哈密顿算子
哈密顿算子
2 A
2 x2
2 y 2
2 z 2
Axex Ayey Azez
2 Ax x2
2 Ax y 2
2 Ax z 2
ex
2 Ay x2
2 Ay y 2
2 Ay z 2
ey
2 Az x2
2 Az y 2
2 Az z 2
ez
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
ex
y ey
z
ez
Axex Ayey Azez
Ax Ay Az x y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x ex y ey z ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
ex
ey
ez
A
x y z
注意此项的符 号与顺序
Ax Ay Az
Az y
Ay z
ex
Ax z
Az x
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 R
R R3
分析：本题要注意算符 和算符 的区别，其中 是对场 点作用，而 是对源点作用，即
x
ex
y
ey
z
ez
x
ex
y
ey
z
ez
常用矢量关系式，要记住
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
哈密顿算子
哈密顿算子—矢量微分算子
x
《矢量分析与场论》 哈密顿算子
gradu
梯度是一个矢量。
1.哈密顿算子
2）与矢量场 A( x, y, z) 的数性作用—散度算子
A ( i j k ) ( Ax i Ay j Az k ) x y z
Ax Ay Az x y z
能交换。
A B B A
A A
矢量的叉积可以反交换，但 算子和场的叉积
不能交换。
A B B A
A A
2.算子表示 基本运算公式的算子表示，即是用哈密顿算子 表示梯度、散度和旋度的基本运算公式。 哈密顿算子 是描述场与空间相互作用的统一 工具。 哈密顿算子 和梯度、散度和旋度共同构成物
既可以与数量场作用，也可以与矢量场作用。
数量场 u
矢量场 B
u u u ( A )u Ax Ay Az x y z
B B B ( A ) B Ax Ay Az x y z
1.哈密顿算子 算子的显著特点在于它的双重性，既是一个 算子，又是一个矢量，但首先是一个算子，因此 与矢量的运算法则略有不同。 矢量的点积可以交换，但 算子和场的点积不
旋度运算公式
4） div( A B) B rotA A rotB ( A B) B A A B
（13）
5） rot( gradu) 0
(u ) 0
（16）
6）
div(rotA) 0 ( A) 0
（ c 为常数） （ 2）
（ 2）
div( A B) divA divB ( A B) A B
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
哈密顿算子的定义与性质
• 定义向量微分算子
∂ ∂ ∇ = ∂x i + ∂∂y j + ∂z k
• 称为▽( Nabla ，奈 称为▽ 布拉)算子, 布拉)算子, 或哈密 顿( Hamilton ) 算子
• • •
矢量性 微分算子 只对于算子▽ 只对于算子▽ 右边的量发生 右边的量发生 微分作用
∂Dx ∂Dy ∂Dz + + =ρ ∂x ∂y ∂z ∂Bx ∂By ∂BZ + + =0 ∂x ∂y ∂z
哈密顿算子与梯度、散度、 哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 英汉对对碰 • • • • Operator▽ Operator▽ Gradient Divergence Curl • • • • 哈密顿算子 梯度(grad) 梯度(grad) 散度(div) 散度(div) 旋度(rot) 旋度(rot)
∂u ∂u ∇u = ∂x i + ∂ y ∂u j + ∂z k
= gradu
(2) A = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k, 则
∇⋅ A
∂P ∂Q ∂R = ∂x + ∂ y + ∂z = div A
i
∂ = ∂x ∇× A P
j
∂ ∂y
k
∂ ∂z
对速度矢量场， 对速度矢量场 ， 流体微团运动分析证明 速度散度的物理意义是标定流体微团运 动过程中相对体积的时间变化率。 动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl) 矢量场的旋度(curl)
