
其中 (x, y, z) 为空间中任意一点。
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
1
1
函数 v
r x x0 2 y y0 2 z z0 2
n
2
2
其中 u 是 u 在球面 上的平均值.
同理 1 u dS 1
r n
将上述两式代入到等式：
u dS
n [u
1 r
4
u n
第四章 -green函数法
1 在区域 K 内直到边界上，v r 可任意求导。
M 0
K
数学物理方程与特殊函数
2
第4章格林函数法
2
v u 在第二格林公式 (u v v u)dV (u v )dS n n 1 中, 取 u 为调和函数, 而令 v , 并以 K r
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
第四章
拉普拉斯方程的格林函数法
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 4.2 格林公式 4.3 格林函数 4.4 两种特殊区域的格林函数及狄利克雷问题的解
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
三维拉普拉斯方程的球对称解
x r sin cos 球面坐标： y r sin sin z r cos
故
u M0 1 4 1 u M n rM 0 M
2
1 u M dS rM M n 0
2 2
rM 0 M 表示距离
x x0 y y0 z z0
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
3）调和函数的积分表达式 所谓调和函数的积分表达式, 是指用调和函数及 其在区域 边界 上的法向导数沿 的积分来表 达调和函数在区域 内任一点的值。 设 M 0 x0 , y0 , z0 是 内的点, 下面求调和函数在 该点的值。构造辅助函数
r
(r x 2 y 2 z 2 ).
以保证解的唯一性。
数学物理方程与特殊函数
第4章格林函数法
§4.2
高斯(Gauss)公式
格林公式
设 是以光滑曲面 为边界的有界区域，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) 在闭域 上连续,在 内 有一阶连续偏导数，即 P , Q , R C C 1 则：
第 4 章 4.2 格林函数
(8)
u 在 上的值是已 比如，对于狄利克雷问题，
u 由于 给定的，而 n 在边界 上的值就不知道， u 因此 n 在边界 上 狄利克雷问题的解是惟一的，
的值就不能再任意给定了。
6
4.2 格林函数
对于在区域 中为调和函数，在 上具 有一阶连续偏导数的函数 u, 我们有等式
1 u v dS . (15) 4 rMM n 0
1 | , 如果选取调和函数 v , 使之满足 v | 4 rMM 0
u 这样(15)式中的 n
项就消失了，于是有 (16)
9
1 u ( M 0 ) u v dS . n 4 rMM 0
1 u ( M ) rMM n 0
1 u ( M ) dS. rMM n 0
(8)
在格林第二公式(6)中，取 u , v 均为区域 内的 调和函数， 并且在 上有连续的一阶偏导数， 则得
u v 0 u v dS. n n
G dS. n
(17) (20)
u ( M 0 ) f ( x, y, z )
应用(20)求解拉普拉斯方程的狄利克雷问题时， 关键在于要找到格林函数(17)G(M , M 0 ), 其中 v 是下面特殊的狄利克雷问题的解
v 0, ( x, y, z) , 1 v | | 4 rMM 0
1
4
调和函数的基本性质
u dS 0, n
性质1 性质2
(12) (13)
u(M 0 )
1 4a 2
udS.
a
性质3 设函数 u ( x, y, z )是区域 内的调和函数， 它在 上连续，且不为常数， 则它的最大值、 最小值只能在边界 上达到 (极值原理)。
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这时内任意一点M处的电位由两部分产生：
一是由M
处单位正电荷产生的电位
0
1
4 rMM0
, 二是在内侧由感应负电荷
2v 0
产生的电位v,
它是狄氏问题
v
1
4 rMM0
的解。
从而 格林函数
1
G(M , M0 ) 4 rMM0 v,
它表示位于M 0处的单位正电荷在导电曲面内任一点M 处产生的电位。
§4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解
点
0
q
• M1
单位正电荷产生的电位在上正好相互抵消；
v
4 rMM1
(2).因M1在外，此点电荷产生的电位v在内是调和的，
它在边界上满足 v 1 .
4 rMM0
G(M , M0)
1
4 rMM0
q
4 rMM1
故M 0和M1处的电荷所形成的电场在内任一点M 处的电位总和即所求格林函数。
二、举例 1.半空间的格林函数
解：半空间内温度分布可归结为求解如下的狄氏问题：
2u
x
2
2u y 2
2u z 2
0,
z
0,
u ( x,
y,
0)
1, 0,
x2 y2 1, x2 y2 1.
