高三数学11月月考试题理 (2)

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湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题一、单选题1．集合{}0,1,2,3A =的真子集的个数是（）A ．16B ．15C ．8D ．72．“11x -<”是“240x x -<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，其中0a ≠，则sin2α=（）A ．43B ．725C ．2425D ．2425-4．设向量a ，b满足a b += a b -=r r a b ⋅ 等于（）A ．B ．2C ．5D ．85．若无论θ为何值，直线sin cos 10y x θθ⋅+⋅+=与双曲线2215x ym -=总有公共点，则m 的取值范围是（）A ．1m ≥B ．01m <≤C ．05m <<，且1m ≠D ．1m ≥，且5m ≠6．已知函数()2f x 的图象关于原点对称，且满足()()130f x f x ++-=，且当()2,4x ∈时，()()12log 2f x x m =--+，若()()2025112f f -=-，则m 等于（）A ．13B ．23C ．23-D ．13-7．已知正三棱台111ABC A B C -所有顶点均在半径为5的半球球面上，且AB =11A B =）A ．1B ．4C ．7D ．1或78．北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab 个，下底有cd 个，共n 层的堆积物（如图所示），可以用公式()()()2266nn S b d a b d c c a =++++-⎡⎤⎣⎦求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab ，()()()()()()11,22,,11a b a b a n b n cd +++⋅++-+-= 的和.若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，则该垛积最上层的小球个数为（）A ．2B ．6C ．12D ．20二、多选题9．若2024220240122024(12)x a a x a x a x +=++++ ，则下列正确的是（）A ．02024a =B ．20240120243a a a +++= C ．012320241a a a a a -+-++= D ．12320242320242024a a a a -+--=- 10．对于函数()sin cos f x x x =+和()sin cos 22g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列说法中正确的有（）A ．()f x 与()g x 有相同的零点B ．()f x 与()g x 有相同的最大值点C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴11．过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，抛物线C 在点A 处的切线与直线2y =-交于点N ，作NM AP ⊥交AB 于点M ，则（）A ．5OA OB ⋅=-B ．直线MN 恒过定点C ．点M 的轨迹方程是()22(1)10y x y -+=≠D ．ABMN三、填空题12．已知复数1z ，2z 的模长为1，且21111z z +=，则12z z +=.13．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c 已知5a =，4b =，()31cos 32A B -=，则sin B =.14．若正实数1x 是函数()2e e x f x x x =--的一个零点，2x 是函数()()()3e ln 1e g x x x =---的一个大于e 的零点，则()122e e x x -的值为.四、解答题15．现有某企业计划用10年的时间进行技术革新，有两种方案：贷款利润A 方案一次性向银行贷款10万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加25%的利润B 方案每年初向银行贷款1万元第1年利润1万元，以后每年比前一年增加利润3000元两方案使用期都是10年，贷款10年后一次性还本付息（年末结息），若银行贷款利息均按10%的复利计算.(1)计算10年后，A 方案到期一次性需要付银行多少本息？(2)试比较A 、B 两方案的优劣.（结果精确到万元，参考数据：101.12.594≈，101.259.313≈）16．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，222AD AB BC ===.点P 在底面的射影点Q 在线段AC 上.(1)在图中过A 作平面PCD 的垂线段，H 为垂足，并给出严谨的作图过程；(2)若2PA PD ==.求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.17．已知函数()e sin cos x f x x x =+-，()f x '为()f x 的导数.(1)证明：当0x ≥时，()2f x '≥；(2)设()()21g x f x x =--，证明：()g x 有且仅有2个零点.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点为1F 、2F ，P为椭圆C 上一动点，设12F PF θ∠=，当2π3θ=时，12F PF(1)求椭圆C 的标准方程.(2)过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N （M 在B ，N 之间），若Q 为椭圆C 上一点，且OQ OM ON =+，①求OBMOBNS S 的取值范围；②求四边形OMQN 的面积.19．飞行棋是大家熟悉的棋类游戏，玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投掷出6点时，飞机才能起飞.并且掷得6点的游戏者可以连续投掷骰子，直至显示点数不是6点.飞机起飞后，飞行步数即骰子向上的点数.(1)求甲玩家第一轮投掷中，投郑次数X 的均值()()()11lim n n k k E X kP k kP k ∞∞→==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑）(2)对于两个离散型随机变量ξ、η，我们将其可能出现的结果作为一个有序数对，类似于离散型随机变量的分布列，我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布：（记()()()11,mi i ijj p x p x p x y ξ====∑，()()()21,njiij i p y p y p xy η====∑）ξη1x 2x ⋯n x 1y ()11,p x y ()21,p x y ⋯()1,n p x y ()21p y 2y ()12,p x y ()22,p x y L()2,n p x y ()22p y ⋯⋯⋯⋯⋯⋯my ()1,m p x y ()2,m p x y ⋯(),n m p x y ()2m p y ()11p x ()12p x L()1n p x 1若已知i x ξ=，则事件{}j y η=的条件概率为{}{}{}()()1,,j i i j j i i i P y x p x y P y x P x p x ηξηξξ=======.可以发现i x ηξ=依然是一个随机变量，可以对其求期望{}{}()()1111,mmi j j i j i jj i iE x y P y x y p x y p x ηξηξ====⋅===⋅∑∑.（ⅰ）上述期望依旧是一个随机变量（ξ取值不同时，期望也不同），不妨记为{}E ηξ，求{}E E ηξ⎡⎤⎣⎦；（ⅱ）若修改游戏规则，需连续掷出两次6点飞机才能起飞，记0ξ=表示“甲第一次未能掷出6点”，1ξ=表示“甲第一次掷出6点且第二次未能掷出6点”，2ξ=表示“甲第一次第二次均掷出6点”，η为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数，求E η.。

河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2025届高三上学期11月月考数学试题

河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2025届高三上学期11月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}(){}3510,ln 1A x x B x y x =∈-<<==+Z ，则A B = （）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1,2-2．已知复数z 满足5z z ⋅=，则24i z -+的最大值为（）AB C ．D ．3．已知非零向量,a b 满足3a b = ，向量a 在向量b 方向上的投影向量是，则a 与b 夹角的余弦值为（）A B ．13C ．D ．13-4．定义在R 上的偶函数()f x ，满足(2)(2)f x f x +=-，在区间[2,0]-上单调递减，设(1.5),(5)a f b f c f =-==，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c<<5．函数()320,1x y aa a +=->≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线1x ym n+=-上，且,0m n >，则3m n +的最小值为（）A ．13B ．16C ．11+D ．286．已知2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是（）A ．-1B ．1C ．64D ．637．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深4CD =-AB =，则图中弧 ACB与弦AB 围成的弓形的面积为（）A ．4πB ．8C ．4π8-D ．8π8-8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，O 为坐标原点，若在C 的右支上存在关于x 轴对称的两点,P Q ，使得1PFQ △为正三角形，且1OQ F P ⊥，则C 的离心率为（）A B ．1CD ．1+二、多选题9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若nn S b n=，则称数列是数列{}n a 的“均值数列”．已知数列是数列{}n a 的“均值数列”，且21232482n n b b b b n n ++++=+ ，则下列结论正确的是（）A ．72364a =-B ．设数列{}n a 的前n 项积为n T ，则n T 有最大值，无最小值C ．数列{}n S 中没有最大项D ．若对任意*n ∈N ，2504n m m S --≥成立，则1m ≤-或94m ≥10．在正方形ABCD 中，2AB =，E 为AB 中点，将ADE V 沿直线DE 翻折至1A DE △位置，使得二面角1A DE C --为直二面角，若M 为线段1AC 的中点，则下列结论中正确的是（）A ．若点P 在线段DE 上，则1A P PC +的最小值为B ．三棱锥B MCE -C ．异面直线BM 、1A E 所成的角为π4D ．三棱锥1A CDE -外接球的表面积为5π11．以下不等式成立的是（）A ．当∈0,1时，1e ln 2xx x x+>-+B ．当∈1,+∞时，1e ln 2xx x x+>-+C ．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e sin x x x>D ．当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，e sin x x x>三、填空题12．若()()()()()2234x a x x x x b +---+的展开式中，5x 项的系数为−8，则ab 的最大值为.13．已知定义域为[]0,1的函数()f x 同时满足：①对于任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②若10x ≥，20x ≥，121x x +≤，则有()()()1212f x x f x f x +≥+；③(1)1f =；以下命题中正确的命题的序号为.（请写出所有正确的命题的序号）（1）()00f =；（2）函数()y f x =的最大值为1；（3）函数()y f x =对一切实数x ，都有()2f x x ≤.14．曲率在数学上是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值.对于半径为()0r r >的圆，定义其曲率1K r=，同样的，对于一般曲线在某点处的曲率，我们可通过该点处的密切圆半径计算.其中对于曲线()y f x ≡在点()()00x f x ，处的密切圆半径计算公式为()()()220031f x R f x ⎡⎤+⎥⎦='''⎢⎣，其中()f x '表示()y f x =的导数，()f x ''表示()f x '的导数.已知曲线():ln C g x x =，则曲线C 在点()()11g ，处的曲率为；C 上任一点处曲率的最大值为.四、解答题15．在ABC V 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且2225b c a +=.(1)若sin 2B C =，求cos A ；(2)若8AB AC ⋅=，求ABC V 的面积的最大值.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，6,AB PC PD ===，二面角P CD A --的大小为π6．(1)证明：平面PAB ⊥平面ABCD ．(2)求四棱锥P ABCD -的体积．(3)若点M 在线段PD 上，且平面MAC ⊥平面ABCD ，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值．17．如图，1A ，2A 分别为椭圆22:143x yC +=的左、右顶点，P 为第一象限C 上一点，且2PO PA =，过点P 的直线l 与C 有唯一的公共点P .(1)求l 的方程；(2)过原点O 作直线l 的平行线与椭圆C 交于M ，N 两点，证明：P ，M ，1A ，N 四点共圆，并求该圆的标准方程.18．已知函数312()(1)21xx f x ax b x -=++-+（其中,a b ∈R ）．(1)当0,0a b >=时，证明：()f x 是增函数；(2)证明：曲线()y f x =是中心对称图形；(3)已知0a ≠，设函数312()e ()(1)(1)21x x x g x f x b x b -=+-+-+-+，若()0g x ≥对任意的x ∈R恒成立，求b aa-的最小值．19．已知{}n a 为有穷整数数列，共有n 项．给定正整数T ，若对任意的{}t t t T +∈∈≤N ∣，在{}n a 中，存在()12,,,,1i i i i j a a a a j +++≥ ，使得{}{121max ,,,,min ,i i i i j i i a a a a a a ++++- ，}{}212,,,max ,,,,i i j i i i i j a a t a a a a +++++= 表示12,,,,i i i i j a a a a +++ 中最大的一项，{}12min ,,,,i i i i j a a a a +++ 表示12,,,,i i i i j a a a a +++ 中最小的一项，则称{}n a 为T -有界数列．(1)判断1,2,4,8是否为4-有界数列，判断1,8,2,4是否为4-有界数列，说明理由；(2)若{}n a 共有4项，11a =，且{}n a 为单调递增数列，写出所有的234,,a a a ，使得{}n a 为6-有界数列；(3)若{}n a 为10-有界数列，证明：6n ≥．。

恒山区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

恒山区第一中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1．半径R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A ．πR 3B ．πR 3C ．πR 3D ．πR 32．如图在圆中，，是圆互相垂直的两条直径，现分别以，，，为直径作四个O AB CD O OA OB OC OD 圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）O DABCO A ．B ．C ．D ．π1π21π121-π2141-【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．3．设f （x ）是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）=f （x+y ），若a 1=，a n =f （n ）（n ∈N *），则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是（）A ．[，2）B ．[，2]C ．[，1）D ．[，1]4．已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P （x ，y ），则点P 的坐标满足不等式x 2+y 2≤2的概率为（）A ．B ．C ．D ．5．已知f （x ）为R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f （x+6）=f （x ）+f （3），x 1，x 2∈[0，3]，x 1≠x 2时，有成立，下列结论中错误的是（）A ．f （3）=0B ．直线x=﹣6是函数y=f （x ）的图象的一条对称轴C ．函数y=f （x ）在[﹣9，9]上有四个零点D ．函数y=f （x ）在[﹣9，﹣6]上为增函数6．设函数f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣2）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C ．（﹣2，0）∪（2，+∞）D ．（﹣2，0）∪（0，2）7．将函数f （x ）=3sin （2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）的图象，若f （x ），g （x ）的图象都经过点P （0，），则φ的值不可能是（）A ．B ．πC ．D ．8．设a ，b ∈R 且a+b=3，b ＞0，则当+取得最小值时，实数a 的值是（）A ．B ．C ．或D ．39．在ABC ∆中，若60A ∠=o ，45B ∠=o，BC =，则AC =（）A ．B ． C.D 10．若复数z=2﹣i （ i 为虚数单位），则=（）A ．4+2iB ．20+10iC ．4﹣2iD ．11．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出两个判断：①（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2≠0；②a ≠b ，b ≠c ，c ≠a 不能同时成立，下列说法正确的是（）A ．①对②错B ．①错②对C ．①对②对D ．①错②错12．已知定义在上的奇函数)(x f ，满足,且在区间上是增函数，则 R (4)()f x f x +=-[0,2]A 、 B 、(25)(11)(80)f f f -<<(80)(11)(25)f f f <<-C 、D 、(11)(80)(25)f f f <<-(25)(80)(11)f f f -<<二、填空题13．已知数列的各项均为正数，为其前项和，且对任意N ，均有、、成等差数列，}{n a n S n ∈n *n a n S 2n a 则．=n a 14．对于集合M ，定义函数对于两个集合A ，B ，定义集合A △B={x|f A （x ）f B （x ）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为．　15．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线与曲线y ＝ax ＋ln x 相切，则a ＝________．16．小明想利用树影测量他家有房子旁的一棵树的高度，但由于地形的原因，树的影子总有一部分落在墙上，某时刻他测得树留在地面部分的影子长为1.4米，留在墙部分的影高为1.2米，同时，他又测得院子中一个直径为1.2米的石球的影子长（球与地面的接触点和地面上阴影边缘的最大距离）为0.8米，根据以上信息，可求得这棵树的高度是米．（太阳光线可看作为平行光线）17．已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．18．在（x 2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为．三、解答题19．已知等比数列中，。

2011年高三上册数学理科第二次月考题

高三数学理科月考二试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．） 1．若)12(log 1)(21+=x x f ，则)(x f 定义域为 ( )A ．)0,21(-B ． ),0(+∞C ．),21(+∞-D ．]0,21(- 2．幂函数()a f x x =的图象过点（2，4），那么函数()f x 的单调递增区间是（）A ．（-2，+∞）B ．[1,)-+∞C ．[0,)+∞D ．（-∞，-2）3．已知定义域是实数集R 上的函数y=f(x)不恒为0，同时满足f(x+y)=f(x)f(y)，且当x>0时，f(x)>1，那么当x<0时，一定有（） A.f(x)<－1 B. －1<f(x)<0 C . f(x)>1 D. 0<f(x)<14.5．以下有关命题的说法错误的是（）A ．命题“若0232=+-x x 则x=1”的逆否命题为“若023,12≠+-≠x x x 则”B ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件C ．对于命题01,:,01,:22≥++∈∀⌝<++∈∃x x R x p x x R x p 均有则使得D ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题6、若函数)1(-=x f y 是偶函数，则)2(x f y -=的对称轴是（）A 、12x =B 、1x =C 、0x =D 、2x = 7．已知函数f(x)是R 上的偶函数，g(x)是R 上的奇函数，且g(x)=f(x-1)，若f(2)=2，则f(2012) 的值为（）A ．2 B. -2 C.±2 D. 0()的解集是25|12|≥+-x x ())21,)((),31)[(),73)[(),21[-∞+∞+∞+∞D C B A8．函数3()1f x x x x =+=在点处的切线方程为（） A ．420x y -+= B ．420x y --=C ．420x y ++=D ．420x y +-=9．设0＜b ＜a ＜1,则下列不等式成立的是（）A ．ab ＜b 2＜1B ．2b ＜2a ＜2C ．21log b ＜21log a ＜0D ．a 2＜ab ＜110.定义函数D x x f y ∈=),(，若存在常数C ，对任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使得C x f x f =+2)()(21，则称函数)(x f 在D 上的均值为C 。