对矢量场， 对矢量场 ， 在笛卡尔坐标系下其旋度定 义为： 义为： ir rj kr
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
对速度矢量场，流体微团运动分析证明 速度旋度等于旋转角速度的两倍。
哈密顿算子小结
(1) 设 u u ( x, y, z ), 则
u
u x u i y u j z
k grad u
(2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
A
P Q R x y z
div A
k
i
A x P
j
y
z
rot A
Q
R
E z E y Bx y z t By E x E z z x t E y E x Bz x y t
引进哈密顿算符：
i j k x y z
D B 0 D H t B E t
dp pn ds
矢量场的散度(divergence)
对矢量场，在笛卡尔坐标系下其散度定 义为：
V x V y V z V x y z
对速度矢量场，流体微团运动分析证明 速度散度的物理意义是标定流体微团运 动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl)
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 英汉对对碰
• • • • Operator▽ Gradient Divergence Curl • • • • 哈密顿算子 梯度(grad) 散度(div) 旋度(rot)
哈密顿算子的定义与性质
• 定义向量微分算子
x i y
j z k
• 称为▽( Nabla ，奈 布拉)算子, 或哈密 顿( Hamilton ) 算子
哈密顿算子
(13) g(A B ) B g( A) A g( B )
(14) (A B ) (B g ) A (A g) B B ( gA)
A ( gB )
(15) g( u)= 2u u （其中Δu为调和量） (16) ( u)= 0
(17) g( A)= 0
如下的一个数性微分算子
A
g
r ( Axi
Ay
r j
r r Azk )g i
x
r j
y
r k
z
Ax
x
Ay
y
Az
z
,
它既可作用在数性函数u（M）上，又可作用在
矢性函数B（M）上。如
A
g
u
Ax
u x
Ay
u y
Az
u z
,
A
g
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ax
B x
Ay
B y
Az
B z
,
应当注意这里 A g 与 gA 是完全不同的。
证
(uv)
r i
x
r j
y
r k
z
uv
r i
(uv)
r j
(uv)
r k
(uv)
x
y
z
(u
v
v
u
r )i
(u
v
v
u )
r j
x x
y y
(u
v
v
u
r )k
z z
u
v x
r i
v y
r j
v z
r k
v
u x
r i
u y
哈密顿算子运算公式及推导
哈密顿算子运算公式及推导
哈密顿算子（HamiltonianOperator）是物理系统的动能和位能的组合，通常被认为是物理系统本质由来的参数，用来描述物理系统的性质（物理量）。
2. 公式及推导
哈密顿算子可以用如下公式表示：
H=Hp+Hk
其中，Hp 为位能，Hk 为动能。
（1）位能Hp：一般地，位能公式可以写成
Hp=- 2
它表示的是物体的力学位能，具有空间变化的粒子受到的力学位能，表示为几何位能。
（2）动能Hk：动能Hk 可以用牛顿动力学的方法推导出，用来描述物体受到的动能，即速度的平方加上位移的有关量，即：
Hk=1/2m*(2/x 2+2/y 2+2/z 2)
其中，m 为物体的质量，x，y，z 分别为物体的X，Y，Z 轴坐标。
所以，将上面两个公式相加，得到的哈密顿算子公式可以表示为： H=- 2+1/2m*(2/x 2+2/y 2+2/z 2)
以上就是哈密顿算子运算公式及推导的介绍，哈密顿算子是物理系统本质由来的参数，可以用来描述物理系统的性质，是物理实验中经常用到的重要参数。
哈密顿算子
(ax i ay j az k ) 3a a 3a 2a
所以
(a r ) dl 2 a dS
l S
证毕
例4 验证 Green 第一公式
S
(u v) dS (v u vu )dV
与第二公式
S
(uv vu ) dS (uv vu )dV
u u u ( A )u Ax Ay Az x y z