代入公式
u(M 0 )
z0
2
z0
f (x, y)
1
dxdy
[(x x0 )2 ( y y0 )2 z02 ]3/2
z0
n
了u 值，就不能再任意给 u 的值。所以要想求得狄氏问题的解，
n
就必须想法消去积分表达式中的 u 。这就需要引入格林函数。 n
在第二格林公式中
(u 2v
v 2 u)dV
(u
v n
v
u )dS n
取u, v为内的调和函数，且在上有一阶连续偏导数，则
0
(u
v n
v
u n
)dS
与调和函数的积分表达式相加
2
K
1 [(x x0 )2 ( y y0 )2 z02 ]3/2 dxdy
特别在z轴的正半轴上，有
u(0, 0,
z0 )
z0
2
K
1 [x2 y2 z02 ]3/2 dxdy
z0
2
2
d
0
1 rdr 0 [r 2 z02 ]3/2
1
z0 1 z02
解的积分表达式：
u(M 0 )
u(M
u(M 0 )
f
(x,
y)
G n
dS
求解Laplace方程在上半空间z 0内的第一边值问题,就归结为求解
狄氏问题：
2u
x2
2u y2
2u z 2
0,
z
0,
u z0 f (x, y), x, y
解：首先确定格林函数(电像法)
在半空间z 0的M0
并找出M0关于z
0(x平0,面y0,的z0对)点称放点一M单1位(x正0 , 电 y0 ,荷z,0它)，产在生M电1放位一4单r1MM位0 。
负电荷,它产生电位- 1 （如下图）
4 rMM1
z M 0 (x0 , y0 , z0 )
M (x, y, z)
o
y
x
M1(x0 , y0 , z0 )
它与M
0点正电荷所产生的电位在平面z
0上相互抵消。由于
4
1 rMM1
在上半空间z 0内为调和函数，在闭域z 0上有一阶连续偏导数，
因此
G(M , M0)
由§4.3知，要得到狄氏问题的解
u(M
0
)
u(M
)
G nLeabharlann dS,需要先求
格林函数G(M , M0 )，对于某些特殊区域可用电象法求得。
一、电象法
•M
在区域内M0 (x0, y0, z0 )点处放一单位正电荷, 找出M 0关于边界的象点M1。要求：
• M0
(1).在M1放适当的负电荷，使它产生的负电位与M
x0 )2
z0 (y
y0 )2
z02 ]3/2
从而
u(M 0 )
z0
f
(x,
y)
2 [( x
x0 )2
z0 (y
y0 )2
z02 ]3/2 dxdy
z0
2
f (x, y)
[(x x0 )2 ( y y0 )2 z02 ]3/2 dxdy
例：设在均匀的上半空间的边界上保持定常温度，在圆K : x2 y2 1内 等于1，而在其外等于0，求在半空间内温度分布。
)
GdS n
f
(M
)
GdS n
格林函数：
G(M , M0)
§4.3 格林函数
一、格林函数的引出
调和函数的积分表达式
1
1 1 u
u(M0 ) 4
[u(M ) ( )
n rMM0 rMM0
]dS n
因为公式中既含有u ，又含有 u ，而在狄氏问题或牛曼问题中
n
二者不能同时得到,因此不能直接提供狄氏问题或牛曼问题的解。
比如对狄氏问题而言，u 已知，但不知道 u 。由解的唯一性，当给定
格林函数仅依赖于区域，而与原问题的边界条件无关，因此，
只要求得某个区域的格林函数G(M , M0 ) C1()，就能一劳永 逸的解决这个区域上的一切边界条件的狄氏问题。
注2.格林函数法的缺点:
2v 0，in
G(M , M0)
1
4 rMM0
v,
其中v满足
v
1
4 rMM0
，这是一个特殊的
狄氏问题，对于一般的区域，上问题的求解也不容易，但对于某些
u
(M
0
)
1
4
u
(
1
)
1
u
dS
n rMM0 rMM0 n
v 1 1
1
u
u(M0)
{u(M )[
n 4
( )] [
n rMM0
4 rMM0
v] }dS n
显然，要想消去 u 项，只需选取调和函数v满足 n
1 v
4 rMM0
则
1
u(M0)
u(M ) (
n 4 rMM0
v)dS
特殊区域，如球，半空间等，格林函数可以用初等方法求。
注3.泊松方程第一边值问题
2u F，in u f
;的解:
G
u(M 0 )
f
(M
)
n
dS
GFdV
二、格林函数的物理意义
在闭曲面内M0处放一单位正电荷，则它在内侧感应有 一定分布密度的负电荷，外侧分布有同等数量的正电荷。
M0
M
若边界是导体并接地，则外侧正电荷就消失，且电位为零。
令
1
G(M , M0 ) 4 rMM0 v,
则
G
G
u(M 0 )
u(M
)
n
dS
f
(M
)
n
dS.
其中G(M , M0 )称为Laplace方程的格林函数。
把求解u的问题：
2u 0, in ; u f (M ).
转化为求v满足：
2v 0, in ;
v
1
4 rMM0
.
注1.格林函数法的优点:
1
4 rMM0
1
.
4 rMM1
下面计算 G ,注意上半空间在边界z=0上的外法线方向是z轴的负向 n z0
G G
n z0
z z0
1
4
(x
x0 )2
z z0 ( y y0 )2
(z
z0 )2 3/2
(x
x0 )2
(y
z z0 y0 )2
(z
z0
)2
3/
2
z 0
2 [( x