安徽省六安第一中学2024-2025学年高三上学期第三次月考(11月)数学试题

安徽省六安第一中学2024-2025学年高三上学期第三次月考（11月）数学试题一、单选题1．已知复数()i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z =（）A ．1B ．2CD 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若38304S a ==,，则9S =（）A ．54B ．63C ．72D ．1353．已知平面向量,a b 满足4a = ，(1,b = ，且()()23a b a b +⊥- ．则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．在等比数列{}n a 中，已知13a =，48n a =，93n S =，则n 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．75．已知数列{}n a 满足1211n n a a n +-=-，且110a =，则n a 的最小值是（）A ．-15B ．-14C ．-11D ．-66．已知ABC V 是边长为1的正三角形，1,3AN NC P = 是BN 上一点且29AP m AB AC =+，则AP AB ⋅=（）A ．29B ．19C ．23D ．17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1024n n S a +=，则数列{}n a 的前n 项积的最大值为（）A ．552B ．452C ．92D ．1028．已知O 是ABC V 所在平面内一点，且2AB = ，1OA AC ⋅=- ，1OC AC ⋅=，则ABC ∠的最大值为（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2二、多选题9．已知z 为复数，设z ，z ，i z 在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，其中O 为坐标原点，则（）A ．OA OB =B ．OA OC⊥C ．AC BC = D ．OB AC∥10．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若1089S S S <<，则下列说法正确的是（）A ．当9n =时，n S 最大B ．使得0n S <成立的最小自然数18n =C ．891011a a a a +>+D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为1100S a 11．已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，公比为q ，在12,a a 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为1d ，在23,a a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为2,d ，在1,n n a a +之间插入n 个数，使这2n +个数成等差数列，公差为n d ，则下列说法错误．．的是（）A ．当01q <<时，数列{}n d 单调递减B ．当1q >时，数列{}n d 单调递增C ．当12d d >时，数列{}n d 单调递减D ．当12d d <时，数列{}n d 单调递增三、填空题12．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4210S S =，则62S S 的值为.13．已知数列{}n a 中，11a =，12,2,n n na n a a n ++⎧=⎨-+⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 前2024项的和为.14．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c （a b ≠）.已知2cos c a A =，则sin sin B A -的最大值是.四、解答题15．设等比数列{an }满足124a a +=，318a a -=．（1）求{an }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3an }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．16．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()22a cb bc -=+.(1)求角A ；(2)若3,2a BA AC BD DC ⋅==，求AD 的长.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*12111,3,22(2,N )n n n a a S S S n n +-==+=+≥∈.(1)求证：数列{}n a 为等差数列；(2)在数列{}n b 中，1213,n n n n b a b a b ++==，若{}n b 的前n 项和为n T ，求证：92n T <.18．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132a a a =+，数列是公差为d 的等差数列.(1)求证：21a d =，并求出数列{}n a 的通项公式（用,n d 表示）；(2)设c 为实数，对满足3m n k +=且m n ≠的任意正整数,,m n k ，不等式m n k S S cS +>都成立，求证：c 的最大值为92.19．已知函数()x f x e =.(1)当0x ≥时，求证：()()2f x f x x --≥；(2)若0k >，且()f x kx b ≥+在R 上恒成立，求2k b +的最大值；(3)设*2,n n ≥∈Nln n +.。

重庆市2024-2025学年高三上学期11月月考数学阶段性检测试题

重庆市2024-2025学年高三上学期11月月考数学阶段性检测试题注意事项：1．答题前、考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2、答选择题时、必须使用2B 铅笔填涂：答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合则（）{}2128,5016x A x B x x x ⎧⎫=<<=+>⎨⎬⎩⎭A B = A.B.C.D. ()4,3-()0,3()3,0-()4,0-2. 已知点，若A ，B ，C 三点共线，则x 的值是（）()()()1,2,1,4,,1A B C x -A. 1B. 2C. 3D. 43. “”是“”的（）1x >11x -<A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若，则a ，b ，c 的大小关系为（）0.10.13125,,log 352a b c --⎫⎫⎛⎛=== ⎪⎪⎝⎝⎭⎭A .B. C. D. a c b<<c a b<<b c a<<c b a<<5. 设m ，n 是不同的直线，为不同的平面，下列命题正确的是（）,αβA. 若，则．,,n m n αβαβ⊥⋂=⊥m α⊥B. 若，则．,//,//n m n m αβα= //m βC. 若，则．,,//,//m n m n ααββ⊂⊂//αβD. 若，则．//,,m n m n αβ⊥⊥//αβ6. 若曲线在处的切线的倾斜角为，则（）1()ln f x x x =+2x =α()sin cos cos 1sin2αααα-=-A. B. C. D. 1712-56-175-7. 已知数列的首项，前n 项和，满足，则（）{}n a 12025a =n S 2n n S n a =2024a =A. B. C. D. 120251202411012110138. 已知是函数的零点，是函数的零1x ()()2ln 1f x x x =---2x ()2266g x x ax a =+--点，且满足，则实数的取值范围是（）1234x x-<a A. B.)3,-+∞253,8⎫-⎪⎭C. D. 7125,,568⎫⎫⎛⎛-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭ 7125,568⎫⎛- ⎪⎝⎭二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 在下列函数中，最小正周期为π且在为减函数的是（）π0,2⎛⎫⎪⎝⎭A.B.()cos f x x=()1πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.D.()22cos sin f x x x=-()πtan 4f x x ⎫⎛=- ⎪⎝⎭10. 中，BC 边上的中线，则下列说法正确的有（）ABC V BC =2AD =A.B. 为定值4AB AC +=AB AC ⋅C. D. 的最大值为2220AC AB +=BAD ∠45︒11. 在正方体中，，分别为和的中点，M 为线段1111ABCD A B C D -6AB =,P Q 11C D 1DD 上一动点，N 为空间中任意一点，则下列结论正确的有（）1B C A .直线平面1BD ⊥11A C DB. 异面直线与所成角的取值范围是AM 1A D ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 过点的截面周长为,,B PQ +D. 当时，三棱锥体积最大时其外接球的体积为AN BN ⊥A NBC-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 复数（i 是虚数单位），则复数z 的模为________．221i z =--13. 在数列中，，若对于任意的恒成立，{a n }111,34n n a a a +==+()*,235n n k a n ∈+≥-N 则实数k 的最小值为______.14. 若定义在的函数满足，且有()0,+∞()f x ()()()6f x y f x f y xy +=++对恒成立，则的最小值为________．()3f n n≥n *∈N 81()i f i =∑四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 平面四边形中，已知ABCD 4,120,AB BC ABC AC =∠=︒=（1）求的面积；ABC V （2）若的大小．150,BCD AD ∠=︒=ADC ∠16. 如图，在直三棱柱中，分别为111ABC A B C -1,3,4,,,AB AC AC AB AA M N P ⊥===的中点．11,,AB BC A B（1）求证：平面；//BP 1C MN （2）求二面角的余弦值．1P MC N --17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>y x =()4,3P 双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程.（2）设过点的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q ，使()10-,得为常数？若存在，求出Q 点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．QM QN ⋅18. 已知函数.()2sin cos f x x x x x=--（1）求在处的切线方程；()f x πx =（2）证明：在上有且仅有一个零点；()f x ()0,2π（3）若时，的图象恒在的图象上方，求a 的取值()0,x ∞∈+()sin g x x =()2h x ax x=+范围.19. 数列满足，的前n 项和为，等差数列满足{}n b 32121222n n b b b b n -++++= {}n b n T {}n a ，等差数列前n 项和为．1143,a b a T ==n S （1）求数列的通项公式；{}{},n n a b （2）设数列中的项落在区间中的项数为，求数列的{}n a ()21,1m m T T ++()m c m N *∈{}m c 前n 和；n H （3）是否存在正整数m ，使得是或中的项．若有，请求出全部的m 并3m m mm S T S T +++{}n a {}n b 说明理由；若没有，请给出证明．。

河南省焦作市第一中学2024届高三上学期11月月考数学试题

河南省焦作市第一中学2024届高三上学期11月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}223,log 1M x x N x x =-≤≤=≤，则M N =I （）A ．[2,3]-B ．[2,2]-C ．(0,2]D ．(0,3] 2．若0,0a b >>，则“1ab <”是“1a b +<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若3tan 4α=，则21sin 212sin αα+=-（） A ．17- B ．7- C ．17 D ．74．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边,AB BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅u u u r u u u r 的值为（）A ．18-B ．18C ．1D ．8-5．定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“躺平点”.若函数()ln g x x =，3()1h x x =-的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（）A ．αβ≥B ．αβ>C ．αβ≤D ．αβ<6．已知x ，y 为非零实数，向量a r ，b r 为非零向量，则“a b a b +=+r r r r ”是“存在非零实数x ，y ，使得0xa yb +=r r r ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在ABC V 中，AB AC ⊥u u u r u u u r ，且AB AC ==u u u r u u u r ，M 是BC 的中点，O 是线段AM 的中点，则()OA OB OC ⋅+u u u r u u u r u u u r 的值为（）A ．0B ．C ．12-D ．28．如图，圆M 为ABC V 的外接圆，4AB =，6AC =，N 为边BC 的中点，则AN AM ⋅=u u u r u u u u r （）A ．5B ．10C ．13D ．26二、多选题9．已知实数a 满足，3i 2i 1i a +=+-（i 为虚数单位），复数(1)(1)i z a a =++-，则（） A ．z 为纯虚数 B ．2z 为虚数 C ．0z z += D ．4z z ⋅= 10．已知不等式2210x ax b ++->的解集是{}x x d ≠，则b 的值可能是（）A ．1-B ．3C ．2D ．011．关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的最小值为1-C ．()f x 在[2,2]ππ-上有4个零点D ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 12．如图，正方形ABCD 与正方形DEFC 边长均为1，平面ABCD 与平面DEFC 互相垂直，P 是AE 上的一个动点，则（）A ．CPB ．当P 在直线AE 上运动时，三棱锥D BPF-的体积不变C ．PD PF +D ．三棱锥A DCE -的外接球表面积为3π三、填空题13．已知曲线e ln x y m x x =+在1x =处的切线方程为3y x n =+，则n =.14．已知数列{}n a 是等差数列，1370,30a a a >+=，则使0n S >的最大整数n 的值为. 15．某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道.要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元（不考虑宽度厚度等因素），则水池面积最大值为平方米.16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)()f x f x -=，则()f x 的最小正周期为；若对任意的121,0,2x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当时12x x ≠，都有()()1212f x f x x x π->-，则关于x 的不等式()sin f x x π≤在区间33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的解集为.四、解答题17．已知向量2sin ,2sin 4a x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r，向量cos sin )b x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，记()()f x a b x =⋅∈R r r .(1)求()f x 表达式；(2)解关于x 的不等式()1f x ≥.18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列． (1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++<L ． 19．ABC V 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．(1)求A ；(2)若BC =3，求ABC V 面积的最大值．20．已知数列{}n a 满足111,22n n na a a a +==-． (1)若11n nb a =-，证明数列{}n b 为等比数列，并求通项公式n b ； (2)数列{}nc 的前n 项和为(1)1,2(*)2n n n n S c b n N -+=+∈，求2n S ． 21．有人收集了春节期间平均气温x 与某取暖商品销售额y 的有关数据，如下表所示．(1)根据以上数据，用最小二乘法求出回归方程$$y bxa =+$； (2)预测平均气温为9C ︒-时，该商品的销售额为多少万元． ()()()$1122211,n ni i i ii i n n ii i i x x y y x y nx y b a y bx x x x nx ====---===---∑∑∑∑$$ 22．设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点．（1）求a ；（2）设函数()()()x f x g x xf x +=．证明:()1g x <．。

