赵洪銮《离散数学》第五章8-9节
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证明：(1)任何代数系统<A,*>都可以通过恒等映射与它自身同构， 所以同构关系具有自反性。 (2) 若f是<A, *>到<B, ◇>的同构映射且<A, *>≌<B, ◇>，则f的逆f -1 是<B, ◇>到<A, *>的同构映射且<B, ◇>≌<A, *>，所以同构关系具 有对称性。 (3) 设f是<A, *>到<B, ◇>的同构映射，g是<B, ◇>到<C, ★>的同构 映射，则g ◦f是<A, *>到<C, ★>的同构映射，所以同构关系具有传 递性。 由以上(1)，(2)，(3)知同构关系是等价关系。
=f(x)*f(y★z)=f(x★(y★z)) =f((x★y)★z) =f(x★y)*f(z)=(f(x)*f(y))*f(z)= ( a*b ) *c 。
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12
<A,★>是独异点，在f 作用下，同态象<f(A),*>也是独异点
(b)设<A, ★>是独异点，e是A中的幺元， 考察f(e) ：af(A)，必有xA使得f(x)=a，所以 a*f(e)=f(x)*f(e)
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8
2、同态、自同构及相关性质
定义5-8.3 设<A, ★>是一个代数系统，如果 f是由<A，★>
到<A，★>的同态，则称f为自同态。如果g是由<A，★>到 <A，★>的同构，则称g为自同构。
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9
定理5-8.1 设G是代数系统的集合，则G中代数系统之间的同构 关系是等价关系。
同态与同构：
两个代数系统之间的联系，保持原有的形态 和性质（本质相同，形式不同）
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1
5-8 同态与同构
1、同态、同态象、满同态、单一同态、同构
定义5-8.1 设<A, ★>和<B, *>是两个代数系统，★和*分别是A， B上的二元（n元）运算，设f是A到B的一个映射，使得对任意的 a1, a2∈A，有
*>的同态，f是一个双射函数，A≌B。 如果g(a)=4，g(b)=3，g(c)=2，g(d)=1，g也是由<A, *>到<B, +>的一个同构。
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7
➢ 当两个代数系统是同构的，它们之间的映射可以是不唯 一的。 ➢ 同构的两个代数系统，可看成是本质相同但形式不同的 代数系统。 ➢ 如果代数系统U，V是同构的，则从V，U也必定存在一 个同构的映射f-1，故U，V是互为同构的。
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11
<A,★> 是半群，在f 作用下，同态象<f(A),*>也是半群
证明：(a) 若f是由<A,★>到<B,*>的一个同态映射，则f(A)B (1)封闭性：a, bf(A)，必有x, yA使得f(x)=a，f(y)=b， 在A中必有z= x★y，
a*b=f(x)*f(y)=f(x★y)=f(z)f(A)。 (2)可结合性： a, b, cf(A)，必有x, y, zA使得f(x)=a，f(y)=b，f(z)=c ★在A上是可结合的，所以 a*(b*c) =f(x)*( f(y)*f(z)
f (a1★a2) = f(a1) * f(a2)
则称f为由<A, ★>到<B，*>的一个同态映射，(简称同态)，称<A, ★>同态于<B，*>（或称为f运载★到*），记为A～B。把 <f(A),*>称为<A，★>的一个同态象。
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2
例 给定代数系统<R, +>和<R, ×>，设函数f: R→R，f(x)=2x ， 证明f是一个从<R, +>到<R, ×>的同态
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10
定理5-8.2 设f是从代数系统<A, ★ >到<B, *>的同态映射。 (a) 如果<A, ★> 是半群，那么在f 作用下，同态象<f(A), *>也是半群。 (b)如果<A, ★>是独异点，那么在f 作用下，同态象<f(A), *>也是独异点。 (c)如果<A, ★> 是群，那么在f 作用下，同态象<f(A), *>也 是群。