数性微分算子作用于矢性函数 B(M ) 上
B B B ( A ) B Ax Ay Az x y z
注意： A 与 A 不同
常见公式（ u , v 是数性函数，A, B 是矢性函数）
1. (Cu) Cu
(ur ) r 3
解 由公式10知
(ur ) u r u r
u 3sin yzi 3xz cos yz j 3xy cos yzk 3(sin yzi xz cos yz j xy cos yzk )
(ur ) 9x sin yz 3x sin yz 3xyz cos yz 3xyz cos yz
证明：由 Gauss 公式
A dS ( A)dV
S
取 A u v ，用公式10
S
(u v) dS (u v)dV (v u uv)dV
同理
S
(v u ) dS (v u vu )dV
两式相减
和旋度可用 算子表示：
gradu u
divA A rot A A
数性微分算子
A ( Ax i Ay j Az k ) (i j k ) x y z Ax Ay Az x y z
第九讲 第三章哈密顿算子
例4 证明： 汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A( B) 证： 汛 ( A? B) 汛 ( Ac ? B) 汛 ( A Bc )
汛 ( Ac ? B) Ac (? B) ( Ac ? ) B A(? B) ( A
)B
汛 ( A? Bc ) (Bc ? ) A Bc ( A ? ) (B ? ) A B( A
(18)汛 (汛 A) = 蜒 (
在下面的公式中r = xi + yj + zk , r = r
(19)? r r = r0 r
(27)奥氏公式蝌 A dS =
S
蝌
W
(
S
A) dV
(20)? r
(22)? f (u)
3
(28)斯托克斯公式蝌 A dL =
L
(汛 A) dS
(21)汛 r = 0
f¢ (u) u 抖 f f (23)? f (u , v ) ?u v 抖 u v f ¢(r ) (24)? f (r ) r= f¢ (r )r 0 r (25)汛 轾 f (r ) r = 0 臌 - 3 (26)汛 轾 r 犏 臌 r = 0 (r 0 )
)
\
汛 ( A? B) (B ? ) A ( A ? ) B B(? A) A(
B)
下面两个公式非常重要：
a (b? c) c (a? b) b (c a)
a创 (b c) = (a c)b - (a b)c
例5
已知 u = 3x sin yz, r = xi + yj + zk , 求 Ñ (ur )
u? A
? (uc A)
哈密顿算子的数学运算
哈密顿算子的数学运算
哈密顿算子（Hamilton operator）是量子力学中描述物理系统能量的算子，通常用符号H表示。
数学上，它可以写成：
H = T + V
其中，T是动能算子，V是势能算子。
动能算子是表示粒子运动状态（动量）的算子，它可以写成：
T = (-ħ²/2m)∇²
其中，ħ是普朗克常数的约化值，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算子（表示空间二阶偏导数），称为动量平方算子。
势能算子是描述粒子所处环境中势能的算子，可以根据粒子所处系统不同而有所不同，通常写成：
V = V(x,y,z)
其中，V(x,y,z)是势能关于位置的函数。
哈密顿算子在量子力学中有着重要的地位，它是薛定谔方程的本征值问题的算子，它的本征函数描述了量子态的能量和描述态的波函数，通过求解薛定谔方程得到的本征函数和本征值在研究物理现象和解释实验结果方面具有极其重要的作用。
哈密顿算子加速度矢量
哈密顿算子与加速度矢量一、哈密顿算子的基本性质哈密顿算子是分析力学中的重要工具，具有许多独特的性质。
首先，它是一个二阶微分算子，能够对标量场或矢量场的分量进行微分运算。
在三维空间中，哈密顿算子通常表示为▽=▽x+▽y+▽z，其中▽x、▽y、▽z分别是沿x、y、z轴的微分算子。
哈密顿算子有一些重要的性质，如▽(f+g)=▽f+▽g，▽(fg)=f▽g+g▽f等。
这些性质表明，哈密顿算子可以将标量场或矢量场的运算转化为其分量的一阶微分运算。
此外，哈密顿算子还具有反交换性，即▽ij=▽ji。
二、加速度矢量的物理意义加速度矢量是描述物体运动速度变化快慢和方向的物理量。
它等于物体速度矢量的变化率，即物体位置随时间的变化率。
在三维空间中，加速度矢量由三个分量组成：ax、ay、az，分别表示沿x、y、z轴的加速度。
加速度矢量的物理意义在于描述物体运动状态的改变。