新乐市实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

新乐市实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1．如图，△ABC 所在平面上的点P n （n ∈N *）均满足△P n AB 与△P n AC 的面积比为3；1，=﹣（2x n +1）（其中，{x n }是首项为1的正项数列），则x 5等于（）A ．65B ．63C ．33D ．312．数列{a n }是等差数列，若a 1+1，a 3+2，a 5+3构成公比为q 的等比数列，则q=（） A ．1 B ．2C ．3D ．43．若双曲线C ：x 2﹣=1（b ＞0）的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率e=（）A ．2B．C ．3 D．4．用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（） A．π B ．2πC ．4πD．π5．如图，半圆的直径AB=6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则的最小值为（）A． B ．9 C． D ．﹣96．已知命题:()(0xp f x a a =>且1)a ≠是单调增函数；命题5:(,)44q x ππ∀∈，sin cos x x >.则下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ∨⌝ C. p q ⌝∧⌝ D ．p q ⌝∧ 7．设集合M={x|x ＞1}，P={x|x 2﹣6x+9=0}，则下列关系中正确的是（） A ．M=P B ．P ⊊MC ．M ⊊PD ．M ∪P=R8．拋物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线C ：x 2－y 2＝2的焦点重合，C 的渐近线与拋物线E 交于非原点的P 点，则点P 到E 的准线的距离为（） A ．4 B ．6 C ．8D ．10班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________9．若复数（m 2﹣1）+（m+1）i 为实数（i 为虚数单位），则实数m 的值为（） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．﹣1或110．已知a ，b 是实数，则“a 2b ＞ab 2”是“＜”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件11．（2016广东适应）已知双曲线的顶点为椭圆1222=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（）A ．122=-y xB ．122=-x yC ．222=-y xD ．222=-x y12．若,x y ∈R ，且1,,230.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩则y z x =的最小值等于（）A ．3B ．2C ．1D ．12二、填空题13．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=﹣1， =S n ．则数列{a n }的通项公式a n = ．14．（﹣）0+[（﹣2）3]= ．15．将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为．16．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是（写出所有你认为正确的命题）．17．对于|q|＜1（q 为公比）的无穷等比数列{a n }（即项数是无穷项），我们定义S n （其中S n 是数列{a n }的前n 项的和）为它的各项的和，记为S ，即S=S n=，则循环小数0.的分数形式是．18．已知z ，ω为复数，i 为虚数单位，（1+3i ）z 为纯虚数，ω=，且|ω|=5，则复数ω= ．三、解答题19．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()()3231312f x x k x kx =-+++，其中.k R ∈（1）当3k =时，求函数()f x 在[]0,5上的值域；（2）若函数()f x 在[]1,2上的最小值为3，求实数k 的取值范围.20．在平面直角坐标系中，矩阵M 对应的变换将平面上任意一点P （x ，y ）变换为点P （2x+y ，3x ）．（Ⅰ）求矩阵M 的逆矩阵M ﹣1；（Ⅱ）求曲线4x+y ﹣1=0在矩阵M 的变换作用后得到的曲线C ′的方程．21．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．22．本小题满分10分选修45-：不等式选讲已知函数2()log (12)f x x x m =++--． Ⅰ当7=m 时，求函数)(x f 的定义域；Ⅱ若关于x 的不等式2)( x f 的解集是R ，求m 的取值范围．23．已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2=9内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点．（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程．24．已知命题p ：∀x ∈[2，4]，x 2﹣2x ﹣2a ≤0恒成立，命题q ：f （x ）=x 2﹣ax+1在区间上是增函数．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．新乐市实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：由=﹣（2x n+1），得+（2x n+1）=，设，以线段P n A、P n D作出图形如图，则，∴，∴，∵，∴，则，即x n+1=2x n+1，∴x n+1+1=2（x n+1），则{x n+1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，∴x5+1=2•24=32，则x5=31．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的三角形法则，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造法构造等比数列，考查了计算能力，属难题．2．【答案】A【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1+1，a3+2，a5+3构成等比数列，得：（a3+2）2=（a1+1）（a5+3），整理得：a32+4a3+4=a1a5+3a1+a5+3即（a1+2d）2+4（a1+2d）+4=a1（a1+4d）+4a1+4d+3．化简得：（2d+1）2=0，即d=﹣．∴q===1．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．3．【答案】B【解析】解：双曲线C：x2﹣=1（b＞0）的顶点为（±1，0），渐近线方程为y=±bx，由题意可得=，解得b=1，c==，即有离心率e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．4．【答案】C【解析】解：用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为：cm；已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为：，所以球的体积为：=4π故选：C．5．【答案】C【解析】解：∵圆心O是直径AB的中点，∴+=2所以=2•，∵与共线且方向相反∴当大小相等时点乘积最小．由条件知当PO=PC=时，最小值为﹣2×=﹣故选C【点评】本题考查了向量在几何中的应用，结合图形分析是解决问题的关键．6．【答案】D【解析】考点：1、指数函数与三角函数的性质；2、真值表的应用. 7．【答案】B【解析】解：P={x|x=3}，M={x|x ＞1}； ∴P ⊊M ．故选B ．8．【答案】【解析】解析：选D.双曲线C 的方程为x 22－y 22＝1，其焦点为（±2，0），由题意得p2＝2，∴p ＝4，即拋物线方程为y 2＝8x ，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x y ＝±x ，解得 x ＝0（舍去）或x ＝8，则P 到E 的准线的距离为8＋2＝10，故选D.9．【答案】A【解析】解：∵（m 2﹣1）+（m+1）i 为实数， ∴m+1=0，解得m=﹣1，故选A ．10．【答案】C【解析】解：由a 2b ＞ab 2得ab （a ﹣b ）＞0，若a ﹣b ＞0，即a ＞b ，则ab ＞0，则＜成立，若a ﹣b ＜0，即a ＜b ，则ab ＜0，则a ＜0，b ＞0，则＜成立，若＜则，即ab （a ﹣b ）＞0，即a 2b ＞ab 2成立，即“a 2b ＞ab 2”是“＜”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．11．【答案】D【解析】∵椭圆的端点为(0,2)±，离心率为2，∴2 依题意双曲线的实半轴2a =∴2c =，2b =D ．12．【答案】B二、填空题13．【答案】．【解析】解：S n是数列{a n}的前n项和，且a1=﹣1，=S n，∴S n+1﹣S n=S n+1S n，∴=﹣1，=﹣1，∴{}是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列，∴=﹣1+（n﹣1）×（﹣1）=﹣n．∴S n=﹣，n=1时，a1=S1=﹣1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣+=．∴a n=．故答案为：．14．【答案】．【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3]=1+（﹣2）﹣2=1+=．故答案为：．15．【答案】4+．【解析】解：作出正四棱柱的对角面如图，∵底面边长为6，∴BC=，球O的半径为3，球O1的半径为1，则，在Rt△OMO1中，OO1=4，，∴=，∴正四棱柱容器的高的最小值为4+．故答案为：4+．【点评】本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．16．【答案】③④【解析】试题分析：把展开图复原成正方体，如图，由正方体的性质，可知：①BM与ED是异面直线，所以是错误AN AC，由于几何体是正方体，所以三角形ANC 的；②DN与BE是平行直线，所以是错误的；③从图中连接,AN AC所成的角为60 ，所以是正确的；④DM与BN是异面直线，所以是正确的．为等边三角形，所以,考点：空间中直线与直线的位置关系．17．【答案】．【解析】解：0.=++…+==，故答案为：．【点评】本题考查数列的极限，考查学生的计算能力，比较基础．18．【答案】±（7﹣i）．【解析】解：设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===，|ω|=，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±=±（7﹣i）．故答案为±（7﹣i ）．【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义及其模的计算公式即可得出．三、解答题19．【答案】（1）[]1,21;（2）2k ≥.【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得()'f x =()()31x x k --，再分1k ≤和1k >两种情况进行讨论；试题解析：（1）解：3k = 时，()32691f x x x x =-++则()()()23129313f x x x x x =-+=--' 令()0f x '=得1,3x x ==列表由上表知函数()f x 的值域为[]1,21（2）方法一：()()()()2331331f x x k x k x x k =-++=--'①当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增所以()()()min 31113132f x f k k ==-+++= 即53k =（舍） ②当2k ≥时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+= 符合题意③当12k <<时,当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[)1,k 单调递减当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增所以()()()322min 313132f x f k k k k k ==-+++= 化简得：32340k k -+=即()()2120k k +-=所以1k =-或2k =（舍）注：也可令()3234g k k k =-+则()()23632g k k k k k =='-- 对()()1,2,0k g k ∀∈'≤()3234g k k k =-+在()1,2k ∈单调递减所以()02g k <<不符合题意综上所述：实数k 取值范围为2k ≥方法二：()()()()2331331f x x k x k x x k =-++=--'①当2k ≥时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≤，函数()f x 在区间[]1,2单调递减所以()()()min 28613213f x f k k ==-++⋅+=符合题意 …………8分 ②当1k ≤时，[]()1,2,'0x f x ∀∈≥，函数()f x 在区间[]1,2单调递增所以()()min 23f x f <=不符合题意③当12k <<时, 当[)1,x k ∈时，()'0f x <()f x 区间在[)1,k 单调递减当(],2x k ∈时，()'0f x >()f x 区间在(],2k 单调递增所以()()()min 23f x f k f =<=不符合题意综上所述：实数k 取值范围为2k ≥20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设点P （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为P ′（x ′，y ′），则即=，∴M=．又det （M ）=﹣3，∴M ﹣1=；（Ⅱ）设点A （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下所得的点为A ′（x ′，y ′），则=M ﹣1=，即，∴代入4x+y ﹣1=0，得，即变换后的曲线方程为x+2y+1=0．【点评】本题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及化归与转化思想，属于中档题．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆C 两焦点坐标分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）．∴．∴a=2，又c=1，b 2=4﹣1=3，故椭圆的方程为．（Ⅱ）当直线l ⊥x 轴，计算得到：，，不符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：y=k （x+1），由，消去y 得（3+4k 2）x 2+8k 2x+4k 2﹣12=0 显然△＞0成立，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，又即，又圆F 2的半径，所以，化简，得17k 4+k 2﹣18=0，即（k 2﹣1）（17k 2+18）=0，解得k=±1所以，，故圆F 2的方程为：（x ﹣1）2+y 2=2．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，椭圆与圆的关系．考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力．22．【答案】【解析】Ⅰ当7m =时，函数)(x f 的定义域即为不等式1270x x ++-->的解集.[来由于1(1)(2)70x x x ≤-⎧⎨-+--->⎩，或12(1)(2)70x x x -<<⎧⎨+--->⎩，或2(1)(2)70x x x ≥⎧⎨++-->⎩. 所以3x <-，无解，或4x >. 综上，函数)(x f 的定义域为(,3)(4,)-∞-+∞ Ⅱ若使2)(≥x f 的解集是R ，则只需min (124)m x x ≤++--恒成立. 由于124(1)(2)41x x x x ++--≥+---=-所以m 的取值范围是(,1]-∞-.23．【答案】【解析】【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l 的方程；（2）当弦AB 被点P 平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l 的方程；【解答】解：（1）已知圆C ：（x ﹣1）2+y 2=9的圆心为C （1，0），因为直线l 过点P ，C ，所以直线l 的斜率为2，所以直线l 的方程为y=2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣2=0．（2）当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为，即x+2y ﹣6=0．24．【答案】【解析】解：∀x ∈[2，4]，x 2﹣2x ﹣2a ≤0恒成立，等价于a ≥x 2﹣x 在x ∈[2，4]恒成立，而函数g （x ）=x 2﹣x 在x ∈[2，4]递增，其最大值是g （4）=4，∴a ≥4，若p 为真命题，则a ≥4；f （x ）=x 2﹣ax+1在区间上是增函数，对称轴x=≤，∴a ≤1，若q 为真命题，则a ≤1；由题意知p 、q 一真一假，当p 真q 假时，a ≥4；当p 假q 真时，a ≤1，所以a 的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）．。

湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期11月月考数学检测试卷(含解析)