对于y, z∈R，应有 f(y+z) = 2y+z = 2y×2z = f(y) ×f(z) 所以 函数f: R→R是一个从<R, +>到<R, ×>的同态。
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3
➢ f(A)={x|x=f(a), a∈A}⊆B ➢由一个代数系统到另一个代数系统可能存在着多个同态。
a
b c a★c
A
B
·
*>是同构的。记为<A, ★ > ≌ <B, *>，简记作A≌B
如：1. 设 f：R→R，定义为对任意x∈R，f(x)=2x 2．设 f : N→Nk,定义为对任意x∈N, f(x)=x（mod k） 3．设H={x|x=dn, d是某一个正整数，n∈I}, 定义映射f：I→H为对任意n∈I, f(n)=dn
=f(x★e) =f(x)=a =f(e★x) =f(e)*f(x) =f(e)*a。 那么f(e)是f(A)中的幺元。所以<f(A),*>是独异点。
正 正负 零 负 负正 零 零 零零 零
对于任意的a，b∈I，有
f(a•b)=f(a)⊙f(b)，映射f是由<I, •>到<B, ⊙>的一个同态。即<B, ⊙>描述了<I, •>中运算结果的基本特征。
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5
定义5-8.2 f：<A, ★ >到<B, *>的一个同态，如果 f是从A到B的一个满射，则f是满同态； f是从A到B的一个入射，则f是称为单一同态； f是从A到B的一个双射，则f是同构映射，并称<A, ★ >和<B,
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6
例1 设A={a, b, c, d}，B={1, 2, 3, 4}，在A，B上定义的二 元运算如下所示，证明<A, ★> 和<B, *>同构。
★a b c dFra Baidu bibliotek
* 1234
a abcd b baac c bddc
1 1234 2 2113 3 2443
d abcd
4 1234
证明：
设f(a) =1，f(b)=2，f(c)=3，f(d)=4，由表可得f是<A, ★>到<B,
·
f(A)
f(a)=f(b)
f(a)*f(c)=f(b)*f(c)
b★c
f
· f(c)
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4
例 <I, •>，I是整数集，•是普通乘法运算，其运算结果的特征用
另一个代数系统<B, ⊙>来表示，B={正、负、零}，⊙是定义在B
上的二元运算， 正 n>0 f（n）= 负 n<0 零 n=0
⊙ 正负 零
=f(x)*f(y★z)=f(x★(y★z)) =f((x★y)★z) =f(x★y)*f(z)=(f(x)*f(y))*f(z)= ( a*b ) *c 。
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<A,★>是独异点，在f 作用下，同态象<f(A),*>也是独异点
(b)设<A, ★>是独异点，e是A中的幺元， 考察f(e) ：af(A)，必有xA使得f(x)=a，所以 a*f(e)=f(x)*f(e)
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2、同态、自同构及相关性质
定义5-8.3 设<A, ★>是一个代数系统，如果 f是由<A，★>
到<A，★>的同态，则称f为自同态。如果g是由<A，★>到 <A，★>的同构，则称g为自同构。
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定理5-8.1 设G是代数系统的集合，则G中代数系统之间的同构 关系是等价关系。
同态与同构：
两个代数系统之间的联系，保持原有的形态 和性质（本质相同，形式不同）
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5-8 同态与同构
1、同态、同态象、满同态、单一同态、同构
定义5-8.1 设<A, ★>和<B, *>是两个代数系统，★和*分别是A， B上的二元（n元）运算，设f是A到B的一个映射，使得对任意的 a1, a2∈A，有
*>的同态，f是一个双射函数，A≌B。 如果g(a)=4，g(b)=3，g(c)=2，g(d)=1，g也是由<A, *>到<B, +>的一个同构。