在经典力学中，加速度矢量用于描述牛顿第二定律中的力，即F=ma。
当物体受到外力的作用时，加速度矢量会发生变化，导致物体的运动状态发生改变。
三、哈密顿算子与加速度矢量的关系哈密顿算子与加速度矢量之间存在一定的联系。
在分析力学中，拉格朗日函数L=T-V，其中T为动能函数，V为势能函数。
通过求解拉格朗日方程dL/dx=▽L·▽x=0，我们可以得到物体的运动轨迹。
在这个过程中，▽L的作用是对L中的每一个变数进行变分运算，这实际上与加速度矢量的定义有所关联。
具体来说，当一个物体在空间中运动时，它的速度矢量和位置矢量都是随时间变化的。
通过应用哈密顿算子对位置矢量进行微分运算，可以得到物体速度矢量的变化率，即加速度矢量。
因此，哈密顿算子在某种程度上可以用来描述物体的加速度。
四、结论综上所述，哈密顿算子和加速度矢量都是物理学中非常重要的概念。
哈密顿算子是分析力学中的基本工具，用于描述矢量场或标量场的一阶微分运算；而加速度矢量则是描述物体运动速度变化快慢和方向的物理量。
《2024年哈密顿算子理论选论》范文
《哈密顿算子理论选论》篇一一、引言哈密顿算子理论是数学物理领域中一个重要的概念，尤其在量子力学、电磁学和流体力学等领域有着广泛的应用。
本文旨在选论哈密顿算子理论的核心内容，从其定义、性质到应用进行详细的阐述，以期为读者提供一个清晰全面的理解。
二、哈密顿算子的定义与性质哈密顿算子（Hamiltonian Operator）是一个描述物理系统量子态演化的算子，通常用符号“H”表示。
在量子力学中，哈密顿算子描述了粒子在给定势场中的运动状态。
其定义基于量子力学的波函数，通过作用于波函数上，可以得到系统的能量本征值和本征态。
哈密顿算子具有以下性质：1. 厄米性：哈密顿算子是厄米算子，即对于任意波函数，其与哈密顿算子的乘积都是实数。
这保证了量子力学中的可观测量的实数性质。
2. 本征值与本征态：哈密顿算子具有一组完备的本征值和本征态，描述了系统可能处于的量子态及其对应的能量。
3. 时间演化：哈密顿算子还描述了量子态随时间演化的过程，通过求解含时薛定谔方程，可以得到系统在任意时刻的量子态。
三、哈密顿算子的应用哈密顿算子在量子力学、电磁学和流体力学等领域有着广泛的应用。
以下将分别介绍其在这些领域中的具体应用。
1. 量子力学：在量子力学中，哈密顿算子用于描述粒子在给定势场中的运动状态。
通过求解哈密顿算子的本征值和本征态，可以得到粒子的能量本征值和波函数，进而描述粒子的量子行为。
2. 电磁学：在电磁学中，哈密顿算子可以用于描述电磁场的性质。
通过将电磁场的矢量势和标量势与哈密顿算子相结合，可以求解电磁场的波动方程，进而分析电磁场的传播和辐射等问题。
3. 流体力学：在流体力学中，哈密顿算子可以用于描述流体系统的运动状态。
通过将流体的速度势与哈密顿算子相结合，可以求解流体的运动方程，进而分析流体的流动和稳定性等问题。
四、结论哈密顿算子理论是数学物理领域中一个重要的概念，具有广泛的应用价值。
本文从定义、性质和应用三个方面对哈密顿算子理论进行了详细的阐述。
哈密顿算子
哈密顿（W.R.Hamiltonian）引进了一个矢性微分算子，称之为哈密顿算子或者▽ 算子。 记号▽ 读作“那勃乐（Nzbla）”，在运算中既有微分又有矢量的双重运算性质，其优点 在于可以把对矢量函数的微分运算转变为矢量代数的运算，从而可以简化运算过程， 并且推导简明扼要，易于掌握。
=
r i
r j
ur kxFra biblioteky z运算规则 （1）梯度
标量场A通过▽的这个运算就形成了一个矢量场，该矢量场反应了标量场A的分布。
（2）散度
（2）旋度
拉普拉斯算子
引入新的矢性微分算子：
常用公式
该算子既可以作用在数性函数 u=u(M) 上，又可以作用在矢性函数B(M) 上，即
注意：
（1） 与 是完全不同的；
（2） 与
是无意义的。
公式汇总
矢量分析与场论：P64
哈密顿算子公式
哈密顿算子公式哈密顿算子，也称为向量微分算子，这可是个在数学和物理学中相当重要的概念呢！咱们先来说说哈密顿算子的公式长啥样。
它通常用符号“▽”来表示，在直角坐标系中，它可以写成：▽ = (∂/∂x)i + (∂/∂y)j + (∂/∂z)k 。
这里的i、j、k 分别是 x、y、z 方向上的单位向量，而∂/∂x、∂/∂y、∂/∂z 则表示对相应变量的偏导数。
这看起来有点复杂，对吧？那我给您举个例子。
比如说，我们有一个函数 f(x,y,z) = x² + y² + z²，那么▽f 就等于 (2x)i + (2y)j + (2z)k 。