1. 若复数z 满足一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有湖南省长沙市2024-2025学年高三上学期11月月考数学检测试卷一项是符合题目要求的）1i34i z +=-，则z =（）A.B.25C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法运算求出复数z ，计算其模，即得答案.【详解】由1i34i z+=-可得()()()()1i 34i 1i 17i 34i 34i 34i 25z+++-+===--+，则z =故选：C2. 已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则345a a a ++等于（）A. 12B. 15C. 18D. 21【答案】B 【解析】【分析】利用52S S -即可求得345a a a ++的值.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，所以34552=a a a S S ++-()2252522215=-⨯--⨯=.故选：B.3. 抛物线24y x =的焦点坐标为（）A. (1,0)B. (1,0)-的C. 1(0,)16-D. 1(0,)16【答案】D 【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出其焦点坐标【详解】解：由24y x =，得214x y =，所以抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，且124p =，所以18p =，1216p =，所以焦点坐标为1(0,16，故选：D4. 如图是函数()sin y x ωϕ=+的部分图象，则函数的解析式可为（）A. πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. 5πcos 26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】观察图象，确定函数()sin y x ωϕ=+的周期，排除B ，由图象可得当5π12x =时，函数取最小值，求ϕ由此判断AC ，结合诱导公式判断D.【详解】观察图象可得函数()sin y x ωϕ=+的最小正周期为2ππ2π36T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以2ππω=，故2ω=或2ω=-，排除B ；观察图象可得当π2π5π63212x +==时，函数取最小值，当2ω=时，可得5π3π22π+122k ϕ⨯+=，Z k ∈，所以2π2π+3k ϕ=，Z k ∈，排除C ；当2ω=-时，可得5ππ22π122k ϕ-⨯+=-，Z k ∈，所以π2π+3k ϕ=，Z k ∈，取0k =可得，π3ϕ=，故函数的解析式可能为πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，A 正确；5ππππcos 2cos 2sin 26233y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 错误故选：A.5. 1903年，火箭专家、航天之父康斯坦丁・齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v 满足公式：1201lnm m v v m +=，其中12,m m 分别为火箭结构质量和推进剂的质量，0v 是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8km /s ，则火箭发动机的喷气速度为（）（参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1,ln4 1.4≈≈）A. 10km /s B. 20km /sC.80km /s 3D. 40km /s【答案】B 【解析】【分析】根据实际问题，运用对数运算可得.【详解】由题意122m m =，122200122lnln 82m m m m v v v m m ++===，得03ln 82v =，故0888203ln3ln 2 1.10.7ln 2v ==≈=--，故选：B6.若83cos 5αβ+=，63sin 5αβ-=，则()cos αβ+的值为（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】已知两式平方相加，再由两角和的余弦公式变形可得．【详解】因为83cos 5αβ=，63sin 5αβ=，所以25(3cos 4)62αβ=，2(3sin )2536αβ=，即所以2259cos co 6s 1042cos ααββ++=，229sin sin +10sin 2536ααββ-=，两式相加得9)104αβ+++=，所以cos()αβ+=，故选：C ．7. 如图，一个质点从原点O 出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为23，向右的概率为13，共移动4次，则该质点共两次到达1的位置的概率为（）A.427B.827C.29D.49【答案】A 【解析】【分析】根据该质点共两次到达1的位置的方式有0101→→→和0121→→→，且两种方式第4次移动向左向右均可以求解.【详解】共移动4次，该质点共两次到达1的位置的方式有0101→→→和0121→→→，且两种方式第4次移动向左向右均可以，所以该质点共两次到达1的位置的概率为211124333332713⨯⨯+⨯⨯=.故选：A.8. 设n S 为数列{a n }的前n 项和，若121++=+n n a a n ，且存在*N k ∈，1210k k S S +==，则1a 的取值集合为（）A. {}20,21-B. {}20,20-C. {}29,11-D. {}20,19-【答案】A 【解析】【分析】利用121++=+n n a a n 可证明得数列{}21n a -和{}2n a 都是公差为2的等差数列，再可求得()2=21n S n n +，有了这些信息，就可以从k 的取值分析并求解出结果.【详解】因为121++=+n n a a n ，所以()()()()()()212342123+41=++++++37+41=212n n n n n S a a a a a a n nn --⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅-=+，假设()2=21=210n S n n +，解得=10n 或21=2n -（舍去），由存*N k ∈，1210k k S S +==，所以有19k =或20k =，由121++=+n n a a n 可得，+1223n n a a n ++=+，两式相减得：22n n a a +-=，当20k =时，有2021210S S ==，即210a =，根据22n n a a +-=可知：数列奇数项是等差数列，公差为2，所以()211+11120a a =-⨯=，解得120a =-，当19k =时，有1920210S S ==，即200a =，根据22n n a a +-=可知：数列偶数项也是等差数列，公差为2，所以()202+10120a a =-⨯=，解得218a =-，由已知得123a a +=，所以121a =.故选：A.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，则下列说法正确的是（）在A. 直线EF 与11D B 为异面直线B. 直线1D E 与1DC 所成的角为60oC. 1D F AD ⊥D. //EF 平面11CDD C 【答案】ABD 【解析】【分析】直接根据异面直线及其所成角的概念可判断AB ，利用反证法可判断C ，利用线面平行判定定理可判断D.【详解】如图所示，连接AC ，1CD ，EF ，由于E ，F 分别为1AD ，DB 的中点，即F 为AC 的中点，所以1//EF CD ，EF ⊄面11CDD C ，1CD ⊆面11CDD C ，所以//EF 平面11CDD C ，即D 正确；所以EF 与1CD 共面，而1B ∉1CD ，所以直线EF 与11D B 为异面直线，即A 正确；连接1BC ，易得11//D E BC ，所以1DC B ∠即为直线1D E 与1DC 所成的角或其补角，由于1BDC 为等边三角形，即160DC B ∠=，所以B 正确；假设1D F AD ⊥，由于1AD DD ⊥，1DF DD D = ，所以AD ⊥面1D DF ，而AD ⊥面1D DF 显然不成立，故C 错误；故选：ABD.10. 已知P 是圆22:4O x y +=上的动点，直线1:cos sin 4l x y θθ+=与2:sin cos 1l x y θθ-=交于点Q ，则（）A. 12l l ⊥ B. 直线1l 与圆O 相切C. 直线2l 与圆O截得弦长为 D. OQ的值为【答案】ACD 【解析】【分析】选项A 根据12l l ⊥，12120A A B B +=可判断正确；选项B 由圆心O 到1l 的距离不等半径可判断错误；选项C 根据垂直定理可得；选项D 先求出()4sin cos ,4cos sin Q θθθθ-+，根据两点间的距离公式可得.【详解】选项A ：因()cos sin sin cos 0θθθθ+-=，故12l l ⊥，A 正确；选项B ：圆O 的圆心O 的坐标为()0,0，半径为2r =，圆心O 到1l的距离为14d r ==>，故直线1l 与圆O 相离，故B 错误；选项C ：圆心O 到1l 的距离为21d ==，故弦长为l==，故C 正确；选项D ：由cos sin 4sin cos 1x y x y θθθθ+=⎧⎨-=⎩得4cos sin 4sin cos x y θθθθ=+⎧⎨=-⎩，故()4cos sin ,4sin cos Q θθθθ+-，故OQ ==，故D 正确故选：ACD11. 已知三次函数()32f x ax bx cx d =+++有三个不同的零点1x ，2x ，()3123x x x x <<，函数()()1g x f x =-也有三个零点1t ，2t ，()3123t t t t <<，则（）A. 23b ac>B. 若1x ，2x ，3x 成等差数列，则23bx a=-C. 1313x x t t +<+D. 222222123123x x x t t t ++=++【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由题意可得()0f x '=有两个不同实根，则由0∆>即可判断；对于B ，若123,,x x x 成等差数列，则(x 2,f (x 2))为()f x 的对称中心，即可判断；对于C ，结合图象，当0a >和0a <时，分类讨论即可判断；对于D ，由三次函数有三个不同的零点，结合韦达定理，即可判断.【详解】因为()32f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，0a ≠，对称中心,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ，因为()f x 有三个不同零点，所以()f x 必有两个极值点，即()2320f x ax bx c =++='有两个不同的实根，所以2Δ4120b ac =->，即23b ac >，故A 正确；对于B ，由123,,x x x 成等差数列，及三次函数的中心对称性，可知(x 2,f (x 2))为()f x 的对称中心，所以23bx a=-，故B 正确；对于C ，函数()()1g x f x =-，当g (x )=0时，()1f x =，为则1y =与y =f (x )的交点的横坐标即为1t ，2t ，3t ，当0a >时，画出()f x 与1y =的图象，由图可知，11x t <，33x t <，则1313x x t t +<+，当0a <时，则1313x x t t +>+，故C 错误；对D ，由题意，得()()()()()()32123321231a x x x x x x ax bx cx da x t x t x t ax bx cx d ⎧---=+++⎪⎨---=+++-⎪⎩，整理，得123123122331122331b x x x t t t ac x x x x x x t t t t t t a ⎧++=++=-⎪⎪⎨⎪++=++=⎪⎩，得()()()()2212312233112312233122x x x x x x x x x t t t t t t t t t ++-++=++-++，即222222123123x x x t t t ++=++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是利用交点式得到三次方程的韦达定理式再计算即可.三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12. 已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()3E X =，()2D X =，则n =_____.【答案】9【解析】【分析】根据二项分布的期望、方差公式，即可求得答案.【详解】由题意知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，()3E X =，()2D X =，则()3,12np np p =-=，即得1,93p n ==，故答案为：913. 已知平面向量a ，b 满足2a = ，1= b ，且b 在a上投影向量为14a - ，则ab + 为______.的【解析】【分析】由条件结合投影向量公式可求a b ⋅ ，根据向量模的性质及数量积运算律求a b +.【详解】因为b 在a上的投影向量为14a - ，所以14b a a a aa ⋅⋅=- ，又2a =，所以1a b ⋅=-，又 1= b ，所以a b +====14. 如图，已知四面体ABCD 体积为32，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，G ，H 分别在CD ，AD 上，且G ，H 是靠近D 点的四等分点，则多面体EFGHBD 的体积为_____.【答案】11【解析】【分析】连接,EG ED ，将多面体EFGHBD 被分成三棱锥G EDH -和四棱锥E BFGD -，利用题设条件找到小棱锥底面面积与四面体底面面积的数量关系，以及小棱锥的高与四面体的高的数量关系，结合四面体的体积即可求得多面体EFGHBD 的体积.【详解】如图，连接,EG ED ，则多面体EFGHBD 被分成三棱锥G EDH -和四棱锥E BFGD -.因H 是AD 上靠近D 点的四等分点，则14DHE AED S S = ，又E 是AB 的中点，故11114428DHE AED ABD ABD S S S S ==⨯= ，因G 是CD 上靠近D 点的四等分点，则点G 到平面ABD 的距离是点C 到平面ABD的距离的14，的故三棱锥G EDH -的体积1113218432G EDH C ABD V --=⨯=⨯=；又因点F 是BC 的中点，则133248CFGBCD BCD S S S =⨯= ，故58BFGD BCD S S = ，又由E 是AB 的中点知，点E 到平面BCD 的距离是点A 到平面BCD 的距离的12，故四棱锥E BFGD -的体积51532108216E BFGD A BCD V V --=⨯=⨯=，故多面体EFGHBD 的体积为11011.G EDH E BFGD V V --+=+=故答案为：11.【点睛】方法点睛：本题主要考查多面体的体积求法，属于较难题.一般的求法有两种：（1）分割法：即将多面体通过连线，作面的垂线等途径，将其分成若干可以用公式求解；（2）补形法：即将多面体通过辅助线段构造柱体，锥体或台体，利用整体体积减去个体体积等间接方法求解.四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 0a B A =.（1）求A ；（2）若sin sin 2sin B C A +=，且ABC V ，求a 的值.【答案】（1）π3A = （2）2a =【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到tan A =，从而得解；（2）利用正弦定理的边角变换，余弦定理与三角形面积公式得到关于a 的方程，解之即可得解.【小问1详解】因为sin cos 0a B A =,即sin cos a B A =，由正弦定理得sin sin cos A B B A ⋅=⋅，因为sin 0B ≠，所以sin A A =,则tan A =，又()0,πA ∈，所以π3A =.【小问2详解】因为sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理得2b c a +=，因为π3A =，所以11sin 22ABC S bc A bc === 4bc =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅，得224b c bc +-=，所以()234b c bc +-=，则()22344a -⨯=，解得2a =.16. 设()()221ln 2f x x ax x x =++，a ∈R .（1）若0a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）若a ∈R ，试讨论()f x 的单调性.【答案】（1）4230--=x y （2）答案见解析【解析】【分析】（1）由函数式和导函数式求出(1)f 和(1)f '，利用导数的几何意义即可写出切线方程；（2）对函数()f x 求导并分解因式，根据参数a 的取值进行分类讨论，由导函数的正负推得原函数的增减，即得()f x 的单调性.【小问1详解】当0a =时，()221ln 2f x x x x =+，()2(ln 1)f x x x '=+，因1(1),(1)22f f '==，故()f x 在1x =处的切线方程为12(1)2y x -=-，即4230--=x y ；【小问2详解】因函数()()221ln 2f x x ax x x =++的定义域为(0,)+∞，()(2)ln 2(2)(ln 1)f x x a x x a x a x '=+++=++，① 当2a e ≤-时，若10e x <<，则ln 10,20x x a +<+<，故()0f x '>，即函数()f x 在1(0,)e上单调递增；若1e x >，由20x a +=可得2a x =-.则当1e 2a x <<-时，20x a +<，ln 10x +>，故()0f x '<，即函数()f x 在1(,)e 2a-上单调递减；当2a x >-时，ln 10,20x x a +>+>，故()0f x '>，即函数()f x 在(,)2a-+∞上单调递增；② 当20e a -<<时，若1e x >，则ln 10,20x x a +>+>，故()0f x '>，即函数()f x 在1(,)e+∞上单调递增；若12e a x -<<，则ln 10,20x x a +<+>，故()0f x '<，即函数()f x 在1(,)2ea -上单调递减；若02a x <<-，则ln 10,20x x a +<+<，故()0f x '>，即函数()f x 在(0,)2a-上单调递增，③当2ea =-时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，④当0a ≥时，若1e x >，则ln 10,20x x a +>+>，故()0f x '>，即函数()f x 在1(,)e+∞上单调递增；若10e x <<，则ln 10,20x x a +<+>，故()0f x '<，即函数()f x 在1(0,e上单调递减；综上，当2e a <-时，函数()f x 在1(0,)e上单调递增，在1(,)e 2a -上单调递减，在(,)2a -+∞上单调递增；当2ea =-时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当20e a -<<时，函数()f x 在(0,2a -上单调递增，在1(,2e a -上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增；当0a ≥时，函数()f x 在1(0,e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增.17. 已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，,PD PB H =为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且BD ∥平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，,PA PC PA ==与平面ABCD 所成的角为60︒，求平面PAM 与平面AMN 所成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见详解（2【解析】【分析】（1）根据线面垂直可证BD ⊥平面PAC ，则BD PC ⊥，再根据线面平行的性质定理可证BD ∥MN ，进而可得结果；（2）根据题意可证⊥PO 平面ABCD ，根据线面夹角可知PAC 为等边三角形，建立空间直角坐标系，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】设AC BD O = ，则O 为,AC BD 的中点，连接PO ，因为ABCD 为菱形，则ACBD ⊥，又因为PD PB =，且O 为BD 的中点，则PO BD ⊥，AC PO O = ，,AC PO ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，且PC ⊂平面PAC ，则BD PC ⊥，又因为BD ∥平面AMHN ，BD ⊂平面PBD ，平面AMHN 平面PBD MN =，可得BD ∥MN ，所以MN PC ⊥.【小问2详解】因为PA PC =，且O 为AC 的中点，则PO AC ⊥，且PO BD ⊥，AC BD O = ，,AC BD ⊂平面ABCD ，所以⊥PO 平面ABCD ，可知PA 与平面ABCD 所成的角为60PAC ∠=︒，即PAC 为等边三角形，设AH PO G =I ，则,G AH G PO ∈∈，且AH ⊂平面AMHN ，PO ⊂平面PBD ，可得∈G 平面AMHN ，∈G 平面PBD ，且平面AMHN 平面PBD MN =，所以G MN ∈，即,,AH PO MN 交于一点G ，因为H 为PC 的中点，则G 为PAC 的重心，且BD ∥MN ，则23PM PN PG PB PD PO ===，设2AB =，则11,32PA PC OA OC AC OB OD OP ========，如图，以,,OA OB OP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则)()22,0,0,3,0,,1,0,,133AP M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()24,1,0,,0,33AM NM AP ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u uu r ，设平面AMN 的法向量()111,,x n y z =，则1111203403n AM y z n NM y ⎧⋅=++=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩，令11x =，则110,y z ==，可得(n =，设平面PAM 的法向量()222,,m x y z =，则2222220330m AM y z mAP z ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令2x =，则123,1y z ==，可得)m =u r，可得cos ,n m n m n m⋅===⋅r u rr u r r u r ，所以平面PAM 与平面AMN.18. 已知双曲线22:13y x Γ-=的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点.（1）若AB x ⊥轴，求线段AB 的长；（2）若直线l 与双曲线的左、右两支相交，且直线1AF 交y 轴于点M ，直线1BF 交y 轴于点N .（i ）若11F AB F MN S S = ，求直线l 的方程；（ii ）若1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，求直线l 的斜率的取值范围.【答案】（1）线段AB 的长为6；（2）（i ）直线l的方程为2x y =±+；（ii ）直线l的斜率的取值范围为33()(44- .【解析】【分析】（1）直接代入横坐标求解纵坐标，从而求出的值；（2）（i ）（ii ）先设直线和得到韦达定理，在分别得到两个三角形的面积公式，要求相等，代入韦达定理求出参数的值即可.【小问1详解】由双曲线22:13y x Γ-=的方程，可得221,3a b ==，所以1,2a b c ====，所以1(2,0)F -，2(2,0)F ，若AB x ⊥轴，则直线AB 的方程为2x =，代入双曲线方程可得(2,3),(2,3)A B -，所以线段AB 的长为6；【小问2详解】（i ）如图所示，若直线l 的斜率为0，此时l 为x 轴，,A B 为左右顶点，此时1,,F A B 不构成三角形，矛盾，所以直线l 的斜率不为0，设:2l x ty =+，1122()A x y B x y ,,(,)，联立22132y x x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得22(31)1290t y ty -++=，t 应满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，由根与系数关系可得121222129,3131t y y y y t t +=-=--，直线1AF 的方程为110(2)2y y x x -=++，令0x =，得1122y y x =+，点112(0,2y M x +，直线1BF 的方程为220(2)2y y x x -=++，令0x =，得2222y y x =+，点222(0,2y N x +，121122221111|||||2||2|F F F B A A F B F S y F S S F y y y -=⨯-==-，111212221||||||222F M N M F MN N S y y x y y y y x x =-=-=-++ 12122112212121212222(4)2(4)8()||||||44(4)(4)4()16y y y ty y ty y y ty ty ty ty t y y t y y +-+-=-==+++++++，由11F AB F MN S S = ，可得1212212128()||2||4()16y y y y t y y t y y -=-+++，所以21212|4()16|4t y y t y y +++=，所以222912|4()16|43131tt t t t ⨯+-+=--，解得22229484816||431t t t t -+-=-，22916||431t t -=-，解得22021t =，经检验，满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，所以t =所以直线l的方程为2x y =±+；（ii ）由1F ，2F 恒在以MN 为直径的圆内部，可得2190F MF >︒∠，所以110F F N M < ，又112211,22(2,)(2,22F y y N x x M F =+=+ ，所以1212224022y y x x +⨯<++，所以121210(2)(2)y y x x +<++，所以1221212104()16y y t y y t y y +<+++，所以2222931109124()163131t t t t t t -+<⨯+-+--，所以22970916t t -<-，解得271699t <<43t <<或43t -<<，经检验，满足222310Δ14436(31)0t t t ⎧-≠⎨=-->⎩，所以直线l的斜率的取值范围为33((44- .【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法：（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合12⨯底⨯高，表示出三角形的面积；（2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为12211||||2F F y y ⨯-或121||||2AB x x ⨯-.19. 已知{}n a 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于*k ∈N ，设集合{}*k i B i a k =∈<N ∣，设k b 为集合k B 中的元素个数，当k B =∅时，规定0k b =.（1）若2n a n =，求1b ，2b ，17b 的值；（2）若2n n a =，设n b 的前n 项和为n S ，求12n S +；（3）若数列{}n b 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）12170,1,4b b b === （2）1(1)22n n +-⨯+ （3）n a n =【解析】【分析】（1）根据集合新定义，利用列举法依次求得对应值即可得解；（2）根据集合新定义，求得12,b b ，121222i i i b b b i +++==== ，从而利用分组求和法与裂项相消法即可得解.（3）通过集合新定义结合等差数列性质求出11a =，然后利用反证法结合数列{}n a 的单调性求得11n n a a +-=，利用等差数列定义求解通项公式即可；【小问1详解】因为2n a n =，则123451,4,9,16,25a a a a a =====，所以{}*11i B i a =∈<=∅N ∣，{}*22{1}i B i a =∈<=N ∣，{}*1717{1,2,3,4}i B i a =∈<=N ∣，故12170,1,4b b b ===.【小问2详解】因为2n n a =，所以123452,4,8,16,32a a a a a =====，则**12{|1},{|2}i i B i a B i a =∈<=∅=∈<=∅N N ，所以10b =，20b =，当122i i k +<≤时，则满足i a k <的元素个数为i ，故121222i i i b b b i +++==== ，所以()()()1112345672122822n n n n S b b b b b b b b b b b ++++=++++++++++++ 1212222n n =⨯+⨯++⨯ ，注意到12(1)2(2)2n n n n n n +⨯=-⨯--⨯，所以121321202(1)21202(1)2(2)2n n nS n n ++=⨯--⨯+⨯-⨯++-⨯--⨯ 1(1)22n n +=-⨯+.【小问3详解】由题可知11a ≥，所以1B =∅，所以10b =，若12a m =≥，则2B =∅，1{1}m B +=，所以20b =，11m b +=，与{}n b 是等差数列矛盾，所以11a =，设()*1n n n d a a n +=-∈N，因为{}n a 是各项均为正整数的递增数列，所以*n d ∈N ，假设存在*k ∈N 使得2k d ≥，设k a t =，由12k ka a +-≥得12k a t++≥，由112k k a t t t a +=<+<+≤得t b k <，21t t b b k ++==，与{}n b 是等差数列矛盾，所以对任意*n ∈N 都有1n d =，所以数列{}n a 是等差数列，1(1)n a n n =+-=.【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.。