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➢ 当两个代数系统是同构的，它们之间的映射可以是不唯 一的。 ➢ 同构的两个代数系统，可看成是本质相同但形式不同的 代数系统。 ➢ 如果代数系统U，V是同构的，则从V，U也必定存在一 个同构的映射f-1，故U，V是互为同构的。
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<A,★> 是半群，在f 作用下，同态象<f(A),*>也是半群
证明：(a) 若f是由<A,★>到<B,*>的一个同态映射，则f(A)B (1)封闭性：a, bf(A)，必有x, yA使得f(x)=a，f(y)=b， 在A中必有z= x★y，
a*b=f(x)*f(y)=f(x★y)=f(z)f(A)。 (2)可结合性： a, b, cf(A)，必有x, y, zA使得f(x)=a，f(y)=b，f(z)=c ★在A上是可结合的，所以 a*(b*c) =f(x)*( f(y)*f(z)
f (a1★a2) = f(a1) * f(a2)
则称f为由<A, ★>到<B，*>的一个同态映射，(简称同态)，称<A, ★>同态于<B，*>（或称为f运载★到*），记为A～B。把 <f(A),*>称为<A，★>的一个同态象。
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例 给定代数系统<R, +>和<R, ×>，设函数f: R→R，f(x)=2x ， 证明f是一个从<R, +>到<R, ×>的同态
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定理5-8.2 设f是从代数系统<A, ★ >到<B, *>的同态映射。 (a) 如果<A, ★> 是半群，那么在f 作用下，同态象<f(A), *>也是半群。 (b)如果<A, ★>是独异点，那么在f 作用下，同态象<f(A), *>也是独异点。 (c)如果<A, ★> 是群，那么在f 作用下，同态象<f(A), *>也 是群。
对于y, z∈R，应有 f(y+z) = 2y+z = 2y×2z = f(y) ×f(z) 所以 函数f: R→R是一个从<R, +>到<R, ×>的同态。
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➢ f(A)={x|x=f(a), a∈A}⊆B ➢由一个代数系统到另一个代数系统可能存在着多个同态。
a
b c a★c
A
B
·
*>是同构的。记为<A, ★ > ≌ <B, *>，简记作A≌B
如：1. 设 f：R→R，定义为对任意x∈R，f(x)=2x 2．设 f : N→Nk,定义为对任意x∈N, f(x)=x（mod k） 3．设H={x|x=dn, d是某一个正整数，n∈I}, 定义映射f：I→H为对任意n∈I, f(n)=dn
=f(x★e) =f(x)=a =f(e★x) =f(e)*f(x) =f(e)*a。 那么f(e)是f(A)中的幺元。所以<f(A),*>是独异点。
正 正负 零 负 负正 零 零 零零 零
对于任意的a，b∈I，有
f(a•b)=f(a)⊙f(b)，映射f是由<I, •>到<B, ⊙>的一个同态。即<B, ⊙>描述了<I, •>中运算结果的基本特征。
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定义5-8.2 f：<A, ★ >到<B, *>的一个同态，如果 f是从A到B的一个满射，则f是满同态； f是从A到B的一个入射，则f是称为单一同态； f是从A到B的一个双射，则f是同构映射，并称<A, ★ >和<B,
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例1 设A={a, b, c, d}，B={1, 2, 3, 4}，在A，B上定义的二 元运算如下所示，证明<A, ★> 和<B, *>同构。
★a b c dFra Baidu bibliotek
* 1234
a abcd b baac c bddc
1 1234 2 2113 3 2443
d abcd
4 1234
证明：
设f(a) =1，f(b)=2，f(c)=3，f(d)=4，由表可得f是<A, ★>到<B,
·
f(A)
f(a)=f(b)
f(a)*f(c)=f(b)*f(c)
b★c
f
· f(c)
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例 <I, •>，I是整数集，•是普通乘法运算，其运算结果的特征用
另一个代数系统<B, ⊙>来表示，B={正、负、零}，⊙是定义在B
上的二元运算， 正 n>0 f（n）= 负 n<0 零 n=0
⊙ 正负 零