这就好像是哈密顿算子给这个函数来了一次“全方位的审视”，得出了它在各个方向上的变化情况。
我记得有一次在课堂上，我给学生们讲解哈密顿算子。
当时有个学生特别可爱，他一脸困惑地问我：“老师，这哈密顿算子到底有啥用啊？感觉好抽象！”我笑着跟他说：“你想想啊，假如你在爬山，你想知道哪个方向坡最陡，哪个方向最平缓，这哈密顿算子就能告诉你！”学生们一听，眼睛都亮了，好像突然对这个抽象的概念有了点感觉。
那哈密顿算子在物理学中的应用就更广泛啦！在电磁学中，电场强度 E 和磁场强度 B 都可以用哈密顿算子来表示和计算。
比如静电场中的高斯定理，可以用▽·E = ρ/ε₀来描述，这里的▽·表示散度运算。
还有在流体力学中，速度场的旋度可以用▽×v 来表示，通过它我们能了解流体的旋转情况。
再比如说，研究电磁波的传播时，麦克斯韦方程组里就有哈密顿算子的身影。
它帮助我们理解电场和磁场如何相互作用、如何传播。
总之，哈密顿算子虽然看起来有点让人头疼，但它可是我们探索自然世界的有力工具。
就像一把神奇的钥匙，能打开很多科学奥秘的大门。
希望通过我的这番讲解，能让您对哈密顿算子公式有更清晰的认识和理解。
要是还有啥疑问，咱们继续探讨！。
第3讲 Hamilton算子(Hamilton Operator)_47540
式中，n 和 t 分别表示法向分量和切向分量，则在体积V中有
这一定理表明：一个矢量场 被它的体积V内旋度 ∇ × A ，散度 ∇ ⋅ A 和曲面S上的边界条件（法向条件或者切向条件）所唯一确定。
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A1 ≡ A2
lilong@
19
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2
2.4 矢量场的环量和旋度
矢量场 的旋量似乎就没有像通量 那么通俗易懂。实际上， 我们生活观察表明：还存在一类矢量场是旋转场或涡旋场。例 如，龙卷风和用一根筷子搅动被中的水就是典型的旋转物。
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lilong@
3
2.4.1 环量和流
反映旋转场 A( x, y, z ) 的宏观特征是环量Г ，它定义为
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14
3.1.3 Dirac-δ函数
首先，我们简要讨论 函数。量子力学创立时期，天才的物理学家Dirac 大胆地提出了一类广义函数－ δ函数 【定义】 一维 δ(x)满足
0 δ (x ) = ∞
它满足归一性，即
∞
x≠0 x=0
−∞
∫ δ (x )dx = 1
∞ −∞
和选择性，对函数 f(x)有
正如前面奥斯特实验所做的：电流 I 的周围存在磁场H 。正是 这个流构成了环行磁场，用数学表示为
而 H和 I的方向构成右手螺旋法则。
2015/3/16
lilong@
4
2.4.1 环量和流
在 l上所得到的环量Г 是问题的表象，环量的背后实质 是穿过 环线中间的流。换句话说， l线上的环量多少即表 示 l环内有多少（净）流。 环量 是这一类矢量场重要的宏观特征。但是，宏观的 特征有着重要的缺陷。因为流可以分为正向（右手螺旋法 则）流和负向流。举一个典型的例子：假定闭环 上环量 为 零，我们无法判断 环内究竟是无流，还是正负流相消。 问题的另一关键在于——我们应该研究 环内每一点流 的情况。这又是矢量场微观特征的再一次提出。
哈密顿算子课件
(u1u2 ) u1u2 u2u1 若u 0，则u 常数
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
u
x
ex
y
ey
z
ez
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
A
x
ex
y
ey
z
ez
Axex Ayey Azez
Ax Ay Az x y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
ex ey ez
A
x y z
注意此项的符 号与顺序
Ax Ay Az
Az y
Ay z
ex
Ax z
Az x
x ey
Ay x
Ax y
ez
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
ex
u y
ey
u z
ez
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点； 2. 算子 在不同的坐标系中有不同的表达式；