河南省部分学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

河南省部分学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题一、单选题1．函数tan y x =的值域可以表示为（）A ．{tan }xy x =∣B ．{tan }yy x =∣C ．{(,)tan }x y y x =∣D ．{tan }y x =2．若“sin 2θ=”是“tan 1θ=”的充分条件，则θ是（）A ．第四象限角B ．第三象限角C ．第二象限角D ．第一象限角3．下列命题正确的是（）A ．x ∃∈R ，20x <B ．(0,4)x ∀∈，20log 2x <<C ．(0,)x ∃∈+∞，132x x <D ．π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，4sin cos x x =4．函数24()f x x x =-的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．5．已知向量1e ，2e 满足121e e == ，120e e ⋅= ，则向量1e 与12e e - 的夹角为（）A ．45︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒6．已知5πtan210α+=，则4π5tan 5α-=（）A ．125B ．125-C ．43D ．43-7．已知0a >，0b >，9a b +=，则36a ba+的最小值为（）A ．8B ．9C ．12D ．168．若0x ∀>，()()()21ln 10x ax ax ---≥，则a =（）AB C D 二、多选题9．已知函数sin()()2x f x -=，则（）A ．()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．()f x 为奇函数C ．()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 的最小正周期为2π10．国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费(0)x x >元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（）A ．当0200x <<时，应进甲商场购物B ．当200300x ≤<时，应进乙商场购物C ．当400500x ≤<时，应进乙商场购物D ．当500x >时，应进甲商场购物11．已知函数()f x 满足：①x ∀，R y ∈，()[()]y f xy f x =；②(2)1f ->，则（）A ．(0)0f =B ．()()()f x y f x f y +=⋅C ．()f x 在R 上是减函数D ．[1,3]x ∀∈，()2(3)1f x kx f x -⋅-≥，则3k ≥三、填空题12．已知函数()1ln(2)f x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为．13．已知函数()cos (0)f x x ωω=>，若π2f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，则ω的值是．14．若ABC V 内一点P 满足PAB PBC PCA α∠=∠=∠=，则称P 为ABC V 的布洛卡点，α为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在ABC V 中，AB AC =，3cos 5BAC ∠=，若P 为ABC V 的布洛卡点，且2PA =，则BC 的长为．四、解答题15．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．(1)求A ；(2)若O 为ABC V 的外心，D 为边BC 的中点，且1OD =，求ABC V 周长的最大值．16．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan tan tan tan 1B C B C ++=，1b =，c =(1)求a ；(2)如图，D 是ABC V 外一点（D 与A 在直线BC 的两侧），且AC CD ⊥，45CBD ∠= ，求四边形ABDC 的面积．17．已知平面向量(,)m a b = ，(sin ,cos )n x x ωω=，且2m n = ，其中0a >，0ω>．设点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象（()f x 的部分图象如图所示）上．(1)求a ，b ，ω的值；(2)若()G x y ,是()y f x =图象上的一点，则1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，求()g x 在[0,π]上的单调递减区间．18．已知函数()2()e xf x x mx n =++，m ，n ∈R ．(1)当24m n =时，求()f x 的最小值；(2)当2m =-时，讨论()f x 的单调性；(3)当0m n ==时，证明：0x ∀>，()ln 1f x x >+．19．已知非零向量(,)a m n =，(,)b p q = ，a ，b 均用有向线段表示，现定义一个新的向量c以及向量间的一种运算“※”：(,)c a b mp nq mq np ==-+※．(1)证明：c 是这样一个向量：其模是a 的模的 b 倍，方向为将a绕起点逆时针方向旋转β角（β为x 轴正方向沿逆时针方向旋转到b所成的角，且02πβ≤<），并举一个具体的例子说明之；(2)如图1，分别以ABC V 的边AB ，AC 为一边向ABC V 外作ABD △和ACE △，使π2BAD CAE ∠=∠=，(01)AD AEAB AC λλ==<<．设线段DE 的中点为G ，证明：AG BC ⊥；(3)如图2，设(3,0)A -，圆22:4O x y +=，B 是圆O 上一动点，以AB 为边作等边ABC V （A ，B ，C 三点按逆时针排列），求||OC 的最大值．。

湖南师大附中2025届高三上学期月考(二)数学试卷(原卷版)

湖南师大附中2025届高三月考试卷（二）数学命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数11i z =+的虚部是（） A. 1 B. 12 C. 12− D. 1−2. 已知a 是单位向量，向量b 满足3a b −=，则b 的最大值为（） A. 2 B. 4 C. 3 D. 13. 已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（） A. 23− B. 13− C. 23 D. 134. 已知函数()2e 33,0,x a x f x x a x +−<= +≥ 对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x −>−，则实数a 的取值范围为（） A 34a ≤ B. 34a ≥ C. 1a ≤ D. 1a ≥ 5. 如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD −的体积为83，则圆柱的表面积为（）.A. 10πB. 9π2C. 4πD. 8π 6. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（）A. 52+B. 5+C. 10+D. 117. 设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x +=−.则()y f x =的图象与直线114y x =−的交点个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠−⋅=−，且()()()()()g x g y f x f y g x y −=−，则下列说法正确的是（）A. ()01f =B. ()f x 是偶函数C. 若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g −=− D. 若()()111g f −=，则()()202420242f g += 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法中正确的是（）A. 一个样本的方差()()()22221220133320s x x x =−+−++−，则这组样本数据的总和等于60 B. 若样本数据1210,,,x x x 标准差为8，则数据1221,21,x x −− ，1021x −的标准差为16C. 数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小10. 已知函数()32f x ax bx =−+，则（） A. ()f x 的值域为RB. ()f x 图象的对称中心为()0,2的C. 当30b a −>时，()f x 在区间()1,1−内单调递减D. 当0ab >时，()f x 有两个极值点11. 我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）A. 函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +−=的一个太极函数B. 对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C. 对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D. 若函数()()3f x kx kx k =−∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈− 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 曲线2ln y x x =−在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =−+相切，则a =__________. 13. 已知椭圆CC :xx 2aa 2+yy 2bb 2=1(aa >bb >0)的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c ，则椭圆C 的离心率为______. 14. 设函数()()44x f x ax x x =+>−，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +−=−. （1）求B ；（2）若ABC ，且2AD DC = ，求BD 的最小值.16. 已知双曲线E 的焦点在x (在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.17. 如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B −==P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.18. 若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3n n n a n b =−=，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由；（2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .19 已知函数()24e 2x f x x x−=−，()2233g x x ax a a =−+−−（a ∈R 且2a <）. （1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=−是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；的.（2）若()()f x g x ≥对任意()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.的。

黑龙江省龙东联盟2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

黑龙江省龙东联盟2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题一、单选题1．若集合{13},{14}A xx B x x =-<<=<<∣∣，则A B = （）A ．{14}x x -<<∣B ．{14}x x <<∣C ．{34}xx <<∣D ．{13}xx <<∣2．“π6θ=”是“1sin 2θ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数ln 2,0()25,0x x x f x x +>⎧=⎨-≤⎩，则(1)(0)f f +=（）A ．3-B ．−2C ．2D ．34．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 是底面圆周上异于,A B 的一点，若4AB =，当三棱锥D ABE -体积最大时，则点C 到平面BDE 的距离（）A ．2B．CD5．已知平面向量a 和b 满足||2||b a = ，b 在a 上的投影向量为a -，则a 在b 上的投影向量为（）A ．14b-B ．12b- C ．14bD ．12b6．已知首项为1的等比数列{}n a 的各项均为正数，且1326,,4a a a 成等差数列，若33nn a λ>恒成立，则λ的取值范围是（）A ．23λ>B ．23λ≥C ．1λ>D ．89λ>7．当[0,2π]x ∈时，曲线sin y x =与π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的.它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），点K 满足,(0,1]EK EB EN μμ=+∈，则直线BK 与平面ABE 所成角的正弦值（）A ．为定值3B ．存在最大值，且最大值为1C ．为定值1D ．存在最小值，且最小值为6二、多选题9．设复数12i,i,,,,R z a b z c d a b c d =+=+∈，则下列结论正确的是（）A ．1212z z z z ⋅=⋅B ．1212z z z z +=+C ．若120z z =，则10z =或20z =D ．若120z z ->，则12z z >10．已知236a b ==，则a ，b 满足（）A ．2log 6a =B ．a b ＜C ．111a b+<D ．4a b +>11．已知函数()f x 的定义域为R ，且103f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，若()()()9f x f y f x y xy -+=，则（）A ．(0)1f =B ．103f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 为减函数D ．函数()1y f x =-为奇函数三、填空题12．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片82块，往下每一层多铺2块，斜面上铺了瓦片19层，共铺瓦片块.13．已知函数2()()e x f x x c =-在2x =处有极大值，则c 的值为.14．如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形.C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接平行四边形，则四边形ABCD 的面积最大值为.四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*329,21n n S a a n ==+∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式(2)若3n n ab =，设数列的前n 项和为n T ，求2n T .16．已知,,a b c分别为ABC V 三个内角,,A B C 的对边，且cos sin 0a C C b +-=(1)求A ；(2)若2,cos a B A ==，求ABC V 的周长.17．已知函数2()(2)ln f x ax a x x =+--.(1)当0a =时，求函数()f x 在1x =处的切线;(2)当0a >时，若()f x 的极小值小于0，求a 的取值范围18．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABED 与四边形ACFD 均为直角梯形，,AD AB AD AC ⊥⊥，且点B C E F ，，，四点共面.(1)证明：（i ）平面//ABC 平面DEF ；（ii ）多面体ABCDEF 是三棱台；(2)若24AB AC AD DE DF AB AC =====⊥，，，动点P 在DEF 内部及边界上运动，且π4PAD ∠=，求异面直线AP 与FB 所成角的最小值.19．若12,,,n x x x 为(,)a b 上任意n 个实数，满足()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭，当且仅当12n x x x === 时等号成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”.也可设可导函数()f x 在(,)a b 上的导函数为(),()f x f x ''在(,)a b 上的导函数为()f x ''，当()0f x ''<时，函数()f x 在(,)a b 上的为“凸函数”.若12,,,n x x x 为(,)a b 上任意n 个实数，满足()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭，当且仅当12n x x x === 时等号成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凹函数”.也可设可导函数()f x 在(,)a b 上的导函数为(),()f x f x ''在(,)a b 上的导函数为()f x ''，当()0f x ''>时，函数()f x 在(,)a b 上的为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.(1)讨论函数1π(),0,tan 2f x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的凹凸性；(2)在锐角ABC V 中，求111tan tan tan A B C++的最小值；(3)若n 个正数()*12,,n a a a n N ∈ 满足121n a a a +++= ，证明:12121111nn na a a n a a a n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .。

