最值问题3(垂线段与辅助圆)

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垂线段最短与辅助圆

三大模型：

1.垂线段最短：如图，直线BC 与直线外一点A ，点A 到直线BC 的距离AD 最短

1.例：如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0,4），直线34

3

-=

x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 长的最小值为 5.6 。

2．如图，已知▱OABC 的顶点A 、C 分别在直线x=1和x=4上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为．

【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．

【分析】当B 在x 轴上时，对角线OB 长的最小，由题意得出∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，由平行四边形的性质得出OA ∥BC ，OA=BC ，得出∠AOD=∠CBE ，由AAS 证明△AOD ≌△CBE ，得出OD=BE=1，即可得出结果．【解答】解：当B 在x 轴上时，对角线OB 长的最小，如图所示：直线x=1与x 轴交于点D ，直线x=4与x 轴交于点E ，

根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4， ∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴∠AOD=∠CBE，

在△AOD和△CBE中，

，

∴△AOD≌△CBE（AAS），

∴OD=BE=1，

∴OB=OE+BE=5；

故答案为：5．

方法二：OB2=OH2+HB2

OH=5,当BH最小也就是等于0时OB最小=5

2.辅助圆1：直角三角形构造以斜边为直径的外接圆

2.例：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P

是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（B）

A．B．2 C．D．

答案：

2【考点】点与圆的位置关系；圆周角定理．

【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．

【解答】解：∵∠ABC=90°，

∵∠PAB=∠PBC，

∴∠BAP+∠ABP=90°，

∴∠APB=90°，

∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，

在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，

∴OC==5，

∴PC=OC=OP=5﹣3=2．

∴PC最小值为2．

故选B．

3.辅助圆2：作以定点为圆心，定长为半径的圆

3.例：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．

答案：

3如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 1.2．（构造以F为圆心，FC为半径的圆，再过点F作AB的垂线段）

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，利用

△AFM∽△ABC，得到=求出FM即可解决问题．

【解答】解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．

∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，

∴△AFM∽△ABC，

∴=，

∵CF=2，AC=6，BC=8，

∴AF=4，AB==10，

∴=，

∴FM=3.2，

∵PF=CF=2，

∴PM=1.2

∴点P到边AB距离的最小值是1.2．

故答案为1.2．

【点评】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置，属于中考常考题型．