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
结果：
(1). R R
R
R R R
哈密顿算子
应当注意这里 A 与 A 是完全不同的。 现在我们把用 表示的一些常见公式列 在下面，以便于查用，其中u，v是数性函数， A，B为矢性函数。
(1) (cu) c u
（c为常数）， (2) （cA ）= c A （c为常数），
(3) （cA ）= c A （c为常数），
S
9
第一章 矢量分析
例1 证明
(uv) u v v u.
证
(uv) i j k uv y z x (uv) (uv) (uv) i j k x y z v u v u (u v )i (u v ) j x x y y v u (u v )k z z
哈密顿算子
哈密顿引进了一个矢性微分算子：
i j k x y z
称为哈密顿算子或 算子。 算子本身并无意义，而是一种微分运算符 号，同时又被看作是矢量。
2015-7-4
1
第一章 矢量分析
其运算规则如下：
u u u u i j k u i j k y z x y z x grad u,
Ay Az Ax Az Az Ay ( )i ( )j ( )k y z z x x y rot A,
由此可见，数量场u的梯度与矢量场A的散度与旋 度都可用 表示。
2015-7-4 3
第一章 矢量分析
此外，为了在某些公式中使用方便，我们还引进 如下的一个数性微分算子 A ( Ax i Ay j Az k ) i j k y z x
2015-7-4 8
第一章 矢量分析
(25) [ f (r )r ] 0, (26) ( r r ) 0 ( r 0),
哈密尔顿算子
哈密尔顿算子哈密尔顿（W.R.Hamilton ）引进了一个向量型微分记号：kzj y i x∂∂+∂∂+∂∂=∇成为哈密尔顿算子，读作Nabla （纳普拉）。
它是一种微分运算符号，同时又可以被看做向量，作用到数量函数u （x ，y ，z ）上，得k zu j y u i x u u k z j y i x u∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∇)(这就是数量函数的梯度，▽与u 的乘积看作是数量运算。
哈密尔顿算子▽作用到向量函数kz y x R j z y x Q i z y x P M F),,(),,(),,()(++=上，有数量积与向量积两种运算，分别定义为)()()(M F div k zR j y Q i x P k R j Q i P k zj y i x F=∂∂+∂∂+∂∂=++∙∂∂+∂∂+∂∂=∙∇ 和)()()(M F rot R Q P z y x k j i k R j Q i P k zj y i x F=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂=++⨯∂∂+∂∂+∂∂=⨯∇ 注意到▽算子的向量性质，▽·u ，▽F ，▽×u 等记号都是没有意义的，同样，▽（▽u ），▽·（▽·F ）,▽×（▽·F ）也都是没有意义的。
另外，▽算子和一般的向量不同。
例如对一般向量F ，G 及常数λ，有FG G F F G G F F F ⨯-=⨯∙=∙=λλ 可视为向量的交换相乘。
对哈密尔顿算子▽，函数u （x,y,z ）或F （x,y,z ）在▽的左边和▽相乘，表示对函数u 和F 求微分，但在▽的左边和▽相乘，▽对函数没有微分作用，乘积仍为一个微分算子，例如k zu j y u i x u u∂∂+∂∂+∂∂=∇z Ry Q x P F ∂∂+∂∂+∂∂=∇∙kx Q y P j z P x R i y R z Q R Q Pk j iF)()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇∙仍然可以作用在数量函数或向量函数上。
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场，则 (au1 bu2 ) au1 bu2
(u1u2 ) u1u2 u2u1 若u 0，则u 常数
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
u
x
e x
y
e y
z
e z
u
u x
e x
u y
ey
u z ez
A
x
ex
y
ey
2.算子 在不同的坐标系中有不同的表达式；
直角坐标系中 柱坐标系中