2025届湖南省长沙市高三上学期11月月考数学试卷含答案

高三数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合1{2,1,0,1},|22x A B x 禳镲=--=£睚镲铪，则A B = （）A.{}1-B.{2,1}-- C.{1}D.{1,0,1}-【答案】B 【解析】【分析】根据条件求出集合B ，计算A B ⋂.【详解】由题意得，{}{}1|221x B x x x -=≤=≤-，∵{2,1,0,1}A =--，∴{2,}1A B ⋂=--.故选：B.2.若复数z 满足1i 12iz=-+，则z =（）A.1i -+B.13i+ C.1i+ D.3i+【答案】D 【解析】【分析】根据复数的乘法运算可得答案.【详解】若复数z 满足1i 12iz=-+，则()()1i 12i 12i i 23i z =-+=+-+=+.故选：D.3.已知()2e cos e x x xf x a=+是偶函数，则a =（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据偶函数的定义及性质直接判断.【详解】由()22e cos e cos e e x xx x x f x x a a==⋅++，设()2e e xx g x a =+，则()()cos f x g x x =⋅且cos y x =为偶函数，所以()2e e xx g x a=+为偶函数，所以()2e 1e g a =+，()12e 1e g a ---=+，且()()11g g =-，即122e e e e a a--=++，化简可得()()21e 10a --=，解得1a =，故选：C.4.,,A B C 三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，某中学有四名学生报名参加．若每名学生只能报一所大学，每所大学都有该中学的学生报名，且A 大学只有其中一名学生报名，则不同的报名方法共有（）A.18种B.21种C.24种D.36种【答案】C 【解析】【分析】按分步乘法计数原理，首先选一人去A 大学，然后将剩余的三位同学分为两组2，1，再分配到,B C 两所学校即可求解.【详解】第一步选一人去A 大学，则有14C 4=（种），第二步将剩余的三位同学以一组两人，一组一人进行分组，然后分配到,B C 两所学校，则有2232C A 6=（种），则不同的报名方法共有4624⨯=（种），故选：C.5.已知,,a b c 均为单位向量，且2ππ,,3,3a b a b c 〈〈+〉=〉=r r r r r ，则||()a b c t t ++∈R r r r的最小值为（）A.34B.2C.94D.32【答案】B 【解析】【分析】利用向量的模的计算可得||a t b c ++=r r r，结合二次函数可求最小值.【详解】因为,,a b c均为单位向量，且且2ππ,,3,3a b a b c 〈〈+〉=〉=r r r r r ，所以1||a b +====r r，||a b c t ++==r r r2==≥==，当12t =-时，()a b tc t ++∈R 的最小值为32.故选：B.6.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若202220242026,,8-S S S 成等差数列，2514,,a a a 成等比数列，则30S =（）A.900B.600C.450D.300【答案】A 【解析】【分析】由题意可得20242026202228S S S -+=，25214a a a = ，求得首项与公差，可求30S .【详解】等差数列的公差为d ，因为202220242026,,8-S S S 成等差数列，所以20242026202228S S S -+=，所以20242022202620248S S S S -=--，所以20242023202620258a a a a +=+-，所以48d =，2=d ，又因为2514,,a a a 成等比数列，所以25214a a a = ，所以2111(42)(2)(132)a a a +⨯=++⨯ ，解得1116642852a a +=+，解得11a =，所以3030(301)30129002S -=⨯+⨯=.故选：A.7.已知函数24()sin cos (0)ωωω=+>f x x x 的最小正周期为10，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.58B.34C.78D.1【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数的基本关系式与倍角公式化简()f x ，从而利用余弦函数的周期公式求得ω，进而代入52x =即可得解.【详解】()22422()sin cos sin 1sin f x x x x xωωωω=+=+-()2242221313sin sin 1sin 12sin 2444x x x xωωωω⎛⎫=-+=-+=-+⎪⎝⎭()21311317cos 2cos 41cos 44442488x x x ωωω=+=⨯++=+，又()f x 的最小正周期为10，所以2π104T ω==，解得π20ω=，则()1π7cos 858f x x =+，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1π577cos 85288⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭.故选：C.8.过抛物线22y x =上一动点P 作圆222:(4)-+=C x y r （r 为常数且*r ∈N ）的两条切线，切点分别为A ，B ，若AB PC ⋅的最小值是r =（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】设00(,)P x y ，利用圆的切线性质，借助图形的面积把AB PC ⋅表示为0x 的函数，再求出函数的最小值即可.【详解】设00(,)P x y ，则2002y x =，圆C 的圆心(4,0)C ，半径为r ，由,PA PB 切圆C 于点,A B ，得,,PC AB PA AC PB BC ⊥⊥⊥，则24222PAC PACB AB PC S S PA AC ⋅===⋅== 四边形2r ==当且仅当03x =时，等号成立，可知AB PC ⋅的最小值为2=整理可得427120r r -+=，解得24r =或23r =，且*r ∈N ，所以24r =，即2r =.故选：B.【点睛】关键点点睛：根据切线的性质，将AB PC ⋅转化为2PACB S 四边形，根据面积结合几何性质求解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量()2~1,X N σ，记(1),(13)>-=<<=P X a P X b ，则（）A.(3)<=P X aB.12a b -=C.(21)2()-=E X E X D.(21)4()D X D X -=【答案】ABD 【解析】【分析】根据正态分布的性质判断AB ；根据期望和方差的性质判断CD.【详解】由题意可知：1μ=，且132-+=μ，可得(3)(1)P X P X a <=>-=，故A 正确；且1(13)(11)(1)2P X P X P X <<=-<<=>--，即12b a =-，所以12a b -=，故B 正确；根据期望和方差的性质可知：(21)2()1-=-E X E X ，(21)4()D X D X -=，故C 错误，D 正确；故选：ABD.10.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，G 是棱11B C 上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为六边形B.点G 到平面AEF 的距离为定值C.若11111=++AG xA A y A E z A D uuu r uuu r uuu r uuuu r ，且1x y z ++=，则G 为棱11B C 的中点D.直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值的取值范围为1510,1510⎣⎦【答案】BCD 【解析】【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A ，利用线面平行的判定定理判断B ，利用空间向量推得1,,,A E D G 四点共面，结合面面平行的性质定理判断C ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D ，从而得解.【详解】对于A ，连接DF ，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，所以//,EF BC EF BC =，//,AD BC AD BC =，所以//,EF AD EF AD =，则平面AEF 与平面AEFD 为同一平面，所以平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为平面AEFD ，为四边形，故A 错误；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，所以11//B C EF ，又EF ⊂平面AEF ，11B C ⊄平面AEF ，所以11//B C 平面AEF ，又点G 是棱11B C 上的一个动点，所以点G 到平面AEF 的距离为定值，故B 正确；对于C ，连接111,,,AD D G GE BC ，因为11111=++AG xA A y A E z A D uuu r uuu r uuu r uuuu r ，且1x y z ++=，所以1,,,A E D G 四点共面，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11//ADD A 平面11BCC B ，又平面11ADD A ⋂平面11AEGD AD =，平面11BCC B 平面1AEGD GE =，所以1//AD GE ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111//,AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 是平行四边形，则11//AD BC ，则1//GE BC ，因为E 为棱1BB 的中点，所以G 为棱11B C 的中点，故C 正确；对于D ，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图，设()102C G x x =≤≤，则()()()()2,0,0,2,2,1,0,2,1,,2,2A E F G x ，所以()()()0,2,1,2,0,0,2,2,2AE EF AG x ==-=-，设平面AEF 的法向量为，则2020AE n b c EF n a ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1b =，则0,2a c ==-，故()0,1,2n =-，设直线AG 与平面AEF 所成角为π02θθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则sin cos ,AG n AG n AG nθ⋅=〈〉==，因为02x ≤≤，所以()2024x ≤-≤，则≤≤所以1510=≤≤=，所以直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值的取值范围为1510,1510⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.11.已知正项数列{}n a 满足21135+-=-n n n a a a 且4311110---=a ka ka ，则下列说法正确的（）A.若32k =，则20243a = B.若20243a =，则32k =C.若83k =，则211+=n a a D.若211+=n a a ，则83k =或32【答案】AC 【解析】【分析】代入32k =，由因式分解解出12a =，再由递推关系确定数列的性质可得A 正确；代入83k =，由因式分解解出13a =，再由递推关系确定数列的性质可得C 正确；举反例设正项数列为常数列，利用求根公式求出1a 可得D 错误；分20232a =或7讨论，当20237a =时由求根公式求出n a ，再结合二次函数的性质判断为递减数列，可得B 错误；【详解】对于A ，若32k =，则43111331022a a a ---=，即()()()211112220a a a ++-=，因为0n a >，所以12a =，因为21135+-=-n n n a a a ，所以12221121335325a a a --===-⨯-，同理22322131235335a a a --===-⨯-，L 即数列为奇数项为2，偶数项为3的数列，（也称为不动点数列）所以20243a =，故A 正确；对于C ，若83k =，则43111881033a a a ---=，即()()()211113130a a a ++-=，因为0n a >，所以13a =，或113a =-（舍去）由A 选项的解析可得232,3,a a == ，即数列为奇数项为3，偶数项为2的数列，所以211+=n a a ，故C 正确；对于D ，假设正项数列为常数列，则21135n n n n a a a a +-==-，即20251n n a a -+=，解得54n a ±=，又4311110---=a ka ka ，即()()22111110a a ka +--=，即21110a ka --=，取154a +=代入上式，此时k 为无理数，当154a +=，满足211+=n a a ，此时32k ≠且k ≠83，故D 错误；对于B ，若20243a =，由20232024202231335a a a -==-，即2202320239140a a -+=，解得20232a =或7，当20232a =时，由A 解析可得，此时正项数列为不动点的奇偶常数列，此时32k =；当20237a =时，由21135+-=-n n n a a a 变形为1125103n n n n a a a a ++-+-=，解得13nn a a +=±不妨取13n n a a +=+，若0∆>，则1n n a a +>，现在考虑2119204n n a a ++∆=-+，由二次函数关系可得开口向上，对称轴为109，当17n a +≥时，判别式恒大于零，所以1n n a a +>，所以正项数列为递减数列，此时1a 要大于2或3，此时32k ≠，故B 错误故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题关键点有两个，其一是能由已知递推关系发现数列为不动点型数列，（不要尝试去求解数列的通项，因为二次幂型递推关系可能有两个通项，难以判断），然后由选项入手可解决ACD ，其二时能发现数列为递减数列可判断B 选项.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()()ln f x x a x =+的图象在点()()1,1f 处的切线斜率为3，则实数a =________．【答案】2【解析】【分析】对函数()()ln f x x a x =+求导，利用导数的几何意义可得(1)3f '=即可求得实数a 的值.【详解】由()ln x af x x x+'=+，则1(1)ln1131af a +'=+=+=，解得2a =，故答案为：2.13.已知AB ⊂平面,AC α⊥平面,,α⊥BD AB BD 与平面α所成的角为30︒，且C ，D 两点在平面α的同一侧，2,3BD AB AC ===，则CD =________．【答案】【解析】【分析】过点D 作1DD ⊥平面α，由线面角定义可知1=30DBD ∠︒，则1=60BDD ∠︒，进一步可得,120CA BD <>=︒ .由图可得CD CA AB BD =++，再利用模长的定义求值即可.【详解】由AC ⊥平面α，AB ⊂平面α，可知AC AB ⊥，过点D 作1DD ⊥平面α，1D 为垂足，连接1BD ，则1DBD ∠为与α所成的角，即130DBD ∠︒＝，所以160BDD ∠︒＝，因为AC ⊥平面α，1DD ⊥平面α，所以1//AC DD ，所以,60CA DB =︒ ，所以,120CA BD <>=︒ .又CD CA AB BD =++ ，所以22()CD CA AB BD =++ 222222CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++⋅+⋅+⋅ ，因为,BD AB AC AB ⊥⊥，所以0,0BD AB AC AB ⋅=⋅=，故22222CD CA AB BD CA BD =+++⋅ 222322232cos120=+++⨯⨯⨯︒11=，所以CD =CD ..14.已知实数x ，y 满足2332log log 1log 1log 4423,3233++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭xxyyx y ，则xy=________．【答案】3【解析】【分析】设23log ,log x t y s ==，利用同构结合二次方程的解可得331223s t⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可求x y 的值.【详解】设23log ,log x t y s ==，则2,3t s x y ==，故11114423,3233t t s s t s ++++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即11114423,3233s t st t s ++++⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得到：223333231,2312222ttss⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯=⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故33,22st⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为方程2231a a ⨯+⨯=的正根，故331223st⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故t s =，故233tx y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故答案为：3.【点睛】思路点睛：与对数有关的求值问题，应该利用指对数的转化把对数问题转化指数问题来处理，转化过程中注意观察所得代数式的结构便于利用同构策略处理,四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知11n n S a +=-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设222,1,log log n n nn a n b n a a +⎧⎪=⎨⎪⋅⎩为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前20项和20T ．【答案】（1）12n n a -=；（2）104137+.【解析】【分析】（1）根据1(2)n n n a S S n -=-≥得等比数列公比为2，结合条件计算1a 的值，得到{}n a 的通项公式.（2）由（1）计算n b ，利用分组求和的方法得出数列{}n b 的前20项和.【小问1详解】当2n ≥时，111(1)(1)n n n n n n n a S S a a a a -++=-=---=-，∴12(2)n n a a n +=≥，∴等比数列{}n a 的公比2q =.当1n =时，由11n n S a +=-得121a a =-，即1121a a =-，解得11a =，∴1112n n n a a q--==.【小问2详解】由题意得，当n 为奇数时，12n n n b a -==，当n 为偶数时，112211111(log 2log 2(1)(1)211n n n n n n n b -+==-×-+-+=，∴100241810135191(14)12222(41)143b b b b ´-++++=+++==´-- ，2462011111111(1)()()()2335571921b b b b 轾++++=´-+-+-++-犏犏臌 1110(1)22121=´-=，∴20123201351924620()()T b b b b b b b b b b b b =++++=+++++++++ 101011041(41)32137=-+=+.16.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22cos cos 2cos +=c C B b C a ．（1）求C ；（2）若223cos cos cos =++-C A B a b ab，求ABC V 的面积．【答案】（1）π3（2【解析】【分析】（1）根据条件，边转角得到2cos (sin cos sin cos )sin C C B B C A +=，再利用正弦的和角公式得到1cos 2C =，即可求角；（2）利用（1）中结果及条件，结合正弦定理，得到2sin sin 1R A B =，再利用三角形的面积公式，即可求解.【小问1详解】由22cos cos 2cos +=c C B b C a ，得到22sin cos cos 2sin cos sin C C B B C A +=，即2cos (sin cos sin cos )sin C C B B C A +=，得到2cos sin()sin C B C A +=，又sin()sin(π)sin B C A A +=-=，(0,π)A ∈，所以1cos 2C =，又(0,π)C ∈，得到π3C =.【小问2详解】由（1）知π3C =，因为223cos cos cos =++-C A B a b ab又222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，所以23cos cos cos cos[π()]cos cos cos()cos cos C A B A B A B A B A B c=+=-++=-++cos cos sin sin cos cos sin sin B A B A B A B =-++=，即23sin sin A B c=，又由正正弦定理得2sin 32c R C ==，即c =，其中R 为ABC V 外接圆的半径，所以2sin sin 1R A B =，所以ABC V的面积为21sin sin )(2sin )sin sin 244S ab C R A R B A B =====17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面,ABCD ABC是边长为2AD =，23ADC ∠=π．（1）证明：平面PCD ⊥平面PBC ；（2）若平面PAD 与平面PBC 夹角的余弦值为217，求PC 的长．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到2DC =，从而得到DC CB ⊥，利用线面垂直的性质得到PC CB ⊥，进而得到⊥BC 面PCD ，再利用面面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）建立空间直角坐标系，设PC a =，求出平面PAD 与平面PBC 的法向量，利用面面角的向量法，得217=，即可求解.【小问1详解】在ADC△中，2AD=，AC=，23ADC∠=π，由余弦定理2222cosAC DA DC DA DC ADC=+-⋅∠，得到2280DC DC+-=，解得2DC=，所以2DA DC==，得到π6DCA∠=，又π3ACB∠=，所以π2DCB∠=，即DC CB⊥，又PC⊥平面ABCD，CB⊂面ABCD，所以PC CB⊥，又PC DC C⋂=，,PC DC⊂面PCD，所以⊥BC面PCD，又⊂BC面PBC，所以平面PCD⊥平面PBC.【小问2详解】以,,CD CB CP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设PC a=，因为2DC=，BC=，π3ACB∠=，则(0,0,0),(2,0,0),(0,(3,(0,0,)C D B A P a，则(2,0,)DA DP a==-，设平面PAD的一个法向量为(,,)n x y z=，则n DPn DA⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得到20xx az⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取x a=，得到3,23y a z=-=，即3(,,2)3n a a= ，易知平面PBC的一个法向量为(1,0,0)m=，设平面PAD与平面PBC的夹角为θ，则21cos cos,7n mn mn mθ⋅====⋅，整理得到24a=，解得2a=，所以2PC=.18.已知双曲线C 的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过 h ，()4,3B -两点．（1）求C 的方程；（2）设P ，M ，N 三点在C 的右支上，BM AP ∥，AN BP ∥，证明：（ⅰ）存在常数λ，满足O M OP N O λ+=；（ⅱ）MNP 的面积为定值．【答案】（1）22143x y -=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）设C 的方程为221mx ny -=，其中0mn <．由C 过A ，B 两点，代入解得14m =，13n =即可.（2）（ⅰ）设 h h ，，，其中0i x >，223412i i x y -=，0,1,2i =．因为//BM AP ，所以直线BM 的斜率为0102y k x =+，方程为()134y k x -=+．联立()2211,4334x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪-=+⎩结合韦达定理得到00122x y x =+，100322y x y =+．同理00222x y x =-，200322y x y =-+．再结合向量运算即可解决.（ⅱ）结合前面结论，运用点到直线距离公式，三角形面积公式可解.【小问1详解】设C 的方程为221mx ny -=，其中0mn <．由C 过A ，B 两点，故41m =，1691m n -=，解得14m =，13n =．因此C 的方程为22143x y -=．【小问2详解】（ⅰ）设 h h ，，，其中0i x >，223412i i x y -=，i ＝0，1，2．因为//BM AP ，所以直线BM 的斜率为0102y k x =+，方程为()134y k x -=+．由()22114334x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪-=+⎩，得()()()22211113484344330k x k k x k ⎡⎤--+-++=⎣⎦，所以()()211214433434k x k ⎡⎤-++⎣⎦-=-，()()()22200001112221001624212216241234324y y x x k k x k x y ++++++==-+-()()()()22000000012424212222122x y x x x y x -++++==++．因此()()()00011100000224334332232222y x y y k x y x y x ++=++=+=+-+=++．同理可得直线AN 的斜率为02034y k x -=+，直线AN 的方程为()22y k x =+．由()2221432x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得()()2222222341616120k x k x k ---+=，所以()222221612234k x k -+-=-，2222200000022222200008(3)6(4)6848()16886343(4)4(3)24(1)y x x y x y k x k x y x y -++++-++===-+--++222200000000006814(34)48()2224(1)x y x y x y x y x y ++-+-==-++，因此00000222000(3)(222)2(3)(3)(2)2(3)44y x y y y y k x y x x --+-+=+==--++00003326(4)222y x x y =---=-+．则()004,44OM ON x y OP +== ，即存在4λ=，满足O M OP N O λ+= ．（ⅱ）由（ⅰ），直线MN 的方程为()00003224x y y x x y -=-，所以点P 到直线MN 的距离1d =而4MN y ==所以MNP △的面积1162S d MN ==为定值．【点睛】难点点睛：本题属于中难题，考查直线与双曲线．本题第（1）小问设问基础，但需要注意所设方程的形式；第（2）（ⅰ）小问在题干条件翻译上未设置较多障碍，但是对4个坐标分量的求解非常考验学生的代数基本功和计算能力，区分度较大．19.帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．给定自然数m ，n ，我们定义函数()f x 在0x =处的[,]m n 阶帕德近似为011()1m m nn a a x a x R x b x b x +++=+++ ，该函数满足()()(0)(0),(0)(0),(0)(0),,(0)(0)m n m n f R f R f R f R ++''''''====L ．注：[][](3)()(1)()(),()(),,()()-''''''''⎡⎤===⎣⎦n n f x f x f x f x f x f x L ．设函数()x f x e =在0x =处的[0,1]阶帕德近似为()R x ．（1）求()R x 的解析式；（2）证明：当1x <时，()()≤f x R x ；（3）设函数21()e 1=--+xg x x kx ，若0x =是()g x 的极大值点，求k 的取值范围．【答案】（1）1()1R x x=-；（2）证明见解析；（3）12k <.【解析】【分析】（1）由题意设()1aR x bx=+，结合帕德近似的定义及导数运算求参数，即可得解析式；（2）构造()()(1)e ()x f x h x x R x ==-且1x <，利用导数研究其单调性并判断()h x 与1的大小关系，即可证结论；（3）利用定义求()xf x e =在0x =处的[0,2]阶帕德近似函数01212()1a R x b x b x =++，并研究1()()()f x k x R x =的极值确定12k =为界点，再讨论12k >、102k <<、0k <并结合导数判断0x =是否为()g x 的极大值，即可求范围.【小问1详解】由题意，可设()1aR x bx=+，且(0)(0)f R =，则1a =，而()e x f x '=，2()(1)abR x bx '=-+，且(0)(0)f R ''=，则11ab b b -=-=⇒=-，所以1()1R x x=-.【小问2详解】当1x <时，恒有()0,1()0R x f x >>>，令()()(1)e ()x f x h x x R x ==-，且1x <，则()e x h x x '=-，当0x <时，()0h x '>，即()h x 在(,0)-∞上递增；当01x <<时，()0h x '<，即()h x 在(0,1)上递减；所以()(0)1h x h ≤=，故()()≤f x R x ，得证.【小问3详解】令()x f x e =在0x =处的[0,2]阶帕德近似为01212()1a R x b x b x =++，由(0)(0)f R =，则01a =，故12121()1R x b x b x =++，由12122122()(1)b b x R x b x b x +'=-++，()e xf x '=，而1(0)(0)R f ''=，则1111b b -=⇒=-，所以2122212()(1)b x R x x b x -'=-+，故2222212322(1)2(12)()(1)b x b x b x R x x b x --++-''=-+，由()e x f x ''=，而1(0)(0)R f =''''，则2212212b b -+=⇒=，综上，121()12R x x x =-+，且R x ∈，令221()(1)1()(1)e e 0()22x x f x x x k x x R x -+==-+=⋅>，则2e ()02xx k x '=≥恒成立，所以()k x 在R 上递增，即(0)1k =，故(,0)x ∈-∞时0()1k x <<，(0,)x ∈+∞时()1k x >，所以(,0)x ∈-∞时1()()f x R x <，(0,)x ∈+∞时1()()f x R x >，此时，12k =时0x =不是()g x 极值点；以12k =为界，讨论如下：由连续函数2()()e ()[(21)1]e x x m m x k x x x kx x k -+'=⇒=+-，当12k >，则1()[(2)]e x m x x x k k'=+-，而120k ->，在1(2,0)k-上()0m x '<，()m x 递减，在(0,)+∞上()0m x '>，()m x 递增，则1())(0m m x ≥=，所以，在0x =两侧21()e 0(0)1xg x g x kx =-≥=-+恒成立，0x =是极小值点；当102k <<，则1()[(2)]e x m x x x k k '=+-，而120k-<，在(,0)-∞上()0m x '>，()m x 递增，在1(0,2)k-上()0m x '<，()m x 递减，则()(0)1m x m ≤=，所以，在0x =两侧21()e 0(0)1xg x g x kx =-≤=-+恒成立，0x =为极大值点；当0k =，有()e x m x x '=-，在(,0)-∞上()0m x '>，()m x 递增，在(0,1)上()0m x '<，()m x 递减，则()(0)1m x m ≤=，所以，在0x =两侧21()e 0(0)1xg x g x kx =-≤=-+恒成立，0x =为极大值点；当0k <，则1()[(2x m x x x k k '=+-，而120k ->，在1(2,0)k -上()0m x '>，()m x 递增，在(0,)+∞上()0m x '<，()m x 递减，则()(0)1m x m ≤=，所以，在0x =两侧21()e 0(0)1x g x g x kx =-≤=-+恒成立，0x =为极大值点；综上，12k <.【点睛】关键点点睛：第三问，利用帕德近似及导数知识确定12k =为界点，再讨论参数并利用导数研究2()()e 1x x x kx m -+=单调性，及与1的大小关系为关键.。

上海市建平中学2023届高三上学期11月月考数学试卷(解析版)

【详解】由题知，乙组的中位数为65，所以，
所以平均数
，
解得．
故答案为: ，
4.已知的展开式中，若第7项为常数项，则的值为______．
【答案】9
【分析】根据二项式定理的通项展开即可.
【详解】由题知，
，
因为第7项为常数项.
所以当时， ,
所以
故答案为：
5.已知函数的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的值为______.
【答案】（1）；（2）2．
【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出 .
试题解析：（1），∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ；
（2）由（1）可知，
∵ ，∴ ，
∴ ，
则的前20项和为
．
20.已知二次曲线的方程：．
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件：
（2）若双曲线与直线有公共点且实轴最长，求双曲线方程：
（3）、为正整数，且，是否存在两条曲线，其交点与点满足？若存在，求、的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）时．方程表示椭圆；时，方程表示双曲线；
故选：B.
【点睛】此题考查大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题．
15.已知抛物线的焦点为，、、为抛物线上三点，当时，称为“特别三角形”，则“特别三角形”有（）
A.1个B.2个C.3个D.无数个
【答案】D
【分析】根据向量表达式可以确定是的重心，根据重心的性质进行判断即可.
【详解】抛物线方程为，A、B、C为抛物线E三点，当满足时时，F为的重心，连接并延长至D，使，当D在抛物线内部时，存在以D为中点的弦，则这样的三角形有无数个．故“特别三角形”有无数个，