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
u
u
e
1 u
e
u z
ez
球坐标系中
u
u r
er
1 r
u
e
1 u
r sin
e
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1.算子 既有微分的性质，又有矢量的特点； 2.算子 在不同的坐标系中有不同的表达式； 3. 设 a、b 为任意常数，函数u1 、u2 、u 为任意标量
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 R
R R3
证明：(1) 因为
R
R x
ex
R y
e y
R z
e z
R 1 [(x x)2 ( y y)2 (z z)2 ]1/2 2(x x) (x x)
x 2
R
同理: R (y y)
y R
R (z z) z R
R (x x) e ( y y) e (z z) e R
Rx
Ry
R zR
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 RR R3ຫໍສະໝຸດ 证明：(1) 因为R
R x
ex
R y
e y
R z
y
ey
z
ez
2 A
2 x2
2 y2
2 z 2
Axex Ayey Az ez
2xxA2x2yA2 x
e2 A z2
x
2 Ay x2
2y A y2
y2 A z2
ey
2xzA2z2yA2 z ez2zA2
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场
Ay
x
Ax e y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
5.拉普拉斯算子
x
ex
y
ey
z
e z
x
e x
y
ey
z
ez
2 2 2 2 x2 y2 z2
2u
2 x2
2 y2
2 z 2
u
2u x2
2u y2
2u z 2
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
e z
R 1 [(x x)2 ( y y)2 (z z)2 ]1/2 2(x x) (x x)
x 2
R
同理: R ( y y) R (z z)
y
R z
R
R
(
x
R
x)
e x
(
y y) e
R
y
(z
z)e Rz
R R
R
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场
点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列
结果：
(1). R R R
R R R R
(2).
1 R
1 R
R R3
分析：本题要注意算符 和算符 的区别，其中 是对场 点作用，而 是对源点作用，即
x
ex
e y
y
e z
z
x
ex
y
ey
z
ez
常用矢量关系式，要记住
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
哈密顿算子
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
gradu u
u
x
e
x
y
ey
z
ez
u
u x
ex
u y
ey
u z ez
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1.算子 既有微分的性质，又有矢量的特点； 2.算子 在不同的坐标系中有不同的表达式；
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1.算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列
结果：
(1). R R R
R R R R
(2).
1 R
1 R
R R3
证明：(2) 因为
1 R
1 R2
R
1 R2
R R
R R3
1 R
1 R2
R
1 R2
R
R
R R3
1 R
本节要点
1. 哈密顿算子与不同物理量的作用关系； 2. 拉普拉斯算子与不同物理量的作用关系；
z
ez
Axex Ayey Azez
Ax Ay Az x y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
A
ex x
ey y
ez z
注意此项的符 号与顺序
Ax Ay Az
Az
y
Ay z
ex
Ax z
Az x
x ey