河南省部分学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题含答案

高三数学（答案在最后）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数，三角函数、三角恒等变换，解三角形、平面向量．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数tan y x =的值域可以表示为（）A.{tan }xy x =∣ B.{tan }yy x =∣C.{(,)tan }x y y x =∣D.{tan }y x =【答案】B 【解析】【分析】根据函数的值域是指函数值组成的集合，即可判断.【详解】因函数的值域是指函数值组成的集合，故对于函数tan y x =，其值域可表示为：{tan }yy x =∣.故选：B.2.若“sin 2θ=-”是“tan 1θ=”的充分条件，则θ是（）A .第四象限角B.第三象限角C.第二象限角D.第一象限角【答案】B 【解析】【分析】根据角θ的正切值与正弦值的正负判断象限即可.【详解】由题可知，sin 02θ=-<，则θ是第三象限角或第四象限角；又要得到tan 10θ=>，故θ是第三象限角.故选：B3.下列命题正确的是（）A.x ∃∈R ，20x <B.(0,4)x ∀∈，20log 2x <<C.(0,)x ∃∈+∞，132x x< D.π0,2x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，4sin cos x x =【答案】C 【解析】【分析】对于选项A:利用指数函数的值域即可判断；对于选项B:利用对数函数的单调性求出值域即可判断；对于选项C:采用特殊值法，令14x =即可判断;对于选项D:令4sin cos 2sin 2y x x x ==，结合三角函数的值域求解验证即可.【详解】对于选项A:因为指数函数2x y =的值域为0,+∞，故x ∀∈R ，20x >，故选项A 错误；对于选项B:因为对数函数2log y x =在(0,4)x ∈上单调递增，所以当(0,4)x ∈时，()2log ,2y x ∞=∈-，故选项B 错误；对于选项C:令14x =,则311464⎛⎫= ⎪⎝⎭，121142⎛⎫= ⎪⎝⎭，显然11642<，故(0,)x ∃∈+∞，使得132x x <成立，故选项C 正确;对于选项D:结合题意可得：令4sin cos 2sin 2y x x x ==，因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,πx ∈，所以(]2sin 20,2y x =∈，2>，故不存在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得4sin cos x x =,故选项D 错误.故选：C.4.函数24()f x x x =-的大致图象是（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先确定函数的奇偶性，排除两选项，再根据特殊点的函数值的正负，选出正确答案.【详解】函数24y x x =-是偶函数，图象关于y 轴对称，排出选项A 、B ；再取特殊值12x =和2x =，可得函数的大致图象为C ，故选：C .5.已知向量1e ，2e 满足121e e == ，120e e ⋅= ，则向量1e 与12e e -的夹角为（）A.45︒B.60︒C.120︒D.135︒【答案】A 【解析】【分析】利用向量夹角的计算公式计算即可.【详解】由题可知()21121121e e e e e e ⋅-=-⋅=，12e e -==，121e e == 所以()1121121122cos ,2e e e e e e e e e ⋅--===-故向量1e 与12e e -的夹角为45︒故选:A 6.已知5πtan 210α+=，则4π5tan 5α-=（）A.125 B.125-C.43D.43-【答案】C 【解析】【分析】先确定两个角的关系，然后利用三角恒等变换公式求解即可.【详解】由题可知，5π4π52π105αα+-⨯+=25π2tan5π4410tan 25π101431tan 10ααα++⎛⎫⨯===- ⎪+-⎝⎭-所以有4π55π5π4tan tan π2tan 2510103ααα-++⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C7.已知0a >，0b >，9a b +=，则36a ba+的最小值为（）A.8B.9C.12D.16【答案】A 【解析】【分析】我们观察形式，显然分式的分子和分母同时有变量，所以令()364a b =+代入化简，然后利用基本不等式求解即可.【详解】43644448b a b a a a b b a a b a +=+=++≥+=+当且仅当4b aa b=，9a b +=，即26a b ==时等号成立；故选：A8.若0x ∀>，()()()21ln 10x ax ax ---≥，则a =（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先将两个乘积看做两个函数()21,ln 1y x ax y ax =--=-，易知要使0x ∀>时，()21(ln 1)0xax ax ---≥，则需要两函数()21,ln 1y x ax y ax =--=-同号，所以我们需要去找他们零点，0x >时零点相同，然后求解参数a 即可.【详解】由题易知0a >，当ex a=时，()ln 10ax -=；由对数函数的性质可知，当e 0,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()ln 10ax -<；当e ,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()ln 10ax ->；显然函数21y x ax =--有两个根12,x x ，不妨令12x x <，则120x x <<由二次函数的图像可知，()20,x x ∈时，210x ax --<；()2,x x ∞∈+时，210x ax -->故要使()()()21ln 10x ax ax ---≥恒成立，则2ex a=所以有2e e 10aa a ⎛⎫-⨯-= ⎪⎝⎭，解得a =故选：D【点睛】关键点点睛：当两个式子相乘大于等于零时，两个式子必定同为负或者同为正，或者有一个为零.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数sin()()2x f x -=，则（）A.()f x 的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.()f x 为奇函数C.()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.()f x 的最小正周期为2π【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A:利用换元()sin t x =-，再结合指数函数的单调性即可求出值域；对于选项B:利用奇偶性的定义说明即可；对于选项C :结合复合函数的单调性即可判断；对于选项D :借助三角函数的周期，以及周期函数的定义即可判断.【详解】对于选项A:由sin()()2x f x -=，令()sin t x =-，则2t y =，[]1,1t ∈-，因为2t y =在[]1,1t ∈-上单调递增，所以12,22ty ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故选项A 正确；对于选项B:由sin()()2x f x -=可知(),x ∞∞∈-+，对任意的(),x ∞∞-∈-+，因为sin ()2x f x -=，而sin ()2x f x -=，易验证()(),f x f x -≠-故()f x 不是奇函数，故选项B 错误；对于选项C :结合选项A 可知()sin t x =-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，而2t y =在定义域上单调递增，由复合函数的单调性可得sin()()2x f x -=在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，故选项C 错误；对于选项D :因为()sin t x =-的最小正周期为2πT =，所以sin(2π)sin()(2π)22()x x f f x x ---==+=，所以()f x 的最小正周期为2π，故选项D 正确.故选：AD.10.国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费(0)x x >元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（）A.当0200x <<时，应进甲商场购物B.当200300x ≤<时，应进乙商场购物C.当400500x ≤<时，应进乙商场购物D.当500x >时，应进甲商场购物【答案】AC 【解析】【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可.【详解】当0200x <<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为x ，0.84x x >，故应进甲商场，所以选项A 正确；当200300x ≤<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为40x -，400.840.1640x x x --=-，因为200250x ≤<，所以80.16400x -≤-<，400.84x x -<，进入乙商场，当250300x ≤<故400.84x x ->应进甲商场，所以选项B 错误；当400500x ≤<时，甲商场的费用为0.84x ，乙商场的费用为80x -800.840.1680x x x --=-，因为400500x ≤<，所以160.16800x -≤-<故800.84x x -<，所以应进乙商场，所以选项C 正确；假设消费了600，则在甲商场的费用为6000.84504⨯=，在乙商场的费用为600120480-=，所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D 错误.故选：AC11.已知函数()f x 满足：①x ∀，R y ∈，()[()]y f xy f x =；②(2)1f ->，则（）A.(0)0f = B.()()()f x y f x f y +=⋅C.()f x 在R 上是减函数 D.[1,3]x ∀∈，()2(3)1f x kx f x -⋅-≥，则3k ≥【答案】BCD 【解析】【分析】取2,0x y =-=可求(0)f ，判断A ，取12,2x y =-=-证明()011f <<，取1x =可得()[(1)]y f y f =，由此可得()[(1)]x f x f =，结合指数运算性质和指数函数性质判断BC ，选项D 的条件可转化为当[1,3]x ∈，31x k x+-≤恒成立，结合函数性质求结论.【详解】因为x ∀，R y ∈，()[()]y f xy f x =，(2)1f ->取2,0x y =-=可得01(0)[(2)]f f =-=，A 错误；取12,2x y =-=-可得12(1)[(2)]f f -=-，又(2)1f ->，所以()011f <<，取1x =可得，()[(1)]y f y f =，所以()[(1)]x f x f =，其中()011f <<，所以()()()()()()111x yx yf x y f f f f x f y ++===，B 正确，由指数函数性质可得()[(1)]x f x f =，其中()011f <<在R 上单调递减，所以()f x 在R 上是减函数，C 正确；不等式()2(3)1f x kx f x -⋅-≥可化为()()()23111xkxx f f f --≥，所以230x kx x -+-≤，由已知对于[1,3]x ∀∈，230x kx x -+-≤恒成立，所以当[1,3]x ∈，31x k x+-≤恒成立，故max31x k x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，其中[1,3]x ∈，因为函数1y x =+，3y x=-在[]1,3上都单调递增，所以31x x+-在[1,3]上的最大值为3，所以3k ≥，D 正确；故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()1ln(2)f x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为______．【答案】0x y +=【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，然后代入点斜式直线方程即可求解切线.【详解】由题可知，()12f x x =-+'，()11f -=，所以切线斜率()11k f =-=-'，故切线方程为()110y x x y -=-+⇒+=.故答案为：0x y +=13.已知函数()cos (0)f x x ωω=>，若π2f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，则ω的值是__________．【答案】2【解析】【分析】根据偶函数的性质，求得2k ω=，Z k ∈，再结合余弦函数的零点，列出不等式，即可求解.【详解】πππcos cos 222f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为偶函数，所以ππ2k ω⋅=，Z k ∈，得2k ω=，Z k ∈，当∈0,π时，()0,πx ωω∈，()f x 在区间(0,π)内仅有两个零点，所以3π5ππ22ω<≤，解得：3522w <£，所以2ω=.故答案为：214.若ABC V 内一点P 满足PAB PBC PCA α∠=∠=∠=，则称P 为ABC V 的布洛卡点，α为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在ABC V 中，AB AC =，3cos 5BAC ∠=，若P 为ABC V 的布洛卡点，且2PA =，则BC 的长为______．【解析】【分析】利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理等知识进行分析，先求得sin α，进而求得a ，也即是BC .【详解】213cos 2cos 125BAC BAC ⎛⎫∠=∠-= ⎪⎝⎭，所以BAC ∠为锐角，12BAC ∠为锐角，所以11cos ,sin 2525BAC BAC ⎛⎫⎛⎫∠=∠== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于AB AC =，所以A ABC CB =∠∠，设ABC ACB θ∠=∠=，则2πBAC θ∠+=，ππ11cos cos cos sin 22225BAC BAC BAC θ-∠⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=∠= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，θ为锐角，则sin 5θ==.由于,BAP CBP ABP BCP θα∠=∠∠=∠=-，所以ABP BCP ，所以AB AP BPBC BP PC==①，在PBC △中，由正弦定理得()()()sin sin sin sin πBP BC BC PCθαθααθα===----，所以()sin sin BP PC θαα-=，所以()sin sin AB BP BC PC θαα-==，即()sin sin c a θαα-=，由正弦定理得sin sin cos cos sin sin cos sin sin tan ACB BAC θαθαθθαα∠-==-∠，即2525554tan 55α=-，解得4tan 7α=，则α为锐角，由22sin 4tan cos 7sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩解得sin αα==，在三角形ABC 中，由余弦定理得222222342cos 2255a b c bc A b b b =+-=-⨯=，所以225,42b a b ==，在三角形ACP 中，由正弦定理得()()sin sin sin πAP AC ACBAC BAC ααα==∠--∠-，所以22445a=，解得a BC ==.【点睛】易错点睛：锐角与边长关系的判断：在判断三角形的角是否为锐角时，容易出现符号错误或判断失误.因此，在涉及角度大小的判断时，需特别注意各个角的定义和所使用定理的适用范围.正弦定理和余弦定理的符号处理：在使用正弦定理和余弦定理时，符号的处理必须谨慎，特别是在涉及平方根和正负符号的时候，需确保没有遗漏或误用.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．（1）求A ；（2）若O 为ABC V 的外心，D 为边BC 的中点，且1OD =，求ABC V 周长的最大值．【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换进行化简即可求解；（2）利用向量表示出1122OD OB OC =+uuu r uu u r uuu r，由余弦定理结合基本不等式、三角形周长公式即可求解.【小问1详解】由已知π2sin 6a C b c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭及正弦定理得：312sin sin cos sin sin 22A C C B C ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由()()sin sin πsin sin cos cos sin B A C A C A C A C ⎡⎤=-+=+=+⎣⎦得：sin sin cos sin cos cos sin sin A C A C A C A C C +=++，sin cos sin sin A C A C C =+，又sin 0C ≠，cos 1A A =+，即π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以ππ,66A -=解得π3A =.【小问2详解】因为O 为ABC V 的外心,且由上问知π3A =，所以2π23BOC A ∠=∠=,设OB OC R ==（R 为ABC V 的外接圆半径），因为D 为边BC 的中点，且1OD =，所以在OBC △中易得：1122OD OB OC =+uuu r uu u r uuu r，所以2221112πcos 4423OD OB OC OB OC =++ ，即22211121cos 4423πR R R =++，解得：2R =，在OBC △中由余弦定理可得：2222π2cos123BC OB OC OB OC =+-=，解得BC a ==在ABC V 中由余弦定理可得：()2222π2cos3123a b c bc b c bc =+-=+-=，由基本不等式22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可得：()223122b c b c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当b c =时等号成立，所以()21124b c +≤，即b c +≤.所以ABC V 周长ABC C a b c =++≤+=V当且仅当b c ==时等号成立.故ABC V 周长的最大值为16.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan tan tan tan 1B C B C ++=，1b =，c =．（1）求a ；（2）如图，D 是ABC V 外一点（D 与A 在直线BC 的两侧），且AC CD ⊥，45CBD ∠= ，求四边形ABDC 的面积．【答案】（15（2）136【解析】【分析】（1）首先根据两角和的正切公式求()tan B C +，即求角A ，再根据余弦定理求解；（2）根据诱导公式求解sin BCD ∠，以及两角和的三角函数求sin D ，再根据正弦定理求BD ，最后根据面积公式，即可求解.【小问1详解】由条件可知，tan tan 1tan tan +=-B C B C ，所以()tan tan tan 11tan tan B CB C B C++==-，所以45B C += ，即135A = ，所以2cos 2A =-，则22222cos 1221252a b c bc A ⎛=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭,所以5a =；【小问2详解】15225cos 5215ACB ∠==⨯⨯，()25sin sin 90cos 5BCD ACB ACB ∠=-∠=∠=，5cos 5BCD ∠=，()()sin sin 45sin cos 225510D BCD BCD BCD ⎛=∠+=∠+∠=⨯+= ⎝⎭ ,BCD △中，sin sin BC BD D BCD =∠，即sin sin 3BC BCD BD D ⋅∠==，所以15sin 4523BCD S BC BD =⨯⨯= ，11sin13522ABC S AC AB =⋅⋅= ，所以四边形ABDC 的面积为5113326+=.17.已知平面向量(,)m a b = ，(sin ,cos )n x x ωω=，且2m n = ，其中0a >，0ω>．设点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象（()f x 的部分图象如图所示）上．（1）求a ，b ，ω的值；（2）若()G x y ,是()y f x =图象上的一点，则1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，求()g x 在[0,π]上的单调递减区间．【答案】（1）a =1b =，2ω=；（2）π[,π]3【解析】【分析】（1）由2m n =得2=，利用向量数量积计算公式和辅助角公式化简得()2sin()f x x ωϕ=+，根据题设条件列出三角方程组，结合图象即可求出a ，b ，ω的值；（2）由题意中点的变换求得π()sin(6g x x =+，利用正弦函数的图象特点即可求得()g x 在[0,π]上的单调递减区间.【小问1详解】因(,)m a b = ，(sin ,cos )n x x ωω=，由2m n =2=，由()(,)(sin ,cos )f x m n a b x x ωω=⋅=⋅sin cos )2sin()a x b x x x ωωωϕωϕ=+=+=+，其中tan b aϕ=，因点(0,1)和11π(,0)12在函数()f x m n =⋅ 的图象上，则有，2sin 111πsin()012ϕωϕ=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②，结合图象，由①可得πZ π2,6k k ϕ=+∈，将其代入②式，可得11πππ,Z 126n n ω+=∈，即212,Z 1111n n ω=-+∈，（*）由图知，该函数的周期T 满足311π412T T <<，即3π11π2π212ωω<<又0ω>，则有18241111ω<<，由（*）可得2ω=，故π()2sin(2)6f x x =+.由320b a a ⎧=⎪=⎪>⎩解得，1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故a =1b =，2ω=；【小问2详解】不妨记12,2x x y y ''==，则,22x x y y ''==，因()G x y ,是()y f x =图象上的一点，即得π22sin()6y x ''=+，即πsin(6y x ''=+，又因1(2,)2K x y 是函数()y g x =图象上的相应的点，故有π()sin()6g x x =+.由ππ3π2π2π,Z 262k x k k +≤+≤+∈，可得π4π2π2π,Z 33k x k k +≤≤+∈，因[0,π]x ∈，故得ππ3x ≤≤.()g x 在[0,π]上的单调递减区间为π[,π]3.18.已知函数()2()e xf x x mx n =++，m ，n ∈R ．（1）当24m n =时，求()f x 的最小值；（2）当2m =-时，讨论()f x 的单调性；（3）当0m n ==时，证明：0x ∀>，()ln 1f x x >+．【答案】（1）0（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，即得函数的极小值即最小值；（2）利用求导，就导函数中的参数进行分类，分别讨论导函数的符号，即得函数的单调性；（3）将待证不等式2e ln 1xx x >+等价转化为3e ln 1x x x x +>，设3e ln 1(),()x x g x h x x x+==，依题意，只需证在0x >时，min max ()()g x h x >成立，分别求m m ax in (),()h x g x 即可得证.【小问1详解】当24m n =时，22()()e 4x m f x x mx =++，22()[(2)2()e ()2)e 42x x m f x x m x m m m x x '=+++=++++，由()0f x '>，可得22m x <--或2mx >-，由()0f x '<，可得222m m x --<<-，即()f x 在(,2)2m -∞--和(,)2m -+∞上单调递增；在(2,)22m m---上单调递减，x →-∞时，()0f x →，x →+∞时，()f x →+∞，故2mx =-时，()f x 取得极小值也即最小值，为()02m f -=.【小问2详解】当2m =-时，()2()2e xf x x x n =-+，函数的定义域为R ，()2(e 2)xx f x n =+-'，当2n ≥时，()0f x '≥恒成立，故()f x 在R 上为增函数；当2n <时，由()0f x '=，可得x =，故当x <x >时，()0f x '>；即()f x 在(,∞-和)∞+上单调递增；当x <<()0f x '<，即()f x 在(上单调递减.综上，当2n ≥时，()f x 在R 上为增函数；当2n <时，()f x在(,∞-和)∞+上单调递增,在(上单调递减.【小问3详解】当0m n ==时，2()e x f x x =,要证0x ∀>，()ln 1f x x >+，只需证2e ln 1x x x >+，即证3e ln 1x x x x+>在(0,)+∞上恒成立.设3e ln 1(),()x x g x h x x x+==，依题意，只需证在0x >时，min max ()()g x h x >.因e ()=x g x x ，2(1)e ()xx g x x-'=，由()0g x '<，可得01x <<，由()0g x '>，可得1x >，故()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增,则()g x 在1x =时取得极小值也是最小值，为(1)e g =；因3ln 1()x h x x+=，423ln ()x h x x --'=，由()0h x '=，可得23x e -=，由()0h x '<，可得23x e->，由()0h x '>，可得230x e -<<，故()h x 在23(0,e)-上单调递增，在23(e ,)-+∞上单调递减，则()h x 在23x e -=时取得极大值也是最大值，为22332323ln e ()3e1e (e )h ---==+.因2e e 3>，即min max ()()g x h x >在(0,)+∞上成立，故得证.即0x ∀>，()ln 1f x x >+．【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式恒成立等知识点，属于较难题.证明不等式型如()()f x g x >的恒成立问题，一般方法有：（1）构造函数法：即直接构造()()()F x f x g x =-，证明min ()0F x >；（2）比较最值法：即证明min max ()()f x g x >即可；（3）等价转化法：即将待证不等式左右两边同除以一个式子，使得左右函数的最值可比较.19.已知非零向量(,)a m n =，(,)b p q = ，a ，b 均用有向线段表示，现定义一个新的向量c 以及向量间的一种运算“※”：(,)c a b mp nq mq np ==-+※．（1）证明：c 是这样一个向量：其模是a 的模的 b 倍，方向为将a绕起点逆时针方向旋转β角（β为x 轴正方向沿逆时针方向旋转到b所成的角，且02πβ≤<），并举一个具体的例子说明之；（2）如图1，分别以ABC V 的边AB ，AC 为一边向ABC V 外作ABD △和ACE △，使π2BAD CAE ∠=∠=，(01)AD AEAB ACλλ==<<．设线段DE 的中点为G ，证明：AG BC ⊥；（3）如图2，设(3,0)A -，圆22:4O x y +=，B 是圆O 上一动点，以AB 为边作等边ABC V （A ，B ，C 三点按逆时针排列），求||OC 的最大值．【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.（3）5.【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程设定,a b 的坐标，再依据题意证明即可；（2）依据新定义把,AG BC的坐标表示出来再运算证明即可；（3）掌握平面向量的模的运算和三角函数的最值求法即可解答.【小问1详解】证明：设(,)(cos ,sin ),(,)(cos ,sin )a m n r r b p q R R ααββ====（0,0,,r R αβ>>分别为x 轴正方向逆时针到,a b所成的角，且,[0,2)αβπ∈），则cos cos sin sin cos()mp nq Rr Rr Rr αβαβαβ-=-=+，cos sin sin cos sin()mq np Rr Rr Rr αβαβαβ+=+=+，于是cos()sin((,))Rr a b Rr c αβαβ=++=※，即c Rr a b ==⨯，x 轴正方向逆时针到c 所成的角为αβ+.故：c 是这样一个向量：把a的模变为原来的 b 倍，并按逆时针方向旋转β角（β为x 轴正方向逆时针到b所成的角，且02πβ≤<）.例如，1(,),22a b == ，则111,1222((0,2)2c a b ⨯+=== ※，1,2a b == ，a 与x 轴正方向的夹角为π3，b 与x 轴正方向的夹角为6π，将a的模变为原来的2倍，并按逆时针旋转π6，即可得c .【小问2详解】证明：记(,),(,)AB m n AC p q ==，根据新定义，可得()3π3πcos ,sin ,22AD AB n m λλλ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ※，同理(cos ,sin )(,)22q p A AE C ππλλλ==- ※，所以1()()()()222n q p m AG A AD E λλ--=+= ，而(,)BC AC AB p m q n =-=--，所以1[()()()()]02AG BC p m n q q n p m λλ⋅=--+--= ，故：AG BC ⊥.【小问3详解】解：设(,)B u v ，则224,(3,)u v AB u v +==+，())3ππ13cos ,sin 3,,,33222222u u v AC AB u v λ⎛⎫⎛++⎛⎫==+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭※※，所以333(3)33333(3,0)(,)(,)222222u u v u v OC OA AC ++--++=+=-+-+=，所以OC ===.设2cos ,2sin (02)u v θθθπ==≤<，则OC == ，当πsin 16θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即π3θ=时，max 5OC = .【点睛】此题考查了圆的参数方程；平面向量数量积的性质，以及三角函数最值.。